固体物理 第一章(1)

基矢（basis）：指原胞的边矢量， 三维格子的重复单元是平行六面体， a1、a2、a3是重复单元的边长矢量。
特点：
（1）空间点阵中体积最小的重复单元
a1 a 2 a 3


（2）空间点阵中每个固体物理原胞只包含一个格点
如果原胞是一个平行六面体，那么每个角上的格点 将分属于在该处相毗邻的八个晶胞，有81/8=1， 即每个原胞中只含有一个格点。
h 2 2 c a2 r 3 3 2
晶胞体积：V
ca 2 sin 60o
4 a 2 3 2 一个晶胞内包含两个原子，所以： Db 0.74 3 2 ca 2
3 2 ca 2
3
密堆积（面心立方、六角）结构的致密度是自然界中硬球
排列的最紧密的结构之一，即硬球排列的所有可能方式中
的最大配位数为12，最大的致密度为0.74。
思考题：以堆积模型计算由同种原子构成的铜体积的体心 和面心立方晶体中的原子数之比。（0.919）
1.4 原子的周期性阵列
一、晶格平移矢量
在理想情况下，晶体是由全同的原子 团在空间无限重复排列而构成的，这 样的原子团被称为基元（basis）。 在数学上，这些基元可以抽象为几何 点，而这些点的集合被称为晶格 （lattice）。 在三维情况下，晶格可以通过三个平 移矢量a1、a2、a3来表示。 （a）空间格点
配位是的大小描述晶体中粒子排列的紧密程度：粒子排列越紧密，配位数越大。
一、BCC堆积的致密度
设晶格常数为a，粒子半径为r，则：
a 2 2a 2 4r 4r a 3
2
晶胞中含有2个粒子，则BCC结构的致密度： 4 2 r3 3 Db 0.68 3 a
二、FCC堆积的致密度
• •
晶体结构格子：格点——原子，既能反映周期性，又反映基元 布喇菲格子：由基元的代表点（格点）形成的晶格称为布喇菲格子或布喇菲点 阵，它的特征是每个格点的周围的情况（包括周围的格点数和格点位置的几何 方位等）完全相同。格点——基元，只概括周期性，不反映基元 晶体结构格子=布拉菲格子+基元 晶体结构=空间点阵+基元
第一章 晶体结构
第二章 晶体结构测定
第三章 晶格振动
第四章 金属（I）：自由电子
第五章 金属（II）：能带论
第一章(1) 晶体结构
1.1 晶体的共性
1.2 一些晶格的实例 1.3 配位数和致密度
1.4 原子的周期性阵列
1.5 晶格的基本类型
1.6 再总结：布喇菲格子
固体的结构：固体材料是由大量的原子（或离子）组成的，原 子以一定方式排列，原子排列的方式称为固体的 结构。
晶体=几何结构（数学）+基本重复单元（物理）
• 基元：原子、分子或由多个原子构成的集团。如用几何点代表基元，那么几 何点在空间排列成晶格（点阵、格子），基元加在格点上形成晶体。 • • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 晶格：格点（结点）的总和，又称为空间点阵（点阵）和Bravais格子（格 子）。晶格是晶体结构的数学表示，晶格中的每个格点代表基元，不要和代 表原子的小球混淆。
二、简单立方堆积
正方排列层层重合堆积起来，就构成了简单立方结构
原子球的正方排列
简立方结构单元
没有实际的晶体具有简单立方晶格的结构，但是一些 复杂的晶格可以在简单立方晶格的基础上加以分析
三、体心立方堆积
把简单立方堆积的原子球均匀地散开一些， 而恰好在原子球空隙内能放入一个全同的原 子球，使空隙内的原子球与最近邻的八个原 子球相切，这就构成了体心立方堆积。
三、各向异性
晶体的物理性质是各向异性的：
1、平行石英的c轴入射单色光，不产生双折射；而沿其它方向入射产生单色光； 2、晶体沿某些确定方位的晶面发生解理的现象：方解石、云母。
由于晶体的物理性质是各向异性的，因此有些物理常数一般不能用一 个数值来表示。例如弹性常数、压电常数、介电常数、电导率等一般 需要用张量来描述。 晶体的各向异性是晶体区别于非晶体的重要特征。
由于生长条件的不同，同一种晶体的外形
会有差异。在某条件下生长的晶体的晶面 数目和相对大小，与另一条件下生长的同
一种晶体的晶面情况会有很大的差别。
一种人造晶体
尽管同一种晶体其外形可能不同，但相应 的两晶面之间的夹角总是不变的，这一规 律称为晶面夹角守恒定律。
mm两面夹角：600' mR两面夹角：3813' mr两面夹角：3813'
a2
1
a 2
a1
2
a2
3
a1
a 2
4
a1
a1
二维晶格的空间格点示意图。图中每对a1和a2都是晶格
平移矢量，但是， a1 和 a 2 不是初基平移矢量，因为不
•
r j x j a1 y j a 2 z j a 3
0 x , y , z
j j
j
1
三、原胞
• 所有晶格的共同特点是具有周期性，通常用原胞和基矢来描述。
原胞（primitive cell）：以一个格点位顶点，以三个不同方向 的周期为边长的平行六面体可以作为一个重复单元，该单元仅 在平行六面体的八个顶角上存在阵点，是晶格中体积最小的重 复性单元，称为原胞或初级晶胞。
五、六角密堆积
若第三层的原子球心落在第二层的空隙上，且与第一层平行对应， 就构成 了六角密堆积。
A
B A
六角密排晶格的典型单元
AB AB AB
Be、Mg、Zn、Cd等具有六角密排晶格结构
六、立方密堆积
若第三层的原子球心落在第二层的空隙上，且该空隙也与第一层 原子空隙重合，而第四层又恢复成第一层的排列，这就构成 了立 方密堆积。 每个原子和最近邻的原子之间都是相切的。
a
r0
0.31r0
A
r0 2r0 r0
2
3a 2
B
典型单元
堆积方式：AB AB…
相当多的金属如Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等具有体心立方晶格结构
四、密堆积
密排面：原子球若要构成最紧密的堆 积方式，原子球必须与同一 平面内相邻的6个原子球相 切。如此排列的一层原子面 称为密排面。 密堆积：要达到最紧密堆积，相邻原 子层也必须是密排面，而且 原子球心必须与相邻原子层 的空隙相重合，就会产生两 种密排结构： 六方密排晶格：AB AB AB 立方密排晶格：ABC ABC ABC 密堆积
这总是成立的，因为任何一个格矢总是由三个整数（比如l1、l2、
l3）和基矢的乘积构成的，整数的和依然是整数。
（3）平移一个格矢，晶格保持不变，因此它必是无限伸展的，即对无限（无边界） 离散的阵列，无论从这个阵列中的哪个方向去观察，其周围环境，即点的分 布和排列方位都是完全相同的。
初基晶格：对于任意的两个点，如果它们始终满足适当选取了整 数l1、l2、l3的下述方程式，而且从这两个点观察到的原子排列是 一样的，这个晶格称为初基晶格（primitive lattice），平移矢量 称为初基平移矢量（primitive translation vector）
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
（1）初基平移矢量的定义确保了没有比这组矢量所构成的体
积 a1 a 2 a 3 更小的晶胞，可作为晶体结构的“砌


块”； （2）通常用初基平移矢量来定义晶轴，这些晶轴构成初基平 行六面体的三个邻边。 （3）有时，非初基晶轴与结构对称性有更简单的关系，此时 也可以采用非初基晶轴。
固体物理
陈之战
2012年9月19日
固体物理学发展概况
最早发展的是矿物学，为了鉴别矿石，产生了晶体学，在
黄昆 1919-2005
19世纪发展到相当完善的地步。此外，由于冶金的发展，产生
了金属学，对固体的电学、磁学、光学的性质也进行 了细致的
研究。不仅如此，对晶体的微观结构也有研究，如将晶体外形 的规则性与内部原子的规则排列联系起来。 20世纪开始，电子论有很大的发展，对固体的电学、磁性、 光学性质发展了理论，然而是较简单的。由于X射线的发现， 对原子结构有了很好的了解，并且用X射线研究了原子排列， 使得对原子如何结合成为晶体的认识大大深入了一步。量子力 学提高了经典的电子论，使得更深刻地理解固体的电学、磁学、 光学性质。此外，技术的发展大大利用了固体的性质。
1.2 一些晶格的实例
晶格：晶体中原子排列的具体形式称为晶体格子，简称晶格。 （1）晶体原子规则排列形式不同，则有不同的晶格结构；
（2）晶体原子规则排列形式相同，只是原子间的距离不同，
则它们具有相同的晶格结构。
处理方法：把晶格设想成为原子球的规则堆积
一、正方堆积
把原子视为刚性小球，在二维平面内最 简单的规则堆积便是正方堆积； 任一个球与同一平面内的四个最近邻相 切。 原子球的正方堆积
列的，这种至少在微米数量级范围的有序排列，称为长程有序。 晶体分为单晶体和多晶体，多晶体是由许许多多小单晶（晶粒）
构成。对于单晶体，在整个范围内原子都是规则排列的；对于多
晶体，在各晶粒范围内，原子是有序排列的。
二、自限性
晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特
性，称之为晶体的自限性。这一特性是晶
体内部原子的规则排列在晶体宏观形态上 的反映。 理想石英晶体
（b）基元，包含两个不同的原子
（c）晶体结构
晶体结构是这样形成的，即将基元（b）配置 在晶格（a）的每个格点上，通过考察（c） 可以辨认基元，然后可引出空间格点。
数学定义：如果选择一组不共面的平移矢量（a1、a2、a3 ，也称为基 矢），那么用整数l1、l2、l3和基矢组成的矢量（也称为格矢，位矢）
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
（1）所给出的所有空间点的集合称为晶格，也称为空间点阵、点阵、Bravias格子、 格子； （2）基矢可以有多种选择，一般选最短；
格矢的重要特点：任何一个格矢可由另两个格矢的和来表示，
Rl R m R n
晶体：原子排列具有周期性（长程有序） 固 体 材 料
非晶体：原子排列不具有长程的周期性
准晶体：1984年从实验中观察到，既区别于晶体又 区别于非晶体的固体材料
固体中原子排列的形式是研究固体材料的宏观性质和各 种微观过程的基础。
1.1 晶体的共性
一、长程有序
长程有序是晶体最突出的特点。晶体中的原子都是按一定规则排
ABC立方密堆积
面心立方晶格的典型单元
ABC
ABC ABC
Cu、Ag、Au、Al等具有面心立方晶格结构
1.3 配位数和致密度
晶体中一个原子的最近邻原子数目称为配位数。
（1）体心立方点阵：每一个阵点的最近邻阵点有8个，配位数是8；
（2）面心立方点阵：每一个阵点的最近邻阵点有12个，配位数是12。
（3）对同一空间点阵，原胞的体积均相等。
原胞的选取原则：
原则上只要是最小周期性单元都可以，也就是说仅在平行六 面体的八个顶角上存在阵点，但原胞的体积都相等，且原胞 仅反映晶格的周期性，不能反映晶体的对称性。 为了反映晶体的对称性，需要引入晶胞的概念。
对于二维晶体的原胞，则要求在周期性结构单元的前提下， 面积最小，且周长最短。 通常原胞作为最小（体积最小）的周期性结构单元的判据是 一个原胞中只包含一个基元。该判据只是原胞的一个必要判 据，如果一个单元含有两个或两个以上的基元，该单元就肯 定不是原胞。
设晶格常数为a，粒子半径为r，则：
3a 2 4r a 2 4r a 2
2
晶胞中含有4个粒子，则面心立方结 构的致密度为： 4 4 r3 3 Db 0.74 3 a
三、HCP堆积的致密度
对于六角密堆积结构，任一个原子有12个最近邻。若原子以刚性球堆积，中心在1 的原子与中心在2、3、4的原子相切，中心在5的原子与中心在6、7、8的原子相切， 晶胞内的原子O与中心在1、3、4、5、7、8处的原子相切，即O点与中心在5、7、 8处的原子分布在正四面体的四个顶上。因为四面体的高：
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二、结构基元与晶体结构
• 晶轴一旦选定，晶体结构的基元也就可以确定下来。这里 所说的晶格的格点只是为了描述上的方便，是数学抽象。 对于给定的晶体，其中的所有基元无论在组成、排列还是 在取向方面都是完全相同的。 基元中原子数目可以是一个，也可以多于一个。基元中第j 个原子的中心位置相对于一个格点可用下式表示：