几何经典模型:中点四大模型

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模型1 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形

②图①

图构造全等

倍长类中线

倍长中线D

C B

A

F

F A

B

C

A

B

C

D

C

B

A

模型分析

如图①,AD 是△ABC 的中线,延长AD 至点E 使DE =AD ,易证:△ADC ≌△EDB (SAS ). 如图②,D 是BC 中点,延长FD 至点E 使DE =FD ,易证:△FDB ≌△EDC (SAS )

当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移.

模型实例

如图,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,连接BE 并延长交AC 于点F ,AF =EF ,求证:AC =BE .

F

E

C

A

1.如图,在△ABC 中,AB =12,AC =20,求BC 边上中线AD 的范围.

B

A

解:延长AD 到E ,使AD =DE ,连接BE , ∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD =CD ,

在△ADC 与△EDB 中,

⎪⎩

⎨⎧=∠=∠=DE AD BDE ADC CD BD , ∴△ADC ≌△EDB (SAS ), ∴EB =AC =20,

根据三角形的三边关系定理:20-12<AE <20+12, ∴4<AD <16,

故AD 的取值范围为4<AD <16.

E

A

B

C

D

2.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DM ⊥DN ,如果BM 2+CN 2=DM 2+DN 2. 求证:AD 2=

4

1

(AB 2+AC 2). N

M

A

∴ED =DN .

在△BED 与△CND 中,

∵⎪⎩

⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND (SAS ). ∴BE =NC . ∵∠MDN =90°,

∴MD 为EN 的中垂线. ∴EM =MN .

∴BM 2+BE 2=BM 2+NC 2=MD 2+DN 2=MN 2=EM 2, ∴△BEM 为直角三角形,∠MBE =90°. ∴∠ABC +∠ACB =∠ABC +∠EBC =90°. ∴∠BAC =90°. ∴AD 2=(

21BC )2=4

1

(AB 2+AC 2). E A

B

C

D M

N

模型2 已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”.

连接中线

模型分析

等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等,为解题创造更多的条件,当看见等腰三角形的时候,就应想到: “边等、角等、三线合一”. 模型实例

如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,M 为BC 的中点,MN ⊥AC 于点N ,求MN 的长度.

N

M C

B A

A

N

解答: 连接AM .

∵AB =AC =5,BC =6,点M 为BC 中点, ∴AM ⊥BC ,BM =CM =2

1

BC =3. ∵AB =5, ∴AM =

4352222=-=-BM AB .

∵MN ⊥AC ,

∴S △ANC =

21MC ·AM =21

AC ·MN . 即:21×3×4=21×5×MN .

∴MN =5

12

小猿热搜

1.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,AE ⊥DE ,AF ⊥DF ,且AE =AF ,求证:∠EDB =∠FDC .

F

证明:连结AD ,

∵AB =AC ,D 是BC 的中点, ∴AD ⊥BC ,∠ADB =∠ADC =90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中,

⎩⎨

⎧==AD

AD AF

AB , ∴Rt △AED ≌Rt △AFD .(HL ) ∴∠ADE =∠ADF , ∵∠ADB +∠ADC =90°, ∴∠EDB =∠FDC .

A

B C

2.已知Rt △ABC 中,AC =BC ,∠C =90°,D 为AB 边的中点,∠EDF =90°,∠EDF 绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB (或它们的延长线)于E 、F .

(1)当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时(如图①),求证:S △DEF +S △CEF =

2

1

S △ABC ; (2)当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时,在图②和图③这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立, S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需要证明.

图②

图①

E

F

C

C

∵∠EDF =90°, ∴∠1=∠2,

在△CDE 和△BDF 中,

⎪⎩

⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21, ∴△CDE ≌△BDF (ASA ),

∴S △DEF +S △CEF =S △ADE +S △BDF =

21

S △ABC ; (2)不成立;S △DEF −S △C EF =2

1

S △ABC ;理由如下:连接CD ,如图3所示:

同(1)得:△DEC ≌△DBF ,∠DCE =∠DBF =135° ∴S △DEF =S 五边形DBFEC , =S △CFE +S △DBC ,

=S △CFE +

2

1

S △ABC , ∴S △DEF -S △CFE =2

1

S △ABC .

∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是:S △DEF -S △CEF =

2

1

S △ABC . A

E A

C

D

F

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