竖直平面内的圆周运动 绳 杆模型 学校学案

竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型）学习目标：

1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。

2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。

注意知识点：

1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是：

（1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。

（2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。

一、绳模型：

如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m，绳长为R，1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳

的拉力。由牛顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力

F的合力提供：

F-mg =2v

m

R 得：F =mg+2v

m

R

在最低点拉力大于重力

2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到

重力、绳的拉力。可知小球做圆周运动的向心力由重力

mg和拉力F共同提供：

F+mg =2v

m

R

在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F

就会减小到0，这时小球的向心力最小F

向

=mg，这时只有重力提供向心力。故：（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用

，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。

mg =2v

m

R v

临界

=Rg

（2）小球能过最高点条件：v≥Rg

（当v >Rg时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供）

（3）不能过最高点条件：v

（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）

二、杆模型：

如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m，杆长为R，1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力

mg和拉力F的合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg =2v

m

R

在最低点情况和绳模型一样

有可能是拉力，也可能是支 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图,杆的弹力F

N

持力。

（1）若杆的作用力为支持力；

受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力

列牛顿第二定律： mg -F=2v

m

R

（2）若杆的作用力为拉力；

受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向下的拉力

列牛顿第二定律： mg+F=2v

m

R

（3）若杆的作用力为零时，小球仅受竖直向下的重力；

列牛顿第二定律： mg =2v m R (4)小球在最高点速度为零时，杆的支持力大小等于重力，小球的向心力为零。 注：小球在圆形管道内运动过圆周最高点的情况与此相同。 故杆或者圆形管道内运动过圆周最高点的情况可总结为：

（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）

（2）当0< v F > 0（F 为支持力）

（3）当v =Rg 时，F =0

（4）当v >Rg 时，F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）

例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且

刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）

A ．球过最高点时，速度为零

B ．球过最高点时，绳的拉力为mg

C ．开始运动时，绳的拉力为2

v m L D ．球过最高点时，速度大小为Lg 解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即

20v F mg m L -=，20v F m mg L

=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2

v mg m L

=，v Lg =，所以，A 、B 、C 均不正确。故选：D

例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端

O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）

A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零

B ．球过最高点时，最小速度为Rg

C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反

D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力

解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B 不正确；当v Rg =时，F = 0

故A 正确。当0< v F > 0，F 为支持力故D 正确。当v >Rg 时，F >0，F 为拉力，故C 不正确。故选：A 、D

例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求：

（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？

（２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？

解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。即：20v mg m R

≤，则最小速率00.410v Rg ==⨯m/s = 2m/s （2）水在最高点速率大于v 0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对