2019年高二数学双曲线知识点总结
高二双曲线知识点大全
高二双曲线知识点大全一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一种平面曲线，它与一个对称轴相交于两个单独的点，被称为焦点。
双曲线的定义可表示为：离两个焦点的距离之差等于给定常数的点的轨迹。
1. 双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a表示实轴半轴的长度，b表示虚轴半轴的长度。
2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是曲线上离两个焦点距离之差恒定的点，而准线是曲线上离两个焦点距离之和恒定的直线。
3. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，中心对称于原点。
二、双曲线的图像特征1. 双曲线的离心率双曲线的离心率(e)定义为：e = c/a，其中c表示焦点到原点的距离，a表示实轴半轴的长度。
离心率决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线，即离两个焦点越远的点趋近于渐近线。
渐近线的方程为： y = ±(b/a)x。
其中b表示虚轴半轴的长度。
3. 双曲线的顶点和直径双曲线没有顶点，但有两条对称的虚轴。
通常，我们会称双曲线中心处的点为顶点。
直径是由两个对称的点与中心点所确定的线段。
三、双曲线的基本图像和方程变换1. 双曲线的基本图像（插入关于双曲线的示意图，可手绘或导入图片）2. 改变双曲线的形状和位置双曲线的形状和位置可以通过改变方程中的常数来实现。
例如，改变a和b的值可以调整双曲线的大小和比例，而改变c的值可以使双曲线在平面上移动。
3. 双曲线的旋转双曲线可以通过旋转来改变其方向。
通过适当调整方程中的x和y的系数，可以使双曲线绕着原点旋转一定角度。
四、双曲线的相关公式与应用1. 双曲线的离心率与焦距的关系根据焦距f和离心率e之间的关系可得：e² = 1 + (f/a)²。
2. 双曲线的弦长公式双曲线上两焦点之间的弦长可以通过以下公式计算：2a(e² - 1)。
3. 双曲线的面积计算双曲线的面积可以通过积分计算得出，公式为：S = ∫(y√(1 + (dy/dx)²))dx。
第04讲 双曲线-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)
第04讲 双曲线知识点1 双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<.常数要小于两个定点的距离． 2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线． (3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF 与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支; ①若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.【考点目录】【知识梳理】知识点2 双曲线的标准方程及简单几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)注：（1）在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.（3）与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．（5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.知识点3 双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：a PF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+- 2122||||1cos b PF PF θ=- 由三角形的面积公式可得 S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sin cos12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--知识点4 等轴双曲线和共轭双曲线1．等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为x 2a 2－y 2a 2＝1或y 2a 2－x 2a 2＝1(a ＞0)．(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y ＝±x ，离心率e ＝ 2. (3)等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠； 2．共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下： (1)有相同的渐近线； (2)有相同的焦距；(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.知识点5 直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则()()()()()()2222221212121212122211=1+k 1+k 41+1+4k k AB x x x x x x y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=.考点一 求双曲线的标准方程1．（2022春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线2213x y m m -=的一个焦点是()0,2，则实数m 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．105-D ．1052．（2022春·北京丰台·高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线2222:1y x C a b -=过点()2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．221x y -= B ．2213y x -=C ．221y x -=D ．22124y x -=【考点剖析】3．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）和椭圆22195x y +=有相同焦点的等轴双曲线方程为（ ）A ．22122x y -=B 221= C ．22144x y -=D ．2211616x y -=4．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212x y -=D ．2212y x -=5．（2022春·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线C 的焦点为()1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=6．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：()2222102x y a a a-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为72，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22136x y -=B ．221510x y -=C ．22148x y -=D ．2212y x -=考点二 双曲线的焦点三角形7．（2022春·江西上饶·高二校联考阶段练习）设P 为双曲线221169x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左，右焦点，若110PF =，则2PF 等于（ ） A ．2B ．2或18C ．4D ．188．（2022春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）已知双曲线2212x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，12PF PF +=O 为坐标原点，M 是1PF 中点，则OM =（ ）A B ．C ．D ．9．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知12,F F 分别是双曲线22144x yC :-=的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且210PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）A．2B ．4C ．D ．10．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线的右支相交于A ，B 两点，12224BF BF AF ==，1ABF 的周长为10，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3BC D考点三 双曲线定义的应用11．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，12．（2022春·广东佛山·高二统考阶段练习）对于常数a ，b ，“0ab <”是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2022·四川南充·统考三模）设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（ ） A ．()0,πθ∈ B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线右支上一点，则1PA PF +的最小值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．1115．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线22:145y x C -=的下焦点为F ，()3,7A ，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF PA -的最小值是（ ） A ．2- B ．2C ．1D ．1-考点四 双曲线的轨迹方程16．（2022·四川·高二统考）已知y 轴上两点()10,5F -，()20,5F ，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169y x -=C ．221916x y +=D ．221169x y +=17．（2022春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知P 是圆()221:316F x y ++=上的一动点，点()23,0F ，线段2PF 的垂直平分线交直线1PF 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22149x y -=C ．22145x y -=D ．()221045x y x -=>18．（2022春·陕西渭南·高二期末）一动圆P 过定点()4,0M -，且与已知圆N ：()22416x y -+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（ ） A ．221412x y +=B ．221412y x +=C ．221412x y -=D ．221412y x -=19．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆()()22221249,49C x y C x y ++=-+=：：，动圆C 与圆1C 外切，且和圆2C 内切，则动圆C 的圆心C 的轨迹方程为（ ）A ．()221379y x x -=≥B ．22197y x -=C ．22179x y -=D ．()221397x x y -=≥考点五 双曲线的离心率（一）求双曲线的离心率20．（2022春·河北唐山·高二校联考阶段练习）双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的一条渐近线方程为0x =，则C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 21．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．32C D22．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A B ､分别在双曲线的左､右两支上，0,2AF FB FC BF ⋅==，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A B CD 23．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线()222:109x y C b b -=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（ ）AB C ．32 D ．5324．（2022春·海南·高二校考阶段练习）设1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，A为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且135MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 25．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过F l 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ）A ．2 BC D（二）求双曲线离心率的取值范围26．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a -=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a -，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．⎫+∞⎪⎣⎭D ．)+∞27．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，直线l 过点F与双曲线交于,A B 两点，且AB 最小值为22b a，则双曲线离心率取值范围为（ ）A ．()1,2B ．(C ．(]1,2D ．(28．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的上、下焦点分别是1F ，2F 若双曲线C 上存在点P 使得2124PF PF a ⋅=-，22221243PF PF a b +<+，则其离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．()1,3C ．)+∞D ．()3,+∞（三）由双曲线的离心率求参数的取值范围29．（2018·陕西安康·统考三模）已知圆锥曲线221mx y +=-的离心率为2，则实数m 的值为（ ） A ．3-B ．13-C ．13D ．330．（2022春·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线22:113x y C m m -=+-m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,131．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设k 为实数，已知双曲线2214x y k -=的离心率()1,2e ∈，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,12) B ．(4,6)C ．(1,4)D ．(1,2)考点六 双曲线的渐近线32．（2022春·陕西渭南·高二期末）中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．43y x =C ．43y x =-D ．34yx33．（2022春·江苏徐州·高二期末）若双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>C 的两条渐近线所成的角等于__________.34．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(5,0)F ，两条渐近线互相垂直，则=a ______.35．（2022春·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）与双曲线22148x y -=有共同渐近线，且经过点()2,4的双曲线的虚轴的长为（ ） A．B ．C ．2D ．436．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，12F F ，分别是双曲线2222:1(00)x yC a b a b-=>>，的左､右焦点，过2F 作渐近线的垂线，垂足为H ，与双曲线的右支交于点P ，且22F P PH =，12120F PF ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±37．（2022·新疆·统考三模）已知P 是双曲线22:1169x y C -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线C 的左，右焦点，P 点又在以2F 为圆心，94为半径的圆上，则下列结论中正确的是（ ） A ．12PF F △的面积为452B ．双曲线C 的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到双曲线C 左焦点的距离是234D ．双曲线C 的右焦点到渐近线的距离为3考点七 直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系判断及应用38．（2022春·四川宜宾·高二校考阶段练习）若直线:20l x my m +--=与曲线2214x y -=有且只有一个交点，则满足条件的直线l 有（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条39．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知直线12:20,:20l x y l x y -=-=，若双曲线C 与12,l l 均无公共点，则C 可以是（ ）A ．22132x y -=B ．22143x y -=C ．22182-=y xD ．22132y x -=40．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件41．（2022·全国·高二专题练习）若直线2y kx =+与曲线x =k 的取值范围是A ．（）B ．（C ．（）D ．（1-） 42．（2022春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．(43．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）若直线l ：12y x m =-+与曲线C ：21164x x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()()0,22-B ．(0,C ．()()2,00,2-⋃D ．()0,2（二）弦长问题44．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆市青木关中学校校考阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点(F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长||AB =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1045．（2022·高二课时练习）已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A．B ．C ．6D ．46．（2022·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B 两点，若AB = ） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=47．（2022春·福建福州·高二校考期中）设1F ，2F 是双曲线C ：22163y x-=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 的渐近线上，且OP =12PF F △的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．（三）中点弦问题48．（2023·全国·高二专题练习）直线l 交双曲线22142x y -=于A ，B 两点，且()4,1P 为AB 的中点，则l 的斜率为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．149．（2022秋·河南濮阳·高二统考期末）已知直线l 被双曲线C ：24x ﹣y 2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l 的方程（ ） A ．x +4y ﹣9=0 B ．x ﹣4y +7=0 C ．x ﹣8y +15=0D ．x +8y ﹣17=050．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）A ．B ．C ．D ．51．（2022秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M -，则E 的方程为（ ）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=52．（2022·高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2D考点八 双曲线中参数范围及最值问题53．（2022春·湖南株洲·高二校联考阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．)+∞54．（2022春·福建宁德·高二统考期末）已知F 是双曲线2213x y -=的右焦点，若直线)(0y kx k =>与双曲线相交于A ，B 两点，且120AFB ∠≥︒，则k 的范围是（ ）A ．⎢⎭⎣B ．⎛ ⎦⎝C ．⎢⎭⎣D ．⎛ ⎦⎝55．（2022春·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知12,F F 分别是双曲线22:139x yC -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，△12AF F 和△12BF F 的内心分别为M ，N ，则||MN 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．56．（2022·高二课时练习）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(33-D ．(考点九 双曲线的定点、定值问题57．（2022秋·江苏泰州·高二泰州中学校考开学考试）双曲线22:12y C x -=，过定点()1,0A -的两条垂线分别交双曲线于P 、Q 两点，直线PQ 恒过定点______．58．（2022春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，则直线P A 、PB 的斜率之积等于___．59．（2022春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知圆M ：22289(9x y ++=的圆心为M ，圆N ：221(9x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C(1)求曲线C 的方程；(2)已知点(6,3)P ，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．60．（2022·全国·高二假期作业）已知等轴双曲线2222:1x y C a a -=经过点(，过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)设P 为双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，且AP 、BP 的斜率AP k 、BP k 均存在，证明AP BP k k ⋅为定值； (3)已知点(0,1)D ，求ADB ∠最小时k 的值.61．（2022春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，且点(在双曲线C 上. (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，PQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得QT 为定值.考点十 双曲线中的向量问题62．（2022春·湖南·高二校联考期中）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅=，则P 的纵坐标为（ ） A．1B ．2CD 63．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，已知()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，,A B 分别是双曲线E 的左右顶点，直线QA ，QB 的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E 的焦距为l 过点(2,0)P 且与双曲线E 交于M 、N 两点，若3MP PN =，求直线l 的方程.64．（2022春·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）中，离心率e =，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线l ：3y x =-与双曲线交于A ，B 两点，且在双曲线存在点P ，使得OA OB OP m +=，求m 的值.65．（2022春·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期中）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =； (1)求双曲线的方程；(2)过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．考点十一 双曲线中的综合问题66．【多选】（2022春·江苏·高二江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C ：2212y x -=，两个焦点记为12,F F ，下列说法正确的是（ ）A ．12F F =B ．渐近线方程为：0x =CD ．点M 在双曲线上且线段1F M 的中点为N ，若ON =1MF =67．【多选】（2022春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）如图，过双曲线222:1(0)y C x b b-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．min ||AB =B ．OAP OBP S S =△△C ．AOB S b =△D ．若存在点P ，使121cos 4F PF ∠=，且122F D DF =，则双曲线C 的离心率2e = 68．（2022春·四川成都·高二树德中学校考期中）设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（ ）A ．2F 到直线l 的距离为a B．双曲线的离心率为132C ．12PF F △的外接圆半径为5132D ．12PF F △的面积为969．【多选】（2022春·吉林长春·高二校考期中）已知双曲线C 过点(3,2)且渐近线方程为33y x =±，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C 的方程为2213x y -=B ．直线310x y ++=与双曲线C 有两个交点C ．曲线2e 1x y -=-经过双曲线C 的一个焦点D ．焦点到渐近线的距离为170．【多选】（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为()()125,0,5,0F F -，且2F 到直线by x a=的距离为4，则以下说法正确的是（ ） A ．双曲线的离心率为53e =B ．若Q 在双曲线上，且17QF =，则213QF =或1C ．若过2F 的直线交双曲线右支于,A B ，则AB 的最小值为323D ．若M 在双曲线上，且12MF MF ⊥，则12MF F △的面积为9一、单选题1．（2022春·江苏连云港·高二期末）经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（ ）A ．22188x y -=B ．22188y x -=C ．2211010y x -=D ．2211010x y -=2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）已知方程22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，则E 表示的曲线【过关检测】形状是（ ）A ．若13m <<，则E 表示椭圆B ．若E 表示双曲线，则1m <或3m >C ．若E 表示双曲线，则焦距是定值D ．若E 53m =3．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左、右焦点，点M 是过坐标原点O 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=- 则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2+C 1D4．（2022春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考期末）已知点P 是双曲线2214y x -=上的动点，过原点O 的直线l 与双曲线分别相交于M 、N 两点，则PM PN +的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知双曲线C ：221mx y +=的渐近线方程为y =，则m =（ ）A ．2B ．－2C ．D 6．（2022春·安徽合肥·高二校考期末）直线(2)l y k x =-：与双曲线222C x y -=：的左、右两支各有一个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．1k ≤-或1k ≥ B ．11k -≤≤ C．k D ．11k -<<二、多选题7．（2022春·江苏无锡·高二统考期末）已知点P 在双曲线221169x y -=上，12,F F 分别是左､右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF +=C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=8．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线y kx =与双曲线C 无交点，则k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为2三、填空题9．（2022秋·上海虹口·高二校考期末）直线1y x =+与曲线2||14x x y -=的交点个数是______. 10．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考期末）已知直线y x =与双曲线 22221(0,0)x y a b ab-=>>无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．四、解答题11．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3π4，l 与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积.12．（2022秋·上海闵行·高二校考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为y x =，左焦点为(2,0)F -经过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 在y 轴上截距为2，求||AB ；(3)若,A B 的中点横坐标为1，求直线l 的方程．13．（2022秋·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，焦点坐标为(0,. (1)求C 的方程；(2)经过点()1,4M 的直线l 交C 于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程.14．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E ， (1)求轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点2F 且法向量为(),1n a =，直线与轨迹E 交于P 、Q 两点．△过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记PQ AB λ=，试确定λ的取值范围； △在x 轴上是否存在定点M ，无论直线l 绕点2F 怎样转动，使0MP MQ ⋅=恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．。
双曲线的知识点归纳总结高中
双曲线的知识点归纳总结高中双曲线是一种重要的数学函数，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将对双曲线的基本定义、性质、图像以及常用的求解方法进行归纳总结，以帮助高中学生更好地理解和应用双曲函数。
一、基本定义双曲线是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a、b均为实数，并且b≠0。
其中cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数，是指数函数的一种。
二、性质1. 双曲余弦函数cosh(x)为偶函数，满足cosh(x)=cosh(-x)。
2. 双曲正弦函数sinh(x)为奇函数，满足sinh(x)=-sinh(-x)。
3. 双曲余弦函数与双曲正弦函数的图像分别为关于x轴对称和关于原点对称的开口向上的曲线。
4. 双曲余弦函数的导数为双曲正弦函数，即cosh'(x)=sinh(x)，而双曲正弦函数的导数为双曲余弦函数，即sinh'(x)=cosh(x)。
三、图像1. y=cosh(x)的图像是一条开口向上的曲线，它在x=0处取最小值1，随着x的增大而不断逼近直线y=1，即y=cosh(0)=1。
2. y=sinh(x)的图像是一条对称的曲线，它在x=0处取最小值0，随着x的增大而不断逼近直线y=x。
四、常用求解方法1. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的加减法公式：cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)2. 双曲函数的导数和积分公式：(cosh(x))'=sinh(x)(sinh(x))'=cosh(x)∫cosh(x)dx=sinh(x)+C∫sinh(x)dx=cosh(x)+C综上所述，双曲线是一种重要的数学函数，在高中数学学习中有广泛的应用。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
高中数学双曲线知识点
高中数学双曲线知识点双曲线知识点概述1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，它的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中a和b为实数，a > 0, b > 0）。
在直角坐标系中，双曲线是所有满足上述方程的点的集合。
双曲线有两个分支，分别位于两个不同的象限。
2. 双曲线的性质- 对称性：双曲线关于x轴和y轴对称。
- 焦点：双曲线有两个焦点，位于x轴上，其坐标为\((\pm c, 0)\)，其中c是双曲线的焦距，满足\(c^2 = a^2 + b^2\)。
- 准线：每个双曲线的分支都有自己的准线，方程为 \(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，其方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
3. 双曲线的方程- 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
- 顶点：双曲线的顶点位于 \((\pm a, 0)\)。
- 焦点距离：双曲线的焦点距离为2c，其中c满足 \(c^2 = a^2 +b^2\)。
- 准线距离：点\(m\)到双曲线准线的距离为 \(\frac{|mc -a^2|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)。
4. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，例如在天文学中描述行星轨道，在工程学中用于设计某些类型的天线和声纳系统，以及在物理学中描述某些场的分布。
5. 双曲线的图形绘制绘制双曲线时，通常需要确定其顶点、焦点、准线和渐近线的位置。
首先在坐标轴上标出顶点和焦点的位置，然后画出渐近线和准线，最后通过顶点和焦点的连线绘制出双曲线的两个分支。
6. 双曲线的变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
平移可以通过改变方程中的常数项来实现，而旋转则需要通过更复杂的变换矩阵来完成。
7. 双曲线的方程推导双曲线的方程可以通过从圆锥曲线的一般方程 \(Ax^2 + Bxy + Cy^2+ Dx + Ey + F = 0\) 出发，通过特定的代换和简化得到。
高二数学双曲线方程知识点总结
高二数学双曲线方程知识点总结高二数学双曲线方程知识点总结导语：没有别的事情能比阅读古人的名着给我们带来更多的精神上的乐趣，这样的书即使只读半小时，也会令人愉快清醒高尚刚强，仿佛清澈的泉水沁人心脾。
下面是小编为大家整理的，数学期末考复习计划，希望对大家有所帮,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLAz学习网!1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的`直线，合计3条; 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =.。
高二数学双曲线复习(新编201910)
y4x
9 16
令x=-3，y=±4，因
2 34
双曲线第二定义
到定点 F(c,0) 的距离与到定直线
x a2 (c a) 的比是常数 c 的点的轨迹
c
a
1:已知圆Ｃ1： (x 3) 2 y 2 1 圆Ｃ2
(x 3)2 y 2 9 动圆Ｍ同时与这两个
圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程 为
x 2 y 2 1(x 0)
Ｎ是ＭＦ1的中点，则ＯＮ的长
Ｍ
· · · Ｆ1 Ｏ
Ｆ2
4、两设个Ｆ焦1和点Ｆ，2点为Ｐ双在曲双线曲x线42 上，y且2 满1足的
F1PF2 90 则 F1PF2 的面积是·
Ｐ
·Ｆ1·
·
Ｆ2
5、已知双曲线 x 2 y 2 1 内有点Ｐ
4 12
（3，2），Ｆ为其右焦点，Ｍ为双曲线上
高二数学双曲线复习
容城中学 曹静宁
一： 知识回顾
• 双曲线的定义.标准方程及性质 • 能根据双曲线方程画出双曲线 • 会用待定系数法求双曲线方程 • 双曲线的渐近线的意义，共渐近
线的双曲线系
双曲线第一定义
PF1 PF2 2a
2a 2c双曲线
F1F2 2c
2a 2c两射线
2a 2c不表示任何图形
8
·M
· · C1 O
C2
2: 双曲线 x 2 y 2 1 的实轴长等于 2 3
43
虚轴长等于 4 焦点坐标 (0, 7 )ຫໍສະໝຸດ 离心率等于21 3
准线方程 y 3 7
7
渐近线方程
y 3x 2
焦点到相应准线的距离
47
7
双曲线的简单几何性质 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2
D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以 ＝ 3，
−
2
(2)设F1，F2是双曲线C：2
2
＝1(a＞
2
−
2)的两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲线的离心率为________；
2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
2
△
PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ 2.
（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
2 2
例1.(1)已知双曲线2-2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
3
当1－3k2＝0，即k＝± 3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点在高中数学中，双曲线是一个重要的曲线类型，理解和掌握双曲线的相关知识对于解决数学问题和应对考试都具有重要意义。
接下来，咱们就来详细聊聊高中双曲线的那些事儿。
一、双曲线的定义平面内到两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数 2a（2a ＜｜F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记为 2c。
需要注意的是，当 2a ＝｜F₁F₂|时，轨迹是以 F₁、F₂为端点的两条射线；当 2a ＞｜F₁F₂|时，轨迹不存在。
二、双曲线的标准方程1、焦点在 x 轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2＝ a^2 ＋ b^2\），焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
2、焦点在 y 轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2＝ a^2 ＋ b^2\），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
这里的 a 表示双曲线的实半轴长，b 表示双曲线的虚半轴长，c 表示半焦距。
三、双曲线的几何性质1、范围对于焦点在 x 轴上的双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），x 的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；y 的取值范围是 R。
对于焦点在 y 轴上的双曲线\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\），y 的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；x 的取值范围是 R。
2、对称性双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都对称。
3、顶点焦点在 x 轴上的双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在 y 轴上的双曲线\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
高二数学双曲线知识点汇总
高二数学双曲线知识点汇总双曲线是高二数学中重要的一章，它是解析几何的重要内容之一。
在本文中，将对双曲线的定义、性质以及相关公式进行详细的总结与汇总，以帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。
1. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的曲线，其定义为平面上所有点到两个不相交定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线有两种类型：横向双曲线和纵向双曲线，具体形状与焦点之间的距离差有关。
2. 双曲线的标准方程横向双曲线的标准方程为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为焦点到原点的距离，b为垂直于主轴的距离。
纵向双曲线的标准方程为：y²/a² - x²/b²= 1，其中a和b的含义同上。
3. 双曲线的焦点、准线和直径横向双曲线的焦点为(±c,0)，准线为x = ±a，直径为两焦点间的距离，即2c。
纵向双曲线的焦点为(0, ±c)，准线为y = ±a，直径同样为2c。
4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的一个重要属性，表示焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意点的距离之比。
对于横向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/a，而对于纵向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/b。
5. 双曲线的对称性和渐近线横向双曲线关于y轴对称，纵向双曲线关于x轴对称。
双曲线还有两条渐近线，横向双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x，纵向双曲线的渐近线方程为y = ±a/b * x。
6. 双曲线的图像特点当双曲线的焦点位于原点时，曲线两支在原点相交；当焦点位于x轴上时，曲线两支分离，称为“非奇异双曲线”；当焦点位于y轴上时，曲线两支开口向下，称为“奇异双曲线”。
7. 双曲线的参数方程双曲线也可以通过参数方程来表示。
双曲线的基本知识点总结
双曲线的基本知识点总结双曲线基本知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是由一个平面和一个双圆锥面相交，除去与锥面的两个交点（焦点）所得到的曲面。
在笛卡尔坐标系中，标准形式的双曲线方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 或 \( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，且 \( a > 0 \) 和 \( b > 0 \)。
2. 几何性质- 焦点：双曲线有两个焦点，位于主轴上，且距离为 \( 2c \)，其中 \( c^2 = a^2 + b^2 \)。
- 实轴：通过双曲线中心的一条轴，且与双曲线的两个分支相切。
- 虚轴：垂直于实轴并通过双曲线中心的轴。
- 半焦距：焦点到双曲线中心的距离，等于 \( c \)。
- 半实轴：实轴的一半，长度为 \( a \)。
- 半虚轴：虚轴的一半，长度为 \( b \)。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线的分支趋近于这些线。
渐近线的方程为 \( y = \pm \frac{b}{a}x \)。
3. 标准方程- 横向双曲线：\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，且 \( a^2 < b^2 \)。
- 纵向双曲线：\( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，且 \( a^2 < b^2 \)。
4. 双曲线的类型- 右双曲线：中心在原点，实轴向右延伸。
- 左双曲线：实轴向左延伸。
- 上双曲线：实轴向上延伸。
- 下双曲线：实轴向下延伸。
5. 双曲线的性质- 双曲线的两个分支是对称的。
高二双曲线的基本知识点总结
高二双曲线的基本知识点总结双曲线是数学中的一种重要曲线，它在高中数学中也是一个重要的学习内容。
本文将对高二双曲线的基本知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、双曲线的定义和基本属性双曲线可以通过平面上一对直角坐标轴以及两个焦点和一个给定的常数e来定义。
它具有以下基本属性：1. 双曲线有两条分支，分别接近于两条渐近线，渐近线的斜率分别是正无穷和负无穷。
2. 与坐标轴的交点是曲线的特殊点，它们被称为顶点和焦点。
3. 双曲线在顶点处对称。
4. 双曲线的离心率e大于1。
二、双曲线的方程和图像特点1. 标准方程双曲线的标准方程为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。
当x轴为对称轴时，a为x轴上的顶点到焦点的距离。
当y轴为对称轴时，b为y轴上的顶点到焦点的距离。
2. 图像特点双曲线的图像呈现两个向外打开的分支，两个分支在顶点处相交，顶点是双曲线的对称中心。
双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴相交于双曲线的两个顶点，与x轴交点对应的坐标为(-a, 0)和(a, 0)，与y轴交点对应的坐标为(0, -b)和(0, b)。
三、双曲线的参数方程和焦点及直径方程1. 参数方程双曲线的参数方程为：x = asecθ，y = btanθ，其中θ是参数。
2. 焦点及直径方程双曲线的焦点坐标可通过以下公式计算：(±ae, 0)，其中e为离心率。
双曲线的一个焦点到曲线上任意一点的距离是常数c，满足c^2 = a^2 + b^2。
四、双曲线的性质和应用1. 双曲线的准线和离心率双曲线的准线是通过焦点的渐近线。
离心率e决定了双曲线的形状，当离心率接近于1时，双曲线的形状趋近于直线，离心率越大，双曲线的形状越扁平。
2. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
例如，双曲线可以描述电磁场的分布和力学系统中的轨迹，也可以用于描述经济增长模型中的边际效应。
双曲线知识点高二
双曲线知识点高二双曲线是二次曲线的一种，与椭圆和抛物线相似，但具有与标准圆形不同的特征。
在高二数学课程中，学生需要了解双曲线的基本性质和表达方式。
本文将介绍双曲线的知识点，包括定义、方程、焦点和传心等内容。
一、定义双曲线可以通过平面上的点的集合来定义，该点到两个定点之间的距离差的绝对值等于常数。
这两个定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线总共有两个分支，分别向两个焦点延伸。
二、方程形式双曲线的标准方程分为以下三种形式：1. 横轴双曲线：以原点为中心，平行于x轴的双曲线，其方程形式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b分别表示横轴方向的半轴长和纵轴方向的半轴长。
2. 竖轴双曲线：以原点为中心，平行于y轴的双曲线，其方程形式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1其中a和b分别表示横轴方向的半轴长和纵轴方向的半轴长。
3. 斜双曲线：以原点为中心，倾斜的双曲线，其方程形式为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F都是常数。
三、焦点和传心与椭圆和抛物线类似，双曲线也具有焦点和传心的概念。
1. 焦点：双曲线的焦点是曲线上的特殊点，具有特定的几何性质。
对于横轴双曲线，焦点位于横轴上，距离中心的距离为c；对于竖轴双曲线，焦点位于纵轴上，距离中心的距离为c。
2. 传心：双曲线还具有传心的概念，传心是指位于焦点上的点与曲线上的任意一点之间的距离差的绝对值等于常数。
传心与离心率有关，离心率为e的双曲线上的传心距离为ea，其中a表示焦点到中心的距离。
四、双曲线的性质除了焦点和传心外，双曲线还具有以下一些基本性质：1. 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是曲线的两个分支无限延伸时的方向。
对于横轴双曲线，渐近线平行于y轴；对于竖轴双曲线，渐近线平行于x轴。
2. 对称轴：双曲线具有对称轴，对称轴是通过中心且垂直于横轴或竖轴的直线。
对于横轴双曲线，对称轴是y轴；对于竖轴双曲线，对称轴是x轴。
高二数学双曲线知识点
高二数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的曲线类型之一，它具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍高二数学中关于双曲线的知识点。
一、定义与基本概念1. 双曲线的定义：双曲线是平面上一个动点与两个给定点（称为焦点）之间的距离差的绝对值等于一个定值（称为离心率）的轨迹。
2. 双曲线的几何特征：双曲线是非闭合曲线，两支曲线相似但不相交。
3. 双曲线的标准方程：一般形式为x²/a² - y²/b² = 1或y²/a² - x²/b²= 1。
4. 双曲线的焦点与离心率关系：离心率e的值决定了焦点与曲线形状的关系，e大于1时，焦点位于x轴；e小于1时，焦点位于y轴。
二、双曲线的性质1. 集中性质：双曲线的焦点位于x轴或y轴上，并且距离原点越远，离心率越大。
2. 对称性质：双曲线关于x轴、y轴和原点分别对称。
3. 渐进线性质：双曲线的渐进线是x轴和y轴，即曲线无限延伸但不与x轴和y轴相交。
4. 双曲线的渐成线性质：双曲线的渐成线是曲线两支的连接线段。
三、曲线的参数方程1. 参数方程的定义：对于双曲线，可以使用参数方程来描述曲线上的点的位置。
常用的参数方程有x = asect，y = btant和x = acost，y = bsint。
2. 参数方程的图像特征：通过改变参数t的取值范围，可以观察到双曲线在平面上的不同部分以及曲线的形状。
四、双曲线的应用1. 物理中的应用：双曲线常用于描述天体运行轨迹、电磁波等物理现象。
2. 经济学中的应用：双曲线可以用于描述供需曲线、价格水平等经济学概念。
3. 工程中的应用：双曲线可用于工程设计和建模，如道路、桥梁等工程结构的设计。
总结：双曲线是高二数学中重要的曲线类型，它具有许多独特的性质和应用。
了解双曲线的定义、基本概念、性质以及参数方程的描述方法，可以帮助我们更好地理解和应用这一曲线类型。
高二年级双曲线的知识点
高二年级双曲线的知识点双曲线是高中数学中的一个重要概念，它在几何图形和函数中都有广泛的应用。
本文将介绍高二年级学生所需了解的双曲线的基本知识点，包括定义、性质和图像特征。
一、定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它可以由以下方程表示：$(\frac{x^2}{a^2}) - (\frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中 a 和 b 是正实数。
二、焦点和准线双曲线的图像由两个焦点 F1 和 F2，以及两条与 x 轴垂直的准线 L1 和 L2 组成。
焦点到准线的距离等于焦点之间的距离，即F1L1 = F2L2 = c，其中 c = $\sqrt {a^2 + b^2}$。
三、主轴和顶点对于双曲线，它的主轴是通过焦点的直线，与主轴垂直的线段称为次轴。
主轴的长度为 2a，焦点所在的直线被称为对称轴。
双曲线的顶点是主轴与对称轴的交点。
四、渐近线双曲线与两条直线分别称为渐近线。
渐近线与双曲线的距离在无限远处趋于零。
对于双曲线，渐近线与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 $\theta$ 和 90° - $\theta$。
五、图像特征双曲线的图像特点有以下几点：1. 图像在 x 轴和 y 轴上有对称性，即关于 x 轴和 y 轴对称。
2. 图像是无界的，即没有边界或端点。
3. 图像趋向于渐近线，当 x 趋于正无穷或负无穷时，双曲线的图像将无限接近于渐近线。
4. 图像可能有多个分支，每个分支都有一个焦点和两条准线。
六、经典双曲线在双曲线的研究中，有两种经典的双曲线，分别是椭圆双曲线和双曲双曲线。
它们在 a 和 b 的取值不同情况下呈现不同的图像特征。
1. 椭圆双曲线：当 a > b 时，双曲线的图像类似于两个向外张开的弯曲叶子。
2. 双曲双曲线：当 a < b 时，双曲线的图像类似于两个向内凹陷的弓形。
七、应用领域双曲线在数学的几何图形、物理学、电子工程等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，双曲线可以描述光线在折射过程中的轨迹；在电子工程中，双曲线可以用于描述电子流的传输特性。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。
- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。
3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。
- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。
- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。
- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。
- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。
渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。
4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。
- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。
- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。
5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。
- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。
- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。
6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。
7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。
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2019年高二数学双曲线知识点总结
双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。
下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ<0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率
a·b=b·a(交换率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所
在，以便及时更正。
在平时要养成良好的解题习惯。
让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。
实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。
如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
调整心态，正确对待考试。
首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。
调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。
特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。
在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。
对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分;对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。