知识点33 圆的基本性质 2017(解答题)

三、解答题

1.,（2017四川成都,20，10分） 如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F .

（1）求证：DH 是圆O 的切线；

（2）若A 为EH 的中点，求EF FD

的值； （3）若1EA EF ==，求e O 的半径.

思路分析：（1）连接OD ，因为DH AC ⊥于点H ，只需证明//OD AC ，即可得到DH OD ⊥，得证，或者再连接AD ，利用直径所对的圆周角为直角，证明∠ODA ＋∠ADH ＝90°也可；

（2）通过证明AEF ODF ∆∆∽，可得到

,EF AE FD OD =再利用OD 是△ABC 的中位线，等腰△DEC 的性质，求出AE AC 的比值，进而求得EF FD

的值； （3）由EA ＝EF ，OD ∥EC ，可得△ODF 和△BDF 都是等腰三角形，设O e 半径为r ，则DF ＝OD ＝r ，所以BF ＝BD ＝DC ＝DE ＝DF ＋EF ＝r ＋1，AF ＝AB －BF ＝2r －(r ＋1)＝r －1.通过BFD EFA ∆∆∽，即可求出r .

解：（1）连接OD ，

∵OB OD =，∴OBD ∆是等腰三角形，OBD ODB ∠=∠ ①，

又 ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠ ②，

∴ODB OBD ACB ∠=∠=∠，

∴//OD AC ，

∵DH AC ⊥，∴DH OD ⊥，

∴DH 是O e 的切线；

（2）∵E B ∠=∠，E B C ∠=∠=∠，∴EDC ∆是等腰三角形，

又∵DH AC ⊥，点A 是EH 中点，设,4AE x EC x ==，则3AC x =，

连接AD ，由0

90ADB ∠=，即AD BD ⊥， 又∵ABC ∆是等腰三角形，∴D 是BC 中点，∴OD 是ABC ∆中位线， ∴13//

,22

OD AC OD x =， ∵//OD AC ， ∴E ODF ∠=∠， 在AEF ∆和ODF ∆中，E ODF OFD AFE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩

， ∴AEF ODF ∆∆∽，

∴

2,33

2

EF AE AE x FD OD OD x ===，∴23EF FD =． （3）设O e 半径为r ，即OD OB r ==，

∵EF EA =， ∴EFA EAF ∠=∠，

又∵//OD EC ， ∴FOD EAF ∠=∠，

则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠， ∴DF OD r ==，

∴1DE DF EF r =+=+，∴1BD CD DE r ===+，

∵BDE EAB ∠=∠，∴BFD EFA EAB BDE ∠=∠=∠=∠，

∵BF BD =，BDF ∆是等腰三角形，∴1BF BD r ==+， ∴()2211AF AB BF OB BF r r r =-=-=-+=-，

在BFD ∆与EFA ∆中BFD EFA B E ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩

，∵BFD EFA ∆∆∽， ∴11,1EF BF r FA DF r r

+==-

，解得12r r ==（舍） ∴综上，O e

的半径为

12．

2. （2017安徽中考20．·10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ，AD 不平行于BC ，过点C 作CE

∥AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，连接AE ．

（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；

（2）连接CO ，求证：CO 平分∠BCE ．

思路分析：（1）由于CE ∥AD ，通过证AE ∥DC 得到四边形AECD 为平行四边形；（2）连接OB ，OE ，通过证△OCE ≌△OCB 得到∠ECO ＝∠BCO ，得证．

解：（1）根据圆周角定理知∠E ＝∠B ，又∵∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D ，又∵AD ∥CE ，∴∠D ＋∠DCE ＝180°， ∴∠E ＋∠DCE ＝180°，∴AE ∥DC ，∴四边形AECD 为平行四边形．

（2）连接OE ，OB ，由（1）得四边形AECD 为平行四边形，∴AD ＝EC ，∵AD ＝BC ，∴EC ＝BC ，∵OC ＝OC ，OB ＝OE ，∴△OCE ≌△OCB （SSS ），∴∠ECO ＝∠BCO ，即OC 平分∠ECB ．

3. （2017四川内江，27，12分）如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于不过圆心O 的弦AB ，垂足为点N ，连接AC ，点E 在AB 上，且AE ＝CE ．

(1)求证：AC 2＝AE ·AB ；

(2)过点B 作⊙O 的切线交EC 的延长线于点P ，试判断PB 与PE 是否相等，并说明理由；

（3）设⊙O 半径为4，点N 为OC 中点，点Q 在⊙O 上，求线段PQ 的最小值．

思路分析： (1)要证AC 2＝AE·AB ，可连接CB ，通过证明△CAE ～△BAC 即可；(2)先根据已知判断出PB 与PE 可能相等，欲证明PB ＝PE ，可通过证明∠PBE ＝∠PEB 即可；(3)根据“两点之间，线段最短”可得当Q 运动到PO 与⊙O 的交点时，线段PQ 能取得最小值，再根据勾股定理等知识点可求得其最小值．

解：（1）如图，连接BC ，∵CD ⊥AB ，∴CB ＝CA ，∴∠CAB ＝∠CBA ．

又∵AE ＝CE ，∴∠CAE ＝∠ACE ．

∴∠ACE =∠ABC ．

∵∠CAE =∠BAC ，∴△CAE ∽△BAC ． ∴AC

AE AB AC =，即AC 2＝A E ·AB ． （2）PB ＝PE ．理由如下：如图，连接BC ，BD ，OB ．

∵CD 是直径，∴∠CBD =90°．

∵BP 是⊙O 的切线，∴∠OBP ＝90°．

∴∠BCD +∠D ＝∠PBC +∠OBC ＝90°．

∵OB ＝OC ，∠OBC ＝∠OCB ．

∴∠PBC ＝∠D ．

∵∠A ＝∠D ，∴∠PBC ＝∠A ．

∵∠ACE ＝∠ABC ，

∵∠PEB ＝∠A +∠ACE ，∠PBN ＝∠PBC +∠ABC ，

∴∠PEB ＝∠PBN ．

∴PE ＝PB ．

（3）如图，连接PO 交⊙O 于点Q ，则此时线段PQ 有最小值．

∵N 是OC 的中点，∴ON ＝2．

∵OB ＝4，∴∠OBN ＝30°，∴∠PBE ＝60°．

∵PE ＝PB ，∴△PEN 是等边三角形．

∴∠PEB ＝60°，PB ＝BE ．

在Rt △BON 中，BN ＝22ON OB -=2224-＝23．