直角三角形的三边关系
直角三角形三条边的长度关系
直角三角形三条边的长度关系直角三角形是初中数学学习中的一个重要内容，它的性质和应用广泛存在于各种数学和物理问题中。
在本文中，我们将探讨直角三角形三条边的长度关系。
一、勾股定理在直角三角形中，最著名的定理就是勾股定理。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理可以用数学公式表示为：$c^2=a^2+b^2$其中，$a$、$b$分别表示直角三角形的两条直角边的长度，$c$表示斜边的长度。
勾股定理的证明可以用多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯的证明是通过构造一个正方形，利用几何关系来证明勾股定理的。
二、三角函数除了勾股定理之外，三角函数也是直角三角形的重要内容。
三角函数是指正弦、余弦和正切三种函数，它们是角的函数，可以用来描述直角三角形中的各种关系。
正弦、余弦和正切分别定义为：$sintheta=frac{a}{c}$$costheta=frac{b}{c}$$tantheta=frac{a}{b}$其中，$theta$表示直角三角形的一个角，$a$、$b$、$c$分别表示直角三角形的三条边。
三角函数可以用来求解直角三角形的各种问题，例如已知某个角度和一个边长，可以用三角函数求出另外两个边长。
此外，三角函数还有许多重要的性质和应用，例如在物理学中的波动问题中，三角函数是不可或缺的。
三、三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形的三条边之间还存在着一些特殊的关系。
这些关系可以用来求解一些直角三角形的问题。
1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根乘以2。
2. 黄金比例黄金比例是指一条线段被分成两段，其中一段与整条线段的比值等于另一段与这一段的比值。
在直角三角形中，斜边与直角边的比值就是黄金比例，它的值为$frac{1+sqrt{5}}{2}$。
3. 三边比在一些特殊的直角三角形中，三条边之间存在着一些特殊的比例关系。
直角三角形的边长关系
直角三角形的边长关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角为90度（直角）。
在直角三角形中，三条边的长度之间有一定的关系和性质。
本文将探讨直角三角形的边长关系。
1. 边长定义在直角三角形中，我们通常用三个字母a、b、c来表示三条边的长度。
其中，a和b是直角的两条边（称为直角边），c是斜边（称为斜边）。
根据勾股定理，直角三角形的边长关系可以用下面的公式来表示：a^2 + b^2 = c^22. 边长关系根据勾股定理的边长关系，我们可以通过已知两条边的长度来求解第三条边的长度。
具体的计算步骤如下：2.1 求解斜边如果我们已知直角三角形的直角边a和b的长度，可以直接将它们代入勾股定理的公式，求解斜边c的长度。
例如，如果a=3，b=4，则有：3^2 + 4^2 = c^29 + 16 = c^225 = c^2c = √25 = 52.2 求解直角边如果我们已知直角三角形的斜边c和其中一个直角边a或b的长度，也可以通过勾股定理的公式求解另外一个直角边的长度。
例如，如果a=3，c=5，则有：3^2 + b^2 = 5^29 + b^2 = 25b^2 = 25 - 9b^2 = 16b = √16 = 43. 例题分析为了更好地理解直角三角形的边长关系，我们来看一个例题：例题：已知直角三角形的直角边a=5，斜边c=13，求解直角边b的长度。
解析：根据勾股定理的公式：a^2 + b^2 = c^25^2 + b^2 = 13^225 + b^2 = 169b^2 = 169 - 25b^2 = 144b = √144 = 12因此，直角三角形的直角边b的长度为12。
4. 应用举例直角三角形的边长关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。
例如，在建筑和工程领域中，我们经常使用勾股定理来测量不可直接测量的距离，以及计算角度和位置关系。
此外，在导航和地图应用中，我们也可以利用直角三角形的边长关系来确定两个地点之间的距离和方位角。
直角三角形的三边关系
全等直角三角形的性质
两个直角三角形全等，它们的三个角相等，三条边也相等。 两个直角三角形相似，它们的三个角相等，但三条边不一定相等。 两个直角三角形全等，它们的面积相等。 两个直角三角形相似，它们的面积不一定相等。
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直角三角形的两个锐角之和等于90度 直角三角形的斜边是直角三角形中最长的边 直角三角形的两个锐角相等 直角三角形的斜边是直角三角形中最短的边
勾股定理
第三章
勾股定理的证明
毕达哥拉斯证明：通过面积相等来 证明
海伦证明：通过面积相等来证明
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欧几里得证明：通过相似三角形来 证明
卡尔达诺证明：通过代数方法来证 明
勾股定理的应用
测量距离：利用勾股定理测量未知距离 建筑设计：在建筑设计中应用勾股定理进行空间布局 导航定位：利用勾股定理进行导航定位 数学证明：在数学证明中应用勾股定理进行推理和证明
直角三角形的边长关系
第四章
边长之间的比例关系
直角三角形的三边关系：直角 三角形的两直角边和斜边之间 的关系
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面积公式的推导：通过将直角三角 形分割成两个直角三角形和一个矩 形，利用矩形的面积公式推导出直 角三角形的面积公式
面积公式的局限性：仅适用于直角 三角形，对于非直角三角形不适用
直角三角形的相似与全等
第六章
相似直角三角形的性质
相似直角三角形的边长比等于其斜边与斜边的比 相似直角三角形的周长比等于其斜边与斜边的比 相似直角三角形的面积比等于其斜边与斜边的平方比 相似直角三角形的斜边与斜边的比等于其面积比
应用：勾股定理在几何、代 数、物理等领域都有广泛的
直角三角形三边的关系
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2BC2
5
122 52
13
答：要用13米长的直角钢三角丝形三边绳的关才系 能把电线杆固定.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
B aC
SR 25
Sp SQSR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
直角三角形三边的关系
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
c
a
勾股定理揭示了直角三
角形三边之间的关系
直角三角形三边的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
直角三角形三边的关系
24m
9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
直角三角形三边关系定理
直角三角形三边关系定理直角三角形三边关系定理是数学中一个重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边的关系。
这个定理被广泛应用于解决与直角三角形相关的问题。
本文将详细讨论直角三角形三边关系定理的原理和应用，并提供相关示例。
在开始正文之前，我们需要先了解一下直角三角形的基本概念。
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，有一个特殊的边，称为斜边，它位于直角的对面，而另外两条边则分别称为直角边。
直角三角形三边关系定理可以由勾股定理推导得出。
勾股定理是三角形中最为著名的定理之一，它表明了直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
根据勾股定理，我们可以写出直角三角形三边关系定理的数学表达式：a^2 + b^2 = c^2在上述表达式中，a和b分别代表直角三角形的两个直角边的长度，c代表斜边的长度。
通过直角三角形三边关系定理，我们可以快速计算直角三角形的边长。
例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，我们可以使用定理计算斜边的长度：3^2 + 4^2 = c^29 + 16 = c^225 = c^2c = √25c = 5因此，斜边的长度为5。
除了计算未知边长外，直角三角形三边关系定理还可用于验证是否存在直角三角形。
当我们已知一个三角形的三条边的长度时，我们可以将这些长度代入定理中进行计算。
如果等式成立，那么这个三角形就是直角三角形；如果不成立，那么这个三角形就不是直角三角形。
下面，我们来看一个应用直角三角形三边关系定理的例子。
例子：已知一个直角三角形的斜边长为10，直角边长为6，求另一个直角边的长度。
解：我们可以使用直角三角形三边关系定理进行计算：6^2 + b^2 = 10^236 + b^2 = 100b^2 = 100 - 36b^2 = 64b = √64b = 8因此，另一个直角边的长度为8。
通过上述例子，我们可以看到直角三角形三边关系定理在解决实际问题中的应用。
直角三角形三边长公式
直角三角形三边长公式
直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是90度。
直角
三角形的三条边分别为a、b和c，其中c为斜边，a和b为直角边。
直角三角形的三边长公式可以用勾股定理表示，即a^2 + b^2 =
c^2。
这个公式表明了直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。
这个公式是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，因此也被称为毕达
哥拉斯定理。
这个定理在解决各种实际问题中非常有用，比如在建筑、工程、导航和天文学中经常会用到。
除了勾股定理外，直角三角形的三边长公式还可以用三角函数
来表示。
根据正弦、余弦和正切的定义，我们可以得到以下关系：
sin(θ) = a/c，cos(θ) = b/c，tan(θ) = a/b.
其中θ为直角三角形的一个锐角。
这些关系可以用来计算直角
三角形的各边长和角度大小。
另外，直角三角形的三边长公式还可以通过勾股定理的推广形
式来表示。
根据勾股定理的推广形式，如果一个三角形的三条边满
足a^2 + b^2 < c^2，则这个三角形是一个钝角三角形；如果a^2 +
b^2 > c^2，则这个三角形是一个锐角三角形。
这些公式和定理为我们理解和解决直角三角形相关的问题提供了重要的数学工具。
总之，直角三角形的三边长公式包括了勾股定理、三角函数和勾股定理的推广形式，这些公式和定理为我们在实际问题中求解直角三角形的各种属性提供了重要的数学依据。
直角三角形的比例关系
直角三角形的比例关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角度为90°，被称为直角。
在直角三角形中，三条边的长度满足一定的比例关系，这种关系被广泛应用于数学和实际问题中。
1. 三边关系在直角三角形中，我们通常将直角边分别称为直角边a和直角边b，斜边则被称为斜边c。
根据勾股定理，直角三角形的三边关系可以表示为：a² + b² = c²。
这个定理非常有用，它使得我们可以通过已知两条边的长度来计算出第三条边的长度。
例如，如果已知直角边a的长度为3，直角边b的长度为4，那么我们可以使用勾股定理来计算斜边c的长度：3² + 4² =c²，解得c = 5。
2. 正弦、余弦和正切除了三边关系，直角三角形还有一些重要的比例关系，包括正弦、余弦和正切。
这些比例关系可以帮助我们在已知一个角度和一个边的情况下计算其他的边和角度。
正弦的定义是：三角形中任意一个角的对边长度与斜边长度的比值。
记作sin(θ) = 对边 / 斜边。
例如，在一个直角三角形中，如果我们知道一个角的对边长度为4，斜边长度为5，那么这个角的正弦就可以计算为sin(θ) = 4/5。
余弦的定义是：三角形中任意一个角的邻边长度与斜边长度的比值。
记作cos(θ) = 邻边 / 斜边。
正切的定义是：三角形中任意一个角的对边长度与邻边长度的比值。
记作tan(θ) = 对边 / 邻边。
这些三角函数关系可以相互转化，它们给出了直角三角形中角度和边的比例关系，帮助我们解决实际问题和进行数学计算。
3. 应用举例直角三角形的比例关系在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 三角测量：直角三角形的比例关系可以用于测量无法直接测量的距离或高度。
通过测量已知的角度和距离，然后使用正切函数，我们可以计算出目标物体的高度或距离。
3.2. 斜面力的计算：在物理学中，我们可以使用直角三角形的比例关系来计算斜面上的重力和斜面上的力的关系。
三角函数直角三角形三边的关系
三角函数直角三角形三边的关系
直角三角形是一种特殊的三角形，它的三个角都是直角，也就是90度。
它的
三条边也有一定的关系，这种关系可以用三角函数来表示。
三角函数是一类函数，它们可以用来描述三角形的特性。
其中，最常用的三角
函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们可以用来描述直角三角形的三边之间的关系。
正弦函数可以用来描述直角三角形的两条直角边之间的关系，它的公式为：sinA=a/c，其中A是直角角度，a是直角边，c是斜边。
由此可以推出，当A为90
度时，sinA=1，a=c，也就是说，直角三角形的两条直角边相等。
余弦函数可以用来描述直角三角形的斜边和其他两条边之间的关系，它的公式为：cosA=b/c，其中A是直角角度，b是其他两条边，c是斜边。
由此可以推出，
当A为90度时，cosA=0，b=0，也就是说，直角三角形的斜边大于其他两条边。
正切函数可以用来描述直角三角形的两条直角边和斜边之间的关系，它的公式为：tanA=a/b，其中A是直角角度，a是直角边，b是其他两条边。
由此可以推出，当A为90度时，tanA=∞，a=∞，也就是说，直角三角形的斜边无穷大。
以上就是直角三角形三边之间的关系，它可以用三角函数来表示。
正弦函数表
示直角三角形的两条直角边相等，余弦函数表示直角三角形的斜边大于其他两条边，正切函数表示直角三角形的斜边无穷大。
直角三角形的三边计算公式
直角三角形的三边计算公式
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，我们可以利用勾股定理来计算三条边的关系。
勾股定理表明，在直
角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
具体来说，
如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么勾股定
理可以表示为，a^2 + b^2 = c^2。
这个公式可以用来计算直角三角形的任意一条边，只要已知另
外两条边的长度。
例如，如果已知直角三角形的两条直角边分别为
3和4，我们可以用勾股定理来计算斜边的长度，3^2 + 4^2 = c^2，解方程得到c=5。
除了勾股定理之外，直角三角形还有其他一些重要的性质和公式。
例如，直角三角形的两个锐角之和为90度，这意味着如果我们
已知一个角的大小，可以通过90度减去已知角的大小来得到另一个
角的大小。
另外，直角三角形中的正弦、余弦和正切等三角函数也
可以用来计算三角形的各个边和角的关系。
总之，直角三角形的三边计算公式主要是勾股定理，即a^2 +
b^2 = c^2，通过这个公式以及三角函数等相关知识，我们可以全面地计算直角三角形的各个边和角的关系。
直角三角形的三边关系课件
直角三角形的直角所对的边称为直角边。
勾股定理
勾股定理是指直角三角形两个较短边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
三边关系
1
正弦定理
正弦定理指的是直角三角形中，任意一角的正弦值与其对边之比等于斜边长与其 一定点（垂足上方）到该角对边的距离之比。
2
余弦定理
余弦定理指的是任意一三角形中，任意边平方等于另外两边平方和的2倍减去这 两边夹角的余弦倍积。
直角三角形的三边关系
本PPT将为大家介绍直角三角形的三边关系。通过了解其定义、性质以及各种 定理，我们将掌握如何求解直角三角形的边长，以及它在实际应用中的作用。
引言
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。它有许多独特的性质，我们将从定义和性质入手，理解直角三角形的 基本概念和性质。
定义
斜边直角三角形的斜边是三角中最长的一条边。充分理解直角三角形三边关系定理和应用，并经常练 习，这是掌握数学和几何学的必要条件。
3
正切定理
正切定理是指直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边长度除以邻边 长度。
例题演练
应用题 I
已知一个直角三角形的直角边和斜边，求另一个直角边 的长度。
应用题 II
已知一个角的度数和相对边的长度，求直角边的长度。
总结
1 斜边是直角三角形中最长的一条边。 2 勾股定理是直角三角形的基本定理之一。 3 三边定理包括正弦定理、余弦定理、正切定理。
直角三角形的应用
直角三角形的三边关系在几何学及相关学科中有广泛的应用。在实际生活中，我们也可以通过直角三角形的三条边 关系，来计算各种日常问题，如测量家具的尺寸，计算建筑物高度，甚至测量星体距离。
结语
直角三角形的边长关系
直角三角形的边长关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，被称为直角。
直角三角形的边长关系是指三条边之间的关系，即勾股定理。
勾股定理是数学中的重要定理，它描述了直角三角形的边长之间的数学关系。
本文将详细介绍直角三角形的边长关系及其应用。
一、勾股定理勾股定理是直角三角形中最常用的定理之一，描述了直角三角形的两个直角边（两个与直角相邻的边）的平方和等于斜边（与直角不相邻的边）的平方。
勾股定理可以用数学公式表示如下：c² = a² + b²其中，a和b代表两个直角边的长度，c代表斜边的长度。
例如，如果直角三角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，则斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：c² = 3² + 4²= 9 + 16= 25开平方根得到c的长度为5。
勾股定理可以应用于求解直角三角形中的任意一条边长，只需已知另外两条边长即可。
二、特殊直角三角形在直角三角形中，存在一些特殊的边长关系。
最常见的特殊直角三角形是3-4-5三角形。
这种三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度为5。
3-4-5三角形是勾股定理的一个特例。
还有一些其他的特殊直角三角形，如5-12-13三角形、8-15-17三角形等，它们的边长满足勾股定理。
特殊直角三角形在几何学中有着重要的应用，可以用于简化计算和推导其他平面几何问题。
三、推导直角三角形的边长关系直角三角形的边长关系可以通过勾股定理的推导得出。
假设直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
我们可以利用平方的性质来进行推导。
根据勾股定理，有 c² = a² + b²。
将a²和b²拆分为其因式，得到 c² = (a+b)(a-b)。
再进一步拆分为 (a+b)² - 2ab = (a-b)²。
化简得到 (a+b)² - (a-b)² = 2ab。
直角三角形的三线定理
直角三角形的三线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角度为90度，另外两个角度的和为90度。
在直角三角形中，存在一些特殊的线段，它们之间存在一定的关系，这就是直角三角形的三线定理。
三线定理规定了直角三角形中的三条线段：高、斜边和直角边，它们之间的关系如下：1. 高与斜边的关系：在直角三角形中，以直角边为底，斜边为斜边的高，记作h。
根据三线定理，高h与斜边c之间的关系为h = a*b / c，其中a和b分别为直角边的长度。
2. 高与直角边的关系：在直角三角形中，以直角边为底，斜边为斜边的高，记作h。
根据三线定理，高h与直角边a之间的关系为h = a*tanB，其中B为直角三角形的另一个角度。
3. 斜边与直角边的关系：在直角三角形中，直角边a和斜边c之间的关系为a^2 + b^2 = c^2，这就是著名的勾股定理，也是直角三角形的基本性质之一。
直角三角形的三线定理可以用于计算直角三角形的各条边长和角度，帮助解决与直角三角形相关的数学题目。
同时，三线定理也在实际生活中有广泛的应用，例如测量建筑物的高度、导航和航海定位等领域。
总结：直角三角形的三线定理是描述直角三角形中三条线段之间关系的定理。
它包括了高与斜边的关系、高与直角边的关系以及斜边与直角边的关系。
通过利用三线定理，我们可以计算直角三角形的各边长和角度，解决与直角三角形相关的问题。
直角三角形的三线定理不仅仅在数学中有着重要的作用，也在实际生活中应用广泛。
注：本文所述的直角三角形的三线定理是基于几何学中的传统定义，不涉及特殊的情况或非欧几何学的扩展。
30 60 90三角形三边关系
30 60 90三角形三边关系
直角三角形中30度、60度、90度所对应的边长比例关系为1：√3：2。
解：令直角三角形30°角对应的边长为a，60°角对应的边长为b，90°对应的斜边长为c。
那么根据三角形的正玄定理可得，
a、in30°=
b、in60°=
c、in90°，
即a、(1、2)=b、(√3、2)=c、1。
那么可得a=c、2，b=√3c、2。
因此a：b：c=c、2：√3c、2：c=1、2：√3、2：1=1：√3：2。
直角三角形的判定方法：
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a²+b²=c²的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜
边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是其中一边的一半，那么这
个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL，两个三角形的斜边长对
应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。
[定理：斜边
和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
简称为HL]
判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。
判定7：在一个三角形中若它斜边上的中线等于该斜边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
60度30度90度直角三角形中三边存在的关系。
60度30度90度直角三角形中三边存在的关系。
在一个60度、30度、90度的直角三角形中，三边之间存在特定的关系。
假设这个三角形最短的边（对应30度角）的长度为a，斜边（对应90度角）的长度为c，那么另一条直角边（对应60度角）的长度可以用根号下的表达式来表示。
这个关系可以用以下公式表示：
最短的边（对应30度角）长度是a。
斜边（对应90度角）长度是c。
另一条直角边（对应60度角）长度是(√3) × a，其中√ 表示平方根。
此外，根据勾股定理，对于任何直角三角形，直角边的平方和等于斜边的平方。
在这个特定的情况下，这个关系可以写作：
a^2 + ((√3) × a)^2 = c^2
简化后得到：
a^2 + 3a^2 = c^2
4a^2 = c^2
c = 2a
这意味着斜边c的长度是最短边a的长度的两倍。
这是60度、30度、90度直角三角形的一个特殊性质。
直接三角形三边关系
直接三角形三边关系直角三角形是我们在初中数学中经常接触到的一个概念，它的三边关系也是我们需要掌握的基本知识之一。
本文将从定义、性质、定理、推论等多个方面详细介绍直角三角形的三边关系，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、定义直角三角形是指一个内角为90度的三角形，其中直角为其中一个内角。
在直角三角形中，我们可以将与直角相对的两条边称为“腰”，而将与直角相邻的一条边称为“斜边”。
二、性质1. 直角三角形中，斜边最长。
2. 直角三角形中，两条腰的长度可以相等也可以不相等。
3. 直角三角形中，任意两条腰都不可能同时成为斜边。
4. 直角三角形中，两条腰和斜边构成一个勾股数列。
5. 直角三角形中，任意两个锐角之和等于90度。
6. 直接三个顶点分别对应于圆锥侧面上的圆弧上的切点、切点所在圆弧上与底面交点以及圆锥底面上所对应的点。
三、定理1. 勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条腰的平方和。
证明：设直角三角形的两条腰分别为a和b，斜边为c。
则根据勾股定理可得：c² = a² + b²2. 正弦定理：在任意一个三角形ABC中，有下列关系成立：a / sin A =b / sin B =c / sin C其中a、b、c分别为三角形ABC的三边，A、B、C分别为对应的内角。
证明：以c为底边作高CD，则有：sin A = BD / asin B = BD / b因此，BD = a * sin A = b * sin B又因为CD = √(c² - BD²)，所以有：CD² = c² - (a * sin A)²CD² = c² - (b * sin B)²将上述两式代入得到：a / sin A =b / sin B =c / CD即可得到正弦定理。
3. 余弦定理：在任意一个三角形ABC中，有下列关系成立：cos A = (b² + c² - a²) / 2bccos B= (a² + c² - b²) / 2accos C= (a² + b² - c²) / 2ab其中a、b、c分别为三角形ABC的三边，A、B、C分别为对应的内角。
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两个小正方形P、 Q的 面积之和与大正方形R 的面积有什么关系?
问题:在一般的 直角三角形中， 两直角边的平 方和是否等于 斜边的平方呢?
（1）三个正方形的面积关系：
S p SQ S R
= AB2
（2）等腰直角三角形的三边关系： AC2 + BC2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理
做一做
在图的方格图 中，用三角尺画出 两条直角边分别为 5cm、12cm的直角 三角形，然后用刻 度尺量出斜边的长， 并验证上述关系对 这个直角三角形是 否成立.
? 12 13
5
5 12 13
2 2
2
（每一小格代表 1 平方厘米）
勾股定理
a b c
2 2
2
b
a
c 2 2 2 2 2 a c b ， a c b 2 2 2 2 2 b c a ，b c a 2 2 2 2 2 c a b ，c a b
每 一 小 方 格 表 示 1 平 方 厘 米
A
R
c
B
b
C
Q
a
P
S p SQ S R
BC2
2
Sp 9 SQ 16 SR 25
2 AC + =AB2
a b c
2
2
试一试 • 观察图，如果每一小方格表示1平方厘米，
• • • • 那么可以得到： 9 正方形P的面积＝_________ 平方厘米； 16 正方形Q的面积＝________ 平方厘米. 25 正方形R的面积＝________ 平方厘米. 用等式的形式来 表示上面的结论
2
5
13
答：要用13米长的钢丝绳才能把电线杆固定.
试一试
勾股定理
5.41 ？
如图，将长为5.41米的 梯子AC斜靠在墙上， ＢＣ长为2.16米，求梯 子上端A到墙的底边的 垂直距离ＡＢ． （精确到0.01米）
2.16
试一试
勾股定理
1、在直角△ABC中，∠C=90° a=3，b=4，则c的值是______. 2、 在直角△ABC中，∠B=90°, a =3，b=4，则c的值是 . 3、 在△ABC中，a =3，b =4, c =5.则 △ABC 是 三角形.
40 30
思考
勾股定理
是不是所有的三角形的三边都符合 勾股定理？ 如果不是，那么勾股定理是针对哪一 类三角形 而言的 ?
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
实际应用 勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震 中于离地面10米处折断倒下，树顶落在 离树根24米处.大树在折断之前高多少？
10
解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=10米，BC=24米， 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 AC ＋ AB = 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米.
9+16=25
S p SQ S R
（每一格表示 1 平方厘米）
概括
数学上可以说明： c b 对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别 a 为a、b，斜边为c，那么一定有 • a2+b2=c2 • 这种关系我们称为勾股定理 • 勾股定理 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.
• ∟
直角三角形三边 的关系
创设情景
引例：如图，有一长为 12米的电线杆，想在距 离电线杆底部5米远处用 一钢丝绳把它固定在地 面上，问 要用多长的钢 丝绳才能把它固定呢？
12
?
5
探索新知
•
想一想
现在先让我们一起来看看， 直角三角形的三条边之间 有什么关系.
如图是正方形瓷砖拼成 的地面，观察图中用阴 影画出的三个正方形，
24
AC 10 24 26
2 2
课堂小结
勾股定理
（1）本节课你学到了什么新知识? （2）勾股定理只能用在什么形中？ 它可以用来解决什么问题？ （3）请说出勾股定理得表达式？
2y 2 1 32 Nhomakorabea例题：如图，有一长为12米的电线杆，想在距 离电线杆底部5米远处用一钢丝绳把它固定在地 面上，问 要用多长的钢丝绳才能把它固定呢？ 解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
勾股定理
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
2
AB AC BC 2 2 12 5
勾股定理
练习1、求出下列直角三角形中未知边的长度
∟
2
3
①
x
6
②
8
4
2 2
y
x 3 4
2
y 6 8
2
2
x 3 4
x5
2
y 10
勾股定理
练习2、求出下列直角三角形中未知边的长度 ∟
5
①
13
y
②
1
2
x 2 2 2 x 5 13 2 2 2 x 13 5 2 2 x 13 5 169 25 144 12
练习(P51) 勾股定理
1、在Rt△ABC中，AB＝c,BC =a， AC＝b, ∠B=90゜. • (1)已知a = 6,b =10, 求c； • (2) 已知a =24,c =25, 求b.
练习(P51) 勾股定理
2、 如果一个直角三角形的两条边长分 别是3厘米和4厘米，那么这个三角形 的周长是多少厘米？
可要当心噢！
复习题 (P51) 勾股定理 A组 1. 求下列阴影部分的面积： （1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．
C A B C A
B C A B
能力拓展题
•欲把一根70cm的木棍放在 长、宽、高分别为40cm、 30cm、50cm的木箱中，能 否放进去！ 50 •请说明理由