函数的连续性在高等代数中的应用

函数的连续性在高等代数中的应用

摘要：数学分析和高等代数是大学数学专业非常重要的基础课程，这两门课程的一些问题如果只是从学科内部出发很难解决，而运用另一门学科的知识解决，问题就变得简单易行.

关键词:连续函数；行列式；矩阵；二次型

Applications of Continuity of Function in Advanced

Algebra

Zhou Yuxia

(College of Mathematics and the Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou 730000)

Abstract: The mathematical analysis and advanced algebra are very important foundation courses of university mathematics special field,some of the problems of both courses within the discipline, if only from the start are dif-ficult to resolve but used of the knowledge of other disciplines to solve, the problem becomes very easy.

Key words: continuous function; matrix; determinant; quadratic form

本文记号说明：const: 常数；A T : 矩阵A的转置；A*:矩阵A的伴随矩阵；

f(x) C（a,b）:f(x)在（a,b）上连续.

一引言

数学分析和高等代数都是高等教育中非常重要数学基础课，无论是数学专业的学生还是其他理工科专业的学生，都要学好这两门基础课. 稍微有点区别就是非数学专业开设的是等数学或者微积分和线性代数，但这只是课程名称的变化，具体学习内容都是一样的. 因此，学好这两门课程是学好大学数学课程的关键. 学生应该掌握数学分析和高等代数之间深刻的联系，以便更容易了解、学习、掌握这两门基础课，为以后更深入的学习深造打好扎实基础.本文只探究数学分析在高等代数中的应用，包括利用数学分析中的函数连续性解决某些行列式、矩阵、二次型问题.至于高等代数在数学分析中的应用本文暂不探究.

二函数连续性的应用

函数的连续性不仅在数学分析学科内部有很重要的地位，在跨学科比如高等代数中也有很重要的作用. 以下简要说明一下数学分析中函数连续性在高等代数中多个方面的应用.

1 函数连续性在解决行列式问题中的应用

行列式是学生刚接触到大学数学课程后，在高等代数方面遇到的第一个新概念，运用已有知识学习新概念，能使学生更容易理解和掌握. 以下说明函数的连续性在解决行列式问题中的部分应用.

例1 设A, B, C, D 都是n 阶矩阵, AC = CA . 若|A|≠ 0, 则

A B

A D C

B C

D =-

这个命题是 [8]的P203的补充题6，该命题是正确的[2,5,6,7]， 但

A ≠这个条件是可以去掉的，此时结论依然成立. 现证明

如下： 当|A| = 0时，∃δ = const > 0，对∀ε ∈ (0, δ)，矩 阵A ε

=

A + εE 可逆，即

A ε≠.

A ε C = AC + εC = CA + εC = CA ε.

从而

A B

A D CB

CD

εε=-

显而上式等号两端都是关于ε之连续函数，故可在两端同时令ε → 0+ ，即得

到

A B

A D C

B

C

D =- 故结论成立.

命 题 (1)F ε∀

∈,其中F 是一个数域，对任何方阵A ε=A + εE ，除有限个 值外均为非奇异矩阵.

(2)∃δ = const > 0，对∀ε ∈ (0, δ)，A ε=A + εE 均为可逆矩阵.

证 (1)A ε 奇异⇔ |A ε

| = |A + εE| = |εE − (−A )| =0ε为−A 的特征根. 而矩阵−A 最多有n 个不同的特征根，可见除了有限个ε为−A 的特征根外，A ε为非奇异阵.

(2)因为−A 其至多有有限个特征根，记其为λ1 , λ2 , · · · , λn ， 不妨 设λ1 = 0，今设δ 是−A 的非0特征根的绝对值(或模)之 最 小值，则对∀ε ∈ (0, δ)，A ε = A + εE 为非奇异阵.

例2 证 明 ：(A * ) * = |A|n-2 A ， 其 中A 是n × n 矩 阵(n > 2) .

证 当A 为非奇异矩阵时，由A * = |A|A -1 知

(A *) * = |A * |(A * )-1

= ||A|A 1- |(|A|A )1-

()11

11n

A A

A A

-

--=

1

1n

A A A

-=

2

n A

A

-=

当A 为 奇异 矩 阵时 ， 对一 切 充分 小 的ε > 0， 矩 阵Aε =

A + εE 为非奇异矩阵，由上述已证结论有，

()()*

2

*n A A A εε

ε

-=.

上

式矩阵

中的每

个元素

均为ε之连

续函数，

所以令ε0+

→

得

()*

2

*n A A A

-=