2014年全国高考湖南省理科数学试题及答案详解

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.满足

(z i

i i z +=为虚数单位)的复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i

--

【解】选B.由(1)111

1(1)(1)222

z i i i i i iz i z i i i +---=====-----,即选B. 2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p 则( ) A ．123p p p =< B ．231p p p =< C ．132p p p =< D ．123

p p p ==

【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 3.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g +=( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

【解】选C.由函数奇偶性,联想转化:32(1)(1)(1)(1)(1)(1)11f g f g +=---=-+-+=. 4.51(2)2

x y -的展开式中23x y 的系数是( )

A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20 【解】选A.二项式51(2)2x y -的通项为()5151()2,,2r

r r r T C x y r r N -+=-≤5∈,

令3r =时,()3

3223451()2202

T C x y x y =-=-,故选A.

5.已知命题:p 若x y >,则x y -<-,命题:q 若x y >,则22x y >.在命题:①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中,真命题是( ) A ．①③ B ．①④

C ．②③

D ．②④

【解】选C.显然p 真q 假,所以可知复合命题①、③正确,选C.

6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于( A. [6,2]-- B ．[5,1]--

C ．[4,5]-

D ．[3,6]-

【解】选D. 由程序框图可知 ①当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-; ②当[]0,2t ∈时,则[]33,1S t =-∈--;

综上①②可知,(][][]2,63,13,6S ∈---=-故选D.

7.一块石材表示的几何体的三视图如图右所示,将该石材切削、 打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(倒置:长为12、 宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱 柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其 三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角 三角形内切圆的半径r ,则6810

22

r +-=

=,故选B. 8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两 年生产总值的年平均增长率为( )

A ．

2p q + B ．(1)(1)1

2

p q ++- C

D ．

1

【解】选D.设两年的年平均增长率为x ,

则有()()()2

111x p q +=++

1x ⇒=

,故选D.

9.已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230

()0f x dx π=⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )

A ．56x π=

B ．712

x π

= C ．3x π= D ．6x π=

【解】选A.由230()0f x dx π=⎰得,23cos()00x π

ϕ--=,即2cos cos()03πϕϕ--=,

可化为3cos 02ϕϕ

=,即tan ϕ可得,3

k k Z π

ϕπ=+∈, 也所以()sin()sin()3

f x x x π

ϕ=-=±-,经检验可知A 选项符合.

10.已知函数21()(0)2

x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称 的点,则a 的取值范围是( )

A ．(-∞

B ．(-∞

C

．(

D

．(

【解】选 B.依题意在曲线()g x 取一点(,())(0)x g x x >,则在曲线()f x 上存在一点

(,())x f x --与之对应(关于y 轴对称),所以()()f x g x -=在0x >上有解, 即221ln()2x x e x x a -+-

=++,也即1

ln()2

x x a e -+=-在0x >上 有解,由于121

ln(),2

x y x a y e -=+=-分别为(0,)+∞上增函数、 减函数,于是结合图象易知,方程1ln()2

x

x a e -+=-在0x >上

有解的充要条件为01

ln 2

a e -

<-,即a 选

B.

正视图 侧视图

俯视图

y