三角函数与平面向量练习题
三角函数和平面向量专题练习2
北
B
的位置 C 处 (1) 求该船的行驶速度.
西
A
45° θ
C D
东
(2) 若该船不改变航行方向,判断它是否会进入警戒 水域,并说明理由.
P E Q
20 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长, R 表示 ∆ABC 的外接圆半径 (1)如图在 O 以为圆心,半径为 2 的 O 中, BC , BA 分别是 O 的弦,其中 BC = 2, ∠ABC = 45° ,求 弦 AB 的长 (2)在 ∆ABC 中,若 ∠C 为钝角,求证: a 2 + b 2 ≤ 4 R 2 (3)给定三个正实数 a, b, R ,其中 a ≥ b ,问 a, b, R 满足怎样的关系是时,以 a, b 为边长,以 R 为外 接圆半径的 ∆ABC 不存在,存在一个,或存在两个(全等的 三角 形 算作同 一个 ), 在 ∆ABC 存 在的 情况 下 ,用 a, b, R 表 示c
uuu r uuur
1 2
16. 在三角形 ABC 中, 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长,已知
∠B = 45° , b = 10, cos C = 2 5 5
(1)求边长 BC 的值 (2 若 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的值.
2/8
π π 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + − 2 cos x, x ∈ , π 6 2
2 n 为偶数时, ○
f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ,∴ f n′ (θ ) = n sin n −1 θ ⋅ cos θ − n cos n −1 θ sin θ = n sin θ cos θ ( sin n − 2 θ − cos n − 2 θ )
倒数第8天 三角函数、平面向量
倒数第8天 三角函数、平面向量[保温特训]（时间：45分钟）1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )．A ．－53B ．－19C.19D.53解析 cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案 B2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )．A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度解析 注意到把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度得到y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选B.答案 B3．已知向量a 与b 均为单位向量，它们的夹角为π3，那么|a ＋3b |等于( )． A.7B.10C.13D ．13解析 |a ＋3b |2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝10＋6×1×1×cos π3＝13.∴|a ＋3b |＝13. 答案 C4．函数y ＝sin x ＋cos x 的最大值和最小正周期分别是 ( )．A.2，π B ．2，π C.2，2πD ．2，2π解析 y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故y max ＝2，最小正周期为T ＝2π.答案 C5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝( )．A ．(－3，－5)B ．(3，5)C ．(2，4)D ．(－2，－4)解析 BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，BD →＝BC →－AB →＝(－3，－5)． 答案 A6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( )．A ．2，0B ．2，π4 C ．2，－π3 D ．2，π6解析 由图可知，A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6.答案 D7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形D ．一定是斜三角形解析 根据余弦定理，得c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 一定是直角三角形． 答案 C8．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP→＝2PM →，则AP →·()PB→＋PC →等于( )． A.49 B.43 C ．－43 D ．－49解析 由AP→＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，所以PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·()PB →＋PC →＝2AP →·PM →＝2|AP →|·|PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49. 答案 A9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 根据正弦定理，得c ＝23b ，又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－（a 2－b 2）2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，所以A ＝30°. 答案 A10．设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos θ，向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ，13，且a ∥b ，则锐角θ为( )．A ．60°B ．30°C ．75°D ．45°解析 ∵a ∥b ，∴32×13－cos θsin θ＝0，∴sin 2θ＝1，又θ为锐角， ∴θ＝45°. 答案 D11．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π]，则θ的值为________．解析 由题意可知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos3π4在第四象限，且点P 落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝7π4. 答案7π412．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝________． 解析 λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∴(λa ＋b )·a ＝(λ＋4，－3λ－2)·(1，－3)＝(λ＋4)－3(－3λ－2)＝10λ＋10＝0，得λ＝－1. 答案 －113．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S ＝14()b 2＋c 2－a 2，若a ＝10，则bc 的最大值是________．解析 S ＝12bc sin A ＝14()b 2＋c 2－a 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理，得sin A ＝cos A ，故A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，故bc ≤1002－2＝100＋50 2.答案 100＋50 214．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋2sin θcos θ－cos 2 θ＝________． 解析 sin 2 θ＋2sin θcos θ－cos 2 θ＝sin 2 θ＋2sin θcos θ－cos 2 θsin 2 θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ－1tan 2 θ＋1＝9＋2×3－19＋1＝1410＝75.答案 7515．已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a (ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6，16]上的最大值为4，求a 的值．解 (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a ＝2sin ωx －2(1－cos ωx )＋2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋a ，∴2ω＋π4＝π2，得ω＝π8，∴f (x )的最小正周期T ＝2πω＝16.(2)由(1)可得f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＋a ，∵x ∈[6，16]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，9π4，∴当π8x ＋π4＝9π4，即x ＝16时，f (x )最大， 由22sin 9π4＋a ＝4，得a ＝2.[知识排查]1．求三角函数在定义区间上的值域(最值)，一定要结合图象．2．求三角函数的单调区间要注意x 的系数的正负，最好经过变形使x 的系数为正．3．求y ＝sin ωx 的周期一定要注意ω的正负． 4．“五点法”作图你是否准确、熟练地掌握了？ 5．由y ＝sin x ―→y ＝A sin(ωx ＋φ)的变换你掌握了吗？6．你还记得三角化简的通性通法吗？(降幂公式、异角化同角、异名化同名等)． 7．已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘． 8．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B . 9．使用正弦定理时易忘比值还等于2R .10．在解决三角形问题时，正弦定理、余弦定理、三角形面积公式你记住了吗？ 11．a ＝0，则a ·b ＝0，但由a ·b ＝0，不能得到a ＝0或b ＝0，因为a ⊥b ，a ·b ＝0.12．由a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立．13．两向量平行与垂直的充要条件是什么？坐标表示也应熟记．。
三角函数、平面向量、解三角形大题
三角函数、平面向量、解三角形大题：第一方面：向量大题例1：已知三点3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,).22A B C ππααα∈（1）若AC BC =u u u r u u u r ，求角α；（2）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值.解：（1）因为()()cos 3,sin ,cos ,sin 3AC BC αααα=-=-u u u r u u u r由AC BC =u u u r u u u r 得()()2222cos 3sin cos sin 3αααα-+=+- 整理得sin cos αα= ，所以tan 1α=因为3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭ ，所以54πα= （2）因为1,AC BC •=-u u u r u u u r 所以()()cos cos 3sin sin 31αααα-+-=- 即2sin cos 3αα+= ，所以()24sin cos 9αα+= ，得52sin cos 9αα=- ，所以()()22sin sin cos 2sin sin 252sin cos sin cos 1tan 9cos ααααααααααα++===-++.第二方面：三角函数大题例2.1：已知53)4cos(=+πx ，且471217ππ<<x ，求：① x x sin cos + 的值；②x xx tan 1sin 22sin 2-+的值。
解：（1）Θ471217ππ<<x ，πππ2435<+<∴x由53)4cos(=+πx 得54)4sin(-=+πx 所以524)4sin(2sin cos -=+=+πx x x（2）由524sin cos -=+x x 得2532)524()sin (cos 22=-=+x x 即2572sin ,25322sin 1=∴=+x x )4cos()4sin(2sin sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22ππ++⋅=-+=-+=-+x x x x x x x x x xx x x x x x x 由（1）知54)4sin(-=+πx ，53)4cos(=+πx 所以x xx tan 1sin 22sin 2-+=)4cos()4sin(2sin ππ++⋅x x x =752853)54(257-=-⨯ 小结：本试题主要是考查了两角和差公式的运用，和二倍角公式的综合运用。
三角函数与平面向量
周考卷一.选择题 （每小题3分，共48分）1. 与-4630角终边相同的角为 （ ） A ． K ∙ 3600+4630， K ∈Z B. K ∙ 3600+1030， K ∈Z C . K ∙ 3600+2570， K ∈Z D. K ∙ 3600-2570， K ∈Z2. sin(-631π)的值是 （ ）A.21 B. - 21 C. 23 D. - 23 3. 下列函数中属于奇函数 （ ）A.y = sinx + 1B. y = cos(x +2π) C. y = sin(x - 2π) D. y = cosx - 1 4. 函数y = 2sin (2x +6π)的一条对称轴是 （ ）A. x =3π B. x = 6π C. x = 2π D. x = 4π5. 函数y = 2sin (32π-x )的单调递增区间是 （ ）A. [1252,122ππππ--k k ] （k ∈Z ）B. [12,127ππππ--k k ] （k ∈Z ） C . [122,1272ππππ--k k ] （k ∈Z ） D. [125,12ππππ+-k k ] （k ∈Z ） 6.当α为第二象限角时，ααααcos cos sin sin -的值是 （ ）A. 1B. 0C. 2D. -27.已知sin αcos 81=α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为 （ ）A.25 B. -25 C. ±25 D. 238.已知角α的终边经过点(,9)m ，且3tan 4α=，则sin α的值 （ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35-9．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位10．函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为 （ ）A ．1 B. 2 C. 3 D.2311．下列命题正确的是（ ）A ．向量与是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若=,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同12．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等13. 已知a = b =,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是 （ ） A ．150︒ B ．120︒ C ．60︒ D ．30︒ 14. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的 横坐标为 （ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 15．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于（ ） A ．3 B ．－3 C ．0 D ．216．已知a 3= ，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于 （ ）A ．34±B ．43± C ．53±D ．54±二 .填空题 （每小题4分，共16分）17.已知 tan α=2,则sin 2α+sin αcos α= 18． 关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x ∈R)有下列命题：①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)；③y ＝f(x)的图象关于(－6π，0)对称；④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－6π对称；其中正确的序号为 。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题广东省珠海市斗门区第一中学 于发智 519100 jianghua20011628@一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sin θθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( ) A.21 B.32 C.22 D.23 6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 7.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.B ACD③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 3632sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45 C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
三角函数、平面向量单元测试题
Ａ２ Ｂ Ｃ一 Ｄ一 ． ． 丢 ．３ ．
５ 若 １ — １ １ — ２， ａ ｂ， ｃ ａ。 ． ａ１ ， ｂ１ ｃ ＋ 且 上 则
向 量 ａ与 ｂ的 夹 角 为 （
Ａ． ０ ３ 。 Ｂ． 。 ６０
ｃ Ｏ，（ｎ １， （， ・ △ Ａ ｏ ） ｓＯ ） Ｅ ｏ 则当 ｏ Ｂ的面 ｓ Ｂ ｉ・ Ｏ 号］
ｃ．一 ２
Ｄ． ，
② 在 △ ＡＢＣ 中 ， ｃ 一 ９ 。 则 ｌＡＣ 若 Ｏ， ｌ ＋ ｌＣＢ ｌ 一 ｌＡＢ ｌ ； ｌ 。 Ｉ ｌ ｌ
１ ． 知 函 数 ／（ ） ａ ｉ．— ｂ ｏ ｘ（ ｂ为 １已 一 ｓｎｒ ； ｃ ｓ “、
③ 在 Ｚ ＡＢＣ 中 ， ｌ ＡＣ ｉ＋ ｌ ＣＢ ｌ＞ ￣ ｌ ｌ ｌ Ｊ
后 的 图 象 如 图 ２所 示 ， 则 新 图象 所 对 应 函 数 的 解
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常数， ，∈Ｒ 在 一詈处取得最小值， ｎ ） ≠０ 则
其 中 真 命 题 的个 数 为 （
） ．
Ｄ ．３
Ｐ ５ Ｐ１
函 ，竿一 ） （ ） 数 一 （ 是 ．
Ａ． 函 数 且 它 的 图 象 关 于 点 （ ， ） 称 偶 丌０ 对
积 最 大 时 ，一 （ 日 ） ，
） ．
Ｃ．１ ０ ２ 。
１ 一
Ｄ ．１ ０ ５ 。
６ 将 函 数 — ｓ ￣ｘ ． ｉ ｒ （ ＞ ０ 的 图 象 按 向 量 ａ ）
2023届二轮专练_专题一 三角函数和平面向量_第1讲 三角函数的化简与求值(含答案)
2023届二轮专练_专题一 三角函数和平面向量_第1讲 三角函数的化简与求值一、填空题（共10小题）1. 已知 cosθ=−513，θ 为第二象限角，则 tanθ= ．2. 若 tanα=2，则 sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α= ．3. 求值：(tan3∘+1)(tan42∘+1)= ．4. 计算：cos 2π8−sin 2π8= ．5. 函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 的最小值是 ．6. 已知 sin (x +π6)=14，则 sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)= ．7. 若 tanα=34，则 cos 2α+2sin2α= ．8. 方程 3sinx =1+cos2x 在区间 [0,2π] 上的解为 ．9. 若将函数 y =√3cosx +sinx (x ∈R ) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ．10. 若 tanα=12，tan (α−β)=−13，则 tan (β−2α)= ．二、解答题（共6小题）11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (x 1,y 1) 在单位圆 O 上，∠xOA =α，且 α∈(π6,π2)．（1）若 cos (α+π3)=−1113，求 x 1 的值；（2）若 B (x 2,y 2) 也是单位圆 O 上的点，且 ∠AOB =π3，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 C ，D ，记 △AOC 的面积为 S 1，△BOD 的面积为 S 2．设 f (α)=S 1+S 2，求函数 f (α) 的最大值．12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P (x 1,y 1)，将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 π2 后与单位圆交于点 Q (x 2,y 2)，记 f (α)=y 1+y 2．（1）求函数f(α)的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=√2，且a=√2，c=1，求b的值．13. 已知α为锐角，cos(α+π4)=√55.（1）求tan(α+π4)的值；（2）求sin(2α+π3)的值14. 已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最小值是−2，其图象经过点M(π3,1)．（1）求f(x)的解析式；（2）已知α,β∈(0,π2)，且f(α)=85，f(β)=2413，求f(α−β)的值．15. 已知函数f(x)=sin(2x+π3)−√3sin(2x−π6)．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[−π6,π3]时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．16. 已知函数f(x)=12sin2x−√3cos2x．（1）求函数f(x)的最小正周期和最小值；（2）将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈[π2,π]时，求g(x)的值域．答案1. −1252. 1653. 24. √225. 1−√2【解析】函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 可整理为： f (x )=√2sin(2x +π4)+1 ． 6. 916【解析】sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)=sin [π−(x +π6)]+sin [π2−(x +π6)]=sin (x +π6)+cos 2(x +π6)=1916.7. 6425【解析】cos 2α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=6425. 8. x =π6,5π6【解析】3sinx =2−2sin 2x ，即 2sin 2x +3sinx −2=0．所以 (2sinx −1)(sinx +2)=0，所以 sinx =12，所以 x =π6,5π6．9. π6 【解析】方法一：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．因为函数 y =2sinx 的图象至少向左平移 π2 个单位长度后可得到关于 y 轴对称的图象，所以 m +π3 的最小值是 π2，故 m 的最小值是 π6． 方法二：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．令 x +m +π3=π2+kπ(k ∈Z )，得函数图象的对称轴方程为 x =−m +π6+kπ(k ∈Z )．因为图象关于 y 轴对称，所以令 x =−m +π6+kπ=0，得 m =π6+kπ(k ∈Z )．又因为 m >0，所以 m 的最小值是 π6．10. −17【解析】由题意知tan(β−2α)=tan[(β−α)−α]=tan(β−α)−tanα1+tan(β−α)⋅tanα=13−12 1+13×12=−17.11. （1）126．（2）√34．12. （1）(1,√2]（2）113. （1）因为α∈(0,π2)，所以α+π4∈(π4,3π4)，所以sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=2√55，所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=2．（2）因为sin(2α+π2)=sin[2(α+π4)]=2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√55×√55=45,cos(2α+π2)=cos[2(α+π4)]=2cos2(α+π4)−1=−35,所以sin(2α+π3)=sin[(2α+π2)−π6]=sin(2α+π2)cosπ6−cos(2α+π2)sinπ6 =45×√32−(−35)×12=4√3+310.14. （1）f(x)=2cosx．（2）12665．15. （1）由题意知，f(x)=sin(2x+π3)+√3cos(2x+π3)=2sin(2x+2π3)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．当−π2+2kπ≤2x+2π3≤π2+2kπ,k∈Z时，f(x)单调递增，解得x∈[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z，所以f(x)的单调增区间为[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z．（2）因为x∈[−π6,π3 ]，所以π3≤2x+2π3≤4π3．当2x+2π3=π2，即x=−π12时，f(x)取得最大值2；当2x+2π3=4π3，即x=π3时，f(x)取得最小值−√3．16. （1）最小正周期为π，最小值为−2+√32．（2）[1−√32,2−√32]．。
三角函数与平面向量测试卷
分 。 在 每 小题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 有 一 项 是 符 合 题 只 目要 求 的 ）
（ ｓ （ｔ 口 Ｃ）ｉ Ｏ＋ ）＞ｓ （ －３ ｎ ｉ ／ ｎ ） （ ） 。 （ ＣＳ ＋ ＞ＣＳ 一 ） Ｄ）Ｏ （ 卢） Ｏ（ 卢
１记 ＣＳ 一８ 。 ， 么 ｔ ｌ０ ： ． Ｏ （ ０ ）＝ 那 ａ ０。 ｎ
（ ）盯 Ａ８ （ ４； Ｂ） １ （ ）＂ Ｃ ２ｒ ｒ （ １ Ｄ）『 （ ｎ Ａ） （ ） Ｂｂ （ ｃ Ｃ） （ ０ Ｄ）
（ ） 。
ｌ． 函数 ， ）＝ 。 ｘ ３ ０将 （ ＋３ ＋ ｘ的图像按 向量 口平 移后得 到函数 ｇ ｘ 的图像 ， 函数 ｇ ） （） 若 （ 满足 ｇ ）＋ （
一
过 的Ａ 弧 的 长 为 ｌ弦 Ａ Ｐ ， Ｐ的 长 为 ｄ ，
则 函数 ｄ＝ （） ， １ 的图像大致 为
（
ｄ
２
（） ｓ Ｂ的值 ； Ｉ求 ｉ ｎ （Ｉ 若 ｃ ａ＝ 而 ， Ａ Ｂ Ｉ） — ５一 求 Ａ Ｃ的面积。
１． 本 小 题 满 分 １ ） ８（ ２分
１． 图 ， 点 是 单 位 圆 上 １如 设
的一 定 点 ， 点 Ｐ从 Ａ 出 发 在 圆 上 动
Ｙ、
１ ． 本小题满分 １ ） ７（ ２分 在 ＡＢ Ａ Ｃ中 ， Ａ、 Ｃ所对 的边分别 为 ａ ｂ ｃ且 角 Ｂ、 、、 ，
ｃ ＝ ， ｉＡ ＝ 鱼 ｓｎ ５。
按逆 时针方 向转一 周 ， Ｐ所旋 转 点
得一游船位于 岛北偏东 １ 。 向 ５方 上， 且俯角 为 ３ 。 Ｃ处 ， ０的 一分 钟后测 得该游船 位于 岛 北偏西 ７ 。 向上 ， 俯角 ４ 。 Ｄ处 。（ ５方 且 ５的 假设 游船匀
三角函数和平面向量强化训练
，
且
y
n
击 潘 数 外了 孪
(3y
—
)
一
，
( y + 2x ) 司
高考数学
则
x
等
于(
A
．
)
B D
一
968
．
968
4
5
C 484
．
一
．
484
．
设
—
n
一
1
0 5
．
虿
—
c o s
6
~
-
~
／
s
in 6
~
,
b
=
2ta
n
l 3
。 一
再丽 i 霄
“
D
=
3
9
3
．
x
4 s in
掣+ 5
5
j
A
．
1
-
~
<
c
s
so
~
，
则有 (
)
．
n
> 6>
f
B D
一
．
口
< 6<
c
‘
B
．
，( z )
( ，z )
=
3
．
5 s in
譬+ j
4
C
6
．
．
a
< b
2
，
．
b<
，
<
、
a
已 知平 面 上 有 A (
1)、Leabharlann B (14 )一
D (4
—
三角函数和平面向量创新题集锦
部分图象如图ｌ 所示 ， 函数 ） 则 的解
析 式为 （ ）
丸（２（ 詈 ，＝ｎ肿 ） ｓ ）ｉ 丢
Ｒ ｓ ＋） ｉ 号 ｎ ｃ ＝ｎ 詈 ２ ） ｓ ｉ
：
｜＿ ｌＤ ｊｌ
、
。
。
圆盈 ＿
圈 ２
（ ） Ａ ＞ ， ２ ｌ 则 点 Ｐ位 于 区 １ 若 ｌ １Ａ ＞ ， 域 Ｉ： （ ） 点 Ｐ位 于 区 域 Ⅱ ， Ａ ＋ ２若 则 １
■ Ｘ ｆ 嗣 ５一Ｕ． ｒ ， 精平 ・Ｈ＝ ＴＵ 新 粹 姒｜ Ｕｌ 题千 Ｅ Ｋ
：纵 观全 国各地 的高考 试题 ， 我们 不难 发现创 新 型试题 层 出不穷 它们 不仅 立 意新颖 、 内涵深
：刻 ， 且存 求解 思路 上 也与 众不 同 ， 高考 试题 中 一道 亮丽 的风 景 线．在 本 期里 ，数 学金 而 是 《 ：刊 试题 研究 组 的老师们 为大 家带来三 角 函数 和平 面 向量 的创 新试题 ， 大家～ 饱眼福 供
系 为 ： ｎ ＋ ｉ（＇ａ － ，ｏ￣ ｃｓ ＇ ｓ ａ ｓ ＇ ） Ｏ ｃ ｓ ＋ ｏ （ｒ ｉ ｎｎ ＋ ｔ ＋
ａ）Ｏ； － －
பைடு நூலகம்
Ａ （ ： Ｒ）给 出下 列 四个命 题 ： Ａ， ∈ ， Ａ
Ｉ Ａ 曰
（ ＞ ，＞ ， Ａ ｏｏ Ｏ０ Ｊ
）其 导 函 ，
） 的
ＣＯＳａ ＋ ＣＯ８
），） ＝ （． 惫口
（ 出 写
ｎ Ｊ
命 题 四 ： Ｂ 中 ， ａｂｃ 等 ＡＡ Ｃ 若 ，，成
比数 列 ， 证 ： ＜ Ｔ； １ 求 ①０ Ｂ≤ ， ③ ＜ ｉ
所有真命题的编号 ） ．
７ ．三角形ｌＢ 的三个 内角Ａ， Ｃ Ａ Ｃ Ｂ， 的对 边 的长分 别为ａ ｂＣ 有 下列 两个 ， ，， 条件 ： （ ）， ｃ １ａｂ，成等差 数列 ； （ ） ， ，成 等 比数 列 ．现 给 出三 ２ 口 ｂｃ
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
平面向量与三角函数的综合习题
三角函数与平面向量综合题题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2s inα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝255.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合【例3】 设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．（1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅=，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
三角函数、平面向量、复数训练测试题
一致 掌 敦 掌 通 讯●蕙 ０ 年 月下半月 ● 第 月， ０ 啪 职
．
魏 训练测试题
（ Ａ） ． （ Ｂ） ． （ ｃ） ２ ． （ Ｄ） ．
中点 ． Ｅ 作 Ｆ上 船 交 朋 于点 Ｆ． （ ）证明 Ｐ ∥ 平面 Ｅ Ｂ； １ Ａ Ｄ
（ Ａ）一 ２ （ ． Ｂ）一 １ （ ． Ｃ）３ （ ． Ｄ）一 ３ ．
维普资讯
训练：试题魏 ｊ ｉ
５ ．向量葫 ： （，） ３３ ， ＝ （ ．）点 Ｃ满足Ｉ 一１ｏ 。
＝
Ｉ
有（
）
ｌ则 １ １ ， 菌 的取值范围是（
（ Ａ）Ｅ ，］ ４ ６．
Ｂ
ＣＤ 的距离相等 ． 则动点 Ｍ 的轨迹
所形成＿ 的曲线是（
（ Ａ）直 线 ．
中点． （ ）求异 面直线 Ａ 与 Ｂ 成 的角 ； １ Ｂ Ｃ 所 （ ）求 ＭＮ 的长 ｝ ２ （ ）求 ＭＮ与底面 ＡＢ ３ Ｃ所成 的角．
（ Ｃ）双 曲 线 ． （ Ｄ）抛 物 线 ． 二 、 空 题 填
三 、 答 题 解
选 择 题
１ ．若 Ａ、 Ｂ是锐角三角形 的两个 内角 ， 则点 Ｐ（ｏＢ— ｃｓ
ｓ Ａ，ｉ 一 １ｓ 在 （ ｉ ｓ Ｂ ２ Ａ） ｎ ｎ ０ ）
（ Ａ）第一象限．
（ Ｃ）第三象限．
（ ）第二 象限． Ｂ
（ 第 四象 限． Ｄ）
Ｉ ．如 图． 已 知 四 棱 锥 Ｐ —
３， ） 则 言与 的夹 角大 小 ０ 是
．
（ 东省 邹城 市 实验 中学 ２ ３ Ｏ ） 万 兆峰 山 ７ ５ Ｏ
一
、
５ ．等边 △Ａ Ｃ 的边 长 为 ａ， Ｄ 是 ＢＣ边 上的 高 。 Ｂ Ａ 沿 ＡＤ将 ／Ａ Ｘ ＢＣ折 成 直 二 面 角 则 点 Ａ 到 ＢＣ 的距 离 是
三角函数与平面向量测试卷
＜丌单 后得 数 ＝ｉ 一 ） 像则 等 ２）位 ，函 ｙ ｓ 詈 图 ， ｎ （
（‘ Ａ） ６ （ ） Ｂ ６ 一 （ ６ Ｃ） 、 （ ６ ～ Ｄ）
（ 直角三角形 Ａ）
（ 等边三角形 ｃ）
【中 之 ２ ９１ 半 刊 筠 高 生 友 ０ ．． 月 】 ０１上
能力铷差 ｏｉｙｇ＠ ３ｍ 勇 ｈ ｇ ｉ翔舯 Ｅ ｕｎｏｘ １ ａ 周 ６ 责 编
ｃｓ５ ）， ｌ ｏｌ。 则 ａ＋ｂＩ 的值为
。
—
—
（ 詈 （ Ｔ （ ５ Ｄ了 Ａ ） Ｂ 丌 ｃ 仃（ ２ 丌
９．
Ｙ
１． ５ 函数 Ｙ＝２ｏ ＋ｓ ２ ｃｓ ｉ ｘ的最小值是— ｎ １． ６ 已知 点 ０在 ＡＡ Ｃ内部 ， Ｂ 且有
—
。 ＋
＋２
（ ） 。
２ 是第一 象限角 ，ａ ＝ ． ｔｎ ３ 则 ｓ ＝ ｉ ｎ
，
是
（
） 。
（ （ 一 ｕ一，） Ａ 一 ２ （ ÷ ） ， ） ２
（ ）（１ ＋。 ） Ｂ 。
，
（ ）４ Ａ
（ ）３ Ｂ 了
（ ）一了 ｃ ４
（ ）一了 Ｄ ３
３ ｓ ７ 。一ｓ １ 。 （ｏｌ 。＋ｃ ｓ５ ）的值是 ．（ ｉ ５ ｎ ｉ ５ ） ｃｓ５ ｎ ｏ７ 。
有 詈＋） 詈一） 等 （ ） ＝ ， 詈） 于 。 则
（ Ａ）一３ （ ） Ｂ ０ （ ）３ Ｃ （ Ｄ）±３
１ ｉ６ ０ ．ｓ ０ 。的值是 （ ｎ （ １ Ａ） （ ）一 Ｂ １
） 。 （） ｃ （ 。）一， － ３
＝
６ ．已知ｆ 为互 相垂 直 的单位 向量 ， 与， ａ＝ｉ ｊ 一２ ， ｉ ＿ 且ｎ 的夹角为 锐角 ， ＋Ａ， ， 与西 则实数 Ａ的取值 范围
平面向量与三角函数练习题
平面向量与三角函数练习题在本次练习题中，我们将探讨平面向量与三角函数的关系。
通过解答以下习题，我们可以更好地理解二者之间的联系，并锻炼自己的解题能力。
1. 问题描述：已知向量A = (-3, 4)和向量B = (5, 2)，求向量A与向量B的数量积和方向积。
解答：首先计算向量A与向量B的数量积（内积）：A ·B = (-3)(5) + (4)(2) = -15 + 8 = -7接下来计算向量A与向量B的方向积（叉积）：|A × B| = |(-3)(2) - (4)(5)| = |-6 - 20| = |-26| = 26因此，向量A与向量B的数量积为-7，方向积为26。
2. 问题描述：已知向量A = (4, 3)和向量B = (-2, 6)，求向量A与向量B的夹角。
解答：两个向量的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (A · B) / (|A| |B|)其中，A · B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
首先计算|A|和|B|的值：|A| = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5|B| = √((-2)^2 + 6^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10接下来计算A · B的值：A ·B = (4)(-2) + (3)(6) = -8 + 18 = 10代入公式得到：cosθ = 10 / (5 * 2√10) = 10 / (10√10) = 1 / √10 = √10 / 10因此，向量A与向量B的夹角θ为cos^(-1)(√10 / 10)。
3. 问题描述：已知一个角的弧度为π/4，求该角的正弦、余弦和正切值。
解答：根据三角函数的定义，可以得出以下结论：sin(π/4)= 1/√2cos(π/4) = 1/√2tan(π/4) = sin(π/4) / cos(π/4) = 1因此，该角的正弦值为1/√2，余弦值为1/√2，正切值为1。
高考中的三角函数与平面向量问题
高考中的三角函数与平面向量问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.(2016·全国Ⅱ)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度，则平移
后图象的对称轴为
A.x＝k2π－π6(k∈Z)
√B.x＝k2π＋π6(k∈Z)
C.x＝k2π－1π2(k∈Z)
123456
解答
解答
2.(2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ 2ac.
(1)求 B 的大小；
解 由 a2＋c2＝b2＋ 2ac，得 a2＋c2－b2＝ 2ac.
由余弦定理，得
cos
a2＋c2－b2 B＝ 2ac ＝
22aacc＝
2 2.
又 0＜B＜π，所以 B＝π4.
123456
解答
(2)求 2cos A＋cos C 的最大值.
解答
(2)若bcos C＋ccos B＝1，△ABC的周长为5，求b的长. 解 由余弦定理可知，
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋c· 2ac ＝22aa2＝a＝1， 由(1)知ca＝ssiinn CA＝2，则 c＝2， 由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.
D.x＝k2π＋1π2(k∈Z)
12345
解析 答案
2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B＝π4，BC 边上的高等于13BC，则 cos A 等于
A.3
10 10
B.
10 10
√C.－
10 10
D.－3
10 10
解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B＝π4，可知 BD＝13BC，
三角函数、平面向量专题试题集
三角函数、平面向量专题试题集三角函数.平面向量专题试题集1. 函数的最小正周期为 ( A )A． B． C．8D．42. 已知函数的图象的一条对称轴方程为直线_=1,若将函数的图象向右平移b个单位后得到y=sin_的图象,则满足条件的b的值一定为( C )A．B． C．D．3. 在△ABC,为角A.B.C所对的三条边.(1)求时,t的取值范围;(2)化简(用(1)中t表示).(1)∵,∴△ABC为直角三角形,∴∠A+∠B= …………2分又…………4分∵ ∴, ∴…………6分(2)∵ ∴…………9分…………12分4. 已知向量a和b的夹角为60°,a = 3,b = 4,则(2a –b)·a等于 ( B )(A)15 (B)12 (C)6 (D)35. 已知．(Ⅰ)求cos的值;(Ⅱ)求满足sin(– _ ) – sin (+ _) + 2cos=的锐角_．解:(Ⅰ)因为,所以．(2分)所以=, (4分)由,所以．(6分)(Ⅱ)因为sin() – sin() + 2cos,所以, (8分)所以sin_=, (10分)因为_为锐角,所以．(12分)6. 下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( B )A． B．C． D．7. 若是纯虚数,则的值为 ( B )A．B．C．D．8. 已知向量上的一点(O为坐标原点),那么的最小值是( B )A．－16 B．－8 C．0 D．49. _年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是的值等于( D )A．1 B．C．D．－10. 为锐角,为钝角,=.11. 已知a=1,b=,(1)若a//b,求a·b;(2)若a,b的夹角为135°,求a+b.解(1),①若,同向,则……3分②若,异向,则……3分(2)的夹角为135°,……2分……2分……2分12.已知函数(1)将的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(2)如果△ABC的三边a.b.c成等比数列,且边b所对的角为_,试求_的范围及此时函数f(_)的值域.解:(1) ……3分由即对称中心的横坐标为……3分(2)由已知.……3分的值域为……2分综上所述, ……1分13. 设平面上的动向量a=(s,t),b=(－1,t2－k)其中s,t为不同时为0的两个实数,实数,满足a⊥b,(1)求函数关系式(2)若函数上是单调增函数,求证:;(3)对上述,存在正项数列,其中通项公式并证明.(1)解: ……3分(2)证明:成立, ……2分故; ……1分(3)故因为……4分事实上,……4分方法1:方法2:14. 如果函数的最小正周期是T,且当时取得最大值,那么( A )A． B． C． D．15. 在中,已知,那么一定是( B )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形16. 已知,那么的值为,的值为.17. 若 , 且()⊥ ,则与的夹角是 ( B )(A)(B)(C)(D)18. 把y = sin_的图象向左平移个单位,得到函数y = sin的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数的图象.19. 已知直线:_ – 2y + 3 = 0 ,那么直线的方向向量为(2,1)或等(注:只需写出一个正确答案即可);过点(1,1),并且的方向向量2与1满足1·= 0,则的方程为2_ + y – 3 = 0.20. 已知:tan= 2,求:(Ⅰ)tan的值;(Ⅱ)sin2的值．解:(Ⅰ)== 2,∴tan． (5分)(Ⅱ)解法一:sin2+sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (8分)= (11分)=．(13分)(Ⅱ)解法二:sin2+ sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (1)(8分)∵tan=,∴为第一象限或第三象限角．当为第一象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=; (10分)当为第三象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=． (12分)综上所述:sin2+ sin2+ cos2=．(13分)21. 已知常数a _gt; 0,向量,,经过定点A (0,–a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0,a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P,其中∈R．(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)若,过E (0,1)的直线l交曲线C于M.N两点,求的取值范围．解:(Ⅰ)设P点的坐标为(_,y),则,,又,故,．由题知向量与向量平行,故(y + a) = a_．又向量与向量平行,故y – a = 2．两方程联立消去参数,得点P (_,y)的轨迹方程是(y + a)(y – a)= 2a2_2,即y2 – a2 = 2a2_2．(6分)(Ⅱ)∵,故点P的轨迹方程为2y2 – 2_2= 1,此时点E (0,1)为双曲线的焦点．①若直线l的斜率不存在,其方程为_ = 0,l与双曲线交于.,此时． (8分)②若直线l的斜率存在,设其方程为y = k_ + 1,代入2y2 – 2_2= 1化简得2(k2 – 1) _2 + 4k_ + 1 = 0．∴直线l与双曲线交于两点,∴△=(4k)2 – 8 (k2 – 1) _gt; 0且k2 –1≠0．解得k≠±1．设两交点为M (_1,y1).N (_2,y2),则_1 + _2 =,_1_2 =． (10分)此时= _1_2 + k2_1_2= (k2 + 1) _1_2 =．当–1 _lt; k _lt; 1时,k2 – 1 _lt; 0,故≤;当k _gt; 1或k _lt; – 1时,k2 – 1 _gt; 0,故．综上所述,的取值范围是∪． (13分)22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32. 已知向量＝(8, _),＝(_,1),其中_＞0,若(－2)∥(2＋),则_的值为A.4B.8C.0D.2解:－2＝(8－2_,_－2),2＋＝(16＋_,_＋1)由(－2)∥(2＋),得(8－2_,_－2)＝λ(16＋_,_＋1)即_THORN; _＝4.选A33. 同时具有以下性质:〝①最小正周期实π;②图象关于直线_＝对称;③在[－]上是增函数〞的一个函数是A.y＝sin()B.y＝cos(2_＋)C.y＝sin(2_－)D.y＝cos(2_－)解:由性质①排除A,由性质②排除D,由性质③排除B,选C.34. 在△ABC中,已知sin2Asin2B＝,tanAtanB＝3,求角C.解:∵sin2Asin2B＝,∴sinAsinBcosAcosB＝……①……3’由A.B∈(0,π),知sinAsinB＞0,∴cosAcosB＞0又tanAtanB＝3,即＝3……②……6’由①②得:∴c osC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝而C∈(0,π),∴C＝.35. 如图,已知点P(3,0),点A.B分别在_轴负半轴和y轴上,且＝0,,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知向量＝(1,0),＝(0,1),过点Q(1,0)且以向量＋k(k∈R)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M.N,若D(－1,0),且＞0,求k的取值范围.解:(1)设A(a,0)(a＜0),B(0,b),C(_,y)则＝(_－a,y),＝(a,－b),＝(3,－b),∵＝0,,∴……3’消去a.b得:y2＝－4_∵a＜0,∴_＝3a＜0故曲线E的方程为y2＝－4_(_＜0)……5’(2)设R(_,y)为直线l上一点,由条件知)即(_－1,y)＝λ(1,k)∴,消去λ得l的方程为:y＝k(_－1) ……7’由_THORN;k2_2－2(k2－2)_＋k2＝0 ……(_)∵直线l交曲线E与不同的两点M.N∴△＞0 _THORN; －1＜k＜1……①……9’设M(_1,y1),N(_2,y2),则＝(_1＋1,y1),＝(_2＋1,y2)∵M.N在直线y＝k(_－1)上,∴y1＝k(_1－1),y2＝k(_2－1)又由(_),有_1＋_2＝,_1_2＝2∴＝(_1＋1)(_2＋1)＋y1y2＝(_1＋1)(_2＋1)＋k2(_1－1)(_2－1)＝(k2＋1)_1_2＋(1－k2)(_1＋_2)＋k2＋1＝由条件知:＞0 _THORN;k2＞……②……12’由①②知:－1＜k＜－或＜k＜1.……13’36. 设集合,集合,则( A )A．中有3个元素 B．中有1个元素C．中有2个元素 D．37. 在△中,〝是〝〞的( C )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38. 函数在下面哪个区间内是增函数( C )A．B．C． D．39. 函数的最小正周期为．40. 在三角形ABC中,设,,点在线段上,且,则用表示为．41. 将圆按向量平移得到圆,则的坐标为(－1,2);将抛物线按的相反向量平移后的曲线方程为．42. 已知向量,,,其中．(Ⅰ)当时,求值的集合;(Ⅱ)求的最大值．解:(Ⅰ)由,得,即．…………4分则,得．…………………………………5分∴为所求．…………………………………6分(Ⅱ),……………10分所以有最大值为3． (12)分。
2015高考数学二轮复习学案：专题6 三角函数与平面向量
高三二轮复习6 三角函数与平面向量一、填空题：例1. 在ABC V中，60,B AC ∠==o 则2AB BC +的最大值为_________．答案：解析：2sin sin sin AB BC ACCAB===222sin 4sin 2sin()4sin )3AB BC C A A A A πϕ∴+=+=-+=+max (2)AB BC ∴+=．例2. 函数2112cos ()22()1x xf x x --=-的对称中心的坐标为_________． 答案：(1,1)-解析：2112cos ()cos(1)22()111x x x f x x x ---==--- 而函数cos ()x f x x =是奇函数对称中心为(0,0)，所以cos(1)11x x ---的对称中心为(1,1)-． 例3. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________． 答案：解析： tan A >0，tan B >0，且tan C=2202tt >-，解得． 例4. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c c b+的取值范围是____________．答案：[2解析：22222cos sin 22cos b c b c a bc A a bc AA c b bc bc bc bc++≤+===+==sin A +2cos A)A φ+≤．例5. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若,CP AB PA PB ⋅=⋅uu r uu u r uu r uu r则实数λ的值是_________．答案：λ=AB 中点D ，设1,AD BD PD x === 则()2(1)(1)CP AB CD DP AB x x x ⋅=+⋅=+-即，1x ∴=-，λ=例6.在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心，则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果0aMA bMB ++=uuu r uuu r uuur r ，则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________．答案：π6，934解析：由aMA bMB +uuu r uuu r uuu r＝()aMA bMB MA MB +-uuu r uuu r uuur uuuu r＝()(0a MA b MB +-=uuu r uuur r 又MA uuu r 与MB uuu r 不共线，则a ＝33c ＝b ，由余弦定理可求得cos A ＝32，故A ＝π6.又S △＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.例7. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r，x + 2y =1，则cos B = _________． 答案：7cos 9B =解析：如图D 为AC 中点 22AC AO x AB y AC x AB y =+=+21x y += ,,B O D ∴三点共线，所以73cos 9AB BC B ==∴=．例8. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA 与OB的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为150°，且1OA OB == ，OC = ．若()OC OA OB λμλμ=+∈R，，则λμ+的值为_________．答案：-6解析：建立平面直角坐标系，则)0,1(=，)23,21(-=OB ，)3,3(--=，代入()OC OA OB λμλμ=+∈R ，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-323321μμλ，可解得2,4-=-=μλ，故λμ+6-= .例9. 在□ABCD 中，AB = 5，AD = 4，点P 在△BCD 内（包括周界），设AP xAB y AD =+uu u r uu u r uuu r，则一切点（x ，y ）形成区域的面积为_________．答案：12解析：由题意得：120101x y x y ≤+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩由线性规划作图得1=2S 阴影.例10.已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是_________．CA答案：（0解析：如图所示，令AB α=、AC β= ， 则BC βα=- 。
三角函数、平面向量、数列强化训练
ʏ河南省许昌高级中学 孙英环一、选择题1.设函数f (x )=c o s x +b s i n x (b 为常数),则 b =0 是 f (x )为偶函数 的( )㊂A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .既不充分也不必要条件D .充分必要条件2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 4=5,则S 6=( )㊂A.15 B .20 C .25 D .303.已知等比数列a n的各项均为正数,且a 3=9,则l o g 3a 1+l o g 3a 2+l o g 3a 3+l o g 3a 4+l o g 3a 5=()㊂A.52 B .53C .10D .154.已知t a n θ=3,则s i n 2θ+2c o s 2θ=( )㊂A.45 B .65 C .35 D .755.已知向量a =3,1 ,b =3,-1,则a 在b 上的投影向量为( )㊂A.3,1 B .3,-1 C .32,12D .32,-126.在әA B C 中,若A B ң2-B C ң2=A B ң㊃A C ң,则әABC 是( )㊂A.等腰三角形 B .直角三角形C .等腰直角三角形 D .等边三角形7.设等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项积为T n ,并满足条件a 1>1,且a 2020a 2021>1,(a 2020-1)(a 2021-1)<0,则下列结论错误的是( )㊂A.S 2020<S 2021B .a 2020a 2022-1<0C .数列{T n }无最大值D .T 2020是数列{T n }中的最大值8.函数f (x )=s i n (πx )x2的图像大致为图1中的( )㊂图19.将函数y =2s i n x s i n x +π4的图像向右平移3π8个单位长度,再向下平移12个单位长度,所得图像对应的函数为g (x ),则g (x )在区间π6,π3上的最大值为( )㊂A.-64 B .23 C .32 D .6410.在锐角әA B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=a (a +c ),则角A 的取值范围为( )㊂A.0,π4 B .0,π6 C .π6,π4 D .π4,π311.已知函数y =f (x +1)是偶函数且在(-ɕ,0)上递减,若α,β是锐角三角形的两个锐角,则下面关系式正确的是( )㊂A.f (1)>f (s i n α)B .f (1+s i n α)>f (1+c o s β)C .f (1+s i n α)<f (1+c o s β)D .f (1+s i n α)<f (1-c o s β)12.已知O 是әA B C 内的一点,若әB O C ,әA O C ,әA O B 的面积分别记为S 1,S 2,S 3,则S 1㊃O A ң+S 2㊃O B ң+S 3㊃O C ң=0㊂这个定理对应的图形与 奔驰 轿车的24 演练篇 核心考点A B 卷 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.l o go 很相似,故形象地称其为 奔驰定理 ㊂如图2,已知O 是әA B C 的垂心,且O A ң+2O B ң+3O C ң=0,则t a n øB A C ︰t a n øA B C ︰t a n øA C B =( )㊂A.1︰2︰3 B .1︰2︰4C .2︰3︰4D .2︰3︰6图2二㊁填空题13.在әA B C 中,若M 是线段B C 上靠近B 的三等分点,N 是线段A M 的中点,则B N ң=㊂14.已知函数f (x )=a t a n 3x +b s i n x +3,若f (m )=1,则f (-m )=㊂15.给出下列命题:①函数f (x )=4c o s 2x +π3的一个对称中心为-5π12,0;②若α,β为第一象限角,且α>β,则t a n α>t a n β;③若s i n 2A =s i n 2B ,则әA B C 是等腰三角形;④函数y =s i n 2x 的图像向左平移π4个单位长度,得到y =s i n 2x +π4的图像㊂其中正确命题的序号是(把你认为正确的序号都填上)㊂16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,满足a 1=1,3S n =(n +m )a n (m ɪR ),且a n b n =15㊂若对任意的n ɪN *,都有λ>T n 成立,则实数λ的最小值为㊂三㊁解答题17.已知әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b s i n A =a c o s B -π6㊂(1)求角B 的大小;(2)若a ,b ,c 依次成等比数列,求1t a n A+1t a n C的值㊂18.已知әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,b =5,B =π4㊂(1)求c ;(2)若点D 在边A B 上,且әA D C 的面积为1,求C D 的长㊂19.S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知a 4=9,S 3=13,且公比q >0㊂(1)求a n 及S n ;(2)是否存在常数λ,使得数列{S n +λ}是等比数列若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由㊂20.记数列{a n }的前n 项和为S n ,且2n ,a n ,2S n -a n 成等差数列(n ɪN *)㊂(1)证明:数列{a n +1}是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)记b n =a n +1a n a n +1,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n ㊂21.数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =(n -1)㊃2n +1+2(n ȡ1)㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n +1a n,S n 为数列{b n }的前n 项和,求S n ㊂22.在әA B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(a ,c ),n =(c o s C ,c o s A ),且满足m ㊃n =2b c o s A ㊂(1)求A ;(2)若a =3,当c o s 2B -4c o s A s i n B 取最小值时,求әA B C 的周长;(3)求s i n B s i n C 的取值范围㊂23.已知f (x )=x 2-3x ,数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =f (n )㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =a n4ˑ3n,数列{b n }的前n 项和为T n ,且对于任意的n ɪN *,总存在x ɪ[2,4],使得T n >m f (x )成立,求实数m 的取值范围㊂24.已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且对任意的n ɪN *,都有a n +1-a n =2(b n +1-b n )成立㊂(1)若A n =n 2,b 1=2,求B n ;(2)若对任意的n ɪN *,都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+ +b n +1a n a n +1<13成立,求正实数b 1的取值范围㊂(责任编辑 王福华)34演练篇 核心考点A B 卷 高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
“三角函数与平面向量”检测题
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且 一 ）＝ （ ， （ ， ） 则 ）
８ （ ０ １年课 标 全 国 卷 ・ １ ）在 △Ａ ．２ １ 理 ５ Ｃ中 ， ６ 。 Ｂ＝ ０ ， ３ （０ １ ． ２ １ 年课标全 国卷 ・ １ ）设函数， ） ｉ（ｏ Ａ √ 则 Ａ ２ Ｃ的最大值为— — 。 理 １ （ ＝ｓ ｃ ｎ ｘ Ｃ＝ ， Ｂ＋ Ｂ 三 、 答 题 解
能力训练
责编 周瑜芽／ｚ ｙ ＠１３ Ｏ ． ｇｓ 印ｙ ６ Ｉ ＣＤ
“ 角函数 与平 面向量＂ 测题 三 检
。万 淑 明
一
、
选 择 题
向量 ， 夹角为 ０有 Ｆ ０ 其 ， 歹 四个 命 题 ：
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三角函数与平面向量练习题
编号：11 编制：许小红 审核：孙丽君 时间：2011-9-30
一、选择题
1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A 、),2()2,2
1
(+∞⋃- B 、(2，+∞)
C 、(21-，+∞)
D 、(－∞，21-) 2、ΔABC 中，若⋅=⋅，则ΔABC 必为（ ）
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、等腰三角形
3、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与ΔABC 的关系是（ ）
A 、P 在ΔABC 内部
B 、P 在ΔAB
C 外部
C 、P 在直线AB 上
D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点
4．在平行四边形ABCD 中，M 为AB 上任一点，则AM DM DB -+等于 ( )
(A )BC (B )AB (C )AC (D )AD
5．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ）
A ．-9
B ．-6
C ．9
D ．6
6． 己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( )
A ．(－2,11)
B ．()3,34
C ．(3
2,3) D ．(2,－7) 7．下面给出四个命题：
① 对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-；
② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-；
③ 若(,0)ma mb m R m =∈≠，则a b =；
④ 若(0)ma na a =≠，则m n =.其中正确的命题个数是 ( )
(A ) 1 (B ) 2 (C )3 (D )4
8．已知123()AB e e =+，12CB e e =-，122CD e e =+，则下列关系一定成立( )
(A )A ，B ，C 三点共线 (B )A ，B ，D 三点共线
(C )A ，C ，D 三点共线 (D )B ，C ，D 三点共线
9．已知5
3)sin(=+απ且α是第三象限的角，则)2cos(πα-的值是（ ） A ．54- B ．54 C ．54± D ．5
3 10．若函数)cos(3)(ϕω+=x x f 对任意x 都有)6()6
(x f x f +=-ππ
，则)6(π
f 的（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．0 11．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
12．设α、β、γ∈R ，且βγαs i n s i n s i n =+，βγαcos cos cos =+，则βα-（ ）
A ．3π-
B ．6π
C ．33ππ-或
D ． 3
π 二、填空题( 每小题5分，共20分 )
13．把函数)42sin(π+
=x y 的图象向右平移8π，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的2
1，则所得图象的函数是 . 14．若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α
＝2，则sin α·cos α的值等于______________. 15．已知若（k 2),3,(),1,2(+==∥），（b a -2则k 的___________. 16. 函数)3cos(π
+-=x y 的增区间_________________。
三、解答题（第15,16,题12分，第17,18,19,20题各14分，）
17．已知ABC ∆中，(3,1),(7,),(5,7)A B y C -，且重心(,4)G x ，,x y R ∈。
⑴ 求,x y 的值； ⑵ 若线段BC 的三等分点依次为M ，N ，求,AM AN 的坐标；
18已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈32,3ππx （1）求函数x y cos =的值域；（2）求函数
4cos 4sin 32+--=x x y 的最大值和最小值.
19．已知1027)4sin(=-π
α，25
72cos =α， （1）求αα
cos sin +的值；（2）求)3
tan(πα+的值.
20．已知3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θ
θθx x x x f （1）化简)(x f 的解析式；
（2）若πθ≤≤0，求θ使函数)(x f 为奇函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足[]ππ,,1)(-∈=x x f 的x 的集合.
21、已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，0<α<β<π。
（1）求证：a +b 与a －b 垂直；
（2）若k a +b 与a －k b 的长度相等，求β－α的值（k 为非零的常数）
22、抛物线2
2
x y -=与过点M(1，0)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OB OA ⋅=0，求直线l 的方程。