弹塑性力学.ppt
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若给出声明之后，i可取 1,2,, n
2、对于9个量集，可用两个下标表示，如
aij, 表示a11, a12, a13,, a33
2020年1月16日星期四
3、对于27个量的集，可用3个下标表示，如 aijk
a 4、对于81个量集，可用4个下标表示，如 ijkl
二. 应力、应变分量的下标记号法
导数的形式记法：
ai,i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
σ ij,j
σ ij x j
i1
x1
i2
x2
wenku.baidu.com
i3
x3
2020年1月16日星期四
σ i , jj
2σ i x jx j
2 i
x12
2 i
x22
2 i
aii a11 a22 a33
3
aijb j aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j 1
33
aijbicj
aijbic j
i1 j1
a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
a21b2c1 a22b2c2 a23b2c3
2020年1月16日星期四
（三）二阶张量
1、定义
设ai
及bi
为两个矢量，定义下列的量a
为二阶张量，
ij
aij aibj
当坐标转动时
aij aib j am lmibnlnj amnlmilnj 上式为二阶张量的转轴定律，在给定的笛卡尔坐标系中 有9个分量aij当坐标轴转动时，这些量满足下列转轴公式 amn aij liml jn aij amn lmilnj
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3 2020年1月16日星期四
ai2i a121 a222 a323
σii 2 11 22 33 2
σijεij 11 11 22 22 3333 2 23 23 31 31 12 12
2020年1月16日星期四
绝对标量：
与坐标系的选择无关，也称不变量，如物体的质量、 温度、时间和力做功等。
非绝对标量：
与坐标系的选择有关，如矢量的分量标量。
（二）矢量（一阶张量） 1、矢量的定义
矢量是由与三个坐标轴选择有关，且服从一定坐标变 换规律（在只限于卡氏坐标系时，则为转轴规律）的标量 所确定的物理量或几何量。
应力分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz 应变分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
采用下标记法：σij, εij 这里，i 1,2,3、j 1,2,3 1 x,2 y,3 z
2020年1月16日星期四
讨论位移矢量：
设位移矢量u的三个分量为u, v, w,则可写成
u uiei 坐标转轴后，设为x, y, z,它的分量为ui，则有 u uiei 所以有
uiei uiei 用单位矢量ej右乘以上式得 uieiej uieiej 即uilij uj (1)
三. 爱因斯坦求和约定；哑标、自由标
当在同一项中，有一个下标出现两次时，则对此
下标求和，并限定在同一项中不能有同一个下标
出现三次和三次以上，成为爱因斯坦求和约定。
重复的下标称为哑标，或伪标；不重复的下标称
为自由标。
2020年1月16日星期四
例：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
x
2 3
xi cijy j(i, j 1,2,3)展开得 :
x1 c11y1 c12 y2 c13 y3
x2
c21 y1
c22 y2
c23 y3
x3 c31y1 c32 y2 c33 y3
2020年1月16日星期四
§7-2 张量的概念
一 、张 量
张量是表征一类物理性质（状态）或几何 性质的物理量或几何量，它包括诸如表征连续 介质的应变状态（应变率）和应力状态的量， 表征物理弹性性质的量，确定物体动力性质 （惯性矩）的量等等，也包括空间的各种几何 性质的张量。主要介绍笛卡尔张量的基本概念。
（一）标量（零阶张量）
标量是指由一个正值或负值的数量所确定的物理 量（或几何量），一般地说，是由一个具有实值的空 间点的函数所确定的物理量。标量的分类：
2020年1月16日星期四
同理用单位矢量e
右乘以上式得
j
uieiej uieiej
即u j uilij (2)
(1)、（2）为矢量的转轴公式。
矢量是由三分量确定，其分量服从坐标转轴公式。
2、矢量的三种表示法
（1）符号法 a （2）分量法 aiei
（3）矩阵法 a或ai
2020年1月16日星期四
写成矩阵的形式
11 21
12 22
13
23
xx yx
xy yy
xz yz
yxx
xy y
xz yz
31 32 33 zx zy zz zx zy z
2020年1月16日星期四
2、张量的表示法：有三种
设ai
及bi
为两个矢量，定义下列的量a
为二阶张量，
ij
（1）符号法 a
(2)分量法（并矢法）aijeie（j eie
不是矢量的点积）
j
（3）矩阵法记为 aij 或 aij
第七章 张量分析
要点 —— 掌握爱因斯坦求和约定和张量的概念及
运算。
2020年1月16日星期四
主要内容
§7-1 爱因斯坦求和约定 §7-2 张量的概念
2020年1月16日星期四
§7-1 爱因斯坦求和约定
一. 下标记号法
1、含有3个独立量的集，通常用一个下标表示，如
xi , 表示x1, x2, x3 ，即x, y, z ui , 表示u1,u2,u3 ，即u, v, w
2、对于9个量集，可用两个下标表示，如
aij, 表示a11, a12, a13,, a33
2020年1月16日星期四
3、对于27个量的集，可用3个下标表示，如 aijk
a 4、对于81个量集，可用4个下标表示，如 ijkl
二. 应力、应变分量的下标记号法
导数的形式记法：
ai,i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
σ ij,j
σ ij x j
i1
x1
i2
x2
wenku.baidu.com
i3
x3
2020年1月16日星期四
σ i , jj
2σ i x jx j
2 i
x12
2 i
x22
2 i
aii a11 a22 a33
3
aijb j aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j 1
33
aijbicj
aijbic j
i1 j1
a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
a21b2c1 a22b2c2 a23b2c3
2020年1月16日星期四
（三）二阶张量
1、定义
设ai
及bi
为两个矢量，定义下列的量a
为二阶张量，
ij
aij aibj
当坐标转动时
aij aib j am lmibnlnj amnlmilnj 上式为二阶张量的转轴定律，在给定的笛卡尔坐标系中 有9个分量aij当坐标轴转动时，这些量满足下列转轴公式 amn aij liml jn aij amn lmilnj
a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3 2020年1月16日星期四
ai2i a121 a222 a323
σii 2 11 22 33 2
σijεij 11 11 22 22 3333 2 23 23 31 31 12 12
2020年1月16日星期四
绝对标量：
与坐标系的选择无关，也称不变量，如物体的质量、 温度、时间和力做功等。
非绝对标量：
与坐标系的选择有关，如矢量的分量标量。
（二）矢量（一阶张量） 1、矢量的定义
矢量是由与三个坐标轴选择有关，且服从一定坐标变 换规律（在只限于卡氏坐标系时，则为转轴规律）的标量 所确定的物理量或几何量。
应力分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz 应变分量： x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
采用下标记法：σij, εij 这里，i 1,2,3、j 1,2,3 1 x,2 y,3 z
2020年1月16日星期四
讨论位移矢量：
设位移矢量u的三个分量为u, v, w,则可写成
u uiei 坐标转轴后，设为x, y, z,它的分量为ui，则有 u uiei 所以有
uiei uiei 用单位矢量ej右乘以上式得 uieiej uieiej 即uilij uj (1)
三. 爱因斯坦求和约定；哑标、自由标
当在同一项中，有一个下标出现两次时，则对此
下标求和，并限定在同一项中不能有同一个下标
出现三次和三次以上，成为爱因斯坦求和约定。
重复的下标称为哑标，或伪标；不重复的下标称
为自由标。
2020年1月16日星期四
例：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
x
2 3
xi cijy j(i, j 1,2,3)展开得 :
x1 c11y1 c12 y2 c13 y3
x2
c21 y1
c22 y2
c23 y3
x3 c31y1 c32 y2 c33 y3
2020年1月16日星期四
§7-2 张量的概念
一 、张 量
张量是表征一类物理性质（状态）或几何 性质的物理量或几何量，它包括诸如表征连续 介质的应变状态（应变率）和应力状态的量， 表征物理弹性性质的量，确定物体动力性质 （惯性矩）的量等等，也包括空间的各种几何 性质的张量。主要介绍笛卡尔张量的基本概念。
（一）标量（零阶张量）
标量是指由一个正值或负值的数量所确定的物理 量（或几何量），一般地说，是由一个具有实值的空 间点的函数所确定的物理量。标量的分类：
2020年1月16日星期四
同理用单位矢量e
右乘以上式得
j
uieiej uieiej
即u j uilij (2)
(1)、（2）为矢量的转轴公式。
矢量是由三分量确定，其分量服从坐标转轴公式。
2、矢量的三种表示法
（1）符号法 a （2）分量法 aiei
（3）矩阵法 a或ai
2020年1月16日星期四
写成矩阵的形式
11 21
12 22
13
23
xx yx
xy yy
xz yz
yxx
xy y
xz yz
31 32 33 zx zy zz zx zy z
2020年1月16日星期四
2、张量的表示法：有三种
设ai
及bi
为两个矢量，定义下列的量a
为二阶张量，
ij
（1）符号法 a
(2)分量法（并矢法）aijeie（j eie
不是矢量的点积）
j
（3）矩阵法记为 aij 或 aij
第七章 张量分析
要点 —— 掌握爱因斯坦求和约定和张量的概念及
运算。
2020年1月16日星期四
主要内容
§7-1 爱因斯坦求和约定 §7-2 张量的概念
2020年1月16日星期四
§7-1 爱因斯坦求和约定
一. 下标记号法
1、含有3个独立量的集，通常用一个下标表示，如
xi , 表示x1, x2, x3 ，即x, y, z ui , 表示u1,u2,u3 ，即u, v, w