(完整版)广东省广州市2015-2016学年高二学业水平测试数学试题(含解析)

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广东省广州市2015-2016学年高二学业水平测试数学试题含解析

2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、选择题:本大题共10小题，每小题5分.1。

已知集合M =-1,0,1{}，{}xxx N ==2|,则M ÇN =（）A.1{} B 。

0,1{} C 。

-1,0{} D 。

-1,0,1{}2.已知等比数列a n{}的公比为2，则a 4a 2值为（）A. 14B 。

12C 。

2 D.43。

直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直,则l 的方程是()A.2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0 C 。

3x -2y -7=0 D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是(）A.-1,0() B 。

0,1() C.1,2() D 。

2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是(）BD6.要完成下列两项调查：(1）某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是(）A 。

（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法C 。

(1)用分层抽样法,（2）用简单随机抽样法 D.(1）(2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（)A. 3 B 。

1 C 。

1- D 。

5- 8。

某几何体的三视图及其尺寸图,则该几何体的体积为（）A. 6 B 。

9 C 。

12 D. 18 9。

函数f x ()=12-cos2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A 。

2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZC.k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D.k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（)A 。

广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考2015-2016学年高二数学上学期期末试卷理(含解析)

2021 -2021学年广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共14小题，每题5分，共60分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项正确〕1．集合A={y|y=2x}，B={y|y=}，那么A∩B等于〔〕A．{y|y≥0} B．{y|y＞0} C．{y|y≥1} D．{y|y＞1}2．“α≠β〞是“cosα≠cosβ〞〔〕条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要3．=〔〕A．B．C．D．4．运行如下图程序语句后，输出结果是〔〕A．17 B．19 C．21 D．235．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，那么b＞a概率是〔〕A．B．C．D．6．等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，那么=〔〕A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣27．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间〔0，1〕上单调递减函数序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④8．〔题类A〕双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕，过焦点F1弦AB长为m〔A，B在同一支上〕，另一个焦点为F2，那么△ABF2周长为〔〕A．4a﹣2m B．4a C．4a+m D．4a+2m9．〔题类B〕设f〔x〕=sinx2，那么f′〔x〕等于〔〕A．sin2x B．cosx2 C．2xsinx2D．2xcosx210．假设变量x，y满足约束条件，那么z=2x+y最大值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．411．某几何体三视图如下图〔均为直角边长为2等腰直角三角形〕，那么该几何体外表积为〔〕A．4+4B．4+4C．6+2D．812．假设，是非零向量，且⊥，||≠||，那么函数f〔x〕=〔x+〕〔x﹣〕是〔〕A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数13．假设直线y=x+b与曲线有公共点，那么b取值范围是〔〕A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]14．正实数a，b满足a b=b a，且0＜a＜1，那么a，b大小关系是〔〕A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能确定二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共20分)15．cosx﹣sinx=，那么= ．16．〔题类A〕抛物线y=ax2焦点坐标为〔0，〕，那么a= ．17．计算定积分〔x2+sinx〕dx= ．18．假设正实数x，y满足2x+y+6=xy，那么xy最小值是．19．如图，正三棱锥A﹣BCD侧棱长为2，底面BCD边长为2，E，分别为BC，BD中点，那么三棱锥A﹣BEF外接球半径R= ，内切球半径r= ．三、解答题〔本大题共6个小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕.20．甲乙两机床同时加工直径为100mm零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图，请说明哪个机床加工零件较好？甲9910098100103乙9910010299100 21．△ABC中，D为边BC上一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．22．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB中点．〔1〕求证：AC⊥SB；〔2〕求二面角S﹣CM﹣A平面角余弦值．23．如图，A，B，C坐标分别为〔﹣，0〕，〔，0〕，〔m，n〕，G，O′，H分别为△ABC重心，外心，垂心．〔1〕写出重心G坐标；〔2〕求外心O′，垂心H坐标；〔3〕求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．24．数列{a n}是公差d不为0等差数列，a1=2，S n为其前n项与．〔1〕当a3=6时，假设a1，a3，a，a…，a成等比数列〔其中3＜n1＜n2＜…＜n k〕，求n k表达式；〔2〕是否存在适宜公差d，使得{a n}任意前3n项中，前n项与与后n项与比值等于定常数？求出d，假设不存在，说明理由．25．〔题类A〕以椭圆+y2=1〔a＞1〕短轴端点A〔0，1〕为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件三角形．26．函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣x，g〔x〕=xlnx．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕最大值；〔Ⅱ〕设0＜a＜b，证明0＜g〔a〕+g〔b〕﹣2g〔〕＜〔b﹣a〕ln2．2021 -2021学年广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共14小题，每题5分，共60分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项正确〕1．集合A={y|y=2x}，B={y|y=}，那么A∩B等于〔〕A．{y|y≥0} B．{y|y＞0} C．{y|y≥1} D．{y|y＞1}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中y范围确定出两集合，求出A与B交集即可．【解答】解：由A中y=2x＞0，得到A={y|y＞0}，由B中y=≥0，得到B={y|y≥0}，那么A∩B={y|y＞0}，应选：B．2．“α≠β〞是“cosα≠cosβ〞〔〕条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件判断．【分析】根据充分必要条件定义结合三角函数性质判断即可．【解答】解：假设“α≠β〞那么“cosα≠cosβ〞逆否命题是：假设“cosα=cosβ〞那么“α=β〞，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ〞是“α=β〞必要非充分条件，即“α≠β〞是“cosα≠cosβ〞必要不充分条件．应选：B．3．=〔〕A．B．C．D．【考点】复数代数形式混合运算．【分析】化简复数分母，然后复数分子、分母同乘分母共轭复数，即可求得结果．【解答】解：=应选B．4．运行如下图程序语句后，输出结果是〔〕A．17 B．19 C．21 D．23【考点】伪代码．【分析】根据代码流程依次计算程序运行结果，直到满足条件i≥8，计算输出S值．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1i=3，S=9，i=2不满足条件i≥8，i=4，S=11，i=3不满足条件i≥8，i=5，S=13，i=4不满足条件i≥8，i=6，S=15，i=5不满足条件i≥8，i=7，S=17，i=6不满足条件i≥8，i=8，S=19，i=7不满足条件i≥8，i=9，S=21，i=8满足条件i≥8，退出循环，输出S值为21．应选：C．5．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，那么b＞a概率是〔〕A．B．C．D．【考点】等可能事件概率．【分析】由题意知此题是一个古典概型，试验包含所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知此题是一个古典概型，∵试验包含所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，应选D．6．等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，那么=〔〕A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2【考点】等差数列性质；等比数列性质．【分析】先根据等差中项性质可知得2×〔〕=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×〔〕=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2应选C7．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间〔0，1〕上单调递减函数序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】函数单调性判断与证明．【分析】此题所给四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型图象与性质；①为增函数，②为定义域上减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在〔0，+∞〕上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中函数是由函数向左平移1个单位长度得到，因为原函数在〔0，+∞〕内为减函数，故此项符合要求；③中函数图象是由函数y=x﹣1图象保存x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到，故由其图象可知该项符合要求；④中函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．8．〔题类A〕双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕，过焦点F1弦AB长为m〔A，B在同一支上〕，另一个焦点为F2，那么△ABF2周长为〔〕A．4a﹣2m B．4a C．4a+m D．4a+2m【考点】双曲线简单性质．【分析】先根据双曲线定义可知，|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，两式相加求得|AF2|+|BF2|=4a+m，进而根据代入|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|求得答案．【解答】解：由双曲线定义可知，|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，∴△ABF2周长为|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a+|AF1|+|BF1|+|AF1|+|BF1| =4a+2m，应选：D．9．〔题类B〕设f〔x〕=sinx2，那么f′〔x〕等于〔〕A．sin2x B．cosx2 C．2xsinx2D．2xcosx2【考点】导数运算．【分析】根据复合函数求导法那么进展计算．【解答】解：令u〔x〕=x2，h〔u〕=sinu，那么h〔u〔x〕〕=f〔x〕=sinx2，∴f′〔x〕=h′〔u〕•u′〔x〕=cosx2•2x．10．假设变量x，y满足约束条件，那么z=2x+y最大值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内点B时，从而得到m 值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5交点为最优解点，∴即为B〔1，1〕，当x=1，y=1时z max=3．应选C．11．某几何体三视图如下图〔均为直角边长为2等腰直角三角形〕，那么该几何体外表积为〔〕A．4+4B．4+4C．6+2D．8【考点】由三视图求面积、体积；简单空间图形三视图．【分析】作出几何体直观图，计算出各面面积．【解答】解：该几何体为三棱锥，作出直观图如下图，那么SC⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=SC=2．∴BC=2，SA=2．AB⊥平面SAC．∴S=+++==4+4．应选A．12．假设，是非零向量，且⊥，||≠||，那么函数f〔x〕=〔x+〕〔x﹣〕是〔〕A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数【考点】平面向量数量积运算．【分析】f〔x〕=x﹣x，因为||≠||，所以f〔x〕=〔〕x，所以函数f〔x〕是一次函数且是奇函数．【解答】解：∵⊥，∴•=0∴f〔x〕=〔x+〕〔xb﹣〕=x﹣x，∴所以f〔x〕=〔〕x所以函数f〔x〕是一次函数且是奇函数应选A．13．假设直线y=x+b与曲线有公共点，那么b取值范围是〔〕A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]【考点】函数与方程综合运用．【分析】此题要借助图形来求参数b取值范围，曲线方程可化简为〔x ﹣2〕2+〔y﹣3〕2=4〔1≤y≤3〕，即表示圆心为〔2，3〕半径为2半圆，画出图形即可得出参数b范围．【解答】解：曲线方程可化简为〔x﹣2〕2+〔y﹣3〕2=4〔1≤y≤3〕，即表示圆心为〔2，3〕半径为2半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心〔2，3〕到直线y=x+b距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知〔舍〕，故当直线过〔0，3〕时，解得b=3，故，应选D．14．正实数a，b满足a b=b a，且0＜a＜1，那么a，b大小关系是〔〕A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能确定【考点】不等式比拟大小．【分析】法一、由a b=b a，得，构造函数y=，求导后利用其单调性分析；法二由0＜a＜1，a b=b a，得blog a a=alog a b，即=log a b，然后利用反证法说明a=b．【解答】解：法一、由a b=b a，得blna=alnb，从而，考虑函数y=〔x＞0〕，y′=．∵在〔0，1〕内f′〔x〕＞0，∴f〔x〕在〔0，1〕内是增函数，由于0＜a＜1，b＞0，∴a b＜1，从而b a=a b＜1．由b a＜1及a＞0，可推出b＜1．由0＜a＜1，0＜b＜1，假设a≠b，那么根据f〔x〕在〔0，1〕内是增函数，得f〔a〕≠f〔b〕，即，从而a b≠b a，这与a b=b a矛盾．∴a=b；法二、∵0＜a＜1，a b=b a，∴blog a a=alog a b，即=log a b，假设a＜b，那么＞1，∵a＜1，根据对数函数性质，得log a b＜log a a=1，从而，这与矛盾，∴a不能小于b假设a＞b，那么＜1，而log a b＞1，这也与矛盾．∴a不能大于b，因此a=b．应选：B．二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共20分)15．cosx﹣sinx=，那么= ．【考点】二倍角余弦．【分析】利用二倍角公式以及两角与正弦函数化简所求表达式，然后求解即可．【解答】解：cosx﹣sinx=，那么==〔cosx﹣sinx〕==．故答案为：．16．〔题类A〕抛物线y=ax2焦点坐标为〔0，〕，那么a= ．【考点】抛物线简单性质．【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后利用焦点坐标求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2标准方程为：x2=y，它焦点坐标为〔0，〕，可得，解得a=．故答案为：．17．计算定积分〔x2+sinx〕dx= ．【考点】定积分．【分析】求出被积函数原函数，再计算定积分值．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．18．假设正实数x，y满足2x+y+6=xy，那么xy最小值是18 ．【考点】根本不等式．【分析】首先左边是xy形式右边是2x+y与常数与形式，考虑把右边也转化成xy形式，使形式统一．可以猜测到应用根本不等式．转化后变成关于xy方程，可把xy看成整体换元后求最小值．【解答】解：由条件利用根本不等式可得，令xy=t2，即t=＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．19．如图，正三棱锥A﹣BCD侧棱长为2，底面BCD边长为2，E，分别为BC，BD中点，那么三棱锥A﹣BEF外接球半径R= 1 ，内切球半径r= 2﹣．【考点】球体积与外表积；球内接多面体．【分析】利用勾股定理求出三棱锥A﹣BEF外接球半径，利用等体积求出内切球半径．【解答】解：设三棱锥A﹣BEF外接球球心为O，那么O在平面BEF 上射影O′为△BEF中心，∴BO′=×=∵A到平面BCD距离为=，∴三棱锥A﹣BEF外接球半径R==1，三棱锥A﹣BEF体积V==，又S=+2×+=2+，∴=〔2+〕r，∴r=2﹣．故答案为：1，2﹣．三、解答题〔本大题共6个小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕.20．甲乙两机床同时加工直径为100mm零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图，请说明哪个机床加工零件较好？甲9910098100103乙9910010299100【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】分别求出两个车床加工零件平均数与方差，由此能判断哪个机床加工零件较好．【解答】解：==100，∴它们有整体水平相当，又==2 .8，==1 .2，∴乙车床相对稳定，故乙车床加工零件相对较好．21．△ABC中，D为边BC上一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．【考点】同角三角函数根本关系运用；正弦定理．【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC范围，因为∠BAD=∠ADC ﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC=＞0，那么∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sinB=，可得cosB=，又由cos∠ADC=，可得sin∠ADC=．从而sin∠BAD=sin〔∠ADC﹣B〕=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==．由正弦定理得，所以AD==．22．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB中点．〔1〕求证：AC⊥SB；〔2〕求二面角S﹣CM﹣A平面角余弦值．【考点】二面角平面角及求法；直线与平面垂直性质．【分析】〔1〕取AC中点O，连结OS、OB，由推导出AC⊥OS，AC⊥OB，由此能证明AC⊥SB．〔2〕平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，从而SO⊥面ABC，过O 作OD⊥CM于D，连结SD，那么∠SDO是二面角N﹣CM﹣B平面角，由此能求出二面角S﹣CM﹣A平面角余弦值．【解答】证明：〔1〕取AC中点O，连结OS、OB，∵SA=SC，∴AC⊥OS，∵BA=BC，∴AC⊥OB，又OS，OB⊂平面OSB，OS∩OB=O，∴AC⊥平面OSB，∴AC⊥SB．解：〔2〕∵平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，∴由面面垂直性质定理，得SO⊥面ABC，过O作OD⊥CM于D，连结SD，由三垂线定理，得SD⊥CM，∴∠SDO是二面角N﹣CM﹣B平面角，又SO=2，OD=1，∴SD==3，∴cos∠SDO=，∴二面角S﹣CM﹣A平面角余弦值为．23．如图，A，B，C坐标分别为〔﹣，0〕，〔，0〕，〔m，n〕，G，O′，H分别为△ABC重心，外心，垂心．〔1〕写出重心G坐标；〔2〕求外心O′，垂心H坐标；〔3〕求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．【考点】向量在几何中应用．【分析】〔1〕根据重心坐标公式即可求出，〔2〕设外心O′，垂心H坐标为〔0，a〕，〔m，b〕，根据向量坐标运算得到=〔m﹣，n〕，D坐标为〔+，〕，=〔+，﹣a〕，=〔m+，b〕，由题意得到由，化简计算得到即，即可求出外心O′，垂心H坐标；〔3〕根据向量坐标运算得到=2，根据向量共线条件即可证明．【解答】解：〔1〕重心G坐标为〔，〕，〔2〕设外心O′，垂心H坐标为〔0，a〕，〔m，b〕，BC中点为D，∵A，B，C坐标分别为〔﹣，0〕，〔，0〕，〔m，n〕，∴=〔m﹣，n〕，D坐标为〔+，〕，∴=〔+，﹣a〕，=〔m+，b〕，由，那么，即，∴外心O′坐标为〔0，〕，垂心H坐标为〔m，〕，〔3〕由〔1〕〔2〕可知=〔，〕，得=2，∴G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．24．数列{a n}是公差d不为0等差数列，a1=2，S n为其前n项与．〔1〕当a3=6时，假设a1，a3，a，a…，a成等比数列〔其中3＜n1＜n2＜…＜n k〕，求n k表达式；〔2〕是否存在适宜公差d，使得{a n}任意前3n项中，前n项与与后n项与比值等于定常数？求出d，假设不存在，说明理由．【考点】数列求与．【分析】〔1〕数列{a n}公差d=，可得：a n=2n．另一方面，a1，a3，a，a…，a成等比数列〔其中3＜n1＜n2＜…＜n k〕，可得q=．利用等比数列通项公式即可得出．〔2〕等差数列{a n}中，S n=n2+•n，可得S3n﹣S2n，令S3n ﹣S2n=λS n，解出即可得出．【解答】解：〔1〕数列{a n}公差d===2．∴a n=2+2〔n﹣1〕=2n，另一方面，a1，a3，a，a…，a成等比数列〔其中3＜n1＜n2＜…＜n k〕，∴q==3．∴═a1•3k+2﹣1=2•n k，∴n k=3k+1．〔2〕等差数列{a n}中，S n=na1+=n2+•n，S3n﹣S2n=﹣=•n2+，令S3n﹣S2n=λS n，那么•n2+=λ[n2+•n]，∴，解得或〔舍去〕．∴d=4，满足题意，且定常数为5．25．〔题类A〕以椭圆+y2=1〔a＞1〕短轴端点A〔0，1〕为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件三角形．【考点】椭圆简单性质．【分析】由题意设出等腰直角三角形两边所在直线方程：l AB：y=kx+1〔k＞0〕，l AC：y=﹣x+1，分别联立直线方程与椭圆方程，求出|AB|，|AC|长度，利用|AB|=|AC|得，k3﹣a2k2+a2k﹣1=0，然后分析方程根情况得答案．【解答】解：设三角形另外两顶点为B，C，不妨设l AB：y=kx+1〔k ＞0〕，l AC：y=﹣x+1．由，得〔1+a2k2〕x2+2ka2x=0，∴|AB|==．同理可得：|AC|=．由|AB|=|AC|得，k3﹣a2k2+a2k﹣1=0，即〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0，解得k=1或k2+〔1﹣a2〕k+1=0．对于k2+〔1﹣a2〕k+1=0，由〔1﹣a2〕2﹣4=0，得a=，此时方程根k=1；当1＜a＜时，方程k2+〔1﹣a2〕k+1=0无实根；当a＞时，方程k2+〔1﹣a2〕k+1=0有两个不等实数根．∴当a＞时，这样三角形有3个；当1＜a≤时这样三角形有1个．26．函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣x，g〔x〕=xlnx．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕最大值；〔Ⅱ〕设0＜a＜b，证明0＜g〔a〕+g〔b〕﹣2g〔〕＜〔b﹣a〕ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数最值；平均值不等式在函数极值中应用．【分析】〔1〕先求出函数定义域，然后对函数进展求导运算，令导函数等于0求出x值，再判断函数单调性，进而可求出最大值．〔2〕先将a，b代入函数g〔x〕得到g〔a〕+g〔b〕﹣2g〔〕表达式后进展整理，根据〔1〕可得到lnx＜x，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立，再用根据y=lnx单调性进展放缩＜．然后整理即可证明不等式右边成立．【解答】〔Ⅰ〕解：函数f〔x〕定义域为〔﹣1，+∞〕．．令f′〔x〕=0，解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f′〔x〕＞0，当x＞0时，f′〔x〕＜0．又f〔0〕=0，故当且仅当x=0时，f〔x〕取得最大值，最大值为0．〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕结论知ln〔1+x〕﹣x＜0〔x＞﹣1，且x≠0〕，由题设，因此ln=﹣ln〔1+〕＞﹣，所以．又，＜．=〔b﹣a〕ln＜〔b﹣a〕ln2综上．。

2015-2016学年广东实验中学等高二(下)期末考试数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年广东实验中学等高二（下）期末考试数学（理）试题一、选择题1．设集合{|06}A x x =≤≤，集合2{|3280}B x x x =+-≤，则A B = （） A ．4[0,]3 B ．4[2,]3- C ．[0,6] D ．[2,6]- 【答案】D【解析】试题分析：由于42,3B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故[]2,6A B ⋃=-．【考点】1．集合交集、并集和补集；2．一元二次不等式．【易错点晴】确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系． 2．若12z i =+，则41izz =-（） A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i 【答案】B【解析】试题分析：22125z z ⋅=+=，故451ii =-．【考点】复数运算．3．设随机变量~(2,9)N ζ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】试题分析：依题意正态分布均值2μ=，故24,3c c c +-==．【考点】正态分布．4．已知实数,x y 满足1x ya a <<（01a <<），则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++B ．22ln(1)ln(1)x y +>+ C ．sin sin x y > D ．22x y > 【答案】A【解析】试题分析：由于1x y a a <<且01a <<，所以222222110,,11,11x y x y x y x y >><+<+>++．【考点】不等式．5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（）A ．24B ．96C ．144D ．210 【答案】B【解析】试题分析：如果1,2连，方法数有4424A =中，同理其它连的方法也有24种，故中的方法数有24496⋅=种．【考点】排列组合．6．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（） A．3-．3+【答案】C【解析】试题分析：因为1321,,22a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，即21112a q a a q=+，2210q q --=，1q =，故()278291078783a a qa a q a a a a ++===+++【考点】等差、等比数列的基本概念．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图分析可知，程序框图的作用是计算()333332log 2log 2log log 22n n --+=<+，即21,1428n n <>+，即15n =．由于程序运行时先1n n =+再进行循环的判断，故取16n =．【考点】算法与程序框图．8．已知函数()sin()f x x ϕ=-且2πϕ<，又230()0,f x d x π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是（） A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π=【答案】A【解析】试题分析：由于()2300f x dx π=⎰，即()f x 图象关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()sin 0,33f x ππϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，()sin()3f x x π=-，代入选项验证可知A 正确．【考点】1．定积分；2．三角函数图象与性质．9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m ），则该四棱锥的体积为（）m 3A ．4B ．73C ．3D ．2 【答案】D【解析】试题分析：底面积为212⋅=，高为3，故体积为12323⋅⋅=．【考点】三视图．10．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为（） A ．43 B ．3 C ．94 D ．53【答案】D【解析】试题分析：设12,PF m PF n ==，依题意有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，前两项平方相减得224949mn b a ab =-=，两边除以2a 得249940,3b b b a a a ⎛⎫-⋅-== ⎪⎝⎭，故53e ==．【考点】双曲线离心率．【思路点晴】求解圆锥曲线的离心率问题，主要考虑方程的思想、圆锥曲线的定义，如椭圆的定义是点到两个定点的距离之和等于常数，并且常数大于两个定点的距离．双曲线是点到两个定点的距离之差的绝对值为常数．本题依题意有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，由此解方程组求得43b a =，进而求出离心率．有的题目还需要结合222a bc =+，或者222c a b =+来求解．11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ，且((0)0)S =，则导函数'()y S t =的图像大致为（）【答案】A【解析】试题分析：五角星向上升起的时候，首先面积缓慢提升，然后突然变大，但是面积提升的速度变换，然后稍微面积提升速度又变快一点，最后面积提升速度变慢．有以上分析过程可知，A 选项正确．【考点】函数图象与性质．12．设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（）A ．)1,0(B ．)2,0(C ．),0(+∞D ．),1(+∞ 【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln .11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭11x >，【考点】1．分段函数；2．函数导数与不等式．【思路点晴】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 的坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，把面积用1x 表示后，可得面积的取值范围．本题的求解是根据题意按部就班一步一步解得结论，这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =-= ；则_____b = ．【答案】【解析】试题分析：2222244410a b a a b b b -=-⋅+=-+= ，解得b =【考点】向量运算．14．72)()(y x y x +-的展开式中63y x 的系数为 (用数字作答)．【答案】0【解析】试题分析：系数为061524272727742350C C C C C C -⋅+⋅=-+=．【考点】二项式定理．15．记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：画出可行域和直线图象如下图所示，注意到直线过定点()1,0-．由图象可知，斜率的取值范围在,AB AC k k 之间，1,42AB AC k k ==，所以取值范围是1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【考点】线性规划．【思路点晴】对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理．线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出所有的限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清．16．在平面内，定点A 、B 、C 、D 满足：==，2-=⋅=⋅=⋅，动点P 、M 满足：AP =1，PM =MC ，则BM的最大值是．【答案】72【解析】试题分析：依题意可知，,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，且AOB AOC BOC ∠=∠=∠ 23π=，故222cos 2,4,23R R R π=-==．由题意可知，P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，各点的坐标分别为()2,0A，(1,B -，(C -，依题意P 在圆()2221x y -+=上，设其坐标为()2cos ,sin P θθ+，故1c 3s i n()2M θ+，3cos sin ,22BM θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2223cos sin 22BM θθ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3712sin 49644πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≤，BM 最大值为72．【考点】向量运算．【思路点晴】本题美妙的考查了向量的几何意义、向量的数量积，数形结合的思想、圆的参数方程，中点坐标公式，两点间的距离公式，三角函数求最值．题目的突破口在于三个向量模相等，并且两两的数量积相等，由此可知,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，由此计算出圆的半径．根据1PA =，实际上P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．先设出P 点的参数方程，然后一步一步求出BM的表达式最终求得其最大值．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知c o s (c 3s i n )c o sC A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若1b c ==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3B π=；（2【解析】试题分析：（1）利用sin sin()C A B =+，化简题目给定的已知条件，得到tan B =3B π=；（2）用余弦定理求出2a =，再利用三角形面积公式求得面积．试题解析：（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即sin sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，所以sin 0tan B B B =⇒=因为0B π<< 所以3B π=（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a =所以11sin 212222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【考点】解三角形．18．正项数列{}n a 的前项和n S 满足:222(1)()0n n S n n S n n -+--+=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221(2)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明:对于任意的*n N ∈，都有564n T <．【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）对222(1)()0n n S n n S n n -+--+=因式分解得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，20,n n S S n n >=+，再根据公式11,1,1n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩求得2n a n =；（2）将2n a n =代入得222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦，利用裂项求和法求得()()221111511646412n T n n ⎡⎤=+--<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦．试题解析：（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦．由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+．当1n =时，112a S ==当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=．综上可知，数列{}n a 的通项公式2n a n =．（2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+．所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦． 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦．【考点】1．数列求通项；2．裂项求和法．19．为了增强环保意识，省实社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加广州市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望．附:2K ＝2()n ad bc - 【答案】（1）有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，2．【解析】试题分析：（1）利用公式计算得22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，故有99%把握；（2）X 的可能取值为0,1,2,3，且X 满足二项分布2~(3,)3X B ，由此求得分布列和期望．试题解析：（1）22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)0.01P K >= 所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．（2）X 的可能取值为0，1，2，3 271)31()0(3===X P ，92)31)(32()1(213===C X P94)32)(31()2(223===C X P278)32()3(3===X P所以的分布列为：因为2~(3,)3X B ，所以2()323E X np ==⨯= 【考点】1．独立性检验；2．二项分布．20．已知梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，12EF DE BD ==，2BD BC CD =====，DE BC ⊥．A BCDEF（1）求证：DE ABCD ⊥平面；（2）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）第一问利用面面垂直的性质定理来证明，连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD = AC BD ∴⊥，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BD EF ，DE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥，又D E B C ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面A B C D ；（2）以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面AEF 与平面CEF 的法向量来求二面角的余弦值．试题解析：（1）连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD =AC BD ∴⊥因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BDEFDE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥又DE BC ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面ABCD （2）1//,,2EF BD EF BD =且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形 //,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),C(1,1),F(0,0,1)A - 设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，由00m AF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(1,0,1)m = 设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =，由00n CF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,0,n =所以cos ,m n m n m n⋅<>==即平面AEF 与平面CEF【考点】空间向量法求面面角的余弦值．21．已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =且其中一个焦点与抛物线214y x=的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x +=；（2）存在一个定点()1,0T 满足条件．【解析】试题分析：（1）注意到焦点在y 轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，依题意2c a =，焦点为()0,1，求得椭圆方程为2212y x +=；（2）若直线l 与x 轴重合则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，这两个圆都过()1,0T ．当直线l 不垂直于x轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线的方程和椭圆的方程，计算得0TA TB ⋅= ，故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件．试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，离心率2c e a ==，又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===， ∴椭圆C 的方程是2212y x +=．（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0．因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0．当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=．设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,=TA TB ∴⊥，即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T ．故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件．【考点】直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】第一问中，题目给了两个条件，一个是离心率为2c e a ==，另一个条件是过抛物线的焦点．通过分析可以知道，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，所以椭圆的交点也在在y 轴的正半轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>．在求圆锥曲线方程的时候，要特别注意题目中隐藏的焦点所在位置的条件． 22．已知函数)(,ln )(2R a x x a x f ∈-=．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若1>x 时，0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x f y =上的两个不同点，满足210x x <<，且),(213x x x ∈∃，使得曲线)(x f y =在3x x =处的切线与直线AB 平行，求证：2213x x x +<．【答案】（1）当0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a；（2）e a 2≤；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）先求得定义域0x >，然后求导xa x x x a x f +-=-=2'22)(，对a 分成两类来讨论()f x 的单调区间；（2）当1x >时，2()ln 0f x a x x =-≤等价于2ln x a x ≤，令()2ln x h x x=，利用到处求得()2h x e ≥，故2a e ≤；（3）先求得直线AB的斜率332AB ak x x =-，∵x x a x f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>，即证2ln 11121212>-+x x x x x x ，令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立，最后通过构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t t F 来证明．试题解析：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2∴xax x x a x f +-=-=2'22)(；当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数；当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <<，∴)(x f 在)22,0(a 上是增函数； ⇒<0)('x f 22a x >，∴)(x f 在)22(∞+，a上是减函数；综上所得， 0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a ；（2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞， ∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意；当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a； ①若122≤a，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意； ②当122>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a f ，即0)22(22ln2≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意；综上所得，a 的取值范围是e a 2≤；（3）∵12121212122112221212))((ln)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB-+--=----=--==)(ln 121212x x x xx x a +--；又∵333'2)(x x a x f -=，∴331212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ∵x xax f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>，即证：)(2)(ln 2121121212x x x x a x x x x x x a +-+>+--，即证：2ln 121221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121212>-+x x x x x x 令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，0111)(,11ln )(22'''>-=-=-+=tt t t t F tt t F∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立，即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2213x x x +<得证．【考点】1．函数导数与单调区间；2．函数导数与不等式．【方法点晴】本题第一问考查分类讨论函数的单调性，导数为xax x x a x f +-=-=2'22)(，我们观察它的分子，分子是一个二次函数，且开口向下，那么单调区间只要分成两类就可以解决．分类讨论的问题，关键在于如何得到完整的分类标准．二次函数的分类标准主要在于二次项系数、对称轴、两个根的大小关系．制定分类标准要做到不重不漏．。

2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案

2015-2016学年度第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ）求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ）求证：AC ⊥PB ；（II ）求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ）求p 的值；（II ）设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ）求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132）说明：1.第9题，答对一个空给3分。

2015-2016学年广东省广州市五校高二上学期期末理科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年广东省广州市五校高二上学期期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：182分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若函数的定义域为实数集R,满足(是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,且,则的值域为( )A ．B ．C ．D ．2、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（）A ．B ．C ．D ．3、已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于( )A ．B ．C ．D ．4、如图，若程序框图输出的是126，则判断框①中应为( )A ．B ．C ．D ．5、设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A ．若,,,则B ．若,,,则C ．若,,,则D ．若,,,则6、函数y ＝sin (2x ＋)的图像可由函数y ＝sin 2x 的图像( )A ．向左平移个单位长度而得到B ．向右平移个单位长度而得到C ．向左平移个单位长度而得到D ．向右平移个单位长度而得到7、等差数列的前n 项和为,若，则的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．1408、已知直线与直线平行，，则是的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分又非必要条件9、下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B ．线性回归直线方程恒过样本中心，且至少经过一个样本点．C ．命题“使得”的否定是：“均有”．D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题．10、已知向量．若为实数，，则( )A ．B ．C ．D ．11、函数的定义域是( ) A ．B ．C ．D ．12、设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为 ( )A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、设二次函数的值域为，则的最大值为_________．14、已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是_________．15、设满足约束条件,则的最大值是________．16、如图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．三、解答题（题型注释）17、设，函数．（Ⅰ）若，求函数在区间上的最大值；（Ⅱ）若，写出函数的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．18、给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）过点作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．19、如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，,平面平面。

2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试(数学)

1 / 3秘密★启用前 2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.已知全集 U 二｛1,2,3,4,5｝,集合 A —1,3 ?,,则 Q A =( C. ：2,4,5? ,则 tan ：=( 3 C.— 4 A . .一 B. (1,3? 2. 已知点P(3,/)是角〉终边上的一点4 3 A . B. 3 4D. “23,4,5 / 4 D.3 3. 若直线y =ax • 3与直线讨二-2x a 垂直，则实数a 的值为( 1C.2 9的矩形框，不考虑焊接损耗 C. 6A . -2 B. 24. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为 A .24 B. 1 25. 如图1,在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P,分别以 1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四段弧所围成的封闭区域记为 P 取自区域M 的概率是( ) Ji A .2 JiC.1 - 46. 某几何体的三视图 ( )1 A . 61C.— 2 函数 f(x) =£x - ) 1D.-2 ，则需要铁丝的长度至少为( B. D. JI 4 JI 1 -—2 则该几何体的体积为 7. (均为直角三角形)及其尺寸如图 2所示, B. D. 2 2的零点所在的区间为 x 图i 1 j A 0 — I — ・..,2 - .2，已知等差数列｛a n ｝的首项为4,公差为 —的前n 项和为( S nn A .2(n 1)在长方形 ABCD 中，AB=2, AD=1, A . 4 B. 210.设函数f x 的定义域为R,若存在与x 无关的正常数 f x 为有界泛函.有下面四个函数：B. 1,1C. 8. 9. B. 3 1 - I ，2 4,其前n 项的和为 D. i 2S n ,则数 2n (n 1)^ 贝U AC CD =( C. -2 C. n(n 1) D.2n n 1M, D. _4使f(x)乞M x 对一切实数x 恒成立，则称x18.2 / 3① f (x) =1;② f(x) =x 2； ③ f (x) = 2xsin x ；其中属于有界泛函的是A.①② ( )B.③④C.①③D.②④二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分20分. 11.已知幕函数 f (x) 的图象过点 2, 2 ,则函数f(x) 的定义域是 1 1 12•如图3,给出的是计算S =1 2 3 框图，当程序结束时，n 的值为 ________ 13.已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(2,4,0),B(2,0,3) , C(2,2, z),若.C =90；,则 z 的值为 x E3, I 2 2 14.设实数x, y 满足x-y ，2_0,则x ，y 的 x y -4 _0, 1 丄值的一个程序n 取值范围是三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程 15.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知A(3,1), C(1,0) (1) 求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；(2) 若直线I 的方程为x -2y • 9 = 0,判断直线I 与圆C 的位置关系，并说明理由. 16.(本小题满分12分) 已知函数 f(x) =sin x 「/3cosx, R . (1)求函数f (x)的的最小正周期； 6a € 1(0— I-，，2， (2)若 f -匸 I 3丿5 17.(本小题满分14分) 对某校高二年级学生参加社区服务系数惊醒统计社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下求f 2： -3的值- ,随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加分组频数频率[3, 6) 10 m [6, 9) n P [9, 12)4 q [12, 15)2 0.05合计N1(1) 求赋中目N , p ,及图中的a 的值; (2) 在所取样本中，从参加社区服务的次数不于9次的学生中任选服务次数在区间小题满分 (本小12 14分)2人，求至少有一人参加社 ,15内的概率•次数如图4所示,AB 是O O 的直径，点C 是O O 圆周上不同于 A 、B 的任意一点,PA 丄平面ABC,点E 是线段3 / 3PB 的中点，点M 在AB 上,且MO//AC .（1）（2）19. (1) (2) (3) 求证:BC 丄平面FAC; 求证:平面EOM //平面FAC. （本小题满分14分）已知数列:a n ?满足a 1 =1, a n “ =a, d, a ?2, a 3成等差数列. 求■的值；求数列fa n ?的通项公式； 2n 20. 设数列:b n ?满足b n 口 a n +3 （本小题满分14分）设a 为常数，a • R ,函数f （x ） 2证明: =x 2|x - a | 1, x ：= R. （1）若函数f （x ）是偶函数，求实数a 的值; （2）求函数f （x ）的最小值.。

广东省广州市执信中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

广东省广州市执信中学2021 -2021学年高二数学下学期期末考试试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.〕 1.设集合{0,1,2,3}A =，{1,2,3}B =，那么A B =〔〕A ．{0,1,2,3}B ．{0,3}C ．{}3,2,1D ．φ 【答案】C 【解析】试题分析：由{0,1,2,3}A =，{1,2,3}B =，得{}3,2,1=⋂B A ，应选C. 考点：交集运算.2.i 是虚数单位，那么(2)(3)i i ++=〔〕A ．55i -B ．55i +C ．75i -D ．75i + 【答案】B 【解析】试题分析：()()i i i 5532+=++,应选B. 考点：复数运算.3.先后抛掷质地均匀硬币三次，那么至少一次正面朝上概率是〔〕A ．18 B ．38C ．58D ．78【答案】D考点：互斥事件与对立事件.0:1p x ∃>，使得20210x x -+-≥，那么p ⌝为〔〕 A ．1x ∀>，使得2210x x -+-≤ B ．01x ∃>，使得200210x x -+-< C ．1x ∀>，使得2210x x -+-< D ．1x ∀≤，使得2210x x -+-< 【答案】C 【解析】试题分析：由特称命题否认是全称命题可得：命题0:1p x ∃>，使得200210x x -+-≥否认为1x ∀>，使得2210x x -+-<，应选项为C.考点：全称命题与特称命题否认.5.如下图，一个空间几何体正视图与侧视图都是边长为1正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体外表积是〔〕A ．πB ．32πC ．2πD ．52π【答案】B 【解析】考点：由三视图求面积、体积.n S 为等比数列{}n a 前n 项与，2580a a +=，那么52S S =〔〕 A ．11 B ．5 C ．-8 D ．-11 【答案】D试题分析：设公比为q ，由2580a a +=，得08322=⋅+q a a ，解得2-=q ，所以．应选D ．考点：等比数列前n 项与.sin ()y x x R =∈图象上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点横坐标伸长到原来2倍〔纵坐标不变〕，得到图象函数表达式为〔〕 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】8.函数图象大致为〔〕【答案】A 【解析】试题分析：令，∵()()()x f xx x f xx x x -=-=--=---226cos 226cos ，∴函数为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除C ，D ；又当+→0x ，+∞→y ，故可排除B ；应选A ．考点：〔1〕余弦函数图象；〔2〕奇偶函数图象对称性.111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 中心，那么AD与平面11BB C C 所成角大小是〔〕A ．030B ．045C ．060D ．090 【答案】C 【解析】考点：空间中直线与平面之间位置关系.,a b ，定义a b ⊗算法原理如程序框图所示，设a 为函数223()y x x x R =-+∈ 最小值，b 为抛物线28y x =焦点到准线距离，那么计算机执行该运算后输出结果是〔〕A ．23B ．32C ．72D ．12【答案】B 【解析】【思路点晴】此题主要考察了选择构造，根据流程图分析出计算类型是解题关键，属于根底题．分析程序中各变量、各语句作用，再根据流程图所示顺序，可知：该程序作用是计算并输出分段函数函数值，由可求函数223()y x x x R =-+∈最小值2=a ，抛物线28y x =焦点到准线距离4=b ，即可得解．12,e e 对任意实数λ都有，那么向量12,e e 夹角为〔〕A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】C 【解析】试题分析：设单位向量12,e e 夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即θλθ2cos 41222212221e e e e -+≤++，即θλλθcos 21cos 4112-+≤++，即0cos 41cos 22≥⎪⎭⎫⎝⎛+--θθλλ恒成立，∴0cos 414cos 42≤⎪⎭⎫⎝⎛++=∆θθ，整理可得，再由可得，∵[]πθ,0∈，∴应选：C.考点：数量积表示两个向量夹角.R 函数()f x 对任意x 都有(2)(2)f x f x +=-，且其导函数'()f x 满足，那么当24a <<，有〔〕A ．2(2)(log )(2)a f f a f <<B ．2(log )(2)(2)a f a f f <<C ．2(2)(2)(log )a f f f a <<D ．2(log )(2)(2)a f a f f << 【答案】A 【解析】【方法点晴】此题主要考察了导数运算，以及奇偶函数图象对称性与比拟大小，同时考察了数形结合思想，该题有一定思维量，属于根底题之列．先根据条件求出函数对称轴为2=x ，根据x -2符号，再求出函数单调区间，然后判定2、a 2log 、a 2大小关系，根据单调性结合图象比拟()2f 、()a f 2log 、()a f 2大小即可．第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分．〕13.双曲线渐近线方程为____________. 【答案】x y 3±= 【解析】试题分析：令方程右边为0，得，即x y 3±=，故答案为x y 3±=. 考点：双曲线性质.ax y e =在点(0,1)处切线与直线310x y ++=垂直，那么a =___________.【答案】3 【解析】()f x 在某点()00,y x 处切线步骤：①对()f x 求导；②求()0x f '值；③利用点斜式得到切线方程()()000x x x f y y -'=-，结合与直线310x y ++=垂直，利用斜率之积为1-，得结果.15.假设变量,x y 满足约束条件，且2z x y =+最小值为6-，那么k =____________.【答案】2- 【解析】试题分析：作出不等式对应平面区域，〔阴影局部〕由y x z +=2，得z x y +-=2，平移直线z x y +-=2，由图象可知当直线z x y +-=2经过点A时，直线z x y +-=2截距最小，此时z 最小．目标函数为62-=+y x ，由，解得，即()2,2--A ，∵点A 也在直线k y =上，∴2-=k ，故答案为：2-．考点：简单线性规划.16.对大于或等于2自然数3次方可以做如下分解：33235,37911=+=++，3413151719=+++，根据上述规律，310分解式中，最大数是____________. 【答案】109 【解析】【方法点晴】归纳推理一般步骤是：〔1〕通过观察个别情况发现某些一样性质；〔2〕从一样性质中推出一个明确表达一般性命题〔猜测〕．注意观察各个数分解时特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续奇数之与；当底数是3时，可以分解成三个连续奇数之与．那么当底数是4时，可分解成4个连续奇数之与，进而求出32到310分解式用奇数个数，进而求出答案．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=. 〔1〕求数列{}n a 通项公式；〔2〕设，求12310b b b b ++++值.【答案】〔1〕2+=n a n ；〔2〕3910. 【解析】〔2〕∵2n a n =+，∴11111(2)(3)23n n n b a a n n n n +===-++++ 考点：〔1〕等差数列通项公式；〔2〕数列求与. 18.〔本小题总分值12分〕空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够浓护问题.当空气污染指数〔单位：3/g m μ〕为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状年8月某日某省x 个监测点数据统计如下：〔1〕根据所给统计表与频率分布直方图中信息求出,x y 值，并完成频率分布直方图；〔2〕在空气污染指数分别为50~100与150~200监测点中，用分层抽样方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A “两个都为良〞发生概率是多少？【答案】〔1〕100x =，35y =；〔2〕53. 【解析】频率分布直方图如下图：19.〔本小题总分值12分〕如图，直角三角形ABC 中，060A =，沿斜边AC 上高BD ，将ABD ∆折起到PBD ∆位置，点E 在线段CD 上.〔1〕求证：PE BD ⊥；〔2〕过点D 作DM BC ⊥交BC 于点M ，点N 为PB 中点，假设//PE 平面DMN ，求DEDC值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕31. 【解析】【方法点晴】此题考察了空间中平行与垂直关系应用问题，也考察了空间想象能力与逻辑推理能力应用问题，是综合性题目．在第一问中主要通过线面垂判定定理得到线面垂直，然后得到线线垂直，线线垂直与线面垂直之间互化是在证明垂直过程中常用手段；在第二问中首先根据线面平行性质定理，得到//PE NF ，根据长度与角关系得到DEF ∆是等边三角形，可得解. 20.〔本小题总分值12分〕如图，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点〔点M 在点N 下方〕，且〔1〕求圆C 方程；〔2〕过点M 任作一条直线与椭圆相交于两点,A B ，连接,AN BN ，求证：ANM BNM ∠=∠.【答案】〔1〕22525(2)()24x y -+-=；〔2〕证明见解析.【解析】考点：直线与圆方程应用.【方法点晴】此题考察了圆方程求法及圆锥曲线与直线交点问题，化简比拟复杂，通过根与系数关系简化运算，要细心，属于中档题．第一问中利用常见弦长一半，圆半径以及圆心到弦距离构成直角三角形，从而求得圆方程；第二问中把角相等转化为两直线斜率之与为0,通过联立直线方程与椭圆方程，根据维达定理，利用整体代换得到结果. 21.〔本小题总分值12分〕函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠. 〔1〕求函数()f x 极值；〔2〕假设对于任意[1,2]a ∈，假设函数23'()[2()]2x g x x m f x =+-在区间(,3)a 上有最值，求实数m 取值范围.【答案】〔1〕当0a <时，()f x 无极值，当0a >时，()f x 有极大值，无极小值；〔2〕. 【解析】∴()f x 在(0,)+∞单调增，()f x 无极值；当0a >时，由得：，那么得：，∴()f x 在上单调递增，在上单调递减. ∴()f x 极大值，无极小值. 综上：当0a <时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值，无极小值.〔2〕23'32()[2()]()22x m g x x m f x x a x x =+-=++-，考点：〔1〕利用导数研究函数单调性；〔2〕导数在最大值、最小值问题中应用.【方法点晴】此题是个中档题．考察利用导数研究函数单调性与最值问题，表达了对分类讨论与化归转化数学思想考察，特别是问题〔2〕设置很好考察学生对题意理解与转化，创造性分析问题、解决问题能力与计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程'()0g x =在(,3)a 上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为'22()3(2)1510g a a m a a a ma =++•-=+-<恒成立，利用别离参数得解.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.解答时请写清题号.22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 直径，AC 是弦，BAC ∠平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F .〔1〕求证：DE 是圆O 切线；〔2〕假设060CAB ∠=，圆O 半径为2，1EC =，求DE 值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕DE =【解析】考点：与圆有关比例线段.23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l参数方程为〔t为参数〕，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆=.C极坐标方程为ρθ〔1〕写出圆C直角坐标方程；〔2〕P为直线l上一动点，当P到圆心C距离最小时，求P直角坐标.【答案】〔1〕22+-=；〔2〕(3,0).(3x y【解析】〔2〕设，又C，那么PC==故当0t=时，PC取得最小值，此时P点坐标为(3,0)考点：〔1〕点极坐标与直角坐标互化；〔2〕直线与圆位置关系.。

广东省广州市执信中学2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)

2021 -2021学年广东省广州市执信中学高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1} 2．复数〔1+i〕z=2﹣3i〔i为虚数单位〕，那么z在复平面内对应点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a16值是〔〕A．22 B．16 C．15 D．184．角θ顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x 上，那么cos2θ﹣sin2θ等于〔〕A．﹣B．﹣C．D．5．如下图，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径半圆弧上随机取一点B，那么△AOB面积小于概率为〔〕A．B．C．D．6．某几何体三视图如下图，那么此几何体体积是〔〕A．πB．6πC．πD．π7．函数y=2x﹣x2图象大致是〔〕A．B．C．D．8．执行程序框〔如图〕，如果输入N=10．那么输出s=〔〕A． B．C．D．9．设0＜b＜a＜1，c＞1，那么〔〕A．ab＜b2＜bc B．alog b c＜blog a cC．ab c＞ba c D．log a c＜log b c10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成角余弦值为〔〕A． B．C．D．11．如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕焦点F直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线方程为〔〕A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x12．我们把形如y=〔a＞0，b＞0〕函数称为“莫言函数〞，其图象与y轴交点关于原点对称点称为“莫言点〞，以“莫言点〞为圆心且与“莫言函数〞图象有公共点圆称为“莫言圆〞，当a=b=1时，“莫言圆〞面积最小值是〔〕A．2πB．C．eπD．3π二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．设向量=〔m，1〕，=〔1，3〕，且•〔﹣〕=0，那么m= ．14．△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，那么∠ACB= ．15．〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数为﹣26，那么实数a值为．16．实数x，y满足不等式组，那么取值范围是．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}前n项与为S n，a n=，n∈N*．〔1〕求通项公式a n及S n；〔2〕设b n=|a n﹣10|，求数列{b n}前n项与T n．18．在如下图几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，，且M是BD中点．〔1〕求证：EM∥平面ADF；〔2〕求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求二面角D﹣AF﹣B大小．19．为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁公务员，得到情况如表：〔1〕完成表格，并判断是否有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞，并说明理由；〔2〕现把以上频率当作概率，假设从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎概率．〔2〕15位有意愿生二胎女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请2人中来自省女联人数为X，求X公布列及数学期望E〔X〕．男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：P〔k2≥k0〕k020．设椭圆C：=1〔a ＞〕右焦点为F，右顶点为M ，且+=，〔其中O为原点〕，e为椭圆离心率．〔1〕求椭圆C方程；〔2〕假设过点F直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N ，使得•为定值？如果有，求出点N坐标及相应定值；如果没有，请说明理由．21．函数f〔x〕=e x﹣kx+k〔k∈R〕．〔1〕试讨论函数y=f〔x〕单调性；〔2〕假设该函数有两个不同零点x1，x2，试求：〔i〕实数k取值范围；〔ii〕证明：x1+x2＞4．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C极坐标方程是ρ=4sin〔θ﹣〕，直线l参数方程是〔t 为参数〕．〔1〕将曲线C极坐标方程转化为直角坐标方程；〔2〕设直线l与x轴交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=m﹣|x﹣3|，不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；〔1〕求实数m值；〔2〕假设关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立，求实数a取值范围．2021 -2021学年广东省广州市执信中学高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式解集确定出A，找出A与B交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：〔x﹣1〕〔x+2〕＜0，解得：﹣2＜x＜1，即A={x|﹣2＜x＜1}，∵B={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，应选：B．2．复数〔1+i〕z=2﹣3i〔i为虚数单位〕，那么z在复平面内对应点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数表示法及其几何意义；复数代数形式乘除运算．【分析】根据复数运算法那么先化简z，然后根据复数几何意义进展判断即可．【解答】解：∵〔1+i〕z=2﹣3i，∴z====﹣i，对应坐标为〔﹣，〕位于第三象限，应选：C3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a16值是〔〕A．22 B．16 C．15 D．18【考点】等差数列通项公式．【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a16．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，解得d=，a1=﹣，∴a16=a1+15d=﹣+=22．应选：A．4．角θ顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x 上，那么cos2θ﹣sin2θ等于〔〕A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角三角函数定义．【分析】在直线y=2x上除了原点外任意取一点〔a，2a〕，那么r=|a|，求得cos2θ 与sin2θ 值，即可求得cos2θ﹣sin2θ 值．【解答】解：在直线y=2x上除了原点外任意取一点〔a，2a〕，那么r=|a|，∴cos2θ==，∴sin2θ==，∴cos2θ﹣sin2θ=﹣，应选：B．5．如下图，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径半圆弧上随机取一点B，那么△AOB面积小于概率为〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用OA=1，△AOB面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB面积小于概率．【解答】解：∵OA=1，△AOB面积小于，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB面积小于概率为=．应选：A．6．某几何体三视图如下图，那么此几何体体积是〔〕A．πB．6πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是由上半局部为半圆锥，下半局部为半圆柱组成几何体，根据三视图数据求半圆柱与半圆锥体积，再相加．【解答】解：由三视图知几何体是由上半局部为半圆锥，下半局部为半圆柱组成几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥底面圆半径为2，圆锥高为2，圆柱高为1，∴几何体体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．应选C．7．函数y=2x﹣x2图象大致是〔〕A．B．C．D．【考点】函数图象与图象变化．【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数零点2，4；函数特殊函数值f〔﹣2〕符号加以解决即可．【解答】解：因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C；当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D，所以选A．8．执行程序框〔如图〕，如果输入N=10．那么输出s=〔〕A． B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句作用，再根据流程图所示顺序，可知：该程序作用是利用循环计算s值并输出，模拟程序运行过程，即可得到答案．【解答】解：由中N=10．第一次执行循环体后，p=1，s=1，k=2，满足继续循环条件；第二次执行循环体后，p=3，s=1+=，k=3，满足继续循环条件；第三次执行循环体后，p=6，s=+=，k=4，满足继续循环条件；第四次执行循环体后，p=10，s=+=，k=5，满足继续循环条件；第五次执行循环体后，p=15，s=+=，k=6，满足继续循环条件；第六次执行循环体后，p=21，s=+=，k=7，满足继续循环条件；第七次执行循环体后，p=28，s=+=，k=8，满足继续循环条件；第八次执行循环体后，p=36，s=+=，k=9，满足继续循环条件；第九次执行循环体后，p=45，s=+=，k=10，不满足继续循环条件；故输出结果为：应选：C9．设0＜b＜a＜1，c＞1，那么〔〕A．ab＜b2＜bc B．alog b c＜blog a cC．ab c＞ba c D．log a c＜log b c【考点】不等式根本性质．【分析】分别根据幂函数指数函数对数函数单调性，可以排除ABC，问题得以解决．【解答】解：∵0＜b＜a＜1，c＞1，∴ab＞b2，b2＜bc，故A错误，∴0＞log b c＞log a c，故D正确，∴alog b c＞alog a c＜blog a c，故B无法比拟，又∵y=xα〔α＞0〕在〔0，+∞〕为增函数，∴a c＞b c，∴aa c＞ab c＞bb c＜ab c，故C无法比拟，应选：D10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成角余弦值为〔〕A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成角．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，如图：BC 中点为O，连结ON，，那么MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．应选：C．11．如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕焦点F直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线方程为〔〕A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x【考点】抛物线标准方程．【分析】分别过点A，B作准线垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段性质可求得p，那么抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，那么由得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．应选D．12．我们把形如y=〔a＞0，b＞0〕函数称为“莫言函数〞，其图象与y轴交点关于原点对称点称为“莫言点〞，以“莫言点〞为圆心且与“莫言函数〞图象有公共点圆称为“莫言圆〞，当a=b=1时，“莫言圆〞面积最小值是〔〕A．2πB．C．eπD．3π【考点】函数图象．【分析】根据中关于“莫言函数〞，“莫言点〞，“莫言圆〞定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点〞坐标，并设出“莫言圆〞方程，根据两点距离公式求出圆心到“莫言函数〞图象上点最小距离，即可得到结论．【解答】解：当a=1且b=1时，函数“莫言函数〞为y=图象与y轴交于〔0，﹣1〕点，那么“莫言点〞坐标为〔0，1〕．令“莫言圆〞标准方程为x2+〔y﹣1〕2=r2，令“莫言圆〞与函数y=图象左右两支相切，那么可得切点坐标为〔，〕与〔﹣，〕，此时“莫言圆〞半径r=；令“莫言圆〞与函数图象下支相切，此时切点坐标为〔0，﹣1〕．此时“莫言圆〞半径r=2；故所有“莫言圆〞中，面积最小值为3π．应选：D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．设向量=〔m，1〕，=〔1，3〕，且•〔﹣〕=0，那么m= ﹣1或2 ．【考点】平面向量数量积运算．【分析】可先求出坐标，这样进展向量数量积坐标运算由=0即可建立关于m方程，解出m即可．【解答】解：；∴m=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．14．△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，那么∠ACB= ．【考点】正弦定理．【分析】由利用三角形面积公式可求AB，进而由余弦定理可得BC，由余弦定理可得cos∠ACB=，结合范围∠ACB∈〔0，π〕，即可得解∠ACB=．【解答】解：∵△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，∴=×2×AB×sin，可得：AB=1，∴由余弦定理可得：BC===，∴由余弦定理可得：cos∠ACB===，∵∠ACB∈〔0，π〕，∴∠ACB=．故答案为：．15．〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数为﹣26，那么实数a值为3或．【考点】二项式定理应用．【分析】把〔1﹣2x〕5与〔1+ax〕4分别利用二项式定理展开，可得〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数，再根据x2系数为﹣26，求得a值．【解答】解：∵〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4=〔1﹣10x+40x2+ (32x5)•〔1+4ax+6a2x2+4a3x3+a4x4〕展开式中x2系数为﹣26，∴6a2﹣10•4a+40=6a2﹣40a+40=﹣26，即3a2﹣20a﹣38=0，求得实数a=3或a=，故答案为：3或．16．实数x，y满足不等式组，那么取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数性质结合换元法设t=，进展转化，然后作出不等式组对应平面区域，利用线性规划知识进展求解即可．【解答】解：==+﹣2，设t=，那么=t+﹣2，作出不等式组对应平面区域如图：那么t=几何意义是区域内点到原点斜率，由图象知OC斜率最小，OB斜率最大，由得，即B〔1，3〕，此时OB斜率t==3，由得，即C〔3，1〕，此时OC斜率t=，即≤t≤3，∵y=t+﹣2在≤t≤1上递减，在1≤t≤3递增，∴当t=1时，函数取得最小值y=1+1﹣2=0，当t=3或时，y=+3﹣2=，即0≤y≤，即取值范围是，故答案为：．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}前n项与为S n，a n=，n∈N*．〔1〕求通项公式a n及S n；〔2〕设b n=|a n﹣10|，求数列{b n}前n项与T n．【考点】数列求与；数列递推式．【分析】〔1〕a n=，那么a n+1=，a n﹣1﹣a n==，整理a n﹣1=3a n，当n=1时，求得a1，求得数列{a n}是等差数列，即可求得数列{a n}通项公式a n及S n；〔2〕求得b n通项公式，分别求得当n≤3时及当n≥4时数列{b n}前n项与T n．【解答】解：〔1〕由题意，a n=，n∈N*，那么a n+1=，作差得：a n+1﹣a n==，化简得：a n+1=3a n，又n=1时，a1==，解得a1=1，故数列{a n}是首项为1，公比为3等比数列，那么a n=3n﹣1，S n==；〔2〕a n﹣10=3n﹣1﹣10，那么b n=|a n﹣10|=，当n≤3时，T n=10n﹣=10n﹣，当n≥4时，T n=T3+﹣10〔n﹣3〕=17+﹣10+30=综上那么T n=．18．在如下图几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，，且M是BD中点．〔1〕求证：EM∥平面ADF；〔2〕求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求二面角D﹣AF﹣B大小．【考点】二面角平面角及求法；直线与平面平行判定；直线与平面所成角．【分析】〔1〕取AD中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行判定定理，证出EM∥平面ADF；〔2〕取AB中点G，连接FG，DG，可得∠FDG为直线DF与平面ABCD所成角，从而可求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求出平面ADF、平面EBAF一个法向量，利用向量夹角公式，可求二面角D﹣AF﹣B大小．【解答】解：〔1〕取AD中点N，连接MN，NF．在△DAB中，M是BD中点，N是AD中点，∴MN∥AB，MN=AB．又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN∥EF且MN=EF，∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF；〔2〕取AB中点G，连接FG，DG，那么FG∥EB，FG=∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∴∠FDG为直线DF与平面ABCD所成角∵BC=，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3∵BG=1，∴DG=∴tan∠FDG===；〔3〕因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz．由可得B〔0，0，0〕，A〔0，2，0〕，D〔3，0，0〕，F〔0，1，〕∴=〔3，﹣2，0〕，=〔0，﹣1，〕．设平面ADF一个法向量是=〔x，y，z〕．由，得，令y=3，那么=〔2，3，〕因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．∴=〔3，0，0〕是平面EBAF一个法向量．∴cos ＜＞==∵二面角D﹣AF﹣B为锐角，∴二面角D﹣AF﹣B大小为60°19．为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁公务员，得到情况如表：〔1〕完成表格，并判断是否有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞，并说明理由；〔2〕现把以上频率当作概率，假设从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎概率．〔2〕15位有意愿生二胎女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请2人中来自省女联人数为X，求X公布列及数学期望E〔X〕．男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：P〔k2≥k0〕k0【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量期望与方差．【分析】〔1〕直接利用k2运算法那么求解，判断生二胎意愿与性别是否有关结论．〔2〕利用独立重复试验真假求解所求结果即可．〔3〕求出X可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】解：〔1〕由于=＜6.635．故没有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞．〔2〕由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿概率为=，无意愿概率为=，记事件A：这三人中至少有一人要生二胎，且各人意愿相互独立那么P〔A〕=1﹣=1﹣=．答：这三人中至少有一人有意愿生二胎概率为：．〔3〕X可能取值为0，1，2P〔X=0〕==；P〔X=1〕==；P〔X=2〕==．X012PE〔X〕==20．设椭圆C：=1〔a＞〕右焦点为F，右顶点为M，且+=，〔其中O为原点〕，e为椭圆离心率．〔1〕求椭圆C方程；〔2〕假设过点F直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N坐标及相应定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆简单性质．【分析】〔1〕由题意求得a2=c2+3及|OF|、|OM|、|FM|，并代入+=，即可求得a值，即可求得椭圆方程；〔2〕直线l斜率存在时，设其方程为y=k〔x﹣1〕，A〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积坐标表示，结合条件能求出存在点N〔，0〕满足•=﹣．【解答】解：〔1〕由题意可知：焦点在x轴上，由a2=c2+3∴丨OF丨=c=，丨OM丨=a，丨FM丨=a﹣c=a﹣，e==由+=，即：+=，∴a[a2﹣〔a2﹣3〕]=3a〔a2﹣3〕，解得a=2．∴椭圆C方程；〔2〕由〔1〕可知：c=1，当直线l斜率存在时，设其方程为y=k〔x﹣1〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，将椭圆方程代入椭圆方程：，整理得：〔3+4k2〕x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，x1+x2=，x1•x2=，假设存在定点N〔m，0〕满足条件，那么有•=〔x1﹣m〕〔x2﹣m〕+y1y2，=m2﹣m〔x1+x2〕+k2〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕，=〔1+k2〕x1•x2﹣〔m+k2〕•〔x1+x2〕+k2+m2，=﹣+k2+m2，如果要上式为定值，那么必须有=⇒m=，证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N〔，0〕满足•=﹣．21．函数f〔x〕=e x﹣kx+k〔k∈R〕．〔1〕试讨论函数y=f〔x〕单调性；〔2〕假设该函数有两个不同零点x1，x2，试求：〔i〕实数k取值范围；〔ii〕证明：x1+x2＞4．【考点】利用导数研究函数单调性．【分析】〔1〕求出函数导数，通过讨论k范围求出函数单调区间即可；〔2〕〔i〕结合题意得到k＞0时，函数单调性，从而求出k范围即可；〔ii〕先求出两个根范围，问题转化为数x2﹣x1=ln〔x2﹣1〕﹣ln〔x1﹣1〕，令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，问题转化为证明y1+y2＞2，即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，根据函数单调性证明即可．【解答】解：〔1〕由f〔x〕=e x﹣kx+k，〔k∈R〕，那么f′〔x〕=e x ﹣k，讨论：假设k≤0，那么f′〔x〕＞0，故f〔x〕在定义域上单调递增；假设k＞0，令f′〔x〕＞0，解得x＞lnk；令f′〔x〕＜0，解得x ＜lnk，综上：当k≤0时，f〔x〕单调递增区间为R，无单调递减区间；当k＞0时，f〔x〕单调递增区间为〔lnk，+∞〕，单调递减区间为〔﹣∞，lnk〕，〔2〕〔i〕由题意：由〔1〕可知，当k≤0时，函数至多只有一个零点，不符合题意，舍去；k＞0时，令f〔lnk〕=e lnk﹣klnk+k＜0，解得k＞e2，此时f〔1〕=e＞0；x→+∞时，f〔x〕→+∞＞0，因此会有两个零点，符合题意．综上：实数k取值范围是〔e2，+∞〕；〔ii〕：由〔i〕可知：k＞e2时，此时f〔1〕=e＞0；x→+∞时，f〔x〕→+∞＞0，且f〔2〕=e2﹣k＜0，因此x1∈91，2〕，x2∈〔2，+∞〕，由=kx1﹣k，=kx2﹣k，相除后得到=，取对数x2﹣x1=ln〔x2﹣1〕﹣ln〔x1﹣1〕，令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，要证x1+x2＞4，即证y1+y2＞2，即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，构造函数h〔t〕=lnt﹣〔t＞1〕，由h′〔t〕=＞0，y=h〔t〕单调递增，那么h〔t〕＞h〔1〕=0，故不等式成立，综上，原不等式成立．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C极坐标方程是ρ=4sin〔θ﹣〕，直线l参数方程是〔t 为参数〕．〔1〕将曲线C极坐标方程转化为直角坐标方程；〔2〕设直线l与x轴交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|取值范围．【考点】简单曲线极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕ρ=4sin〔θ﹣〕，两边同时乘以ρ得ρ2=4ρsin〔θ﹣〕，展开可得：ρ2=4，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．〔2〕由直线l参数方程〔t为参数〕．消去参数t可得直线l直角坐标方程得：y=﹣〔x﹣2〕．可得：M〔2，0〕，利用|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，即可得出．【解答】解：〔1〕ρ=4sin〔θ﹣〕，两边同时乘以ρ得ρ2=4ρsin 〔θ﹣〕，展开可得：ρ2=4，可得直角坐标方程：x2+y2=2y﹣2x，配方得：〔x+1〕2+=4．〔2〕由直线l参数方程〔t为参数〕．消去参数t可得直线l直角坐标方程得：y=﹣〔x﹣2〕．令y=0得x=2，即M〔2，0〕，又曲线C为圆，圆C圆心坐标为，半径r=2，那么|MC|==2．由|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，那么|MN|∈．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=m﹣|x﹣3|，不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；〔1〕求实数m值；〔2〕假设关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立，求实数a取值范围．【考点】绝对值不等式解法；绝对值三角不等式．【分析】〔1〕由m﹣|x﹣3|＞1，得4﹣m＜x＜m+2，根据不等式解集求出m值即可；〔2〕问题等价于|a﹣3|≥3恒成立，求出a范围即可．【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=m﹣|x﹣3|，∴不等式f〔x〕＞1，即m﹣|x﹣3|＞1，∴4﹣m＜x＜m+2，由不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；那么，解得：m=3；〔2〕关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立⇔关于x不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，解得：a≥6或a≤0，即a∈〔﹣∞，0]∪[6，+∞〕．。

广东省广州市第二中学20152016学年高二上学期第一次月考数学理试卷Word版含答案[高考].doc

广州市第二中学2015-2016学年高二上学期第一次月考试题数学（理科） 2015.10一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案填在答卷的相应位置。

1. 已知集合},01|{R x x xx A ∈≥-=，},12|{R x y y B x ∈+==，则=)(B A C R I ( ) A.]1,(-∞ B. )1,(-∞ C. ]1,0( D. ]1,0[ 2．函数)22sin(2x y -=π是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为2π的奇函数 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) （A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ （C ）若,m n αα∥∥，则m n ∥ （D ）若,,m m αβ∥∥则αβ∥ 4. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，则=++1081311a a a a ( ) A. 1-B. 3C. 1-或3D. 275. 如图所示的程序框图的运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．5k >B ．6k ≥C ．7≥kD ．7>k6. 已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若()⊥-a b c ，则实数x 的值为( ) A ．43 B ．34 C ．34- D ．43-7. 函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（）8. 将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为（）A.B.C.D.9. 某工厂对一批新产品的长度（单位：mm ）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（）（A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.7510. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）（A ）向左平移6π个单位长度（B ）向右平移12π个单位长度（C ）向左平移12π个单位长度（D ）向右平移6π个单位长度11. 若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12. 已知函数2|lg |0()10x x f x xx >⎧=⎨-≤⎩，则方程2(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

广州市高二学业水平测试(数学)含答案

广州市高中二年级水平测试•数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、已知集合{1,2,4,8}M =，{2,4,6,8}N =，则M N = ( )..A {2,4} .B {2,48}， .C {1,6} .D {12,4,68}，，2、下列函数中，与函数1y x=定义域相同的函数为( ). .A 1y x=.B y x =.C 2y x -=.D ln y x =3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a =，24S =，则2a =( )..A 1 .B 2 .C 3.D 5 4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )..A 6.B 9.C 18.D 365、将函数cos y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x = 的图像，则下列说法正确的是( )..A ()y f x =的最小正周期为π.B ()y f x =是偶函数.C ()y f x =的图像关于点(,0)2π对称.D ()y f x =在区间[0,]2π上是减函数6、已知221ab>>，则下列不等关系式中正确的是( )..A sin sin a b >.B 22log log a b <.C 11()()33a b > .D 11()()33a b <7、在ABC △中，已知5AB AC ==，6BC =，则AB BC =( )..A 18 .B 36 .C 18- .D 36-8、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+,023,023,06y x y x y x 则y x z 2-=的最小值为( ).A 10- .B 6- .C 1- .D 0 9、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，3)(1-=+x a x f （a 为常数），则)1(-f 的值为( ).A 6-.B 3-.C 2-.D 610、小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b )0(>>b a ，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则( ).A 2ba v +=.B ab v =.C 2ba v ab +<< .D ab v b <<435俯视图侧视图正视图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11、过点)0,3(-且与直线024=-+y x 平行的直线方程是______12、如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为______13、执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是______14、在ABC ∆中，已知6=AB ，33cos =C ，C A 2=，则BC 的长为______三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、（本小题满分12分）实验室某一天的温度（单位：C o）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()[]24,0,312sin 4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ππ.（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低.20?z <z 输出开始结束x y =1,2x y ==y z=z x y =+是否16、（本小题满分12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2 可回收垃圾4 19 2 3 有害垃圾2 2 14 1 其他垃圾1 5 3 13 （1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误．．的概率.17、（本小题满分14分）如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形， ABCD PA 平面⊥，AB PA =，点E 为PB 的中点. （1）求证：ACE PD 平面//；（2）求证：PBC ACE 平面平面⊥.EDCBAP18、（本小题满分14分）已知直线05=+-y ax 与圆922=+y x C ：相交于不同两点A ，B . （1）求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得过点()12，-P 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，21a a +，()412a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ，求证：6<n S .20、（本小题满分14分）已知R a ∈，函数()a x x x f -=.（1）当2=a 时，求函数()x f y =的单调递增区间；（2）求函数()()1-=x f x g 的零点个数.广州市高中二年级学生学业水平测试数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDCCDDCBAD二、填空题11、430x y ++= 12、0.14π 13、21 14、22 三、解答题15、解：（1）依题意()4sin(),[0,24]123f t t t ππ=-∈实验室这一天上午10点，即10t =时，(10)4sin(10)4sin 41232f πππ=⨯-==，所以上午10点时，温度为4C.（2）因为024t ≤≤，所以531233t ππππ-≤-≤，令123t ππθ=-，即533ππθ-≤≤，所以54sin ,[,]33y ππθθ=∈- 故当32πθ=时，即22t =时，y 取得最小值，min 34sin42y π==- 故当22t =时，这一天中实验室的温度最低。

广东省广州市执信中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2017届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考试卷数学（理科）命题学校：广州市第二中学命题人：刘敏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．选做部分，执信、广雅、六中的同学做题类A ，二中的同学做题类B ． 5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2xA y y ==，{B y y ==，则A B ⋂等于（）A ．{}0y y ≥B ．{}0y y >C ．{}1y y ≥D ．{}1y y > 2．（题类A ）“αβ≠”是“cos cos αβ≠”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（题类B 等于（）A ．14-B ．14-- C ．14+ D ．143．运行如图所示程序语句后，输出的结果是（）A ．17B ．19C ．21D ．234．从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数a ，从{}1,2,3中随机选取一个数b ，则b a >的概率是（）A ．45 B ．35 C ．25D ．155．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a 、312a 、22a 成等差数列，则91078a a a a ++（）A．1+B．1C．3+D．3-6．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．（题类A ）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过焦点1F 的弦AB 长为m （A 、B 在同一支上），另一焦点为2F ，则2ABF ∆的周长为（）A ．42a m -B ．4aC ．4a m +D ．42a m + 7．（题类B ）设2()sin f x x =，则'()f x 等于（）A ．sin 2xB ．2cos xC ．22sin x xD ．22cos x x8．若变量x 、y 满足条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．几何体的三视图如图所示（均为直角边长为2的等腰直角三角形），则几何体的表面积为（）A．4+ B．4+ C．6+D ．810．若a ，b 是非零向量，且a b ⊥ ，a b ≠ ，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（）A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数11．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（）A．[1-+ B ．[1,3]- C．[1,1-+D．[1-12．正实数a 、b 满足b a a b =，且01a <<，则a 、b 的大小关系是（）A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5份，共20分． 13．已知cos sin x x -=，则cos 2sin()4xx π=+__________；14．（题类A ）抛物线2y ax =的焦点坐标为3(0,)8，则a =__________；14．（题类B ）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰__________；15．已知正实数x 、y 满足26x y xy ++=，则xy 的最小值为__________；16．如图，正三棱锥A BCD -的侧棱长为2，底面BCD 的边长为E 、F 分别为BC 、BD 的中点，则三棱锥A BEF -的外接球半径R =__________，内切球半径r =__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．FEDCBA甲、乙两机床同时加工直径为100mm 的零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图．请说明哪个机床加工的零件较好？18．（本小题满分12分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．19．（本小题满分12分）在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA SC ==，M 为AB 的中点．（1）求证：AC SB ⊥；（2）求二面角S CM A --的平面角的余弦值．20．（本小题满分12分）如图，A 、B 、C 的坐标分别为(,0)2c-、(,0)2c、(,)m n ，G 、'O 、H 分别为ABC ∆的重心、外心、垂心．（1）写出重心G 的坐标；（2）求外心'O 、垂心H 的坐标；（3）求证：G 、H 、'O 三点共线，且满足2'GH O G =．MCBAS数列{}n a 是公差d 不为0的等差数列，12a =，n S 为其前n 项和．（1）当36a =时，若1a ，3a ，1n a ，2n a ，…，k n a 成等比数列（其中123k n n n <<<< ），求k n 的表达式；（2）是否存在合适的公差d ，使得{}n a 的任意前3n 项中，前n 项的和与后n 项的和的比值等于定常数?若存在，求出d ；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）（题类A ）以椭圆2221(1)x y a a+=>短轴端点(0,1)A 为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．（题类B ）函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =．（1）求()f x 的最大值；（2）设0a b <<，求证：0()()2()()ln 22a bg a g b g b a +<+-<-．2017届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． BBCDC BDCAA DB二、填空题：本大题共4小题，每小题5份，共20分．13．6514．2315．1816．1，2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：10051031009810099=++++=甲x…………1分 10051009910210099=++++=乙x…………2分故它们的整体水平相当；…………3分又8.25)100103()100100()10098()100100()10099(222222=-+-+-+-+-=甲s …………5分2.15)100100()10099()100102()100100()10099(222222=-+-+-+-+-=乙s…………7分有22乙甲s s >，从而乙机床相对稳定； …………9分故乙机床加工的零件相对较好．…………10分18．（本小题满分12分）解：3cos 05ADC ∠=> ，ADC ∴∠为锐角 …………1分又ADC B BAD ∠=∠+∠ ，B ∴∠亦为锐角…………2分从而12cos 13B ==，4sin 5ADC ∠== …………4分sin sin()BAD ADC B ∴∠=∠-∠1sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠141235513513=⋅-⋅ 13365=…………8分又sin sin AD BDB BAD=∠…………10分5sin 13332533sin 65BAD BD BAD∴=⋅=⋅=∠…………12分19．（本小题满分12分）证明：（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，…………1分SA SC = ，AC OS ∴⊥…………2分BA BC = ，AC OB ∴⊥…………3分又 OS 、OB ⊆面OSB ，OS OB O ⋂=…………4分AC ∴⊥面OSB …………5分 AC SB ∴⊥…………6分（2）方法一：平面SAC ⊥平面ABC ，SO AC ⊥ 由面面垂直性质定理，有SO ⊥面ABC …………8分过O 作OD CM ⊥于D ，连接SD由三垂线定理，有SD CM ⊥，从而SDO ∠为二面角N CM B --的平面角…………10分又SO =1OD =，3SD ∴=D OMCBASz yxO MCB A S∴二面角N CM B --的平面角的余弦值为13…………12分方法二：平面SAC ⊥平面ABC ，SO AC ⊥ 由面面垂直性质定理，有SO ⊥面ABC 从而OA 、OB 、OS 两两垂直 …………8分建立如图所示的空间直角坐标系易知S 、C 、M的坐标分别为、(2,0,0)-、(1，面ACM 的一个法向量为(0,0,1)…………9分设(,,)n x y z为面SCM 的一个法向量则200n CS x n CM x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1z =-，则1)n =-…………11分故二面角N CM B --13= …………12分20．（本小题满分12分）解：（1）重心G 的坐标为(,)33m n； …………1分（2）设外心'O 、垂心H 的坐标分别为1(0,)y 、2(,)m y ，BC 中点为D则122'()()0222()()022c m c n O D BC m y n c c AH BC m m y n ⎧+⎪⋅=⋅-+-⋅=⎪⎨⎪⋅=+⋅-+⋅=⎪⎩ …………3分⇒222122244844m n c y nm c y n ⎧+-=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩…………5分故外心'O 的坐标为22244(0,)8m n c n +-，垂心H 的坐标为224(,)4m c m n -+；……7分（3）22221243(,)312m m n c GH n --+= ，2221243'(,)324m m n c O G n--+=有 2'GH O G =…………10分故G 、H 、'O 三点共线，且满足2'GH O G =．…………12分21．（本小题满分12分）解：（1）数列{}n a 的公差316223131a a d --===-- …………1分 1(1)2n a a n d n ∴=+-=…………2分另一方面，数列1a ，3a ，1n a ，2n a ，…，k n a 的公比31632a q a === …………3分(2)1(2)113232k k k n k a a n +-+-∴=⋅=⋅=⋅…………5分从而13k k n +=…………6分（2）等差数列{}n a 中，21(1)(2)222n n d dS na n d n n =+-=⋅+-⋅ …………7分从而2232[(3)(2)3][(2)(2)2]2222n n d d d d S S n n n n -=⋅+-⋅-⋅+-⋅1125(2)22d dn n =⋅+-⋅ …………9分令32n n n S S S λ-=，则225(2)[(2)]2222d d d dn n n n λ⋅+-⋅=⋅+-⋅ 故5222(2)22dd d d λλ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩45d λ=⎧⇒⎨=⎩ …………11分即是说4d =满足题意，且定常数为5． …………12分22．（本小题满分12分）（题类A ）解：假设存在符合条件的等腰直角三角形，则两条直角边的斜率均存在，且为一正一负，不妨设其中正的斜率为(0)k k > 此时直角边的直线方程为1y kx =+…………1分联立椭圆2221(1)x y a a+=>，有2222(1)x a kx a ++=即2222(1)20a k x a k x +⋅+⋅=…………2分∴0x =或22221a kx a k =-+ …………3分从而该直角边长为2222222211a k a k a k a k =++…………4分同理可得另一条直角边长为22222212()21()1a a k a k a k-=+-+……6分令2222a a k+2222()1k a k a k +=+ 即322210k a k a k -+-=，222(1)[(1)1]0k k a k -+-+=∴1k =或222(1)10k a k +-+=…………8分考虑222()(1)1f k k a k =+-+，若其有非1的正的零点（两零点之积为1），必须 222(1)4010k a a ⎧=-->⎪⎨-<⎪⎩⇒a > …………10分综合：1a <≤1个符合条件的三角形；a >3个符合条件的三角形．…………12分（题类B ）解：（1）1'()1(1)11xf x x x x=-=->-++ …………1分从而 ()f x 在(1,0-）上单调递增，在(0,)+∞上单调递减 …………2分故max ()(0)0f x f ==…………3分- 11 -（2）下面用两种方法分别证明不等式的左、右两边左边：要证 ()()2()02a bg a g b g ++-> 即要证 ln ln 2ln ()ln 222a b a b a ba ab b a b ++++>⋅=+…………4分令1()ln ln ()ln (0)2a xh x a a x x a x x a +=+-+>>…………5分则 '1111()ln [ln ()]222a x h x x x a x a x x +=+⋅-+⋅⋅++112lnln 0x a xa x a x+=>=++ 即是说 1()h x 在(,)a +∞上单调递增…………6分从而b a >时，ln ln ()ln2a ba ab b a b ++>+ 故不等式左边成立；…………7分右边：要证 ()()2()()ln 22a bg a g b g b a ++-<- 即要证 ln ln 2ln ()ln 222a b a ba ab b b a +++-⋅<-即 ln ln ()[ln()ln 2]()ln 20a a b b a b a b b a +-++---< 即 ln ln ()ln()2ln 20a a b b a b a b a +-+++<…………8分令bx a=，有 (0b ax a =>，1)x > 即要证 ln ln()()ln()2ln 20a a ax ax a ax a ax a +-+++< 即 ln (1)ln(1)2ln 20x x x x -+++<…………9分令 2()ln (1)ln(1)2ln 2(1)h x x x x x x =-+++>…………10分则'211()ln [ln(1)(1)]ln 11x h x x x x x x x x=+⋅-++⋅+=++11lnln101xx=<=+ 即是说 2()h x 在(1,)+∞上单调递增…………11分从而1x >时，2ln (1)ln(1)2ln 2(1)0x x x x h -+++<=故不等式右边成立．…………12分。

2016学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案

数学（必修）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（） A ．{1} B ．{3,5} C ．{1,3,5} D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =，则实数t =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（） A ．56110x y +-= B ．5610x y -+= C ．65110x y --= D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（） A ．-3 B ．13-C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（）A ．1B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（）A ．()|1|f x x =-B ．1()f x x = C. 1()1()2xf x =- D ．()sin 2f x x =8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]- 9.若0x 是函数()ln f x x =与2()g x x=的图象交点的横坐标，则0x 属于区间（） A ．(0,1) B ．(1,2) C. (2,3) D ．(3,)+∞10.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若m n ⊥，//n α，则 m α⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβ D ．若//m α，m β⊥，则a β⊥11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（） A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p <<12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1na -的前100项和为（） A ．4950 B ．5050 C.5100 D ．5150第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数()2f x x =+的定义域是__________.14.函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，5__________. 16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈，，，设()f x a b =•. （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()(0,)432f ππθθ+=∈，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足715a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数2y x =+的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.（1）请将字母,,E F G 标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）在长方体中，判断直线BG 与平面AFH 的位置关系，并证明你的结论；（3）在长方体中，设AB 的中点为M ，且2AB =，2AE =EM ⊥平面AFG .21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标. 22.（本小题满分12分）设函数2()2(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当1b a =-时，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值()g a 的表达式；（2）当21b a =-时，讨论函数[()]y f f x =在R 上的零点个数.2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCACD 11、12：AD 二、填空题13. [2,)-+∞ 14. 3π 15. 43π 16.32 三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+•222(sin cos )22x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分（2）由（1）得，()2)4f x x π=+.因为2()43f πθ+=，所以()2)444f πππθθ+=++………………5分 22)223πθθ=+==………………6分所以1cos 3θ=.………………7分因为(0,)2πθ∈，所以222sin 1cos 3θθ=-=.………………8分所以()2)2444f πππθθθ-=-+=………………9分433==.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=，在[6,8)上的频率为160.440=，所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个，所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，，{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 19.解：（1）依题意得，得12n n a a +=+，即12n n a a +-=.………………1分所以数列{}n a 是公差为2的等差数列.………………2分由715a =，得16215a +⨯=，解得13a =.………………3分所以1(1)n a a n d =+-………………4分3(1)221n n =+-⨯=+.………………5分（2）因为2133na n nb +==，所以127b =.………………6分因为23121393n n n n b b +++==，所以{}n b 是公比为9的等比数列.………………8分所以1(1)1n n b q T q-=-………………10分27(19)27(91)198n n ⨯-==--.………………12分20.解：（1）字母,,E F G 标记如图所示.………………2分（2）//BG 平面AFH ，证明如下：在长方体ABCD EFGH -中，//AB GH ，且AB GH =，所以四边形ABGH 是平行四边形，所以//BG AH .………………4分又AH ⊂平面AFH ，BG ⊄平面AFH ，所以//BG 平面AFH .………………6分（3）在长方体ABCD EFGH -中，FG ⊥平面ABFE ，又EM ⊂平面ABFE ，所以FG EM ⊥.………………8分在Rt AEF ∆与Rt MAE ∆中，90AEF MAE ∠=∠=，2EF AEAE MA==，所以Rt AEF Rt MAE ∆∆∽，所以EFA AEM ∠=∠.因为90AEM MEF ∠+∠=，所以90EFA MEF ∠+∠=，所以AF EM ⊥.………………10分又AF ⊂平面AFG ，FG ⊂平面AFG ，AF FG F =∩，所以EM ⊥平面AFG .………………12分21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为d ==，………………1分所以222228()4182r d =+=+=.………………2分所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分（2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=.………………4分因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00xy -.………………5分则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y . 所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤.当且仅当003x y ==时，等号成立.………………10分因为00x >，00y >,所以00119x y ≥，所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分 22.当1b a =-时，222()21()1f x x ax a x a a a =++-=+-+-，对称轴为直线x a =-.当1a -<-即1a >时，()f x 在[1,1]-上是增函数，所以()(1)3g a f a ==.………………1分当10a -≤-≤即01a ≤≤时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数，且(1)(1)3f a f a -=-<=，所以()(1)3g a f a ==.………………2分当01a <-≤即10a -≤<时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数，且(1)(1)3f a f a -=->=，所以()(1)g a f a =-=-.………………3分当1a ->即1a <-时，()f x 在[1,1]-上是减函数，所以()(1)g a f a =-=-.综上所述，,0,()3,0.a a g a a a -<⎧=⎨≥⎩.………………4分（2）当21b a =-时，22()21(1)(1)f x x ax a x a x a =++-=+++-.令[()]0f f x =，即(()1)(()1)0f x a f x a +++-=，解得()1f x a =--或()1f x a =-+.………………5分当()1f x a =--时，22211x ax a a ++-=--，即2220x ax a a +++=.因为221(2)4()4a a a a ∆=-+=-，所以当10∆>即0a <时，方程2220x ax a a +++=有两个实数解.………………6分当10∆=即0a =时，方程2220x ax a a +++=有且只有一个实数解0x = (7)分当10∆<即0a >时，方程2220x ax a a +++=没有实数解.………………8分当()1f x a =-+时，22211x ax a a ++-=-+，即22220x ax a a +++-=.因为222(2)4(2)48a a a a ∆=-+-=-+，所以当20∆>即2a <时，方程22220x ax a a +++-=有两个实数解.………………9分当20∆=即2a =时，方程22220x ax a a +++-=有且只有一个实数解2x =.………………10分- 11 - 当20∆<即2a >时，方程22220x ax a a +++-=没有实数解.………………11分综上所述，当0a <时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是4；当0a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是3；当02a <<时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是2；当2a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是1；当2a >时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是0.………………12分。

20181215广东省广州市五校2015-2016学年高二上学期期末联考数学(理)试卷

2015—2016学年度第一学期期末模块考试18．某校学生利用元旦节进行社会实践，在[25,55]岁的人群随机抽取n 人，进行了一次“是否已养成垃圾分类习惯”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“已养成垃圾分类习惯的人”中采用分层抽样法抽取6人参加垃圾分类宣讲活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄都在[40,45)岁的概率.20．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ??,平面11AA B B ^平面11BB C C 。

（Ⅰ）求证：11B C AC ^；（Ⅱ）求二面角1B AC C --的余弦值。

1A 1A21．给定椭圆C ：22221x y a b+= ()0a b >> ，称圆心在坐标原点O ，C 的“伴随圆”．已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,00F F 、，椭圆C 上一动点1M 满足1121M F M F +=uuuu r uuuu u r（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）过点P(0,)m ()0<m 作直线l ,使得直线l 与椭圆C 只有一个交点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22．求出m 的值．19.已知),(y x P 为平面上的动点且0≥x ，若P 到y 轴的距离比到点()0,1的距离小1．(Ⅰ) 求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ) 设过点)0,(m M 的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．17.已知命题p ：对任意实数x ，012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根，如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）设R ∈a ，函数x a x x x f 2||)(+-⋅=．（Ⅰ）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值；（Ⅱ）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．。

广东省广州市15—16学年高二学业水平测试数学试题(扫描版)(附答案)

2015学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

1. 【答案】B【解析】(){}2:0100,1N x x x x N -=⇒-=⇒=，\M ÇN =0,1{}.3+4+c =0 2. 【答案】D【解析】a 4a 2=q 2=4 3. 【答案】C【解析】设直线:320l x y c -+=因为1,-2()在直线上，代点到直线方程得： 7c ∴=-4. 【答案】D【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=⋅-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】B 【解析】y =x -z ,作l 0:y =x ,当l 0移至12,l l 两直线交点H 时截距z -最小，即z 最大，(1,2)H --，z max =-1+2=18.【答案】A 【解析】()11233633S ABCD ABCD V S SB -=⋅=⨯⨯⨯=9.【答案】C【解析】()21cos 21112cos sin 224222x f x x x ππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭, 即求12sin 2x 的单调递减区间:3222,223,44k x k k Z k x k k Z ππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈10.【答案】D 【解析】()32232,2220,023********+≥++∴≥+∴>>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=∴+=a b b a a b b a ab b a ab b a a b b a b a ab ab b a ba ab 当且仅当b a =2,b =2a时符号成立，即1122a b ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩满足，则最小值为22+3。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11.【答案】1,2()【解析】()(){}2320,210,12x x x x x x -+<∴--<∴<<12.【答案】-33【解析】终边在：()0,cos 0y x θ=≤∴<22tan cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩13.【答案】7【解析】x =1,y =5-2´1=3,3-1>5，否x =3,y =5-2´3=-1,-1-3>5，否x =-1,y =5-2´-1()=7,7--1()>5，是，7y =14.【答案】0【解析】f x ()=log a x +m ()+1过定点2,n ()，则()log 21a m n ++=，恒成立， \2+m =11=nÞm =-1n =1ìíîìíïîï\m +n =015.【答案】解:（1）由正弦定理得，sin sin a b A B= 10,8,60a b A ===︒sin sin b A B a ∴==（2）由（1）得，sin 5B =，且a b >cos 5B ∴==又60A =︒1sin 2A A ∴==()cos cos sin sin cos cos 12525C A B A B A B∴=-+=-=-⨯=16.【答案】解：（1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12 ()()()()22222891112104158109101110121042x S +++∴==⎡⎤=⨯-+-+-+-=⎣⎦甲甲（2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A ，以(),x y 记录甲，乙两组同学答对题目的个数，满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有：()()()()8,8,8,8,8,9,8,11,()()()()9,8,9,8,9,9,9,11,()()()()11,8,11,8,11,9,11,11,()()()()12,8,12,8,12,9,12,11，共16种满足事件A 的基本事件为：()()()()9,11,11,9,12,8,12,8，共4种()41164P A ∴== 答：两名同学答对题目个数之和为20的概率为14.17.【答案】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，21n S n n =++①21(1)(1)1n S n n -=-+-+② -①②得：221(1)(1)n n S S n n n n --=+----(21)12n a n n =-+=但13a =不符合上式，因此：3,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩ （2）当1n =时，1121113412T a a ===⋅ 当2n ≥时，1111111()22(1)4(1)41n n a a n n n n n n +===-⋅+++ 1223341111111111111()()()124233411111()1242151244(1)n n n T a a a a a a a a n n n n +∴=++++⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-+=-+ 且1112T =符合上式，因此：51244(1)n T n =-+ 18. 【答案】解:（1）证明：取AC 中点D ，连接PD 、BD 在∆ABC 中：BC AB =, D 为AC 中点AC BD ⊥∴在PAC ∆中PC PA =, D 为AC 中点AC PD ⊥∴又D PD BD =⋂ ,BD 、PBD PD 面⊂PBAC PBD PB PBDAC ⊥∴⊂⊥∴面面（2）方法一：BCD P ABD P ABC P V V V ---+=A PBD C PBD V V --=+在ABC ∆中，AB BC =, 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，PD DC ⊥, 5=PC , 3=DC4=∴PD41833)23(42122=⨯-⨯=∴∆PBD S13133A PBD PBD V S AD -∆=⨯⨯==又4C PBD A PBD V V --== 2183=+=∴---PBD C PBD A ABC P V V V （2）方法二：取BD 中点M ,连接PM由（1）可知PBD AC 面⊥又PBD PM 面⊂PM AC ⊥∴在ABC ∆中，BC AB = , 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，DC PD ⊥ , 5=PC , 3=DC 4=∴PDPBD ∴为等腰三角形BD PM ⊥∴又D BD AC =⋂ , ABC BD AC 面、⊂ABC PM 面⊥∴, 即PM 为三棱锥ABC P -的高h 易得261=PM h S V ABC ABC P ∆-=∴312183261362131=⨯⨯⨯⨯= 19. 【答案】解：(1)2R =,圆的方程为22(y 3)4x +-=(2)方法一：①k 不存在时1x =-，则P(1,3-，Q(1,3-，M(1,3)-显然有=9AC AB ⋅②k 存在时设(1)y k x =+∴l 的方程为y kx k =+11(,)P x y ,22(,)Q x y ,00(,)M x y∴(1,3)AC = ，00(1,)AM x y =+∴有00139x y ++= 即121213922x x y y ++++⋅= 联立22(3)4y kx k x y =+⎧⎨+-=⎩ 则2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+= ∴2122621k k x x k -+=+，231226221k k y y k k-+=++ ∴21202321x x k k x k +-==+，231202321y y k k y k k +-==++ 代入方程：00139x y ++=得：223223313[]911k k k k k k k --+++=++解得：43k = 综上所述，l 的方程1x =-或4340x y -+=方法二：⋅+=⋅+=+⋅=⋅2)( M 是线段PQ 的中点，∴根据垂径定理，即PQ CM ⊥，即0AM MC ⋅=,3,9==10)03(122=-+=CA在ABC Rt ∆中，191022=-=-=AM CA CM ①若k 存在时，设直线l 为)1(0+=-x k y 即0=+-k y kx圆心)3,0(C 到直线l 的距离1132=++-=k kd ，解得34=k ∴直线l 的方程为0434=+-y x ②若k 不存在时，过)0,1(-A 的直线为1-=x也满足)3,0(C 到直线1-=x 的距离为1.综上所述，直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .方法三：(1,0)A -，(0,3)C ，设点00(,)M x y ，则：(1,3)AC = ，00(1,)AM x y =+ ，00(,3)CM x y =-由题意得：00139AM AC x y ⋅=++= ，得0083x y =-①又因为M 是弦PQ 的中点，因此AM CM ⊥ ，0000(1)(3)0AM CM x x y y ⋅=++-= ，将①式代入，得：0000(83)(93)(3)0y y y y --+-=，整理得： 00(3)(1024)0y y --=，解得：03y =或0125y = 得M 的坐标为(1,3)-,或412(,)55，因此直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .20. 【答案】解：（1）设)22,2(),,1(),2,(),2,(a m a C m M a a A a a B ---则ma a a a m a a f S 24)222(221)(2+-=--⨯⨯==∴. （2）12624126)(222--≤+---≤mk m ma a mk m a f 得由 ma a a f 24)(2+-=的对称轴为4m a =，4,14m m >∴> ， m a 24]1,0(+-∈∴上的最大值为在，恒成立126242--≤+-∴mk m m ， 32622+-≤∴m m mk 恒成立，即12312-+≤m m k 恒成立. 222312≥+m m 当且仅当23=m 时成立， .122-≤∴k。

广东省广州市执信中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题Word版含答案

高二级数学科期末考试试卷第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{20}A x x x =+-<，{0}B x x =>，则集合AB 等于（）A ．{2}x x >-B ．{21}x x -<<C ．{1}x x <D ．{01}x x << 2.已知复数(1)23i z i +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是（） A ．22 B ．16 C ．15 D ．184.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则22cos sin θθ-等于（）A ．45-B ．35-C ．35D ．455.如下图所示，1OA =，在以O 为圆心，以OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则AO B∆的面积小于14的概率为（） A ．13 B ．14 C ．12 D ．166.某几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是（） A ．203π B ．6π C ．103π D ．163π7.函数22xy x =-的图象大致是（）8.执行下面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =( ) A ．109 B ．169 C ．95 D ．20119.设01,1b a c <<<>，则（）A ．2ab b bc << B ．log log b a a c b c < C ．ccab ba > D ．log log a b c c <10.直三棱柱111ABC A B C -中，090BCA ∠=，,M N 分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A ．110 B ．25C．10 D．211.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为（）A ．2y x = B ．22y x = C ．23y x = D ．24y x =12.我们把形如(0,0)by a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”，其图象与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”，当1a b ==时，“莫言圆”的面积的最小值是（） A ．2π B ．52π C ．e π D ．3π第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量(,1),(1,3)a m b ==，且()0a a b ∙-=，则m =___________.14.已知ABC ∆2AC =，3BAC π∠=，则ACB ∠=___________. 15.已知54(12)(1)x ax -+的展开式中2x 的系数为26-，则实数a 的值为___________.16.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则2()x y xy -的取值范围是___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知213n n S a +=，*n N ∈. （1）求通项公式n a 及n S ；（2）设10n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T 18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥面ABCD ，//EF AB ，2AB =，EB =1,EF BC ==M 是BD 的中点.（1）求证: //EM 平面ADF ；（2）求二面角D AF B --的大小.19.（本小题满分12分）为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如下表：（1）完成表格，并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公力员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率.（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为X ，求X 的公布列及数学期望()E X .男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎 30 15 无意愿生二胎20 25 总计附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++20.（本小题满分12分）设椭圆2222:1(x y C a a b+=>的右焦点为F ，右顶点为M ，且113e OF OM FM +=，（其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.20()P k k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828（1）求椭圆C 方程；（2）若过点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA NB ∙为定值？如果有，求出点N 的坐标及相应定值；如果没有，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知函数()()xf x e kx k k R =-+∈. （1）试讨论函数()y f x =的单调性；（2）若该函数有两个不同的零点12,x x ，试求：（i ）实数k 的取值范围；（ii ）证明：124x x +>. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程曲线C 的极坐标方程是4sin()6πρθ=-，直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x m x =--，不等式()1f x >的解集为(1,5)；（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2015-2016学年度第二学期高二级数学科期末考试答案一、选择题 DCABA CACDC CD一、填空题 13、2或-1； 14、6π； 15、3或311； 16、]340[，二、解答题17.解答：(1)由题意，312+=n n S a ，则31211+=++n n S a ，作差得：111323)(2-+++=-=n n n n n a S S a a , 化简：n n a a 31=+，又1n =时，1312111=∴+=a S a ，，故数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，则13-=n n a ;213313-11n -=-=n n S ）（4≥n 时，2672033010227317)3n (10313-133-n 33+-=+--+=---+=n n T T n n n ）（综上则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-=42672033n 213n 20n n T nn n18.证明：（1）取AD 的中点N ，连接,MN NF ,在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1//,2MN AB MN AB =, 又因为1//,2EF AB EF AB =，所以//MN EF 且MN EF =. 所以四边形MNFE 为平行四边形，所以//EM FN .又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故//EM 平面ADF .解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0)B A D,3(3,2,0),(,0,0)2C E F M -（Ⅰ）3(,0,3),(3,2,0),(0,2EM AD AF =-=-=-,设平面ADF 的一个法向量是(,,)n x y z =，由00n AD n AF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得3200x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令3y =，则(2,3,3)n =.又因为3(,0,30302EM n ∙=∙=+-= 所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . （2）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n =，因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥，又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 所以1cos ,2BD n BD n BD n∙==∙，又二面角D AF B --为锐角，故二面角D AF B --的大小为060.19试题解析：解：（1）由于2k =故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”．（2）由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿的概率为53203030=+,无意愿的概率为52203030=+,记事件A:这三人中至少有一人要生二胎,且各人意愿相互独立则 ()()12511752525211=⋅⋅-=-=A P A P答：这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为125117．(3) X 可能的取值为0,1,21051)2(;10526)1(;352610578)0(2152221511312215213==========C C X P C C C X P C C X P154105281051210526135260)(==⨯+⨯+⨯=X E20答案：（Ⅰ）由题意:则有()c a a cc a e a c -==+3-311 化简后得224c a =,又3222==-b c a故2221,4,3c a b ===. 所以椭圆方程为22143x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，()()1122,,,A x y B x y()()222222341234841201x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨=-⎪⎩ 则2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 若存在定点(),0N m 满足条件，则有 )1)(1()())((212212122121--+++-=+--=⋅x x k x x x x m m y y m x m x()()()()()()()22221212222222222222114128434348531243k x x m k x x k m k k m k k k m k k m m k m k =+-+++++-+=-++++--+-=+如果要上式为定值，则必须有2248541131238m m m m --=⇒=-验证当直线l 斜率不存在时，也符合。

广东省广州市五校2015-2016学年高二数学上学期期末联考试题理

2015—2016学年度第一学期期末模块考试五校联考高二年级数学（理科）试题试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

2、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。

第一部分选择题（共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

） 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A ．{}2 B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．函数()lg(31)f x x =+的定义域是( ) 第1题图 A ．1(,)3-+∞ B ．1(,1)3- C ．1(,1]3- D ．1(,1)33．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+⊥b a c ，则λ= ( )A ．311-B ．113- C ．12 D ．354．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．线性回归直线方程y bx a =+恒过样本中心(,)x y ，且至少经过一个样本点．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件 6．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．65B ．70C ．130D ．1407．函数y ＝sin (2x ＋π4)的图像可由函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位长度而得到 B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到 D ．向右平移π4个单位长度而得到 8．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 9．如图，若程序框图输出的S 是126，则判断框①中应为( ) A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤ 10．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S 等于( ) A.314B. 8C. 31D. 32 11．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（）A.5B.52 C.32 D.178第9题图 12．若函数()M f x 的定义域为实数集R,满足()1,0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为( )A . 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. {}1 C. 12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如右图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．14．设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =-的最大值是________．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是_________．16．设二次函数2()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为(,0]-∞，则19c a+的最大值为_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若m u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n r ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且∙m n u r r ＝12.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a ＝23且4b c +=，求此三角形的面积．18．（本小题满分12分）某校学生利用元旦节进行社会实践，在[25,55]岁的人群随机抽取n 人，进行了一次“是否已养成垃圾分类习惯”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“已养成垃圾分类习惯的人”中采用分层抽样法抽取6人参加垃圾分类宣讲活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄都在[40,45)岁的概率.19．（本小题满分12分）已知二次函数2()f x x =，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S 均在函数()y f x =上的图像上。

精品：【全国百强校】广东省广州市执信中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{20}A x x x =+-<，{0}B x x =>，则集合A B 等于（）A ．{2}x x >-B ．{21}x x -<<C ．{1}x x <D ．{01}x x <<【答案】D【解析】试题分析：由2{20}A x x x =+-<，得{}12<<-x x ，故{}10<<=⋂x x B A ，故选D. 考点：集合的运算.2.已知复数(1)23i z i +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】考点：复数的性质.3.等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是（）A ．22B ．16C ．15D ．18【答案】A【解析】试题分析：由1697=+a a ，得88=a ，所以7448=-=a a d ，则2212416=+=d a a ，故选A. 考点：等差数列的性质.4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则22cos sin θθ-等于（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】考点：（1）任意角的三角函数；（2）二倍角的余弦.5.如下图所示，1OA =，在以O 为圆心，以OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则AOB ∆的面积小于14的概率为（） A ．13B ．14C ．12D ．16【答案】A【解析】试题分析：∵1=OA ，AOB ∆的面积小于41，∴41sin 1121<∠⨯⨯⨯AOB ，∴21sin <∠AOB ，∴60π<∠<AOB 或ππ<∠<AOB 65，∴∆AOB 的面积小于41的概率为31，故选项为A. 考点：几何概型.6.某几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是（）A ．203πB ．6πC ．103πD ．163π【答案】C【解析】考点：由三视图求面积、体积.【思路点晴】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．利用三视图判断几何体的形状：由正视图和侧视图易知该图分为上下两部分，一部分的三视图为两个三角形和半个圆，另一部分的三视图为两个矩形和半个圆，故可得上面为圆锥下面为圆柱且被轴截面分割出的一半的组合体，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．7.函数22x y x =-的图象大致是（）【答案】A【解析】试题分析：当+∞→x 时，+∞→-=22x y x ，故排除C ；当-∞→x 时，-∞→-=22x y x 故排除D ；当3=x 时，01<-=y ，故排除B ，故选A.考点：函数的图象.8.执行下面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（）A ．109B ．169C ．95D ．2011【答案】C【解析】考点：程序框图.9.设01,1b a c <<<>，则（）A ．2ab b bc <<B ．log log b a a c b c <C ．c c ab ba >D ．log log a b c c <【答案】D【解析】试题分析：∵0>>b a ，∴2b ab >，故选项A 错误；∵b a lg lg 0>>，∴b a lg 1lg 1<,ac b c lg lg lg lg >，即log log a b c c <，故选项D 正确.考点：（1）不等式的性质；（2）函数值大小比较.10.直三棱柱111ABC A B C -中，090BCA ∠=，,M N 分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A ．110B ．25C 【答案】C【解析】考点：异面直线及其所成的角.11.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ，若 2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为（）A ．2y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．24y x =【答案】C【解析】试题分析：分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设a BF =，则由已知得：a BC 2=，由定义得：a BD =，故 30=∠BCD ，在直角三角形ACE 中，∵3=AF ，a AC 33+=，∴AC AE =2，∴633=+a ，从而得1=a ，∵FG BD //，∴321=p ，求得23=p ，因此抛物线方程为x y 32=．故选C.考点：抛物线的标准方程.【思路点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设a BF =，根据抛物线定义可知a BD =，进而推断出BCD ∠的值，在直角三角形中求得a ，进而根据FG BD //，利用比例线段的性质可求得P ，则抛物线方程可得．12.我们把形如(0,0)b y a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”，其图象与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”，当1a b == 时，“莫言圆”的面积的最小值是（）A ．2πB ．52π C ．e π D ．3π【答案】D【解析】考点：（1）圆的标准方程；（2）两点间距离公式的应用.【方法点晴】本题给出“莫言函数”、“莫言点”、“莫言圆”的定义，求圆的最小面积．着重考查了函数的图象、圆的方程、两点的距离公式与圆面积求法等知识，属于中档题．根据已知中关于“莫言函数”，“莫言点”，“莫言圆”的定义，利用1=a ，1=b ，我们易求出“莫言点”坐标，并设出“莫言圆”的方程，根据两点的距离公式求出圆心到“莫言函数”图象上点的最小距离，即可得到结论．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设向量(,1),(1,3)a m b ==，且()0a a b ∙-=，则m =___________.【答案】2或1-【解析】试题分析：由(,1),(1,3)a m b ==，得()2,1--=-m b a ，又因为()0a a b ∙-=，得()021=--m m ，解得2=m 或1-.考点：向量垂直的坐标表示.14.已知ABC ∆2AC =，3BAC π∠=，则ACB ∠=___________. 【答案】6π【解析】考点：正弦定理的应用.15.已知54(12)(1)x ax -+的展开式中2x 的系数为26-，则实数a 的值为___________.【答案】3或311 【解析】试题分析：∵()()()()443322524546413240101121x a x a x a ax x x x ax x ++++⋅+++-=+- 的展开式中2x 的系数为26-，∴264040640410622-=+-=+⋅-a a a a ，即 0382032=--a a ，求得实数3=a 或311=a ，故答案为：3或311. 考点：二项式定理的应用.16.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则2()x y xy -的取值范围是___________. 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 【解析】考点：线性规划.【方法点晴】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，将式子2()x y xy-进行变形，再分析x y z =表示的几何意义，结合图象即可给出x y 的取值范围，最后再结合对勾函数的性质，求出式子的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知213n n S a +=，*n N ∈. （1）求通项公式n a 及n S ；（2）设10n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13-=n n a ，213-=n n S ；（2）()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-=4267203321320n n n n T n n n．【解析】(2)由 103101n -=--n a ,则()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤=-=--410333-10101n 1n n n a b n n 讨论：3≤n 时，21310313-11n 10n --=--=n n n T ）（ 4≥n 时，2672033010227317)3n (10313-133-n 33+-=+--+=---+=n n T T n n n ）（综上则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-=42672033n 213n 20n n T n n n 考点：（1）数列通项公式的求法；（2）数列求和.18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥面ABCD ，//EF AB ， 2AB =，EB =1,EF BC ==M 是BD 的中点.（1）求证: //EM 平面ADF ；（2）求二面角D AF B --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60.【解析】试题解析：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0)B A D,3(3,2,0),(,0,0)2C E F M -（1）3(,0,3),(3,2,0),(0,2EM AD AF =-=-=-,设平面ADF 的一个法向量是(,,)n x y z =，由00n AD n AF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得3200x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令3y =，则(2,3,3)n =.又因为3(,0,30302EM n ∙=∙=+-= 所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF .考点：（1）直线与平面平行判定；（2）利用空间向量求二面角. 【一题多解】（1）取AD 的中点N ，连接,MN NF ,在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1//,2MN AB MN AB =, 又因为1//,2EF AB EF AB =，所以//MN EF 且MN EF =. 所以四边形MNFE 为平行四边形，所以//EM FN .又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故//EM 平面ADF . 19.（本小题满分12分）为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如下表：（1）完成表格，并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公力员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率.（3）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为X ，求X 的公布列及数学期望()E X .男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎 30 15 无意愿生二胎20 25 总计附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++【答案】（1）没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关；（2）125117；（3）分布列见解析，415. 【解析】试题解析：（1）男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎 30 15 45 无意愿生二胎20 25 45 总计504090由于2k =故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”．（2）由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿的概率为53203030=+,无意愿的概率为52203030=+,记事件A :这三人中至少有一人要生二胎,且各人意愿相互独立20()P k k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828则 ()()12511752525211=⋅⋅-=-=A P A P 答：这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为125117． (3) X 可能的取值为2,1,01051)2(;10526)1(;352610578)0(2152221511312215213==========C C X P C C C X P C C X P154105281051210526135260)(==⨯+⨯+⨯=X E 考点：（1）独立性检验；（2）相互独立事件；（3）对立事件；（4）离散型随机变量及其分布列. 20.（本小题满分12分）设椭圆2222:1(x y C a a b+=>的右焦点为F ，右顶点为M ，且113e OF OM FM +=，（其中O 为原点， e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆C 方程；（2）若过点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA NB ∙为定值？如果有，求出点N 的坐标及相应定值；如果没有，请说明理由.【答案】（1）13422=+y x ；（2）存在，⎪⎭⎫⎝⎛0,811N . 【解析】试题分析：（1）由113e OF OM FM +=得()c a a c a c -=+311，即224c a =，结合222c b a +=及3=b ，可求出c b a ,,的值；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，(),0N m ．设直线l 的方程为：()1y k x =-（k 存在）联立()⎩⎨⎧=++=1243122y x x k y ，得：()01248342222=-+++k kx x k ，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在11,08N ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13564NA NB =-．试题解析：（1）由题意:则有()c a a cc a e a c -==+3-311 化简后得224c a =,又3222==-b c a故2221,4,3c a b ===. 所以椭圆方程为13422=+y x .如果要上式为定值，则必须有2248541131238m m m m --=⇒=-验证当直线l 斜率不存在时，也符合. 故存在点11,08N ⎛⎫⎪⎝⎭满足13564NA NB =-. 考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．第一问中通过把已知条件中的等式转化为c b a ,,之间的关系，联立出方程组可得解；第二问属于开放性问题，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，首先考虑斜率存在时，设出点斜式，联立方程组，运用韦达定理以及向量数量积的概念，运用整体代换的思想得到在一般情况下的存在性，最后验证在一般情况下，当斜率不存在时也成立. 21.（本小题满分12分）已知函数()()x f x e kx k k R =-+∈. （1）试讨论函数()y f x =的单调性；（2）若该函数有两个不同的零点12,x x ，试求：（i ）实数k 的取值范围；（ii ）证明：124x x +>.【答案】（1）当0≤k 时, )(x f y =的单调递增区间为),(+∞-∞,无单调递减区间，当0>k 时, )(x f y =的单调递增区间为),(ln +∞k ,单调递减区间为)ln ,(k -∞；（2）（i ）()+∞,2e ；（ii ）证明见解析. 【解析】试题解析：由)()(R k kkx e x f x∈+-=,则k e x f x -=')(,讨论:若0≤k ,则0)(>'x f ,故)(x f y =在定义域上单调递增；若0>k ,令0)(>'x f ,解得k x ln >;令0)(<'x f ,解得k x ln <,综上:当0≤k 时, )(x f y =的单调递增区间为),(+∞-∞,无单调递减区间; 当0>k 时, )(x f y =的单调递增区间为),(ln +∞k ,单调递减区间为)ln ,(k -∞. (2) （i)由题意:由(1)可知, 当0≤k 时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去;0>k 时,令0ln )(ln ln <+-=k k k e k f k ,解得2e k >,此时0)1(>=e f ;+∞→x 时, 0)(>+∞→x f ,因此会有两个零点,符合题意. 综上:实数k 的取值范围是),(2+∞e由()()01)1(1)1(2)1(21)(222>+-=+--+-='t t t t t t t t h ,)(t h y =单调递增,则0)1()(=>h t h ,故不等式成立,综上即原不等式成立.考点：（1）利用导数判断函数的单调性；（2）函数零点个数的判断；（3）函数性质的综合应用.【一题多解】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及函数的图象判断函数零点的个数及函数性质的应用等，综合性较强，难度较大，前面两个问题属于常规题，最后一小问还可采用由1,0)(-=∴=+-=x e k k kx e x f x x,构造函数1)(-=x e x g x,由()21)2()(--='x x e x g x ,令2,0)(>∴>'x x g ；令2,0)(<∴<'x x g 且1≠x ,2)2(e g =,则函数)(x g y =在)1,(-∞和)2,1(单调递减,在),2(+∞递增,若与直线k y =有两个交点21,x x ,则必有),2(),2,1(21+∞∈∈x x ,要证421>+x x ,即证: 124x x ->,因为函数)(x g y =在),2(+∞递增,只需证)()()4(121x g x g x g =<-即可,即证)2,1(,13111411∈-<--x x e x e x x ,通分后只需证()0)3(111141<----x x e x e x ,构造函数())2,1(,)3(1)(4∈---=-x e x e x x h x x由0))(2()2()2()(44>--=---='--x x x xe e x x e x ex h ,故)(x h y =在)2,1(上单调递增,故0)2()(=<h x h ,故不等式成立,综上则原命题成立．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程曲线C 的极坐标方程是4sin()6πρθ=-，直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的取值范围. 【答案】（1）()()43122=-++y x ；（2）[]232,232+-. 【解析】试题解析：ρy x 22=+)()43122=-++y曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为：()()43122=-++y x（2）消去参数t ,直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：4(2)3y x =--令0y =得2x =，即(2,0)M ，又曲线C 为圆，圆C半径2=r ，则则[∈MN 考点：简单曲线的极坐标方程.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x m x =--，不等式()1f x >的解集为(1,5)．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3=m ；（2）(][)+∞⋃∞-,60,. 【解析】（2）关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立⇔关于x 的不等式33x a x -≥--恒成立33x a x ⇔-+-≥恒成立33a ⇔-≥恒成立，由33a -≥或33a -≤-，解得：6a ≥或0a ≤．即),6[]0,(+∞-∞∈ a . 考点：（1）绝对值不等式的解法；（2）分段函数的应用.。

2016年广州市高二数学学业水平测试(试题+答案)

2 的图象交点的横坐标，则 x0 属于区间（ x
（C） 2,3 （D）
）．
3,
）．
（10）设m ， n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（（A）若 m ∥ n ， n ，则 m ∥ （C）若 m ∥ ， m ∥ ，则 ∥ （B）若 m ⊥ n ， n ∥ ，则 m ⊥ （D）若 m ∥ ， m ⊥ ，则 ⊥
5 x 3 y 15, （8）已知实数 x，y 满足约束条件 y x 1, 则 z 3 x y 的取值 x 5 y 3,
范围是（）．（B） 7,9 （D） 7, 7 （A） 5,9 （C） 5,3 （9）若 x0 是函数 f ( x) ln x 与 g ( x ) （A） 0,1 （B） 1, 2
1 3 x 0,
（C）
1 3
）．
（D ） 3
（D） 2
高二学业水平测试数学试题+答案（第 1 页，共 11 页）
（ 6）执行如图所示的程序框图，若输入 x 1 ，则输出 k 的值为（（A） 3 （B） 4 （C） 5 （D） 6
）．
开始输入 x
（7）下列函数 f ( x ) 中，满足“对任意 x1 ， x2 0,1 ，当 x1 x2 时，
2 x 的定义域是
．
（14）函数 f x sin 2 x （其中为常数， | | 的部分图象如图所示，则．
） 2
（15）已知一个四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，侧棱长为 5 ，则这个四棱锥的内切球的表面积为．

2015-2016学年广东省广州二中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年广东省广州二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若A n3＝6∁n4，则n的值为（）A．6B．7C．8D．92．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数y＝ax2+1的图象与直线y＝x相切，则a＝（）A．B．C．D．14．（5分）设复数＝a+bi（a，b∈R）则a+b＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（5分）已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝12，Dξ＝2.4，则n与p的值分别是（）A．15与0.8B．16与0.8C．20与0.4D．12与0.66．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．4.5B．3.5C．3.15D．37．（5分）已知S1＝xdx，S2＝e x dx，S3＝x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S3＜S2＜S1D．S2＜S3＜S1 8．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．9．（5分）若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10B．20C．30D．12010．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜4成立的概率是；②命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真④命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真．A．0B．1C．2D．311．（5分）在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色的一种，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有（）A．55B．54C．46D．4512．（5分）AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB•K OM的值为（）A．e﹣1B．1﹣e C．e2﹣1D．1﹣e2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）＝．14．（5分）设（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝．15．（5分）椭圆+＝1上的点到直线x﹣2y﹣12＝0的距离的最小值为．16．（5分）不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1＝x+1和y2＝x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b＝．三、解答题（本题共6小题，满分70分）17．（12分）袋子里装有6个球，其中红球1个，黄球2个，白球3个，规定每次摸球只能摸出一个球，且摸到红球得4分，摸到黄球得2分，摸到白球不得分．（1）在每次摸出球，记下结果后就放回的情况下，求某人摸3次得分为4分的概率；（2）在每次摸出球，记下结果后就不再放回的情况下，求某人摸3次得分的分布列和数学期望．18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图（如图）：（Ⅰ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．19．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝60°，P A＝AC＝a，PB ＝PD＝a，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D的大小：（Ⅱ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．20．（12分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P（﹣1，k），△P AB的面积为，求k的值；（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝xe﹣x（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），证明x1+x2＞2．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心为极坐标：C（，），半径r＝．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若过点P（0，1）且倾斜角α＝的直线l交圆C于A，B两点，求|P A|2+|PB|2的值．2015-2016学年广东省广州二中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵A n3＝6∁n4，∴n（n﹣1）（n﹣2）＝6×，整理，得n﹣3＝4，∴n＝7．故选：B．2．【解答】解：由|x﹣1|＜2解得：﹣2+1＜x＜2+1，即﹣1＜x＜3．由x（x﹣3）＜0，解得0＜x＜3．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”必要不充分条件．故选：B．3．【解答】解：把两个解析式联立得方程ax2﹣x+1＝0，当a≠0时，由△＝0即得a＝故选：B．4．【解答】解：，∴，∴a+b＝1，故选：A．5．【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝12，Dξ＝2.4，∴np＝12，且np（1﹣p）＝2.4，解得n＝15，p＝0.8．故选：A．6．【解答】解：由已知中的数据可得：＝（3+4+5+6）÷4＝4.5，＝（2.5+t+4+4.5）÷4＝，∵数据中心点（，）一定在回归直线上∴＝0.7×4.5+0.35解得t＝3故选：D．7．【解答】解：S1＝xdx＝x2＝（4﹣1）＝，S2＝e x dx＝e x＝e2﹣e＝e（e﹣1），S3＝x2dx＝＝（8﹣1）＝，∵＜＜e（e﹣1），∴S1＜S3＜S2故选：B．8．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c＝＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a＝4，b＝3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．9．【解答】解：∵∁n°+∁n1+…+∁n n＝2n＝64，∴n＝6．T r+1＝C6r x6﹣r x﹣r＝C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，∴r＝3，常数项：T4＝C63＝20，故选：B．10．【解答】解：因为a，b∈[0，1]，则a2≤1，b2≤1，所以a2+b2≤2＜4，所以事件为必然事件，所以满足不等式a2+b2＜4成立的概率为1，故命题①不正确．“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，所以命题②为真命题．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜b，则am2＜bm2”，而当m2＝0时，由a＜b，得am2＝bm2，所以“am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假，故命题③不正确．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，为真命题，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，为假命题，则p∨q 为真，故命题④为真命题．故选：C．11．【解答】解：根据题意，分5种情况讨论：不选用一个红色广告牌，即全部用蓝色广告牌，有1种情况，当广告牌有一个红色的，则有七个蓝色广告牌，不会出现红色相邻的情况，易得有8种配色方案，当广告牌有两个红色的，则有六个蓝色广告牌，只需先排好六个蓝色广告牌，再其形成的7个空位中选2个插入红色广告牌即可，有C72＝21种配色方案，当广告牌有三个红色的，则有五个蓝色广告牌，同理可得有C63＝20种配色方案，当广告牌有四个红色的，则有四个蓝色广告牌，同理可得有C54＝5种配色方案，则共有1+8+21+20+5＝55种配色方案；故选：A．12．【解答】解：设直线为：y＝kx+c联立椭圆和直线消去y得b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2＝0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）＝0所以：x1+x2＝﹣所以，M点的横坐标为：M x＝（x1+x2）＝﹣又：y1＝kx1+cy2＝kx2+c所以y1+y2＝k（x1+x2）+2c＝所以，点M的纵坐标M y＝（y1+y2）＝所以：Kom＝＝＝﹣所以：k AB•k OM＝k×（﹣）＝﹣＝e2﹣1故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ＝2，∵P（ξ≤4）＝0.84，∴P（ξ≥4）＝1﹣0.84＝0.16，∴P（ξ≤0）＝P（ξ≥4）＝1﹣P（ξ≤4）＝0.16，故答案为：0.16．14．【解答】解：∵（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x＝﹣1，则（﹣1）4＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1故答案为：1．15．【解答】解：设椭圆的参数方程为，则d＝＝|2cos（θ+）﹣3|，当cos（θ+）＝1时，d min＝，故答案为：16．【解答】解：类比图象法解不等式的方法，在同一坐标系中，画出y1＝ax+2和y2＝x2+2b 的图象，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则两个函数图象应如下图所示：则，由a，b∈Z得：，∴a+b＝﹣1，故答案为：﹣1三、解答题（本题共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）由题意得某人摸3次得分为4分的情况为：摸到两个黄球一个白球或摸到两个白球一个红球，∴某人摸3次得分为4分的概率：P＝+＝+＝．（2）由题意得某人摸3次得分X的可能取值为0，2，4，6，8，P（X＝0）＝×＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝4）＝+＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝8）＝＝，∴某人摸3次得分X的分布列为：∴数学期望EX＝+8×＝4．18．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50＝6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50＝3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50＝3户，…3分因此，这两户在同一分组的概率为P ＝＝，两户在同一分组的概率；…6分（Ⅱ）如表：…7分K2＝＝≈4.046＞3.841，…8分所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否项500元有关…12分19．【解答】解：（Ⅰ）由ABCD是菱形，且∠ABC＝60°得AB＝BC＝CD＝AD＝AC＝P A＝a由PB＝PD＝a得PB2＝P A2+AB2，PD2＝P A2+AD2∴P A⊥AB，P A⊥AD∴P A⊥平面ABCD建立坐标系，则A（0，0，0），B（a，﹣a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），D（0，a，0），E（0，a，a），∴＝（a，a，0），＝（0，a，a），设平面ACE的一个法向量为＝（x，y，z），则，可取＝（a，﹣a，2a），同理平面ACP的一个法向量为＝（a，﹣a，0），∴cos＜，＞＝，∴二面角P﹣AC﹣E的大小为60°；（Ⅱ）设F为PC中点，取PE中点G，连接FG、BG设AC、BD交于O，连接OE由PG＝GE，PF＝FC得GF∥EC由DO＝OB，DE＝EG得OE∥BG∴平面BGF∥平面AEC∴BF∥平面AEC∴F是PC中点时，BF∥平面AEC20．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，由题设得，∴，∴椭圆Γ的方程是．（2）设直线l：y＝k（x﹣1），由，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△＝16（k2+1）＞0，则，P（﹣1，k）到l的距离，又，∴，∴4k2＝3k2+3，故．（3）∵C（x1，y1），D（x2，y2），点C关于y轴的对称点为Q（﹣x1，y1），则直线，设x＝0得直线，设x＝0得，∴，又，，∴，，∴．21．【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）＝（1﹣x）e﹣x令f′（x）＝0，解得x＝1当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．函数f（x）在x＝1处取得极大值f（1）且f（1）＝．（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）＝f（2﹣x），得g（x）＝（2﹣x）e x﹣2令F（x）＝f（x）﹣g（x），即F（x）＝xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2于是F'（x）＝（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x当x＞1时，2x﹣2＞0，从而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以F′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．又F（1）＝e﹣1﹣e﹣1＝0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）＝0，即f（x）＞g（x）．（Ⅲ）证明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，由（I）及f（x1）＝f（x2），则x1＝x2＝1．与x1≠x2矛盾．（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）＝f（x2），得x1＝x2．与x1≠x2矛盾．根据（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），则g（x2）＝f（2﹣x2），所以f（x2）＞f（2﹣x2），从而f（x1）＞f（2﹣x2）．因为x2＞1，所以2﹣x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（﹣∞，1）内是增函数，所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．22．【解答】解：（1）∵圆C的圆心为极坐标：C（，），∴＝1，y＝＝1，∴点C直角坐标C（1，1），∵半径r＝，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，…（2分）由，得圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1＝0．…（5分）（2）∵过点P（0，1）且倾斜角α＝的直线l交圆C于A，B两点，∴直线l的参数方程为，…（7分）把直线l的参数方程代入圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，得（）2+（）2＝3，整理，得＝0，，t1t2＝﹣2，∴|P A|2+|PB|2＝+|t2|2＝（t1+t2）2﹣2t1•t2＝7．…（10分）。

2015-2016年广东省广州市培正中学高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2015-2016学年广东省广州市培正中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，1）2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣84．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若向量，且，则的值为（）A．B．C．2D．5．（5分）已知等于（）A．﹣7B．﹣C．D．76．（5分）若动点P（x，y）与两定点M（﹣a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是（）A．除M、N两点外的圆B．除M、N两点外的椭圆C．除M、N两点外的双曲线D．除M、N两点外的抛物线7．（5分）对于每个自然数n，抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于A n，B n两点，以|A n B n|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值是（）A．B．C．D．8．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A．B．2C．D．29．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个B．4个C．6个D．8个10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=011．（5分）已知函数f（x）=（1﹣）e x（x＞0），其中e为自然对数的底数．当a=2时，则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．e B．2e C．3e D．4e12．（5分）在R上可导的函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则命题￢P为：．14．（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程．当气温为﹣4°C时，预测用电量的度数约为．15．（5分）以y=±x为渐近线，且经过点P（2，2）的双曲线的方程为．16．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为．17．（5分）长度为a的线段AB的两个端点A、B都在抛物线y2=2px（p＞0，a ＞2p）上滑动，则线段AB的中点M到y轴的最短距离为．18．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是2，则的最小值是．19．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为．20．（5分）已知椭圆+=1，若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m 对称，则实数m的取值范围是．三.解答题：（共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）21．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc （1）求sinA的值；（2）若a=2，求b+c的最大值．22．（12分）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．23．（12分）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．24．（14分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．2015-2016学年广东省广州市培正中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，1）【解答】解：要使函数有意义，需即0≤x＜1故函数的定义域为[0，1）故选：D．2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，若“|x﹣1|＜2”成立，则有“﹣1＜x＜3”，所以“x（x﹣3）＜0”不一定成立；反之，若“x（x﹣3）＜0”成立，即0＜x＜3，一定有“|x﹣1|＜2”成立，所以“|x﹣1|＜2”是“x（x﹣3）＜0”的必要不充分条件，故选：A．3．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣8【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选：B．4．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若向量，且，则的值为（）A．B．C．2D．【解答】解：向量与向量的夹角为120°，且，，所以•=+•=+||×||cos120°=﹣×||×||=0；所以=．故选：A．5．（5分）已知等于（）A．﹣7B．﹣C．D．7【解答】解：∵α∈（﹣，0），sinα=﹣，∴cosα=，∴tanα=﹣．∴tan（α+）==﹣．故选：B．6．（5分）若动点P（x，y）与两定点M（﹣a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是（）A．除M、N两点外的圆B．除M、N两点外的椭圆C．除M、N两点外的双曲线D．除M、N两点外的抛物线【解答】解：依题意可知•=k，整理得y2﹣kx2=﹣ka2，当k＞0时，方程的轨迹为双曲线．当k＜0时，且k≠﹣1方程的轨迹为椭圆．当k=﹣1时，点P的轨迹为圆∴抛物线的标准方程中，x或y的指数必有一个是1，故P点的轨迹一定不可能是抛物线．故选：D．7．（5分）对于每个自然数n，抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于A n，B n两点，以|A n B n|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1，∴抛物线与x轴交点坐标为（，0），（，0），∴|A n B n|=﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故选：D．8．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且•=0，∴|+|=2||=||=2．故选：B．9．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个B．4个C．6个D．8个【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．故符合要求的点P有六个．故选：C．10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=0【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=（1﹣）e x（x＞0），其中e为自然对数的底数．当a=2时，则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．e B．2e C．3e D．4e【解答】解：f（x）=（1﹣）e x的导数为f′（x）=e x（+1﹣），可得在（1，﹣e）处的切线的斜率为e，切线的方程为y+e=e（x﹣1），即为y=ex﹣2e，令x=0，可得y=﹣2e；令y=0，可得x=2．则切线与坐标轴围成的面积为×2×2e=2e．故选：B．12．（5分）在R上可导的函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值．当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=x2+ax+2b，设x2+ax+2b=（x﹣x1）（x﹣x2），（x1＜x2）则x1+x2=﹣a，x1x2=2b，因为函数f（x）当x∈（0，1）时取得极大值，x∈（1，2）时取得极小值∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜﹣a＜3，0＜2b＜2，﹣3＜a＜﹣1，0＜b＜1．∴﹣2＜b﹣2＜﹣1，﹣4＜a ﹣1＜﹣2，∴，故选：A．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则命题￢P为：∃x∈R，x2+x+1＜0．【解答】解：命题“：∀x∈R，x2+x+1≥0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R变为∃x∈R，再将不等号≥变为＜即可．故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜014．（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程．当气温为﹣4°C时，预测用电量的度数约为68．【解答】解：由表格，可得，即为：（10，40），又在回归方程上，∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴．当x=﹣4°C时，y=﹣2×（﹣4）+60=68．故答案为：68．15．（5分）以y=±x为渐近线，且经过点P（2，2）的双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由一条渐近线方程为y=±x，可设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点（2，2），可得λ=4﹣×4=3，即有双曲线的方程为y2﹣x2=3，即为﹣=1．故答案为：﹣=1．16．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为8﹣4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=，b=2，c=1，由椭圆的定义可得|F1P|+|PF2|=2a=2，|F1F2|=2，由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2﹣2|F1P||PF2|cos30°，故4=（|F1P|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|cos30°﹣2|F1P||PF2|，即4=20﹣|F1P|•|PF2|（+2），故|F1P|•|PF2|=32﹣16，故△PF1F2的面积S=|F1P|•|PF2|•sin30°=8﹣4．故答案为：8﹣4．17．（5分）长度为a的线段AB的两个端点A、B都在抛物线y2=2px（p＞0，a＞2p）上滑动，则线段AB的中点M到y轴的最短距离为（a﹣p）．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x=﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中MH=由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）MH==即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为故答案为18．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是2，则的最小值是．【解答】解：=2⇒=4⇒a2+b2=4a2⇒3a2=b2，则==a+≥2=，当a=即a=时取最小值．答案：19．（5分）P为双曲线x2﹣=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为5．【解答】解：双曲线的两个焦点为F1（﹣4，0）、F2（4，0），为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1，故|PM|﹣|PN|的最大值为（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=|PF1|﹣|PF2|+3=5．故答案为：5．20．（5分）已知椭圆+=1，若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m 对称，则实数m的取值范围是﹣＜m＜．【解答】解：∵椭圆+=1，即有3x2+4y2﹣12=0，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），则3x12+4y12=12，①3x22+4y22=12 ②①﹣②得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）=0，∴k AB==﹣•=﹣．∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=﹣m，y0=﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即3m2+36m2＜12，解得﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜．三.解答题：（共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）21．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc （1）求sinA的值；（2）若a=2，求b+c的最大值．【解答】解：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，结合余弦定理知，∴，∴．…（6分）（2）由a=2，结合正弦定理，得…（8分）=…（9分）=…（10分）=，…（11分）而，所以，所以当，即时，b+c的最大值为4．…（13分）22．（12分）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，∴MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，OB=MO=，MO∥AB，MO∥面ABC，M，O到平面ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，连接MH，则MH⊥BC，∴OH=OC•sin60°=，MH=，∵V A=V M﹣ABC，﹣MBC∴d=．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ，∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，BF=BC•sin60°=，tanθ=，sinθ=，所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为．23．（12分）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为+=1由e=，得，b2=a2﹣c2=3c2，∴将A（2，3）代入，有，解得：c=2，∴椭圆E的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0），F2（2，0），所以直线AF1的方程为y=（x+2），即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有=|x﹣2|若3x﹣4y+6=5x﹣10，得x+2y﹣8=0，其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x﹣4y+6=10﹣5x，即2x﹣y﹣1=0．所以，∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x﹣y﹣1=024．（14分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【解答】（1）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y fu =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

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2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A. 14 B.12C. 2D.4 3.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A.2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0() B.0,1() C.1,2() D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）A.B. C. D.6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5-8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 189.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A. 2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZ C. k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22B.22+1C.22+2D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11.不等式x 2-3x +2<0的解集是__________.12.已知角q 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边为射线l ：y =-2x x £0()，则cos q 的值是__________.13.执行如图所示的程序框图，若输入1=x ，则输出y 的值是__________。

14.若函数f x()=log a x+m()+1（a>0且a¹1）恒过定点2,n()，则m+n的值为__________.15、在ABC∆中，角CBA,,的对边分别是cba,,，且︒===60,8,10Aba.（1）求Bsin的值；（2）求Ccos的值.16、甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数.（1）求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；（2）分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.17、设nS为数列{}n a的前n项和，且*21NnnnSn∈++=，.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11nnaa的前n项和nT.18、如图，在三棱锥ABCP-中，︒=∠=====30,3245ACBBCABPBPCPA，，.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥ABC P -的体积.19、已知圆C 的圆心为点()30，C ，点()2,3R 在圆C 上，直线l 过点()01，-A 且与圆C 相交于Q P ,两点，点M 是线段PQ 的中点.（1）求圆C 的方程；（2）若9=⋅AC AM ，求直线l 的方程.20、已知点B A ,是函数[]()1,12-∈=x x y 图像上的两个动点，x AB //轴，点B 在y 轴的右侧，点()()2,1>m m M 是线段BC 的中点.（1）设点B 的横坐标为a ，ABC ∆的面积为S ，求S 关于a 的函数解析式()a f S =；（2）若（1）中的()a f 满足()1262--≤mk m a f 对所有(]1,0∈a ，()+∞∈,4m 恒成立，求实数k 的取值范围.2015学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案二、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

1. 【答案】B【解析】(){}2:0100,1N x x x x N -=⇒-=⇒=，\M ÇN =0,1{}.3+4+c =0 2. 【答案】D 【解析】a 4a 2=q 2=4 3. 【答案】C【解析】设直线:320l x y c -+=因为1,-2()在直线上，代点到直线方程得：7c ∴=-4. 【答案】D【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=⋅-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】B 【解析】y =x -z ,作l 0:y =x ,当l 0移至12,l l 两直线交点H 时截距z -最小，即z 最大，(1,2)H --，z max =-1+2=18.【答案】A【解析】()11233633S ABCD ABCD V S SB -=⋅=⨯⨯⨯=9.【答案】C【解析】()21cos 21112cos sin 224222x f x x x ππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭, 即求12sin 2x 的单调递减区间:3222,223,44k x k k Z k x k k Z ππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈10.【答案】D 【解析】()32232,2220,023********+≥++∴≥+∴>>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=∴+=a b b a a b b a ab b a ab b a a b b a b a ab ab b a ba ab 当且仅当b a =2,b =2a时符号成立，即1122a b ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩满足，则最小值为22+3。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11.【答案】1,2()【解析】()(){}2320,210,12x x x x x x -+<∴--<∴<< 12.【答案】-33【解析】终边在：()0,cos 0y x θ=≤∴<22tan cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩13.【答案】7【解析】x =1,y =5-2´1=3,3-1>5，否x =3,y =5-2´3=-1,-1-3>5，否x =-1,y =5-2´-1()=7,7--1()>5，是，7y =14.【答案】0【解析】f x ()=log a x +m ()+1过定点2,n ()，则()log 21a m n ++=，恒成立，\2+m =11=nÞm =-1n =1ìíîìíïîï\m +n =015.【答案】解:（1）由正弦定理得，sin sin a b A B= 10,8,60a b A ===︒sin sin b A B a ∴==（2）由（1）得，sin 5B =，且a b >cos 5B ∴==又60A =︒1sin 2A A ∴== ()cos cos sin sin cos cos 12C A B A B A B∴=-+=-==16.【答案】解：（1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12()()()()22222891112104158109101110121042x S +++∴==⎡⎤=⨯-+-+-+-=⎣⎦甲甲（2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11 设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A ，以(),x y 记录甲，乙两组同学答对题目的个数，满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有：()()()()8,8,8,8,8,9,8,11,()()()()9,8,9,8,9,9,9,11,()()()()11,8,11,8,11,9,11,11,()()()()12,8,12,8,12,9,12,11，共16种满足事件A 的基本事件为：()()()()9,11,11,9,12,8,12,8，共4种()41164P A ∴== 答：两名同学答对题目个数之和为20的概率为14.17.【答案】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，21n S n n =++①21(1)(1)1n S n n -=-+-+② -①②得：221(1)(1)n n S S n n n n --=+----(21)12n a n n =-+=但13a =不符合上式，因此：3,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩（2）当1n =时，1121113412T a a ===⋅ 当2n ≥时，1111111()22(1)4(1)41n n a a n n n n n n +===-⋅+++1223341111111111111()()()124233411111()1242151244(1)n n n T a a a a a a a a n n n n +∴=++++⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-+=-+ 且1112T =符合上式，因此：51244(1)n T n =-+ 18. 【答案】解:（1）证明：取AC 中点D ，连接PD 、BD在∆ABC 中：BC AB =, D 为AC 中点AC BD ⊥∴在PAC ∆中PC PA =, D 为AC 中点AC PD ⊥∴又D PD BD =⋂ ,BD 、PBD PD 面⊂PBAC PBD PB PBDAC ⊥∴⊂⊥∴面面（2）方法一：BCD P ABD P ABC P V V V ---+=A PBD C PBD V V --=+在ABC ∆中，AB BC =, 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，PD DC ⊥, 5=PC , 3=DC4=∴PD41833)23(42122=⨯-⨯=∴∆PBD S131********A PBD PBD V S AD -∆=⨯⨯=⨯⨯= 又183C PBD A PBD V V --== 2183=+=∴---PBD C PBD A ABC P V V V （2）方法二：取BD 中点M ,连接PM 由（1）可知PBD AC 面⊥又PBD PM 面⊂PM AC ⊥∴在ABC ∆中，BC AB = , 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，DC PD ⊥ , 5=PC , 3=DC4=∴PDPBD ∴为等腰三角形BD PM ⊥∴又D BD AC =⋂ , ABC BD AC 面、⊂ABC PM 面⊥∴, 即PM 为三棱锥ABC P -的高h 易得261=PM h S V ABC ABC P ∆-=∴31 2183261362131=⨯⨯⨯⨯=19. 【答案】解：(1)2R =,圆的方程为22(y 3)4x +-=(2)方法一：①k 不存在时 1x =-，则P(1,33)--，Q(1,33)-+，M(1,3)-显然有=9AC AB ⋅②k 存在时设(1)y k x =+∴l 的方程为y kx k =+11(,)P x y ,22(,)Q x y ,00(,)M x y ∴(1,3)AC =，00(1,)AM x y =+∴有00139x y ++=即121213922x x y y ++++⋅= 联立22(3)4y kx k x y =+⎧⎨+-=⎩ 则2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+=∴2122621k k x x k -+=+，231226221k k y y k k -+=++ ∴21202321x x k k x k +-==+，231202321y y k k y k k+-==++ 代入方程：00139x y ++=得：223223313[]911k k k k k k k --+++=++ 解得：43k = 综上所述，l 的方程1x =-或4340x y -+=方法二：MC AM AM MC AM AM MC AM AM AC AM ⋅+=⋅+=+⋅=⋅22)(M 是线段PQ 的中点，∴根据垂径定理，即PQ CM ⊥，即0AM MC ⋅=,3,92=∴=∴AM AM10)03(122=-+=CA在ABC Rt ∆中，191022=-=-=AM CA CM①若k 存在时，设直线l 为)1(0+=-x k y 即0=+-k y kx圆心)3,0(C 到直线l 的距离1132=++-=k kd ，解得34=k∴直线l 的方程为0434=+-y x②若k 不存在时，过)0,1(-A 的直线为1-=x也满足)3,0(C 到直线1-=x 的距离为1.综上所述，直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .方法三：(1,0)A -，(0,3)C ，设点00(,)M x y ，则：(1,3)AC =，00(1,)AM x y =+，00(,3)CM x y =-由题意得：00139AM AC x y ⋅=++=，得0083x y =-①又因为M 是弦PQ 的中点，因此AM CM ⊥，0000(1)(3)0AM CM x x y y ⋅=++-=，将①式代入，得：0000(83)(93)(3)0y y y y --+-=，整理得：00(3)(1024)0y y --=，解得：03y =或0125y =得M 的坐标为(1,3)-,或412(,)55，因此直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .20. 【答案】解：（1）设)22,2(),,1(),2,(),2,(a m a C m M a a A a a B ---则ma a a a m a a f S 24)222(221)(2+-=--⨯⨯==∴. （2）12624126)(222--≤+---≤mk m ma a mk m a f 得由 ma a a f 24)(2+-=的对称轴为4m a =，4,14m m >∴>， m a 24]1,0(+-∈∴上的最大值为在，恒成立126242--≤+-∴mk m m ， 32622+-≤∴m m mk 恒成立，即12312-+≤mm k 恒成立. 222312≥+m m 当且仅当23=m 时成立， .122-≤∴k。

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