均值不等式定理的证明
均值不等式证明
均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。
均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。
本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。
首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。
均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。
这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。
并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。
这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。
接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。
首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。
假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。
我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。
我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。
因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。
接下来，我们来证明n个数的均值不等式。
我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。
假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。
则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。
数学：《均值不等式》课件
练习：已知a，b为正数，且ab a b 3，则 a b的取值范围
二、均值不等式的应用---求最值
例、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形 的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长 是多少？ （2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽 各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
当且仅当
2b a 即: a 2b 时取“=”号 a b
即此时
1 a 2b b 而 2 2 a 2b 1 2 a 2 2
zmin 3 2 2
3 1.若x>0,当x= 时,函数 y x 的最小值是 x 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 值 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 时,函数有最
1 练习： (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值; 3 1 (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值. 3
均值不等式的推广
abc 3 推广 : abc 3
当a1,a2, … ,an是正数时 (当且仅当a=b=c时取“=”号)
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
利用均值不等式求函数最值的步骤:
12 12 此时x=_______. 2 3 x的最小值为_______; 练习1)若x>0,f(x)= x 12 -12 此时x=_______. -2 3 x的最大值为_______; 若x<0,f(x)= x
1 (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______. x 1
二不定, 需变形
例.a, b是正数且a b 4，求ab的最值
均值不等式的证明数学归纳法
均值不等式的证明数学归纳法说到均值不等式，这可是数学界的一颗璀璨明珠，简单来说就是“平均数总是比个别数值要大或者小”，这就像是我们生活中的一些道理，集体的智慧往往胜过个体的独行。
今天，我们就来聊聊这个有趣的定理，以及如何通过数学归纳法来证明它。
别担心，我会尽量让这段旅程轻松点，咱们一起边走边聊！1. 什么是均值不等式？1.1 首先，咱们得搞明白均值不等式到底是什么。
其实，它就是告诉我们，对于任意的非负数 (a_1, a_2, ldots, a_n)，它们的算术平均数 (A) 总是大于等于它们的几何平均数 (G)。
听起来有点深奥，其实没那么复杂。
比如，假设你和你的朋友们一起去吃饭，大家点了不同的菜。
算术平均就是你们每个人花了多少钱的平均数，而几何平均则是所有菜品的价格的“平均”感觉。
总的来说，集体的消费水平往往更靠谱，大家都可以分享这份快乐。
1.2 另外，均值不等式还有个很酷的特点，就是当所有数值都相等时，这个不等式成立。
而一旦你们的消费差异太大，就会发现算术平均和几何平均的差距，也正如朋友间的默契程度一样，有时候相差甚远。
2. 数学归纳法的魅力2.1 说到证明，数学归纳法可是一种非常优雅的方式，像是魔术一样，让复杂的东西变得简单。
它的基本思路就是，先证明最小的情况成立，再假设它在某个n时成立，最后证明在n+1时也成立。
简而言之，咱们就像推倒多米诺骨牌，先把第一个推倒，然后把后面的也都给推倒！2.2 让我们从简单的开始，假设你只要证明均值不等式在n=1的情况。
这个时候，只有一个数，不就等于它自己嘛，显然成立！接着，我们假设在n=k的情况下，均值不等式是对的。
然后，我们要证明在n=k+1的情况下，也成立。
这个时候，数学的乐趣就开始了。
3. 具体的证明过程3.1 在n=k的情况下，假设均值不等式成立，也就是说：frac{a_1 + a_2 + ... + a_k{k geq sqrtk{a_1 a_2 ... a_k。
均值不等式详解
4 π 函 y 其 α∈ 0 ] 中 （， 3 求 数 = sin α + sin α 2 的 小 。 最 值 4 4 解 y = sin α + ： ≥ 2 sin α • sin α sin α = 4,∴ 数 最 值 4 函 的 小 为。
用均值不等式求最值,必须注意 相等” 用均值不等式求最值 必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值. 则不能取到该最值
（2）设矩形的长、宽分别为 ）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)， ， ， 依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， ， 依题意有 ，
x+ y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 因为 ， ，所以， 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方， 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 时 式中等号成立， 当且仅当 此时x=y=9， ， 此时
那么上面不等式可以叙述为： 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项大于或等于它们的 两个正数的等差中项大于或等于它们的 大于或等于 等比中项。 等比中项。
2
的最大
的值。 值，及此时x的值。 及此时 的值
3 解： f ( x) = 1 − (2 x + ) ，因为x>0， 因为 ， x
3 3 所以 2 x + ≥ 2 2 x ⋅ = 2 6 x x 3 得 −(2 x + )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 − 2 6 因此
当且仅当 号成立。 号成立。
均值不等式详解
定理： 定理： 如果a， ∈ ， 那么a 如果 ，b∈R， 那么 2+b2≥2ab 时取“ ） （当且仅当a=b 时取“=”） 当且仅当 证明： 证明： a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2
均值不等式
函数y x(10 x)(0 x 10)的 最大值为 __5___ .
设a 0,b 0, a2 b2 1, 2
求a 1 b2的最大值。
题1 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园, 问 这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短. 最短的篱 笆是多少?
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个 矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大. 最大面积是 多少?
于AB的弦DE,连接AD、BD.
A
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则
D
a
Cb B
BC DC
E
DC AC
即
DC ab
而这个圆的半径为 a b , 显然会大于或等于CD, 即 2
a b ab 2
其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时, 等号成立.
例 已知x,y都是正数, 求证: (1)如果积 xy 是定值P,那么当x =y时,和 x+y有最小值 (2)如果和 x+y是定值S,那么当x =y时,积 xy 有最大值
B
a2+b2=2ab
定理 如果a,b是正数, 那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“”号)
其中 a b称为正数a,b的算术平均数 2
ab 称为正数a,b的几何平均数
所以基本不等式也称为均值不等式
(3)数形结合
如图, AB是圆的直径, 点C是AB
上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直
已知x 0, y 0,且 1 9 1, xy
求x y的最小值。
下列函数中，最小值为4的是C
A. f (x) x 4 x
B. f (x) x 4 , (x (0,1]) x
均值不等式
均值不等式一．均值不等式一个重要的不等式：ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立），用作差法可以证明。
均值不等式：如果+∈R b a ,，那么ab b a ≥+2。
当且仅当b a =时，等号成立。
二．最值定理1. 已知+∈R y x ,，则 （1） 如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，y x +有最小值p 2；（2） 如果和y x +是定值S ，那么当y x =时，xy 有最大值42S 。
. 2. 利用此公式求最值时，必须同时满足以下三个条件：（1）各项均为正数；（2）其和或积为常数；（3）等号必须成立。
“一正二定三相等”3. 应用此公式求最值时，还应该注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解。
三．常用不等式：211a b +≥≥≥+（0,0>>b a ） 例题1. 不等式2≥+ba ab 成立的条件是（ ） A. R b R a ∈∈, B. b a ,非负 C. 0≠ab D. 0>ab2. 下列结论正确的是( )A. 当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x xB. 当0>x 时，21≥+xx C. 当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D. 当20≤<x 时，xx 1-无最大值 3. 若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=,)2lg(),lg (lg 21b a R b a Q +=+=,则（ ） A. Q P R << B. R Q P << C. R P Q << D. Q R P <<4. 若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. 32 D. 4325. 已知点),(b a 在直线023=-+y x 上，则3273++=b a u 的最小值为（ ） A. 311 B. 323+ C. 6 D. 96. 已知2>x ，则当=x （ ）时，24-+x x 的最小值为（ ）。
不等式的证明--均值定理
作业
课本P48,习题2-1,B.4
这个也是均值定理 均值定理
练习:1
若a > 0, b > 0, c > 0
) ;
a, b, c的算术平均数是 a + b + c (
3
a, b, c的几何平均数是
(
3
abc
)
2
对于一正数数列 {a n }
)
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n 的算术平均数是 ( a 1 + a 2 + ... + a n n a1 , a 2 ,..., a n的几何平均数是 ( n a a ... a )
均值定理
教学目标:
1.掌握均值定理 2.会用均值定理证明不等式
知识回顾
学过的不等式证明方法:作差比较法 作差比较法的要领是:1,作差;2,与0比较
a > b ⇔ a = b ⇔ a < b ⇔
a − b > 0 a − b = 0 a − b < 0
课前练习
课本P47,A,3(1),(3)
3.已知 : a ∈ R , 求证 : (1) a 2 + 7 > 5a;
例5
a + b ≥ ab , ( a > 0 , b > 0 ), 求证 : 2 当且仅当 a = b 时 ， 等号成立 .
a + b − 2 ab a +b 证明 : Q − ab = 2 2 ( a)2 +( b)2 −2 a b ( a − b)2 = = ≥0 2 2 a+b ∴ ≥ ab 2
1 2 n
练习3
求证:
对 ∀ 实数 a , 都有 a 2 + 4 ≥ 4 a , 并说明 ， 当且仅当 a = 2时 ， 等号成立 .
均值不等式的多种证明方法许兴华数学
均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。
在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。
1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。
一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。
下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。
2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。
在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。
对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。
许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。
解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。
那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。
2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。
在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。
在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。
3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。
均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。
算术_几何平均值不等式的证明
平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术平均值－几何平均值不等式（以下简称算几不等式）的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式，而关于这一不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法。
１利用二项式定理证明：首先，对于ａ，ｂ＞０由二项式定理，得（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ由数学归纳法，若ｎ－１时为真，对于ｎ，假设ａｎ≥ａｎ－１≥…≥ａ２≥ａ１≥０．又设ａ＝１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ，ｂ＝１ｎ（ｘｎ－ａ），故有ａ，ｂ≥０及１ｎｎ－１ｉ＝１"ｘｉ#$ｎ＝（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ＝ｘｎ１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ%&ｎ－１≥ｘｎ（ｘ１ｘ２…ｘｎ－１）即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．２利用不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）证明：设Ａｎ＝ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ，Ｇｎ＝ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）由不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）可知，对于每一ｉ，有ｅｘｐｘｉＡｎ－%&１≥ｘｉＡｎ求乘积，得１＝ｎｉ＝１(ｅｘｐｘｉＡｎ－%$１＝ｅｘｐｎｉ＝１"ｘｉＡｎ－%$１%$≥ｎｉ＝１(ｘｉＡｎ＝ＧｎＡｎ%$ｎ算术－几何平均值不等式的证明故Ａｎ≥Ｇｎ，即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．３利用泰勒公式证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（０＜ａ＜１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝１ｘ２１ｎａ＞０，将ｆ（ｘ）在点ｘ０处展开，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ″（ｘ）２（ｘ－ｘ０）２，!＝ｘ０＋"（ｘ－ｘ０）（０＜"＜１）因此有ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），取ｘ０＝１ｎｎｉ＝１#ｘｉ（ｘｉ∈（ａ，ｂ），（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有ｆ（ｘｉ）≥ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&’＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(（ｉ＝１，２，…，ｎ）故ｎｉ＝１%ｆ（ｘｉ）≥ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｎｉ＝１%ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(＝ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(即ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(≤１ｎｎｉ＝１%ｆ（ｘｉ）．因此有ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）≤１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≥ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１ｎ≥１ｎｌｏｇａ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）（０＜ａ＜１）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．４利用函数凹凸性证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝－１ｘ２１ｎａ＜０，故ｆ（ｘ）是上凸函数，因此有ｎｉ＝１%ａｉｆ（ｘｉ）≤ｆｎｉ＝１%ａｉｘｉ&(，取ａｋ＝１ｎ（ｋ＝１，２，…，ｎ），有１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１ｎ≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．。
高中数学均值不等式证明过程
高中数学均值不等式证明过程在高中数学中，均值不等式是一种重要的数学定理。
它是用来比较几个数的平均值的大小关系的定理。
下面我将通过证明过程来介绍这个定理。
我们来看均值不等式的基本形式。
对于任意给定的正实数a1，a2，…，an，它们的算术平均数A和几何平均数G满足以下不等式：A ≥ G其中，算术平均数定义为这些数的和除以它们的个数，几何平均数定义为这些数的乘积的n次方根。
现在我们来证明这个不等式。
假设n=2，也就是只有两个数a1和a2。
根据算术平均数和几何平均数的定义，我们有：A = (a1 + a2) / 2G = √(a1 * a2)为了证明A ≥ G，我们可以将不等式两边平方，得到：A^2 ≥ G^2展开计算后得到：(a1 + a2)^2 / 4 ≥ a1 * a2化简后得到：a1^2 + 2a1a2 + a2^2 ≥ 4a1a2继续化简得到：a1^2 - 2a1a2 + a2^2 ≥ 0这是一个平方差的形式，可以写成：(a1 - a2)^2 ≥ 0由于平方的结果永远是非负的，所以不等式成立。
因此，当n=2时，均值不等式成立。
接下来，我们来证明当n=k时，均值不等式也成立。
假设对于任意的k个正实数a1，a2，…，ak，均值不等式成立。
即：(a1 + a2 + … + ak) / k ≥ √(a1 * a2 * … * ak)现在，我们考虑n=k+1的情况。
即有k+1个正实数a1，a2，…，ak，ak+1。
我们可以将a1，a2，…，ak的和记作S，即S=a1 + a2 + … + ak。
对于这k+1个数，它们的算术平均数记作A，几何平均数记作G。
根据定义，我们有：A = (S + ak+1) / (k + 1)G = √(a1 * a2 * … * ak * ak+1)为了证明A ≥ G，我们可以将不等式两边平方，得到：A^2 ≥ G^2展开计算后得到：[(S + ak+1) / (k + 1)]^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1化简后得到：[(S + ak+1)^2] / (k + 1)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1再继续化简得到：(S^2 + 2Sak+1 + ak+1^2) / (k + 1)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1接下来，我们将右边的乘积展开，得到：a1 * a2 * … * ak * ak+1 = (a1 * a2 * … * ak) * ak+1然后，我们利用假设，将左边的不等式中的(S^2 + 2Sak+1 + ak+1^2) / (k + 1)^2替换成(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2，得到：(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2 ≥ (a1 * a2 * … * ak) * ak+1继续化简得到：(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1这是一个平方和的形式，可以写成：[(S / k) + (ak+1 / k)]^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1由于平方的结果永远是非负的，所以不等式成立。
均值不等式的证明(精选多篇)
均值不等式的证明(精选多篇)常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。
当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)?-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x?y?-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn ≤an≤qn的式子即为均值不等式。
均值不等式的证明方法及应用
均值不等式的证明方法及应用1.均值不等式的证明方法：（1）严格证明法：通过构造具体的数学推理过程，使用数学定理、运算性质和逻辑推理方法，进行步步推导，最终得出结论。
例如，证明算术均值大于等于几何均值（对于任意非负实数a,b）时，可以先证明两者的平方之差大于等于0，然后进行变形运算、化简等步骤，直至得到最终结论。
（2）几何方法：通过对图形的分析和变换，运用几何性质和数学定理，从而得出结论。
例如，证明算术均值大于等于几何均值时，可以通过构造一个几何图形，使两个均值分别对应到该图形上的一些量，然后通过比较图形的各个部分，从而得到结论。
（3）代数方法：通过运用代数运算性质和数学定理，以及构造恰当的函数和不等式，从而得到结论。
例如，证明算术均值大于等于几何均值时，可以构造一个函数f(x)=ln(x)，然后运用函数的性质和不等式知识，通过对不等式的变形和运算，得到结论。
2.均值不等式的应用：（1）最优化问题：均值不等式广泛应用于数学中的最优化问题中。
通过运用均值不等式，可以简化复杂的优化问题，找到最优解。
例如，在求函数的最大值和最小值时，可以通过构造适当的均值不等式，将原问题转化为寻找等号成立的条件，从而求得最优解。
（2）证明其他不等式：均值不等式是不等式学中的一个基本方法，常常用来证明其他不等式。
通过将其他不等式进行变形、运算、配方等操作，可以将其转化为均值不等式的形式，从而得到结论。
例如，证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等，常常可以使用均值不等式进行证明。
（3）函数单调性：均值不等式常常用于研究函数的单调性。
通过将函数的表达形式进行变形和运算，得到函数值的不等式关系，从而推导出函数的单调性。
例如，通过均值不等式可以得到极限存在的条件，从而得到函数的单调性。
（4）数列极限：均值不等式也常用于研究数列的极限问题。
通过将数列的表达式进行变形和运算，可以得到数列值之间的不等式关系，从而研究数列的极限性质。
例如，通过均值不等式可以得到数列的单调性、有界性等，从而推导出数列的极限。
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式在高中数学中，均值不等式是一组重要的不等式，包括算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数。
本篇文章将详细介绍这四个均值不等式的定义、特点、证明以及应用。
一、算术平均数不等式算术平均数不等式也称为平均值不等式，是指对于任意非负实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
算术平均数不等式的特点是，它是一组相对简单但应用广泛的不等式。
证明方法有多种，如引入柯西-施瓦茨不等式、引用对数函数的性质等。
同时，算术平均数不等式与几何平均数不等式、调和平均数不等式和平方平均数不等式共同构成均值不等式的四大基石。
应用方面，算术平均数不等式可以用于证明其他不等式，如根据其性质证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼定理等；还可以用于优化问题的求解，如求解简单平均数、加权平均数等。
二、几何平均数不等式几何平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
几何平均数不等式的特点是，它是一组与比例有关的不等式，反映了乘法的稳定性。
它可以通过对数函数的性质、证明柯西-施瓦茨不等式等方法进行证明。
应用方面，几何平均数不等式可以用于处理带有乘方项的优化问题，如优化几何平均数、加权几何平均数等；还可以用于证明其他不等式，如证明柯西-施瓦茨不等式的基本形式。
三、调和平均数不等式调和平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a _n}}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
均值不等式的证明
均值不等式的证明首先，我们来说明均值不等式的基本形式。
设有n个实数a1，a2，...，an。
根据算术平均数的定义，它们的算术平均数为：M1 = (a1 + a2 + ... + an) / n。
根据几何平均数的定义，这n个实数的几何平均数为：M2 = (a1 × a2 × ... × an)^(1/n)。
M1≥M2下面，我们来证明这一不等式。
首先，我们要证明一个引理：对于任意的正实数x1，x2，...，xn，有：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ (x1 × x2 × ... × xn)^(1/n)。
这个引理可以通过应用一些基本的数学原理得到：首先，我们设一个函数f(t) = ln(t)，其中t是一个正实数。
由于f’(t) = 1/t > 0，所以f(t)在（0，+ ∞）区间上是单调递增的。
根据数学分析中的中值定理，对于任意的t1，t2（t1 < t2），有f(t2) - f(t1) = f’(c)(t2 - t1)，其中c介于t1和t2之间。
将t1设为a1 × a2 × ... × an，t2设为a1 + a2 + ... + an，则有：ln(a1 × a2 × ... × an) - ln(a1 + a2 + ... + an) ≥ 0。
根据ln的性质，这个不等式可以变形为：ln(a1 × a2 × ... × an) ≥ ln(a1 + a2 + ... + an)。
再将上述不等式两边取指数，得到：a1 × a2 × ... × an ≥ a1 + a2 + ... + an。
这就证明了引理。
接下来，我们来证明均值不等式。
假设a1，a2，...，an是n个实数。
由引理可知：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (a1 × a2× ... × an)^(1/n)。
均值不等式定理及综合法
出发，推导出所要求证的不等式的方法也可说其为是 “执因索果”法。
例4、已知a,b,c是不全相等的正数，求证
a(b2 c2 ) b(c2 a 2 ) c(a 2 b2 ) 6abc
证明：b2 c2 2bc, a 0 a b2 c2 2abc 1
（当且仅当 a1 a2 时取“=”）
练习1、已知：a>0,b>0,且a+b=1.求证：
① a4 b4 1 ② (a 1 )2 (b 1)2 25
8
a
b2
①证明： a4 b4
2
(a2 b2 )2 2
( a
2
b
)
2
2
(
1 2
)2
n a1a2a3 an 叫做这个n正数的几何平均数，
上面的推论就是：两个正数的算术平均数不小于（即
大于或等于）它们的几何平均数。
定理2、如果 a, b, c R , 那么 a3 b3 c3 3abc
（当且仅当 a=b=c时取“=”号） 证明： a3 b3 c3 3abc
均值不等式定理
定理1、如果 a,b R, 那么 a2 b2 2ab（当且仅当
a=b时取“=”号）
证明：a 2 b2 2ab (a b)2
当a b时, a b2 0,当a b时, a b2 0,所以 a b2 0,
即 a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab
(a
1 )2 a
a2b2 (b 1)2
b
5 2 1 4
12ห้องสมุดไป่ตู้ 1