点到直线的距离导学案
最新冀教版四年级数学上册《 垂线和平行线 垂线 两条直线的相交关系;点到直线的距离》优课导学案_2
认识垂线教学内容：冀教版数学四年级上册p78——79教学目标：1.结合具体事例，经历了解两条直线相交（包括垂直）关系的过程。
2.知道平面上两条直线相交成四个角，有一个交点；了解两条直线互相垂直的含义，认识垂线和点到直线的距离。
3.积极参与数学活动，获得积极的学习体验。
教学过程：一、认识相交1、出示一副交叉的筷子图师：筷子我们每天都要用到，它是我们华夏民族智慧的结晶,是中国精神的传承。
许多外国人称它是我们中国四大发明之外的一大发明。
看看这两根筷子是怎么放在桌子上的？生：交叉师：这两根筷子是交叉的，这就是它们的位置关系，“交叉”在数学上叫“相交”。
我们可以把这两根筷子近似的看成是两条直线，现在这两条直线的位置有什么关系呢？生：相交。
二、认识垂直1、判断在下图中哪些可以近似的看作两条直线相交？生：两根交叉的竹篱笆可以看作两条直线相交。
任意两根相交的竹篱笆都可以看作两条相交的直线。
路口的两条路可以看作两条相交的直线。
师：同学们刚才说得很好，交叉的小棒、竹篱笆、十字路等都可以看作两条相交的直线。
2、观察这几组相交的直线，用量角器量一量，看看它们有什么相同点和不同点？相同点：都有一个交点两条直线都相交成了4个角。
这4个角的和都是360°相邻的两个角组成了平角，180°相对的角度数相等。
有两个钝角、两个锐角不同点：前两幅图有两个钝角、两个锐角，图③两条直线相交成的4个角都是直角。
师：同学们真棒！有这么多发现。
通过观察发现：两条直线相交成的四个角的大小、关系等，为认识垂线做准备。
师：两条直线相交都组成4个角，都有一个交点，在数学上，我们说：两条直线相交只有一个交点。
师：你怎么知道都是直角的？你认为这两条直线相交成了几个直角？说一说你是怎么验证？3、认识垂直师：通过验证我们发现这两条直线相交成直角了。
为了表示它们相交成了直角，我们可以在这表上直角符号。
师：像这样两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。
2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离 导学案正文
2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离【学习目标】1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.◆ 知识点一 点到直线的距离公式点P (x 0,y 0)到直线l :Ax+By+C=0的距离d= . 证明点到直线的距离公式的方法 1.定义法根据定义,点P 到直线l 的距离,就是点P 到直线l 的垂线段的长度.如图,过点P (x 0,y 0)作直线l :Ax+By+C=0(A ≠0,B ≠0)的垂线l',垂足为Q ,由l'⊥l 可知l'的斜率为 ,∴l'的方程为y-y 0=B A(x-x 0),与l 的方程联立,得交点为Q (B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2,A 2y 0-ABx 0-BCA 2+B 2),∴|PQ|=00√A +B .可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.2.向量法如图,已知P (x 0,y 0),设与直线l :Ax+By+C=0的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直的向量为n=(A ,B ),M (x ,y )为直线l 上任意一点,则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y-y 0),从而点P 到直线l 的距离d= =00√A +B ,∵点M 在直线l 上,∴Ax+By+C=0,从而d=00√A +B =00√A +B .【诊断分析】 1.已知点P(-1,0),直线l:x+y-4=0.(1)直线l的一个方向向量为n=,与直线l垂直的一个向量为m=;⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量m求得点P到直线l的距离为.(2)Q(1,3)是直线l上一点,利用PQ2.点P(x0,y0)到直线y=a的距离为.◆知识点二两条平行直线间的距离1.定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的的长.2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)连接两平行直线上任意两点,即得两平行直线间的距离.( )(2)若直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,则点A,B,C到直线l2:x+y+1=0的距离相等. ( )(3)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|.( ).( )(4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为12√A1+B1◆探究点一点到直线的距离公式的应用例1 (1)点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离是.(2)点P(0,2)到直线y=3的距离是.(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为. 变式 (1)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等,则l的方程为 ( )A.4x-y-2=0B.4x+y-6=0C.4x-y-2=0或x=1D.4x+y-6=0或x=1(2)已知直线l:y=k(x-2)+2,当k变化时,点P(-1,2)到直线l的距离的取值范围是( )A.[0,+∞)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)[素养小结]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解.(3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.拓展已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为( )A.2√3B.√10C.√14D.2√15◆探究点二平行线间距离公式的应用例2 (1)已知直线l1:y=2x+1,直线l2:4x-2y+7=0,则l1与l2之间的距离为( )A.√52B.√54C.√102D.√104(2)若直线l1:2x+y+a=0与直线l2:ax-y-3=0平行,则直线l1与l2之间的距离为.(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为. 变式 (1)已知点A(1,0),B(3,1),C为直线l:x-2y+4=0上的一个动点,则△ABC的面积为( )A.5B.√5C.√52D.52(2)若直线12x-5y+c=0与直线y=125x+1间的距离不小于3,则c的取值范围是.[素养小结]求两平行线间的距离一般有两种方法(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.(2)公式法:直接利用公式d=12√A+B,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.◆探究点三距离公式的综合应用例3已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.变式若点P到直线5x-12y+13=0的距离与到直线3x-4y+5=0的距离相等,则点P所在直线的方程是( )A.32x-56y+65=0或7x+4y=0B.x-4y+4=0或4x-8y+9=0C.7x+4y=0D.x-4y+4=0拓展已知直线l1 :x=0,l2:3x-4y=0,点A的坐标为(1,1),且过点A的直线l与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数),设O为坐标原点,求△MON面积的最小值.。
§5.1.3垂线的画法与性质导学案
§5.1.3垂线的画法与性质（导学案）姓名学习目标会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.理解并掌握垂线段的意义.重点 1 •点到直线的距离；2.垂线的两条性质.难点区分垂线段与点到直线的距离.一，预习导航1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线的位置关系是,请口述你的理由.2.如图，已知直线/.（1）分别用三角尺，或量角器各画出直线/的一条垂线；（2）请用折纸的方法，折出直线/的一条垂线. ι【归纳】这样的垂线能理出或能批出条；3.如图，已知直线/.（观察教材P4 “探究”，模仿图5.1-7中的画法.）（1）点4在直线/上，过点4画/的垂线；（2）点8在直线/外，过点8画/的垂线. B【归纳1】过一点画已知直线垂线的工具是：和;步骤是：①;②;③.【归纳2】过一点（注：这一点不管是在直线上，还是在直线外）画已知直线的垂线, 能画条.二，新知探究（阅读教材P5内容）1.【垂线的性质1］在同一内，过一点与已知直线垂直.注：“有”表示,“只有”表示,就是肯定有条并且不能多于条.2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的垂线.如图，请你过点尸画出范(1) (2) (3) 3.垂线段尸(1)如图，连接直线/夕I点P与直线/上各点。
，Ai, A2f A3,其中只有Ll1则称线段为点P到近线I 的垂线桂/77 ,•--A3A2A1O(2)比较线段Pa PAi t PAi i Rh,…的长短，最短的是.【垂线的性质2】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简说成，.4.点到直线的距离(1)直线外一点到这条直线的垂线段的,叫做点到直线的距离.(2)谈谈“垂线段”与“点到直线的距离”的区别.三，应用举例例1如图，ABLl f BCLl t 8为垂足，那么4, B,。
三点在同一条直曾去吗？C——-------------- 1例2如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田户处，如何挖渠能使渠道最短？(1)画出最短渠道的路径；(2)如果图中比例尺为1:100000,水渠大约要挖多长？四，课堂演练1.如图，画AE_L3C, CFlAD t垂足分别为E, F.2.如图，三角形ABC中，ZC=90o.(1)点A到直线BC的距离是线段的长，点B到直线AC的距离是线段的长；(2)三条边AB, AC f 8C中，最长，为什么？五，课堂小结谈谈你在本节课中的收获与困惑.六，星级作业第1题第2题*2.如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少(比例尺为1 :150)?。
5.3点到直线的距离(导学案)——四年级上册数学人教版
5.3点到直线的距离（导学案）——四年级上册数学人教版教学内容：1. 人教版四年级上册数学第5章“几何图形”，第3节“点到直线的距离”。
教学目标：通过本节课的学习，我希望学生能够理解点到直线的距离的概念，并能够运用这个概念解决实际问题。
教学难点与重点：重点：点到直线的距离的定义和计算方法。
难点：如何理解和运用点到直线的距离解决实际问题。
教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、直尺、圆规。
学具：练习本、铅笔、橡皮。
教学过程：一、实践情景引入（5分钟）我会在黑板上画一个点，并画一条直线，然后提问学生：“如果我们要找出这个点到直线的距离，我们应该如何操作？”二、知识点讲解（15分钟）1. 我会在黑板上解释点到直线的距离的定义，即从点到直线的最短距离。
2. 然后，我会用一些图示和实例来解释如何计算点到直线的距离。
三、例题讲解（10分钟）我会用两三个例题来演示如何应用点到直线的距离的计算方法，并引导学生一起解答。
四、随堂练习（10分钟）我会给出几个练习题，让学生独立解答，然后我会挑选一些学生的答案进行讲解和解析。
五、板书设计（5分钟）我会根据本节课的内容设计一些板书，以便学生能够清晰地理解和记忆。
六、作业设计（5分钟）作业题目：1. 请解释点到直线的距离的概念。
2. 请用一张纸和一把直尺，画出一个点，并画出一条直线，然后找出这个点到直线的距离。
答案：1. 点到直线的距离是指从点到直线的最短距离。
2. 略。
课后反思及拓展延伸：通过本节课的教学，我认为学生们对点到直线的距离的概念有了初步的理解和掌握。
但在实际应用中，有些学生还存在一定的困难，需要进一步加强练习和引导。
对于拓展延伸，我可以在下一节课中引入一些更复杂的问题，让学生们运用点到直线的距离的知识来解决。
重点和难点解析：1. 点到直线的距离的定义和计算方法。
2. 如何理解和运用点到直线的距离解决实际问题。
3. 例题的讲解和随堂练习的解答。
对于这些重点和难点，我将进行详细的补充和说明。
山东省临清实验高中高中数学 3.3.3点到直线的距离和两条平行直线间的距离教案 新人教A版必修2
3.3.3 点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】 导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x 0,y 0),直线l 的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设A 、B≠0).图1新知探究 提出问题①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x 0=0,y 0=0时，d=22||BA C +；(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时，d=220||BA C Ax ++；(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时，d=220||BA C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x 0,y 0)，d=? 学生应能得到猜想：d=2200||BA C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0，得P′(AC 1-,0). ∴P′N=221221|||)(|B A C C B A C A C A +-=++-•.(*)∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上, ∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=2221||BA C C +-.证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++.又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2，∴d=2221||BA C C +-.讨论结果：①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离公式为d=2200||BA C By Ax +++.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=2221||BA C C +-.应用示例例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x=2平行于y 轴，所以d=|32-(-1)|=35. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a =4⇒|3a-6|=20⇒a=20或a=346. 例2 已知点A (1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积. 解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC =21|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x+y-4=0. 点C 到x+y-4=0的距离为h=2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC =21×2522⨯=5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1=0或7x ＋y ＋5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离.答案：1332.解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-54,52)， 则直线MO′的方程为y-3=413x. 直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(511,158--)即为所求， 相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=5185. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测 导学案当堂检测 【板书设计】一、点到直线距离公式 二、例题 例1 变式1 例2 变式2【作业布置】课本习题3.3 A 组9、10；B 组2、4及导学案课后练习与提高学校--临清实高学科--数学 编写人—张子云 审稿人--周静3.3.3 点到直线的距离课前预习学案一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处问题1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?5分钟训练1.点（0，5）到直线y=2x 的距离是( )A.25 B.5 C.23D.252.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.3.已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x-y+3=0的距离为1,则a 的值等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+答案：C 三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案 一、学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立 二、学习过程知识点1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：0022Ax By C d A B++=+.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y -- 0=的距离.问题2：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y + 10-=的距离.知识点2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.典型例题例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习. 拓展提升 问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值. .学习小结1. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式课后巩固练习与提高30分钟训练1.点（3,2）到直线l :x-y+3=0的距离为( )A.24B.2C.22D.3 2.点P(m-n,-m)到直线nym x +=1的距离为( ) A.22n m + B.22n m - C.22n m +-D.22n m ±3.点P 在直线x+y-4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.13 B.22 C.6 D.24.到直线2x+y+1=0的距离为55的点的集合为( ) A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0 5.若动点A 、B 分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.23B.22C.33D.24 6.两平行直线l 1、l 2分别过点P 1(1,0)、P 2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l 1：_________________,l 2：_______________.7.已知直线l 过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l 的距离为3，求直线l 的方程. 8.已知直线l 过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程. 9.已知三条直线l 1：2x-y+a=0(a ＞0),直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3：x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值.(2)能否找到一点P,使得P 点同时满足下列3个条件:①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 到l 2的距离的21；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是5:2？若能,求P 点的坐标;若不能,请说明理由.参考答案1.解析:由点到直线的距离公式可得d=222|323|=+-.答案：C 2.解析:⇒=+1nym x nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得 222222222|||)(|n m n m m n n m mn m n m n +=+--=+---.答案：A3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O 到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得2224=.答案：B4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为55.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得⇒=-555|1|m ｜m-1｜=1，解得m=2或m=0 故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 答案：D8.解：直线l 平行于直线AB 时，其斜率为k=k AB =1531---=-1， 即直线方程为y=-(x-1)+1⇒x+y-2=0；直线l 过线段AB 的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l 的方程为y=1.综上，直线l 的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：(1)根据题意得：l 1与l 2的距离d=⇒=+⇒=+27|21|51075|21|a a a=3或a=-4(舍).(2)设P 点坐标为(x 0,y 0),则x 0＞0,y 0＞0.若P 点满足条件②,则2×⇒--=+-5|212|5|32|0000y x y x ｜8x 0-4y 0+12｜=｜4x 0-2y 0-1｜,8x 0-4y 0+12=4x 0-2y 0-1或8x 0-4y 0+12=-(4x 0-2y 0-1)⇒4x 0-2y 0+13=0或12x 0-6y 0+11=0; ①若P 点满足条件③, 则⇒--⨯=+-⨯2|12|25|32|20000y x y x ｜2x 0-y 0+3｜=｜x 0+y 0-1｜,2x 0-y 0+3=x 0+y 0-1或2x 0-y 0+3=-(x 0+y 0-1),x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0; ②由①②得⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+-=+-023,011612023,01324042,013240000000000x y x x y x y x y x 或或⎩⎨⎧=+-=+-.042,0116120000y x y x 或解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1837,9121,32631,3221,300000000y x y x y x y x 或或或故满足条件的点P 为(-3,21)或(631,32-)或(21,32-)或(1837,91).。
2.1.5.2点到直线的距离公式-导学案
点到直线的距离公式（导学案）使用说明：1.用20分钟左右的时间，预习课本74-76页的内容，自主高效阅读，提升自己的阅读理解能力；2.结合课本的基础知识完成预习案，也可进一步完成探究案及相关练习自测。
【学习目标】1．理解点到直线的距离公式的推导；2．掌握点到直线的距离公式，并能简单应用；3．讨论，探究两平行直线的距离公式。
【重点难点】重点：点到直线的距离公式灵活应用；难点：点到直线的距离公式的推导。
预习案一、相关知识在平面几何中，求点P到直线l的距离步骤：1.先过点P作l的垂线PH,2.再求出PH的长度，3. PH的长度就是点P到直线l的距离。
二、教材助读1.在平面直角坐标系中，用坐标的方法求点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离的步骤：其算法框图：2.用上述方法可以得到点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式三、预习自测求下列点到直线的距离：(1). (0,0),3240;x y-+=(2). (1,340;x y---=(3). (2,3),.x y-=探究案基础知识探究1.实例分析点到直线的距离公式的推导过程（(3,5),:3450p l x y---=）2.求原点到直线1:51290l x y--=的距离；3.求点(1,2)p-到直线2:2100l x y+-=距离。
综合应用探究试推导两平行线1Ax By C++=与2Ax By C++=间的距离公式。
(1222dA B=+)求两平行线3210,3260x y x y--=-+=的距离确定直线l的___k求与l垂直直线的斜率k’=____ 求过点P_____l的直线l’的方程求点____与点____间的距离求l与l’的_____H得到点P到l距离d=|PH|0022||Ax By C dA B++=+当堂检测1. 已知点(,3)(0)m m >到直线:240l x y -+=的距离为1，则m 等于_______.2. 两平行直线12,l l 分别过(1,0)A 与(0,5)B .若1l 与2l 的距离为5，求这两直线方程。
点到直线的距离公式——公开课
点到直线距离公式
点 P( x0 , y0 )到直线 Ax By C 0
（其中A、B不同时为0）的距离为
d
Ax0 By0 C A B
2 2
注： 在使用该公式前，须将直线方程化为一般式．
A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时 一般不用此公式计算距离．
典型例题 例1:求点P(-1,2)到直线 ①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
解析 由于l1⊥l2，∴设直线l2的方程为3x－y＋C＝0， 3 10 ∵P(－1,0)到直线l2的距离为 ， 5 |3×－1－0＋C| |C－3| 3 10 ∴d＝ ＝ ＝ ， 2 2 5 10 3 ＋－1 ∴|C－3|＝6，∴C＝9，或C＝－3， ∴直线l2的方程为3x－y＋9＝0，或3x－y－3＝0.
d
y
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式计算该怎样算？ l:3x=2
变式练习1
1.求下列点到直线的距离： (1) A(-2,3)，l: 3x+4y+3=0
(2) B(1,0)， l:
| AB | (3 1) 2 (1 3) 2 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离 AB边所在直线的方程为 y 3 x 1
C O
1 3 3 1 即x y 4 0 点C （-1,0）到x y 4 0的距离 |-1+0-4| 5 h= 2 2 2 1 1
1 5 因此，S ABC= 2 2 5 2 2
【教育资料】四年级上册数学导学案第五单元 第3课时 点到直线的距离 人教新课标学习精品
说明 务，同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力。
2.思索探究，交流共享。在轻松愉悦的氛围中自主探究点到直等，在交流中达到共识，在此过程中共享学
习的乐趣。让学生在学习中学会自学，独立思考，真正成为学习的主人。
1.知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距
验新 一点向这条直线画线段，你能画 测量、比较，找 线间的距离处处（ ）。
知。 多少条？
出最短的线段。 （2）长方形的长和宽互相
（2）这些线段中有没有最短的？ （2）小组内派 （ ）；相对的边互相
哪一条最短呢？全班展开讨论。 代表整理汇报 （ ）。（填“垂直”或“平
（3）教师小结：从直线外一点到 结论：可以画无 行”）
教育资源
第 3 课时 点到直线的距离
课题 点到直线的距离
课型
新授课
点到直线的距离不仅是学习垂直的重要内容之一，而且在生活中有着广泛的应用。
教学中应注意贯通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用
等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。
设计 1.创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任
直线，在较远处画一个点 A，并 利用工具经过 A 点画出已知直线 一、引 的垂线。 入新 学生画图，指名到黑板上板演， 课。 指出垂足。 3.谈话：同学们都知道了什么是 垂直，掌握了经过直线外一点向
线。 1.自由交流。
2.经过一点画
已知直线的垂 答案：（1）
线，指出垂足。
3.了解本节课 (2)
的学习内容。 (3)
这条直线所画的垂直的线段最 数条线段，垂直 答案：（1）同一平面平行线相
短，所以点到直线的距离其实就 线段最短。 等（2）垂直平行
点到直线的距离
高一数学《点到直线的距离》导学案一．课标要求：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.二．本节主要问题：（一）坐标平面中，点11(x ,y )P 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 计算公式是什么？（了解公式推导过程）注意：在应用点到直线的距离公式时，直线的方程需为一般式.(二)两条平行线之间的距离公式是什么？说明理由.注意：在应用平行线间的距离公式时，两条平行直线的方程需为一般式，且x,y 的系数对应相等.三、例题例1：求点(1,2)P -到直线25x y +=的距离d .例2：求平行线1:12580l x y -+=与2:125240l x y --=之间的距离.四、巩固练习：1.点)1,1(M 到直线02=-+y ax 的距离为1，则a 等于（ ）A. 1B. 0C. -1D. -1或12.点),(y x P 在直线04=-+y x 上，O 是坐标原点，则|OP|的最小值是（ ） A. 7 B. 6 C. 22 D. 53.到直线0143=--y x 的距离为2的点的轨迹方程是( )A.01143=--y xB.01143=+-y xC.0943=+-y x 或01143=--y xD.0943=+-y x 或01143=+-y x4.过)2,1(P 引直线，使它与)3,2(A 和)5,4(-B 的距离相等，那么直线的方程是5.已知直线0160323=++=-+my x y x 与互相平行，则它们之间的距离等于6.在x 轴上求与直线0543=-+y x 的距离等于5的点的坐标.参考答案： 1.B 11122=+-a a 得0=a2.C 即求原点O 到直线的距离 2211422=+-=OP3.C 即求直线0143=--y x 的平行线：设043=+-m y x则由题意知2)4(3122=-+--m，得119-=或m所以要求得轨迹方程为0943=+-y x 或01143=--y x4.06x 40723=-+=-+y y x 或 点拨：过AB 中点的一条直线以及与AB 平行的一条直线。
四年级上册数学教案-5.3 点到直线的距离-人教版
四年级上册数学教案-5.3 点到直线的距离-人教版一、教学目标1. 让学生理解点到直线的距离的概念。
2. 培养学生运用点到直线的距离解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容1. 点到直线的距离的概念。
2. 点到直线的距离的计算方法。
3. 点到直线的距离在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：点到直线的距离的概念及其计算方法。
2. 教学难点：点到直线的距离在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入通过复习直线、射线和线段的概念，引导学生关注点到直线的距离。
2. 新课讲解（1）点到直线的距离的概念引导学生观察点到直线的不同位置，从而得出点到直线的距离的定义。
（2）点到直线的距离的计算方法通过实例演示，让学生了解点到直线的距离的计算方法。
3. 练习与讨论让学生分组讨论，如何计算点到直线的距离，并在黑板上展示计算过程。
4. 课堂小结对本节课所学内容进行总结，强调点到直线的距离的概念和计算方法。
5. 作业布置布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学反思1. 教师在教学过程中要注意引导学生关注空间几何的基本概念，培养学生的空间观念。
2. 在讲解点到直线的距离的计算方法时，要通过实例演示，让学生更好地理解。
3. 在练习与讨论环节，要关注学生的参与度，鼓励学生积极发言，培养学生的合作意识。
4. 在课后作业的布置上，要注重练习题的针对性和层次性，以提高学生的学习效果。
总之，本节课的教学内容是点到直线的距离，通过讲解概念、计算方法和实际应用，让学生掌握点到直线的距离的知识。
在教学过程中，要注意培养学生的空间观念和抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
重点关注的细节是“点到直线的距离的计算方法”。
详细补充和说明：在数学中，点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的最短距离。
这个概念在几何学中非常重要，因为它不仅涉及到基本的几何知识，还在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、道路规划等领域。
教用零障碍7年级数学人教下册第五章第3课.pdf
来）．
８．（例３）如图，汽车在直线公路ＡＢ上行驶，Ｍ，Ｎ是两９．如图，在河岸ｌ的同侧有一村庄Ａ和自来水厂Ｂ．现
侧的村庄，当汽车行驶到 Ｐ点位置时，离村庄 Ｍ最 要在河岸 ｌ上建一抽水站 Ｄ，将河中的水输送到自
近，当行驶到点 Ｑ位置时，离村庄 Ｎ最近，请在 ＡＢ 来水厂后，再送往 Ａ村，问抽水站 Ｄ应建在何处，才
Ｃ．线段 ＣＤ的长
Ｄ．线段 ＡＢ的长
第２关
１２．如图，ＡＣ⊥ ＢＣ，Ｃ为 垂 足，ＣＤ⊥ ＡＢ，Ｄ为 垂 足，ＢＣ１３．如图，甲、乙两名同学测得小明 的 跳 远 成 绩 分 别 为
＝６，ＣＤ＝４８，ＢＤ＝３６，ＡＤ＝６４，ＡＣ＝８．
ＤＡ＝４．４ｍ，ＤＢ＝４．２到 ＡＢ的距离是 ４８ ；
…，交 ｌ于点 Ａ，Ｂ，Ｃ，…，请你
解：连接 ＡＢ，作 ＢＣ⊥ＭＮ，Ｃ是垂
用量角器量 ∠１，∠２，∠３的
足，线段 ＡＢ和 ＢＣ就是符合题意
度数，并量 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ的 长
的线路图．
度，你发现的规律是 连接直线外一点与直线上各
因为从 Ａ到 Ｂ，线段 ＡＢ最短，
答案图 点所得的线段长度随着它与直线夹角的增大而
上分别画出 Ｐ，Ｑ两点的位置．
能使铺设的水管最短？在图中画出来．
解：如图，过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ｌ于
点 Ｄ，此时由垂线段最短可知
点 Ｄ即为水站．
连接 ＡＢ，由两点 之 间 线 段 最
解：如图．
短可知 ＡＢＤ为铺设水管
的最短路线．
答案图
答案图
第五章 相交线与平行线 ７
二、过关检测
第 １关
１０．如图，△ＡＢＣ是锐角三角形，过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ，垂１１．小区 Ｐ附近要建立一个邮局，有四个地点 Ａ、Ｂ、Ｃ、
(新)苏教版四年级数学上册《点到直线的距离》导学案精品(附答案)
8 点到直线的距离项目内容1.下面哪组中的两条直线互相垂直?在它的下面画“ ”。
2.从A点向已知直线画一条垂直的线段和几条不垂直的线段,量一量这些线段的长度。
测量发现,这些线段中( )的线段最短。
3.认识点到直线的距离。
从直线外一点到这条直线所画的( )线段的长度,叫作这点到这条直线的( )。
4.通过预习,我知道了从直线外一点到这条直线的所有线段中,( )线段最短。
5.在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段,这些线段的长度都( ),都是这两条平行线之间的( )。
6.从王庄有三条小路通向公路,如图,走哪条最近?温馨提示知识准备:测量线段的长度。
1.( )( )( )( )2.垂直3.垂直距离4.垂直5.相等距离6.第②条2 认识平均分(二)项目内容1.10个苹果,平均分成5份,每份分( )个。
2.一共有8个西红柿,平均分成4份,每份( )个。
3.按照每4个一份平均分。
16-4-4-4-4=0,分了( )次。
4.每5个圈一圈,也就是按照每份5个分一分,一共圈了( )次,也就是平均分成了( )份。
5.把一些物体分成几份,求( );或是按照每几个分一份,求( ),两种分法都是平均分。
6.对于同一堆物体,两种分法的物体总数不变,分完后每份分得的( )相同,分成的( )也相同。
7.分一分,填一填。
12个梨,每个盘子放3个,可以放( )盘。
12个梨,放到4个盘子中,每个盘子放( )个。
8.10个三角形,每2个一份,能分成( )份;平均分成5份,每份( )个。
温馨学具准备:纸片、小棒。
提示1.22.23.44.3 35.每份几个分成几份6.个数份数7.4 38.5 2。
46东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-两条直线的位置关系与点到直线的距离A
29 28 , y0 ，所以反射光线 A’B 所在直线的方程为： 13 13
62 28 62 13 13 y ( x 3) ，得 13x－26y+85=0. 12 3 29 13 课时作业（二） 1．过两直线3x+y－1=0与x+2y－7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线 方程是（ B ） （A）x－3y+7=0 （B）x－3y+13=0 （C）2x－7=0 （D）3x－y－5=0 2． 过点P(1， 4)和Q(a， 2a+2)的直线与直线2x－y－3=0平行， 则a的值 （ B ） （A）a=1 （B）a≠1 （C）a=－1 （D）a≠－1 3．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ） （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关 4．经过两条直线2x+y－8=0和x－2y+=0的交点，且平行于直线4x－3y－7=0 的直线方程是 4x－3y－6=0 . 5．直线ax+4y－2=0与直线2x－5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= 10 ， c= －12 ，m= －2 .
即前两条直线的交点为 (
5
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A
9．光线由点A(－1，4)射出，在直线l：2x+3y－6=0上进行反射，已知反射 62 光线过点B(3， )，求反射光线所在直线的方程. 13 解：设点 A 关于直线 l：2x+3y－6=0 的对称点 A’的坐标为(x0，y0)，
五、课时作业（一）
1． 如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行， 那么系数a的值为 （ B ） 3 2 （A）－ （B）－6 （C）－3 （D） 2 3 2．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则 （ C ） （A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－ 3．如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值 范围是（ A ） （A）－1<a<2 （B）a>－1 （C）a<2 （D）a<－2或a>2 4．直线Ax+4y－1=0与直线3x－y－C=0重合的条件是（ D ） 1 （A）A=12，C≠0 （B）A=－12，C= 4 1 1 （C）A=－12，C≠－ （D）A=－12，C=－ 4 4 5．若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只有一个 公共点，则（ B ） （A）A1B1－A2B2=0 （B）A1B2－A2B1≠0 （C）
高中数学必修二导学案17.点到直线的距离公式
方法二：把直线： 按参数整理，
得 ．
由 ，解得 ．所以直线恒过定点 ．
点到直线取最大距离时， ，即最大距离是 ．
，直线与点 的距离不等于．
说明：法一妙在反证法思路的运用．法二妙在运用直线
恒过一个定点的知识．
．求与直线： 与： 的平行且距离相等的直线方程．
【解析】直线的方程化为 ．设所求直线的方程为 ，则
．点到直线的距离公式
贺险峰
学习目标
．理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线的距离公式．
．会用点到直线距离公式求解两条平行直线间的距离，掌握两条平行直线间的距离公式．
．会通过方程的思想，根据已知若干点到直线的距离大小（或关系）求点的坐标或直线的方程
一、夯实基础
基础梳理
．点到直线的距离
平面上一点 到一条直线： 的距离．
． ． ．．
．直线过点 ，且 ， 到的距离相等，求直线的方程．
二、学习指引
自主探究
．学生作业：推导点到直线的距离公式
已知点 ，直线： ，请用你自己的方法求点到直线的距离．
．两条平行直线的距离
（）猜想：与两条平行直线： ，: 距离相等的直线方程为．请证明．
（）如图，、是平面内两个距离为定点，
分别过、作相互平行的直线、，旋转两直线，
方法二：与平行且到 的距离相等．
（３）方法一：设的点斜式方程，再由点、到的距离相等，建立方程，求得斜率，要注意斜率是否存在．
方法二：直线为与 平行或经过 的中点的直线．
三、能力提升
１.３.
２. 或 ． 设点的坐标为 ，则
，解之得 ．∴点的坐标为 或 ．
３．据题意设 ，∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ，即 ．解之得 或 ．
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 导学案
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算导学案全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算研究目标】1.理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念。
2.掌握各种距离的计算方法。
重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用。
难点：将空间距离转化为向量知识求解。
学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离。
其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。
预感知】1.两点间的距离的求法。
设$A(x_1,y_1,z_1)$，则$|A|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$，若 $B(x,y,z)$，则 $d_{AB}=|AB|=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}$。
2.点到直线的距离的求法。
设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{s}$，直线上一点为$P(x_0,y_0,z_0)$，点 $A(x,y,z)$，则$d_{A,l}=\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{s}|}{|\vec{s}|}=\ dfrac{|\vec{PA_{\perp}}|}{|\vec{s}|}$。
3.点到平面的距离的求法。
设平面 $\pi$ 的法向量为 $\vec{n}$，平面上一点为$P(x_0,y_0,z_0)$，点 $A(x,y,z)$，则$d_{A,\pi}=\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} =\dfrac{|\vec{PA_{\perp}}|}{|\vec{n}|}$。
预检测】1.已知直线 $l$ 过定点 $A(2,3,1)$，且方向向量为$\vec{n}=(0,1,1)$，则点 $P(4,3,2)$ 到 $l$ 的距离为$\dfrac{2}{\sqrt{2}}$。
点到直线的距离导学案
3.6.2点到直线的距离导学案学习目标：1、识记点到直线的距离的概念与垂线公理。
2、知道“垂线最短”的性质，会用三角板、直尺或量角器画已知直线的垂线。
3、通过对“反证法”思想适当渗透，认识到从反面解决问题的可行性。
一、自主学习1、垂直的概念2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？二、合作交流1、经过一点作一条已知直线的垂线。
（1）点P在直线AB上。
（2）点P在直线AB外。
三、合作探究：过一点P作已知直线的垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合）4、垂线段的概念：如图，设PO垂直于AB于O，线段PO叫作点P到直线AB的距垂线段。
PA、PB、PC、PD叫作斜线段。
5、垂线段PO的长度叫作点P到直线AB的距离。
6、做一做（1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。
（2）按教材P73的做一做操作。
P74的动脑筋四、学习小结：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
五、效果评价:1、已知：经过直线m外一点P 。
求作：PO，使PO垂直于直线m，O点是垂足。
2、画一个5厘米的正方形ABCD，在正方形内部任取一点P，作经过点作正方形各边的垂线，垂足分别M、N、R、Q，测量PM、PN、PR、PQ的长度。
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 导学案
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算班级：姓名：小组：【学习目标】(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(2)掌握各种距离的计算方法．【重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．【学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。
【预习感知】1．两点间的距离的求法．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝______________，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则d AB＝|AB→|＝________________.2．点到直线距离的求法设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量P A→在s上的投影的大小|P A→·s|等于线段P A′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝_____________．3．点到平面的距离的求法设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度，而向量P A→在n上的投影的大小|P A→·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝____________.【预习检测】1．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A.322B．22 C.102变式训练 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 的平面ABC 1D 1的距离为( )A ．12B ．24C ．22D ．32【课堂检测】（见课堂多媒体，随堂检测） 【课后训练】10．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，侧棱垂直于底面，D 是侧棱CC 1的中点，问a为何值时，点C 到平面AB 1D 的距离为1.。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程导学案(4)
讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在.（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x -=≠-.2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：()2200x y C A B A +B += +≠（5）截距式：1x ya b+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式12PP =原点()0,0O 与任一点(),x y P的距离OP =6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax Cd A +=（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By Cd B+=（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离d =8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y CB+=-且12x x =c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y Bx x Ax x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩典型例题例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B．－7 C．7D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l：3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PBPA+的值为最小.例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π4，则m的值是（）A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A、1B、2C、3D、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）A 、(a －b,a ＋b)B 、(a ＋b, a －b)C 、(2a,0)D 、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A 、[]010， B 、(0，10)C 、13313，⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D 、(-∞，0] [10，＋∞)7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为 （ ）A 、x-2y-4=0B 、x-2y+4=0C 、2x-y+4=0D 、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）A 、A·B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0C 、C ≠0D 、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）A 、互补B 、互余C 、相等D 、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为π4，则m 的值是（ ）A 、3B 、2C 、-2D 、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-252x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1B 、0＜k ＜21C 、k ＜21D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52B 、6C 、- 52D 、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点到直线的距离与两条平行直线间的距离
高一数学组
学习目标：
（1）了解点到直线距离公式的推导，能记住点到直线距离的公式，并会应用公式解题。
（2）理解什么是两条平行直线间的距离，会将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解。
学习重点：点到直线距离的公式及其应用。
将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解两条平行直线间的距离.
学习难点：点到直线的距离公式的推导。
两平行直线间的距离的求法.
预习内容：
复习回顾：两点间距离公式_______________________.
问题1：点P （2,-3）到x 轴、y 轴的距离分别是_______ ___________ 问题2：点P （2,-3）到直线y=2的距离是_______________(画图)
探究1：在平面直角坐标系中，如果已知某点0P 的坐标为),(00y x ，怎样用点的坐标和直线
的方程直接求点0P 到直线0:=++C By Ax l 的距离呢?
方法一：
方法二：如图：设00≠≠B A ，,则直线l 与y x 、轴都相交.过点0P 分别作两坐标轴的平行线，交直线l 于S R 、，则直线R P 0的方程为 ，R 的坐标为 ；直线S P 0的方程为 ，S 的坐标为 .于是有=||0R P ；=||0S P ；
=||RS .设d Q P =|0，由三角形面积公式可得： ,于是得到
点0P 到直线0:=++C By Ax l 的距离公式为： .
例1、P104 例1. 例2、P104 例2.
练习1、P105 练习.
探究2：设1l //2l ，如何求1l 与2l 间的距离？
（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？ （2）如何取点，使计算简单？
例3、已知直线01216:,0872:21=--=--y x l y x l ，1l 与2l 是否平行，若平行，求1l 与2l 间的距离.
练习2、已知直线12:2780,:414120l x y l x y -+=--=，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离.
两平行线间的距离公式：
两平行线0:11=++C y B x A l 和0:22=++C y B x A l 间的距离为2
2
21B
A C C d +-=
.
当堂检测:
1、动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点,则︱OP ︱的最小值为( )
A 10
B 22
C 6
D 2
2、点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x-4y+6=0的距离为6则点P 的坐标为（ ） A （8,0） B （8,0）或（-12,0） C （-12,0） D （6,0）
3、点（2，3）到直线2x+4y+a=0的距离为1，则实数a 的值为____________。
4、直线l 与y 轴垂直，且与x 轴的距离为4，则直线l 的方程是____________。
5、两条平行直线l 1:3x+4y-6=0与l 2:3x+4y+4=0间距离为_____________
6、直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，求直线l 的方程.
学习反思： .。