离散数学第二章

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R
S T R
S
T
结合律
R S T R S T x, u R S T zZ z, u T x, z R S y Y x, y R y, z S z, u R y, z S x, y R x, u R S T
R2 R3 R1 R2 R1 R3 1, x
R2 R3 R1
先取交集，再复合，交 运算可能会把一些可用 的有序偶先给排除掉了
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(3) X Y Y X
~ ~ R ~ R (4) ~
判断方法：
1. 关系图中，如果有a到b的有向边，则一定也有b到a的 有向边； 2. 关系矩阵关于主对角线对称。
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定义2.9：在集合X上的关系R，如果有 x, y R 且 x y ，必有 y, x R ，则称R是反对称的。
0 1 0 0 0 1 0 0 0
4

5
关系的表示方法

图形法
如例2.1中的示意图； 用平面上的点来表示定义域和值域；
a, b R ，则画一条从a到b的有向边； 如果同时存在 a, b R, b, a R ，则画两条边 a b, b a
如果 如果
a, a R ，则画一个从a出发指向自身的环。
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注意：
有些关系既不是对称的也不是反对称的；
0 1 0 1 0 1 0 0 0
可以是既是对称的，也是反对称的

如相等关系
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定义2.10：在集合X上的关系R，如果有：
x, y R且 y, z R ，则必有 x, z R ，
关系

关系的基本概念
关系及其定义


对现实中关系的一种抽象描述 集合内或集合间元素之间
例2.1：


设一个旅馆有n个房间，每个房间可住两 个旅客，因此一共可以住2n个客人； 则在旅馆内，旅客和房间之间就存在一定 的关系，该关系可描述为“某旅客住在某 房间”，可用R表示该关系。
1
设n=3，
用1、2、3分别表示3个房间 用a、b、c、d、e、f分别表示6个旅客 则用如下示意图可表示： a b 1 c d 2 e f 3 由图可知： 旅客a与房间1之间存在关系R，记作aR1 旅客a与房间2之间不存在关系R，记作aR2
S T R S T R S T R S T
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R
关系的幂运算
由于关系中的复合运算满足结合律，所以复合运算 的括号可以省去，即： R S T R S T R S T 说明关系的幂运算是有意义的：
R n 14444 RoR oL o4 R 42 4444 3
即非对角线上的1， 对称位置必须是0； 而非对角线上的0 不做要求
判断方法：
1. 如果如果存在a到b的有向边，就不存在b到a的有向边。 （逆命题不成立，即可以两条有向边都不存在）； 2. 关系矩阵中，如果 Leabharlann Baidu j ,i 1则ai , j 0，这里i j
(注意：a j ,i 0不一定ai , j 1)
n个
容易证明： n m nm m n i: R R R , R R mn ，m,n均为正整数 0 ii: R 是相等关系，即： R0 ={(x,x)|x∈A} 1 iii: R R
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逆关系
由于关系中的元素是有序偶，则如果将该有序偶的顺
序颠倒，会得到一个新的关系，称之为逆关系。
b11 b12 bij bn1 bn 2
b1n bnn
由矩阵的乘法可知：
bij mik mkj mi1m1 j mi 2 m2 j L min mnj
k 1
31
n

由于 mij 的取值为1或0，所以 bij 的表达式中的各项 mik mkj 的取值也是0或1。
m2 n L
1 当 ai , a j R 其中，mij 0 当 ai , a j R
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令：
B M R2
m11 m12 L m1n M M M M m11 L m1 j L m1n m21 L m2 j L m2 n mi1 mi 2 L min M M M M M M M M M mn1 L mnj L mnn mn1 mn 2 L mnn
1 1 0 M R 0 0 1 0 0 0
B =m时，M R 为n m矩阵 1. A =n， 2. 当R为A上的关系时，M R 为n n方阵
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关系的运算

关系的交、并、补、差
由于关系也是集合，是一些有序偶组成的集合，因而
集合的一些交、并、补、差等在关系中也适用，并且 集合的运算性质也同样适用； 新运算：复合运算、逆运算。
T
关系 R 的关系矩阵；

即： M ~ M R
R
T
M R [mi , j ]
mij=1表示(i,j)在关系R中，则在其 逆关系中应该是有( j,i)，即mji=1
~
将R的关系图每条有向边的箭头方向颠倒，就得到 R
的
关系图。
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Qx , Qy
Qx R R Qy R
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(2) R1
R2 R3 R1 R1 R2 R3 R1 R2 R3 R4 R2 R2 R3 R4 R2
R2 R1 R3 R2 R1 R3 R4 R3 R4 R4 R3 R4
注意：第二、四不是等式，以第二个式子说明为什么不是“=”
A 1, 2,3 , B a, b , C x, y, z R1 1, a , 1, b , R2 a, x , R3 b, x
判断方法：
1. 关系图中，每个节点都有环； 2. 关系矩阵中主对角线上的元素都是1（其它元素任意）。
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定义2.7：在集合X上的关系R，如果对任意 x X ， 有 x, x R ，则称R是反自反的。
如：整数集合上的 " " 、" " 关系， 等等
判断方法：
1. 关系图中，每个节点都没有环； 2. 关系矩阵中主对角线上的元素都是0。
~ ~ ~
~
补集的逆关系
~ ~ ~
(5) R S R S , R S R S
注意，这个跟德· 摩根律不一样
(6) R S R S
~
~
~
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关系的重要性质

定义2.6：在集合X上的关系R，如果对任意 x X ， 有 x, x R ，则称R是自反的。
如：整数集合上的相等关系、" " 关系等；
3
由例2.1可知： A={a、b、c、d、e、f} B={1、2、3} R={(a,1),(b,1),(c,2),(d,2),(e,3),(f,3)} D(R)=A C(R)=B 设另一个关系为“某旅客和某旅客同房间”，用R’表示 则R’={(a,b),(c,d),(e,f),(b,a),(d,c),(f,e)} D(R’)=C(R’)=A， R’为集合A上的关系 注意：在R’中，(a,b)和(b,a)都要写出来
2

定义2.1：从集合A到集合B的二元关系R是笛卡尔 积A×B的一个子集；
关系R中的有序偶的第一个客体可允许选取对象的集合
称为R的定义域，记作D(R)，第二个客体可允许选取对 象的集合称为R的值域，记作C(R)； 当D(R)=C(R)=M（M为集合）时，称关系R为集合M上 的关系。
说明：关系的元素是有序偶
定义2.5 设R是一个从X到Y的关系
~
R x, y | x X , y Y
则从Y到X的关系 R 称为R的逆关系
R y, x | x, y R
~
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关于逆关系的一些说明：
空关系的逆关系是空关系； 设关系 R的关系矩阵为 M R ~
，则 M R 的转置M R ，就是逆
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上例中：
y2
y3 y1
R x1
x2 x3
S
z3
R◦S
z2
z1
1 M R 0 0 0 M s 0 0
1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1
MR S MR
1 1 0 0 1 0 0 1 1 M S 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
称R是传递的。
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x, y R
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思考：

如下的关系具有何种性质？
基数大于1的集合上的全域关系； 空关系
非空集合上的空关系 空集合上的空关系

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传递性的判别方法
很难从关系图或关系矩阵中直接判断； 思考：如何判断？
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下面介绍的方法在关系矩阵的基础上通过矩阵运 算来进行的，适于计算机处理；
MR S MR Ms
说明：

MR rij nm , M S sij mk 设M R S tij nk ,则tij = ril rlj
l 1 m
布尔乘
只要有i、j之间有一个元素z可以形成(i,z)和(z,j)，就 能产生(i,j)； 这里用的是布尔加和布尔乘。

如果 miq mqj 1 即mij 0 ，则 miq mqj 1 即 ai , aq R且 aq , a j R 由传递性的定义可知，如果R为传递的， 必有 ai , a j R ，即应有 mij 1 2 即：当R是A上的传递关系时，如果 M R 中的元素 bij 0 ， 则必须有 mij 1 ，反之亦然
m11 设集合 A a1,L , an ， m21 R是A上的二元关系， MR 关系矩阵为： mn1 思考：如何通过关系 矩阵判断传递性? m12 m22 M K O m1n m2 n M mij nn mnn
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注意：
有些关系既不是自反的（因为2上无环）； 也不是反自反的（因为1、3上有环）。 例如：
对角线元素不全为0，也不全为1
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定义2.8：在集合X上的关系R，如果有 x, y R ， 必有 y, x R ，则称关系R是对称的。
1 1 1 1 0 0 1 0 0
y2
y3 y1
R x1
x2 x3
S
z3
R◦S
z2
z1
在关系图中，两条相连的有向边，其中第一条有向边
的起始点和第二条有向边的终点组成的有序偶就是复 合关系的元素。
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关系复合运算的矩阵表示：
设X= x1 L xn , Y y1 L ym , Z z1 L zk
R是从X到Y的关系，关系矩阵为 M R ； S是从Y到Z的关系，关系矩阵为 M s 。 则复合关系 R S 的关系矩阵：

复合关系
定义2.3：设R是一个从X到Y的关系，S是一个从Y到Z
的关系，则R与S的复合关系 R S 可定义为：
R S={ x, z |x X , z Z , 至少存在一个y Y , 有 x, y R且 y, z S}
复合关系R S是从X到Z的关系
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图形说明：
R={(1,1),(1,2),(2,3)}
两个集合之间的关系
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矩阵表示法

该矩阵称为关系矩阵，关系R的关系矩阵用 M R 表示 在关系运算中广泛应用
其中mi,j取值0或1，表示 a i ,a j 之间量的存在关系 （R是A上的关系）或表示 a i ,b j 之间的存在关系 （R是A到B的关系）