第8章第1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图

第八章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图基础知识整合1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相01平行且02全等多边形互相03平行且04相似侧棱05平行且相等相交于06一点，但不一定相等延长线交于07一点侧面形状08平行四边形09三角形10梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相相交于12一延长线交—等，11垂直于底面点于13一点轴截面全等的14矩形全等的15等腰三角形全等的16等腰梯形17圆侧面展开图18矩形19扇形20扇环—2．直观图(1)21斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为22 45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′23垂直．24平行于坐标轴．平行于x 轴和z25不变，平行于y轴的线段长度在直观图26变为原来的一半．3．三视图(1)27正前方、28正左方、29正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：30长对正，31高平齐，32宽相等．②画法规则：33正侧一样高，34正俯一样长，35侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画36虚线．1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线．3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.4．直观图与原图形面积的关系S 直观图＝24S 原图形(或S 原图形＝22S 直观图)．1．下列结论正确的是( )A ．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台答案 B解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．2．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．②③C．②④D．③④答案 C解析由几何体的结构可知，如图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()A．2 3 B．2 2C．4 3 D．8 2答案 D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝22，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝42，因此，原平面图形的面积为2×42＝82，故选D.4．(2019·广州期末)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()答案 B解析俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案 D解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析根据三视图，还原四棱锥，如图．在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD＝2.显然△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又计算△SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．故选C.核心考向突破考向一空间几何体的结构特征例1下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案 B解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD 是矩形，可以证明∠P AB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C 错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．[即时训练] 1.下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案 D解析如图1知，A不正确；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B不正确；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D 正确．考向二平面图形与其直观图的关系例2(1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为()A．24 2 B．12 2C．48 2 D．20 2答案 A解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×12×22＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝42，∴S▱OABC＝6×42＝24 2.故选A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．答案22解析因为OE＝(2)2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24，所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．[即时训练] 2.(2019·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2答案 D解析如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为________．答案8 cm2解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝2 2 cm2，故S原图形＝22S直观图＝8 cm2.精准设计考向，多角度探究突破考向三空间几何体的三视图角度1由空间几何体的直观图识别三视图例3(1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案 A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)(2019·南昌联考)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()答案 C解析由题意，得该四棱锥的直观图如图1所示，则其三视图如图2.角度2 由空间几何体的三视图还原直观图例4(1)(2019·广州二模)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案 D解析先观察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D正确．(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的所有面中直角三角形的个数是()A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析由三视图知，可将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥P －ABCD.易知四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的所有面中直角三角形的个数是4，故选C.角度3由两个视图补画第三个视图例5(1)(2019·天津模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案 B解析由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.(2)(2019·沈阳模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()答案 C解析若俯视图为C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高3，所以俯视图2不可能是C.故选C.三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．(3)常见的三视图对应的几何体①三视图为三个三角形，对应三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；⑤三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．[即时训练] 4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()答案 A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A中的图．故选A.5．(2019·广州市综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是()答案 D解析由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以该几何体的俯视图可以为一个直角三角形．6．(2019·石河子模拟)如图，点E，F分别是正方体的侧面ADD1A1和侧面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的各面上的正投影可能是图中的________．(要求把可能的序号都填上)答案②③解析其中②可以是四边形BFD1E在正方体的下底面ABCD上的投影；③可以是四边形BFD1E在正方体的侧面BCC1B1上的投影．课时作业1．给出下列命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 A解析①底面是菱形的直平行六面体，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．2．(2019·河北唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()答案 A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y 轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.4．(2019·宁德质检)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()答案 C解析该几何体的侧视图是从左边向右边看．故选C.5．如图所示，从三棱台A′B′C′－ABC中截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台答案 B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C，选B.6．(2019·湖南长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()答案 A解析正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，为虚线，故选A.7．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()答案 D解析几何体的正视图和侧视图完全相同，则该几何体从正面看和从侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选D.8．(2019·临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A －BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正(主)视图是()答案 C解析由于三棱柱为正三棱柱，故侧面ADEB⊥底面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在面ABED上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面DEF不垂直．故选C.9．(2019·河北石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()答案D解析由图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD.故选D.10．(2019·湖北武汉模拟)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②答案 D解析在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，则空间几何体ABCD即为满足条件的四面体，得出其正视图和俯视图分别为④和②，故选D.11．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2答案 B解析根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋22＝25，故选B.12．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．6答案 B解析由多面体的三视图还原直观图如图所示．该几何体由上方的三棱锥A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1构成，其中侧面CC1A1A和侧＝12.故选B.面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为2×(2＋4)×2213．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案262－1解析先求面数，有如下两种解法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26个面．解法二：一般地，对于凸多面体顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝2 2x.又AM＋MN＋NF＝1，∴22x＋x＋22x＝1.∴x＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.14．现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，其俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是________．答案①②解析编号为①的三棱锥，其直观图可能是图①，侧棱VC⊥底面ABC，则侧面VAC⊥底面ABC，满足题意；编号为②的三棱锥，其直观图可能是图②，侧面PBC⊥底面ABC，满足题意；编号为③的三棱锥，顶点的投影不在底面边上(如图③)，不存在侧面与底面垂直．故答案为①②.15．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正(主)视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧(左)视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则△VOE为直角三角形，VE为△VBC的边BC上的高，VE＝VO2＋OE2＝4 2.同理侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝ 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.所以S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 16．若已知△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积．解 如图所示是△ABC 的直观图△A ′B ′C ′.作C ′D ′∥y ′轴交x ′轴于点D ′，则C ′D ′对应△ABC 的高CD ，∴CD ＝2C ′D ′＝2×2×C ′O ′＝22·32a ＝6a .而AB ＝A ′B ′＝a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.17．(2019·合肥模拟)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形．S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.18．(2019·河北衡水中学第二次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，求最长的棱的长度．解由三视图可知，多面体是一个三棱锥，其直观图如图三棱锥A－BCD.将其放入棱长为2的正方体模型中，可求得最长的棱AB的长度为12＋22＋22＝3.。