竖直平面内的圆周运动 绳 杆模型 学校学案
竖直平面内的圆周运动——轻绳、轻杆模型教案
竖直平面内的圆周运动——轻绳、轻杆模型教案
《竖直平面内的圆周运动——轻绳、轻杆模型教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
微课名称：竖直平面内的圆周运动--轻绳、轻杆模型
微课的设计思路：通过观看教学录像自学，完成下列学习任务：1.掌握竖直平面内圆周运动的一般分析方法。
2.理解竖直平面内圆周运动两种模型在圆周最高点的临界条件。
3.完成配套进阶练习。
通过视频理解竖直平面内圆周运动的两种模型特点，通过学习任务单熟练竖直平面内圆周运动的一般解题思路和方法。
微课的用途：通过观看教学视频了解竖直平面内圆周运动向心力的来源，能够写出表达式，知道轻绳、轻杆模型通过最高点的临界条件。
完成《微课学习任务单》规定的任务，熟练竖直平面内圆周运动的一般解题思路和方法。
竖直平面内的圆周运动——轻绳、轻杆模型教案这篇文章共794字。
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圆周运动绳杆模型讲解学习
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动， 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时，小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
【思维启迪】 mg＝mR(2Tπ0)2→周期 T0→T′＝T20→F′向＝ mR(T2′π )2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力
提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR(2Tπ0)2
解之得 T0＝2π
R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 ＝4Tπ22R
由第(1)问知 T0＝2π Rg且 T＝T20
一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
圆周运动的常见模型
圆周运动的常见模型（绳、杆模型）教案授课人:马少芳地点：高一（5）班时间：2014-3-21【课前分析】本节课主要讲圆周运动的常见模型中的轻绳模型和轻杆模型，这两个模型都属于竖直平面内的圆周运动。
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点【教学目标】（一）知识与技能：1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。
2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。
（二）过程与方法：通过对几个圆周运动的事例的分析，掌握分析绳、杆问题中向心力的方法。
（三）情感态度与价值观：培养学生独立观察、分析问题，解决问题的能力，提高学生概括总结知识的能力。
【教学重点】绳、杆两类问题的“最高点”临界条件中向心力的分析。
【教学难点】过最高点临界条件的理解.【学情分析】通过前面知识点的学习，学生初步掌握圆周运动、向心力的相关知识，掌握了分析圆周运动向心力来源的方法，为本节课学习做了铺垫和准备。
【教学方法】讲授法提问法演示法【教学用具】黑板多媒体绑细线的道具小桶【课时安排】1课时（45min）【教学过程】（一）开门见山，直接导入[师]：前面我们通过生活中的圆周运动了解了圆周运动在生活中的联系与应用，这节课我们继续了解圆周运动中常见的模型，其中典型的一种用绳子拉着一物体(小球)在竖直平面内做圆周运动，这种模型叫轻绳模型，或绳球模型。
另一种是用一根杆支撑着物体在竖直面做圆周运动的，叫轻杆模型或杆球模型。
我们先了解第一种模型：轻绳模型（说明）[师]：轻绳模型和轻杆模型都是竖直平面内的圆周运动，一般是变速圆周运动运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点一、轻绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m，绳长为r1、在最低点时，设小球速度为v,列小球在最低点向心力的表达式(前面有初步了解，请学生1回答)最低点：对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力T1。
竖直平面内的圆周运动学案
竖直平面内圆周运动窦乐江【要点梳理】要注意竖直平面内圆周运动的两种临界状态的不同：分类 最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、翻滚过山车球与杆连接，车过拱桥、球过竖直管道、套在圆环上的物体等图示在最高点受力 重力、弹力F 弹向下或等于零mg ＋F 弹＝m v 2r重力、弹力F 弹向下、向上或等于零mg±F 弹＝m v 2r恰好过 最高点F 弹＝0，mg ＝m v 2r，v ＝rg(在最高点速度不能为零)F 弹＝mg ，F 向＝0(在最高点速度可以为零)【典题例证】考向一、竖直平面内的圆周运动的考查【例1】如图所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑硬质盒子中，盒子的边长略大于球的直径。
某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，问：(1)要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？(2)若盒子以(1)中周期的12做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O 点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？规范解答审题指导解：（1）小球在最高点受什么力的作用？（2）周期变为原来的12后，小球的向心加速度多大？方向如何？是谁来提供向心力？【教你一招】：【对应训练】如图甲所示，在同一竖直平面内两正对着的半径为R 的相同半圆光滑轨迹，相隔一定的距离x ，虚线沿竖直方向，一质量为m 的小球能在其间运动。
今在最低点B 与最高点A 各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来。
(不计空气阻力，g 取10 m/s 2)(1)要使小球不脱离轨道，求小球在A 点的速度大小；(2)求A 、B 两点的压力差ΔF N 与x 的函数关系；(用m 、R 、g 表示)(3)若测得两点压力差ΔFN 与距离x 的图象如图乙所示。
根据图象，求小球的质量。
考向二、平抛运动与圆周运动的综合考查【例2】(2014·福建·21)(19分)如图所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB 段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC 在B 点水平相切.点A 距水面的高度为H ，圆弧轨道BC 的半径为R ，圆心O 恰在水面.一质量为m 的游客(视为质点)可从轨道AB 的任意位置滑下，不计空气阻力.(1)若游客从A 点由静止开始滑下，到B 点时沿切线方向滑离轨道落在水面D 点，OD ＝2R ，求游客滑到B 点时的速度v B 大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功W f ；(2)某游客从AB 段某处滑下，恰好停在B 点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P 点后滑离轨道，求P 点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F 向＝rv m 2)规范解答 审题指导解：（1）游客经历了哪几个阶段，各阶段的受力和运动特点是什么？选择合适的依据解题。
竖直面内的圆周运动模型(解析版)--2024届新课标高中物理模型与方法
2024版新课标高中物理模型与方法竖直面内的圆周运动模型目录一．一般圆周运动的动力学分析二．竖直面内“绳、杆(单、双轨道)”模型对比分析三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论三.过拱凹形桥模型一．一般圆周运动的动力学分析如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：Fτ=maτ，aτ改变速度v的大小F n=ma n，a n改变速度v的方向，a n=v2r作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
Fτ=maτ，aτ改变速度v的大小F n=ma n，a n改变速度v的方向，a n=v2ρ，ρ为曲率圆半径。
二．竖直面内“绳、杆(单、双轨道)”模型对比分析轻绳模型(没有支撑)轻杆模型(有支撑)常见类型过最高点的临界条件由mg=mv2r得v临=gr由小球能运动即可得v临=0对应最低点速度v低≥5gr对应最低点速度v低≥4gr绳不松不脱轨条件v低≥5gr或v低≤2gr不脱轨最低点弹力F低-mg=mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力F低-mg=mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力最高点弹力过最高点时，v≥gr，F N+mg=mv2r，绳、轨道对球产生弹力F N=mv2r-mg向下压力(1)当v=0时，F N=mg，F N为向上支持力(2)当0<v<gr时，-F N+mg=m v2r，F N向上支持力，随v的增大而减小(3)当v=gr时，F N=0(4)当v>gr时，F N+mg=m v2r，F N为向下压力并随v的增大而增大在最高点的F N 图线取竖直向下为正方向取竖直向下为正方向三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点记为C ，与原点等高的位置记为B 。
高一物理 竖直面内圆周运动的轻绳、轻杆模型学案
第六章 圆周运动6.5竖直面内圆周运动的轻绳模型、轻杆模型一 竖直面内圆周运动的轻绳模型 1.模型概述无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。
2.模型特点[试题案例] [例1] 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm 。
(g 取10 m/s 2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小。
轻绳模型情景图示弹力特征弹力可能向下，也可能等于零受力示意图力学方程 mg ＋F T ＝m v2r临界特征F T ＝0，即mg ＝m v 2r ，得v ＝grv ＝gr 的意义物体能否过最高点的临界点方法总结:[针对训练1] 如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为R，要使体重为mg的乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )A.0B.gRC.2gRD.3gR二竖直面内圆周运动的轻杆模型1.模型概述有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。
2.模型特点轻杆模型情景图示弹力特征弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图力学方程mg±F N＝m v2 r临界特征v＝0，即F向＝0，此时F N＝mgv＝gr的意义F N表现为拉力还是支持力的临界点[试题案例][例2](多选)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在O点，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是( )A．当v的值为gL时，杆对小球的弹力为零B．当v由gL逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大C．当v由gL逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大[例3] 长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。
第二章 专题强化5 竖直面内的圆周运动
竖直面内的圆周运动[学习目标] 会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法并会求临界值．一、竖直面内圆周运动的轻绳模型如图所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例．(1)在最低点有：T 1－mg ＝m v 12L所以T 1＝mg ＋m v 12L(2)在最高点有：T 2＋mg ＝m v 22L所以T 2＝m v 22L－mg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由T 2＋mg ＝m v 22L 可知，当T 2＝0时，v 2最小，最小速度为v 2min ＝gL .讨论：当v 2＝gL 时，拉力或压力为零． 当v 2>gL 时，小球受向下的拉力或压力． 当v 2<gL 时，小球不能到达最高点．例1 (多选)如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为g .则下列说法正确的是( )A ．小球在最高点时所受向心力一定为小球重力B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C ．小球在最低点时绳子的拉力一定大于小球重力D ．小球在最高点的速率至少为gL 答案 CD解析 小球在最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力的合力，取决于小球在该点的瞬时速度的大小，A 错误；小球在最高点时，若只有重力提供向心力，则拉力为零，B 错误；小球在最低点时向心力方向竖直向上，合力一定竖直向上，则拉力一定大于重力，C 正确；当小球刚好到达最高点时，仅有重力提供向心力，则有m v 2L ＝mg ，解得v＝gL ，D 正确．针对训练1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字，5取2.24) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小． 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小． 由牛顿第二定律有：mg ＝m v 02l ，得桶的最小速率为：v 0＝2.24 m/s.(2)因v ＞v 0，故此时桶底对水有向下的压力，设为N ，由牛顿第二定律有：N ＋mg ＝m v 2l ，得：N ＝4 N ．由牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小：N ′＝4 N. 二、竖直面内圆周运动的轻杆模型如图所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动．(1)最高点的最小速度由于杆或管在最高点能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力N ＝mg .(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况①若v >gL ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg ＋F ＝m v 2L ，所以F ＝m v 2L －mg ，F 随v 的增大而增大．②若v ＝gL ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F ＝0，mg ＝m v 2L.③若0≤v <gL ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg －F ＝m v 2L ，所以F ＝mg －m v 2L ，F随v 的增大而减小．例3 如图所示，长为0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直面内做圆周运动，A 端连着一个质量m ＝2 kg 的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g 取10 m/s 2，π2＝10)：(1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s ； (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s. 答案 (1)140 N 方向竖直向上 (2)10 N 方向竖直向下解析 设竖直向下为正方向，小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为2 r/s 时，ω＝2πn ＝4π rad/s ， 由牛顿第二定律得F ＋mg ＝mLω2， 故小球所受杆的作用力F ＝mLω2－mg ＝2×(0.5×42×π2－10) N ≈140 N ，即杆对小球有140 N 的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140 N ，方向竖直向上．(2)杆的转速为0.5 r/s 时，ω′＝2πn ′＝π rad/s ，同理可得小球所受杆的作用力F ′＝mLω′2－mg ＝2×(0.5×π2－10) N ≈－10 N.力F ′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的正方向相反，即杆对小球有10 N 的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N ，方向竖直向下．针对训练2 (多选)如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g ，关于小球在最高点的速度v ，下列说法正确的是( )A ．v 的最小值为glB ．v 由零逐渐增大，向心力也增大C ．当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D ．当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 答案 BCD解析 由于是轻杆，在最高点可对小球提供支持力，因此v 的最小值是零，故A 错误．v 由零逐渐增大，由F 向＝m v 2l 可知，F 向也增大，故B 正确．当v ＝gl 时，F ＝m v 2l ＝mg ，此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v 由gl 逐渐增大时，m v 2l ＝mg ＋F ，故F ＝m v 2l －mg ，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v 由gl 逐渐减小时，杆对球的力为支持力，此时，mg －F ′＝m v 2l ，F ′＝mg －m v 2l ，支持力F ′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C 、D 正确．例4 质量为m 的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的内径，圆管内径远小于轨道半径，如图所示．已知小球以速度v 通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度v2通过圆管的最高点时( )A ．小球对圆管内、外壁均无压力B ．小球对圆管外壁的压力等于mg2C ．小球对圆管内壁的压力等于mgD ．小球对圆管内壁的压力等于mg2答案 D解析 以小球为研究对象，小球通过最高点时，根据牛顿第二定律得mg ＋mg ＝m v 2r ；当小球以速度v 2通过圆管的最高点，根据牛顿第二定律得mg ＋N ＝m (v 2)2r ；联立解得：N ＝－12mg ，负号表示圆管对小球的作用力向上，即小球对圆管内壁的压力等于mg2，故D 正确．1.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )A ．0 B.gR C.2gR D.3gR答案 C解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2R，故速度大小v ＝2gR ，C 正确．2.(多选)(2021·河北省高二学业考试)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O 上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力( )A ．方向一定竖直向上B ．方向可能竖直向下C ．大小可能为0D ．大小不可能为0答案 BC解析 设杆长为R ，小球运动至最高点处，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，当v >gR 时，杆对小球提供竖直向下的拉力，当v <gR 时，杆对小球提供竖直向上的支持力，故B 、C 正确，A 、D 错误． 3.杂技演员在表演“水流星”时的示意图如图所示，长为1.6 m 的轻绳的一端，系着一个总质量为0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点时的速度为4 m/s ，g 取10 m/s 2，则下列说法正确的是( )A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器的底部受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B解析 设水的质量为m ，当水对容器底压力为零时，有mg ＝m v 2r ，解得v ＝gr ＝4 m/s ，“水流星”通过最高点的速度为4 m/s ，知水对容器底压力为零，不会从容器中流出；设水和容器的总质量为M ，有T ＋Mg ＝M v 2r ，解得T ＝0，知此时绳子的拉力为零，故A 、D 错误，B 正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，C 错误．4.如图所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，小球直径略小于管道内径，质量为m 的小球从管道最低点以某一速度v 1进入管内，在圆管道最低点时，对管道的压力为7mg ，小球通过最高点P 时，对管外壁的压力为mg ，此时小球速度为v 2，则v 1∶v 2为(g 为重力加速度)( )A ．7∶2 B.3∶ 2 C.3∶1 D.7∶ 2答案 C解析 在圆管道最低点时，有7mg －mg ＝m v 12R ，小球通过最高点P 时，有mg ＋mg ＝m v 22R ，解得v 1∶v 2＝3∶1，选项C 正确．5．(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管道处于竖直平面内，其中管道半径为R .现有一个半径略小于弯管横截面半径(远小于 R )的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v 0，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )A ．若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力B ．若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力C ．若0 <v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力D ．不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力 答案 ABC解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 02R ，解得v 0＝gR ，因此小球对管内壁无压力，选项A 正确．若v 0>gR ，则有mg ＋N ＝m v 02R ，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确．若0<v 0<gR ，则有mg －N ＝m v 02R ，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确．综上分析，选项D 错误．6.如图所示，一个可以视为质点的小球质量为m ，以某一初速度冲上光滑半圆形轨道，轨道半径为R ＝0.9 m ，直径BC 与水平面垂直，小球到达最高点C 时对轨道的压力是重力的3倍，重力加速度g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力，求：(1)小球通过C 点的速度大小；(2)小球离开C 点后在空中的运动时间； (3)小球落地点距B 点的距离． 答案 (1)6 m/s (2)0.6 s (3)3.6 m解析 (1)小球通过最高点C ，重力和轨道对小球的压力提供向心力，有F ＋mg ＝m v C 2R ，F ＝F ′＝3mg ，解得小球通过C 点的速度v C ＝6 m/s.(2)小球离开C 点后在空中做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动有2R ＝12gt 2，解得小球离开C 点后在空中的运行时间t ＝0.6 s.(3)小球在水平方向上做匀速直线运动有x ＝v C t ，得小球落地点距B 点的距离x ＝3.6 m.7．某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面，重力加速度为g )( ) A ．mg B ．2mg C ．mg ＋m v 2RD ．2m v 2R答案 B解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2R ，解得：F 2＝mg ＋m v 2R，所以F 2－F 1＝2mg ，B 正确．8．(多选)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v ，此时绳子的拉力大小为T ，拉力T 与速度的平方v 2的关系如图乙所示，图中的数据a 、b 及重力加速度g 都为已知量，下列说法正确的是( )A ．数据a 与小球的质量无关B ．数据b 与小球的质量无关C ．比值ba 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D ．利用数据a 、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径答案 AD解析 当v 2＝a 时，绳子的拉力为零，小球的重力提供向心力，则mg ＝m v 2r，解得v 2＝gr ，故a ＝gr ，与小球的质量无关，故A 正确；当v 2＝2a 时，对小球受力分析，则mg ＋b ＝m v 2r，解得b ＝mg ，与小球的质量有关，故B 错误；根据A 、B 可知b a ＝mr ，与小球的质量和圆周轨道半径都有关，故C 错误；由A 、B 的分析可知，b ＝mg ，a ＝gr ，故m ＝b g ，r ＝ag ，故D 正确．9．(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F ，小球在最高点的速度大小为v ，其F －v 2图像如图乙所示．则( )A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 答案 ACD解析 当小球受到的弹力F 方向向下时，F ＋mg ＝m v 2R ，解得F ＝mR v 2－mg ，当弹力F 方向向上时，mg －F ＝m v 2R ，解得F ＝mg －m v 2R ，对比F －v 2图像可知，b ＝gR ，a ＝mg ，联立解得g＝b R ，m ＝aRb ，A 正确，B 错误．v 2＝c 时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C 正确．v 2＝2b 时，由F ＝m R v 2－mg 及g ＝bR 可知小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确．10.如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L .重力加速度大小为g .现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小为( )A.3mgB.433mg C ．3mg D ．23mg答案 A解析 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r ，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则r ＝L cos 30°.根据题述小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg ＝m v 2r ；小球在最高点速率为2v 时，设每根绳的拉力大小为F ，则有2F cosθ＋mg ＝m (2v )2r，联立解得：F ＝3mg ，故A 正确．11.(2021·湘潭一中月考)现有一根长L ＝1 m 的不可伸长的轻绳，其一端固定于O 点，另一端系着质量m ＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，将小球提至O 点正上方的A 点处，此时绳刚好伸直且无弹力，如图所示．不计空气阻力，g 取10 m/s 2.(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A 点至少应施加给小球多大的水平速度？ (2)在小球以速度v 1＝4 m/s 水平抛出的瞬间，绳所受拉力为多少？(3)在小球以速度v 2＝1 m/s 水平抛出的瞬间，绳若受拉力，求其大小；若不受拉力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．答案 (1)10 m/s (2)3 N (3)不受拉力 0.6 s解析 (1)小球做完整的圆周运动的临界条件为在最高点重力刚好提供小球所需的向心力，则 mg ＝m v 02L解得施加给小球的最小速度v 0＝10 m/s(2)因为v 1>v 0，故绳受拉力．根据牛顿第二定律有T ＋mg ＝m v 12L代入数据得绳所受拉力T ′＝T ＝3 N(3)因为v 2<v 0，故绳不受拉力．小球将做平抛运动，其运动轨迹如图所示， 设经过时间t 绳子再次伸直，则L 2＝(y －L )2＋x 2x ＝v 2ty ＝12gt 2代入数据联立解得t ＝0.6 s.。
022竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题
一.竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球受力特征除重力外，物体受到的弹力向下或等于零除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上受力示意图过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，mg－F N＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心，并随v的增大而增大3.竖直面内圆周运动问题的解题思路二. 杆—球模型经典例题讲解与对点演练（一）例题例1：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( ) A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A解析 当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，即当速度v ＝gR时，轻杆所受的弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，若v <gR ，则有：mg －F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v >gR ，则有：mg ＋F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C 、D 错误．（二）杆—球模型对点演练：1.如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B ，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( ) A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gL C ．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L ，解得：F ＝1.5mg ，根据牛顿第三定律可知，C 正确，D 错误．2.(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。
高中物理《竖直面内的圆周运动》教案
竖直面内的圆周运动教案xxxxxxxxx竖直面内的圆周运动教学目标1.知识目标(1)理解竖直面内圆周运动的两种模型及其特点。
(2)学会应用处理竖直面内圆周运动问题的基本方法解题。
2.能力目标(1)能够运用竖直面内圆周运动的两种模型及其特点分析解题。
(2)学生会自己动手推导，讨论，分析竖直面内圆周运动的问题。
(3)培养学生逻辑思维能力。
3.情感目标(1)通过这节课的学习激发学生的学习兴趣。
(2)让学生发现并体会物理学中的逻辑性。
(3)通过自己的推理去感受物理学习中的乐趣。
教学重点1．理解竖直面内圆周运动的两种模型及其特点。
2．应用处理竖直面内圆周运动问题的基本方法解题。
教学难点应用处理竖直面内圆周运动问题的基本方法解题。
教学方法在教法上采用师生讨论的教学方法。
学法上让学生用已学的知识、探究、讨论等，使学生主动、积极参与到学习中来，充分体现了学生的主体地位，让学生在动手探究的过程中体验和发现成功的喜悦。
教学过程前面我们学习圆周运动的知识，在生活中我们会碰到像竖直面内圆周运动问题，这节课我们就来复习竖直面内的圆周运动。
一. 竖直面内圆周运动的两种模型:轻绳模型轻杆模型1：轻绳模型用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球，使小球在竖直平面内作圆周运动，如图所示。
试分析: V 1oA LB V 2（1）当小球在最低点A 的速度为V1时，向心力的来源和绳的张力大小（2）当小球在最高点B 的速度为V2时，向心力的来源和绳的张力大小（3）若小球能做完整的圆周运动，则最高点的速度应满足什么条件？2：轻杆 模 型V 2V 1 讨论在最高点杆对小球无作用力，小球速度v 满足什么条件 ？在最高点杆对小球是支持力，小球速度v 满足什么条件 ？ 在最高点杆对小球是拉力，小球速度v 满足什么条件 ？vo v o o v o v没有支撑物的物体，能通过最高点做圆周运动的条件有支撑物的物体，能通过最高点做圆周运动的条件二.处理竖直面内圆周运动问题的基本方法： 1. 对圆周运动过程的某一状态点，常用牛顿运动定律和向心力公式建立方程。
竖直平面内的圆周运动 教案
竖直平面内的圆周运动模型1：无支撑模型如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点．．．的情况： 注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力（1）临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）（2）能过最高点的条件：v ≥Rg ，当V ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．（3）不能过最高点的条件：V ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）例1：把盛水的水桶拴在长为L 的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是多少？【针对训练】1、如图所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动，圆半径为R ，小球经过轨道最高点时刚好不脱离圆轨道，则其通过最高点时（ ）A ．小球对圆轨道的压力大于等于mgB ．小球受到的向心力等于重力mgC ．小球的线速度大于等于gRD ．小球的向心加速度大于等于g2、如图所示，用细绳拴着质量为m 的物体，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R .则下列说法正确的是（ ）A.小球过最高点时，绳子张力可以为零B.小球过最高点时的最小速度为零C.小球刚好过最高点时的速度是gRD.小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反3、绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳长为L=60cm, 求：（1）最高点水不流出的最小速率；（2）水在最高点速率v=3m/s 时，水对桶底的压力。
模型2：有支撑模型如图，球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．0 R（1）当v ＝0时，N ＝mg （N 为支持力）（2）当 0＜v ＜Rg 时， N 随v 增大而减小，且mg ＞N ＞0，N 为支持力．（3）当v=Rg 时，N ＝0（4）当v ＞Rg 时，N 为拉力，N 随v 的增大而增大（此时N 为拉力，方向指向圆心） 例2：长度为L=0.50m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m=3.0kg 的小球，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m/s ，（g=10m/s 2）则此时细杆OA 受的（ ）A. 6.0N 的拉力B. 6.0N 的压力C.24N 的压力D. 24N 的拉力【针对训练】1、如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，先给小球一初速度，使它做圆周运动。
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动(绳、杆模型)学校学案
竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型）学习目标：1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。
2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。
注意知识点：1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。
两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是：（1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。
（2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。
一、绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m ，绳长为R ，1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。
由牛顿第二定律得：向心力由重力mg 和拉力F 的合力提供：F-mg =2v m R 得：F =mg+2v m R在最低点拉力大于重力2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉力。
可知小球做圆周运动的向心力由重力mg 和拉力F 共同提供：F+mg =2v m R在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v 越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v 越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。
如果v 不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F 就会减小到0，这时小球的向心力最小F 向=mg ，这时只有重力提供向心力。
故：（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用 ，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。
mg =2v m R v 临界=Rg（2）小球能过最高点条件：v ≥Rg （当v >Rg 时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供） （3）不能过最高点条件：v <Rg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）二、杆模型：如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m ，杆长为R ，1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力mg 和拉力F的合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg =2v m R在最低点情况和绳模型一样2、在最高点时，我们对小球受力分析如图,杆的弹力F N 有可能是拉力，也可能是支持力。
圆周运动专题一水平面内圆周运动和竖直平面内的圆周运动(教案)
圆周运动专题一:水平面内圆周运动和竖直平面内的圆周运动【知识点一】水平面内的圆周运动1.向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心2.典型运动模型3.分析思路(1)选择研究对象，找出匀速圆周运动的圆心和半径。
(2)分析物体受力情况，其合外力提供向心力。
(3)由F＝m v2r或F＝mrω2或F＝mr4π2T2列方程求解。
【知识点二】竖直面内的圆周运动两类模型比较[例1] (多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D.当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg解析因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，B项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，A项正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg ＝mω2b ·2l ，可得ωb ＝ kg 2l ，C 项正确；当a 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg ＝mω2a l ，可得ωa ＝kg l ，而转盘的角速度ω＝2kg 3l<kg l ，小木块a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f ＝m ω2l ＝23kmg ，D 项错误。
答案 AC[例2] (多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。
人教版高一物理必修二第五章第七节《竖直面内的圆周运动》教学设计
竖直面内的圆周运动（教学设计）一、教学目标1．知识目标（1）了解竖直平面内的圆周运动的特点。
（2）了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心。
（3）掌握轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动的临界条件。
2．能力目标通过轻杆、轻绳物理模型的巩固，体会物理模型在物理学习中的重要性. 掌握牛顿第二定律在圆周运动中的方法。
3．情感目标培养学生建立物理模型的能力，理论联系实际，增强学生处理实际问题的能力二、教学要点（1）知道轻杆、轻绳、管道等物理模型；（2）会分析小球在特殊位置的受力；（3）了解小球在竖直平面内的运动情况。
三、教学难点轻杆、轻绳、管道等物理模型中的小球在竖直平面内做圆周运动的临界条件及应用四、教学流程教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：课程导入【课堂引入】观看摩托车杂技表演视频并回答问题：1、摩托车做什么运动呢？在哪个平面内呢？为什么在最高点时摩托车不下落？2、生活中还有哪些竖直面内的圆周运动？交流、探讨激发学生的探究欲望和学习兴趣。
明确本章主要目标环节二：讲授新课类型一轻绳牵拉型（轻绳模型）1．讲述：绳拴小球在竖直面内做圆周运动【演示1】用一细绳拴住一重物在竖直面内做圆周运动。
【问题探讨】【问题探讨1】（1）最高点：小球要在竖直平面内做完整的圆周运动，则在最高点速度满足的关系?（2）最低点：分析小球在最低点的受力情况和运动情况的关系；（3）在向上转的任意位置受力和速度的关系：（4）在向下转的任意位置受力和速度的关系：【演示2】过山车模型小组讨论：小球在最高点不掉下来速度满足的条件？【演示3】水流星的表演思考：在最高点水不流出，速度满足的关系?解：思考并利用自己已有的知识经验进行问题的回答。
独立思考小组讨论后作答（2）：思考并利用自己已有的知识经验进行问题的回答。
小组讨论后作答（4）：学生上台做实验，并进行讨论加以理解。
学生上台做实验，并进行讨论加以理解。
高中物理必修二 新教材 讲义 专题提升三 竖直平面内圆周运动的两种模型及临界问题
专题提升三竖直平面内圆周运动的两种模型及临界问题[学习目标]1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型。
2.学会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型的方法。
3.分析临界状态，找到临界条件，解决临界问题。
提升1竖直平面内圆周运动的两种模型1.两种模型特点(1)轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。
其特点是在最高点无支撑。
(2)轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。
其特点是在最高点有支撑。
2.竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较项目轻绳模型轻杆模型情景图示最高点受力特征除重力外，物体可能受到向下的弹力除重力，物体可能受到向下或向上的弹力受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0，即mg＝mv2minR，即v min＝gRv＝0时F向＝0，即F N＝mg v＝物体能否过最高点的临界速度F N表现为拉力(压力)还是支gR的意义持力的临界速度过最高点的条件最高点的速度v≥gR最高点的速度v≥0过最低点受力分析F N－mg＝mv2R，轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件F N－mg＝mv2R，存在对杆拉力或对管压力的最大值【思考】汽车过凸形桥最高点是哪类模型？提示汽车过凸形拱桥最高点相当于杆只有支持力而没有压力的情况，此时mg－F N＝m v2R，过最高点的临界条件是F N＝0，v＝gR。
轻绳模型【例1】(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(重力加速度为g)()A.小球在圆周最高点时的向心力一定等于重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为glD.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，故A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力提供，则可以使绳子的拉力为零，故B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝gl，故C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。
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竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型）学习目标：1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。
2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。
注意知识点：1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。
两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是：（1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。
（2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。
一、绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m，绳长为R，1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。
由牛顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力F的合力提供：F-mg =2vmR 得：F =mg+2vmR在最低点拉力大于重力2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉力。
可知小球做圆周运动的向心力由重力mg和拉力F共同提供：F+mg =2vmR在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。
如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F就会减小到0，这时小球的向心力最小F向=mg，这时只有重力提供向心力。
故：（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。
mg =2vmR v临界=Rg（2）小球能过最高点条件：v≥Rg（当v >Rg时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供）（3）不能过最高点条件：v <Rg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）二、杆模型：如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m，杆长为R，1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力mg和拉力F的合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg =2vmR在最低点情况和绳模型一样有可能是拉力，也可能是支 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图,杆的弹力FN持力。
（1）若杆的作用力为支持力；受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力列牛顿第二定律： mg -F=2vmR（2）若杆的作用力为拉力；受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向下的拉力列牛顿第二定律： mg+F=2vmR（3）若杆的作用力为零时，小球仅受竖直向下的重力；列牛顿第二定律： mg =2v m R (4)小球在最高点速度为零时，杆的支持力大小等于重力，小球的向心力为零。
注：小球在圆形管道内运动过圆周最高点的情况与此相同。
故杆或者圆形管道内运动过圆周最高点的情况可总结为：（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）（2）当0< v <Rg 时，F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）（3）当v =Rg 时，F =0（4）当v >Rg 时，F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）A ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mgC ．开始运动时，绳的拉力为2v m L D ．球过最高点时，速度大小为Lg 解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20v F mg m L -=，20v F m mg L=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L=，v Lg =，所以，A 、B 、C 均不正确。
故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零B ．球过最高点时，最小速度为RgC ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B 不正确；当v Rg =时，F = 0故A 正确。
当0< v <Rg 时，mg > F > 0，F 为支持力故D 正确。
当v >Rg 时，F >0，F 为拉力，故C 不正确。
故选：A 、D例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求：（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。
即：20v mg m R≤，则最小速率00.410v Rg ==⨯m/s = 2m/s （2）水在最高点速率大于v 0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F，由牛顿第二定律有F+ mg=2vmR， F =2vmRmg= 6.25N，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F/＝F = 6.25N，方向竖直向上。
巩固练习1．汽车以—定速率通过拱桥时，下列说法中正确的是 ( )A．在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力 B．在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力C．在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力 D．汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零2．乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是（）A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来B．人在最高点时对座仍可能产生压力，但压力一定小于mgC．人在最低点时对座位的压力等于mgD．人在最低点时对座位的压力大于mg3．把盛水的水桶拴在长为L的绳子一端，使水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从水桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是( )4．如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gLD．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力5．一轻杆一端固定一质量为M的小球，以另—端为轴在竖直面内做圆周运动。
小球运动到最高点时，关于小球受力，下列说法中正确的是 ( )A．轻杆对小球的作用力不可能向下 B．轻杆对小球的作用力不可能为零C．轻杆对小球的作用力和小球重力的合力提供向心力 D．小球所受的向心力不可能为零6．如图所示，长为L的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的水平轴转，使小球在竖直平面内运动，设小球在最高点的速度为v，则 ( )A．v的最小值为gLB．v若增大，向心力也增大C．当v由gL逐渐增大时，杆对球的弹力也增大D．当v由gL逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小7．如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有 ( )A ．小球通过最高点的最小速度为v Rg =B ．小球通过最高点的最小速度为0C ．小球在水平线ab 以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力D ．小球在水平线曲以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力8．如图所示，一质量为m 的木块从光滑的半球形的碗边开始下滑，在木块下滑过程中A ．它的加速度方向指向球心B ．它所受合力就是向心力C ．它所受向心力不断增大D ．它对碗的压力不断减小9．如图所示，小物体位于半径为R 的半球顶端，若给小物体以水平初速度v 0时，小物体对球顶恰无压力，则 ( )A ．物体立即离开球面做平抛运动B ．物体落地时水平位移为2RC ．物体的初速度0v gR =D ．物体着地时速度方向与地面成45°角10．杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子到最高点时，里面水也不流出来，这是因为 ( )A．水处于失重状态，不受重力的作用了 B．水受平衡力作用，合力为0 C．水受的合力提供向心力，使水做圆周运动 D．杯子特殊，杯底对水有吸力11．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为 ( ) A．0 B．mg C．3mg D．5mg12. 杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，求：（1）最高点水不流出的最小速率；（2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力。
13. 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到A。