陕西师范大学高数计科院高数试卷及答案

一、填空题 （30分）

1、x x x 1sin lim ∞

→=_________________。 2、设)('0x f 存在，则=--+→h

h x f h x f h )()(000lim __________。 3、曲线⎩

⎨⎧==t e y t e x t t cos 2sin 在点)1,0( 处的法线方程为_________________。 4、设)(''x f 存在，)](ln[x f y =，则=2

2dx y d _________________。 5、=-→)1sin 1(

cot lim 0x

x x x __________。 6、方程01=--x e x

的实根个数为__________ 。

7、当=x __________时，函数x x y 2⋅=取得最小值。 8、写出函数x x f ln )(=在2=x 处的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式____________________________________________ 。

9、=⎰dt t dx

d x 022sin _________________。 10、由曲线x y =

，直线2=+y x 及x 轴围成的图形的面积S =__________。 二、选择题 （20分）

1、设232)(-+=x

x x f ，则当0→x 时，有（ ）。

（A ）)(x f 与x 是等价无穷小 （B ）)(x f 与x 同阶但非等价无穷小

（C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小 （D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小 2、当1→x 时，函数1121

1---x e x x 的极限（ ） （A ）2 （B ）0

（C ）∞ （D ）不存在，但不为∞

3、设x x x f 2cos 2sin )(+=，则)()27(πf 的值等于（ ）

（A ）272

1- （B ）272 （C ） 0 （D ）2727212

- 4、设三次曲线3233y x ax bx c =+++在1x =-处取极大值5，点（0，3）是曲

线的拐点，则（ ）

（A ）1,0,3a b c =-== （B ）3,1,0a b c ==-=

（C ）0,1,3a b c ==-= （D ） 以上均不对

5、罗尔中值定理中的条件是结论成立的 （ ）

（A ）充分条件 （B ）必要条件

（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件

6、设)(x f 在),(b a 内连续，则对其原函数)(x F 而言，下列性质错误的是( )

（A ）)(x F 在),(b a 内可导

（B ）)(x F 在),(b a 内存在原函数

（C ）)(x f 的任意原函数与)(x F 在),(b a 内仅相差一个常数

（D ）)(x F 是),(b a 内的初等函数

7、下列积分不为零的是（ ）

（A ）⎰-ππxdx cos （B ） ⎰-2

2

cos sin π

πxdx x

（C ） ⎰-+ππ222sin 1sin dx x x （D ） ⎰--112

dx e x

8、设函数)(x f 的导数在a x =连续，又1)

(lim -=-'→a x x f a x ，则( )。

（A ）a x =是曲线)(x f y =的极大值点

（B ）a x =是曲线)(x f y =的极小值点

（C ）))(,(a f a 是曲线)(x f y =的拐点

（D ）a x =既不是曲线)(x f y =的极值点也不是的拐点

9、设⎩⎨⎧<+≥=-0

,10,)(2x x x e x f x ，则=-⎰dx x f 221)1(（ ） （A ）

e 12437+ （B ） e

12437- （C ） e +3724 （D ） e 13724- 10、=⎰→30

20sin lim x dt t x x ( )

（A ）0 （B ）1

（C ）3

1 （D ）∞ 三、解答题 （30分）

1、（6分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤<>=-,10,1,

ln ,)(21x x x e x f x 求)(x f 的间断点，并说明间断点所属类型。 2、（8分）设)0(1

>=x x y x ，求dx

dy 。 3、 （8分）要造一圆柱形油桶，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能

使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

4、（8分）计算定积分

⎰++20cos 1sin π

dx x

x x 。 四、（20分）证明题 1、（10分）设)(''0x f 存在，证明

)('')(2)()(020000lim x f h

x f h x f h x f h =--++→. 2、（10分）设)(x f 为连续函数，证明

⎰⎰⎰=-x t

x

dt du u f dt t x t f 000))(())((