二次含参问题经典

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不等式恒成立、存在性问题（一元二次不等式）

一、知识、方法回顾

（一）一元二次不等式

1．定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式．

2．解法：一般地，当0

a>时

（二）解分式不等式的常见方法：

法一：符号法则

其它情况类比分析，结论如下：

()0__________()f x g x <⇔；()0____________()

f x

g x ≥⇔；()

0_________()f x g x ≤⇔． 法二：化分式不等式为整式不等式

分式不等式

()

0()

f x

g x >，由符号法则可知，()()f x g x 、同号，从而()()0f x g x ⋅>，其它情况类比分析，结论如下：

()

0()()0()

f x f x

g x g x >⇔⋅>； ()0________()f x g x <⇔；()()0()0___________()f x g x f x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨⎩；__________()

0__________

()f x g x ⎧≤⇔⎨⎩． （三）典型例题 例1、解下列不等式：

（1）227210x x ≤-+<； （2）2||60x x +-≤； （3）

2317x x -<+； （4）1

01x x

<-< 练习1.关于x 的不等式02<+-c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞βα ，其中0<<βα，则不等式02>++a bx cx 解集为 ．

2.若不等式220ax bx ++>的解集为11

(,)23

-，则a b +的值为_____________．

3.若不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的范围为__________．

4.设1)1()(2++-=x a ax x f （1）解关于x 的不等式()0f x >；

（2）若对任意的]1,1[-∈a ，不等式()0f x >恒成立，求x 的取值范围.

二、含参不等式解法（一元二次不等式） 1.二次项系数为常数

例1解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x 2.二次项系数含参数

例2解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 例3解关于x 的不等式：.012<-+ax ax 练习：1.解关于x 的不等式

（1）033)1(22>++-ax x a （2）2110x a x a ⎛

⎫-++< ⎪⎝

⎭

；

（3）2(21)20()ax a x a -++>∈R ； （4）(2)4

21

a x x +-≤-（其中0a >）.

2. 设1)1()(2++-=x a ax x f （1）解关于x 的不等式()0f x >；

（2）若对任意的]1,1[-∈a ，不等式()0f x >恒成立，求x 的取值范围.

三、不等式的恒成立问题

例1.已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 的取值范围。

小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：

（1）若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A ；

（2）若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。

练习1.已知()22x x a

f x x

++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，试求实数a 的取值

范围。 2、分离参数法

（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；

（3）解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

练习1. 已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

2. 已知二次函数x ax x f +=2)(，若[]1,0∈x 时，恒有1)(≤x f ，求a 的取值范围。 3、数形结合法

（1）若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；

（2）若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方。 例3. 设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=13

4

)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.

练习1. 当)2

1,0(∈x 时，不等式x x a log 2<恒成立，求a 的取值范围． 4、变换主元法

例 对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围。

练习1. 对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 2.设函数b x x a x h ++=

)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4

1

[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围。

练习题

1.当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围__________