选修4-2 矩阵与变换 第一节 线性变换与二阶矩阵
1.1 线性变换与二阶矩阵PPT课件 (人教A版选修4-2)
从而A'的坐标为(1,2).
一般地，在直角坐标系 xoy内，将每个点的纵坐标 变为原来 的k倍(k是非零常数 ), 横坐标保持不变的线性 变换，其变换公式是
x' x, 1 0 . 对应的二阶矩阵是 y' ky. 0 k
在二阶矩阵中，横的叫 行，从上到下依次称为 矩阵的第一行、 第二行； 竖的叫列，从左到右依 次称为矩阵的第一列、 第二列 .
矩阵的表示法 ： 矩阵通常用大写的英文 字母A，B，C， 表示.
几个特殊的矩阵： 0 0 零矩阵：元素全为 0的二阶矩阵 0. 0 0 称为零矩阵，简记为 1 0 单位矩阵：矩阵 为E 2 . 0 1 称为二阶单位矩阵，记
关于y轴的反射变换把直角坐标系 xoy内的任意一点 P( x, y) 变成它关于y轴的对称点P' ( x' , y' ).相应的坐标变换公式是
x ' x, -1 0 对应的二阶矩阵为 . y ' y . 0 1
关于直线y x的反射变换把直角坐标 系内任意一点 P ( x, y) 变成它关于直线 y x的对称点P' ( x' , y' ), 相应的坐标变换公式 是
在平面直角坐标系 oxy内，很多几何变换都具 有下列形式： x' ax by, (3) y ' cx dy. 其中系数a, b, c, d均为常数.我们把形如(3)的几何变换叫做 线性变换， (3)式叫做这个线性变换的 坐标变换公式 . P' ( x' , y ' )是P( x, y )在这个线性变换作用下 的像.
高考数学总复习 第1节 线性变换与二阶矩阵课件 苏教版选修4-2
1 矩阵称为切变变换矩阵．以 0
k 把平面上的点(x， 1
y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位， 当 ky>0 时沿 x 轴正方向移动， 当 ky<0 时沿 x 轴负方向移动，当 ky＝0 时原地不动．
【基础自测】
1 －1 对应的变换作用下得到的点的坐 1． 点 A(3， －6)在矩阵 1 0 2
a11 a21
a12 b11 b12 a22b21 b22 a11×b12＋a12×b22 . a21×b12＋a22×b22
a11×b11＋a12×b21 ＝ a ×b ＋a ×b 21 11 22 21
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB)C＝A(BC)， AB≠BA， 由 AB＝AC 不一定能推出 B＝C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数 相等时才能进行乘法运算．
a11 (2)二阶矩阵 a21 a11×x0＋a12×y0 a ×x ＋a ×y . 21 0 22 0
x0 a11 a12 x0 a12 与列向量 和乘法规则： ＝ a22 y0 a21 a22y0
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵， 其乘法法则如下：
1 M1＝ 0 1 0 ，M2＝ 0 1 0 0 ，M3＝ 0 0
0 确定的投影变换．需要注意 1
的是投影变换是映射，但不是一一映射． (6)由矩阵
1 M＝ 0
k 1 或 1 k
0 确定的变换称为切变变换，对应的 1
1 k 为例，矩阵 1 0
第 1节
线性变换与二阶矩阵
【知识梳理】 1．矩阵的相关概念 (1)由 4 个数
a a，b，c，d 排成的正方形数表 c
选修4-2矩阵与变换知识点讲解
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念①OP → =→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3③ 概念一：象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示，叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）⑤向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。
概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。
a,b,c,d 称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。
②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦三、二阶矩阵与线性变换— 2— 3— ⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 9086 88231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦1.旋转变换问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。
高中数学选修4-2(人教A版)第一讲线性变换与二阶矩阵2.3知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学选修4-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一讲 线性变换与二阶矩阵 三 线性变换的基本性质一、知识清单线性变换与二阶矩阵二、知识讲解1.线性变换与二阶矩阵旋转变换平面上的图形绕原点旋转可以看成一个变换（transtormation），称为旋转变换，它建立了平面上的每个点到的对应关系用一个字母来表示这个旋转变换．为了表示点对应，写成，称是在变换作用下的像（image）．并且用箭头来表示与的这种关系：变换：或：．在平面上建立了直角坐标系之后，变换也建立了这两个点的坐标之间的对应：变换：．与对应关系式左边的，组成点的坐标，可以看成向量的坐标，排成一列的形式，称为列向量（columnvector）．一般地，如果变换：前后坐标之间的关系具有如下的形式：也就是，都是，的常数项为的一次函数，就将这样的变换称为线性变换（linear transformation），此时可以将变换表达式写成的形式 ．不同的线性变换差别仅仅在于一次函数表达式中的个系数，，，的不同．因此这个数排成的行列的数表决定了平面上的线性变换．我们将这样由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵（matrix），也称为矩阵．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
αP (x ,y )(,)P ′x ′y ′{=x cos α−y sin α,x ′=x sin α+y cos α．y ′T P P ′=T (P )P ′P ′P T P P ′ T P ↦P ′ T P ↦T ()P ′T T (x ,y )↦(,)x ′y ′P P ′x ′y ′P ′(,)x ′y ′O P ′−→−()x ′y ′T P (x ,y )↦(,)P ′x ′y ′{=ax +by ,x ′=cx +dy ．y ′x ′y ′x y 0T ()=x ′y ′()a c b d ()x y 4a b c d 422()a c b d 422222×2。
选修4-2 矩阵与变换
明 考 向
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
考什么
抓 基 础
怎么考 矩阵的运算及
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
明 考 向
矩阵变换的应用是
高考考查的重点， 都以解答题形式考 查.
(2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律． (4)理解矩阵乘法不满足消去律.
目 录
选修4-2 矩阵与变换 第一节 第二节 矩阵的性质、变换及乘法 逆变换与逆矩阵，矩阵的特征向量
数学（理）
选修4-2
矩阵与变换
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
[备考方向要明了]
抓 基 础
考什么 1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二 阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β) ＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、 旋转变换、投影变换、切变变换．
2 2 2 2 x y ∴圆 C： x2＋y2＝1 在变换 T 的作用下变成了椭圆 ＋ 4 16
提 能 力
明 考 向
0 1
0 1 ， 关于 y＝x 对称对
应的矩阵为 A＝
1 0 .
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
(3)伸缩变换：对应的二阶矩阵
抓 基 础
k1 A＝ 0
0 ，表示将每个 k2
点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍． (4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A
选修4_2矩阵与变换1、2
选修4—2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法考点新知掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换解决简单问题.1. 求点A(3,6)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1012对应的变换作用下得到的点的坐标． (－3,3) 2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．(m=2.k=-4)3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用变换为(x,2x)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2，∴T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.4. 求曲线y ＝x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．(x ＝y)5. 求直线x ＋y ＝5在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011对应的变换作用下得到的图形．(点(0,5))1. 变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y)，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y)→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a ，b ，c ，d ∈R )．2. 几种常见的平面变换(1) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k>0)确定的变换T M称为(垂直)伸压变换．(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称． (4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cosθ－sinθsinθ cosθ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换．3. 变换的复合与矩阵的乘法(1) 一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足变换律． (2) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )． (3) 矩阵的乘法不满足消去律.题型1 求变换前后的曲线方程例1 (2011·盐城三模)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－11对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解：设P(x 0，y 0)为曲线C 上任意一点，它在矩阵M 对应的变换下作用得到点Q(x ，y)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x －x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎨⎧x 0＝x －y2y 0＝x ＋y 2.因为P(x 0，y 0)为曲线C上一点，所以x 0y 0＝1，所以x －y 2·x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4，所以曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.备选变式(教师专享) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 001，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝12sin 12x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．解： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， 设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN变换下的对应点，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x 0y ＝2y 0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝12y . 又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝12sin 12x 上，故y 0＝12sin 12x 0，从而12y ＝12sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.题型2 根据变换前后的曲线方程求矩阵例2 (2011·南通三模)已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a>0，b>0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P(x ，y)为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax y ′＝by .又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以a 2x 29＋b 2y 24＝1.由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，所以 a 2＝9，b 2＝4.因为 a>0，b>0，所以a ＝3，b ＝2. 变式训练(2011·南京一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1ab 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解：解法1：在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)，A ，B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ， 所以A ′的坐标为(－2，－2b)；⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以B ′的坐标为(－2a ，－8)；由题意A ′，B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－2)－(－2b )－4＝0(－2a )－(－8)－4＝0，解得a ＝2，b ＝3. 题型3 平面变换的综合应用例3 (2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0k 10， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2－20 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0 k 0－2－2，可知A 1(0,0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2.所以k 的值为2或－2.1. 设T 是以Ox 轴为轴的反射变换，求变换T 的矩阵．解：∵(x ′，y ′)＝(x ，－y)，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1.2. 求圆x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003对应的变换下，得到的曲线的方程．解：设圆x 2＋y 2＝1上任意一点P(x 1，y 1)在矩阵A 作用下变为Q(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1y ＝3y 1，即⎩⎨⎧x 1＝x2y 1＝y 3.代入x 21 ＋y 21 ＝1可得到椭圆方程x 24＋y 29＝1.3. 在线性变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1122⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1122⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋y y ′＝2x ＋2y ，而x ＋y ＝k ，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝k y ′＝2k (k 为常数)，所以直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k,2k)．第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量考点新知①理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算． ②会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1. 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，求MN .⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. (2010·宿迁期末)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7a ，求a ，b 的值．（a ＝5，b ＝3.）3. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 34的特征值．解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－3λ－4＝(λ＋1)(λ－4)－6＝λ2－3λ－10＝(λ＋2)(λ－5)．令f(λ)＝0，则λ1＝5，λ2＝－2.5. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1的属于特征值－1的一个特征向量．解：当λ1＝－1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(－1)×⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0－y ＝－y ，x ＝0，令y ＝1，所以A 的属于特征值－1的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变 换成零向量.题型1 求逆矩阵与逆变换例1 将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sinx ，求变换矩阵M 的逆矩阵．解：解法1：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝⎛⎭⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002. 解法2：由于M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝x ′y2＝y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4y ＝2y ′，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002. 备选变式(教师专享) (2010·徐州市摸底)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N.解：解法1：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，按题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝42y －w ＝－1－4x ＋3z ＝－3－4y ＋3w ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92y ＝－1z ＝5w ＝－1.∴X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1 . 解法2：因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.∴X ＝M －1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 题型2 求特征值与特征向量 例2 (2011·南通三模)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a21，其中a ∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4 a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0－2x ＋(λ－1)y ＝0 x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0－2x ＋(λ－1)y ＝0 2x －3y ＝0.∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.变式训练(2010·宿迁模拟)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1的特征值和特征向量，并计算M 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤23的值． 解：矩阵M 的特征多项式f(λ)＝(λ－1)(λ＋1)，令f(λ)＝0，得到矩阵M 的特征值为λ1＝1或λ2＝－1，矩阵M 的属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，矩阵M 的属于特征值λ2＝－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝2α1＋3α2.所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝M (2α1＋3α2)＝2(Mα1)＋3(Mα2)＝2(λ1α1)＋3(λ2α2)，M 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝M 8(2α1＋3α2)＝2(M 8α1)＋3(M 8α2)＝2·18⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3·(－1)8⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3 (2011·南通泰州二模)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.求矩阵A .解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝1. 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝123c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.备选变式(教师专享)(2010·徐州市第三次调研)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，求矩阵A .解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3c ＋d ＝3 . 由矩阵A 属于特征值2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2c ＝2d ＝1 ，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.1. 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221的逆矩阵．A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3.2. 若N ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4231＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1，求矩阵N .⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 92－7－524. 3. (2011·徐州一模)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.4. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，求矩阵A .解：∵Aα1＝λα1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4－2＋b ＝2⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14. 5. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2的特征值及对应的特征向量．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.。
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-2 第1课时
栏目导引
a (2)矩阵的乘法：二阶矩阵 矩阵的乘法： 矩阵的乘法 c a 则为： 则为： c
b x 与 的乘法规 d y
d y
ax＋by ＋ x b ＋ cx＋dy ＝ _________.
选修4-2
矩阵与变换
栏目导引
(2)因为矩阵 M 对应的线性变换将直线变成直线 因为矩阵 (或点 ， 或点)， (1,3) 或点 所以可取直线 y＝3x 上的两点 ＝ 上的两点(0,0)， ， 1 －10 0 1 －11 － 2 得 ： ＝ ， ＝ 由 10 0 －1 13 2 －1 点 (0,0)， (1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换作用 ， 在矩阵 下的像分别是点(0,0)， (－2,2)． 下的像分别是点 ，－ ． 从而直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作 ＝ ＝－x. 用下的像的方程为 y＝－ ＝－
(2)矩阵乘法满足结合律 矩阵乘法满足结合律(AB)C＝A(BC)． 矩阵乘法满足结合律 ＝ ．
选修4-2
矩阵与变换
栏目导引
思考探究】 【思考探究】 矩阵乘法满足交换律和消去 律吗？ 律吗？
提示： 提示： 不满足 ，只满足结合律 ． 不满足 只满足结合律．
选修4-2
矩阵与变换
栏目导引
矩阵的运算
矩阵的运算只满足结合律， 矩阵的运算只满足结合律，不满足交换律和 消去律． 消去律．
a b 解析： 解析： 设 M＝ ＝ ， d c 1 1 a 1 由 M ＝ 得， ＝ ， 0 0 c 0
所以 a＝1， c＝0. ＝ ， ＝
选修4-2
矩阵与变换
(教师用书)高考数学一轮总复习 矩阵与变换课时训练 理(选修4-2)-人教版高三选修4-2数学试题
选修4－2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)1. 求点B(0，1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到的点的坐标．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110表示将图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的反射变换，故点B(0，1)变换得到点坐标B′(1，0)．2. 设圆F ：x 2＋y 2＝1在(x ，y )→(x′，y ′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M 及图形F′的方程．解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201.因为圆上任意一点(x ，y)变换为(x′，y ′)＝(x ＋2y ，y)，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′－2y′，y ＝y′. 因为x 2＋y 2＝1，所以(x′－2y′)2＋y′2＝1，即图形F′的方程为(x －2y)2＋y 2＝1.3. (2014·苏锡常镇二模)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．解：绕原点逆时针旋转90°对应的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －a b －2. 则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，3b ＋2＝5， ∴ a ＝3，b ＝1.4. 若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，求直线x ＋y ＋2＝0在M 对应的变换作用下所得到的曲线方程． 解：设点(x ，y)是直线x ＋y ＋2＝0上任意一点，在矩阵M 的作用下变换成点(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋y ，y ′＝y.因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝－2上，所以x′＝x ＋y ＝－2，故得到的直线方程为x ＋2＝0.5. (2014·某某二模)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试某某数a 的值．解：设直线l 上任意一点P(x ，y)在矩阵M 作用下的点P′的坐标为(x ′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝－x ＋2y. 将点P ′(x′，y ′)代入直线l′：x ＋y －4＝0，得(a －1)x ＋2y －4＝0.即直线l 的方程为a －12x ＋y －2＝0.所以a ＝3.6. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x ＋3y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解：由题设得MN ＝[0110][0－11 0]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1.设(x ，y)是直线2x ＋3y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝－y′.因为点(x ，y)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，从而2x ′＋3(－y′)＋1＝0，即2x′－3y′＋1＝0.所以曲线F 的方程为2x －3y ＋1＝0.7. (2014·某某)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x 、y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.8. 变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101.求：(1) 点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标；(2) 函数y ＝x 2的图象依次在T 1、T 2变换作用下所得的曲线的方程．解：(1) M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，所以点(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标是(－1，2)．(2) M ＝M 2M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－110，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任意一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝y －x ， 所以所求曲线的方程是y －x ＝y 2.9. 已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．解：这个变换的逆变换是先作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转45°变换，其矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （－45°） －sin （－45°）sin （－45°） cos （－45°）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22－22－22 －22. 10. 已知a 、b∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线L ：2x －y ＝3变换为自身，某某数a 、b.解：(解法1：特殊点法)在直线2x －y ＝3上任取两点(2，1)和(3，3)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋a 2b ＋3，即得点(a－2，2b ＋3) ；⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3＋3a 3b ＋9，即得点(3a －3，3b ＋9)．将()a －2，2b ＋3和()3a －3，3b ＋9分别代入2x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧2（－2＋a ）－（2b ＋3）＝3，2（－3＋3a ）－（3b ＋9）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.(解法2：通法)设P(x ，y)为直线2x －y ＝3上任意一点，其在M 的作用下变为(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋ay bx ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ，代入2x －y ＝3，得－(b ＋2)x ＋(2a －3)y ＝3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b －2＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. 11. (2014·某某二模)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 某某数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1) 设直线l 上一点(x ，y)在矩阵A 对应的变换下得点(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ＋3y ，y ′＝y ，代入直线l′，得2x ＋(b ＋3)y ＝1， ∴ a ＝2，b ＝－2.(2) ∵ 点P(x 0，y 0)在直线l 上， ∴ 2x 0＋y 0＝1.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 0＋3y 0，y 0＝y 0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝－15，∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)1. 已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4属于λ的一个特征向量，某某数a 、λ的值及A 2.解：由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 10－5 14.2. (2014·某某二模)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2、3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解：由题意知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42c ＋d ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3c ＋d ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝4. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －1316 16. 3. (2014·某某一模)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，c －d ＝－1. 再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝1. 联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1.4. (2014·某某期末)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，c ＋d ＝5，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝2，d ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 12 3. 5. 已知二阶矩阵A 有两个特征值1、2，求矩阵A 的特征多项式.解：由特征多项式的定义知，特征多项式是一个首项系数为1的二次三项式．因此不妨设f(λ)＝λ2＋bλ＋c.因为1，2是A 的特征值，所以f(1)＝f(2)＝0，即1，2是λ2＋bλ＋c ＝0的根．由根与系数的关系知：b ＝－3，c ＝2，所以f(λ)＝λ2－3λ＋2.6. 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3652有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，及属于特征值λ2＝－3的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，计算M 3α.解：令α＝m e 1＋n e 2，将具体数据代入，有m ＝1，n ＝－3，所以a ＝e 1－3e 2.M 3α＝M 3(e 1－3e 2)＝M 3e 1－3(M 3e 2)＝λ31e 1－3(λ32e 2)＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤65－3×(－3)3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 1532 479， 即M 3α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 1532 479.7. (2014·某某期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.解：(1) 由题意得：Aα＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2，m ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2. (2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 02 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120－11. 8. 利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－8.解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝－13，y ＝23，z ＝43，w ＝－53，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53. 可得X ＝M－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－720. 所以原方程的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－720.9. (2014·某某二模)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ak 01(k≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．某某数a 、k 的值．解：设特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ak －k ＝λk，λ＝1. 因为k≠0，所以a ＝2.因为A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以2＋k ＝3，解得k ＝1. 综上，a ＝2，k ＝1.10. 设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 方向伸长为原来5倍的伸压变换．求：(1) 直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2) M 的特征值与特征向量．解：(1) M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1005.设(x′，y ′)是所求曲线上的任意一点，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1005⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以{x′＝x ，y ′＝5y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝15y′，代入4x －10y ＝1，得4x′－2y′＝1， 所以所求曲线的方程为4x －2y ＝1. (2) 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－100λ－5＝(λ－1)(λ－5)．令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝5.当λ1＝1时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10；当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.11. (2014·苏锡常镇一模)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.。
选修4-2矩阵与变换知识点
1．二阶矩阵的乘法
一般的，设
A=
⎡a1
⎢ ⎣
c1
b1 d1
⎤ ⎥ ⎦
，B=
⎡ ⎢ ⎣
a2 c2
b2 d2
⎤ ⎥ ⎦
，则
AB=
⎡ ⎢ ⎣
a1 c1
b1 ⎤ ⎡a2
d1
⎥ ⎦
⎢ ⎣
c2
b2 d2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a1a2 ⎢⎣c1a2
+ +
b1b2 d1c2
a1b2 + b1d2 ⎤
c1b2
+
d1 d2
⎥ ⎦
4．逆矩阵的性质 （1）性质 1 设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的． （2）性质 2 设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且（AB）-1=B-1A-1． 5．逆矩阵的判定及求法
定理：二阶矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
是可逆的，当且仅当
令 f (λ)=0，求出矩阵 A 的特征值 ξ1，ξ2 ;（3）分别就 ξ1，ξ2 列出相应的二元一次方程组， 求出对应的特征向量ξ1，ξ2 ．
阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥可逆时，那么该方程组有唯一解 ⎦
⎡x
⎢ ⎣
y
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a ⎢⎣c
b d
−1
⎤ ⎥ ⎦
⎡e
⎢ ⎣
f
⎤ ⎥
．
⎦
（ 2）推论
关于变量
x,y
的二元一次方程
组
⎧ ⎨ ⎩
ax cx
+ +
by dy
2014年人教A版选修4-2课件 1. 线性变换与二阶矩阵
(一) 几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1. 旋转变换 问题 1. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 内任一点 P(x, y) 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 180 后得到点 P(x, y), 点 P 与点 P 是怎样的对称? 两点的坐标有 什么关系? y P(x, y) 点 P 与点 P 关于原点 O 成 中心对称. x O x= -x, ① P (x, y) y= -y. ① 式称为旋转角为180的旋转变换表达式. 我们 称 P 是 P 在这个旋转变换作用下的像.
例1. 在直角坐标系 xOy 内, 将每个点绕原点 O 按逆时针方向旋转 30 的变换称为旋转角是 30 的旋 转变换. (1) 求点 A(1, 0) 在这个旋转变换作用下的像 A; (2) 试写出这个旋转变换的表达式. y P(x, y) 解: (2) 设平面内任一点 P(x, y), P(x, y) 旋转变换为 P(x, y). ∴x= |OP|cos(q +30) q x O 于是得这个旋转变换的表达式为 = |OP|(cosq cos30 - sinq sin30) 3 1 3 = x = x- x y, 1 y, 2 22 2 |sin(q +30) y= |OP y = 1 x + 3 y. |(sin 2 q cos30 2 +cosq sin30) = 1 x + 3 y. = |OP 2 2
像这样, 由 4 个数 a, b, c, d 排成的正方形数表 a b 称为二阶矩阵, 数 a, b, c, d 称为矩阵的元素. c d 在二阶矩阵中, 横的叫行, 从上到下依次称为矩阵的 第一行、第二行; 竖的叫列, 从左到右依次称为矩阵
的第一列、第二列. B, C, … 表示.
矩阵通常用大写的英文字母 A,
选修4-2矩阵与变换知识点讲解
四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：
选修4-2 矩阵与变换第一讲 线性变换与二阶矩阵
2 试写出这个旋转变换的表达式.
y P'
x r cos y r sin
P x
x r cos +30 r sin +30 y
30° θ O
x y
3 1 x y 2 2 1 3 x y 2 2
那么旋转角为30的旋转变换的坐标变换公式就可以写成
x y
§2 二阶矩阵与平面向量的乘法
x a b 定义：设A , , 规定二阶矩阵A与向量的乘积为 c d y a b x ax by 向量 .记为A或 ，即 cx dy c d y a b x ax by A = = . c d y cx dy
a1 b1 a2 b2 设 , 所对应的二阶矩阵分别为A , B . c1 d1 c2 d 2 若 =，那么它们对应的系数分别相等.这时我们也称二阶矩
阵A和B相等, 简记A B.
§2 二阶矩阵与平面向量的乘法
线性变换与二阶矩阵是一一对应的，能否直接用二阶矩阵 表示线性变换呢？
1 2 探究：设向量 , = , 利用平行四边形法则求 + , 2 1 再对 + 进行关于x轴的反射变换；或者，先对，做关于
在平面直角坐标系中，
形
平面内的点 平面内的曲线
数
有序实数对 方程
平面内的图形变换
§1.1 旋转变换
探究：将直角坐标系中所有点绕原点沿逆时针 方向旋转一个角度 .设平面内点P x, y 经过旋转 后变成点P x, y , 那么如何用P的坐标 x, y 表
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第一章 第一节 线性变换与二阶矩阵
x’=y,
y’=x.
对应的二阶矩阵是
0 1 1 0
3.伸缩变换
定义
在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐
标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2 ,其
中k1 ,k2均为非零常数,称这样的几何变换为
伸缩变换.
伸缩变换的坐标变换公式为:
x’=k1x,
y’=k2y.
k1 0 对应的二阶矩阵: 0 k2
1 k 0 1
抢答
平行于y轴的切变变换的坐标公式?
x’=x,
y’=kx+y. 对应的二阶矩阵:
1 0 k 1
（二）变换、矩阵的相等
3π 旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式 2 3π 3π x′ = x cos －y sin 2 2 3π 3π y′ = x sin + y cos 2 2
即:
x’=x,
重点
1.二阶矩阵的概念
2.线性变换及其对应的二阶矩阵
难点
线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系
（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵
旋转变换
反射变换
伸缩变换
投影变换
切变变换
1.旋转变换
Байду номын сангаас探究
将直角坐标系所有点绕原 点沿逆时针方向旋转一个角度α. 设平面内点P(x,y)经过旋转后变 ( x′ ) P′ , y′ 成点 那么如何用P的坐标(x,y) )? , y′ 表示 P′ 的坐标 ( x′
即:
x’=x, y’=－x.
对应的二阶矩阵:
π π cos （－ ） －sin （－ ） 2 2 π π sin （－ ） cos （－ ） 2 2
0 1
即:
高中数学人教版教材讲解(选修4-2-矩阵与变换)
（3）在第二讲中，通过实例考察在直角坐 标系内连续施行两次线性变换的作用效果是 否能用一个线性变换表示，进而一般化，引 入线性变换的复合，介绍二阶矩阵的一种重 要运算——矩阵的乘法，并通过应用进一步 理解矩阵的乘法；类比实数乘法的运算律， 研究二阶矩阵乘法的运算律，证明矩阵的乘 法满足结合律，通过学生熟悉的某些二阶矩 阵所对应的线性变换对单位正方形区域的作 用结果，得到矩阵的乘法不满足交换律和分 配律．
（4）在第三讲中，类比实数的乘法运算中
的一条重要性质：“如果
，
则
”，分别把恒等变换和单位
矩阵作为数１类比对象，通过线性变换引进逆 矩阵，并通过线性变换和生活中的常识理解逆 矩阵的性质；引进二阶行列式，利用它研究逆 矩阵，解决如何判断二阶矩阵是否可逆以及如 何求可逆矩阵的逆矩阵的问题；本讲还从线性 变换的角度来认识解二元一次方程组的意义， 并利用逆矩阵求解系数矩阵可逆的二元一次方 程组．
无论在理解本专题的内容时，还是教学中， 都要把握好两个关键词：线性变换，二阶矩 阵。
一、课程标准中的内容与要求
1．理解二阶矩阵的概念 2．二阶矩阵与平面向量（列向量） 的乘法、平面图形的变换 （1）以变换的观点认识矩阵与向 量乘法的意义。 （2）证明矩阵变换把平面上的直 线变成直线，即证明矩阵变换是线性 变换：
题（人口迁移问题）．
3．本讲的重点和难点
（1）本专题的重点是通过平面图形的变换引 入二阶矩阵，认识矩阵与向量乘法的意义， 讨论线性变换的基本性质、二阶矩阵的乘法 及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量的概念与 性质等，并以变换的观点理解解线性方程组 的意义。 （2）矩阵的内容比较抽象，本专题的难点是 线性变换的基本性质、矩阵乘法的运算律 （这可能是学生第一次遇到不满足交换律、 消去律的运算）、矩阵的特征值与特征向量 的概念等。
高中数学 第一节 线性变换与二阶矩阵课件 新人教A版选修42
,
A=B,则_a_1_=_a_2,_b_1=_b_2_,_c_1=_c_2_,_d_1_=_d_2 .
(3)二阶矩阵与向量的乘积
ax by
设
A
a c
b d
,α
x y
,
则 Aα
=___c_x__d_y___
.
3.线性变换的基本性质 设A是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向量，λ，λ1， λ2是任意实数.
【变式训练】已知a，b∈R，若 M＝－b1
a
3
所对应的变换TM把
直线l：3x－2y＝1变换为自身，试求实数a，b的值．
【解析】在直线l上任取一点P(x，y)，设点P在TM的变换下变 为点P′(x′，y′)，
则－b1
a 3
x y
＝
x y
，xy＝＝b－x＋x＋3ya，y，
所以点P′(－x＋ay，bx＋3y).
(2)错误.二阶矩阵仅仅是一个包含两行、两列的数表，它既不
是数，也不是代数式.
(3)错误.两个矩阵相等，不但要求元素相同，而且要求元素的
位置一样.
(4)正确. R表 示顺时针旋转 3 5两， 种变换是一个变换. 3
3表，示R 逆53 时针旋转
(5)正确.
由Aα
ax cx
by dy
(其中A
【思路点拨】(1)首先设出矩阵M,再利用二阶矩阵与平面向量 的乘法构造方程组，再解方程组求出矩阵M. (2)利用矩阵M与平面向量的乘法列出关于x,y的方程组,解方程 组求x,y.
【规范解答】
1 设M
a
c
b
d
,
则由
a c
b d
1 2
4 5
选修4-2矩阵与变换.docx
第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩 乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一 的平面几何 常可以看做是伸 、反射、旋 、切 的一次或多次复合，而伸 、反射、切 等 通常叫做初等 ； 的矩 叫做初等 矩 ．(2)MN 的几何意 ： 向量x 矩 乘法α＝ 施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合 ．·(3) 当 向量 施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ， 地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩 乘法的运算性(1) 矩 乘法不 足交 律于二 矩A ，B 来 ，尽管 AB ， BA 均有意 ，但可能 AB ≠BA .(2) 矩 乘法 足 合律A ，B ，C 二 矩 ， 一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩 乘法不 足消去律．A ，B ，C 二 矩 ，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小 体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析： 因 A ＝ B ，x ＝ 8， ＋ ＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ， 它所 的 矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析： 将它写成矩 的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所 的 矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩 的乘法 着 的复合，而两个 的复合仍是一个 ，且两个 的复合 程是有序的，易 倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝ ＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算 基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝ － 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝ ，x ，y 为实数． 若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解： 由已知，得 A α＝ － 12 2 ＝ － 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以 － 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝ ，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解： 因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝ ，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝ ，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解： 设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝ ， ′ ＋′ ＝ ，y ′ ＝ ，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵， 常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ， 则 ＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法 重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解： 由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解： 绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋ －＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解： 设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝， 即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解： 设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解： 设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋ ＝ － 3 1 ， ＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解： 由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ， 即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解： 设 M ＝，由题意，得＝ ， ，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解： 设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则 － 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步： 将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝ － 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析： 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝ ，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案： － 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝ 的一个特征向量，则实数322解析： 设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆， 只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆， 如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝ 不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一： 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝ ， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二： 注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝ 是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析： 因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ， 即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案： － 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解： 设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即 － a － b 1 0则＝＝ ，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一： 待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二： 利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝ ：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－ ＝ 1≠ 0， 解：法一： 因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二： 因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页 共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得 － ＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝ ＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求 出 该 矩 阵 的 特 征 值 ， 然 后 把 特 征 值 代 入 矩 阵 A所 确 定 的 二 元 一 次 方 程 组λ－ a x － by ＝ 0， 即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值 － 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝ 是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解： 由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－ － 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1， 则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解： 设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝ ，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝ ， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝ ＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解： 矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值 ，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解： 由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解： 特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－ ＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－ － ＝ ，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝ － 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解： 令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝ － 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解： 把 λ＝－ 2 代入－λ－ ＋ ＝ ，得＝ ，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝ ，c d1 8a ＋ ＝ ，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝ ，故故c d＋ ＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点， 其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ， ＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。
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第一节 线性变换与二阶矩阵1．矩阵的相关概念(1)由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 称为二阶矩阵，数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A ，B ，C ，…表示．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤000称为零矩阵，简记为0，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1称为二阶单位矩阵，记作E 2.2．矩阵的乘法(1)行矩阵[]a 11a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则：为[]a 11a 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21.(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0和乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．3．线性变换的相关概念(1)我们把形如⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋byy ′＝cx ＋dy (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐标变换公式，P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在这个线性变换作用下的像．(2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P ，都有σ(P )＝ρ(P )，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A ，B ，则A ＝B .4．几种常见的线性变换 (1)由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E .平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己．(2)由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换，这时称矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 伸压变换矩阵．当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当0<k <1时压缩．变换T M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量)沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”，它是x 轴方向伸长或压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当0<k <1时压缩．在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．由矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1确定的变换是关于x 轴的轴反射变换，由矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1确定的变换是关于y 轴的轴反射变换，由矩阵M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0确定的变换是关于直线y ＝x 的轴反射变换．(4)将一个平面图形绕一个定点旋转角α，得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时，旋转变换的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换．(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤101 0，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射．(6)由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 01为例，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 0 1把平面上的点(x ，y )沿x 轴方向平移|ky |个单位，当ky >0时沿x 轴正方向移动，当ky <0时沿x 轴负方向移动，当ky ＝0时原地不动．1．点A (3，－6)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 12对应的变换作用下得到的点的坐标是________．解析：∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 9－3.∴变换作用下得到的点的坐标是(9，－3)． 答案：(＋9，－3)2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －20 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1，则它表示的方程组为________．解析：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －20 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x －2y 0＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，3y ＝－1. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，3y ＝－13．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －9x 2 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －5 a 9b ，若A ＝B ，则x ＝________，a ＝________，b ＝________.解析：∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2x －5，－9＝a ，x 2＝9，0＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，a ＝－9，b ＝0，∴x ＝－3，a ＝－9，b ＝0. 答案：－3 －9 04．在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 21 －3对应的变换作用下得到点(2，－4)的平面上的点P 的坐标是________． 解析：设P (x ，y )，由矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 21 －3得坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ＋2y ，y ′＝x －3y ，，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3x ＋2y ，－4＝x －3y ， 解得⎩⎨⎧x ＝－211，y ＝1411，∴所求点P ⎝⎛⎭⎫－211，1411. 答案：⎝⎛⎭⎫－211，1411 5．若曲线y ＝x 2(x ≥0)在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y ＝x 2(x ≤0)，则矩阵M ＝________.解析：由图象可知，此变换为以y 轴为对称轴的反射变换，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 001热点考向一矩阵相等问题例1 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3d 2b ＋c ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 b ＋c 4 a ＋2d ，若A ＝B ，求a ，b ，c ，d .【解析】 由矩阵相等的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，3＝b ＋c ，d ＝4，2b ＋c ＝a ＋2d ，解得a ＝5，b ＝10，c ＝－7，d ＝4.【点评】 矩阵相等，即两矩阵对应元素相等，这是寻找等式关系的关键．1．已知矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 a b1，N ＝⎝⎛⎭⎪⎫c 20d ，且MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2 0. 求实数a ，b ，c ，d 的值．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.热点考向二 线性变换例2 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．【解析】 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2y ＝y ′. 又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．求直线x －2y ＋1＝0经二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 110变换后的图形的方程．解析：设变换后的图形上的任一点为(x ，y )．与之对应的原直线上的点为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ′＋y ′ x ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＋y ′＝x ，x ′＝y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝x －3y ， 又∵(x ′，y ′)在直线x －2y ＋1＝0上． ∴y －2(x －3y )＋1＝0，即：2x －7y －1＝0 ∴变换后的图形的方程为2x －7y －1＝0.热点考向三 矩阵乘法的几何意义例3 求曲线x 2＋y 2＝1，依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1变换作用下得到的曲线方程．【解析】 ∵BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 任取x 2＋y 2＝1上一点P (x 0，y 0)，它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yy 0＝－x 2∵P (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上． ∴y 2＋x 24＝1.即所求曲线方程为y 2＋x 24＝1. 【点评】 (1)要注意矩阵乘法不满足交换律，所以要分清AB 还是BA . (2)注意原曲线上的点P 与变换后曲线上的点P ′的对应关系，不要弄错．3．求出曲线x 2＋y 2＝1依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程．解析：由已知AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.任取曲线x 2＋y 2＝1上一点P (x 0，y 0)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2y 0＝x ，x 0＝y .∵P 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.因此y 2＋x 24＝1，从而曲线x 2＋y 2＝1在矩阵AB 作用下变成椭圆x 24＋y 2＝1.一、填空题1．直线2x ＋y －1＝0经矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1的变换后得到的直线方程为________．解析：由变换矩阵M 知坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－x y ′＝－y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′y ＝－y ′代入直线方程2x ＋y －1＝0得2x ′＋y ′＋1＝0，即2x ＋y ＋1＝0. 答案：2x ＋y ＋1＝02．在某个旋转变换中，顺时针旋转π3所对应的变换矩阵为________．解析：顺时针旋转π3即逆时针旋转53π，变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 5π3－sin 53πsin 5π3cos 5π3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π3 sinπ3－sin π3cos π3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32－32 123．在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201变换下，点A (2,1)将转换为________，这是一种________变换．解析：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41，即点A (2,1)经过变换后变为A ′(4,1)，所以该变换为平行于x 轴的切变变换．答案：(4,1) 切变4．已知B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－2 3，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0，并且(AB )C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －13 －2，则矩阵A ＝________.解析：∵(AB )C ＝A (BC )，又BC ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 13 －2， 所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 3 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －13 －2， ∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －13 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 3 －2－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －13 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤11015.有一矩阵对应的变换把图中△ABO 变成△A ′B ′O ，其中点A 的象点为A ′，点B 的象点为B ′，则该矩阵为________．解析：设所求矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3可得a ＋2b ＝1 ①，c ＋2d ＝3 ②， 2a ＋b ＝－1 ③，2c ＋d ＝3 ④，由①、②、③、④解得a ＝－1，b ＝1，c ＝1，d ＝1，故所求矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 116．设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b 将直线l ：x ＋y －1＝0变为直线m ：x －y －2＝0，则a ，b 的值为________．解析：在直线l 上任取一点P (x ，y )，经矩阵变换后为点P ′(x ′，y ′)．则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋y by ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝by .所以ax ＋y －by －2＝0，即ax ＋(1－b )y －2＝0，于是由a 1＝1－b 1＝－2－1，解得a ＝2，b ＝－1.答案：2，－17．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)，B (－1,2)，C (0,3)，则△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 作用下变换所得到的图形的面积为________．解析：设A ，B ，C 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0的作用下的点为A ′，B ′，C ′，∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，∴A ′(0,0)，B ′(－2，－1)，C ′(－3,0)， ∴S △A ′B ′C ′＝12|A ′C ′|·|y B ′|＝12×3×1＝32.答案：328．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1对应的变换下作用后形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比为________．解析：由题意知T M 为切变换，故变换前后的图形面积大小不变． 答案：1∶1 二、解答题9．(2011年江苏)正如矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解析：∵A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. 10．设圆F ：x 2＋y 2＝1在(x ，y )→(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )对应的变换下变换成另一图形F ′，试求变换矩阵M 及图形F ′的方程．解析：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. ∵圆上任意一点(x ，y )变换为(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋2y y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′－2y ′y ＝y ′. ∵x 2＋y 2＝1，∴(x ′－2y ′)2＋(y ′)2＝1.即F ′的方程为(x －2y )2＋y 2＝1.11．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 22－2222， 求证：MN ＝NM .证明：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 22－22 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－24 6＋24， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2222－2222⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－24 6＋24.。