复合函数的定义域-函数表达式的求法

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关于复合函数定义域的求解方法

关于复合函数定义域的求解方法复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义为：f(g(x))，其中g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。

定义域是指函数能够接受的数值范围。

换而言之，对于给定的函数，定义域是使其有意义的输入值的集合。

要确定复合函数的定义域，需要考虑两个方面：内层函数和外层函数。

首先，我们需要确定内层函数的定义域，然后根据内层函数的结果来确定外层函数的定义域。

内层函数的定义域确定方法如下：1.若内层函数是一个常数函数，定义域为实数集合，即：(-∞,∞)。

2.若内层函数是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。

3.若内层函数是一个分式函数，需要注意分母不能为零。

因此，需要将分母不等于零的解集作为内层函数的定义域。

4.若内层函数是一个平方根函数，需要考虑平方根中的值不能为负数，因此需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为内层函数的定义域。

确定内层函数的定义域后，我们需要将内层函数的结果作为外层函数的输入来确定外层函数的定义域。

具体方法如下：1.若外层函数是一个常数函数，定义域与内层函数的定义域相同。

2.若外层函数是一个多项式函数，其定义域与内层函数的定义域相同。

3.若外层函数是一个分式函数，需要将分母不等于零的解集作为外层函数的定义域。

4.若外层函数是一个平方根函数，需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为外层函数的定义域。

需要注意的是，在求解复合函数的定义域时，需要保证两个函数都有定义，并且内层函数的结果必须属于外层函数的定义域。

举个例子来说明复合函数的定义域的求解方法：考虑函数f(x)=√(3-2x)+1和g(x)=x^2-4x+3，我们需要确定复合函数f(g(x))的定义域。

首先，我们需要确定g(x)=x^2-4x+3的定义域。

由于这是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。

接下来，我们将g(x)的结果带入f(x)中来确定复合函数f(g(x))的定义域。

复合函数的相关方法

序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。

而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。

本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F=),(21x Fu =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。

[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。

例1．已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。

（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。

当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ；当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ；当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。

将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。

如（图1）)(x t ： )(t f ：)(x g ： -1 0 1 x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。

复合函数求解知识点总结

复合函数求解知识点总结1. 复合函数的定义在数学中，如果有两个函数f和g，那么它们的复合函数用f(g(x))表示，即先对x进行g函数操作，然后再对结果进行f函数操作。

复合函数的定义可以用以下公式表示：(f ∘ g)(x) = f(g(x))2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域对于复合函数(f ∘ g)(x)，它的定义域是g(x)的定义域中同时满足f(g(x))有意义的所有x。

（2）复合函数的值域如果f和g的值域分别为A和B，那么复合函数(f ∘ g)(x)的值域是A中所有能表示成f(g(x))的值。

3. 复合函数的求解方法（1）直接代入法直接代入法是最简单的复合函数求解方法，即将内函数的值代入外函数中进行计算。

例如，对于函数f(x)和g(x)，要求解f(g(x))时，先计算g(x)得到结果y，再将结果y代入函数f(x)中进行计算。

（2）分步求解法分步求解法是一种比较常用的复合函数求解方法。

假设要求解f(g(x))，可以将其分成两步：首先求出g(x)的值，然后再求出f(g(x))的值。

这样一步一步的分解问题，使得整个过程更加清晰和容易掌握。

（3）图像法有时候可以通过画出函数的图像来求解复合函数。

首先画出内函数g(x)的图像，然后再根据g(x)的图像来画出f(g(x))的图像，这样可以直观地看到函数的变化和求解的结果。

4. 复合函数的常见问题（1）求复合函数的导数在实际问题中，常常会遇到需要求复合函数的导数的情况。

可以利用链式法则来求解复合函数的导数。

链式法则的公式可以表示为：(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)（2）求复合函数的极限当需要求解复合函数的极限时，可以利用极限的性质和复合函数的性质来进行求解。

通常可以通过分母有理化或分子分母同时除以某个函数的方法来进行极限的求解。

（3）应用问题在实际问题中，常常会遇到需要利用复合函数进行求解的情况。

复合函数定义域的常见求法

复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。

答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。

答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。

例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。

答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

求复合函数的定义域、值域、解析式(集锦)

求复合的定义域、值域、解析式（集锦）一、基本类型：1、求下列函数的定义域。

（1）12)(-+=x x x f （2）xx x x f -+=0)1()(（3） 111--=x y （4）()f x =二、复合函数的定义域1、若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域2、函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域3、函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是求函数的值域一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域（2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：（1）求函数y x =+分分式法求21+-=x x y 的值域。

解：（反解x 法）四、判别式法（1）求函数22221x x y x x -+=++；的值域2）已知函数21ax by x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。

五：有界性法：（1）求函数1e 1e y xx +-=的值域六、数形结合法---扩展到n 个相加（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？）求解析式换元法已知23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式.一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++求()f x 。

令x=0，y=2x 待定系数法设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).课堂练习：1．函数1211)(22+-+++=x x x x x f 的定义域为2．函数()f x =的定义域为3．已知)2(xf 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域 5．求函数)(x f ＝xx213+-（x ≥0）的值域 6.求函数322322-++-=x x x x y 的值域7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 8已知 2f (x )+f (-x )=10x , 求 f (x ).9已知 f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练：1．求函数y ＝()022x x -+要求：选择题要在旁边写出具体过程。

2018年高考数学复合函数定义

2018年高考数学复合函数定义域及常见函数解析式的求法总结（1）定义域一定是x的范围,注意力应放在x上,不管已知定义域,还是求定义域,都是指x范围.如f(3x+1)的定义域为[1,2]是指括号内3x+1中的x的范围是[1,2]（2）求定义域的方法是：凡是f后面括号内的范围是相同的,不管括号内是什么,通过这个求x范围如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(x)定义域由条件可得整个括号内的范围为[4,7]而f(x)中,括号内只有x,故定义域即为[4,7]再如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(1-2x)定义域由上可知括号内范围[4,7]故1-2x的范围也是[4,7]解不等式4≤1-2x≤7得出的x范围即为所求的定义域函数解析式的七种求法一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f （x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

几种复合函数定义域的求法

几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。

例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。

这种代换遵循同一函数的原则。

例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。

复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。

即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。

例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。

复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。

x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。

f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。

设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。

对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。

对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。

高中数学复合函数求导公式及法则

高中数学复合函数求导公式及法则设函数y=fu的定义域为Du，值域为Mu，函数u=gx）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

f[gx]中,设gx=u,则f[gx]=fu，从而（公式）：f'[gx]=f'u*g'x呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！f[gx]=sin2x,则设gx=2x,令gx=2x=u,则fu=sinu所以f'[gx]=[sinu]'*2x'=2cosu,再用2x代替u，得f'[gx]=2cos2x.以此类推y'=[cos3x]'=-3sinxy'={sin3-x]'=-cosx一开始会做不好，老是要对照公式和例子，但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。

证法一：先证明个引理fx在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域Ux0内，存在一个在点x0连续的函数Hx,使fx-fx0=Hxx-x0从而f'x0=Hx0证明：设fx在x0可导，令 Hx=[fx-fx0]/x-x0,x∈U'x0x0去心邻域；Hx=f'x0,x=x0因limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=f'x0=Hx0所以Hx在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0反之，设存在Hx,x∈Ux0,它在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0因存在极限limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=limx->x0f'x=Hx0所以fx在点x0可导，且f'x0=Hx0引理证毕。

设u=φx在点u0可导，y=fu在点u0=φx0可导，则复合函数Fx=fφx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证明：由fu在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数Hu,使f'u0=Hu0,且fu-fu0=Huu-u0又由u=φx在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数Gx,使φ'x0=Gx0,且φx-φx0=Gxx-x0于是就有，fφx-fφx0=Hφxφx-φx0=HφxGxx-x0因为φ，G在x0连续，H在u0=φx0连续，因此HφxGx在x0连续，再由引理的充分性可知Fx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证法二：y=fu在点u可导，u=gx在点x可导，则复合函数y=fgx在点x0可导，且dy/dx=dy/du*du/dx证明：因为y=fu在u可导，则limΔu->0Δy/Δu=f'u或Δy/Δu=f'u+αlimΔu->0α=0当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'uΔu+αΔu但当Δu=0时，Δy=fu+Δu-fu=0,故上等式还是成立。

几种复合函数定义域的求法

配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。

f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。

f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

数学中的复合函数函数的复合与分解

数学中的复合函数函数的复合与分解数学中的复合函数：函数的复合与分解数学中的复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数。

在数学领域中，复合函数是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析各种数学问题。

本文将介绍复合函数的概念，以及如何进行函数的复合与分解。

一、复合函数的定义与性质复合函数是由两个或多个函数构成的新函数。

设有函数f(x)和g(x)，如果g的定义域是f的值域，那么可以定义g与f的复合函数，记作g(f(x))，它的定义为：g(f(x))=g∘f(x)。

复合函数的计算方式是先计算内层函数（即f(x)），再将结果作为外层函数（即g(x)）的自变量进行计算。

复合函数的性质包括：1. 结合律：对于函数f(x)，g(x)和h(x)，有(g∘f)∘h=g∘(f∘h)，即复合函数的结果与计算顺序无关。

2. 幺元：对于任意函数f(x)，都有f∘I(x)=f(x)，其中I(x)是恒等函数。

3. 逆元：对于可逆函数f(x)，复合函数f∘f^(-1)(x)和f^(-1)∘f(x)都等于自变量x。

二、函数的复合与分解函数的复合与分解是指利用已知的函数（包括基本函数和已知的复合函数）构造新的函数或将一个函数分解成多个函数的组合。

1. 函数的复合函数的复合即为将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

设有函数f(x)和g(x)，函数g的定义域是f的值域，那么可以定义g与f的复合函数，记作g(f(x))，表示先通过函数f(x)计算出一个中间结果，再将该结果作为g(x)的输入进行计算。

例如，设f(x)=2x，g(x)=x+1，那么可以计算g(f(x))，首先计算f(x)=2x，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=f(x)+1=2x+1。

2. 函数的分解函数的分解是将一个函数拆解成多个函数的组合。

这在求解复杂函数问题时非常有用。

分解可以按照多种方式进行，取决于具体的问题和需要。

例如，设有复合函数g(f(x))=h(x)，我们可以将g(x)拆解为f(x)和h(x)的组合，即g(x)=f(h(x))。

复合函数的定义域

复合函数的定义域作者：王霞来源：《新课程·上旬》 2013年第22期一、复合函数的定义一般地：若y=f（u），又u=g（x），且g（x）值域与f（u）定义域的交集不空，则函数y=f［g（x）］叫x的复合函数，其中y=f（u）叫外层函数，u=g（x）叫内层函数。

简言之，复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。

例如：设函数f（x）=2x+3g（x）=3x-5，对于函数f[g（x）]，若f（x）的定义域为M，则在复合函数f［g（x）］中，g（x）∈M。

复合函数的定义域，就是复合函数y=f［g（x）］中x的取值范围。

x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g（x）的值域。

二、复合函数的定义域求法例1.已知f（x）的定义域为（-3，5］，求函数f（3x-2）的定义域。

解：由题意得∵-3＜x≤5∴-3＜3x-2≤5-1＜3x≤7例2.已知函数f（x）定义域为是［a，b］，且a+b＞0,求函数h（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定义域。

∵m＞0，∴a-m＜a+mb-m＜b+m又a-m＜b+m解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。

若已知f（x）的定义域为A，则f［g（x）］的定义域就是不等式 g（x）∈A的x的集合；若已知f［g（x）］的定义域为A，则f（x）的定义域就是函数g（x）（x∈A）的值域。

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f（x）的定义域为x∈（a，b），求出f［g（x）］中a＜g（x）＜b的解x的范围，即为f［g（x）］的定义域。

若f［g（x）］的定义域为x∈（a，b），则由a＜x＜b确定g（x）的范围即为f（x）的定义域。

我们可以得到此类解法为：可先由f［g（x）］定义域求得f（x）的定义域，再由f（x）的定义域求得f［g（x）］的定义域。

复合函数的定义域和值域

复合函数的定义域和值域Hessen was revised in January 2021如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。

本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。

1．求复合函数的定义域关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。

例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。

解析由故函数的定义域为。

例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。

解析由由a>0，而知只有当0<a<1时，不等式线才有解，解集为；否则，不等式组的解集为空集，这说明仅当o<a<1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为。

2．求复合函数的值域关键是由里向外，逐层解决。

例3函数的值域是（）（A）（B）[0，4]（C）（D）解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。

由知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。

例4求函数的值域。

解析函数是由函数复合而成的。

由u的定义域得：。

由，或y>1，故所给函数的值域为。

3．求复合函数的奇偶性（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。

除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。

例5判断下列函数的奇偶性。

解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。

解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。

例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。

解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。

例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。

高一数学必修1复合函数定义域的求法

解:
由y

k
x2
kx 7 4kx

3
的定义域为一切实数, 可知
分母kx2 4kx 3 0对x R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K 0时 : 0,解得: 0 k 3 4
综上(1),(2)知,当0 k 3 时 4
y

Байду номын сангаас
kx 7 的定义域是一切实数 kx2 4kx 3
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域
例1.若f (x)的定义域是[0,2],求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 x 3
2
2
故 : f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}
2
2
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
题型(二):已知f g x的定义域,求f (x)的定义域
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5],求f (x)的定义域
解：由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
解:∵定义域是R, ax2 ax 1 0恒成立，
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a

0
时

数学公式知识：复合函数的概念与计算方法

数学公式知识：复合函数的概念与计算方法复合函数是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将详细介绍复合函数的概念与计算方法，希望能够对读者有所帮助。

一、复合函数的定义先来看一个简单的例子，设有函数y=f(x)=x^2和函数y=g(x)=x+1，那么我们可以得到一个新的函数y=h(x)=f(g(x))。

这个新的函数h(x)就是复合函数。

复合函数的定义如下：设有函数f(x)与g(x)，则当g(x)的值域是f(x)的定义域时，可以定义出一个新的函数h(x)=f(g(x))，即h(x)为f(x)和g(x)的复合函数。

从上面的例子可以看出，复合函数是多个函数通过一定的运算组合而成的一个新函数。

它与单独的函数不同之处在于，复合函数的自变量x首先被代入g(x)中求出一个新的中间变量，然后再将这个中间变量代入f(x)中，得到复合函数的值。

二、复合函数的计算方法要想计算一个复合函数，我们需要先确定复合函数的定义域和值域。

下面我们将具体介绍复合函数的计算方法。

1.内层函数求解首先，我们需要求解复合函数中的内层函数，即先算g(x)。

例如，在上面的例子中，g(x)=x+1。

2.外层函数求解接着，我们将求出的中间变量代入外层函数中求解，即求解f(g(x))。

例如，在上面的例子中，f(x)=x^2，那么f(g(x))就是(f(x))^2，即(x+1)^2。

3.简化复合函数如果可以，我们可以简化复合函数的表达式。

例如，在上面的例子中，可以将(x+1)^2展开得到x^2+2x+1，因此f(g(x))=x^2+2x+1。

但是，在有些情况下，复合函数可能无法简化。

4.确定复合函数的定义域和值域最后，我们需要确定复合函数的定义域和值域。

对于复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是g(x)的定义域，而它的值域是f(x)的值域。

我们需要通过分析g(x)和f(x)的定义域和值域来确定复合函数的定义域和值域。

三、复合函数的应用复合函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。

复合函数的知识的总结及例的题目

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f<u>的定义域为A,u=g<x>的值域为B,假如A ⊇B,如此y 关于x 函数的y=f ［g<x>］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：<1>、f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D,即x D ∈,所以f 的作用X 围为D,又f 对g x ()作用,作用X 围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域.例1.设函数f u ()的定义域为〔0,1〕,如此函数f x (ln )的定义域为_____________. 解析：函数f u ()的定义域为〔0,1〕即u ∈()01，,所以f 的作用X 围为〔0,1〕又f 对lnx 作用,作用X 围不变,所以01<<ln x 解得x e ∈()1，,故函数f x (ln )的定义域为〔1,e 〕例2. 假如函数f x x ()=+11,如此函数[]f f x ()的定义域为______________. 解析：先求f 的作用X 围,由f x x ()=+11,知x ≠-1即f 的作用X 围为{}x R x ∈≠-|1,又f 对f<x>作用所以f x R f x ()()∈≠-且1,即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111,解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且〔2〕、[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,所以f 的作用X 围为E,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x E E ∈，为f x ()的定义域.例3. f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，,如此函数f x ()的定义域为_________. 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，,即[]x ∈-12，,由此得[]3215-∈-x ，所以f 的作用X 围为[]-15，,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. f x x x ()lg 22248-=-,如此函数f x ()的定义域为-------解析：先求f 的作用X 围,由f x x x ()lg 22248-=-,知x x 2280-> 解得x 244->,f 的作用X 围为()4，+∞,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x ∈+∞()4，,即f x ()的定义域为()4，+∞〔3〕、[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,f 的作用X 围为E,又f 对h x ()作用,作用X 围不变,所以h x E ()∈,解得x F ∈,F 为[]f h x ()的定义域.例5. 假如函数f x()2的定义域为[]-11，,如此f x (log )2的定义域为____________.解析：f x()2的定义域为[]-11，,即[]x ∈-11，,由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用X 围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥,又f 对log 2x 作用,所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，,解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值X 围〔用集合或区间表示〕f 对谁作用,如此谁的X 围是f 的作用X 围,f 的作用对象可以变,但f 的作用X 围不会变.利用这种理念求此类定义域问题会有"得来全不费功夫〞的感觉,值得大家探讨.三、复合函数单调性问题〔1〕引理证明函数))((x g f y =.假如)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,其值域为<c,d>,又函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数.证明：在区间b a ,(〕内任取两个数21,x x ,使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <, 故函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数. 〔2〕．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定.为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为："同向得增,异向得减〞或"同增异减〞. 〔3〕、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =. ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ假如两个函数在对应的区间上的单调性一样〔即都是增函数,或都是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为增函数；假如两个函数在对应的区间上的单调性相异〔即一个是增函数,而另一个是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为减函数.〔4〕例题演练例1、求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间,并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且如此---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为如此当1>a 时,假如1>x ,∵1232--=x x u 为增函数,∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 假如31-<x ,∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数.当10<<a 时,假如1>x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为减函数,假如31-<x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.y=a log <2-xa >在［0,1］上是x 的减函数,求a 的取值X 围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时,函数t=2-xa >0是减函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是增函数, ∴a ＞1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时,函数t=2-xa >0是增函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是减函数, ∴0<a<1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述,0<a<1或1＜a ＜2例4、函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f 〔a 为负整数〕的图象经过点R m m ∈-),0,2(,设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数,且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论. ［解析］由0)2(=-m f ,得02)3(2=-+--a m a am , 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a , 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数,∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ,即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==, ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数)0(<p p ,使得)(x F 满足条件,设21x x <,∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ,当)3,(,21--∞∈x x 时,)(x F 为减函数,∴0)()(21>-x F x F ,∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p ,∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ,故存在.161-=p 一．指数函数与对数函数．同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数；〔二〕主要方法：1．解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论； 3．比拟几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．〔三〕例题分析：例1．〔1〕假如21a b a >>>,如此log bba,log b a ,log a b 从小到大依次为；〔2〕假如235x y z ==,且x ,y ,z 都是正数,如此2x ,3y ,5z 从小到大依次为；〔3〕设0x >,且1x x a b <<〔0a >,0b >〕,如此a 与b 的大小关系是〔〕〔A 〕1b a <<〔B 〕1a b <<〔C 〕1b a <<〔D 〕1a b <<解：〔1〕由21a b a >>>得b a a <,故log b ba<log b a 1<<log a b ．〔2〕令235x y z t ===,如此1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg 5tz =,∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅,∴23x y >；同理可得：250x z -<,∴25x z <,∴325y x z <<．〔3〕取1x =,知选〔B 〕．例2．函数2()1x x f x a x -=++(1)a >,求证：〔1〕函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；〔2〕方程()0f x =没有负数根．证明：〔1〕设121x x -<<,如此1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++,∵121x x -<<,∴110x +>,210x +>,120x x -<,∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<,且1a >,∴12x xa a <,∴120x x a a -<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；〔2〕假设0x 是方程()0f x =的负数根,且01x ≠-,如此000201xx a x -+=+,即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++, ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+,而由1a >知01x a <, ∴①式不成立；当01x <-时,010x +<,∴0301x <+,∴03111x -<-+,而00x a >, ∴①式不成立．综上所述,方程()0f x =没有负数根．例3．函数()log (1)xa f x a =-〔0a >且1a ≠〕．求证：〔1〕函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：〔1〕由10x a ->得：1x a >,∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧；当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点,且12x x <,如此直线AB 的斜率1212y y k x x -=-,1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-,当1a >时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a <<,∴12011x xa a <-<-,∴121011x xa a -<<-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >；当01a <<时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a >>,∴12110x xa a ->->, ∴12111x xa a ->-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．同步练习〔二〕同步练习：1、函数)x (f 的定义域为]1,0[,求函数)x (f 2的定义域.答案：]1,1[-2、函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-,求)x (f 的定义域. 答案：]9,3[-3、函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-,求|)1x 2(|f -的定义域.答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg,如此⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为〔〕A.()()4,00,4 -B.()()4,11,4 --C.()()2,11,2 --D.()()4,22,4 --解：选C.由202x x +>-得,()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩,解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--5、函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ,求)0)(()()(>+=a ax f ax f x g 的定义域.［解析］由,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax 〔1〕当1=a 时,定义域为}2321|{<<-x x ；〔2〕当a a 2323>,即10<<a 时,有221a a ->-, 定义域为}232|{a x a x <<-；〔3〕当a a 2323<,即1>a 时,有221aa -<-,定义域为}2321|{ax a x <<-.故当1≥a 时,定义域为}2321|{a x a x <<-；当10<<a 时,定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进展讨论,要注意思考讨论字母的方法. 练习二〔5〕同步练习：1．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减．答案：B2找出如下函数的单调区间.〔1〕)1(232>=++-a a y x x ；〔2〕.2322++-=x x y答案：<1>在]23,(-∞上是增函数,在),23[+∞上是减函数. 〔2〕单调增区间是]1,1[-,减区间是]3,1[.3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y xa 且的单调性.答案：,1>a 时),0(+∞为增函数,01>>a 时,)0,(-∞为增函数. 4．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕．变式练习一、选择题1．函数f 〔x 〕＝)1(log 21－x 的定义域是〔〕A ．〔1,＋∞〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,2〕D ．]21(，解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2．答案：D2．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减．答案：B3．假如2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,如此xy的值为〔〕 A ．4B ．1或41 C ．1或4D ．41错解：由2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,得〔x －2y 〕2＝xy ,解得x ＝4y 或x ＝y ,如此有x y ＝41或y x ＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x －2y ＞0,所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ．答案：D4．假如定义在区间〔－1,0〕内的函数f 〔x 〕＝a 2log 〔x ＋1〕满足f 〔x 〕＞0,如此a 的取值X 围为〔〕 A ．〔0,21〕B ．〔0,1〕 C ．〔21,＋∞〕D ．〔0,＋∞〕解析：因为x ∈〔－1,0〕,所以x ＋1∈〔0,1〕．当f 〔x 〕＞0时,根据图象只有0＜2a ＜l,解得0＜a ＜21〔根据本节思维过程中第四条提到的性质〕．答案：A 5．函数y ＝lg 〔x－12－1〕的图象关于〔〕 A ．y 轴对称B ．x 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg 〔x －12－1〕＝x x －＋11lg ,所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数．答案：C 二、填空题y ＝a log 〔2－ax 〕在［0,1］上是x 的减函数,如此a 的取值X 围是__________．解析：a ＞0且a ≠1⇒μ〔x 〕＝2－ax 是减函数,要使y ＝a log 〔2－ax 〕是减函数,如此a ＞1,又2－ax ＞0⇒a ＜x2〔0＜x ＜1〕⇒a ＜2,所以a ∈〔1,2〕．答案：a ∈〔1,2〕7．函数f 〔x 〕的图象与g 〔x 〕＝〔31〕x的图象关于直线y ＝x 对称,如此f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为______．解析：因为f 〔x 〕与g 〔x 〕互为反函数,所以f 〔x 〕＝31log x如此f 〔2x －x 2〕＝31log 〔2x －x 2〕,令μ〔x 〕＝2x －x 2＞0,解得0＜x ＜2．μ〔x 〕＝2x －x 2在〔0,1〕上单调递增,如此f ［μ〔x 〕］在〔0,1〕上单调递减； μ〔x 〕＝2x －x 2在〔1,2〕上单调递减,如此f ［μ〔x 〕］在［1,2〕上单调递增．所以f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为〔0,1〕．答案：〔0,1〕8．定义域为R 的偶函数f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,且f 〔21〕＝0, 如此不等式f 〔l og 4x 〕＞0的解集是______．解析：因为f 〔x 〕是偶函数,所以f 〔－21〕＝f 〔21〕＝0．又f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,所以f 〔x 〕在〔－∞,0〕上是减函数．所以f 〔l og 4x 〕＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题9．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．. 解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y ＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 10．设函数f 〔x 〕＝532＋x ＋xx 2323lg ＋－, 〔1〕求函数f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断函数f 〔x 〕的单调性,并给出证明；〔3〕函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕,问函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点?假如有,求出交点坐标；假如无交点,说明理由．解：〔1〕由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0,解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23．〔2〕令μ〔x 〕＝532＋x ,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数．又y ＝lg x 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y ＝x x 2323lg ＋－是减函数,所以f 〔x 〕＝532＋x ＋x x 2323lg ＋－是减函数．〔3〕因为直接求f 〔x 〕的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕与工轴的交点为〔x 0,0〕．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f 〔x 〕与y 轴的交点是〔0,x 0〕,将〔0,x 0〕代入f 〔x 〕,解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点,交点为〔52,0〕.。

复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案

复合函数一，复合函数得定义:设y就是u得函数,即y=f(ｕ),u就是x得函数,即u=g(x),且ｇ(x)得值域与f(ｕ)得定义域得交集非空,那么y通过u得联系成为ｘ得函数,这个函数称为由y＝f(u),u=g(x)复合而成得复合函数,记作y=ｆ［g(x)］,其中u称为中间变量、二，对高中复合函数得通解法——综合分析法1、解复合函数题得关键之一就是写出复合过程例1:指出下列函数得复合过程。

(１)y=√２—x２ (２)y=sin３x (3)y＝ｓin３x (4)y=3cｏｓ√１—x2 解:(１) y＝√2－x2就是由ｙ=√u,ｕ=2－x2复合而成得、(2)y=sｉn3ｘ就是由y=ｓinu,u=3x复合而成得。

(3)∵ｙ=ｓin3x=(ｓｉnx)-3∴ｙ=ｓin3x就是由y=ｕ—3,u=ｓｉnx复合而成得。

(4)ｙ=3ｃｏs√1+x2就是由y=3cosu,u=√r,ｒ=1+x2复合而成得。

２、解复合函数题得关键之二就是正确理解复合函数得定义、瞧下例题:例2:已知ｆ(x+３)得定义域为［１、2］,求ｆ(2x－５) 得定义域。

经典误解１:解:ｆ(x＋3)就是由y＝f(u),u=ｇ(x)＝x+3复合而成得。

Ｆ(２x—5)就是由y＝f(u2),u2=g(x)＝2x-5复合而成得。

由ｇ(ｘ),G(x)得:u２=2x－11即:y=f(u２),ｕ2=2x-11∵ｆ(u1)得定义域为［1、2]∴１≤x﹤2∴—9≤2x－11﹤—6即:y=ｆ(u2)得定义域为［—９、—6]∴f(２ｘ—5)得定义域为［—9、-6］经典误解2:解:∵f(x+3)得定义域为［１、2］∴1≤x+3﹤2∴—２≤x﹤-1∴-4≤2ｘ﹤－２∴－9≤2ｘ—5﹤-7∴f(2x－5)得定义域为［—9、-7］(下转2页)注:通过以上两例误解可得,解高中复合函数题会出错主要原因就是对复合函数得概念得理解模棱两可,从定义域中找出“y”通过u得联系成为ｘ得函数,这个函数称为由y=ｆ(u),u=g(ｘ)复合而成得复合函数,记作y=f[g(ｘ)］,其中u称为“中间变量”、从以上误解中找出解题者易将f(ｘ+3)得定义域理解成(ｘ＋3)得取值范围,从而导致错误。

有关复合函数单调性的定义和解题方法

有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

复合函数定义域的求法

复合函数定义域的求法
设y=f（u）而u=φ（x）且函数φ（x）的值域包含在f（u）的定义域内，那么y通过u的联系也是自变量x的函数，称y为x的复合函数，记为y=f[φ（x)]，其中u称为中间变量。

若函数y=f（u）的定义域是b，u=g（x）的定义域是a，则复合函数y=f的定义域是综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应当考量以下几点：
（一）当为整式或奇次根式时，r的值域；
（二）当为偶次根式时，被开方数不大于0（即为≥0）。

（三）当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0。

（四）当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（例如，中）。

（五）当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。