第8章第1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图

第八章立体几何

第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图

基础知识整合

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

图形

底面

互相01平行

且02全等

多边形

互相03平行

且04相似

侧棱

05平行且

相等

相交于06一点，

但不一定相等

延长线交于

07一点

侧面

形状

08平行

四边形

09三角形10梯形(2)旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

图形

母线互相平行且相相交于12一延长线交—

等，

11垂直于

底面

点于13一点

轴截面全等的14矩

形

全等的15等

腰三角形

全等的16等

腰梯形

17圆

侧面

展开图

18矩形19扇形20扇环—

2．直观图

(1)21斜二测画法．

(2)规则

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为22 45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′23垂直．

24平行于坐标轴．平行于x 轴和z25不变，平行于y轴的线段长度在直观图26变为原来的一半．

3．三视图

(1)27正前方、28正左方、29正上方观察几何体画出的轮廓线．

说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．

(2)三视图的画法

①基本要求：30长对正，31高平齐，32宽相等．

②画法规则：33正侧一样高，34正俯一样长，35侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画36虚线．

1．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．

2．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线．

3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”⎩⎪⎨⎪

⎧

坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，

图形改变.

“三不变”⎩⎪⎨⎪

⎧

平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，

相对位置不改变.

4．直观图与原图形面积的关系

S 直观图＝2

4S 原图形(或S 原图形＝22S 直观图)．

1．下列结论正确的是( )

A ．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体

C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台

答案 B

解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．

2．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()

A．①②B．②③

C．②④D．③④

答案 C

解析由几何体的结构可知，如图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.

3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()

A．2 3 B．2 2

C．4 3 D．8 2

答案 D

解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝

22，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝42，因此，原平面图形的面积为2×42＝82，故选D.

4．(2019·广州期末)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()

答案 B

解析俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.

5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()

答案 D

解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.

6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 C

解析根据三视图，还原四棱锥，如图．在四棱锥S－ABCD

中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝

SD＝2.显然△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB

⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA⊂平面SAD，∴

AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又计算△SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．故选C.

核心考向突破

考向一空间几何体的结构特征

例1下列说法正确的是()

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

答案 B

解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD 是矩形，可以证明∠P AB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C 错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．

识别空间几何体的两种方法

(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．

(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．

[即时训练] 1.下列结论正确的是()

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体