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高考圆锥曲线压轴题型总结

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高考数学二轮复习专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(解析版)

高考数学二轮复习专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(解析版)

专题13圆锥曲线压轴解答题常考套路归类【命题规律】解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．【核心考点目录】核心考点一：轨迹方程核心考点二：向量搭桥进行翻译核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译核心考点四：斜率之和差商积问题核心考点五：弦长、面积范围与最值问题核心考点六：定值问题核心考点七：定点问题核心考点八：三点共线问题核心考点九：中点弦与对称问题核心考点十：四点共圆问题核心考点十一：切线问题核心考点十二：定比点差法核心考点十三：齐次化核心考点十四：极点极线问题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．【解析】（1）设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+ ⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故PH的最大值是11.（2）设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,A x y x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-==66231555k ==⋅⨯+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为的直线与过Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =．∴C 的方程为：2213y x -=；（2）由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-+=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y x ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=-⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）抛物线的准线为2px =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p +=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，120,4y y ∆>=-，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-，34223434444AB y y k y y y y -==+-，直线112:2x MD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，130,8y y ∆>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===，若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--==≤+++，当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ-最大时，2AB k =，设直线:AB x n =+，代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，所以直线:4AB x =+.[方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN 的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =-由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得：()2222240k x k x k -++=，121x x =,同理，124y y =-.直线MD :11(2)2y y x x =--,代入抛物线方程可得：134x x =，同理，244x x =.代入抛物线方程可得:138y y =-,所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得：()()21432143212121.22114AB MN y y y y y y k k x x x x x x ---====--⎛⎫- ⎪⎝⎭（下同方法一）若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--==≤+++，当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ-最大时，22AB k =，设直线:AB x n =+，代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，所以直线:4AB x =+.[方法三]：三点共线设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),0P t ,若P 、M 、N 三点共线，由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以22122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得124y y t =-，反之，若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t因此，由M 、N 、F 三点共线，得124y y =-，由M 、D 、A 三点共线，得138y y =-，由N 、D 、B 三点共线，得248y y =-，则3412416y y y y ==-，AB 过定点（4,0）（下同方法一）若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--==≤+++当且仅当12k k =即k =所以当αβ-最大时，2AB k =，所以直线:4AB x =+.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MN AB 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,)3M -，(1,)3N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,)3T -，由MT TH =得到(5,)3H --.求得HN方程：(22y x =-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧-++=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【解析】（1）因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=．易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()222222Δ16422210120m k m k m k =-+->⇒-+>且22≠±k ．所以由0AP AQ k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP AQ k k +=，所以παβ+=，由（1）知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+-，解得tan 2α=（负值舍去）此时PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α=（负值舍去），于是，直线):21PA y x =-+，直线):21QA y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，)23241002x x ++-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d ==，故PAQ △的面积为1162339⨯⨯=．［方法二］：设直线AP 的倾斜角为α，π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由tan PAQ ∠=tan 2PAQ ∠=由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==1112y x --联立1112y x --，及221112x y -=得1103x -=，153y =，同理，2x =2y =12203x x +=，12689x x =而1||2|AP x =-，2||2|AQ x -，由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=，故1212116||||sin 2()4|.29PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++=【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率，从而联立求出点,P Q 优解；法二：前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．【方法技巧与总结】1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．【核心考点】核心考点一：轨迹方程【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，(1)求双曲线方程；(2)过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程.【解析】（1）由渐近线为y =知，ba=(),0c 到直线y =2==，所以2c =，224a b +=②，联立①②，解得21a =，23b =，则双曲线方程为2213y x -=.（2）因为直线l 与双曲线交于异支两点,P Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过()01，点，可设直线:1l y kx =+，与双曲线联立得：()223240k x kx ---=，设()()()1122,,,,,M x y P x y Q x y ，则有122122Δ023403k x x k x x k ⎧⎪>⎪⎪+=⎨-⎪-⎪⋅=<⎪-⎩解得k <<由OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r 知，()1221212223623k x x x k y y y k x x k ⎧=+=⎪⎪-⎨⎪=+=++=⎪-⎩两式相除得3x k y =，即3x k y =代入263y k=-得22230y y x --=，又k <<2y，所以点M 的轨迹方程为()222302y y x y --=.例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x -=于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；(2)若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．【解析】（1）由题得l 方程为：1y x =+，将其与2214yx -=联立有22114y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：23250x x --=，解得=1x -或53x =.则令A ()1,0-，B 5833⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则AB3=.（2）由题，直线l 存在，故设l 方程为：1y kx =+.将其与2214y x -=联立有：22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()224250k x kx ---=因l 与双曲线有两个交点，则2240Δ80160k k ⎧-≠⎨=->⎩，得205k ≤<且24k ≠.设()()1122,,A x y B x y ，.又设M 坐标为()00x y ，，则12120022，x x y y x y ++==.因A ，B 在双曲线上，则有()221112012212120222144414y x x x x y y k y y x x y y x ⎧-=⎪+-⎪⇒=⇒=⎨+-⎪-=⎪⎩.又M ，()01P ，在直线l 上，则001y k x -=.故000014y x x y -=2200040x y y ⇒-+=由韦达定理有，12224k x x k +=-，12284y y k +=-.则M 坐标为22444,k k k ⎛⎫ --⎝⎭.又0244y k=-，205k ≤<且24k ≠，则01y ≥或04y <-.综上点M 的轨迹方程为：2240x y y -+=，其中()[)41y ⋃∞∈-∞-+，，.例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．【解析】（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形，所以点P 在以O 为圆心，||OP长为半径的圆上，且|||OP OA =，进而动点P 的轨迹方程为2222x y r +=（2）设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-22194x y +=，得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得22222000018()4(49)9[()4]0k y kx k y kx --+⋅--=，化简，2222200009()(49)()(49)40k y kx k y kx k --+-++=，进而2200()(49)0y kx k --+=，所以222000(9)240--+-=x k x y k y 所以k 是方程222000(9)240--+-=x k x y k y 的一个根，同理1k-是方程222000(9)240--+-=x k x y k y 的另一个根，202041()9y k k x -∴⋅-=-，得220013x y +=，其中03x ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直，可知：P 点坐标为：(3,2)±±，P 点坐标也满足220013x y +=，综上所述，点P 的轨迹方程为：220013x y +=．（3）动点Q 的轨迹方程是222200x y a b+=+以下是证明：设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则0x a ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22221x y a b+=，得2222222220000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得()222222220000222()4()[()]0a k y kx k y kx b a a b --+⋅--=，化简，222220002222202()()()()0a b a b a k y kx k y kx b k --+-++=，进而220220()()0y x b k a k --+=，所以222000022()20x k x y k y a b --+-=所以k 是方程22200022()20x k x y k y a b --+-=的一个根，同理1k-是方程222000022()20x k x y k y a b --+-=的另一个根，2020221()y k ax b k -∴⋅-=-，得222200x y a b +=，其中0x a ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直，可知：P 点坐标为：(,)a b ±±，P 点坐标也满足222200x y a b +=+，综上所述，点P 的轨迹方程为：222200x y a b +=+．核心考点二：向量搭桥进行翻译【规律方法】把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．【典型例题】例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，倾斜角为30︒的直线过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，且11ABF S =△A 为右顶点）.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点(0,)M m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且2PM MQ =，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题可知()22231122b c a c b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪+=+⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，设()0,1P ，()0,1Q -，()0M m ，，由2PM MQ = ，()()0120,1m m -=--，，得13m =-，同理，当()0,1Q ,()0,1P -时，得13m =，所以13m =±，当直线l 的斜率存在时，即13m ≠±时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()222148440kxkmx m +++-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点P 、Q ，所以()()222Δ(8)414440km km=-+->，即22410k m -+>①.设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++②，则()()1122,,,PM x m y MQ x y m =--=- ，由2PM MQ =，得122x x -=③，③代入②得()22222(8)4421414km m k k --⨯=++，化简整理得2221364m k m -=-④，将④代入①得2221191m m m ->--，化简得2119m <<，解得113m -<<-或113m <<.综上，m 的取值范围为111,,133⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U.例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率2e =，点(),0A a 、()0,B b(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ + 与AB共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为点(),0A a 、()0,B b=2e =，所以有2c a =，而222a b c =+，因此组成方程组为：22222221a c a b a b c =⎧⎪==⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩2212x y +=；（2）设l的方程为y kx =22221(12)202x y k x y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=⎩，于是有2221)4(12)202k k -+⋅>⇒>，此时设1222(,),(,)P x y Q x y ，于是有12x x +=，假设存在常数k ，使得OP OQ + 与AB共线，因为1212(,)OP OQ x x y y +=++，(,)(AB a b =-= ，12121212)()()y y x x kx kx x x +=-++=-+，1212()4()x x x x ⇒++=-+，因为12212x x k -+=+，22412122k k k --⋅+=-⇒=++，不满足212k >，因此不存在常数k ，使得OP OQ + 与AB共线.例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),(A A A x y 第一象限)，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足A x x >的部分．（1）若A x =b 的值；（2）当b =，2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ⋅ ，并求OM ON ⋅的取值范围．【解析】（1）由A x =A 为曲线1Γ与曲线2Γ的交点，联立222222144A A AA x y bx y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得A y =2b =；（2）由题意可得1F ，2F 为曲线1Γ的两个焦点，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，又18PF =，24a =，所以2844PF =-=，因为b =3c =，所以126F F =，在12PF F △中，由余弦定理可得22212121212||||cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅6416361128416+-==⨯⨯，由120F PF π<∠<，可得1211arccos16F PF ∠=；（3）设直线24:22b b l y x +=-+，可得原点O 到直线l的距离d =所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以2OM k b=，并设2:OM y x b =与圆2224x y b +=+联立，可得222244x x b b+=+，可得x b =，2y =，即(),2M b ，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由222222144A A AA x y b x y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，可得422A b y a b =+，所以有4244b b <+，解得22b >+22b <-舍去)，因为OM 为ON 在OM 上的投影可得，24OM ON b ⋅=+，所以246OM ON b ⋅=+>+则()6OM ON ⋅∈++∞．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，()4,6P 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线:312l y x =-交于点N ．设NA AM λ=，NB BM μ=，求证：λμ+为定值．【解析】（1）设C 的焦距为2c ，则1228F F c ==，即4c =，()14,0F -，()24,0F ；由双曲线的定义，得1224a PF PF =-==，即2a =，所以b ===C 的方程为221412x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),N m n ，显然直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为()11y k x -=-，代入22312x y -=，得()()2223212130k x k k x k k ---+--=．由过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，得230k -≠，由韦达定理，得()122213k k x x k -+=-，21222133k k x x k --=-；①由(),N m n 在直线:312l y x =-上，得312n m =-，即1230m n -+=；②由(),N m n 在直线AB 上，得()11n k m -=-．③由NA AM λ=，得()()1111,1,1x m y n x y λ--=--，即()111x m x λ-=-解得111x m x λ-=-．同理，由NB BM μ= ，得221x mx μ-=-，结合①②③，得()()()()12121212121221111m x x x x m x m x m x x x x λμ++----+=+=----()()()()()()()22212122121312221626331111k k k k m m k m m k k x x x x ---+⋅-⨯---+--==----()()()()()()121221626231201111n m n m x x x x --+-+===----．故λμ+是定值．核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译【规律方法】首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．【典型例题】例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =.(1)求C 的方程；(2)设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅.【解析】（1）由题意知，28a >，得a >当1PF x ⊥轴时，设00(,)(0)P c y y ->，代入椭圆方程，得220218y c a +=，解得08y a =，即18PF a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，又2103PF =，所以81023a a +=，由a >3a =，故椭圆C 的方程为22198x y +=；（2）当切线斜率不存在时，切线方程为3x =±，此时点P 与点Q 重合，等式成立；当切线斜率为0时，切线与x 轴不相交，不符合题意；当切线斜率存在时，设00(,)P x y ，由22198x y +=，得y =2)y x ''=-=所以切线的斜率为k =00)y x x y =-+，即2003x y +=+，整理得220000)x y y x =+-，即008972x x y y +=，所以切线方程为00198+=x x y y，令0y =，得09x x =，即09(,0)Q x ，由(1)知，12(1,0),(1,0)F F -，则12PF PF ==0012000099991,1x x QF QF x x x x +-=+==-=，又2200198x y +=，得2200889y x =-，所以01002009999x QF x x QF x x x ++==--，102099PF x PF x +=-，所以1122PF QF PF QF =，即1221PF QF PF QF ⋅=⋅，即证.例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，直线l 过C 的焦点且垂直于x 轴，直线l 被C(1)求C 的方程；(2)若C 与y 轴的正半轴相交于点P ，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在C 上，PA PB ⊥，60PAB ∠=︒，求PAB 的面积.【解析】（1）不妨设直线l 过C 的右焦点(),0c ，则直线l 的方程为x c =，由22221x cx ya b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，22221c y a b +=解得2b y a =±，故22b a =①，由于椭圆的离心率ce a ==由①②解得2293,22a b ==，所以椭圆C 的方程为2219322x y +=.（2）由（1）得2P ⎛ ⎝⎭，设(),0,0A t t <，020PAk t -==-，由于PA PB ⊥，所以PB k ==所以直线PB的方程为32y x =+，由2219322x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消去y 并整理得()221260t x tx ++=，解得2266,1212B B t t x y t t --=⨯++由于60PAB ∠=︒，所以PB PA=223PB PA =，222226312t t t ⎡⎤⎫⎫-⎛⎫⎢⎥+=+⎪⎪ ⎪⎪⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得212t =.所以22213222PA t =+=+=⎝⎭，而21122PAB S PA PB PA =⨯⨯=⨯⨯==例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线22:143x y C -=上一点()4,3P ，直线()0y x b b =-+<交C 于A ，B 点.(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值；(2)若PAB 的外接圆经过原点O ，求PAB 的面积.【解析】（1）证明：设()11,A x y ，22(,)B x y ，联立22143x y y x b ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩得()228430x bx b -++=，则()()222641634810b b b ∆=-+=-，又0b <，所以1b <-，所以128x x b +=、()21243x x b =+，从而1212121233334444PA PB y y x b x b k k x x x x ---+--+-+=+=+----()()()1212122183(4)()4x x b x x b x x -+++---=-()()()()()212838183044b b b b x x +-++-==--为定值.（2）设AB 的中点为C ，PAB 外接圆的圆心为D ，由128x x b +=，则()121226y y x x b b+=-++=-所以()4,3C b b -，所以AB 的中垂线方程为34y b x b +=-，即7y x b =-，又34OP k =，OP 的中点为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以OP 的中垂线方程为()34223y x -=--，即86250x y +-=，联立786250y x b x y =-⎧⎨+-=⎩解得2531425414x b y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即25253,41414D b b ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，由22222AB DO DB DC ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得()2222122525253421414142x x b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222221212641634252522142142b b x x x x b b -++-⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得27252470b b --⨯=，解得7b =（舍去），247b =-，所以直线AB ：247y x =--，过P 作x 轴的平行线交直线AB 于点E ，令3y =则457x =-，即45,37E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()()121212|y y x b x b x x -=-----=-====所以1211454227PAB S PE x x ⎛⎫=⋅-=+⋅⎪⎝⎭.核心考点四：斜率之和差商积问题【规律方法】在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【典型例题】例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C上的任意一点到点)F和直线5x =的距．(1)求曲线C 的方程；(2)记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）设曲线C 上一点的坐标为(),x y=，化简得：2214x y -=；（2）依题意作上图，设PQ 方程为4x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则m 必定是存在的，联立方程22144x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得2212304m y my ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，12122223,1144m y y y y m m +=-=--，()()221212121212228168,4161144m x x m y y x x m y y m y y m m ++=++=-=+++=--- AP 的方程为()110022y y x x --=++，令x =0，则M 点的坐标为1120,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理，N 点的坐标为2220,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，()()()12111212121212121222002211,,0404422424y y x x y y y y k k k k x x x x x x --++∴===⨯=⨯--+++++ 2222311341684144241144m m m m -=⨯=-+--⨯+--，是定值；综上，曲线C 的方程为2214x y -=，123144k k =-是定值.例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D．(1)若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；(2)在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为1,0F （），因为直线l 的斜率不为0，所以可设l 的方程为1x my =+，设()()1122,,A x y B x y ，，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩消x ，得2440y my --=，方程2440y my --=的判别式216160m ∆=+>，12124,4y y m y y +==-，21212()242x x m y y m +=++=+，2221212(4)14416y y x x -=⋅==，∴212||2445AB x x m =++=+=，∴214m =，设直线l 的斜率为k ，则10k m =>，所以12m =，所以直线l 的方程为220x y --=；（2）设()2,2M a a ，1122121122424MA y a y a k x a y a y a --===-+-，，同理，242MBk y a =+，又联立11x my x =+⎧⎨=-⎩可得12x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即点D 的坐标为21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2221MDa m k a +=+，∵直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，所以21222442122a m a y a y a +⨯=++++恒成立；∴122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++=++++，又∵12124,4y y m y y +==-，所以221121a a m m a a am ++=++-，()()()221121am m a a a am m +++=+-，()2110a m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为10m m+≠，所以1a =±，所以存在点1,2M （）或1,2M -（），使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列．例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值.【解析】（1）依题可得22222311,4,c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设()()1122:,,,,PQ y kx m P x y Q x y =+，由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()222148440k x mkx m +++-=，所以()222121222844,,Δ164101414mk m x x x x k m k k--+===+->++，即2241k m +>，而120AP AQ k k =，即121212220y y x x ⋅=--，化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=-++，222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=-⨯+++++化简得2260k mk m +-=，所以2m k =-或3m k =，所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点()3,0-.所以直线PQ 的方程为()3y k x =+，易知0k ≠，设定点()1212153,0,22APQ ABP ABQ B S S S AB y y k x x -=-=-=-52=52==因为Δ0>，且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以53APQS =≤ ，当且仅当97t =，即2114k =时取等号，即APQ △面积的最大值为53.例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，1,2H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.【解析】（1）由题意，椭圆的离心率为2，2H ⎛ ⎝⎭是椭圆C 上一点，所以22222222123121c e a a b c a b⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2224,2,2a b c ===，所以椭圆的方程为22142x y +=；（2）①因为过点()1,0D 且斜率不为0，所以可设l 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程22142x y +=得()222230t y ty ++-=，方程()222230t y ty ++-=的判别式()2241220t t ∆=++>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12222t y y t +=-+，12232y y t =-+.两式相除得121223y y t y y +=，()121232ty y y y =+．因为,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，所以点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()2,0，所以1111123y y k x ty ==++，2222221y y k x ty ==-从而()()()()1211211212221122313123393323y y y y ty k y y y y k y ty y y y +--+====++++；②由①知1231k k =，设1k m =，则23k m =，所以直线AP 的方程为：2y mx m =+，直线BQ 的方程为36y mx m =-，联立236y mx m y mx m =+⎧⎨=-⎩可得46x y m =⎧⎨=⎩，所以直线AP 与直线BQ 的交点M 的坐标为()4,6m ，所以点M 在定直线4x =上.核心考点五：弦长、面积范围与最值问题【规律方法】弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：①1||||2OAB S AB OH =⋅ （随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121||2OAB S OM y y =⋅- （横截距已知的条件下使用）③121||2OAB S ON x x =⋅- （纵截距已知的条件下使用）【典型例题】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C.(1)已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程；(2)证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;(3)求线段AC 长的取值范围.【解析】（1）22:184x y C +=的左焦点为(2,0)-，当1l 过左焦点时，1l 的方程为124x y +=-，即240x y -+=.（2）由题意知1l 斜率存在，设直线()()11122:4,,,,l y kx A x y B x y =+，则()()1122,,,D x y C x y --，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()221216240k x kx +++=，需满足2225696(12)0k k ∆=-+>，即2230k ->，1212221624,1212k x x x x k k -∴+=⋅=++，又212111,BQ DQ y y k k x x --==-，212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+-，()21212248312222202412kx x k k k k k x x k -++=+=+=-=+，BQ DQ k k ∴=，故点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证AQ CQ k k =,即点A ，C ，Q 三点共线，即直线AC 经过点(0,1)Q ，故直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;（3）由（2）可知()()()()22222212121212AC x x y y x x k x x =++-=++-()()2221212124x x k x x x x ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦()()22222222221616244121212k k k k k k ⎡⎤⋅⋅⎢⎥=+-⨯⎢⎥+++⎣⎦42242424106116161441441k k k k k k k ⎡⎤⋅+-=⨯=⨯+⎢⎥++++⎣⎦令261t k =-，则216t k +=，又由()22216424120k k ∆=-⨯⨯+>得232k >，所以8t >，22216991611611681611844166t t AC t t t t t t ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=+=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎛⎫ ⎪+++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭，设216168,()()1h t h t t t t'==-++，(8,)t ∈+∞时，()0h t '>恒成立，168t t ∴++在(8,)t ∈+∞上单调递增，16818t t∴++>，9101628t t ∴<<++，93111628t t∴<+<++，21624AC ∴<<，4AC ∴<<例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，椭圆2:16x E +214y =.设点P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(1)求OQ OP的值；(2)求ABQ 面积的最大值.【解析】（1）设()00OQP x y OPλ=，，，由题意知()00Q x y λλ--，.因为220014x y +=，又()()22001164x y λλ--+=，即22200()144λ+=x y ，所以2λ=，即2OQ OP=.（2）由(1)知，ABQ 的面积为3OAB S ，设()()1122A x y B x y ，，，.将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得()2221484160k x kmx m +++-=，由Δ0>，可得22416m k <+，①则有212122284161414km m x x x x k k -+=-=++，.所以12x x -=.因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0m ，，所以OAB 的面积1212S m x x =-==.设2214m t k=+，将y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得()222148440k x kmx m +++-=，由Δ0 ，可得2214m k + ，②由(1)(2)可知01t <，因此S ==，故S ，当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值.所以ABQ 面积的最大值为.例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切.。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题圆锥曲线

高考数学高三模拟考试试卷压轴题圆锥曲线

高考数学高三模拟考试试卷压轴题圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳：【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。

中的24类；分门别类按套路求解；1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。

第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————；2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：;——————————————————————————————————————；3.圆锥曲线题固定步骤前9步：；；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————；4.圆锥曲线题题型一：弦长问题的固定套路：STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾股定理：图示：；公式为：；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；（2）中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法”，结论：中点弦公式：椭圆：（公式一）；（公式二）；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）；（公式二）；抛物线：形式一：___________；（公式一）；（公式二）；形式2：___________；（公式一）；（公式二）；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;得公式：（公式一）；（公式二）；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;得公式：（公式一）；（公式二）；附：“点差法”步骤：抛物线：形式二：____________;“点”_______________________;_________________;“差”__________________________________;“设而不求法”______________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;得公式：（公式一）；（公式二）；法二次选：中点公式；（2）焦点弦长问题：（2法）椭圆和双曲线：（公式一）左焦点弦长：；图示：__________________;右焦点弦长：；图示：__________________;公式一适用于：__________________________;（公式二）；其中：________________;适用于：__________________________; 抛物线：形式一：________;公式一：__________________;图示：_____________________;公式一适用于：__________________________;焦点弦公式二：____________________;公式2适用于：__________________________;STEP2:除了这三种特殊弦长以外，其余弦长求解都用【弦长公式】（保底方法）；【弦长公式】3类型：【类1】___________;___________;_______________;适用于：__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于：__________________________;【类3】___________;____________;_______________;适用于：__________________________;5.圆锥曲线题题型二：中点问题的固定套路：【2法】首选方法：中点弦公式；次选：中点公式+韦达定理：；；；；6. 圆锥曲线题题型三：垂直问题的固定套路：首先看是否是2种特殊的垂直问题：（1）涉及圆的直径问题：【2法】：法一：“圆的直径式方程”____________________________________;法二：向量垂直法：____________________；____________________________________;（2）“原点张角垂直问题”首选方法：向量垂直法+韦达定理【最快！】图示：_____________________;套路：___________________；_______________________________；7．圆锥曲线题题型四：对称问题的固定套路：“结论法+代入法最快！”【2题型】（1）中心对称问题：结论一：【原点对称】_______________________________；结论二：【任意点对称】_______________________________；（2）轴对称问题：结论一：【x轴对称】_______________________________；结论二：【y轴对称】_______________________________；结论三【x=a对称】；结论四【y=b对称】：______________________；结论5【y=x对称】：__________________________；结论6【y=x对称】：_______________________________；结论7【y=x+c 对称】：___________________；结论8【y=x+c对称】：_____________________；结论9【任意直线Ax+By+C=0对称】：_______________________________；8.圆锥曲线题题型五：切线问题的固定套路：【大纲内2题型】（1）圆的切线问题：【3套路8结论】（1）“点线距等于半径”________________________；（2）斜率乘积等于1；______________；（3）勾股定理：__________________；结论：（1）【切线长公式】_______________________;（2）【圆心在原点时】_______________________;（3）【切点弦直线方程】_______________________;（4）_______________________;（5）_______________________;（6）_______________________;（7）________________________;（2）抛物线的切线问题：【导数法】（2形式）【形式一】________；____________________；【形式二】_________；__________________________；9.圆锥曲线题题型六：焦点三角形问题的固定套路：_________+___________+_____________+___________+_____________+___________+_____________;【相关结论】：【两焦半径】左焦半径_____________;右焦半径_____________;特别的，通径：______________;半通径：______________;【三边长】_____________;_____________;_____________;【周长】_____________;【两焦半径乘积】_____________;【焦点三角形面积】_____________;_____________;作用：_____________;_____________;【余弦定理式】_____________;_____________;_____________;【正弦定理式】________;【求解离心率】__________;_________;________;__________;_____;【焦点三角形中内心公式】_____________________;10.圆锥曲线题题型七：向量问题的固定套路：【平行问题，垂直问题，夹角问题这三种问题“向量法最快”！平解几中，向量问题均采用“坐标运算”最佳！】首先：坐标化【平面向量10公式】【向量平行】_____________________;【向量垂直】_____________________;【向量夹角公式】_____________________;【加减式】_____________________;【数乘式】_____________________;【向量数量积公式】_____________________;【向量模的公式】_____________________;【量模转化公式】_____________________;【向量平方差公式】_____________________;【向量完全平方公式】_____________________;11.圆锥曲线题题型八：夹角问题的固定套路：【2类】（1）定性讨论型【向量法最快！】“成锐角时《=》向量数量积>0；”“成钝角时《=》向量数量积<0；”“成直角时《=》向量数量积=0；”（2）定量计算型：【2法】（1）向量数量积公式_____________________;（2）两直线夹角公式_____________________;12.圆锥曲线题题型9：斜率问题的固定套路：方法基础：斜率3公式：_____________________;_____________________;_____________________;【凡与中点相关的斜率问题】首选：中点弦公式。

圆锥曲线大题综合：五个方程型(学生版)

圆锥曲线大题综合：五个方程型(学生版)

圆锥曲线大题综合归类：五个方程型目录重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为：x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法：双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点：直线定点 15【题型七】定点：圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型：斜率和定 26【题型十一】斜率型：斜率和 29【题型十二】斜率型：斜率比 31【题型十三】斜率型：三斜率 34【题型十四】定比分点型：a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45重难点题型归纳重难点题型归纳题型一基础型【典例分析】1已知椭圆x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0有共同的焦点，双曲线的左顶点为A-1,0，过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.(1)求双曲线和椭圆的标准方程；(2)椭圆上存在一点P x P,y P-1<x P<0,y P>0，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ，且l 经过原点时，AB =6,AF +BF =22.(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当t =4，且直线AD ,BD 的斜率分别为k 1,k 2时，求1k 1+1k 2的值.题型二直线设为：x =ty +m 型【典例分析】1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为P ，点Q 0,b ，PF 2=1，∠F 1PQ =60°.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 经过点F 2，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积为610，求直线l 的方程.1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为A，离心率为22，B为椭圆C上一动点，△FAB面积的最大值为2+1 2．(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足PM=PN，若MN=λFP，求λ的值．题型三直线无斜率不过定点设法：双变量型【典例分析】1已知抛物线：y 2=2px p >0 ，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 交于C 、D 两点，其中OA ⋅OB =-3．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB ，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB 的方程及a ；若不存在，请说明理由．1已知双曲线E 的顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且S △OFG =324.点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP ⋅OH 为定值.题型四面积最值【典例分析】1已知椭圆x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．(1)设P 点的坐标为(x 0,y 0)，证明：x 203+y 202<1；(2)求四边形ABCD 的面积的最小值．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)题型五最值与范围型【典例分析】1设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1 ⋅PF 2 =-54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2021年北京市高考数学试题题型六定点：直线定点【典例分析】1已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，四点P 12,2 ，P 20,2 ，P 3-2,2 ，P 42,2 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2=2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.题型七定点：圆过定点【典例分析】1如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上．(1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【变式演练】1已知动点P到点F1,0的距离与到直线l:x=4的距离之比为12，记点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点(异于点M)，连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【典例分析】1如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ,B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y =2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2-|MN 1|2为定值，并求此定值.【变式演练】1已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM =λQO ，QN =μQO ，求证：1λ+1μ为定值．.【典例分析】1已知直线l:x=my-1，圆C:x2+y2+4x=0.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式演练】1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2=23且双曲线E经过点A3,2．(1)求双曲线E的方程；(2)过点P2,1作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，求证：点H恒在一条定直线上．【典例分析】1已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且tan∠PFO=33.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知M1,0，N4,3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.【变式演练】1在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.【典例分析】1设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，A-2,0，B2,0分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点C6,0，当直线l经过点D-2,2时，直线l与椭圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于P，Q(异于A，B)两点，且直线AP与BQ的斜率之和为-12，求直线l的方程.【变式演练】1已知点M1,3 2在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：k MA+k MB=-1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足k PT+k QT=0(P，Q与T均不重合)？若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.【典例分析】1已知圆F 1:x 2+y 2+2x -15=0和定点F 2(1,0),P 是圆F 1上任意一点，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)设A (-2,0),B (2,0)，过F 2的直线l 交曲线E 于M ，N 两点(点M 在x 轴上方)，设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值．【变式演练】1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0，b >0)，离心率e =55，P 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为2+25.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知四边形ABCD (端点不与椭圆顶点重合)为椭圆的内接四边形，且AF 2 =λF 2C ，BF 2 =μF 2D ，若直线CD 斜率是直线AB 斜率的52倍，试问直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学(理)试题题型十三斜率型：三斜率【典例分析】1已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且P1,32在椭圆C上，PF垂直于x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B(异于点P)两点，D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，证明：点D的横坐标为定值.【变式演练】1在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2．探索1k⋅1k1+1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型十四定比分点型：a =tb【典例分析】1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，且S △ABF 1=1+32(其中A 为右顶点).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M (0,m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且PM =2MQ ，求实数m 的取值范围.【变式演练】1已知点M ，N 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点，原点O 到直线MN 的距离为32，且椭圆的离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点F 2，并且与椭圆交于A ，B 两点，若AF 2 =12F 2B ，求直线AB 的方程．题型十五切线型【典例分析】1法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，离心率e =12，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求△POH 面积的最大值.【变式演练】1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，三角形AF1F2的周长为6，面积为3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形AF2M面积的最大值．题型十六复杂的“第六个方程”【典例分析】1如图，已知点B2,1，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若E3,0，C，G是点M的轨迹在第一象限的点(C在G的右侧)，且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为152，求tan∠CEG.【变式演练】1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求SΔPAN⋅SΔPAM(SΔAOP)2的值.好题演练1(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，ON=32，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为3-2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：y=kx+m k≠0与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线l ，使得点A与点B关于直线l 对称，求△MAB的面积的取值范围.2(2023·天津南开·统考二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为255.(1)求椭圆的方程；(2)过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值.3(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l ：x =12与点F 2,0 ，过直线l 上的一动点Q 作直线PQ ⊥l ，且点P 满足PF +2PQ ⋅PF -2PQ =0．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作直线与C 交于A ，B 两点，设M -1,0 ，直线AM 与直线l 相交于点N ．试问：直线BN 是否经过x 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．4(2023·北京东城·统考二模)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点M (1,2)．(1)设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．5(2023·四川自贡·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22，设A 62,12 ，B -62,12，P 0,2 ，其中A ，B 两点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线交椭圆C 于M ，N 两点(M 在线段AB 上方)，在AN 上取一点H ，连接MH 交线段AB 于T ，若T 为MH 的中点，证明：直线MH 的斜率为定值．6(2023·江西赣州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，F 1(-1,0)，F 2(1,0)，点P 为平面内的动点，且满足∠F 1PF 2=2θ，PF 1 ⋅PF 2 cos 2θ=2．(1)求PF 1 +PF 2 的值，并求出点P 的轨迹E 的方程；(2)过F 1作直线l 与E 交于A 、B 两点，B 关于原点O 的对称点为点C ，直线AF 2与直线CF 1的交点为T ．当直线l 的斜率和直线OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线l 的方程．7(2023·四川乐山·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，短轴长等于焦距．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线交C 于P ，Q ，交直线x =22于点N ，记OP ，OQ ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若(k 1+k 2)k 3=1，求|OP |2+|OQ |2的值．8(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 与椭圆C 2：x 22+y 2=1的离心率相等，C 1的焦距是22．(1)求C 1的标准方程；(2)P 为直线l ：x =4上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线C 1的交点A ，B 满足PA PB =AT TB？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．。

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超强圆锥曲线结论总结结论1:过圆2222x y a +=上任意点P 作圆222x y a +=的两条切线,则两条切线垂直.结论2:过圆2222x y a b +=+上任意点P 作⿰木阴圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,则两条切线垂直.结论3:过圆2222(0)x y a b a b +=->>上任意点P 作双曲线22221x y a b-=的两条切线,则两条切线垂直.结论4:过圆222x y a +=上任意不同两点,A B 作圆的切线,如果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆:2222x y a +=.结论5:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意不同两点,A B 作椭圆的切线,如果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=+.结论6:过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>上任意不同两点,A B 作双曲线的切线,如果切线垂直.且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=-.结论7：点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上,过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y ya b+= 结论8:点()00,M x y 在椭圆22221 0x y a b a b+=>>（）外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为 ,A B 则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b+=. 结论8:(补充)点()00,M x y 在椭圆22221 0x y a b a b+=>>（）内,过点M 作椭圆的弦AB (不过椭圆中心),分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:00221x x y ya b+=. 结论9:点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上,过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y ya b-= 结论10:点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b-=. 结论10:（补充）点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心),分别过,A B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:00221x x y ya b-= 结论11:点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>上,过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+.结论12:点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+.结论12:（补充）点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>内，过点M 作抛物线的弦AB ,分别过,A B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()00y y p x x =+.结论13:点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b--+=上,过点M 作椭圆的切线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b ----+=结论14:点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b---=上,过点M 作双曲线的切线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b -----=结论15:点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-上,过点M 作抛物线的切线方程为()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论16:点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b --+=外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b ----+=.结论17:点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b---=外,过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线方程为()()0022()() 1.x m x m y n y n ab-----=结论18:点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-外,过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论16:（补充）点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b --+=内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心）,分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()0022()()1x m x m y n y n ab----+=.结论17:(补充)点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b ---=内,过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心),分别过,A B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()0022()()1x m x m y n y n ab-----=结论18:(补充)点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-内,过点M 作抛物线的弦AB ,分别过,A B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论19:过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ,且MF 垂直切点弦AB .结论20:过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论21:过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论22:AB 为椭圆的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论23:AB 为双曲线的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论24:AB 为抛物线的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在准线上.结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是通径.结论26:点M 是双曲线准线与实轴的交点,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是通径.结论27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点,过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是其通径.结论28：过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上任意一点(,0)(0)M m m ->作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 所在的直线必过点(,0)N m .结论29:过椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的对称轴上任意一点(,)M m n 作⿰木阴圆的两条切线,切点分别为,A B .(1)当0,||n m a =>时，则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭; (2)当0,||m n b =>时，则切点弦AB 所在的直线必过点20,b Q n ⎛⎫⎪⎝⎭.结论30:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴上任意一点(,0)(||)M m m a <作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭. 结论31：过抛物线22(0)y px p =>外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ,弦AB 的中点为N ,则直线MN 必与其对称轴平行.结论32:若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>共焦点,则在它们交点处的切线相互垂直.结论33:过椭圆外一定点P 作其一条割线,交点为,A B ,则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论34:过双曲线外一定点P 作其一条割线,交点为,A B 则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论35:过抛物线外一定点P 作其一条割线,交点为,A B 则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论36:过双曲线外一点P 作其一条割线,交点为,A B ,过,A B 分别作双曲线的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论37:过椭圆外一点P 作其一条割线,交点为,A B 过,A B 分别作椭圆的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论38:过抛物线外一点P 作其一条割线,交点为,A B ,过,A B 分别作抛物线的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论39:从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点向椭圆的动切线引垂线,则垂足的轨迹为圆:222x y a +=.结论40:从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点向双曲线的动切线引垂线,则垂足的轨迹为圆:222x y a +=.结论41:F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点,M 是椭圆上任意一点,则焦半径[,]MF a c a c ∈-+.结论42:F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点,M 是双曲线上任意一点.(1)当点M 在双曲线右支上,则焦半径MF c a ≥-;(2)当点M 在双曲线左支上,则焦半径MF c a ≥+.结论43:F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,M 是抛物线上任意一点,则焦半径022p p MF x =+≥. 结论44:椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角)，亦即椭圆的光学性质.结论45：双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角),亦即双曲线的光学性质.结论46:抛物线上任一点M 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角,亦即抛物线的光学性质.结论47:椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ,且MF PQ ⊥. 结论48:双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ,且MF PQ ⊥. 结论49:抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ,且MF PQ ⊥.结论50:椭圆上任一点P 处的切线交准线于,M P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ,则MQ 必与该椭圆相切,且MF PQ ⊥.结论51:双曲线上任一点P 处的切线交准线于,M P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ,则MQ 必与该双曲线相切，且MF PQ ⊥.结论52:抛物线上任一点P 处的切线交准线于,M P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ,则MQ 必与该抛物线相切，且MF PQ ⊥.结论53:焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标(纵坐标)成等差数列.结论54:焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论55:焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论56:椭圆上一个焦点2F 关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ,则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点1F .结论57:双曲线上一个焦点2F 关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ,则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点1F .结论58:椭圆上任一点P (非顶点),过P 的切线和法线分别与短轴相交于£, ?Q S 则有,,P Q S 及两个焦点共于一圆上.结论59:双曲线上任一点P （非顶点)，过P 的切线和法线分别与短轴相交于,Q S ,则有,P Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论60:椭圆上任一点P (非顶点)处的切线与过长轴两个顶点,A A '的切线相交于,M M ',则必得到以MM '为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.结论61:双曲线上任一点P (非顶点）处的切线与过实轴两个顶点,A A '的切线相交于,M M ',则必得到以MM '为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论62:以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆. 结论63:以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆. 结论64:以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切.结论65：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点B ,B '的连线分别交x 轴（或y 轴）于,P Q ,则2P Q x x a =(或)2P Q y y a =.结论66:焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M (非顶点)与实轴的两个顶点,B B '的连线分别交y 轴（或x 轴）于,P Q ,则(2P Q y y b =-或)2P Q x x b =-.结论67:P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点),则12PF F ∆与边2PF (或1PF )相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A (或左顶点A ').结论68:P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点,则12PF F ∆的内切圆与x 轴相切于右顶点A (或左顶点A ').结论69:AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的一条弦(非通径),弦AB 的中垂线交x 轴于N ,则||2||AB NF e=. 结论70:AB 是过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的一条弦（非通径,且为单支弦),弦AB 的中垂线交x 轴于M ,则||2||AB MF e=. 结论71:AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦（非通径),弦AB 的中垂线交x 轴于M ,则||2||AB MF =. 结论72:AB 为抛物线的焦点弦，分别过,A B 作抛物线的切线,则两条切线的交点P 在其准线上.结论73:AB 为椭圆的焦点弦,分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论74:AB 为双曲线的焦点弦,分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论75:AB 为过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切.结论76:AB 为过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）.结论77:AB 为过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交,截得的圆弧度数为定值,且为12arccos e. 结论78：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切,则该曲线必为抛物线.结论79:以圆雉曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论80:以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交,则该曲线必为双曲线,此时截得的圆弧度数为定值,且为12arccose结论81:AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y ,则||AB =12x x p ++结论82:AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y ,则||AB 122a e x x =-+结论83:AB 为过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y .若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+-;若AB 为双支弦，则|12|||2AB e x x a =++ 结论84:F 为抛物线的焦点,,A B 是抛物线上不同的两点,直线AB 交其准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论85:F 为椭圆的一个焦点,,A B 是椭圆上不同的两点,直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论86:F 为双曲线的一个焦点,,A B 是双曲线上不同的两点（同一支上),直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论87:F 为双曲线的一个焦点,,A B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点),直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠.结论88:AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦,点P 是椭圆上异于,A B 的任一点,直线PA PB 、分别交相应于焦点F 的准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为42b c-.结论89:AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过焦点F 的弦,点P 是双曲线上异于,A B任一点,直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为42b c-.结论90:AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于,A B 的任一点,直线PA PB 、分别交准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为2p -.结论91:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线PA PB 、分别交直线2(0)a x m a m=<<于M N 、,则M N y y ⋅为定值,且有()2222M N b m a y y m -⋅=结论92：,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN ⋅为定值,且有()()222222a m a mb EM FN m -+-⋅=.结论93:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆上任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM ⋅为定值,且有()()222222a m a mb EN FM m -+-⋅=结论94:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则FM FN ⋅为定值,且有()()222222a m a mb FM FN m -+-⋅=结论95:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM EN ⋅为定值,且有()()2222222a mb a m EM EN m +--⋅=结论96:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则BM FN ⋅为定值,且有()()22222a m a amb BM FN m -+-⋅=结论97:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM FN ⋅为定值,且有()()22222a m a amb AM FN m ---⋅=结论98:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM BN ⋅为定值,且有()()22222a m ab AM BN m --⋅=结论99:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为双曲线上任一点（非实轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则M N y y ⋅为定值,且有()2222M N b m a y y m -⋅=.结论100:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN ⋅为定值,且有()()222222a m ab m EM FN m -++⋅=结论101:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM ⋅为定值,且有()()222222a m ab m EN FM m -++⋅=结论102:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则FM FN ⋅为定值,且有()()222222a m ab m FM FN m -+-⋅=结论103:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM EN ⋅为定值，且有()()2222222a mb a m EM EN m ++-⋅=结论104:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则BM FN ⋅为定值,且有()()22222a m ab amBM FN m -++⋅=结论105:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM FN ⋅为定值,且有()()22222a m ab amAM FN m -+-⋅=结论106:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM BN ⋅为定值,且有()()22222a m ab AM BN m -+⋅=结论107:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AP BP k k ⋅为定值,且有2221AP BP AM BNb k k k k e a⋅=⋅=-=-结论108:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AN BM k k ⋅为定值,且有2221AN BM b k k e a ⋅=-=-结论109:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM AN k k ⋅为定值,且有()21AM AN a m k k e a m+⋅=--结论110:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则BM BN k k ⋅为定值，且有()21BM BN a m k k e a m-⋅=-+结论111:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为椭圆任一点(非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN k k ⋅为定值,且有222EM FNb k k a m ⋅=-+结论112:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为椭圆任一点(非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则EN FM k k ⋅为定值,结论113:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的任一直径（中心弦),P 为椭圆上任一点(不与,A B 点重合),则PA PB k k ⋅为定值,且有2221PA PBb k k e a⋅=-=-结论114:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦(不过原点且不与对称轴平行),M为弦AB 的中点,若OM k 与AB k 均存在,则OM AB k k ⋅为定值,且有2221OM ABb k k e a⋅=-=-结论115:AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦(不与对称轴平行),若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ,则有2221PQ ABb k k e a⋅=-=-结论116:过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点(P 不是其顶点)作椭圆的切线PA ,则有2221PA OPb k k e a⋅=-=-结论117:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m a m a -<<,过F 的弦的端点为A ,B ,过点A ,B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为,DC ,直线2a x m=与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论118:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m m c =±,过F 任作一条弦,AB E 为椭圆上任一点,连接,AE BE ,且分别与准线2a x m =相交于,P Q ,则有1FP FQ k k ⋅=-结论119:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),(,0)F m a m a m -<<≠,过F 任作一条弦,AB E 为椭圆上任一点,连接AE BE 、,且分别与直线2a x m =相交于,P Q ,则有222FP FQb k k m a⋅=- 结论120:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AP BP k k ⋅为定值,且有2221AP BP AM BNb k k k k e a⋅=⋅=-=结论121:,A B 为双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AN BM k k ⋅为定值,且有21AN BM k k e ⋅=-结论122:,A B 双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AM AN k k ⋅为定值,且有()21AM AN a m k k e a m+⋅=--结论123:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线AP BP 、分别交直线2a x m =于M N 、,则BM BN k k ⋅为定值,且有()21BM BN a m k k e a m-⋅=-+结论124:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN k k ⋅为定值,且有222EM FNb k k a m ⋅=+ 结论125:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM k k ⋅为定值,且有222EN FMb k k a m⋅=+ 结论126:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的任一直径,P 为双曲线上任一点(不与,A B 点重合),则PA PB k k ⋅为定值,且有2221PA PBb k k e a⋅==- 结论127:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的任一弦(不过原点且不与对称轴平行),M 为弦AB 的中点,若OM k 与AB k 均存在,则AB OM k k ⋅为定值,且有22AB OMb k k a⋅= 结论128:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的任一弦(不与对称轴平行),若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ,则有2221AB PQb k k e a⋅==- 结论129:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P (不是其顶点)作双曲线的切线PA ,则有2221PA OPb k k e a⋅==- 结论130:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),(F m m a >或)m a <-,过F 的弦的䇄山端点为,A B ,过,A B 分别作直线2a x m =的垂线,垂足分别为,D C ,直线2a x m=与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论131:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m c =±,过F 任作一条弦AB ,E 为双曲线上任一点,连接,AE BE ,且分别与准线2a x m =相交于,P Q ,则有1FP FQ k k ⋅=- 结论132:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),(F m m a >或)m a <-,过F 任作一条弦,AB E 为双曲线上任一点,连接,AE BE ,且分别与直线2a x m =相交于,P Q ,则有222FP FQb k k a m ⋅=- 结论133:抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >,过F 的弦的端点为,A B 过A ,B分别作直线x m =-的垂线,垂足分别为,D C ,直线x m =-与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论134:抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),2p F m m ⎛⎫=⎪⎝⎭,过F 任作一条弦,AB E 为抛物线上任一点,连接AE BE 、,分别与准线x m =-相交,P Q ,则1FP FQ k k ⋅=-结论135：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >,过F 任作一条弦,AB E 为抛物线上任一点,连接AE BE 、分别与直线x m =-相交,P Q ,则2FP FQ p k k m⋅=-结论136:过抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的弦（焦点弦）与抛物线相交于A ,B ,过B 作直线BC 与x 轴平行,且交准线于C ,则直线AC 必过原点（即其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点).结论137:AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦,其相应的准线与x 轴交点为E ,过A ,B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于,M N ,则直线,AN BM 均过线段EF 的中点.结论138:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的弦,其相应的准线与x 轴交点为E ,过A ,B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于,M N ,则直线,AN BM 均过线段EF 的中点.结论139:过圆锥物线(可以是非标准状态下)焦点弦的一个䇄山端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个弦的端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论140:AB 为垂直于椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b+=>>≠长轴上的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该椭圆上.结论141:AB 为垂直于双曲线2222(0)x y a bλλ-=≠实轴的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该双曲线上.结论142:AB 为垂直于抛物线2y tx =或()2(0)x ty t =≠对称轴的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该抛物线上.结论143:AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线)）的动弦，其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该圆锥曲线上.结论144:圆锥曲线的焦点弦AM (不为通径,若双曲线则为单支弦),则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠.结论145：过F 任作圆锥曲线的一条弦AB (若是双曲线则为单支弦),分别过,A B 作准线l 的垂线(Q 是其相应准线与x 轴的交点),垂足为11A B 、,则直线1AB 与直线1A B 都经过QF 的中点K ,即A 、1K B 、及1B K A 、、三点共线.结论146:若AM BM 、是圆锥曲线过点F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴(双曲线）或对称轴（抛物线）),则四线1111AM BN NB MA 、、、共点于K .结论147:,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点和左顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于,M N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个定点,且椭圆外定点为2,0a Q m ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及椭圆内定点为2,0a R m ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭结论148:,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点和左顶点,P 为双曲线上任一点（非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2()a x m a m=>于,M N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个定点,且双曲线内定点为2,0a Q m ⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及双曲线外定点为2,0a R m ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭结论149:过直线(0)x m m =≠上但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且有()22222AB MN b m k k a a m ⋅=-.结论150:过直线(0)x m m =≠上但在双曲线222210,0) (x y a b a b-=>>外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫⎪⎝⎭,且有()22222AB MNb m k k a m a⋅=-. 结论151:过直线 0x m m =≠（）上但在抛物线22(0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域)一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点(,0)N m -,且有2AB MN pk k m⋅=结论152:设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上)，过点M 向圆锥曲线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM AB ⊥.结论153:过直线1mx ny +=上但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B 则直线AB 必过定点()22,N ma nb .结论154:过直线1mx ny +=上但在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外(即双曲线中心所在区域)一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点()22,N ma nb .结论155:过直线10 mx ny m +=≠）（上但在抛物线22(0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结论156:,A B ,是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,点P 是直线(||,0)x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上),直线PA 及PB 分别与椭圆相交于,M N ,则直线MN 必与x轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.结论157:,A B 是在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,点P 是直线(||,0)x t t a t =≠≠上的一个动点(P 不在双曲线上),直线PA 及PB 分别与双曲线相交于,M N ,则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 结论158:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若直线AB 过定点(2,0)N p ,则OA OB ⊥，且A ,B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论159:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,则直线AB 必过定点(2,0)N p ,且,A B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论160:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,过O 作OM AB ⊥,则动点M 的轨迹方程为2220(0)x y px x +-=≠.结论161:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,则()2min 4AOB S p ∆=结论162:过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则MA MB⊥的充要条件是直线AB 过定点()002,N x p y +-结论163:过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则(0)MA MB k k λλ=≠的充要条件是直线AB 过定点002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结论164:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点2222002222,a b b a N x y a b a b ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭特别地,(1)当M 为左、右顶点时,即00,0x a y =±=时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()2222,0a a b N a b ⎛⎫±- ⎪ ⎪+⎝⎭。

重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总(学生版)

重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总(学生版)

重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总题型1直接型题型2二级结论之通径型题型3双曲线渐近线相关题型4坐标法题型5二级结论之焦点弦定比分点题型6二级结论之焦点已知底角题型7焦点三角形已知顶角型题型8焦点三角形双余弦定理题型9利用图形求离心率题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率题型11点差法题型12二级结论之中点弦问题题型13角平分线相关题型14圆锥曲线与圆相关题型15内切圆相关题型16与立体几何相关题型17二级结论之切线方程题型18正切公式的运用题型19圆锥曲与内心结合题型1直接型椭圆与双曲线的离心率公式为：e =ca，注意椭圆的离心率范围(0,1)，双曲线的离心率范围(1，+♾)1(2021·江西南昌·统考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，且AB ⋅AF 1 =0，12|AB |=5|AF 1|，则C 的离心率为1(2021·全国·高三开学考试)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为.2(2021·河北秦皇岛·统考二模)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，已知AF 2 +F 1F 2 ⋅AF 1 =0，AF 1 =43F 1B，则椭圆C 的离心率为()A.57B.22C.53D.133(2023·江西九江·二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P ，盘子的中心为O ，筷子与大椭圆的两交点为A 、B ，点A 关于O 的对称点为C ．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③PA =PB ；④BC 与小椭圆相切.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.44(22·23下·恩施·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24-y 2b2=1b >0 的左右焦点，且F 1到渐近线的距离为1，过F 2的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ,B 两点，且l ⊥AF 1，则下列说法正确的为()A.△AF 1F 2的面积为2B.双曲线C 的离心率为2C.AF 1 ⋅BF 1=10+46D.1AF 2 +1BF 2=6+2题型2二级结论之通径型椭圆与双曲线的半通径是b 2a , 通径是2b 2a1(2023·重庆·模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ ⊥y 轴，四边形F 1APQ 是等腰梯形，直线F 1P 与y 轴交于点N 0,34b，则椭圆的离心率为( )．A.14B.32C.22D.121(23·24高三上·湖北·阶段练习)已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．2(2023·湖北武汉·三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，点F 为椭圆C 的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF 垂直于x 轴.过原点О作直线PA 的垂线，垂足为M ，过原点О作直线PB 的垂线，垂足为N ，记S 1，S 2分别为△MON ，△PAB 的面积.若S 2S 1=409，则椭圆C 的离心率为.3(22·23·赣州·二模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在E 上，满足△F 1PF 2为直角三角形，作OM ⊥PF 1于点M (其中O 为坐标原点)，且有PM =2MF1，则E 的离心率为．4(2023·河北保定·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O 为坐标原点，OM 交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为() A.2B.2C.3D.233题型3双曲线渐近线相关双曲线的渐近线求离心率可以直接使用公式：e =1+b 2a2，1(2023·山东潍坊·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条浙近线的垂线，垂足为D ，且DF 2 =22OD ，则C 的离心率为()A.2B.2C.5D.31(2022·贵州毕节·统考模拟预测)已知F 1，F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，过点F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，且PO 平分∠APM ，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.32(多选)(2023·山东潍坊·三模)函数y =ax +bx(ab >0)的图象是双曲线，且直线x =0和y =ax 是它的渐近线．已知函数y =33x +1x，则下列说法正确的是()A.x ≠0，y ≥243B.对称轴方程是y =3x ,y =-33x C.实轴长为23D.离心率为2333(2020上·广西桂林·高三广西师范大学附属中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若tan ∠MAF =12，则C 的离心率为.4(2022·陕西咸阳·统考二模)已知双曲线C ：(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与另一条渐近线交于点P ，交y 轴于点A ，若A 为PF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .5(多选)(2023·河北唐山·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 24=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线y =2a x 的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且∠F 1PO =π6，过P 作C 的切线交直线y =-2ax 于点Q ，则()A.C 的离心率为213B.C 的离心率为133C.△OPQ 的面积为23D.△OPQ 的面积为43题型4坐标法相对运算较麻烦的一种方法，可以通过联立方程，求出点的坐标，构造等式求出离心率1(2023·河南·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点为A ，P 为C 的一条渐近线上一点，AP 与C 的另一条渐近线交于点Q ，若直线AP 的斜率为1，且A 为PQ 的三等分点，则C 的离心率为．1(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 的直线交E 的左支于点P ，交E 的渐近线于点M ，N ，且P ，M 恰为线段FN 的三等分点，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.5D.32(24·25高三上·浙江·开学考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若PF AB=14，则椭圆C 的离心率e =．3(2023·湖北襄阳·模拟预测)如图，已知有公共焦点P 1(-c ,0)、P 2(c ,0)的椭圆C 1和双曲线C 2相交于A 、B 、C 、D 四个点，且满足OA =OB =OC =OD =c ，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=2，则椭圆C 1的离心率为.4(22·23高三上·河南洛阳·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且F 1F 2 =2OB (O 为坐标原点).下列四个结论正确的是()①BF 1 =4c 2-BF 2 2；②若AB =2F 1A ，则双曲线C 的离心率1+102；③BF 1 -BF 2 >2a ；④c -a <AF 1 <2c -a .A.①②B.①③C.①②④D.①③④5(22·23高三上·河北石家庄·期中)椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交C 于A ，B 两点，若3OF 1 =OA +2OB ，AB =BF 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率为题型5二级结论之焦点弦定比分点1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.324(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.32题型6二级结论之焦点已知底角1. 已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =c a =sin (α+β)sin α+sin β2. 已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则e =ca =sin α+sin β|sin α-sin β|，1(2008·全国·高考真题)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120°，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线的离心率为()A.1+22 B.1+32C.1+2D.1+31(2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c ，若直线y =3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于()A.3-1B.2-1C.32D.222(2020秋·贵州贵阳·高二统考期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =33x +c 与椭圆的一个交点M 满足∠MF 2F 1=2∠MF 1F 2，则该椭圆的离心率等于()A.3-5B.5-3C.3+1D.3-13(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1，F 2，点Р为椭圆上一点，且tan ∠PF 1F 2=23，tan ∠PF 2F 1=2，则椭圆E 的离心率为 .4(2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P 是双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为．5(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点，点A 是双曲线C 的右顶点，点P 在过点A 且斜率为334的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 2F 1=120°，则双曲线的离心率为.题型7焦点三角形已知顶角型可以通过焦点三角形的特征进行解决1(20·21高二上·吉林白城·阶段练习)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率e 2，则1e 21+3e 22=.1(2021·重庆·校联考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若PF 2 2=PF 2 ⋅QF 2，且△PQF 2的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为() A.102B.3C.5D.222(2021·山东烟台·统考二模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若F 2A ⋅F 2B =0，且|F 2A |=|F 2B|，则C 的离心率为()A.2B.3C.6D.73(2021·浙江·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，直线y =kx 与E 交于A ，B 两点，且∠F 1AF 2=60°，四边形F 1AF 2B 的周长C 与面积S 满足163S =C 2，则E 的离心率为()A.62B.52C.32D.34(2023·上海崇明·一模)已知椭圆Γ1与双曲线Γ2的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点F 1、F 2，P是Γ1与Γ2在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=π6时，双曲线Γ2的离心率等于 .5(2022上·江苏南京·高三南京师大附中校考期中)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 2且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若△F 1PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为.题型8焦点三角形双余弦定理1(22·23高二下·河南安阳·开学考试)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，MF 2 -MF 1 =a ,MF 1 +NF 1 =NF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.25B.105C.155D.641(22·23上·河南·模拟预测)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，且AF 2 =2F 2B，∠ABF 1=60°，则双曲线C 的离心率为()A.73B.2C.53D.432(2023·浙江·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A ，B 为C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1⎳BF 2，∠AF 1F 2=60°．记AF 2，BF 1交点为P ，过点P 作PQ ⎳AF 1，交x 轴于点Q ．若OQ =2PQ ，则双曲线C 的离心率是．3(23·24高三上·江苏淮安·开学考试)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，直线AF 1与椭圆C 交于另一点B ，若∠AF 2B =120°，则椭圆C 的离心率为．4(22·23高三下·山东菏泽·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，BF 2 =35BA，则C 的离心率为．5(2023·湖南株洲·一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PF 1 =43F 1Q ，且PF 2 =F 1F 2，则椭圆C 的离心率为．题型9利用图形求离心率1(2023·安徽安庆·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支相交于点P ，过点O ,F 2作ON ⊥PF 1,F 2M ⊥PF 1，垂足分别为N ,M ，且M 为线段PN 的中点，ON =a ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.5+12C.3+12D.1321(22·23·包头·二模)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，以C 的虚轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的渐近线y =-b a x 交于点H ，若△F 1HO 的面积为24ac ，则C 的离心率为．2(2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0 的左焦点为F ，直线FD 与双曲线C 的右支交于点D ，A ，B 为线段FD 的两个三等分点，且OA =OB =22a (O为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为.3(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，A 是C 的上顶点，点P 在过A 且斜率为23的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 1F 2=120°，则C 的离心率为()A.1010B.714C.39D.144(2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测)已知椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，且△ABO ∼△F 1PF 2,O 为坐标原点，则椭圆的离心率为.题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率1(22·23高二下·湖南·期末)如图，已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的左､右焦点，P ,Q 为双曲线C 上两点，满足F 1P ∥F 2Q ，且F 2Q =F 2P =3F 1P ，则双曲线C 的离心率为()A.105B.52C.153D.1021(2023·河南商丘·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M ,N 是C 的一条渐近线上的两点，且MN =2MO(O 为坐标原点)，MN =F 1F 2 .若P 为C 的左顶点，且∠MPN =135°，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.5D.72(2023·福建宁德·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点是F ，直线y =kx 交椭圆于A ,B 两点﹐直线AF 与椭圆的另一个交点为C ，若OA OF=AF2CF =1，则椭圆的离心率为．3(23·24高三上·山西大同·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点P (3c ,0)作直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，若PM =2NM ，F 2M =4F 2N则椭圆C 的离心率为4(2022·全国·校联考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得PF 2 =λF 2Q 0<λ<1 ．A 为左支上一点且满足F 1A +F 2P=0 ，F 1F 2 =23AF 2 +13AQ ，△AF 2P 的面积为b 2，则双曲线C 的离心率为()A.33B.2C.102D.35(2021下·山西·高三校联考阶段练习)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |=2|FR |，则E 的离心率为()A.174B.173C.214D.213题型11点差法1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆(或双曲线)方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆(或双曲线)方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两个不同的点M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，x 21a 2+y 21b 2=1,=1\*GB 3\*MERGEFORMAT ①x 22a 2+y 22b 2=1,=2\*GB 3\*MERGEFORMAT ② 由①-②，得1a 2(x 21-x 22)+1b 2(y 21-y 22)=0，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2·x 0y 0，(x 1-x 2≠0，x 1+x 2≠0)1(22·23·吉安·一模)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点P 1,1 ，满足AP =2PC ，BP =2PD ，若直线AB 的斜率为-14，则椭圆的离心率等于()A.14B.32C.12D.131(2023·湖北·模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知AB =2BD ，则e =．2(2022下·云南昭通·高二校联考期末)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)斜率为-18的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，P 点的坐标为(-1,2)，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ，如图1.若直线CD 的斜率为-18，则E 的离心率为()A.2B.72C.62D.523(22·23·河北·模拟预测)已知斜率为-2的直线l 1与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右两支分别交于点A ，B ，l 2⎳l 1，直线l 2与E 的左、右两支分别交于点D ，C ，AC 交BD 于点P ，若点P 恒在直线l :y =-3x 上，则E 的离心率为.4(2023·云南·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)(b >c )和上顶点B ，若斜率为65的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，且满足FB +FP +FQ =0 ，则椭圆的离心率为.5(2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若AM =34AP，则椭圆C 的离心率是.题型12二级结论之中点弦问题1.椭圆或者双曲线，已知中点时，当椭圆或双曲线的焦点在x 轴，K AB ∙K OM =e 2-12.P 为椭圆上一点，e 为离心率，①A 1，A 2为两个顶点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；②A 1，A 2为关于原点对称的两点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；以上结论也适用于双曲线.1(22·23上·徐州·期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点(异于点A ，B )，直线BP 交x 轴于点D ．若直线AP ，BP 的斜率之积为49，且∠BDO =∠BOD ，则椭圆C 的离心率为．1(22·23下·安徽·一模)已知直线l 与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于M ,N 两点，线段MN 中点P 在直线x =-1上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q -34,0 ，则椭圆E 的离心率是 .2(2023·贵州·模拟预测)设О为坐标原点，A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一个动点，过点A 作椭圆C 内部的圆E ：x 2-2mx +y 2=0m >0 的一条切线，切点为D ，与椭圆C 的另一个交点为B ，D 为AB 的中点，若OD 的斜率与DE 的斜率之积为2，则C 的离心率为.3(2021·全国·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为4，上顶点为B ，O 为坐标原点，点D 为OB 的中点，双曲线E ：x 2m 2-y 2n2=1(m >0，n >0)的左､右焦点分别与椭圆C 的左､右顶点A 1，A 2重合，点P 是双曲线E 与椭圆C 在第一象限的交点，且A 1，P ，D 三点共线，直线PA 2的斜率k PA 2=-43，则双曲线E 的离心率为()A.355B.32C.810-105D.5+41094(22·23下·南通·阶段练习)已知两点A ，M 在双曲C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右支上，点A 与点B 关于原点对称，BM 交y 轴于点N ，若AB ⊥AM ，且ON 2+8OA ⋅ON=0，则双曲线C 的离心率为()A.5B.6C.7D.22题型13角平分线相关1.角平分线“拆”面积：S △ABC =S △ACD +S △ABD2.角平分线定理性质：AB BD =ACCD1(22·23下·山西·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线E 上一点，PF 2⊥F 1F 2，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点Q ，S △PF 1Q S △PF 2Q=53，则双曲线E 的离心率为()A.2B.2C.52D.31(22·23下·湖北·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.22(22·23高三·云南·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x =a 交于点M ，∠PFB 的角平分线与直线x =a 交于点N ，若PF ⊥AB ，△MAB 的面积是△NFB 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是.3(2023·山东烟台·校考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 是C 与圆x 2+y 2=c 2的交点，∠PF 1F 2的平分线交PF 2于Q ，若PQ =12QF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.33B.2-1C.22D.3-14(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2．椭圆C 在第一象限存在点M ，使得MF 1 =F 1F 2 ，直线F 1M 与y 轴交于点A ，且F 2A 是∠MF 2F 1的角平分线，则椭圆C 的离心率为()A.6-12B.5-12C.12D.3-12题型14圆锥曲线与圆相关1(2023·福建漳州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M .若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3-12B.12C.3+14D.7-121(23·24高三上·福建福州·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M ．若BM与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3+12B.32C.5+12D.7+122(2023·全国·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右顶点分别是A 1，A 2，圆x 2+y 2=a 2与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P .设△MPA 2的内切圆圆心为I ,A 2I ⊥x 轴，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.53(22·23·马鞍山·三模)已知F 1 ， F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1 (a >0 ， b >0)的左，右焦点，点M 在双曲线上，MF 1⊥MF 2，圆O :x 2+y 2=32(a 2+b 2)，直线MF 1与圆O 相交于A ,B 两点，直线MF 2与圆O 相交于P ,Q 两点，若四边形APBQ 的面积为27b 2，则C 的离心率为()A.62B.324C.32D.984(22·23上·全国·阶段练习)已知圆C 1:x 2+y -2332=163过双曲线C 2:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点F 1，F 2，曲线C 1与曲线C 2在第一象限的交点为M ，若MF 1 ⋅MF 2 =12，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.3C.2D.3题型15内切圆相关1(22·23高三下·江西·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.点P 在C 上且位于第一象限，圆O 1与线段F 1P 的延长线，线段PF 2以及x 轴均相切，△PF 1F 2的内切圆为圆O 2.若圆O 1与圆O 2外切，且圆O 1与圆O 2的面积之比为9，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.742(22·23下·宁波·阶段练习)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I 为△PF 1F 2的内心，记直线OP ,OI 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1=32k 2，则椭圆E 的离心率为() A.13B.12C.33D.223(23·24高三上·云南昆明·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0(c >0)，过F 1作倾斜角为π4的直线交椭圆于A ,B 两点，若△ABF 2的内切圆半径r =26c ，则该椭圆的离心率为．4(2023·山西·二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，点M x 0,y 0 x 0>c 是C 上一点，点A 是直线MF 2与y 轴的交点，△AMF 1的内切圆与MF 1相切于点N ，若|MN |=2F 1F 2 ，则椭圆C 的离心率e =．5(22·23·红河·一模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若E 上存在点P ，满足OP =12F 1F 2 ，(O 为坐标原点)，且△PF 1F 2的内切圆的半径等于a ，则E 的离心率为．题型16与立体几何相关1(2023·安徽安庆·一模).如图是数学家Ger min al Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为4和1，球心距O 1O 2 =6，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，(E ，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于()A.339B.63C.22D.161(22·23高三下·河北衡水·阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2作直线AB ⊥F 1F 2交C 于A ,B 两点. 现将C 所在平面沿直线F 1F 2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ,B 两点的对应点分别为A ,B ，且∠A F 1B =β⋅若1-cos α1-cos β=2516，则C 的离心率为()A.3B.22C.3D.322(2023·云南大理·模拟预测)某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM (图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF 卷后为圆柱O 1O 2的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以O 为坐标原点的平面直角坐标系，设P x ,y 为裁剪曲线上的点，作PH ⊥x 轴，垂足为H ．图乙中线段OH 卷后形成的圆弧OH (图甲)，通过同学们的计算发现y 与x 之间满足关系式y =3-3cos x3(0≤x <6π)，现在另外一个纸板上画出曲线y =1-cos x2(0≤x <4π)，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为()A.255B.55C.12D.533(2022·辽宁沈阳·一模)如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.4(22·23下·辽宁·阶段练习)如图所示圆锥，C 为母线SB 的中点，点O 为底面圆心，AB 为底面圆的直径，且SC ，OB ，SB 的长度成等比数列，一个平面过A ，C ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．5(多选)(2023·江苏南通·模拟预测)如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β题型17二级结论之切线方程圆锥曲线切线方程的常用结论【结论1】(1)经过圆x 2+y 2=r 2上一点M x 0,y 0 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2．(2)当M x 0,y 0 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2．【结论2】(1)若圆心不在原点，圆的方程：x -a 2+y -b 2=r 2，若M x 0,y 0 为圆上一点，则过M x 0,y 0 切线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2(2)若M x 0,y 0 在圆外，过M 点切线有两条：切点弦所在直线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．【结论3】(1)过圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x a2+y 0yb 2=1．(3)设过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 外一点M x 0 , y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2+y 1yb 2=1，x 2x a 2+y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2+y 1y 0b 2=1，x 2x 0a 2+y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2+y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论4】(1)过圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为y 0y a 2+x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为y 0y a 2+x 0xb2=1．【结论5】(1)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为x 0x a 2-y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：x 0x a2-y 0yb2=1．(3)设过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 外一点M x 0,y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2-y 1yb 2=1 , x 2x a 2-y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2-y 1y 0b 2=1 , x 2x 0a 2-y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2-y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论6】(1)过双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为y 0y a 2-x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：y 0y a 2-x 0xb2=1．1(2023·重庆·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A x 1,y 1 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B ，若cos ∠F 1AF 2=12，且F 1B =2BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.22B.5C.2D.31(22·23高三上·全国·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上的一点M (异于顶点)，过点M 作双曲线C 的一条切线l .若双曲线C 的离心率e =233，O 为坐标原点，则直线OM 与l 的斜率之积为()A.13B.23C.32D.32(2022·全国·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与椭圆x 24+y 23=1．过椭圆上一点P -1,32作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ的中点，则双曲线C 的离心率为()。

圆锥曲线压轴大题之方法总结(学生版)

圆锥曲线压轴大题之方法总结(学生版)

圆锥曲线大题常用方法总结一、齐次化构造【例1】(2022届海南高三下检测)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左､右焦点分别为21F F 、，点()1,0-M 是椭圆的一个顶点,21MF F ∆是等腰直角三角形.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点M 分别作直线MB MA ,交椭圆于B A 、两点,设两直线的斜率分别为21k k ，,且421=+k k ,求证：直线AB 过定点.【例2】(2024河南一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左右焦点分别为21F F 、，其长轴长为6，离心率为e 且31＞e ，点D 为E 上一动点，21F DF ∆的面积的最大值为22，过()0,3-P 的直线21l l 、分别与椭圆E 交于B A 、两点（异于点P ），与直线8=x 交于N M 、两点，且N M 、两点的纵坐标之和为11．过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）问：平面内是否存在定点Q ，使得HQ 为定值？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【例3】(2022抚顺一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+，若下列四点_____中恰有三点在椭圆C 上．①()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1,23,1,1,0,1,14321P P P P ;②()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222,22,2,1,0,2,24321P P P P ．（1）从①②中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，设直线l 不经过点2P 且与椭圆C 相交于B A 、两点，直线A P 2与直线B P 2的斜率之和为1-，过坐标原点O 作AB OD ⊥，垂足为D （若直线l 过原点O ，则垂足D 视作与原点O 重合），证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【例4】(2023隆回一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点相同，21F F 、为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上任意一点，21F MF ∆面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不过原点的直线：m kx y +=与椭圆C 交于B A 、两点①若直线2AF 与2BF 的斜率分别为21,k k ，且021=+k k ，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；②若直线l 的斜率是直线OB OA 、斜率的等比中项，求OAB ∆面积的取值范围．【例5】(2022北京朝阳一模)已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-的离心率为3，右准线方程为33=x （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆222=+y x O ：上动点()00,y x P ()000≠y x 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点B A 、，证明AOB ∠的大小为定值．【例6】(2023岳麓区三模)已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+过点⎪⎭⎫ ⎝⎛231，A ,其长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 分别与椭圆C 交于F E 、两点，若直线AF AE 、的斜率分别为21k k ，，且221=⋅k k ．求证：直线l 恒过定点.【例7】(2022长沙模拟)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左顶点为A ,离心率为33=e ，点B 为椭圆E 上一动点，ABO ∆的面积的最大值为26.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 分别与椭圆E 交于N M 、两点（异于点A ），以MN 为直径的圆恒过点A ．求证：直线l 恒过定点.【例8】(2022⋅新高考全国Ⅰ)已知点()12，A 在双曲线()111:2222＞a a y a x C =--上，直线l 与C 交于Q P 、两点,直线AQ AP 、的斜率之和0（Ⅰ）求直线l 的斜率；（Ⅱ）若22tan =∠P AQ ,求P AQ ∆的面积.二、定比点差法【例1】（2023徐州一模）已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+的短轴长为22，离心率为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,4P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的B A 、两点，在线段AB 上取点Q ，满足PB AQ QB AP ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．【例2】（2020•武昌区一模拟）已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x M =+经过点()2,0-A ，离心率为33．（1）求椭圆M 的方程；（2）经过点()1,0E 且斜率存在的直线l 交椭圆于N Q 、两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接AB ，AN ．是否存在实数λ，使得对任意直线l ，都有AB AN k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2022昌平一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左右焦点分别为21F F 、，点P 为E 上一动点且满足421=+PF PF ，离心率为e ，且21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线21,PF PF 交椭圆于B A 、两点，A F PF 111λ=，B F PF 222λ=，证明：21λλ+为定值.三、同构转化法【例1】（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x y C =，D 为直线21-=y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A 、．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以⎪⎭⎫ ⎝⎛250、E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【例2】（2020•浙江）已知抛物线y x C =21:，圆()14:222=-+y x C 的圆心为点M ．（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于B A 、两点，若过P M 、两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．【例3】（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A 、满足PB P A 、的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆()014:22＜x y x C =+上的动点，求P AB ∆面积的取值范围．【例4】（2022慈溪市一模）已知抛物线2:ax y C =（a 是常数）过点()2,2-P ，动点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,t D ，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A 、．（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）当1=t 时，求直线AB 的方程；（3）证明：直线AB 过定点．【例5】（2022荔湾区模拟）已知直线03=+-y x 与圆04:22=+-+m y y x C 相交，截得的弦长为2．（1）求圆C 的方程．（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线2x y =相交于N M 、两点（异于原点）．证明：以MN 为直径的圆与圆C 相交．（3）若抛物线2x y =上任意三个不同的点R Q P 、、，满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．【例6】（2019天心区一模）已知椭圆()01:22221＞＞b a by a x C =+的两个焦点21F F 、，动点P 在椭圆上，且使得o PF F 9021=∠的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为22+．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线22-=x 上的动点T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为B A 、，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点D C 、，求CDAB 的取值范围．【例7】（2021大同三模）已知抛物线x y 22=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点()2,4M 为平面上的定点，点C B 、是y 轴上不同的两点．（1）求PM PF +的最小值，并求此时P 点的坐标；（2）若圆()1122=+-y x 是PBC ∆的内切圆，求PBC ∆的面积的最小值．四、非对称性韦达定理【对称韦达】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右顶点分别为B A 、，长轴长为4，离心率为21=e ．过右焦点F 的直线l 交椭圆E 于D C ,两点（均不与B A 、重合），记直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，当直线l 变动时，总有21k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【例1】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右顶点分别为B A 、，焦距为2，直线l 与椭圆交于C ，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，．①123k k =，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断21k k 是否为定值，并说明理由．【例2】如图，已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，离心率为21，B A 、分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为()0＞k k 的直线l 与椭圆相交于N M 、两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记BFN AFM ∆∆、的面积分别为21,S S ，若，5611=S S 求k 的值；（3）记直线BN AM ,的斜率分别为21k k ，，求12k k 的值．【例3】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右焦点分别为()()0,10,121F F 、-，左、右顶点分别为B A 、，()y x P ,为椭圆E 上一点，且()()4112222=++++-y x y x ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过1F 的直线与椭圆E 交于D C 、两点（其中点C 位于x 轴上方），记直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，，求211k k +的最小值．【例4】已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点T （2，0），交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记△PAT 面积为1S ，△QBT 面积为2S ，求证：21S S 为定值．【例5】已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-，焦点到渐近线2x ﹣y ＝0的距离为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为H ，当12k k 为定值31-时，问是否存在定点G ，使得GH 为定值，若存在，求此定点G ．若不存在，请说明理由．【例6】如图，O 为坐标原点，椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+的焦距等于其长半轴长，M ，N 为椭圆C 的上、下顶点，且32=MN （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P作直线l 交椭圆C 于异于M ，N 的A ，B 两点，直线AM ，BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3．。

高考圆锥曲线题型归类总结

高考圆锥曲线题型归类总结

圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题例1、动圆M 与圆C 1：()22136x y ++=内切,与圆C 2：()2214x y -+=外切,求圆心M 的轨迹方程。

例2、方程()()2222668x y x y -+-++=表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由22x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2、双曲线：由22x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题例1、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解2、12PF m PF n ==，，22m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ，求21PF F ∆的面积。

例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021=∠PF F ，31221=∆PF F S ．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+ 例2、双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13，C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；例4、已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：∆>0⇔相交∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离3、弦长公式： =AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ak ∆+=2114、圆锥曲线的中点弦问题： 1、韦达定理： 2、点差法：（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2－4y 2=4的弦AB －被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。

高考圆锥曲线压轴题型总结

高考圆锥曲线压轴题型总结

高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。

而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。

使用韦达定理时需注意成立的条件。

题型4有关定点，定值问题。

将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。

（湖北卷）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x k CD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔ ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得.231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλ计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点，第二问就作为函数思想算了，未知数一个嘛。

高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总

高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值， 于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±． （2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。

圆锥曲线题型总结：圆锥曲线常考结论题型汇总【自己整理全面】

圆锥曲线题型总结：圆锥曲线常考结论题型汇总【自己整理全面】

高考数学专题突破：圆锥曲线二级结论课题1：22a b ±结论一：若直线AB 与圆锥曲线相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则由点差法可推导得以下结论。

椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 22AB a k b k OM-=• 12222=+b x a y )0(>>b a 22AB b a k -=•OMk 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 22AB a k b k OM=• )0,0(12222>>=-b a bx a y 22AB ba k =•OMk 抛物线)0(22>=p px y M py k AB =)0(22>-=p px yMp y -k AB = )0(22>=p py xp Mx k AB =)0(22>-=p py xpMx -k AB = 【2014江西理】过点M （1，1）作斜率为﹣21的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】22 【解析】解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，∵过点M （1，1）作斜率为﹣21的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得，∴a=b ，∴=b ，∴e==22． 解法二：由22AB a -k b k OM =•，即121-•=- 22a b ，22a b = 21，e=22a-1b =22【2013新课标1理10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 【2010新课标理12】已知双曲线E 的中心为原点，P （3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N （﹣12，﹣15），则E 的方程式为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知条件易得直线l 的斜率为k=k PN =1， 设双曲线方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有，两式相减并结合x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30得=，从而==1即4b 2=5a 2，又a 2+b 2=9，解得a 2=4，b 2=5。

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用方面，我们可以寻找符合条件的等量关系和进行等价转换，数形结合。

需要注意的是，定义的适用条件也要考虑清楚。

典型例题：例1：已知动圆M与圆C1：(x+1)^2+y^2=36内切，与圆C2：(x-1)^2+y^2=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：已知方程x^2/y^2+1=1表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断焦点位置之前，需要先将圆锥曲线化成标准方程。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题：例1：已知方程x^2/a^2+y^2/b^2=1表示的焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围。

例2：已知方程9-x^2/5-y^2/k=0，求k的取值使得方程为椭圆或双曲线。

题型三：圆锥曲线焦点三角形问题圆锥曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

常用正弦、余弦定理求解。

同时，PF，PF' = n，m+n，m-n，mn，m+n这四个关系也有应用。

典型例题：例1：椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求ΔF1PF2的面积。

例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求ΔF1PF2的面积。

双曲线的标准方程为什么？题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在求离心率、渐近线时，需要利用a、b、c三者的相等或不等关系式进行计算，同时注重数形结合思想和不等式解法。

典型例题：例1：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，渐近线方程为y=(b/a)x，求a、b、c的大小关系式和渐近线的最值或范围。

高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧

高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧

高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧一、常规七大题型： （1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析一、有关圆幂定理型压轴题【方法点拨】1.相交弦定理：如下左图，圆O 的两条弦AB 、PC 相交于圆内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅.2. 切割线定理:如下右图，PT 为圆O 的切线，P AB 、PCD 为割线，则2PT PA PB =⋅（）;3.割线定理：如下右图，P AB 、PCD 为圆O 的割线，则PA PB PC PD ⋅=⋅.说明：上述三个定理可以统一为22PA PB PO R ⋅=-(其中R 是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】例1 如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点，点P 是圆O ：上的任意一点，过点作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．【答案】 【分析】从题中已知寻求P A 、PT 间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理. 【解法一】由中线长公式可得，则 (1,0)A -224x y +=(1,0)B 93221862PT PA PA+=+≥=22212()2PO PA PB AB =+-22=10PA PB +CA ODPBTPOACD，则在中，，即 所以时取等）【解法二】∵BT ⊥ AP ，∴点T 的轨迹是圆，其方程是：x 2+y 2=1，过点P 作该圆的切线PC ，C 为切点，则PC，由切割线定理得：所以时取等）.点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.在△AOM 中，由正弦定理得：OMsinA =√5，而OA ＝OM =2， 所以sinA =√5，所以tan A =2.故直线AB 的斜率为2．例3 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，222cos 2PA PB AB P PA PB+-=⋅3cos P PA PB =⋅Rt PBT ∆cos PT PB P =3PT PA=9232PA PT PA PA+=+≥=2PA =23PC PA PT =⋅=9232PA PT PA PA+=+≥=PA =其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ． 【答案】y ＝x －1【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得2133OM OA OB =+,两边平方求得AOB ∠的余弦值. 【解法一】：易知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，设BM ＝2t ，MA ＝t .如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5. 在Rt △OMH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12， 则d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1. 因为点A 在第一象限， BM →＝2MA →，由图知k ＝1， 所以所求的直线l 的方程为y ＝x －1.【解法二】由2BM MA =，设BM ＝2t ，MA ＝t又过点M 的直径被M 分成两段长为51-、51+ 由相交弦定理得()()225151t =-+，解之得2t =过原点O 作OH ⊥l 于点H ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5，解得d 2＝12，（下同解法一，略）.【解法三】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1.当直线AB 的斜率不存在时，BM →＝MA →，不符合题意． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋y 2＝5，得(1＋k 2)y 2＋2ky －4k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2k1＋k 2，y 1·y 2＝－4k 21＋k2，－y 2＝2y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2k1＋k 2，y 2＝－4k1＋k2，所以y 1·y 2＝－8k 2(1＋k 2)2＝－4k 21＋k2，即k 2＝1.又点A 在第一象限， 所以k ＝1，即直线AB 的方程为y ＝x －1.【解法四】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1.又点A在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为y ＝x －1. 点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.【巩固训练】1. 在平面直角坐标系xoy 中，M 是直线3x =上的动点，以M 为圆心的圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4，过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 .2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ．3. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222x y r +=(0)r >交于A B 、两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1P 在圆C ：22222410++-+-+=x y mx y m m 内，若存在过点P 的直线交圆C 于A 、B 两点，且△PBC 的面积是△PAC 的面积的2倍，则实数m 的取值范围为 ．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是 ．6.已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上且PA PB =，则0x 的取值范围为 .222()x m y r -+=【答案与提示】1.【答案】 2.【答案】 【解析一】作CE ⊥AB 于点E ，则 ，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴，化简得， 即cos ∠OCD ＝＝，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝，∴直线l 1的斜率为．设OD ＝t (又∴直线l 13.244164416OC ⎪⎝⎭即222225159cos 16816r r r AOB r =+∠+，整理化简得3cos 5AOB ∠=-. 5±22222221144CE BC BE BC AB BC OD =-=-=-2222215()44r m r m r -=--=222254r m m r -=-r m =CDOC 3r m=55±2m t =Rt COE ∆过点O 作AB 的垂线交AB 于D ， 则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=.又圆心到直线的距离OD ==222212cos 5OD AOD r r ∠===，r = 【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”. 由5344OC OA OB =+，即153288OC OA OB =+ 得A B D 、、三点共线（其中D 是AB 的中点），且:3:5AD BD =， 设，5BD x =思路一：垂径定理后二次解三角形，()222224r x r x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎩，解之得r =思路二：相交弦定理，()22335224r r x x r x ⎧⋅=⋅⎪⎨⎪=+⎩，解之得r =. 4.【答案】4,49⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.【答案】[【提示】易知OA OB ⊥，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.6.【答案】 (1,0)(0,2)-⋃二、 抛物线过焦点的弦【方法点拨】设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为弦AB 的倾斜角．则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α (其中点A 在x 轴上侧，点B 在x 轴下侧) .(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(4)1|AF |＋1|BF |＝2p. 3AD x =(5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．【典型题示例】例 1 已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点F 到其准线的距离为4，圆()12:22=+-y x M ，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B四点，则BQ AP 4+的最小值为 . 【答案】13【分析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F ，故445AP BQ AF BF +=+-，再利用抛物线的定义，进一步转化为445A B AP BQ x x +=++，利用4A B x x =、基本不等式即可. 【解析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F所以()()414145AP BQ AF BF AF BF +=-+-=+- 根据抛物线的定义22A A p AF x x =+=+，22B B pBF x x =+=+ 所以()()4242545A B A B AP BQ x x x x +=+++-=++又244A B p x x ==所以445513A B AP BQ x x +=++≥=，当且仅当4A B x x =，即41A B x x =⎧⎨=⎩时等号成立，此时直线l的方程是y =-所以BQ AP 4+的最小值为13.例2 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝ （ ） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 点评：本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此题，方法则更简洁.例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【答案】B【解析】 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 【巩固训练】1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.942.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( ) A.抛物线C 的准线方程为y ＝－1 B.线段PQ 的长度最小为4 C.点M 的坐标可能为(3，2) D.OP →·OQ →＝－3恒成立3.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为P ，Q .若|AF |＝3|BF |，则|PQ |＝________.4.已知抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若112AF BF+=，则符合条件的抛物线C 的一个方程为__________．5.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______.【答案与提示】1.【答案】D【解析一】 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.【解析二】 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.2.【答案】 BCD【解析】因为焦点F 到准线的距离为2，所以抛物线C 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，A 错误.当线段PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时|PQ |＝4，B 正确.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1.消去x 并整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，则y 1＋y 2＝4m ，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，所以M (2m 2＋1，2m ).当m ＝1时，可得M (3，2)，C 正确.可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，D 正确.故选BCD.3.【答案】 833【解析】F (1，0)，不妨设A 在第一象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3|BF |得y 1＝－3y 2①设l AB ：y ＝k (x －1)与抛物线方程联立得 ky 2－4y －4k ＝0，y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4，②结合①②解得y 2＝－233，|PQ |＝|y 1－y 2|＝|－3y 2－y 2|＝－4y 2＝833.4.【答案】满足焦准距为1即可，如22y x =. 【解析】由公式112AF BF p +=得22p=，解得1p =，满足焦准距为1即可，如22y x =等. 5.【答案】65 【解析一】设AF =m ，BF =n ，则有25121121mnm n Pp ，解得65=m 或45m =(舍).【解析二】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,21(，准线方程为21-=x 设A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则414221==p x x 设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--122541)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF . 6.【答案】32【解析】直接由112n m p+=立得（其中m ，n 是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p 就是焦准距）.三、椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆相交于A B、两点，直线l 的倾斜角为θ，且=()AF FB λλ＞0，则e θλ、、间满足1cos 1e λθλ-=+. 2.长短弦公式:如下图,长弦=1cos ep AF e θ-,短弦=1cos epBF e θ+（其中p 是焦参数，即焦点到对应准线的距离，θ是直线l 与x 轴的夹角，而非倾斜角）. 说明：（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.（2）双曲线也有类似结论.【典型题示例】例1 已知椭圆方程为2214x y +=，AB 为椭圆过右焦点F 的弦，则的最小值||2||AF FB ∴+F xA BO为 ．【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为 如图，过作于，则，① 设的倾斜角为， 则，② 联立①②，可得，同理可得，．令，，，． ．当且仅当时上式取等号． 的最小值为． 2214x y +=2a =c =e =:l x =A AM l ⊥M ||||AF AM =AB θ||||||cos ||cos ||cos AM CF AF AF AF θθθ=-==||AF =||BF ||2||AF BF ∴++==cos t θ=[1t ∈-1]1||2||32(6)12AF FB ∴+==-+-322(6)1263t-+++326363t =+t ||2||AF FB ∴+34+故答案为：．例 2 （2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．2【答案】D【解析】22cos b AF a c θ=-，22cos b BF a c θ=+，2222122122230124b AB AF BF AF a AF BF a a e e ac =+==+⇒=⇒=⇒--=⇒+2e =．例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，与过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________.【答案】2【解析】如右图，设l 为椭圆的右准线，过A 、B3224+分别向l 作垂线AA /、BB /，A /、B /分别是垂足，过B 作AA /垂线BD ，D 是垂足 设BF =t ，AF =3t则t BB e '=，3t AA e'= Rt ABD 中，2,4tAD AB t e==故11cos 23AD AB e θ=== 又k >0，所以tan 2k θ==.xDF B BAyO B / A /【巩固训练】1. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的离心率为________．2.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．3. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．4.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得123F A F B =，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1，1)B ．1)-C ．(2-，1)D ．(0,2【答案与提示】1.【解析】如右图，设直线AB 的倾斜角为θ则12Rt AF F ，21212,b F F c AF a==所以cos θ=由|AF1|＝3|F1B|、长短弦公式得：31cos1cosep epe eθθ=-+，化简得：2cos1eθ=1=，即4e===解之得：213e（负值已舍），所以33e.2.【答案】333.【答案】3+4.【答案】C【解析】延长1AF交椭圆于1A，根据椭圆的对称性，则211F B A F=，1113F A A F=，由12F A F Bλ=，且1||1cosepF Aeθ=-，11||1cosepA Feθ=+，由112A F F B=，所以1cos1cosep epe eλθθ=-+，整理得1cos1eλθλ-=+，其中[0θ∈，2)π，由A，B不重合，所以0θ≠，cose eθ=<，解得2e>，所以，椭圆的离心率的取值范围(2，1)．。

圆锥曲线10类大题梳理(解析版)

圆锥曲线10类大题梳理(解析版)

圆锥曲线大题梳理考情分析圆锥曲线问题是高考的热点问题之一，多数情况在倒数第二题出现，难度为中高档题型。

纵观近几年高考试卷，圆锥曲线的大题主要有以下几种类型：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。

各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可循。

热点题型突破题型一：最值问题1(2024·安徽合肥·统考一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F 0,1，过点F的直线l与C交于A,B两点，过A,B作C的切线l1,l2，交于点M，且l1,l2与x轴分别交于点D,E.(1)求证：DE= MF；d1d(2)设点P是C上异于A,B的一点，P到直线l1,l2,l的距离分别为d1,d2,d，求2d2的最小值.【思路分析】(1)利用导函数的几何意义求得直线l1,l2的表达式，得出D,E,M三点的坐标，联立直线l与抛物线方程根据韦达定理得出 DE= MF；d1d2d2k=221+1≥2，可求出d d12d2(2)利用点到直线距离公式可求得【规范解答的最小值.】(1)因为抛物线C的焦点为F 0,1，所以p=2，即C的方程为：x2=4y，如下图所示：设点A x 1,y 1,B x 2,y 2，由题意可知直线l 的斜率一定存在，设l :y =kx +1 ，=y =联立 x kx 2 y 4+1得x 2-4kx -4=0，所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.11由x 2=4y ，得y =4x 2,y =2x ，所以l 1:y -y 1=x 1 x -x 1，即y =x 122x -x 14.2令y =0，得x =x 12x12，即D ,0 ，同理l 2:y =x 222x -x 24x22，且E ,0 ，1 1所以 DE =2 x 1-x 2=2 x 1+x 22-4x 1x 2=2k 2+1.x 122x 14x 22x -x -2x 24由y =y ==2y ，得 x =-k1，即M 2k ,-1 .所以 MF =4k 2+4=2 k 2+1，故 DE = MF .(2)设点P x 0,y 0，结合(1)知l 1:y -y 1=x12x -x 1，即l 1:2x 1x -4y -x 2=101因为x 2=4y 1,x 2=4y 00，所以d 1=4y -x 022x 1x 01-24x 1+16=0-2x 0-x 21 2x 1x42x 1+16x =1-x 0222x 1+4.同理可得d 2=x 2-x 022x 2+24，所以d 1d 2=x x 10- 222x 1+4-x ⋅2x 0222x 2+4x =1-2x 0x +x 21 + 0x x 22x 42x 122+4x + 1x 222 +16-4=kx -0+4 x 022k 322+1.又d =y kx 0+01-k 2+12=x 04kx 0+1-+k 21 4kx 0+2=x 04-4k 2+1，d 1所以d 2d 2-4=kx 0 -04+x 2232+k 2116⋅k 2+1 -2x 04kx 0 +42k =221+1≥2.当且仅当k =0时，等号成立；d21即直线l 斜率为0时，d 1d 2取最小值2；求最值及问题常用的两种方法：(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决；(2)代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。

2024届高考数学专项练习压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略(解析版)

2024届高考数学专项练习压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略(解析版)

压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略命题预测解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开． 高频考法（1）直线交点的轨迹问题（2）向量搭桥进行翻译（3）弦长、面积范围与最值问题（4）斜率之和差商积问题（5）定点定值问题01 直线交点的轨迹问题交轨法解决.【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线22:13y C x −=的左､右顶点分别是12,A A ，直线l 与C 交于,M N 两点（不与2A 重合），设直线22,,A M A N l 的斜率分别为12,,k k k ，且()126k k k +=−.(1)判断直线l 是否过x 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若,M N 分别在第一和第四象限内，证明：直线1MA 与2NA 的交点P 在定直线上.【解析】（1）由题意可知12(1,0),(1,0),0A A k −≠，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+.2024届高考数学专项练习由2213y x y kx m ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，可得222(3)230k x kmx m −−−−=， 则23k ≠，2212(3)0m k ∆=+−>，即223k m <+，212122223,33km m x x x x k k ++==−−−. 因为()121212*********()()211()1kx m kx m kx x m k x x m k k k k k x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++−+−+=+= ⎪⎢⎥−−−++⎝⎭⎣⎦222222322()2336632133m kmk m k m k k k km kmm k k k ⎡⎤⎛⎫+−+−−⎢⎥ ⎪−−⎝⎭⎢⎥===−⎢⎥++−−+⎢⎥−−⎣⎦， 所以2m k =−，故直线l 的方程为(2)y k x =−，恒过点(2,0). （2）由题可知，直线1MA 的方程为11(1)1y y x x =++，直线2NA 的方程为22(1)1yy x x =−−，因为2121121212121212(1)(2)(1)2211(1)(2)(1)22y x x x x x x x x x y x x x x x x x +−+−+−+===−−−−−−+ 1212112121()322()2x x x x x x x x x x ++−−=−+++21221269333233k x k k x k −−−−==−++− 所以12x =，故点P 在定直线12x =上.【典例1-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅，PA PC⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上． 【解析】（1）由题意可得(1,)PA x y =−−，(,1)PB x y =−−，(1,1)PC x y =−−， 则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−+， 又2y 是PA PB ⋅，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+−−++−−+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =−+．（2）由（1）知2131:22C y x x =−+，又31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴平移公式为34116x x y y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫−=+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2yx ．曲线2C 的方程为2yx ．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b −−=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b+=⎧⎨=−⎩， ()()21111,,OM x y x x ∴==，()()22222,,ON x y x x ==，又MON ∠为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅， 2212120x x x x ∴+>，又12x x b =−，2()0b b ∴−+−>，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x k x x b +=⎧⎨=−=−⎩，对2yx 求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x −=−，()2222:2N l y x x x x −=−， 由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧−=−⎪≠⎨−=−⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ． 满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，R ∴点在定直线=2y −上． 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点2,3P，且离2. (1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程.【解析】（1）由椭圆过点2,3P，且离心率为22，所以2222223122a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=，由()22Δ25696120k k =−+>，即232k >，所以1221612kx x k −+=+，1222412x x k =+. 由求根公式可知，不妨设218246k k x −−−，228246k k x −+−= 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=， 联立22112222y y x x y y xx −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++， 代入12,x x ，得222222241644628446112122324481246241246k k k y k k k k y k k k k k −−−−−−++===−+−+−−+−+， 解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上.【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，C 的一个焦点坐标为()10,3F ，离3 (1)求C 的方程；(2)设C 的上、下顶点分别为1A ，2A ，若直线l 交C 于()11,M x y ，()22,N x y ，且点N 在第一象限，120y y >，直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，证明：直线MN 过定点． 【解析】（1）由题意得3c =，3ca3a =2226b c a =−=， 故C 的方程为22136y x −=；（2）证明：由已知条件得直线MN 的斜率存在，设直线MN ：y kx t =+，联立2226y kx t y x =+⎧⎨−=⎩，消去y 整理得，()222214260k x ktx t −++−=， 由题设条件得2210k −≠，()()2222Δ16421260k t k t =−−−>，则122412kt x x k +=−，21222621t x x k −=−．由（1）得(13A ，(20,3A −， 则直线1A M ：1133y y −，直线2A N ：2233y y x +=， 11223333y y y y −−=++ 因为直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，所以112233353335y y −=++因为2222136y x−=2222222233312y y y x −+−==，即()2222323y y x +=−所以(11211212122233323333523335y y y y y x x y −−−===+．又((()(221212123333y y k x x k t x x t =+++，(((2222222326433212121t t ktk k t t k k k −−=⨯−+=−−−，所以33353335t t −=+，解得5t =，所以直线MN 过定点()0,5．02 向量搭桥进行翻译将向量转化为韦达定理形式求解.【典例2-1】（2024·上海普陀·二模）设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>，Γ2倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点. (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBFS的值；(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围. 【解析】（1）由Γ24倍，得212a −22(1)a a −=， 又1a >，则2a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ， 因为CO OB =，所以点B 、C 关于点O 对称， 又0CF AB ⋅=，则CF AB ⊥， 由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，则1112CBFCF FSSCF CF ==⋅，又122211224CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得， 12CF CF ⋅=，则1CBFS=.（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又 OA OB CO +=，则012()x x x =−+，012()y y y =−+， 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++−=， 222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=−+−=−+，由韦达定理得，122412mk x x k −+=+，21222212m x x k −=+，又121222()212my y k x x m k +=++=+，则02412mkx k =+，02212m y k −=+， 因为点C 在椭圆Γ上，所以222242()2()21212mk m k k −+=++， 化简整理得，22412m k =+，此时，22222218(21)8(21)6(21)04k k m k k +∆=−+=+−=+>，则2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =−+−=+−222224221()4()1212mk m k k k−−+−++ 226(21)1k k ++226612k k ++ 令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+， 则AB 的取值范围是3,6.【典例2-2】（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为3y x =，右焦点F 3 (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，()1,0A −．求AM AN ⋅的值．【解析】（1）由双曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为3y =，可得3b a =又由焦点(c,0)F 32233(3)1c d ==+2c =，又因为222c a b =+，可得1,3a b =2213y x −=.（2）由（1）知2c =，可得(2,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，即:2l x =，将2x =代入2213y x −=，可得13y =或23y =−，不妨设(2,3),(2,3)M N −，又由(1,0)A −，可得(3,3),(3,3)AM AN ==−， 所以333(3)0AM AN ⋅=⨯+⨯−=； 当直线l 的斜率存在时，即:(2)l y k x =−，联立方程组22(2)13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得2222(3)4430k x k x k −+−−=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2222(4)4(3)(43)0k k k ∆=+−+>，且22121222443,33k k x x x x k k ++==−−， 则222212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x k x x k =−−=−++，且1122(1,),(1,)AM x y AN x y =+=+，则1212121212(1)(1)()1AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++ 22212121212()12()4x x x x k x x k x x k =++++−++2221212(12)(1)()41k x x k x x k =−+++++=2222222434(12)(1)4133k k k k k k k +=−⋅++⋅++−−242244222484343412303k k k k k k k k k −+++++−+−==−，综上可得：0AM AN ⋅=.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线()2:20E y px p =>，其焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，以FC 为直径的圆交抛物线于点B ，连接BF 并延长交抛物线于点A ，且4AF BF −=．(1)求E 的方程．(2)过点F 作x 轴的垂线与抛物线E 在第一象限交于点P ，若抛物线E 上存在点M ，N ，使得0MP NP ⋅=．求证：直线MN 过定点．【解析】（1）根据抛物线的性质可知CF p =．设直线AB 的倾斜角为θ，则在Rt CBF △中，cos BF p θ=． 由抛物线的定义知cos AF AF p θ=+，cos BF p BF θ=−， 所以1cos p AF θ=−，cos 1cos pBF p θθ==+，所以2sin cos θθ=． 所以222sin cos p p AB AF BF θθ=+==． 由24AF BF AB BF −=−=，得221cos 2cos 224cos cos p p p p θθθθ−−=⋅==，解得2p =． 所以E 的方程为24y x =．（2）由（1）知()1,2P ．设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ．联立抛物线方程，得2,4.x my n y x =+⎧⎨=⎩代入并整理，得2440y my n −−=．则124y y m +=，124y y n =−，且216160m n ∆=+>． 由0MP NP ⋅=，得()()11221,21,20x y x y −−⋅−−=，则()()()()()()()()12121212112211220x x y y my n my n y y ⎡⎤⎡⎤−−+−−=−+−++−−=⎣⎦⎣⎦，得()()()22121212250m y y mn m y y n n ++−−++−+=，所以()()()221424250m n mn m m n n +⨯−+−−⨯+−+=．整理得()()22341n m −=+．当()321n m −=−+，即21n m =−+时，直线MN 的方程为()21x m y =−+，则直线MN 恒过定点()1,2P ，不符合题意．当()321n m −=+，即25n m =+时，直线MN 的方程为()25x m y =++，则直线MN 恒过定点()5,2−．【变式2-2】（2024·山东聊城·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为26. (1)求C 的方程；(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，且,AM BM AN BN λμ==. （ⅰ）当12μλ==时，求k 的值；（ⅱ）当3λμ+=时，求点(0,3到l 的距离的最大值.【解析】（1）由题意得222226b c a b a a =⎧⎪⎨−==⎪⎩13b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为2213x y +=．（2）（ⅰ）由题意得()0,,,0m A m B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由12AM BM =，得2OM OA OB =−，即,2m M m k ⎛⎫⎪⎝⎭，由2AN BN =，得2ON OB OA =−，即2,m N m k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， 将,M N 的坐标分别代入C 的方程，得222413m m k +=和222413m m k+=，解得213k =，又0k >，所以3k =（ⅱ）由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++−=， 其中()()()222222Δ361231112310k m k m k m =−+−=−+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k −−+==++，由(),,0,,,0m AM BM AN BN A m B k λμ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，得1122,m m x x x x k k λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121212112x x m m m m m k x x x x k k k k λμ⎛⎫ ⎪+=+=−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭， 由3λμ+=，得()221212230k x x mk x x m +++=，即222222223312303131m k k m k m k k −−++=++， 所以222222223312930m k k m k m k m −−++=， 因此22k m =，又0,0k m >>，所以k m =. 所以l 的方程为()1y k x =+，即l 过定点()1,0−，所以点(0,3−到l 的最大距离为点(0,3−与点()1,0−的距离21(3)2d =+=， 即点(0,3−到l 的距离的最大值为2.03 弦长、面积范围与最值问题1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．2、建立目标函数，使用基本不等式求最值．【典例3-1】（2024·浙江台州·二模）已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x −交椭圆于M ，N 两点，T 为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标； (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长.【解析】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988−=，所以焦点坐标为320,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x −代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M −，()1,3N −−， 直线MT 的方程为()3313y x =−−−，即3490x y +−=， 设圆Q 方程为()222x t y r −+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >−， 则Q 到直线MN 和直线MT 的距离相等，即223409134t t r +⨯−+==+，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在， 设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =−+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率.由圆Q 21132321k k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭=+，化简得：2812270k k +−=，则121232278k k k k ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=−+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++−+−−=， 可得21121848989A P A k k x x x k −−==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫−−−−+=−+=−+= ⎪++⎝⎭()()()111113271218271833271291232k k k k k −−−+−===−−+−.同理22222848989B k k x k −−=+，32B y =−，所以直线AB 的方程为32y =−， 所以AB 与圆Q 相切，将32y =−代入229881x y +=得7x =所以7AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB 的面积1319272222ABC S m =⨯=⨯△， 解得67m =.所以PAB 的周长为67.【典例3-2】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x −是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点． (1)求抛物线C 的方程； (2)证明：BP BQ =：(3)记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程． 【解析】（1）因为=1x −为抛物线的准线，所以12p=，即24p =， 故抛物线C 的方程为24y x = （2）如图，设l ：1x ty =−，()()1122,,,M x y N x y ， 联立24y x =，消去x 得2440y ty −+=，则()2Δ1610t =−>，且121244y y t y y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x −−=−−，令=1x −得()1121,1y n P n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭， 同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t −−++−=−=−=−++−，故BP BQ =.（3）由（2）可得：()()1222122222221nt y n y n S PQ ty ty t −−−==−=−−−22212211141212221nt S MN d t t t nt t −==++=−−+，由122S S =，得：212t −=，解得3t = 所以直线l 的方程为310x +=．【变式3-1】（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OABS．(1)求p 的值； (2)求OM ON ⋅的值； (3)求OMNOABS S 的取值范围. 【解析】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意， 所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx −−=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =−，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=−+=−.（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得2141x k =+ 点A 在第三象限，则2141A x k =+点B 在第四象限，同理可得2241B x k =+，且121212121164y y x x k k x x ===− 121222124141OMN OAB B AOM ONx x x x S S OB OA x x k k ⋅⋅⋅===⋅⋅++()()2221212114141424k k k k ++++2121124224k k ≥⋅+， 当且仅当112k =时，等号成立. OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞. 【变式3-2】（2024·辽宁·二模）已知点P 为双曲线22:14x E y −=上任意一点，过点P 的切线交双曲线E 的渐近线于,A B 两点． (1)证明：P 恰为AB 的中点；(2)过点P 分别作渐近线的平行线，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，判断PMON 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；【解析】（1）由切线不可能平行于x 轴，即切线的斜率不可能为0， 设切线方程为:l x ty m =+，联立方程组2214x ty m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得222(4)240t y tmy m −−+=+， 所以()()222Δ24(4)40tm t m =−−−=，可得2240t m +−=，即224m t =−，所以22220m y tmy t −++=，即2()0my t −=，所以t y m =，则2t x m m=+，所以点2(,)t tP m m m+，又由双曲线22:14x E y −=的渐近线方程为12y x =±，联立方程组12y xx ty m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t ==−−，即2(,)22m m A t t −−， 联立方程组12y xx ty m⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t −==++，即2(,)22m m B t t −++，所以222222244422244m mm tm m tmm m t t t t m m+++−−+====−− 222224m mtm tm t t t t m m−+−+===−，所以AB 的中点坐标为4(,)t m m又因为2224t t m m m m m++==，所以4(,)t P m m ，所以点P 与AB 的中点重合.（2）由2(,)22m m A t t−−，2(,)22m mB t t −++， 可得2222225()()22(2)m m m OA t t t =+=−−−，2222225()()22(2)m m m OB t t t −=+=+++， 所以44422222425252525[(2)(2)](4)m m m OA OB t t t m ⋅====−+−，即5OA OB =， 又由22223322224m m m m m OA OB t t t t t−⋅=⨯+⨯==−+−+−，可得3cos 5OA OB AOB OA OB ⋅∠==， 所以24sin 1cos 5AOB AOB ∠=−∠=， 所以114sin 52225AOBSOA OB AOB =∠=⨯⨯=， 因为P 为AB 的中点，所以112122PMON AOBS S ==⨯=， 所以四边形PMON 的面积为定值1.04 斜率之和差商积问题1、已知00(,)P x y 是椭圆22221x y a b +=上的定点，直线l （不过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，则直线l 斜率为定值2020b x a y ．2、已知00(,)P x y 是双曲线22221x y a b−=上的定点，直线l （不过P 点）与双曲线交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，直线l 斜率为定值2020b x a y −．3、已知00(,)P x y 是抛物线22y px =上的定点，直线l （不过P 点）与抛物线交于M ，N 两点，若0PA PB k k +=，则直线l 斜率为定值0p y −． 4、00(,)P x y 为椭圆222:x y a bΓ2+=1)0,0(a b >>上一定点，过点P 作斜率为1k ，2k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2000222(,)y b x x y aλλ−−−； （2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b λλλλ++−−−．5、设00(,)P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线AB ，CD 交椭圆222:x y a b Γ2+=1)0,0(a b >>于A 、B 、C 、D ，直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，弦AB ，CD 的中点记为M ，N ．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2002(,)y b x x aλλ−−；（2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点22002222(,)a x b y a b a b λλλ−−．6、过抛物线22(0)y px p =>上任一点00(,)P x y 引两条弦PA ，PB ，直线PA ，PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022(,)y px y λλ−−．【典例4-1】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆22:143x y C +=，12A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点，12F F 、分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M N 、两点（l 不过点2A ）.(1)若Q 为椭圆C 上（除12A A 、外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积； (2)若112NF F M =，求直线l 的方程；(3)若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12k k 、，且1294k k =−，求证：直线l 过定点.【解析】（1）在椭圆 22:143x y C +=中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A −、，设点()000,(2)Q x y x ≠±，则12202000220000314322444QA QA x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0)F −，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y =−−−=，，由112NF F M =得2211(1,)2(+1,)−−−=x y x y ，化简得2121=322x x y y −−⎧⎨=−⎩代入2222143x y +=可得22114(32)(32)1−−−+=x y ，联立2211143x y +=解得117=435=x y ⎧−⎪⎪⎨⎪⎪⎩由112NF F M =得直线l 过点1(1,0)F −，73(,5)48−N ， 所以，所求直线方程为5=1)y x ±+.（3）设()()3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t =+（2t ≠），联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2223463120m y mty t +++−=，由2222364(34)(312)0m t m t ∆=−+−>，得2234t m <+.由韦达定理，得234342263123434，−+=−=++mt t y y y y m m .1294k k =−，34349224∴⋅=−−−y y x x . 可化为()()343449220y y my t my t ++−+−=， 整理即得()()223434499(2)9(2)0my ym t y y t ++−++−=，()222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m −⎛⎫∴+⨯+−−+−= ⎪++⎝⎭，由20t −≠，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m tt m m ++−+−=++，化简可得16160t −=，解得1t =， 直线MN 的方程为1x my =+，恒过定点(1,0).【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为()(),,2,2A B C a b D a b −，直线AC 的斜率为12，直线AC 与椭圆E 交于另一点G ，且点G 到x 轴的距离为43． (1)求椭圆E 的方程．(2)若点P 是E 上与点,A B 不重合的任意一点，直线,PC PD 与x 轴分别交于点,M N ． ①设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，求2112k k k k −的取值范围． ②判断22||AM BN +是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【解析】（1）由题意知，(),0A a −．由直线AC 的斜率为12()2012b a −=，所以2a b =． 直线AC 的方程为()12y x a =+． 设(),G s t ，则0,0s t >>．由点G 到x 轴的距离为43，得43t =． 由点G 在直线AC 上，得()4132s a =+，所以83s a =−．由点G 在椭圆E 上，得2222843312a a a⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得2a =．所以2b =．所以椭圆E 的方程为22142x y+=．（2）①设()00,P x y （020y ≤<或002y < 由（1）知，()()2,2,2,2C D −， 则00120022,22PC PD y y k k k k x x −−====−+， 所以0021121200002211442222x x k k k k k k y y y y −+−−=−=−==−−−−． 由020y −<或002y <≤得02222y −<或02222y <−≤ 所以0442222y −<−或0424222y <≤+− 故2112k k k k −的取值范围是)(422,22,422⎡−⋃+⎣． ②由①知2200142x y +=，即2220004x y y +=−．设()()12,0,,0M x N x ． 因为,,P C M 三点共线， 所以00120222y x x −−=−−，得0001002422222x y x x y y −+−=+=−−．因为,,P D N 三点共线，所以00220222y x x −−=++， 得0002002422222x x y x y y −−−−=−=−−．所以()()222222000012002222222222y x x y AM BN x x y y ⎛⎫⎛⎫−−−+=++−=++−= ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭()220002008816822x y y y y +++=−−()()()()()2000220000848221616882222y y y yy y y y y −+−++=++=−−−−()0000821681622y y y y −+++=−−．故22||AM BN +为定值16．【变式4-1】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b −=>>2()3,1−在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M −，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P −，直线AP 交直线2x =−于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k −为定值．【解析】（1）由双曲线2222y :1x C a b −=2，且()3,1M −在双曲线C 上，可得222229112a b c e a c a b ⎧−=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得228,8a b ==，∴双曲线的方程为22188x y −=．（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F −，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去； 当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =−，联立方程组2248x my x y =−⎧⎨−=⎩，消x 得()221880m y my −−+=，易得Δ0>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122288,011m y y y y m m +==<−−，可得11m −<<， ∵()()11222,,2,MA x y MB x y =+=+，则()()()()211212122222MA MB x x y y my my y y ⋅=+++=−−+()()()22212122281161244411m mm y y m y y m m +=+−++=−+=−−−，即0MA MB ⋅≠，可得MA 与MB 不垂直，∴不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上． （3）由直线()1:24AP y k x −=+，得(12,22)Q k −+， ∴2121222222222y k y k k x my −−−−==+−，又11111224PAy y k k x my −−===+，∴()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my −−−−−−−−−=−=−− ()2111112224222my y my mk y my my −−+++=−，∵1112y k my −=，∴1112k my y =−，且1212y y my y +=， ∴()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y −−−===−−+−，即12k k −为定值．【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点()32,1P −在双曲线C 上；②点Q 在双曲线C 上，1290QF F ∠=︒，且113QF =；③双曲线C 的一条渐近线与直线33y x =−垂直. (1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点()0,1−的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若AMBNk a k =−，求直线l 的斜率.【解析】（1）选①②，因为点()32,1P −在双曲线C 上，所以221811a b −=， 由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，联立222181113a b b a ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=；选①③， 由①，得221811a b −=，由③，得31ba−⨯=−， 联立22181131a b b a⎧−=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=，选②③，由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，又由③，得31ba−⨯=−，联立21331b a b a⎧=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=.（2）依题意可知()()3,0,3,0A B −，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =−，()()1122,,,M x y N x y ，联立22119y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 并整理，得()221918180k x kx −+−=， 由()()()222Δ(18)4191836290k k k =−−⨯−=−>，且2190k −≠，得229k <且219k ≠，所以1212221818,1919k x x x x k k +=−=−−−， 又221119x y −=，即221199x y −=，则1111339y x x y −=+， 所以()()11121122122233339933AMBNy x x x k x y y y k y y x x −−−+===−−()()()()()121212122121212393991191x x x x x x x x kx kx k x x k x x −++−++==−−⎡⎤−++⎣⎦2222222218183996119193911818911919kk k k k k k k k k −+⨯+−+−−===−−⎛⎫−++ ⎪−−⎝⎭， 整理得218310k k −−=，解得16k =−或13k =（舍去），故直线l 的斜率为16−.05 定点定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明． 一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ． ③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为23的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，点P 为椭圆C 上的动点，且12A PA 面积的最大值为35():20l x my m =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点()1,0D −，直线,AD BD 分别交椭圆C 于,G H 两点，过点2A 作直线GH 的垂线，垂足为M ． (1)求椭圆C 的方程．(2)记直线GH 的斜率为k ，证明：km 为定值．(3)试问：是否存在定点N ，使MN 为定值？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意，得22235,2,3,ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2229,5,4.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22195x y +=． （2）证明：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y G x y H x y ． 又()1,0D −，所以可设直线AD 的方程为1111x x y y +=−． 联立椭圆方程与直线AD 的方程，得112211,1.95x x y y x y +⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，得()()222211111519101400x y y x y y y ⎡⎤++−+−=⎣⎦． 又2211195x y +=，所以22115945x y +=，可得()()2211115140x y x y y y +−+−=．由根与系数的关系，得2113145y y y x −=+，则13145y y x −=+，所以11131111459155x y x x y x x +−−−=⋅−=++，同理，得224422594,55x y x y x x −−−==++． 从而直线GH 的斜率()()()()()()2112214321214312212144454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x −−−+−+−++====−−−−−++−++−++()()()122112454516y x y x x x +−+−．又11222,2x my x my =−=−， 所以()()()()()1221121212434312316164y my y my y y k x x x x m +−+−===−−，即34km =，为定值． （3）由（2）可得直线GH 的方程为11114594355y x m x y x x ⎛⎫+=⋅+− ⎪++⎝⎭． 由椭圆的对称性可知，若直线GH 恒过定点，则此定点必在x 轴上， 所以令0y =，得()()()()()11111111116235916595135535353x x my x x x x x x x +−+++=−===++++．故直线GH 恒过定点T ，且点T 的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭．因为2A M GH ⊥，垂足为M ，且()23,0A ，所以点M 在以2A T 为直径的圆上运动．故存在点5,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，使21423MN A T ==．【典例5-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的焦距为25点3)D 在C 上. (1)求C 的方程;(2)直线:1l x my =+与C 的右支交于A ，B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，点D 在x 轴上的投影为点G . （ⅰ）求m 的取值范围； （ⅱ）求证：直线BE 过点G .【解析】（1）由已知得222251631a b a b ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以C 的方程为2214x y −=.（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,E x y −，联立22144x my x y =+⎧⎨−=⎩， 消去x 得()224230m y my −+−=，则240m −≠，()()222Δ41241630m m m =+−=−>，解得||3m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ，B 两点，C 的渐近线方程为12y x =±，则11||2m >，即0||2m <<， 所以|m 的取值范围为(3,2). （ii ）由（i ）得12224my y m +=−−，12234y y m −=−， 又点3)D 在x 轴上的投影为(4,0)G ，所以()224,GB x y =−，()114,GE x y =−−， 所以()()122144x y x y −+−()()122133my y my y =−+−()121223my y y y =−+，223223044mm m m −−=⋅−⋅=−−， 所以//GB GE ，又GB ，GE 有公共点G ，所以B ，G ，E 三点共线，所以直线BE 过点G .【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点23P ⎝⎭在椭圆E ，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B 和点C ，D ，且点M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若()0,1D ，求以CD 为直径的圆的方程；(3)直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23P ⎝⎭， 且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形， 可得b c =，则22222a b c b =+=，所以2223122b b+=⨯，解得222,1a b ==， 所以椭圆E 的标准分别为2212x y +=.（2）由（1）得1(1,0),(0,1)F D −，所以直线CD 的方程为1x y +=，联立方程组22112x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得41,33x y ==−或0,1x y ==，所以41(,)33C −， 则CD 的中点为21(,)33N 且423CD =CD 为直径的圆的方程为22218()()339x y −+−=. （3）设直线AB 的方程为1x my =+，且0m ≠，则直线CD 的方程为11x y m=−+， 联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)210m y my ++−=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则0∆>且12122221,22y y y y m m +=−=−++， 所以12121224(1)(1)()22x x my my m y y m +=+++=++=+， 由中点坐标公式得222(,)22mM m m −++， 将M 的坐标中的用1m −代换，可得CD 的中点为2222(,)2121m mN m m ++，所以232(1)MN mk m =−，所以直线MN 的方程为22232()22(1)2m m y x m m m +=−+−+，即23(1)12m y x m =−−，则直线MN 过定点2(,0)3. 【变式5-2】（2024·浙江·二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点. (1)求双曲线C 的方程；(2)若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）设双曲线C 的两渐近线方程分别为b y x a=，by x a =−，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc −−+⨯==，由题意可得：222222229465941a b c b a c a b ⎧+=⎪⎪−⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩，解得23a =，22b =， 所以双曲线C 的方程为22132x y −=.（2）设直线1l 的方程为(5y k x =， 由1l ，2l 互相垂直得2l 的方程(15y x k=−， 联立方程得(225132y k x x y ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，消y 得()222223651560k x k x k −−−−=，0∆>成立，所以212352M x x k x +=，(255M M ky k x == 所以点M 坐标为23525k k ⎝⎭，联立方程得(2215132y x k x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，所以34352N x x x +==(1255N N k y x k −=−=， 所以点N 坐标为223525,2323k k k ⎛⎫− ⎪ ⎪−−⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上， 直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x −−=−−，则当0y =时，222223525352523232323351252525M N N M N M k k kx y x y k k k k x y y kk k −−−−−−===−−−−−−所以直线MN 恒过定点，定点坐标为()35,0−.1．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ，离心率3e =()2,1P −的直线l 与椭圆Γ交于B ，C 两点，直线AB 、AC 分别与x 轴交于点M 、N .(1)求椭圆Γ的方程；(2)已知命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，求AMN 的重心坐标；(3)是否存在直线l ，使得2AMN ABC S S =△△？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（其中AMNS、ABCS分别表示AMN 、ABC 的面积）【解析】（1）依题意1b =，3c e a ==222c a b =−， 解得2a =，所以椭圆Γ的方程为2214x y +=；（2）因为命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，。

完整版)圆锥曲线大题题型归纳

完整版)圆锥曲线大题题型归纳

完整版)圆锥曲线大题题型归纳圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1.待定系数法：求解直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等；2.齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3.韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。

但是，如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4.点差法：解决弦中点问题，端点坐标设而不求。

也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5.距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化为水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1.“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2.“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3.证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4.证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5.有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

变式1、已知F1,F2分别是双曲线3x^2-5y^2=75的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积。

变式2、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点。

1）求|PF1|/|PF2|的最大值；2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为100b^2，求b的值。

专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳(精讲精练)(原卷版)

专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳(精讲精练)(原卷版)

专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳【命题规律】1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．【核心考点目录】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 核心考点二：蒙日圆 核心考点三：阿基米德三角形 核心考点四：仿射变换问题 核心考点五：圆锥曲线第二定义 核心考点六：焦半径问题 核心考点七：圆锥曲线第三定义 核心考点八：定比点差法与点差法 核心考点九：切线问题 核心考点十：焦点三角形问题 核心考点十一：焦点弦问题 核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 核心考点十六：圆锥曲线与四心问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ） A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．7．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【方法技巧与总结】1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求122a F F >；在双曲线的定义中，要求2a <12F F ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．【核心考点】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线222116x y b-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则12AM BM +的最小值________． 例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A -，()2,4B -，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点Q 为抛物线:E 24y x =上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则PA PQ QH ++的最小值为______．例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当 0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>， 12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虚轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =， PAB 面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足 3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是 ______________ ；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点（其中C 点在第一象限），设点M ､N 分别为 12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是 ____________ ．核心考点二：蒙日圆 【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（ ） A ．229x y += B ．227x y += C ．225x y += D ．224x y +=例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点三：阿基米德三角形 【典型例题】例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下特征： ①P 点必在抛物线的准线上；②PF AB ⊥．若经过抛物线24y x =的焦点的一条弦为AB ，“阿基米德三角形”为PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形．．．．．．．（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23（即右图中阴影部分面积等于PAB 面积的23）．若抛物线方程为22(0)y px p =>，且直线2p x =与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p =（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，PAB 为阿基米德三角形．抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P ．给出如下结论，其中正确的为（ ）（1）若弦AB 过焦点，则ABP 为直角三角形且90APB ︒∠=； （2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）PAB 的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+； （4）PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）．A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）核心考点四：仿射变换问题 【典型例题】例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______．记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______．Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______．例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB面积最大值为_______．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =-，,AD DF AE EQ λμ==（,λμ是非零实数），求22λμ+=______________．核心考点五：圆锥曲线第二定义 【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ）A B ．8 C ．12 D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线24y x =焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C ．若2AB BF =，则线段BC 的中点到准线的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．163D ．203核心考点六：焦半径问题 【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为（ ）A ．B ．2C D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是（ ） A．)∞+ B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，O 是坐标原点，若12||PF PF OP +，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．32D ．2核心考点八：圆锥曲线第三定义 【典型例题】例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线1PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ） A ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，过点1F 且斜率为k 的直线与圆222x y a +=交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），线段1F B 与椭圆交于点M ，2MF 延长线与椭圆交于点N ，且122||,2AF MB MF F N ==，则椭圆的离心率为___________，直线1AF 的斜率为___________．例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D ．23核心考点八：定比点差法与点差法 【典型例题】例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB的中点为(1,)M m （0m >），那么k 的取值范围是（ ）A ．12k <-B ．1122k -<<C ．12k >D ．12k <-，或12k >例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（ ） A ．3-B ．13-C ．34-D ．43-例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为A B ．12C D 核心考点九：切线问题 【典型例题】例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n +=．过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆228x y +=相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线例28．（2023·全国·高三专题练习）设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD核心考点十：焦点三角形问题 【典型例题】例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．8B ．C ．16D ．例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F -，动点P 在椭圆上，若12PF F △的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例32．（2023·全国·高三专题练习）已知(P 在双曲线22214x y b-=上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ，则2MP MF ⋅的值为（ ）A ．1B ．1C ．2D ．核心考点十一：焦点弦问题 【典型例题】例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（ ）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 【典型例题】例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________．例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 【典型例题】例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P为C 上不与左､右顶点重合的一点，I 为12PF F △的内心，且12322IF IF PI +=，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F △的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为（ ） A ．2B ．32C D ．53例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．2,⎡⎣核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 【典型例题】例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______． 例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F 的直线与T 交于,A B 两点，且2AF FB =，T 的准线l 与x 轴交于C ，CBF 的面积为T 的通径长为___________．例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于22b a（a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ l ⊥于点Q ，且1MQ MF +的最小值为3，则双曲线C 的通径为__________．核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 【典型例题】例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E 的焦点分别为1F ，2F ，经过2F 且与1F 2F 垂直的光线经双曲线E 反射后，与1F 2F 成45°角，则双曲线E 的离心率为（ ）AB1 C．D．1例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4C y x =，一条平行于x 轴的光线1l 从点()8,4P 射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线2l 射出，则AB =（ ） A ．7B ．174C ．214D ．254核心考点十六：圆锥曲线与四心问题 【典型例题】例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B ．若G 点为PAB 的外心，则1PAGF =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,A O B ，若抛物线2C 的焦点恰为AOB ∆的内心，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．32BC4D ．122例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）ABCD【新题速递】一、单选题1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆E ：221164x y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，圆1O 的方程为()22114x y ⎛++= ⎝⎭，动点P 在曲线E 上运动，动点Q 在圆1O 上运动，若12A A P △的面积为PQ 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +的值为（ ）AB ．C ．D ．2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线22:182x y C -=与直线2y =±围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体E ，则旋转体E 的体积是（ ）A ．32π3B ．64π3C ．80π3D ．160π33．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设12F F 、是双曲线22:1810y C x -=的左、右两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且1212OP PF PF =-，则1PF O 的面积为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．124．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（ ）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+； ②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1． 其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P 为抛物线()220y px p =>上一动点，点Q 为圆22:(1)(4)1C x y ++-=上一动点，点F 为抛物线的焦点，点P 到y 轴的距离为d ，若PQ d +的最小值为2，则p =（ ） A ．12p =B ．1p =C ．2p =D ．4p =7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与C 的左支的交点A 满足221212sin sin BF AF F AF B F F ∠=∠，则双曲线C的离心率为（ ）A ．3B．CD8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，,A B 是直线x y m +=上的两点，且10AB =．若对于任意点()()cos ,sin 02πP θθθ≤<，存在,A B 使90APB ∠=成立，则m 的最大值为（ ） A．B．C．D．9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②③C ．①②D ．①③10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆22:4O x y +=和圆22:4210M x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，下列说法中错误的是（ ）． A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段ABD ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则EF的最大值为4二、多选题11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知F 是抛物线2:2C x y =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（ ）A ．若AF y ⊥轴，则1AF =B ．若2AF =，则AOFC ．AB 长度的最小值为2D ．若AOB 90∠=，则8OA OB ⋅≥12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点)P在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是2⎡⎣ C ．存在点Q 使得210QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为2 13．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 为()1,0，过点()3,2M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（ ） A ．PM PF +的最小值为B ．C 的准线方程为=1x -C ．4OA OB ⋅≥-D ．当PF l ∥时，点P 到直线l 的距离的最大值为14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12 D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B ．设直线MA ，MB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅=则______16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的离心率2≥e ，直线1y x =-+交双曲线于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则双曲线实轴长的最小值是__________．17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(1)10C x y +++=相交于A ，B 两点，则||AB =________．18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的准线方程为2x =-，焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ､B 为抛物线C |2||BF AB =，则点F 到AB 的距离为______．19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足：22(2)(1)1x y ++-=，则 1 2 x y -+的取值范围是______．20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线M ：24x y =，圆C ：22(3)4x y +-=，在抛物线M 上任取一点P ，向圆C 作两条切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则CA CB ⋅的取值范围是______ ．。

高考中圆锥曲线的常见压轴题有哪些，应该怎么做？

高考中圆锥曲线的常见压轴题有哪些，应该怎么做？

高考中圆锥曲线的常见压轴题有哪些，应该怎么做？谢邀。

那我就来说说过来人的经验体会。

高中的圆锥曲线的大题一般都是高考倒数第二或第一题，分值就是10多分，不能轻视。

我个人感觉圆锥曲线的压轴题是比数列函数的压轴题好做一点的，因为圆锥曲线的大题一般都是有套路的。

圆锥曲线的大题，核心就是“算”，算方程，算变量，算不变量。

所以说，要想做好圆锥曲线的题，首先就要过计算这一关，尤其是代数计算，圆锥曲线中的量一般都要用参数来表示。

圆锥曲线大题一般都是两问或三问。

第一问基本上都是求标准方程。

千万要注意的是，这一问绝对不能错，否则整个题就全错了。

这一方面常见的错误有：搞反了X轴和Y轴，长轴和半长轴没看清等。

所以定义一定要记清楚！我想很少有人没犯过这样的错误。

大题最后一问特别喜欢考不变量和求量的范围，就是某两个长度相乘是不是不变的，某点是不是不动点等。

对于基础不好的同学来说，这种问题可能就是灾难，完全不知道怎么下手。

解题关键步骤就是设置参数和坐标的选取。

参数的选取直接关系到计算的繁简和结论的得出，即使是a=bt和at=b这样看起来没什么区别的设法也会导致计算过程的不同。

到底怎么设这还得靠自己去积累总结了，具体情况具体分析，难以找到固定的设法。

与其死记硬背规律，不如多做题来总结经验。

设参以后计算一定要耐心，这些计算可能很繁琐，一不小心算错就前功尽弃了。

表示出来后，基本上就是个函数题了，分应该也得了大半了，后面也就不难了。

像圆锥曲线这类题，大规律是有的，就是之前说的这些，但其中的小规律，按我个人观点，与其挖空心思去死记硬背记不如通过多做题来找“感觉”。

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高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。

而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。

使用韦达定理时需注意成立的条件。

题型4有关定点，定值问题。

将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。

（卷）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x k CD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔ ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得.231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ)21233,23123(-------+=λλλλ计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点，第二问就作为函数思想算了，未知数一个嘛。

（06卷）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB+=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P 的值。

【解析】(I)证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=故线段AB 是圆C 的直径 证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠--去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=故线段AB 是圆C 的直径 证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为2222121212121()()[()()]224x x y y x y x x y y ++-+-=-+-展开并将(1)代入得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=故线段AB 是圆C 的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>22121224y y x x p ∴=又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p =+所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则22221|(2)2|y p y d +-===22=当y=p 时,d=2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>22121224y y x x p ∴=又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p =+所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则2m =±因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为22220(2)2(3)x y y px p --=⎧⎨=-⎩将(2)代入(3)得222220y py p p -+-=2244(22)0p p p ∴∆=--= 02.p p >∴=解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则1212|()|x x y y d +-+=2211222,2(0)y px y px p ==>22121224y y x x p ∴=又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠2124y y p ∴⋅=-2212122221|()()|y y y y d +-+∴=22=当122y y p +=时,d5=2p ∴=. (理)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y ∴+=(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +->.当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7（07理）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点． （I ）若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111F M F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822y y y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y--=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． （II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-， 于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+-- 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k mk k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m mk k -+-=+=-++--．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数． 解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩，当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-． 21212244(4)411k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．由①②③得22441k x k -=-．…………………………………………………④ 241ky k =-．……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x ky -=，将其代入⑤有2222444(4)(4)(4)1x y x yy x x y y -⨯-==----．整理得22(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． （II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数， 当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-． 以上同解法一的（II ）．CA CB 是题型1简单类型，其实重点是一个有关定值问题。

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