有限元例题

【1】图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分及单元、节点编号如图1所示。试求：

(1) 计算系统刚度矩阵的最大带宽；

(2) 根据图中结构的边界约束状态，给出约束节点位移值。

【解】

(1) 相邻节点号的最大差为d = 4；

所以，半带宽为B = 2 ⨯ (4 + 1) = 10。

(2) u1 = 0，v1 = 0，u4 = 0，v4 = 0。

【2】弹性力学平面问题4节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚度矩阵是多少阶的？单元刚度矩阵有多少个元素？

【解】平面问题4节点等参元，其单元自由度是4 ⨯2 = 8个；单元刚度矩阵是8 ⨯ 8 阶的，单元刚度矩阵有64个元素。

【3】平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是多少？单元刚度矩阵是多少阶的？单元刚度矩阵有多少个元素？

【解】平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是2 ⨯ 3 = 6个；单元刚度矩阵是6 ⨯ 6阶的；单元刚度矩阵有36个元素。

【4】已知一等截面直杆中某一微段的起始点坐标为0.5m，终点坐标为0.6m，起始点的位移为0.2mm，终点的位移为0.3mm。假定直杆内的位移是线性分布的。求该微段等截面直杆的位移表达式f(x)。

【解】已知：x i = 0.5m, x j= 0.6m, u i = 0.2mm = 0.2⨯10-3m, u j= 0.3mm = 0.3⨯10-3m。

即

【5】已知4节点一维问题中单元①(1, 2)的应力矩阵为

结构总体位移列阵为

求单元①的应力（用矩阵计算）。

【解】由总体结构位移列阵知，单元①的位移列阵为

由{σ} = [C] {∆}e可求得单元①的应力

【6】某结构中单元③的单元应力矩阵

，节点位移列阵为

，

求单元3的应力{σ }。

【解】由{σ} = [C] {∆}e可求得单元③的应力

【7】已知某结构中三角形常应变单元的单元③的应力矩阵与应变矩阵分别为

，

单元厚度t = 1，单元面积A = 0.5，求单元③的刚度矩阵[K]3。

【解】三角形常应变单元的单元刚度矩阵为[K]e = [B]T[C]tA，则

【8】

【9】用矩阵或数组写出下列总体刚度矩阵的带宽存贮元素、变带宽一维存贮元素及辅助数组：

【解】

带宽存贮元素：

变带宽一维存贮元素：

{AK} = {25, 12, -8, 15, 0, 9, 22, 18, -6, 8, 24}

变带宽一维存贮辅助矩阵：

{LA} = {1, 4, 7, 8, 10, 11}

【10】已知某一维问题4个单元的单元定义（2个节点）分别为①：（1，2）、②：（2，3）、③：（3，4）、④：（4，5），这4个单元的单元刚度矩阵分别为

请写出总体刚度矩阵。

【解】

[K] =

【11】已知图4中刚架结构所有杆件的截面相同，且q = 10kN/m，F = 60kN。试给此刚架结构划分单元（画图表示），说明单元总数，节点总数，自由度数，约束总数，单元荷载数，给出各节点坐标，各单元的单元定义（节点号），单元荷载的数值和分布类型（均布、线性分布）及分布长度，节点荷载数，节点荷载的作用位移序号和节点荷载大小。

图4 题11 图

【解】单元、节点划分及自由度序号、节点坐标如图5所示。

图5 题11 单元划分图

单元总数：3；节点总数：4 ；自由度数：3；约束总数：9；单元荷载数：2；

节点坐标：1（0，0），2（4，0），3（8，0），4（-4，-4）；

单元定义：①（1，2），②（2，3），③（2，4）；

单元荷载：单元1，分布荷载，类型为1（线性，分布长度为单元全长），两端数值均为10kN/m；单元2，集中荷载，类型为3（距左端距离为单元半长），数值为60kN。

节点荷载数为1；节点荷载作用位移序号为3；节点荷载大小为20kN m。