初中数学规律探究题的解题方法之欧阳歌谷创编
判断推理速记口诀之欧阳歌谷创编
逻辑判断欧阳歌谷（2021.02.01）为了便于考生掌握考点，有效地管理和调用相关的常识、方法和技巧，本书根据试题常见的考点，首先提供几个好理解、易操作的快读、快解方法，提高考生的应试能力。
这些快读、快解方法，都是针对历年公务员考试的考点和题型积累起来的经验和技巧，在应试中十分重要。
当然，当了解必要的逻辑常识后，这些方法的应用就更为灵活。
一快读快解应用篇——真题考点经验精选快读快解口诀集锦条件有矛盾真假好分辨对应关系杂排除做首选具体有疑问果断选宏观可能不推“必”部分不推“全”选项要证据直观是答案强弱相比较选最才保险概念有内涵当心被偷换分析必弄清论据和论点发现联结词规则用在先分析巧运用解题思路宽口决部分解说：1.条件有矛盾真假好分辨公务员考试中有这样的试题：试题1：某仓库失窃，四个保管员因涉嫌而被传讯。
四人的供述如下：甲：我们四人都没作案；乙：我们中有人作案；丙：乙和丁至少有一人没作案；丁：我没作案。
如果四人中有两人说的是真话，有两人说的是假话，则以下哪项断定成立?A．说真话的是甲和丁 B．说真话的是乙和丙c．说真话的是甲和丙 D．说真话的是乙和丁这是典型的利用分析矛盾解析的试题。
历年至今，在全国各地公务员考试中屡不鲜。
解析这类试题，关键要找到条件之间的逻辑矛盾，然后真假自明。
什么是逻辑矛盾？简明地说，两个不同的断定，必有一个真，一个假。
比如：“这马是白的”和“这马不是白的”就构成了逻辑矛盾。
两者不能同真也不能同假。
而“这马是白的”和“这马是黄的”就不是逻辑矛盾。
虽然它们不能同真，但有可能都是假的——如果它是一匹红色的马呢？了解了这些常识，可以利用分析矛盾的方法，解答上题。
[解析]1）四人中，两人诚实，两人说谎。
2）甲和乙的话有矛盾！甲：我们四人都没作案；乙：我们中有人作案；可断定：甲和乙两人一个诚实一个撒谎。
剩余丙、丁两人中也必然是一个诚实一个撒谎。
3）假设：丁说的是真话，那么，可推出丙说的话也真啊！丙：乙和丁至少有一人没作案；丁：我没作案。
初中数学规律探究性题目的解题技巧
多 有（ ｎ －１） 个交点，总共有 ｎ 条直线，按理说应有 ｎ（ ｎ －１） 个交点，但是
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巧 用 “１２４ 合 作 小 组 ” 提 高 英 语 教 学 效 果
成一组平方数。
第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（ 即找第一个数与 １ 的
关系，第二个数与 ２ 的关系，第三个数与 ３ 的关系 ……） 这组新的平方数
第一个数正好是 ０ 的平方，第二个数正好是 １ 的平方，第三个数正好是 ２
的平方，第四个数正好是 ３ 的平方，依此类推， 第十八个数为 １７ 的平方 （１７２ ） ，再把它加上 １ 就是原来那组数的第十八个数，所以原来那组数的
ａ ＋ｂ ＋ｃ ＝１
ａ ＝１
４ａ ＋２ｂ ＋ｃ ＝２ 解得 ｂ ＝－２
９ａ ＋３ｂ ＋ｃ ＝５
ｃ ＝２
所以 ｙ ＝ｘ２ －２ｘ ＋２ ＝ｎ２ －２ｎ ＋２，从而得到第 ｎ 个数的通式为：ｎ２
－２ｎ ＋２ 把 ｎ ＝１８ 代入通式 ｎ２ －２ｎ ＋２，其结果是 １８２ －２ ×１８ ＋２ ＝２９０，即
４．指导调控 应用“１２４ 合作小组” 进行教学，需要制定课堂讨论规 则，如：耐心听取他人发言，充分肯定他人成绩，理智表达自我观点，虚心 接受别人批评等。 小组活动时， 教师要深入到学生中去，了解存在的问 题，及时纠正错误的倾向。对所出现的情况进行督查、指导、帮助，充分发 挥好教师的指导调控作用。
例 ２．有一组数为 １，４，９，１６，２５，３６……
求第 ２０ 个数为———，第 ｎ 个数为———
分析：第一步，寻找个体的共性。 这组数的每一个数都等于某数的
全国中考数学题分类汇编 规律探索之欧阳法创编
规律探索一．选择题1．（2013·泰安，20，3分）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是（）A．0B．1C．3D．7考点：尾数特征．分析：根据数字规律得出3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字相当于：3＋7＋9＋1＋…＋3进而得出末尾数字．解答：解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2013÷4＝503…1，∴3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字相当于：3＋7＋9＋1＋…＋3的末尾数为3，点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．2.（2013四川绵阳，12，3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2013=（ C ）A ．（45，77）B ．（45，39）C ．（32，46）D ．（32，23）［解析］第1组的第一个数为1，第2组的第一个数为3，第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33……将每组的第一个数组成数列：1，3，9，19，33…… 分别计作a 1,a 2,a 3,a 4,a 5……a n ， a n 表示第n 组的第一个数，a 1=1a 2= a 1+2a 3= a 2+2+4×1a 4 = a 3+2+4×2a 5= a 4+2+4×3……a n = a n-1+2+4×(n-2)将上面各等式左右分别相加得：a n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n 2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ …… + a n-1)，当n=45时，a n = 3873 > 2013 ,2013不在第45组 当n=32时，a n = 1923 < 2013 ,(2013-1923)÷2+1=46, A 2013=(32,46).如果是非选择题：则2n 2-4n+3≤2013，2n 2-4n-2010≤0，假如2013是某组的第一个数，则2n 2-4n-2010=0，解得n=1+ 1006, 31<1006<32,32<n<33, 2013在第32组，但不是第32组的第一个数，a 32=1923, (2013-1923)÷2+1=46. (注意区别a n 和A n )3. （2013湖南益阳，13，4分）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 的值应是．【答案】：21【解析】通过观察可知上一排每个数字等于其左下方的数字。
(完整版)中考规律探究题的解题方法
中考规律探究题的解题方法数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1、一般地，常用字母n为正整数，从1开始。
2、在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3、熟记常用的规律①1、4、9、16...... n2②1、3、6、10……(1)2n n+③1、3、7、15……2n-1④1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥2+4+6+…+2n=n(n+1)⑦12+22+32….+n2=16n(n+1)(2n+1)⑧13+23+33….+n3=14n2(n+1）数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1、观察法例1：观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）例2：探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。
2、函数法例3、将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法n= （用含例4：有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。
练习：1、观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3……请将你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：。
小升初----探索规律之欧阳光明创编
六年级数学“专项突破”欧阳光明（2021.03.07）探索规律一、知识梳理1.算式中的规律在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，从而认记或完成这类题。
2.数列中的规律按一定顺序排列的一列数叫做数列；⑴规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中；⑵前后几项为一组，以组为单位找关系才可以找到规律。
3.数图形中的规律解答数图形的题目，要按一定的顺序去数，做到不遗漏，不重复。
4.方阵中的规律日常生活中，我们经常会遇到一些有关正方形的问题，如运动会上大型体操表演的正方形队列、正方形的池塘边植树等，我们称为方阵问题；方阵问题一般分为实心方阵和空心方阵两种；方阵问题的特点是：方阵每边数量相等，相邻两层，每边上的数量相差2。
⑴四周数=（每边数－1）×4⑵实心方阵的数量关系为：总数=外层每边数×外层每边数⑶空心方阵的数量关系为：总数=（外层每边数－层数）×层数×45.周期中的规律解答周期问题的关键是找出周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，如果比整数个周期多几个，那么结果为下一个周期里的第几个，如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算。
6.搭配中的规律搭配问题的解题思路类似于乘法原理，即做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事，有n=m 1×m 2×m 3×…×m n 种不同的方法。
二、典例剖析题型一：找规律填数 一串分数：11，21，22，21，31，32，33，32，31，41，42，43，44，43，42，41… ⑴107是第几个分数？⑵第400个分数是几分之几？题型二：找规律填图四个同学玩换座位的游戏，虎子坐在1号位子上，美美坐在2号位子上，丽丽坐在3号位置上，苗苗坐在4号位子上，以后他们不停的交换座位，第一次上、下两排交换，第二次是左右交换，第三次再上、下交换，第四次再左右交换……这样一直进行下去，第十次交换后，丽丽坐在第几号位子上？丽丽 ？ 3 4 丽丽苗苗 虎子 美美 ？ ？题型三：巧用规律计算计算312⨯－532⨯－732⨯－…－101992⨯题型四：巧用规律解决实际问题10条直线最多能把一个平面分成几部分？题型五：日期的规律甲在3月上旬过生日，乙在4月下旬过生日，他俩的生日日期数的和是31。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是一类需要通过观察、归纳、推理等方法来找出数学规律的问题。
这类问题通常涉及数字序列、图形变换、等式变形等方面，要求学生在探究规律的过程中培养逻辑思维能力和数学思维方式，提高解决问题的能力。
一、数字序列类问题数字序列类问题是初中数学中最常见的规律探究问题。
这类问题通常要求学生根据给定的数字序列找出其中的规律，并推算出下一个数字或几个数字。
解决这类问题的关键是观察敏锐和逻辑推理能力。
具体的解题技巧如下：1.观察数字序列中的差值：有些数字序列是等差数列，差值相等；有些数字序列是等比数列，比值相等；有些数字序列可能是其他规律，需要用其他方法来找出。
2.找出数字序列中的特殊数字：有些数字序列中会有特殊的数字，比如首项为1的斐波那契数列，第三个数字开始，每个数字是前两个数字之和。
3.归纳误差法：当已知前几个数字后无法确定规律时，可以假设一个规律并进行验证，找出规律的特点和一般性质，再用这个规律来验证后续数字。
二、图形变换类问题图形变换类问题通常涉及图形的旋转、翻转、平移、缩放等操作，要求学生根据给定的图形或一系列图形的变换找出其中的规律。
解决这类问题的关键是观察图形的形状和位置的变化，利用几何知识进行分析。
具体的解题技巧如下：1.观察图形的对称性：有些图形在某种变换后会保持对称，比如旋转180度后还是原来的图形。
2.观察图形的放大缩小关系：有些图形在变换后会变成原来的图形的倍数，比如放大或缩小一定的倍数。
3.观察图形的平移关系：有些图形在变换后会平移一定的距离，比如向左或向右平移一定的格数。
三、等式变形类问题等式变形类问题通常要求学生通过等式的变形推导出另一个等式，并验证等式的等价性。
解决这类问题的关键是掌握等式变形的基本方法和技巧。
具体的解题技巧如下：1.使用性质和定理：根据等式的性质和定理进行变形，如分配律、合并同类项等；2.开展移项、约去等操作：通过移动变量的位置、约去相同因式等操作推导出新的等式；3.代入数值验证等式的等价性：可以代入一些具体的数值来验证等式是否成立。
初中数学规律探究题之欧阳语创编
归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
A．37B．35C．31D．393．（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015的值是1014049．4．（沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为82+92+722=732．10．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则6+=()__________________________________.a b考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是3n+4．2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需2n+1根火柴棒．3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为____________（用含n的代数式表示）．4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为6n+2．6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有91个正方形．7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32 B．29 C．28 D．26 10．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21 B．24 C．27 D．3011. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．考点三:几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。
人教八年级数学上册同步练习题及答案之欧阳歌谷创作
欧阳歌谷创编 2021年2月1欧阳歌谷创编 2021年2月1 第十一章 全等三角形欧阳歌谷（2021.02.01）11.1全等三角形1、 已知⊿ABC ≌⊿DEF ，A 与D ，B 与E 分别是对应顶点，∠A=52°，∠B=67°，BC =15cm ，则F =，FE = .欧阳歌谷创编 2021年2月1 2、∵△ABC≌△DEF∴AB=，AC=BC=，（全等三角形的对应边）∠A=，∠B=，∠C=；（全等三角形的对应边）3、下列说法正确的是（）A：全等三角形是指形状相同的两个三角形B：全等三角形的周长和面积分别相等C：全等三角形是指面积相等的两个三角形 D：所欧阳歌谷创编 2021年2月1欧阳歌谷创编 2021年2月1 欧阳歌谷创编 2021年2月1C有的等边三角形都是全等三角形4、如图1：ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_____，∠C=____。
课堂练习1、已知△ABC ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD=，∠A=；2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，欧阳歌谷创编 2021年2月1 欧阳歌谷创编 2021年2月1 BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE=cm ，EC=cm ，∠C=度.3、如图，△ABC≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300，则DCB=度； （第1小题）（第2小题）（第3小题）（第4小题）4、如图，若△ABC ≌△ADE ，则对应角有；FE D C B A E D C B A欧阳歌谷创编 2021年2月1 欧阳歌谷创编 2021年2月1 对应边有（各写一对即可）；11.2.1全等三角形的判定（sss ）课前练习1、如图1：AB=AC ，BD=CD ，若∠B=28°则∠C=；2、如图2：△EDF ≌△BAC ，EC=6㎝，则BF=；3、如图，AB ∥EF ∥DC ，∠ABC ＝900，AB ＝DC ，那么图中有全等三角形对。
例1 一项工程,甲队单独做完要12天,乙队单独做完要10天之欧阳歌谷创编
例1 一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要10天，两队合做多少天就可以完成？【分析1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的112，乙队每天完成工程的110，甲乙合做每天完成工程的1160，工程“1”里包含几个1160，就是两队合做完成这个工程的天数.欧阳歌谷（2021.02.01）【解法1】两队合做1天完成的工程？112＋110=1160两队合做多少天完成这项工程？1÷1160=5511（天）综合算式： 1÷（112+110）=1÷1160=5511（天）.【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60，所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5，乙队工作效率为60÷10=6，甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11，即得两队合做完成这个工程的天数.【解法2】假设这项工程总工作量为60.60÷（60÷12+60÷10）=60÷（5+6）=60÷11=5511（天）.【分析3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10÷=（天）完成.【解法3】 10÷（1+10÷12）=10÷（1+）=10÷=（天）.【分析4】甲队12天的工作量，乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即天。
那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+=（天）.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12÷=（天）.【解法4】 12÷（1+12÷10）=12÷（1+）=12÷=（天）.答：两队合做天就可以完成.【评注】解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。
全国中考数学真题解析--38.规律探索(54页)之欧阳治创编
规律探索时间2021.03.10 创作：欧阳治一、选择题1.（2014•湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）第1题图A．（）n•75°B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°考点：等腰三角形的性质．专题：规律型．分析：先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n为顶点的内角度数．解答：解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C==75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；同理可得，∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．2．（2014•重庆A,第11题4分）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20B．27C．35D．40考点：规律型：图形的变化类．分析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n=，进一步求得第（6）个图形中面积为1的正方形的个数即可．解答：解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．故选：B．点评：此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．1. （2014•山东威海，第12题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4= (30)．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为（）A ．0 B．﹣3×（）2013C．（2）2014D．3×（）2013考点：规律型：点的坐标专题：规律型．分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2=OC2=3×；OA3=OC3=3×（）2；OA4=OC4=3×（）3，于是可得到OA2014=3×（）2013，由于而2014=4×503+2，则可判断点A2014在y轴的正半轴上，所以点A2014的纵坐标为3×（）2013．解答：解：∵∠A2OC2=30°，OA1=OC2=3，∴OA2=OC2=3×；∵OA2=OC3=3×，∴OA3=OC3=3×（）2；∵OA3=OC4=3×（）2，∴OA4=OC4=3×（）3，∴OA2014=3×（）2013，而2014=4×503+2，∴点A2014在y轴的正半轴上，∴点A2014的纵坐标为3×（）2013．故选D．点评：本题考查了规律型：点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．专题：规律型．分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）故答案为A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2）是解此题的关键．3. （2014•山东烟台，第9题3分）将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）考点：规律探索．分析：根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案．解答：3=，3得被开方数是得被开方数的30倍，3在第六行的第五个，即（6，5），故选：D．点评：本题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解题关键．4.（2014•十堰7．（3分））根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）A．B．C．D．考点：规律型：数字的变化类分析：观察不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，用2013除以4，根据商和余数的情况解答即可．解答：解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2013÷4=503…1，∴2013是第504个循环组的第2个数，∴从2013到2014再到2015，箭头的方向是．故选D．点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键．个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A ．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D．n考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：规律型．分析：根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．解答：解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选：B．点评：此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．知A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n．△A1B1P1、△A2B2P2、△A nB n P n的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n 为（）A．B．C．D．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、B n、B n+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、S n，进而得出答案．解答：解：∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，则B1（1，2），同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2（2，4），B3（2，6）…∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1，∴=，∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2，∴A1B1边上的高为：，∴=××2==，同理可得出：=，=，∴S n=．故选；D．点评：此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．2014在哪一行．解答：解：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴第6行最后一个数字是3×6﹣2=16；3n﹣2=2014解得n=672．因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．故答案为：16，672．点评：此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为﹣9 ．考点：规律型：数字的变化类分析：根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．解答：解：∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b ∴2×3﹣x=7∴x=﹣1则7×2﹣y=23解得y=﹣9．故答案为：﹣9．点评：此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP 3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P 2014为止．则AP2014= 1342+672．考点：旋转的性质．.专题：规律型．分析：由已知得AP 1=，AP2=1+，AP 3=2+；再根据图形可得到AP4=2+2；AP 5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP 8=5+3；AP9=6+3；每三个一组，由于2013=3×671，则AP 2013=（2013﹣761）+671，然后把AP 2013加上即可．解答：解：AP 1=，AP2=1+，AP3=2+；AP 4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP 7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；∵2013=3×671，∴AP 2013=（2013﹣761）+671=1342+671，∴AP 2014=1342+671+=1342+672．故答案为：1342+672．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．2. （2014•黑龙江绥化,第10题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为21007．考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据点M0的坐标求出OM0，然后判断出△OM0M1是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM1，同理求出OM2，OM3，然后根据规律写出OM2014即可．解答：解：∵点M0的坐标为（1，0），∴OM0=1，∵线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，M1M0⊥OM0，∴△OM0M1是等腰直角三角形，∴OM1=OM0=，同理，OM2=OM1=（）2，OM3=OM2=（）3，…，OM2014=OM2013=（）2014=21007．故答案为：21007．点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键．4. （2014•湖南永州,第16题3分）小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA ．题号1 2 3 4 5 得分答案选手小聪 B A A B A 40小玲 B A B A A 40小红 A B B B A 30考推理与论证．点：分析：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析．解答：解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误．第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B．总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA．故答案是：BABBA．点评：本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键．5. （2014•黔南州，第18题5分）已知==3，==10，==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算= 56 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：对于C a b（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘b的个数．解答：解：∵==3，==10，==15，∴==56．故答案为56．点评：此题主要考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键．6．(2014年广西钦州，第18题3分)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是336 分．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据题意得甲报出的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3（n﹣1），由于1+3（n﹣1）=2014，解得n=672，则甲报出了672个数，再观察甲报出的数总是一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，由此得出答案即可．解答：解：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3（n﹣1）=3n﹣2，3n﹣2=2014，则n=672，甲报出了672个数，一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，得336分．故答案为：336．点评：本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．7．(2014年贵州安顺，第17题4分)如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是S n= 8n﹣4 ．考点：直角梯形．.专题：压轴题；规律型．分析：由∠AOB=45°及题意可得出图中的三角形都为等腰直角三角形，且黑色梯形的高都是2；根据等腰直角三角形的性质，分别表示出黑色梯形的上下底，找出第n个黑色梯形的上下底，利用梯形的面积公式即可表示出第n个黑色梯形的面积．解答：解：∵∠AOB=45°，∴图形中三角形都是等腰直角三角形，从图中可以看出，黑色梯形的高都是2，第一个黑色梯形的上底为：1，下底为：3，第2个黑色梯形的上底为：5=1+4，下底为：7=1+4+2，第3个黑色梯形的上底为：9=1+2×4，下底为：11=1+2×4+2，则第n个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为：1+（n﹣1）×4+2，故第n个黑色梯形的面积为：×2×[1+（n﹣1）×4+1+（n﹣1）×4+2]=8n﹣4．故答案为：8n﹣4．点评：此题考查了直角梯形的性质与等腰直角三角形的性质．此题属于规律性题目，难度适中，注意找到第n个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为1+（n﹣1）×4+2是解此题的关键．8．（2014•莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B 的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为（1342，0）．考点：规律型：点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．专题：规律型．分析：连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340（即335×4）即可到达点B2014，根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标．解答：解：连接AC，如图所示．∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC．∵∠ABC=90°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB．∴AC=OA．∵OA=1，∴AC=1．画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2014=335×6+4，∴点B4向右平移1340（即335×4）到点B2014．∵B4的坐标为（2，0），∴B2014的坐标为（2+1340，0），∴B2014的坐标为（1342，0）．点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是．考点：全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质．分析：根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为=，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第2014个正方形和第2014个正方形的边长，进一步得到点A2014到x轴的距离．解答：解：如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△1CE1D1，…，∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…，∴B2014E4016=，作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F，则△C1D1F∽△C1D1E1，∴=，在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，正方形A 1B1C1D1的边长为为=，∴D1F=，∴A1F=，∵A1E∥D1E1，∴=，∴A1E=3，∴=，∴点A2014到x轴的距离是×=点评：此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．10. （2014•湖北黄石,第16题3分）观察下列等式：第一个等式：a1==﹣；第二个等式：a2==﹣；第三个等式：a3==﹣；第四个等式：a4==﹣．按上述规律，回答以下问题：（1）用含n的代数式表示第n个等式：a n==；（2）式子a1+a2+a3+…+a20=．考点：规律型：数字的变化类．分析：（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可．解答：解：（1）用含n的代数式表示第n个等式：a n==﹣．（2）a1+a2+a3+…+a20=﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣．故答案为：（1），﹣；（2）﹣．点评：此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．11．（2014•四川绵阳,第18题4分）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为S n，请根据图2化简，S1+S2+S3+…+S2014= 1﹣．考规律型：图形的变化类点：分析：观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公式．解答：解：观察发现S1+S2+S3+…+S2014=+++…+=1﹣，故答案为：1﹣．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律．12．（2014•浙江绍兴,第15题5分）如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…A n﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…B n﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…A n﹣1B n﹣1，分别交曲线y=（x＞0）于点C1，C2，…，C n﹣1．若C15B15=16C15A15，则n的值为17 ．（n为正整数）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：先根据正方形OABC的边长为n，点A1，A2…A n﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…B n﹣1为CB的n等分点可知OA15=15，OB15=15，再根据C15B15=16C15A15表示出C15的坐标，代入反比例函数的解析式求出n的值即可．解答：解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2…A n﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…B n﹣1为CB的n等分点∴OA15=15，OB15=15，∵C15B15=16C15A15，∴C15（15，），∵点C15在曲线y=（x＞0）上，∴15×=n﹣2，解得n=17．故答案为：17．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上k=xy为定值是解答此题的关键．的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是7，3，10 ．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S= 11 ．（用数值作答）考点：规律型：图形的变化类；三元一次方程组的应用．分析：（1）观察图形，即可求得第一个结论；（2）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及多边形DEFGHI中的S，N，L数值，代入建立方程组，求出a，b，c即可求得S．解答：解：（1）观察图形，可得S=7，N=3，L=10；（2）不妨设某个格点四边形由四个小正方形组成，此时，S=4，N=1，L=8，∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得，解得，∴S=N+L﹣1，将N=5，L=14代入可得S=5+14×﹣1=11．故答案为：（Ⅰ）7，3，10；（Ⅱ）11．点评：此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题．A在数轴上表示的数分别是0，0.1．将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2．…，P99．则点P37所表示的数用科学记数法表示为3.7×10﹣6．考点：规律型：图形的变化类；科学记数法—表示较小的数．分析：由题意可得M1表示的数为0.1×=10﹣3，N1表示的数为0×10﹣3=10﹣5，P1表示的数为10﹣5×=10﹣7，进一步表示出点P37即可．解答：解：M1表示的数为0.1×=10﹣3，N1表示的数为0×10﹣3=10﹣5，P1表示的数为10﹣5×=10﹣7，P37=37×10﹣7=3.7×10﹣6．故答案为：3.7×10﹣6．点评：此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字之间的运算方法，找出规律，解决问题．古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=．考点：规律探索．分析：由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．解答：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．点评：本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．3.（2014•遵义16．（4分））有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次答：∵2014÷4=503…2，∴滚动第2014次后与第二次相同，∴朝下的点数为3，故答案为：3．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．4.（2014•娄底19．（3分））如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由3n+1个▲组成．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解答：解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是﹣3（结果需化简）．考点：算术平方根．专题：规律型．分析：通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：（﹣1）1+1×0，（﹣1）2+1，（﹣1）3+1…（﹣1n+1），可以得到第16个的答案．解答：解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），∴第16个答案为：．故答案为：．点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．6. （2014•江苏盐城,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为24n﹣5．（用含n的代数式表示，n为正整数）考点：正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．解答：解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A（8，4），下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为（45，12）．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2014所在的位置．解答：解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；∵45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，∴2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为（45，12）．故答案为：（45，12）．点评：此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．8．（2014•四川遂宁，第15题，4分）已知：如图，在△ABC 中，点A 1，B 1，C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点，A 2，B 2，C 2分别是B 1C 1，A 1C 1，A 1B 1的中点，依此类推…．若△ABC 的周长为1，则△A n B n C n 的周长为． 考点：三角形中位线定理．专题：规律型． 分析： 由于A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，就可以得出△A 1B 1C 1∽△ABC ，且相似比为，△A 2B 2C 2∽△ABC 的相似比为，依此类推△A n B n C n ∽△ABC 的相似比为，。
初中数学规律探究题的解题方法之欧阳学创编
Equation Chapter 1 Section 1初中数学规律探究题的解法指导一、数式规律探究1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+③ 1、3、7、15……2n-1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)⑦12+22+32….+n2=16n(n+1)(2n+1)⑧13+23+33….+n3=14n2(n+1）（9）2，4.8.16.32......2n数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：3.观察法例 1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：①1×12=1-12观察相应位置上变化的数字与序列号②②2×23=2-23的对应关系（注意分清正整数的奇偶）③3×34=3-34易观察出结果为：③4×45=4-45例 2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。
3200的个位数字是。
分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：4.作差法例 3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：则a n=（用含n的代数式表示）分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）例 4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。
初中数学常用的十种解题方法之欧阳歌谷创作
初中数学常用的十种解题方法欧阳歌谷（2021.02.01）数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
边坡稳定性计算方法之欧阳歌谷创编
一、边坡稳定性计算方法欧阳歌谷（2021.02.01）在边坡稳定计算方法中，通常采用整体的极限平衡方法来进行分析。
根据边坡不同破裂面形状而有不同的分析模式。
边坡失稳的破裂面形状按土质和成因不同而不同，粗粒土或砂性土的破裂面多呈直线形；细粒土或粘性土的破裂面多为圆弧形；滑坡的滑动面为不规则的折线或圆弧状。
这里将主要介绍边坡稳定性分析的基本原理以及在某些边界条件下边坡稳定的计算理论和方法。
（一）直线破裂面法所谓直线破裂面是指边坡破坏时其破裂面近似平面，在断面近似直线。
为了简化计算这类边坡稳定性分析采用直线破裂面法。
能形成直线破裂面的土类包括：均质砂性土坡；透水的砂、砾、碎石土；主要由内摩擦角控制强度的填土。
图 9 － 1 为一砂性边坡示意图，坡高 H ，坡角β，土的容重为γ，抗剪度指标为c、φ。
如果倾角α的平面AC面为土坡破坏时的滑动面，则可分析该滑动体的稳定性。
沿边坡长度方向截取一个单位长度作为平面问题分析。
已知滑体ABC重 W，滑面的倾角为α，显图9-1 砂性边坡受力示意图然，滑面 AC上由滑体的重量W= γ（Δ ABC）产生的下滑力T和由土的抗剪强度产生的抗滑力Tˊ分别为：T=W · sina和则此时边坡的稳定程度或安全系数可用抗滑力与下滑力来表示，即数表达式则变为从上式可以看出，当α =β时，F s 值最小，说明边坡表面一层土最容易滑动，这时当 F s =1时，β=φ，表明边坡处于极限平衡状态。
此时β角称为休止角，也称安息角。
此外，山区顺层滑坡或坡积层沿着基岩面滑动现象一般也属于平面滑动类型。
这类滑坡滑动面的深度与长度之比往往很小。
当深长比小于 0.1时，可以把它当作一个无限边坡进行分析。
图 9-2表示一无限边坡示意图，滑动面位置在坡面下H深度处。
取一单位长度的滑动土条进行分析，作用在滑动面上的剪应力为,在极限平衡状态时，破坏面上的剪应力等于土的抗剪强度，即得式中N s =c/ γ H 称为稳定系数。
逆矩阵的求法之欧阳歌谷创编
5．求具体矩阵的逆矩阵
欧阳歌谷（2021.02.01）
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．
方法1伴随矩阵法：．
注1对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意元素的位置及符号．特别对于2阶方阵，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律．
注2对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵．
方法2初等变换法：
注对于阶数较高()的矩阵，采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换．
方法3分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式
其中均为可逆矩阵．
例1已知，求．
解将分块如下：
其中，
而
，
从而
例2已知，且，试求．
解由题设条件得
例3 设4阶矩阵
且矩阵满足关系式，试将所给关系式化简，并求出矩阵．
解由所给的矩阵关系式得到
，即
故．利用初等变换法求．由于
故
例4 设，则_________.
应填：.
分析在遇到的有关计算时，一般不直接由定义去求，而是利用的重要公式.如此题，由得，而，于是
=
例5已知，试求和．
分析因为，所以求的关键是求．又由知，可见求得和后即可得到．
解对两边取行列式得，于是
即，故
又因为，其中，又，可求得
，
故由得
例 6 设，其中（），则
____.
应填：.
分析法1.，其中，.
从而.又，，代入即得的逆矩阵.
法2.用初等变换法求逆矩阵.
=
故。
找规律填数练习题之欧阳歌谷创编
找规律填数练习题欧阳歌谷（2021.02.01）1．仔细观察每一排数的排列有什么规律，然后按规律在（）内填上适当的数．（1）2，4，8，16，（），64．（2）1，4，9，16，（），36，49．64．（3）1，4，7，10，13，（），19，21．（4）1，4，16，64，（），1024，4096．（5）2，3，5，9，17，（），65，129．（6）15，4，13，4，11， 4，（），（）．（7）8，15，10，13，12，11，（），（）．2．空格里应填什么数？ 3．找规律填数．4．在○中填数：已知9999÷9=1111，想一想：在○中填上什么数字，才能使下面的等式成立？（1）○999○÷9=2222；（2）○999○÷9=3333；（3）○999○÷9=4444；（4）○999○÷9=7777；（5）○999○÷9=9999．例1.找规律填数。
（1）27，6，23，6，19，6，15，6，（），（）（2）2，3，5，8，12，（），（）（3）18，4，15，8，12，12，9，16，（），（）针对练习：找规律填数。
（1）21，5，18，5，15，5，（），（）（2）1，2，4，2，7，2，10，（），（）（3）37，4，29，4，21，4，（），（）（4）1，3，7，13，21，（），（）（5）51，42，34，27，（），（）（6）63，48，35，24，（），（）例2．仔细观察，找出规律，并根据规律在括号里填上合适的数。
（1）1，2，4，8，16，（），（）（2）128，64，32，16，（），（）针对练习：找出规律，并根据规律在括号里填上合适的数。
（1）2，4，8，16，（）（2）81，27，9，3，（）（3）2，8，32，128，（）（4）64，32，16，8，（）（5）3125，625，125，25，（）例3．找出各组数间的规律，在横线上填上合适的数。
初中常见二次根式化简求值的九种技巧之欧阳歌谷创编
常见二次根式化简求值的九种技巧1. 欧阳歌谷（2021.02.01）2.估值法例题1：估计184132+⨯的运算结果应在（ ）A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图3.公式法 例题3：计算)3225()65(-⨯+3.拆项法例题4：计算)23)(36(23346++++ 提示：)23(3)36(23346+++=++4.换元法例题5：已知12+=n ，求：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。
5.整体代入法例题6：已知2231-=x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。
6.因式分解法例题7：计算15106232++++例题8：计算y xy x xy y x +++2 （y x ≠）7.配方法例题9：若a, b 为实数，153553+-+-=a a b ，试求22-+-++b aa b b aa b的值。
8.辅元法例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ）求y x z x yx 2++++的值。
9.先判后算法例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简b aa ab b +并求值。
巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题 例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等， 求22223y xy x y xy x +--+的值。
整数裂项之欧阳歌谷创编
整数裂项欧阳歌谷（2021.02.01）后延减前伸差数除以N——例谈整数裂项河南省太康县城关镇建南小学（461400）对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。
单数一口清介绍之欧阳歌谷创编
单数一口清介绍欧阳歌谷（2021.02.01）单数一口清，就是一位数和多位数相乘时，能快速得出其结果的一种计算方法，这种方法使之积凭大脑进行计算的，不需要任何计算工具，这种方法打破了人类几千年来从高位到低位算起，并能瞬间运算出正确结果。
这种方法还可以锻炼大脑，开发智力，启迪思维，拓宽视野，放飞梦想.单数一口清是乘法的重中之重，它是多位数乘法及乘方开方等数学计算中的基础，下边将要介绍从2到9的的一口清计算式所用的各种口诀，方法和技巧。
2的单数一口清【重点点拨】单数一口清的计算是从左到右进行的，积的每位数字都是由“本个”加“后进”等于和，的个位数所组成的，单数一口清中所有从2到9的“本个”都与其简单口诀，后进，也有其单独的进位规律。
2的单数一口清“本个”和后进的口决就是；本位翻倍，满5进1【例题解析】例题一：计算2378乘以2解析:2378乘以2的一口清，它们的每个数都是由“本个”加，“后进”组成的，“本个“的口诀是：本位反翻倍，本位翻倍后的”本个“应该分别是4,6,4,6.而“后进“的口诀是：满5进一。
十位数7满5，应往百位数上进一，个位数8满5，应往十位数上进一。
【解题过程】例题二。
计算45679乘以2解析；本例题的“本个“应该分别是：8,0,2,4,8.而后位数都满5都要往前进位一。
【解题过程】单数一口清看到这里是不是有点小成就了，继续吧，你会学好的，1.436乘以22,847乘以23.953乘以24.9854乘以2三的单数一口清【重点点拨】3的单数一口清，积的每位数字也都是由“本个”十“后进”等于和的个位数所组成的，只不过它“本个”的口诀比较麻烦一些。
3的单数一口清，“本个”的口诀是：1,2,3直写倍4,8，分半，5个5；6负2，7是1；9是7“后进”的口诀是：超三进一，超六进二【例题解析】例题一，计算2486乘以3解析：3的单数一口清“本个”的口诀中：1,2,3直写倍。
就是直写乘以3的倍数3,6,9,4,8分半就是“本个‘的数字应该是4和8的一半2和4；5的本个还是5.！ 6负2的意思是比10少2.”本个“应该是8；7的”本个“是1，9的”本个肯定是7“后进的口诀是超三进一，超六进二，就是说后位数必须超过3的循环数才能进位1，如34,4,5等，超过6的循环数才能进2.如6 7、6、7、8、9等例题二；计算3759乘以3解析：本例题的“本个“应该分别是：9,1,5,7，而进位规律却分别应是：1,2,1,2好了今天的三数一口清就到这里了，明天是四数一口清，不知道你准备好了没有，下边几道题一定要拿去试试啊，1.436乘以32.389乘以33.712乘以34.569乘以34的单数一口清[日期：2012-9-10 18:35:30] 来源：儿童启蒙教育网作者：林亮[字体：大中小] 【重点点拨】4的单数一口清“本个”的口诀是：偶为补数，奇为凑数“后进”的口诀是：满25进一，满5进2；满75进3；【例题解析】例题一，计算2349乘以4解析：4的单数一口清“本个”的口诀是：偶为补数，奇为凑数。
思维拓展_图形找规律--题+答案之欧阳学文创编
思维拓展《图形找规律》姓名：欧阳歌谷（2021.02.01）一、填空题1.下图是按照一定规律排列起来的,请按这一规律在“?”处画出适当的图形.2..3.(1) (2) (3) (4) (5) (6)4.下图看似复杂,实际上只要你找到合适的方法,你就不费吹灰之力就可以解答出来,试试看,好吗?..7.找一下规律,从a,b,c,d,e 中选入一幅图填入空格内.?那么 应变为10.下面一组图形的阴影变化是有规律的,请根据这个规律把第四幅图的阴影部分画出来.二、解答题11.图中,哪个图形与众不同?(1) (2) (3) (4) (5)12.有一个立方体,每个面上分别写上数字1、2、3、4、5、6、,有3个人从不同的角度观察的结果如下图所示,这个立方体的每一个数字的对面各是什么数字? 13.下面是由几何图形组成的帆船图形,请按照一定的规律,在标序号处画出符合规律的小帆船.———————————————答案——————————————————————1. 这一组图形我们应该从两方面来看:一是旗子的方向,二是旗子上星星的颗数. .第1面旗子向右,第2面向上,第4面向下,可以发现,旗子的方向是按逆时针旋转的,并依次旋转︒90,所以第3面旗子应是第2面逆时针旋转︒90得来的,旗子应向下倒立.其次我们看旗上星星的颗数.第1面是5颗,第2面是4颗,第4面是2颗,可见颗数是依次减少1颗,所以第3面旗上应是3颗星星.1 26 1 3 4 ① ②③所以“?”处的图形应为:2. 这组图形的变化只在于正方形中阴影部分的位置.通过观察,我们可以发现阴影部分是按照逆时针方向依次旋转︒90得到的.所以“?”处的图形应为:3. 选(4).因为变化规律是从左到右依次逆时针旋转︒90.4. 在这组图形中,不变的有以下几点:大小正方形不变,两条对角线不变.所以“?”处也应有大小两个正方形和两条对角线.发生变化的有:一、阴影部分和黑色部分的位置.通过观察,我们可以看出这两部分都是按逆时针方向依次旋转︒90得到的,所以“?”处的阴影部分应是小正方形的右边,黑色部分应在大正方形的下部.二、小竖线的位置.小竖线是从图形中心到相应的边所作的一条垂线.它的变化规律是按逆时针方向依次旋转︒90,这样,整个图形我们就分析完了,下面看一看你画出的图形和书上的一样吗?如果一样,就做对了.5. 因为要填的是第1幅图,我们可以从后往前看.首先三角形的个数是发生变化的,依次是7、5、3.可以发现是从后向前依次减少2个的.所以第1幅图中应有1个三角形.其次三角形的方向也是有变化的,从后面观察,三角形是按逆时针方向依次旋转︒90,所以第1幅图中的三角形应向上,阴影部分在右边.如下图所示:6. 横行观察,圆的个数逐次减少1个,所以到第4行,圆的个数应为1,所以“?”处应是“△”.或者从三角形考虑,三角形的个数为0、1、2,是逐次增加1,所以第4行中三角形的个数应为3,所以“？”处应为“△”所以最后的图形为:7. 选a.根据对角图形规律,可知右下角图形是a图.8. 分析:先看不变的部分.在整个变化过程中,图形中大、小两个圆圈没有变化,因此可以肯定空白处的图形一定也有大、小两个圆圈,位置一里一外.变化的部分可为两部分:①图形中的直线部分,其变化规律是每次顺时针旋转︒90;②图形中的阴影部分,其变化规律是每次逆时针旋转︒90,黑色部分交替出现.解:根据上面的分析,可画出空白处的图形如图所示.9. 先应找出变化的规律,然后再依此规律,在空白处填画出所缺的图形.从第一行可以看到,当左边的图形变成右边的图形时,下部图形移到上面,里面的图形移到下面,上面的外部图形移到里面,各部分的颜色都没有变.根据这一规律,我们可以把下面图形变为:10. 先看第1行,阴影部分所在的位置是1、2、3.是逐次向后一个,所以第四幅图中第1行的阴影部分应在第4格.同样,第2行是2、3、4.4再向后应是5了,但没有第5个格,所以折回到第1个格.同理可推出第3行的阴影部分在第2格,第4行的阴影部分在第3格.还可以这样想:在同一行中,阴影部分都不在同一位置,所以第1行已经被占去了第1、2、3格,所以第四幅图的第一行阴影部分一定是第4格,同理推出第2、3、4行中阴影部分的位置.最后的答案如下图所示.11. 分析:这五辆汽车车窗一致,车轮一致,车底一致,差异就只能在车头、车身部分去寻找.从车身看,(3)与众不同,只用一笔画成,可是它的车头与(1)同;从车头看:(2)与众不同,(因车头(1)与(3)同,(4)与(5)同),但是(2)的车身与(1)、(4)、(5)类似.所以从车头、车身这些特征比较出来的图形,理由不足以说服人.我们把目光转移到笔划多少上,就可以找到与众不一的车辆了.解:与众不同的汽车是(1).其他四车均是由一个矩形、两个圆以及四条直线段、一段弧线画成,而(1)多一条直线段.12. 这个题目并不难.但是,推理方法不正确的话,也很难看出答案.直接考虑数字1的对面是什么数,想不出来.不妨换一种思维方式,想一想1的对面不是什么数.从第1个图看出1的对面不是4和6;从第2个图看出1的对面不是2和3,所以1的对面只能是5.同样的方法可以得到,4的对面是2;3的对面是6.13.因为正锥体的每个顶点连接三个面.当正锥体在雪花格纸上按顺时针方向旋转时,只有写有1、2、4三面所围出的顶点一直在雪花格的中心,所以只有1、2、4贴纸面旋转,雪花格有6个小格,正好可以转两圈,所以回到原地各面数字仍是原样分布.14.每一只小帆船都由三部分组成:船体、帆和小旗.这三部分都是变化的,另外船体的颜色也是变化的.下面我们逐一来分析.①船体的形状:帆船的船体都是由半圆、梯形、三角形组成,并且每一横行(或竖行)都没有重复.按照这一规律,我们可以确定船体的形状.因为①所在的位置横行、竖行都只有1个图形,所以不能确定,可以先确定②或③.看②所在的横行,船体形状只有和,缺,所以②的船体形状应为梯形.看①所在的竖行,有和,缺,所以①的船体形状为 .看③所在的竖行,有和,缺,所以③的船体形状为 .②船体的颜色.每一横行(或竖行)都由阴影、黑色、白色三色组成,并且在同一行中没有重复颜色,根据这一规律,确定出①号船体为白色,②号船体为黑色, ③号船体为黑色.③帆船的形状.确定方法和前面一样.④小旗的形状.最后的答案为:。
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Equation Chapter 1 Section 1初中数学规律探究题的解法指导
欧阳歌谷（2021.02.01）
一、数式规律探究
1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律
① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……
(1)
2
n n+
③ 1、3、7、15……2n-1④ 1+2+3+4+…n=
(1)
2
n n+
⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)
⑦ 12+22+32….+n2=1
6n(n+1)(2n+1)⑧ 13+23+33….+n3=
1
4n2(n+1）
（9）2，4.8.16.32......2n
数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：
3.观察法
例1.观察下列等式：①1×1
2=1-
1
2②2×
2
3=2-
2
3③3×
3
4=3-
3
4
④4×4
5=4-
4
5……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）
分析：将等式竖排：
①1×1
2=1-
1
2观察相应位置上变化的数字与序列号
②②2×2
3=2-
2
3的对应关系（注意分清正整数的奇偶）
③3×3
4=3-
3
4易观察出结果为：
③4×4
5=4-
4
5
例 2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。
3200的个位数字是。
分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，
就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：
4.作差法
例 3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：
则a n=（用含n的代数式表示）
分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）
例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。
尝试练习：
1.观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2
×3……请将
你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：。
2.观察下列各式：2
1×2=
2
1+2；
3
2×3=
3
2+3；
4
3×4=
4
3+4；
5
4
×5=5
4+5……
设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。
3.观察下列各式：=2；=3；
请你将猜想到的规律用含正整数n(n≥1)的代数式表示出来为。
4.已知：2+2
3=22×
2
3；3+
3
8=32×
3
8；4+
4
15=42×
4
15；5+
5
24=52×
5 24…，若
10+b
a=102×
b
a符合前面式子的规律，则a+b=。
5.已知下列等式：①13=12；②13+23=32；③13+23+33=62；④
13+23+33+43=102…由此规律可推出第n等式：。
二、图形规律探究
解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，用作差法看能否解决
另一种在过程中找规律（图形的构成或者是作差法的过程）
例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。
例6．按如下规律摆放三角
形：则第④堆三角形的个数为；第（n）堆三角形的个数为。
△△△
△△△
△△△△△
△△△△△△
△△△△△△△
①②③
尝试练习：
1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子
按照某种规律摆成的一行“广”字，
按照这种规律，第5个“广”字中的
棋子个数是________，第n个“广”
字中的棋子个数是________
2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规
律，则第5个大三角形中白色三角形有个．
3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 第1个第2个第3个
（1）（2）（3）
…
n=n=n=
根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s＝．（用n的代数式表示s）4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下
图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖
__________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．
5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形
的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要
黑色棋子的个数是．
三、课外拓展：
1.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是。
2.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。
3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9
5，
16
12，
25
21，
36
32……中
得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是。
4.已知a1=
1
123
⨯⨯+
1
2=
2
3，a2=
1
234
⨯⨯+
1
3=
3
8，a3=
1
345
⨯⨯+
1
4=
4
15……
按此规律，则a99=。
5.已知
1
12
⨯=1-
1
2，
1
23
⨯=
1
2-
1
3，
1
34
⨯=
1
3-
1
4……，则
1
12
⨯+
1
23
⨯+
1
34
⨯+
…+
1
(1)
n n+=；用相同思路探究：
（（（
113⨯+135⨯+1
57⨯…+1(21)(21)n n -+=。
6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n 幅图中共有个．
7．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样
的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．
8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆．
9．用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n 次所搭
图形的周长是_______________cm （用含n 的代数式表示）。
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
…
… …
第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅
图5
第1次 第2次 第3次 第4
·。