可分离变量方程

1 ln(1 y2 ) cos x 0.
(2)求
解cos
2
ydx
(1
e
x
)
sin
ydy
0,
y0
4
(1 e x )sec y 2 2.
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第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程
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河海大学理学院
一、可分离变量的一阶微分方程
形如 dy f ( x) ( y)
dy
dx
f ( x)dx
( y)
可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
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(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
即为未知函数的微分方程. 可分离变量
dt (200 h h3 )dh,
x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C.
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例2 求解方程
(1 xy) ydx (1 xy x2 y2 )xdy 0
解 令u xy,
方程化为 u3 (1 u u2 )u x
通解为 2x2 y2 ln | y | 2xy 1 Cx2 y2 .
含有0.1% 的CO2 , 为了降低车间内空气中CO2
的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机
通入含 0.03% 的CO2 的新鲜空气, 同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6秒
钟后, 车间内CO2 的百分比降低到多少?
解 设鼓风机开动后 t 时刻车间内 CO2 的含量
为 x(t)（指的是体积）
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解 衰变速度 dM , 由题设条件
dt
dM M ( 0衰变系数) dM dt
dt
M
dM M
dt ,
ln M t lnC, 即M Cet ,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
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例4 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
在[t, t dt]内,
CO2的通入量 2000 dt 0.03%
CO2的排出量
2000 dt x(t) 12000
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CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
x 2000 dt 0.03% 2000 dt x(t)
dx
1
(x
3.6),
x
3.6
12000
1
t
0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0
100,
C
0.62
2g
14 105 15
,
所求规律为 t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
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思考题
求解微分方程 dy cos x y cos x y .
dx,
ln
y
1 ln(1 2
x2 ) C1
y C 1 x2为所求通解.
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例 求解微分方程 dy 2 xy2 的通解. dx
解 首先 : y 0 是解.
dy
设 y 0 分离变量 y2 2 xdx,
两端积分
dy y2
2xdx, 1 x2 C
y
y
x2
1
C
为所求通解.
dy
( y)
f
( x)dx
分离变量法
1
设函数G( y)和F(x)是依次为 ( y) 和 f (x)的原
函数,G( y) F( x) C 为微分方程的通解.
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二、典型例题
例1
求解微分方程
dy dx
xy 1 x2
的通解.
解
分离变量
dy y
x 1 x2
dx,
两端积分
dy y
x 1 x2
解 由力学知识得,水从孔 口流出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积
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S 1 cm2,
h
dV 0.62 2ghdt,
(1)
h h dh r
100 cm
设在微小的时间间隔[t, t dt],
o
水面的高度由h降至 h dh , 则 dV r 2dh,
dx
Leabharlann Baidu
2
2
解 dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 22
2cos x C, 2
为所求解.
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XT
(1)求解yy (1 y2 )sin x 0,
注 : y 0也是解,可见通解不是所有解.
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例2 证明方程 f (xy) ydx g(xy)xdy 0
可化为分离变量方程.
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)(du ydx) 0,
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0,
Ce 6
,
dt 6
1
t
x |t0 12 C 8.4, x 3.6 8.4e 6 ,
x |t6 3.6 8.4e1 6.6902 ,
6秒钟后, 车间内CO2的百分比降低到
6.6902 100% 0.056%.
12000
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例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的 底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米 (如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小 孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.