三校生数学高考模拟试卷(20200616141201)
【中职数学】精品 2020年三校生高考模拟考试数学试卷(一)
江西省2020年三校生高考模拟考试数学试卷(一)注意事项:本试卷分是非选择题、选择题和填空、解答题两部分,满分为150分,考试时间为120分钟,试题答案请写在答题卡上,不能超出答题卡边界,解答题必须有解题过程。
第Ⅰ卷(选择题共70分)一、是非选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.对每小题的命题做出判断,对的选A,错的选B,请把答案填涂在答题卡上)1、设集合A ={-3,0,3},B ={0},则A B ⊆…………………………………………………………………(A B )2、02=-x 是0)3)(2(=+-x x 的必要但不充分条件……………………………………………………(A B )3、函数x y 2sin 21=的最小正周期是π………………………………………………………………………(A B )4、在等差数列}{n a 中,33=a ,125=a ,则1562=+a a ……………………………………………(AB )5、已知向量)1,3(=a,)5,2(-=b ,则)6,1(=-b a ………………………………………………………(AB )6、已知函数2)1(2+-=+x x x f ,则4)3(=f ……………………………………………………………(A B )7、二项式5)1(+x 的展开式的项数为5………………………………………………………………………(A B )8、夹在两个平行平面间的平行线段相等……………………………………………………………………(A B )9、从1,2,3,4,5中任选两个数,恰好都是奇数的是奇数的概率是103………………………………(A B )10、椭圆15922=+y x 的离心率为32………………………………………………………………………(A B )二、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,请把答案填涂在答题卡上)11、集合{}21<<=x x A ,集合{}1>=x x B ,则=B A ().A .())2,1(1,⋃-∞-B .()+∞,1C .(1,2)D .[),2+∞12、已知b a >,则下列不等式成立的是().A .22ba >B .ba 11>C .22bc ac >D .0<-a b 13、设}{n a 是等比数列,如果12,442==a a ,则=6a ().A .36B .12C .16D .4814、若2log 4x =,则12x =().A .4B .4±C .8D .1615、函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=311的定义域为().A .[0,+∞)B .(-∞,+∞)C .[-1,1]D .(-∞,0)16、已知ABC ∆的三边分别为7=a ,10=b ,6=c 则ABC ∆为().A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .无法确定17、已知直线b a //,⊆b 平面M ,下列结论中正确的是().A .//a 平面MB .//a 平面M 或⊆a 平面MC .⊆a 平面MD .以上都不对18、平面上到两定点)0,6(-和)0,6(的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹方程为().A .1162022=-y x B .1201622=+y x C .1201622=-y x D .1162022=+y x 第Ⅱ卷(非选择题共80分)三、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.19、723≤-x 的解集为___________________(用区间表示).20、=o750tan _______________.21、5本不同的书分给4个同学,每个同学至少一本,共有___________种分法.22、等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为.23、若4πβα=+,则=++)tan 1)(tan 1(βα.24、轴截面为正方形的圆柱,其侧面积和表面积之比为_______________.四、解答题:本大题共6小题,25~28小题每小题8分,29~30小题每小题9分,共50分.解答应写出过程或步骤.25、若)2,1(=a,)1,1(-=b ,求:(1)b a +2;(2)b a -.26、已知等比数列1,2,4,8,16,…求10a 和10S .27、已知直线l 经过抛物线y x 82-=的焦点,且与直线012=-+y x 平行,求直线l 的方程.28、已知函数f (x )=2sin x cos x +cos2x .(1)求)4(πf 的值;(2)求)(x f 的值域.29、已知动圆过定点)0,1(,且与直线1-=x 相切.(1)求动圆的圆心C 的轨迹方程;(2)直线l 过点)0,1(,且斜率2-=k ,与圆心C 的轨迹方程交于A 、B 两点,求A 、B 两点间的距离.30、已知⊥PA 正方形ABCD 所在平面,AB PA =,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证://MN 平面PAD ;(2)求证:⊥MN 平面PCD .。
三校生高考数学模拟试卷
三校生高考数学模拟试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 设集合A = {xx^2 - 3x + 2 = 0},B={1, 2},则A与B的关系是()A. A⊂neqq BB. A = BC. A⊃neqq BD. A∩ B=varnothing2. 函数y=√(x - 1)的定义域是()A. (-∞,1]B. [1,+∞)C. (-∞, 0]D. [0,+∞)3. 若sinα=(3)/(5),且α是第二象限角,则cosα的值为()A. (4)/(5)B. -(4)/(5)C. (3)/(4)D. -(3)/(4)4. 过点(1,2)且斜率为3的直线方程为()A. y - 2 = 3(x - 1)B. y+2=3(x + 1)C. y - 2=-3(x - 1)D. y+2=-3(x + 1)5. 二次函数y = x^2+2x - 3的对称轴为()A. x = - 1B. x = 1C. x = 2D. x=-26. 已知向量→a=(1,2),→b=(3,-1),则→a·→b等于()A. 1B. -1C. 5D. -57. 在等差数列{a_n}中,若a_1=1,d = 2,则a_5的值为()A. 9B. 10C. 11D. 128. 若x>0,则函数y = x+(1)/(x)的最小值是()A. 1B. 2C. 3D. 49. 从5名男生和3名女生中选3人参加某项活动,要求既有男生又有女生,则不同的选法有()种。
A. 45B. 30C. 15D. 1010. 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x^2+1,则f(-1)的值为()A. -2B. 2C. -1D. 1二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 计算log_28=_。
12. 椭圆frac{x^2}{16}+frac{y^2}{9}=1的长半轴长a = _。
【附28套精选模拟试卷】东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)试卷(含答案)
东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)试卷(含答案)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}1=0,0.1.2.31x A xB x ⎧+⎫≤=⎨⎬-⎩⎭,则A B I =( ) A.{}-10.1, B .{}01, C .{}-10,D .{}0 2.已知复数21-2)2i z i=+(,则复数z 的模为( )A .5B .310D A .0.85 B .0.65 C .0.35 D .0.154.已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11,3;a Sn S ==,则4a ( )A .2B C.4 D .1 5.已知4cos 45a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2a =( ) A .7-25 B .725 C.1-5 D .156.非零向量,a b r r满足;()0a b a a b -=•-=r r r r r ,则a b -r r 与b r 夹角的大小为( )A .135°B .120° C.60° D .45° 7.下面是某几何体的视图,则该几何体的体积为( )A .73 B .83 C. 93 D .1038.已知实数,a b 满足01,01a b ≤≤≤≤,则函数()321f x x ax bx =-++存在极值的概率为( ) A .19 B .13 C.25 D .899.执行下面的程序框图,若输入,S a 的值分别为1,2,输出的n 值为4,则m 的取值范围为( )A .37m <≤B .715m <≤ C.1531m <≤ D .3163m <≤10.已知点12F F 分别是双曲线2222:1(0x y C a a b-=>,b>0),的左、右焦点,O 为坐标原点,点P在双曲线C 的右支上122F F OP =,12PF F ∆的面积为4,且该双曲线的两条渐近线互相垂直,则双曲线C 的方程为( )A .22122x y -=B .22144x y -= C.2284x y - D .22124x y -= 11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱AD 中点,过点1B ,且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为( )A .5 B.D .612.已知函数()2(1)043,0e xf x x x x x ⎧+⎪=≤⎨+->⎪⎩,函数()y f x a =-有四个不同的零点,从小到大依次为1234,,,x x x x 则1234x x x x ++的取值范围为( )A .[)4,5B .(]4,5 C.[)4+∞, D .(],4-∞第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线与抛物线C 交于.A B 两点,若弦.A B 中点到x 轴的距离为5,则AB = .14.设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则z x y =-的最小值为 .15..已知数列{}n a 满足1121,2n n n a a a a +==+.记2nnCn a =,则数列{}Cn 的前n 项和12...C C Cn +++= .16.已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()11,f x f x +=-在[)1,+∞上为增函数;若1,12x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时,()()1f ax f x <-成立,则实数a 的取值范围为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知(2,),(cos cos )),01a sin x sin x cos x b x x x ωωωωωωω=+=-<<r r 函数()f x a b =•r r ,直线56x π=是函数()f x 图像的一条对称轴。
2020-2021学年数学理科高考模拟三校联合检测试题及答案解析
最新高三校际联合检测理科数学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共5页.满分150分。
考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I 卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数121iz i+=-(i 是虚数单位)的共轭复数z 表示的点在 A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=,则 A.()24-,B.[)24-,C.()02,D.(]02,3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号1,,…,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,抽到的50人中,编号落入区间[]1400,的人做问卷A ,编号落入区间[]401750,的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为 A.12B.13C.14D.154.函数()21x f x e-=(e 是自然对数的底数)的部分图象大致是5.下列说法不正确的是A.若“p 且q ”为假,则p ,q 至少有一个是假命题B.命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”C.“2πϕ=”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D.当0α<时,幂函数()0,y x α=+∞在上单调递减 6.执行如图所示的程序框图,输出的T= A.29 B.44 C.52 D.62 7.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是 A.12x π=-B.12x π=C.3x π=D.23x π=8.变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值,则k 的取值范围是 A.3k <- B.1k > C.31k -<<D.11k -<<9.函数()295y x =--的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该等比数列公比的是 A.34B.2C.3D.510.在()1,+∞上的函数()f x 满足:①()()2f x cf x =(c 为正常数);②当24x ≤≤时,()()()213.fx x f x=--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上.则c= A.1或12B.122或C.1或3D.1或2第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.如果双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线330x y -+=平行,则双曲线的离心率为_____. 12.已知()51ax +的展开式中2x 的系数与454x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数相等,则a =_____.13.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积是______. 14.在平面直角坐标系xOy 中,设直线2yx=-+与圆()2220x y r r +=>交于A,B 两点,O 为坐标原点,若圆上一点C 满足5344OC OA OB r =+=uuu r uu r uu u r,则______. 15.函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ,,规定(),A B k k A B ABϕ-=(AB 为线段AB 的长度)叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”,给出以下命题:①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2,则(),3A B ϕ>; ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点,则(),2A B ϕ≤;④设曲线x y e =(e 是自然对数的底数)上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且,若(),1t A B ϕ⋅<恒成立,则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.(本小题满分12分) 在ABC ∆中,已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭.(I )求sinA 与角B 的值;(II )若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =,且,求的值.17. (本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中,11AA AB AC ===,E ,F 分别是1,CC BC 的中点,11AE A B D ⊥,为棱11A B 上的点. (I )证明:DF AE ⊥;(II )已知存在一点D ,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414,请说明点D 的位置.18. (本小题满分12分)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球. (I )若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;(II )若左右手依次各取两球,称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球(左右手依次各取两球为两次取球)的成功取法次数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为()2,2,n n S S n n n N*=+∈且.(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N **==+∈==∈,等差数列{}nc 的任一项ncA B ∈⋂,其中1c 是A B ⋂中的最小数,10110115c <<,求数列{}n c 的通项公式.20. (本小题满分13分)已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ,过点F 作直线l 交抛物线C 于A,B 两点.椭圆E 的中心在原点,焦点在x 轴上,点F 是它的一个顶点,且其离心率32e =. (I )分别求抛物线C 和椭圆E 的方程;(II )经过A,B 两点分别作抛物线C 的切线12,l l ,切线12l l 与相交于点M.证明AB MF ⊥;(III )椭圆E 上是否存在一点M ',经过点M '作抛物线C 的两条切线M A M B '''',(,A B ''为切点),使得直线A B ''过点F ?若存在,求出抛物线C 与切线M A M B '''',所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数()2ln f x x x x =-+. (I )求函数()f x 的单调递减区间;(II )若关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫≤-+-⎪⎝⎭恒成立,求整数a 的最小值; (III )若正实数12,x x 满足()()()2212121220f x f x x x x x++++=,证明12512x x -+≥.高三校际联合检测理科数学参考答案一.选择题 CBACC,ADCDD (1)【答案】C ,解:分母实数化乘以它的共扼复数1+i,()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222Z +++-+====-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -=--,它表示的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限.(2)【答案】B.解:(0,4),[2,2],[2,4)M N MN ==-∴=-.(3)【答案】 A ,解:若采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人,若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,……,所以编号落入区间[1,400]的有20人,编号落入区间[401,750]的有18人,所以做问卷C 的有12人. (4)【答案】 C ,解:函数()f x 为偶函数,排除A,B ;210x e ->,排除D,选C. (5)【答案】 C 解:A .若“p 且q ”为假,则p 、q 至少有一个是假命题,正确; B .命题“x R ∃∈,210x x --<”的否定是“x R ∀∈,210x x --≥”,正确;C .“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充分不必要条件,故C 错误;D .0α<时,幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减,正确. 故选:C (6)【答案】 A ,解:执行程序框图,有S=3,n=1,T=2, 不满足条件T >2S ,S=6,n=2,T=8, 不满足条件T >2S ,S=9,n=3,T=17, 不满足条件T >2S ,S=12,n=4,T=29,满足条件T >2S ,退出循环,输出T 的值为29.故选:A . (7)【答案】 D ,解:将函数()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍得函数()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其对称轴方程为1ππ2ππ,2π()2623x k x k k +=+∴=+∈Z ,故选D.(8)【答案】C ,解:作出不等式对应的平面区域,由z=kx-y 得y=kx-z ,要使目标函数z=kx-y 仅在点A (0,2)处 取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx-z 的 下方,∴目标函数的斜率k 满足-3<k <1.(9)【答案】D ,解:函数等价为0,9)5(22≥=+-y y x ,表示为圆心在)0,5(半径为3的上半圆,圆上点到原点的最短距离为2,最大距离为8,若存在三点成等比数列,则最大的公比q 应有228q =,即2,42==q q ,最小的公比应满足282q =,所以21,412==q q ,所以公比的取值范围为221≤≤q ,所以选D.(10)【答案】 D ,解:先令12x #,那么224x #,c x f x f )2(=)(=])32(1[12--x c;再令48x #,那么242x#,)21(=)(x cf x f =21[1(3]2c x --);分别算出它们的极值点为(c123,),(3,1),(6,)c ,三点共线解得12c c ==或.二、填空题(11) 2.e =(12)22±.(13)223.(14)10.(15)②③.(11)答案 2.e =解:由题意知3b a =,所以离心率 2.ce a== (12)答案22±.解:由二项式定理知: 5(1)ax +的展开式中2x 的系数为 325C a ,45()4x +的展开式中3x 的系数为1454C ,于是有321545C 4a C =,解得 212a =,所以可得22a =±,故答案为22±.(13)答案223,解:由图知此几何体为边长为2的 正方体裁去一个三棱锥(如右图),所以此几何体的体积为1122222122323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.(14)答案10.解:22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭,即:222225159+c o s 16816r r r A O B r =∠+,整理化简得:3cos 5AOB ∠=-,过点O 作AB 的垂线交AB 于D ,则23c o s 2c o s 15A O B A O D ∠=∠-=-,得21c o s 5AOD ∠=,又圆心到直线的距离为222OD ==,所以222212cos 5OD AOD r r ∠===,所以210r =,10r =.EFC 1A 1C BAB 1Dzxy(15)答案②③.解:①错:(1,1),(2,5),||17,||7,A B A B AB k k =-=7(,)317A B ϕ∴=<;②对:如1y =; ③对;22222|22|2(,)2()()1()A B A B ABA B x x A B x x x x x x ϕ-==≤-+-++;④错;1212121222212||||(,)()()1()x x x x x x x x e e e e A B x x e e e e ϕ--==-+-+-,121212221()1111,(,)||()x x x x x x e e A B e e e e ϕ+-==+>--因为1(,)t A B ϕ<恒成立,故1t ≤. (16)解:(Ⅰ)πsin()cos 2A A +=Q ,11cos 14A ∴=,又0πA <<Q ,53sin 14A ∴=. 1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ,且0πB <<,π3B ∴=.………………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由正弦定理得sin sin a b A B =,sin 7sin a Bb A⋅∴==, 另由2222cos b a c ac B =+-得249255c c =+-, 解得8c =或3c =-(舍去),7b ∴=,8c =.………………………………………………………………………………12分(17)(Ⅰ)证明:11AE A B ⊥ ,11A B ∥AB ,AB AE ∴⊥, 又1AB AA ⊥,1AE AA A ⋂=,AB ∴⊥面11A ACC , 又AC ⊂面11A ACC ,AB AC ∴⊥,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -, 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B , 设(),,D x y z ,111AD AB λ=,且[0,1]λ∈,即:()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴,11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭,10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,ED FB 1BA 1AC 1C∴11022DF AE =-=,DF AE ∴⊥. ………6分 (Ⅱ)设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = , 则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩,111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩, 即:()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩, 令()21z λ=-, ()()3,12,21n λλ∴=+- .由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m =, ………9分 平面DEF 与平面ABC 所成锐二面的余弦值为1414. ()14cos ,14m nm n m n ∴==, 即:()()()2221141491241λλλ-=+++-, 12λ∴=或74λ=.又[0,1]λ∈,∴74λ=舍去. ∴ 点D 为11A B 中点. ………12分(18)解:(Ⅰ)设事件A 为“两手所取的球不同色”, 则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P .………5分(Ⅱ)依题意,X 的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为18529242322=++C C C C , 右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ,………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P , 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P , 72541185)2(=⨯==X P ,………10分所以X的分布列为:36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E .………………… ……12分 (19)解 (Ⅰ)∵2*2,(N )n S n n n =+∈.当2n ≥时,121n n n a S S n -=-=+, 当1n =时,113a S ==满足上式,所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.………………… ……5分 (Ⅱ)∵*{|22,N }A x x n n ==+∈,*{|42,N }B x x n n ==+∈, ∴AB B =.又∵n c ∈AB ,其中1c 是A B 中的最小数,∴16c =,∵{}n c 的公差是4的倍数,∴*1046(N )c m m =+∈. 又∵10110115c <<,∴*11046115,N ,m m <+<⎧⎨∈⎩, 解得27m =,所以10114c =, 设等差数列的公差为d , 则1011146121019c cd --===-,∴6(1)12126n c n n =+-=-,所以{}n c 的通项公式为126n c n =-. ………………… ……12分(20)解:(Ⅰ)由已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F 可得抛物线C 的方程为24x y =.设椭圆E 的方程为2222+1(0)x y a b a b=>>,半焦距为c .由已知可得:222132b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得2,1a b ==.所以椭圆E 的方程为:2214x y +=. ………………………4分 (Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,否则直线l 与抛物线C 只有一个交点,不合题意,X 0 1 2P2413 187 725故可设直线l 的方程为1,y kx =+112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠,由214y kx x y=+⎧⎨=⎩,消去y 并整理得2440,x kx --=∴124x x =- . ∵抛物线C 的方程为214y x =,求导得12y x '=,∴过抛物线C 上A B 、两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-,2221()2y y x x x -=-,即2111124y x x x =-,2221124y x x x =-,解得两条切线12,l l 的交点M 的坐标为1212(,)24x x x x +,即M 12(,1)2x x+-, 122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111()2()0244x x x x ---=,∴AB MF ⊥.………………………9分(Ⅲ)假设存在点M '满足题意,由(2)知点M '必在直线1y =-上,又直线1y =-与椭圆E 有唯一交点,故M '的坐标为(0,1)M '-,设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为:0001()2y y x x x -=-,其中点00(,)x y 为切点. 令0,1x y ==-得,2000111(0)42x x x --=-, 解得02x =或02x =-,故不妨取(2,1(21)A B ''-),,,即直线A B ''过点F . 综上所述,椭圆E 上存在一点(01)M '-,,经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M ''(A '、B '为切点),能使直线A B ''过点F .此时,两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-. 抛物线C 与切线M A ''、M B ''所围成图形的面积为223220011142[(1)]2()41223S x x dx x x x =--=-+=⎰.………………………13分(21)解:(Ⅰ)2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> , 由()0f x '<,得2210x x -->, 又0x >,所以1x >.所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞. …………………………………………4分(Ⅱ)令221()()[(1)1]ln (1)122a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+,所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=.当0a ≤时,因为0x >,所以()0g x '>. 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数,若要功夫深,铁杵磨成针! 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>, 所以关于x 的不等式()f x ≤2(1)12ax ax -+-不能恒成立.……………………6分当0a >时,21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x -+-+-+'==-, 令()0g x '=,得1x a=. 所以当1(0,)x a ∈时,()0g x '>;当1(,)x a∈+∞时,()0g x '<, 因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数,在1(,)x a∈+∞是减函数. 故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-. ……………………………………………………………………8分 令1()ln 2h a a a=-, 因为1(1)02h =>,1(2)ln 204h =-<,又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数. 所以当2a ≥时,()0h a <.所以整数a 的最小值为2. …………………………………………………………10分(Ⅲ)由22121212()()2()0f x f x x x x x ++++=,即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=,从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅令12t x x =⋅,则由()ln t t t ϕ=-得,1()t t tϕ-'=, 可知,()t ϕ在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,)+∞上单调递增.所以()(1)1t ϕϕ=≥,所以21212()()1x x x x +++≥,又120x x +>, 因此12512x x -+≥成立. …………………………………………………………14分。
2020年东北三省三校高考数学三模试卷(文科)(内)(含答案解析)
2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(文科)(内)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.复数为虚数单位的共轭复数为A. B. C. D.2.已知集合,,则A. 2,B. 2,4,6,C. 4,D. 2,4,3.若变量x,y满足约束条件,则的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为A.B.C.D.5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图,则下列说法中不正确的是A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比,该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元6.已知为锐角,且,则等于A. B. C. D.7.已知中内角A、B、C所对应的边依次为a、b、c,若,则的面积为A. B. C. D.8.设为定义在R上的奇函数,当时,为常数,则不等式的解集为A. B. C. D.9.已知双曲线C:的左、右焦点分别为,,点P在双曲线上,则的取值范围为A. B. C. D.10.已知曲线的一条对称轴方程为,曲线C向左平移个单位长度,得到曲线E的一个对称中心的坐标别,则的最小值是A. B. C. D.11.已知焦点为F的抛物线C:的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当取得最大值时,直线MA的方程为A. 或B. 或C. 或D.12.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知,则______.14.春节即将来临之际,3位同学各写一张贺卡,混合后每个同学从中抽取一张,且抽取其中任意一张都是等可能的,则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为______.15.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为______.16.已知函数,若恒成立,则实数a的取值范围为______.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.如图,在直棱柱中,底面ABCD为菱形,,,BD与AC相交于点E,与相交于点O.求证:平面;求点A到平面OBD的距离.18.2019年9月26日,携程网发布国庆假期旅游出行趋势预测报告,2018年国庆假日期间,西安共接待游客万人次,今年国庆有望超过2000万人次,成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定:若公司某位导游接待旅客,旅游年总收入不低于单位:万元,则称该导游为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:分组频数2b20103求a,b的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数,乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,精确到19.已知数列,满足,,,.求数列,的通项公式;分别求数列,的前n项和,.20.已知椭圆的右焦点为F,直线l:被称作为椭圆C的一条准线点P在椭圆C上异于椭圆左、右顶点,过点P作直线m:与椭圆C相切,且与直线l相交于点Q.求证:.若点P在x轴的上方,,求面积的最小值.21.已知函数.求曲线在点处的切线方程;若函数在区间有两个零点,分别为,,求证:.22.已知在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数,,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,曲线C与直线l其中的一个交点为A,且点A极径,极角.求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标;已知直线m的直角坐标方程为,直线m与曲线C相交于点异于原点,求的面积.23.已知函数.解关于x的不等式;若函数的图象恒在直线的上方,求实数m的取值范围.-------- 答案与解析 --------1.答案:A解析:解:,.故选:A.利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.2.答案:D解析:解:集合,.2,4,.故选:D.求出集合A,B,由此能求出.本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.答案:B解析:解:作出变量x,y满足约束条件表示的平面区域,得到如图的及其内部,其中,,设,将直线l:进行平移,当l经过点A时,目标函数的截距取得最小值,此时z达到最大值.故选:B.作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的及其内部,再将目标函数对应的直线进行平移,可得当,时,z取得最大值1.本题给出二元一次不等式组,求目标函数的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.4.答案:A解析:解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为由一个半径为2的半球的和一个底面半径为2,高为4的圆柱组合而成.故:.故选:A.首先把三视图转换为直观图,进一步求出几何体的体积.本题考查的知识要点:三视图和直观图之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.5.答案:D解析:解:由折线图可得,很明显AB均正确;又因为由图可知该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一为的省份有:江苏均第一,河南均第四,共2个,故C正确;经计算,故D不正确,故选:D.根据折线图和柱状图分析即可本题考查学生合情推理的能力,考查统计的相关知识,属于基础题.6.答案:C解析:解:,为锐角,,.故选:C.由已知利用二倍角的正弦函数公式可求,进而利用二倍角的余弦函数公式可求的值.本题主要考查了二倍角的正弦函数公式,二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.7.答案:A解析:解:由余弦定理知,,即,又,,,.故选:A.由余弦定理可得a,b的一个方程,与联立,于是解得a,b,然后利用即可得解.本题考查正弦面积公式和余弦定理的应用,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.8.答案:D解析:解:为定义在R上的奇函数,因为当时,,所以,故,在上单调递增,根据奇函数的性质可知在R上单调递增,因为,所以,由不等式可得,,解可得,,故解集为故选:D.根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键,综合考查函数性质的应用.9.答案:C解析:解:不妨设点P在右支上,有,则,则的取值范围为故选:C.设出P的位置,利用双曲线的定义,结合不等式推出范围即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查.10.答案:C解析:解:曲线的一条对称轴方程为,,,,曲线C:把曲线C向左平移个单位长度,得到曲线E:的图象,曲线E的一个对称中心的坐标别,,.则的最小值为,此时,,故选:C.由题意利用函数的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,求出的最小值.本题主要考查函数的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属于基础题.11.答案:A解析:解:过M作MP与准线垂直,垂足为P,则,则当取到最大值时,必须取到最大值,此时AM与抛物线相切;易知此时直线AM的斜率不为0,设切线方程为:,则,整理可得,则,解得,所以切线方程为:,即或,故选:A.由抛物线的性质可得到焦点的距离转化为到准线的距离,由距离之比可得角的余弦值,由题意可得当直线MA由抛物线相切时取得最大值,设切线的方程,与抛物线联立由判别式等于0可得参数的值,进而求出切线方程.本题考查抛物线的性质,及切线的应用,属于中档题.12.答案:C解析:解:函数满足当时,,此时函数的周期为2,当时,;函数图象上关于原点对称的点恰好有3对,先作出函数在的图象,画出关于原点对称的图象,则函数的图象与所作函数的图象有3个交点,所以,解得.故选:C.利用函数的周期性,作出函数的图象,利用零点的个数转化列出不等式组求解即可.本题考查函数的零点的判断与应用,考查数形结合以及计算能力,是中档题.13.答案:,或.解析:解:设,,,则.又,,即.解得,,或,,则,或,故答案为:,或.设,由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,求出x,y的值,可得.本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,属于基础题.14.答案:解析:解:三人领卡的情况有种,各自领自己卡的情况只有一种,则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为.故答案为:.三人随意抽卡有种,各领自己的只有一种,相比即可.本题考查排列数公式的应用,古典概型的概率计算,属于基础题.15.答案:解析:解:如图所示,设正三棱柱上下底面的中心分别为、,底面边长与高分别为x、h,则;在中,,即,由,所以,当且仅当时取等号;此时正三棱柱的侧面积取得最大值,且为.故答案为:.根据题意画出图形,结合图形求出正三棱柱的侧面积以及它的最大值.本题考查了正三棱柱的结构特征与应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.16.答案:解析:解:,,,令,则,故在单调递增,单调递减,,故a的范围故答案为:由已知进行分离a,然后结合不等式的特点进行构造函数,结合导数可求.本题主要考查了由不等式求解参数范围问题,分离法的应用是求解问题的关键.17.答案:证明:四边形ABCD是菱形,,直棱柱,平面ABCD,平面ABCD,,又,平面,平面,平面D.解:是正方形的中心,且,到平面ABD的距离为1,,,,,,是的中点,,设A到平面OBD的距离为h,则,,解得.故点A到平面OBD的距离为.解析:由菱形性质得,根据直棱柱的性质可得,故而平面;根据列方程计算点A到平面OBD的距离.本题考查了线面垂直的判定,棱锥的体积计算,属于中档题.18.答案:解:由直方图知,解得,由频数分布表知,可得,所以甲公司的导游优秀率为,乙公司的导游优秀率为,由于,所以乙公司的影响度高.甲一年内导游旅游总收入的中位数为:,乙一年内导游旅游总收入的平均数为:.解析:根据频率之和为1,解得a,由频数之和为40,可得b,进而算出甲公司的导游优秀率,乙公司的导游优秀率,再得出结论.根据频率分布直方图计算中位数,平均数的方法可得出答案.本题考查频率分布直方图,中位数,平均数的求法,属于中档题19.答案:解:由题意有,又,,可得:数列是首项为4,公比为2的等比数列;数列为首项是2,公差为1的等差数列,故,,,;,,,.解析:先由题设条件得到:数列是首项为4,公比为2的等比数列;数列为首项是2,公差为1的等差数列,再求出它们的通项公式,然后求,;根据中求出的,,分别利用分组求和的办法求出前n项和即可.本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式及分组求和在数列求和中的应用,属于基础题.20.答案:解:证明:点,联立方程,消去y,可得,有,可得,,,可得P的坐标为,当时,可得Q的坐标为;,,有,故有,若点P在x轴上方,必有,由可得,,,因为时,由可得,,由函数单调递增,可得此时,故当时,的面积的最小值为1.解析:求得F的坐标,联立直线方程和椭圆方程,运用相切的条件:判别式为0,求得P的坐标,Q的坐标,求得,,由数量积为0,即可得证;若点P在x轴的上方,必有,求得,,运用三角形的面积公式,以及函数的单调性,可得三角形的面积的最小值.本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆的位置关系,注意运用相切的条件:判别式为0,考查函数的单调性的运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.21.答案:解:,,,曲线在点处的切线方程即,证明:不妨设,则,由题意可得,,则,两边取对数,由,若证只要证明,即证,令,,,故在上单调递增,,故时,,即函数在区间有两个零点,分别为,,.解析:先对函数求导,然后结合导数的几何意义可求切线的斜率,进而可求切线方程;由题意可得,,进行变形可得,两边取对数,及,结合要证的不等式进行构造函数,结合导数及函数单调性关系可证明.本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式,合理的转化是求解问题的关键.22.答案:解:曲线C的参数方程为为参数,,转换为直角坐标方程为,根据转换为极坐标方程为.将代入得:.所以点A的极坐标为直线m的直角坐标方程为,则直线m的倾斜角为.得到点所以.解析:直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果.利用三角形的面积的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径的应用,三角形的面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型23.答案:解:.,或或,或或,,不等式的解集为.,函数的图象恒在直线的上方,,,实数m的取值范围为.解析:先将写为分段函数的形式,然后利用零点分段法解即可;由绝对值三角不等式可知,然后根据函数的图象恒在直线的上方,得到,再求出m的取值范围.本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式,考查了分类讨论思想和转化思想,属中档题.。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷(文科)(解析版)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x|x2+3x+2<0},集合,则M∪N=()A.{x|x≥﹣2} B.{x|x>﹣1} C.{x|x<﹣1} D.{x|x≤﹣2}2.命题p:∃x∈N,x3<x2;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga (x﹣1)的图象过点(2,0),则下列命题是真命题的是()A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q3.已知平面向量,的夹角为,且||=1,|+2|=2,则||=()A.2 B.C.1 D.34.已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y= B.y=C.y=±x D.y=5.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A.7 B.8 C.9 D.106.已知函数f(x)=2sin(2x+),把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是()A .在[,]上是增函数B .其图象关于直线x=﹣对称C .函数g (x )是奇函数D .当x ∈[0,]时,函数g (x )的值域是[﹣1,2]7.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1=1,S n 是数列{a n }前n 项的和,则(n ∈N +)的最小值为( ) A .4B .3C .2﹣2 D .8.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m ),则该棱锥的全面积是(单位:m 2).( )A .B .C .D .9.已知函数f (x )=,则方程f (x )=ax 恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是( )(注:e 为自然对数的底数) A .(0,)B .[,]C .(0,)D .[,e]10.已知双曲线C :﹣=1的左、右焦点分别是F 1,F 2,正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上,边AF 1与双曲线左支交于点B ,且=4,则双曲线C 的离心率的值是( )A .+1 B .C .+1 D .11.已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O (重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则球的表面积等于( ) A .π B .π C .π D .π12.若定义在区间[﹣2016,2016]上的函数f (x )满足:对于任意的x 1,x 2∈[﹣2016,2016],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)﹣2016,且x >0时,有f (x )<2016,f (x )的最大值、最小值分别为M ,N ,则M+N 的值为( ) A .2015 B .2016C .4030D .4032二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.设i 为虚数单位,则复数= .14.已知函数f (x )=2x 2﹣xf ′(2),则函数f (x )的图象在点(2,f (2))处的切线方程是 . 15.若x ,y 满足若z=x+my 的最大值为,则实数m= .16.在△ABC 中,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a 2=b 2+c 2+bc ,a=,S为△ABC 的面积,则S+cosBcosC 的最大值为 .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ,a n ,成等差数列. (1)证明数列{a n }是等比数列; (2)若b n =log 2a n +3,求数列{}的前n 项和T n .18.从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试,测试成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:(Ⅰ)分别求出甲、乙两组数据的中位数,并从甲组数据频率分布直方图如图2所示,求a ,b ,c 的值;(Ⅱ)从甲、乙两组数据中各任取一个,求所取两数之差的绝对值大于20的概率. 19.如图所示,在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面是直角梯形ABCD ,其中AD ⊥AB ,CD ∥AB ,AB=4,CD=2,侧面PAD 是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD 垂直,E 为PA 的中点.(1)求证:DE ∥平面PBC ; (2)求三棱锥A ﹣PBC 的体积.20.已知椭圆E :(a >b >0),F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0)为椭圆的两个焦点,M 为椭圆上任意一点,且|MF 1|,|F 1F 2|,|MF 2|构成等差数列,过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3. (1)求椭圆E 的方程;(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且⊥,求出该圆的方程.21.设函数f (x )=x 2﹣(a+b )x+ablnx (其中e 为自然对数的底数,a ≠e ,b ∈R ),曲线y=f (x )在点(e ,f (e ))处的切线方程为y=﹣e 2. (1)求b ;(2)若对任意x∈[,+∞),f(x)有且只有两个零点,求a的取值范围.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题目记分.作答时,请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,AB是⊙O的直径,弦CA、BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:(1)∠DEA=∠DFA;(2)AB2=BEBD﹣AEAC.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.(2016福安市校级模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin(θ+),曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线θ=φ,θ=φ﹣,θ=φ+,与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D.(Ⅰ)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程;(Ⅱ)求|OA||OC|+|OB||OD|的值.[选修4-5:不等式选讲]24.=|x+m|.(Ⅰ)解关于m的不等式f(1)+f(﹣2)≥5;(Ⅱ)当x≠0时,证明:.参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x|x2+3x+2<0},集合,则M∪N=()A.{x|x≥﹣2} B.{x|x>﹣1} C.{x|x<﹣1} D.{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N,再求M∪N.【解答】解:∵集合M={x|x2+3x+2<0}={x|﹣2<x<﹣1},集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2},∴M∪N={x|x≥﹣2},故选A.【点评】本题考查集合的运算,解题时要认真审题,仔细解答.2.命题p:∃x∈N,x3<x2;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga (x﹣1)的图象过点(2,0),则下列命题是真命题的是()A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q【分析】分别判断出p,q的真假,从而判断出复合命题的真假.【解答】解:命题p:∃x∈N,x3<x2,是假命题;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),令x﹣1=1,解得:x=2,此时f(2)=0,(x﹣1)的图象过点(2,0),是真命题;故函数f(x)=loga故¬p∧q真是真命题;故选:C.【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质,考查复合命题的判断,是一道基础题.3.已知平面向量,的夹角为,且||=1,|+2|=2,则||=()【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可.【解答】解:∵|+2|=2,∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12,解得||=2,故选:A.【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算,属于基础题.4.已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y= B.y=C.y=±x D.y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),则离心率e===,即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x,故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及的渐近线方程,属基础题.5.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:模拟执行程序框图,由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值,∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选:D.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,属于基础题.6.已知函数f(x)=2sin(2x+),把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是()A.在[,]上是增函数B.其图象关于直线x=﹣对称C.函数g(x)是奇函数D.当x∈[0,]时,函数g(x)的值域是[﹣1,2]【分析】由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用余弦函数的图象性质,得出结论.【解答】解:把函数f(x)=2sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g(x)=2sin[2(x+)+]=2cos2x的图象,显然,函数g(x)是偶函数,故排除C.当x∈[,],2x∈[,π],函数g(x)为减函数,故排除A.当x=﹣时,g (x )=0,故g (x )的图象不关于直线x=﹣对称,故排除B .当x ∈[0,]时,2x ∈[0,],cos2x ∈[﹣,1],函数g (x )的值域是[﹣1,2],故选:D .【点评】本题主要考查函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象性质,属于基础题.7.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1=1,S n 是数列{a n }前n 项的和,则(n ∈N +)的最小值为( ) A .4B .3C .2﹣2 D .【分析】由题意得(1+2d )2=1+12d ,求出公差d 的值,得到数列{a n }的通项公式,前n 项和,从而可得,换元,利用基本不等式,即可求出函数的最小值.【解答】解:∵a 1=1,a 1、a 3、a 13成等比数列, ∴(1+2d )2=1+12d . 得d=2或d=0(舍去), ∴a n =2n ﹣1, ∴S n ==n 2, ∴=.令t=n+1,则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3,即n=2时,∴的最小值为4.故选:A .【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,考查基本不等式,属于中档题.8.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m),则该棱锥的全面积是(单位:m2).()A.B.C.D.【分析】由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,垂直于底面的侧面是一个高为2,底连长也为2的等腰直角三角形,底面与垂直于底面的侧面全等,此两面的面积易求,另两个与底面不垂直的侧面是全等的,可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高,将垂足与顶点连接,此线即为侧面三角形的高线,求出侧高与底面的连长,用三角形面积公式求出此两侧面的面积,将四个面的面积加起来即可【解答】解:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为2,底面连长为2,故它们的面积皆为=2,由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高,由等面积法可以算出,此二高线的长度长度相等,为,将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此斜高为2,同理可求出侧面底边长为,可求得此两侧面的面积皆为=,故此三棱锥的全面积为2+2++=,故选A.【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查对三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是三棱锥的全面积,做本题时要注意本题中的规律应用,即四个侧面两两相等,注意到这一点,可以大大降低运算量.三视图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.9.已知函数f (x )=,则方程f (x )=ax 恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是( )(注:e 为自然对数的底数) A .(0,)B .[,]C .(0,)D .[,e]【分析】由题意,方程f (x )=ax 恰有两个不同实数根,等价于y=f (x )与y=ax 有2个交点,又a 表示直线y=ax 的斜率,求出a 的取值范围. 【解答】解:∵方程f (x )=ax 恰有两个不同实数根, ∴y=f (x )与y=ax 有2个交点, 又∵a 表示直线y=ax 的斜率, ∴y ′=,设切点为(x 0,y 0),k=,∴切线方程为y ﹣y 0=(x ﹣x 0),而切线过原点,∴y 0=1,x 0=e ,k=, ∴直线l 1的斜率为, 又∵直线l 2与y=x+1平行, ∴直线l 2的斜率为,∴实数a 的取值范围是[,). 故选:B .【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题,解题时应结合图象,以及函数与方程的关系,进行解答,是易错题.10.已知双曲线C:﹣=1的左、右焦点分别是F1,F2,正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上,边AF1与双曲线左支交于点B,且=4,则双曲线C的离心率的值是()A.+1 B.C.+1 D.【分析】不妨设△AF1F2的边长为4,求得c=2,由向量共线可得|BF1|=1,在△BF1F2中,由余弦定理求得|BF2|=,再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值.【解答】解:不妨设△AF1F2的边长为4,则|F1F2|=2c=4,c=2.由,可得|BF1|=1,在△BF1F2中,由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13,|BF2|=,由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1,解得a=,则e==.故选:B.【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的定义和余弦定理,考查运算能力,属于中档题.11.已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则球的表面积等于()A.πB.πC.πD.π【分析】先求出没有水的部分的体积是,再求出棱长为2,可得小球的半径,即可求出球的表面积.【解答】解:由题意,没有水的部分的体积是正四面体体积的,∵正四面体的各棱长均为4, ∴正四面体体积为=,∴没有水的部分的体积是,设其棱长为a ,则=, ∴a=2,设小球的半径为r ,则4×r=,∴r=,∴球的表面积S=4=.故选:C .【点评】本题考查球的表面积,考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,正确求出半径是关键.12.若定义在区间[﹣2016,2016]上的函数f (x )满足:对于任意的x 1,x 2∈[﹣2016,2016],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)﹣2016,且x >0时,有f (x )<2016,f (x )的最大值、最小值分别为M ,N ,则M+N 的值为( ) A .2015B .2016C .4030D .4032【分析】特殊值法:令x 1=x 2=0,得f (0)=2016,再令x 1+x 2=0,将f (0)=2014代入可得f (x )+f (﹣x )=4032.根据条件x >0时,有f (x )<2016,得出函数的单调性,根据单调性求出函数的最值.【解答】解:∵对于任意的x 1,x 2∈[﹣2016,2016],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)﹣2016,∴令x 1=x 2=0,得f (0)=2016,再令x 1+x 2=0,将f (0)=2014代入可得f (x )+f (﹣x )=4032. 设x 1<x 2,x 1,x 2∈[﹣2016,2016],则x 2﹣x 1>0,f (x 2﹣x 1)=f (x 2)+f (﹣x 1)﹣2016,∴f(x2)+f(﹣x1)﹣2016<2016.又∵f(﹣x1)=4032﹣f(x1),∴f(x2)<f(x1),即函数f(x)是递减的,∴f(x)max=f(﹣2016),f(x)min=f(2016).又∵f(2016)+f(﹣2016)=4032,∴M+N的值为4032.故选D.【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法,得出函数的性质.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设i为虚数单位,则复数= i .【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,则答案可求.【解答】解:=,故答案为:i.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.14.已知函数f(x)=2x2﹣xf′(2),则函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 .【分析】求导函数,确定切点处的斜率与切点的坐标,即可求得函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程.【解答】解:∵函数f(x)=2x2﹣xf′(2),∴f′(x)=4x﹣f′(2),∴f′(2)=8﹣f′(2),∴f′(2)=4∴f(2)=8﹣2×4=0∴函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是y﹣0=4(x﹣2)即4x﹣y﹣8=0故答案为:4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,确定切点处的斜率与切点的坐标是关键.15.若x,y满足若z=x+my的最大值为,则实数m= 2 .【分析】画出满足约束条件的可行域,求出目标函数的最大值,从而建立关于m的等式,即可得出答案.【解答】解:由z=x+my得y=x,作出不等式组对应的平面区域如图:∵z=x+my的最大值为,∴此时z=x+my=,此时目标函数过定点C(,0),作出x+my=的图象,由图象知当直线x+my=,经过但A时,直线AC的斜率k=>﹣1,即m>1,由平移可知当直线y=x,经过点A时,目标函数取得最大值,此时满足条件,由,解得,即A(,),同时,A也在直线x+my=上,代入得+m=,解得m=2,故答案为:2.【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键.16.在△ABC 中,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a 2=b 2+c 2+bc ,a=,S为△ABC 的面积,则S+cosBcosC 的最大值为.【分析】先利用余弦定理求得A ,进而通过正弦定理表示出c ,代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式,利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值.【解答】解:∵a 2=b 2+c 2+bc , ∴cosA==﹣,∴A=,由正弦定理 c=a ==2sinC , ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos (B ﹣C )≤,故答案为:.【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.求得面积的表达式是解决问题的关键,属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ,a n ,成等差数列. (1)证明数列{a n }是等比数列;(2)若b n =log 2a n +3,求数列{}的前n 项和T n .【分析】(1)由题意得2a n =S n +,易求,当n ≥2时,S n =2a n ﹣,S n ﹣1=2a n﹣1﹣,两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1(n ≥2),由递推式可得结论;(2)由(1)可求=2n ﹣2,从而可得b n ,进而有=,利用裂项相消法可得T n ;【解答】解:(1)证明:由S n ,a n ,成等差数列,知2a n =S n +, 当n=1时,有,∴,当n ≥2时,S n =2a n ﹣,S n ﹣1=2a n ﹣1﹣, 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1(n ≥2),即a n =2a n ﹣1, 由于{a n }为正项数列,∴a n ﹣1≠0,于是有=2(n ≥2),∴数列{a n }从第二项起,每一项与它前一项之比都是同一个常数2, ∴数列{a n }是以为首项,以2为公比的等比数列. (2)解:由(1)知==2n ﹣2,∴b n =log 2a n +3==n+1,∴==,∴T n =()+()+…+()==.【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和,裂项相消法是高考考查的重点内容,应熟练掌握.18.从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试,测试成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:(Ⅰ)分别求出甲、乙两组数据的中位数,并从甲组数据频率分布直方图如图2所示,求a,b,c的值;(Ⅱ)从甲、乙两组数据中各任取一个,求所取两数之差的绝对值大于20的概率.【分析】(Ⅰ)根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数,再求出甲部门的成绩在70~80的频率为0.5,由此能求出a,b,c.(Ⅱ)利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况,由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率.【解答】解:(Ⅰ)根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5,乙部门数据的中位数是78.5;∵甲部门的成绩在70~80的频率为0.5,∴a=0.05,在80~90的频率为0.2,∴b=0.02在60~70的频率为0.1,∴c=0.01.(Ⅱ)从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是:(63,67),(63,68),(63,69),(63,73),(63,75),…,(96,86),(96,94),(96,97)共有100种;其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是:(63,85),(63,86),(63,94),(63,97),(72,94),(72,97),(74,97),(76,97),(91,67),(91,68),(91,69),(96,67),(96,68),(96,69),(96,73),(96,75)共有16种,故所求的概率为.【点评】本题考查概率的求法,考查频率分布直方图的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.19.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点.(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求三棱锥A﹣PBC的体积.【分析】(1)(法一)取PB的中点F,连接EF,CF,由已知得EF∥AB,且,从而四边形CDEF是平行四边形,由此能证明DE∥平面PBC.(1)(法二):取AB的中点F,连接DF,EF,由已知得四边形BCDF为平行四边形,从而DF∥BC,由此能证明DE∥平面PBC.(2)取AD的中点O,连接PO,由已知得PO⊥平面ABCD,由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积.【解答】(1)证明:(方法一):取PB的中点F,连接EF,CF.∵点E,F分别是PA,PB的中点∴EF∥AB,且又CD∥AB,且∴EF∥CD,且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形,∴DE∥CF.又DE⊄平面PBC,CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC.(1)证明:(方法二):取AB的中点F,连接DF,EF.在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,CD=2,所以BF∥CD,且BF=CD.所以四边形BCDF为平行四边形,所以DF∥BC.在△PAB中,PE=EA,AF=FB,所以EF∥PB.又DF∩EF=F,PB∩BC=B,所以平面DEF∥平面PBC.因为DE⊂平面DEF,所以DE∥平面PBC.(2)解:取AD的中点O,连接PO.在△PAD中,PA=PD=AD=2,所以PO⊥AD,PO=又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高.在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,AD=2,AB⊥AD,所以.故.【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要注意空间思维能力的培养.20.已知椭圆E :(a >b >0),F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0)为椭圆的两个焦点,M 为椭圆上任意一点,且|MF 1|,|F 1F 2|,|MF 2|构成等差数列,过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3. (1)求椭圆E 的方程;(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且⊥,求出该圆的方程.【分析】(1)通过|MF 1|,|F 1F 2|,|MF 2|构成等差数列,过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.列出方程,求出a 、b ,即可求椭圆E 的方程;(2)假设以原点为圆心,r 为半径的圆满足条件.(ⅰ)若圆的切线的斜率存在,并设其方程为y=kx+m ,则r=,然后联立直线方程与椭圆方程,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),结合x 1x 2+y 1y 2=0,即可求圆的方程.(ⅱ)若AB 的斜率不存在,设A (x 1,y 1),则B (x 1,﹣y 1),利用⊥,求出半径,得到结果.【解答】解:(1)由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|, 即2×2c=2a ,得a=2c .①又由,得②且a 2=b 2+c 2,综合解得c=1,a=2,b=.∴椭圆E 的方程为+=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(2)假设以原点为圆心,r 为半径的圆满足条件.(ⅰ)若圆的切线的斜率存在,并设其方程为y=kx+m ,则r=,r 2=,①消去y ,整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2﹣3)=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),又∵⊥,∴x1x2+y1y2=0,即4(1+k2)(m2﹣3)﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0,化简得m2=(k2+1),②由①②求得r2=.所求圆的方程为x2+y2=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)(ⅱ)若AB的斜率不存在,设A(x1,y1),则B(x1,﹣y1),∵⊥,∴=0,得x=.此时仍有r2=|x|=.综上,总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件.【点评】考查椭圆的方程和基本性质,与向量相结合的综合问题.考查分析问题解决问题的能力.21.设函数f(x)=x2﹣(a+b)x+ablnx(其中e为自然对数的底数,a≠e,b∈R),曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=﹣e2.(1)求b;(2)若对任意x∈[,+∞),f(x)有且只有两个零点,求a的取值范围.【分析】(1)求导,从而求b;(2)由(1)得,,从而①当时,要使得f(x)在上有且只有两个零点,只需=,②当时,求导确定零点个数,③当a>e时,求导确定零点个数.【解答】解:(1),∵f′(e)=0,a≠e,∴b=e;(2)由(1)得,,①当时,由f′(x)>0得x>e;由f′(x)<0得.此时f(x)在上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.∵,;∴要使得f(x)在上有且只有两个零点,则只需=,即;②当时,由f′(x)>0得或x>e;由f′(x)<0得a<x<e.此时f(x)在(a,e)上单调递减,在和(e,+∞)上单调递增.此时,∴此时f(x)在[e,+∞)至多只有一个零点,不合题意;③当a>e时,由f′(x)>0得或x>a,由f′(x)<0得e<x<a,此时f(x)在和(a,+∞)上单调递增,在(e,a)上单调递减,且,∴f(x)在至多只有一个零点,不合题意.综上所述,a的取值范围为.【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用,同时考查了分类讨论的思想应用,属于中档题.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题目记分.作答时,请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,AB是⊙O的直径,弦CA、BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:(1)∠DEA=∠DFA;(2)AB2=BEBD﹣AEAC.【分析】(1)连接AD,利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系,通过证明A,D,E,F四点共圆即可证得结论;(2)由(1)知,BDBE=BABF,再利用△ABC∽△AEF得到比例式,最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC.【解答】证明:(1)连接AD,因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,(1分)又EF⊥AB,∠AFE=90°,(1分)则A,D,E,F四点共圆(2分)∴∠DEA=∠DFA(1分)(2)由(1)知,BDBE=BABF,(1分)又△ABC∽△AEF∴,即ABAF=AEAC(2分)∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB(BF﹣AF)=AB2(2分)【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.(2016福安市校级模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin(θ+),曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线θ=φ,θ=φ﹣,θ=φ+,与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D.(Ⅰ)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程;(Ⅱ)求|OA||OC|+|OB||OD|的值.【分析】(Ⅰ)曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin(θ+),展开可得:,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得直角坐标方程.把C2的方程化为直角坐标方程为y=a,根据曲线C1关于曲线C2对称,故直线y=a经过圆心解得a,即可得出.(Ⅱ)由题意可得,|OA|,|OB|,|OC|,|OD|,代入利用和差公式即可得出.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin(θ+),展开可得:,化为直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.把C2的方程化为直角坐标方程为y=a,∵曲线C1关于曲线C2对称,故直线y=a经过圆心(1,1),解得a=1,故C2的直角坐标方程为y=1.(Ⅱ)由题意可得,,,,,.【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]24.=|x+m|.(Ⅰ)解关于m的不等式f(1)+f(﹣2)≥5;(Ⅱ)当x≠0时,证明:.【分析】(Ⅰ)问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5,通过讨论m的范围,求出不等式的解集即可;(Ⅱ)根据绝对值的性质证明即可.【解答】解:(Ⅰ)不等式f(1)+f(﹣2)≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5,可化为,解得m≤﹣2;或,无解;或,解得m≥3;综上不等式解集为(﹣∞,﹣2]∪[3,+∞)…(5分)(Ⅱ)证明:当x≠0时,,|x|>0,,…(10分)【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值的性质,是一道中档题.。
【附20套高考模拟试题】2020届广东省三校高考数学模拟试卷含答案
2018 年初制定人才引进与落户新政(即放宽政策,以下简称新政):硕士研究生及以上可直接落户并享有
当地政府依法给与的住房补贴,本科学历毕业生可以直接落户,专科学历毕业生在当地工作两年以上可以
落户。高中及以下学历人员在当地工作 10 年以上可以落户。新政执行一年,2018 年全年新增落户人口较
2017 年全年增加了一倍,为了深入了解新增落户人口结构及变化情况,相关部门统计了该市新政执行前
9.已知 m ,n 是空间中两条不同的直线, , 为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是( )
A.若 m ,则 m
B.若 m , n ,则 m n
C.若 m , m ,则 m / / D.若 I m , n m ,则 n
10.在等差数列 an 中,若 a3 a5 a7 a9 a11 55 , S3 3 ,则 a5 等于( )
4.函数 f (x) ln x2 2 ex1的图像可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知
a
log8
5
,
b
log4
3
,
c
2 3
,则
a
,
b
,
c
的大小关系是(
)
A. a b c
B. b a c
C. b c a D. c b a
6.若不等式 2xln x≥-x2+ax-3 对 x∈(0,+∞)恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞) 7. 下列函数中,图象的一部分如图所示的是 ( )
一年(即 2017 年)与新政执行一年(即 2018 年)新增落户人口学历构成比例,得到如下饼图:
2020—2021年新高考总复习数学(文)三校联考模拟试题及答案解析.docx
2018届高三三校联考 数学(文科)试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.答卷前,考生务必先将自己的班级、姓名、准考证号、座号用5.0mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题直接答在答题纸相应区域,不能答在试卷上;试题不交,请妥善保存,只交答题卡与答题纸. 参考公式:用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式xb y a xn xy x n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i∧∧====∧-=--=---=∑∑∑∑,)())((1221121.球的表面积公式24R S π=,其中R 是球的半径.如果事件B A ,互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+;如果事件B A ,对立,那么)(1)(A P B P -=.第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的. 1.已知集合},{},,3{b a B a A ==,若}2{=B A I ,则=B A Y( ) A}3,2{B}4,3{C}3,2,2{D}4,3,2{2.已知复数i 21-=a z ,i 22+=z (i 为虚数单位),若21z z 为纯虚数,则实数a 的值为( )A 4-B 1-C 1D 43.执行如图所示的程序框图,若输入的M 的值为55,则输出的i 的值为( ) A 3B 4C 5D 64.设∈b a ,R ,则“b a <”是“0)(2<-a b a ” 的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5.已知具有线性相关关系的两个变量y x ,之间的一组数据如下:且回归直线方程为6.2+=x b y ,根据模型预报当6=x 时,y 的预测值为( )A 76.5B 8.6C 3.8D 46.86.函数2cos )(x xx f π=的图象大致是()A BCD7.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=2,)31(,2),2()(x x x f x f x,则)5log 1(3+-f 的值为( )A151B 35C 15D328.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )侧视图俯视图•Aπ34 Bπ332C π4D π169.已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数,)('x f 为其导函数,若对于任意实数x ,都有)()('x f x f >,其中e 为自然对数的底数,则()A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f <C)2016()2015(e f f =D)2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定10.对于两个平面向量b a ,,定义它们的一种运算:θsin ||||b a b a ⋅=⊗(其中θ为向量,的夹角),则关于这种运算的以下结论中,不恒成立的是( ) A⊗=⊗B 若0=⊗b a ,则b a //C ⊗+⊗=⊗+)(D 若),(),,(2211y x y x ==,则||1221y x y x -=⊗第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.函数21)1ln(1)(x x x f -++=的定义域为________.12.若直线)0,0(2>>=-b a by ax 过圆012422=++-+y x y x 的圆心,则ab 的最大值为________. 13.设△ABC 的内角CB A ,,的对边分别为cb a ,,,若BA C a sin 2sin 3,41cos ,4=-==,则=c ________.14.某企业生产甲、乙两种产品均需用B A ,两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为________万元.15.抛物线)0(2:21>=p x p y C 的焦点与双曲线13:22=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则=p ________.三、解答题:本大题共6个小题,共75分.16.(本小题满分12分)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权,围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众,按他们的年龄分组:第1组)30,20[,第2组)40,30[,第3组)50,40[,第4组)60,50[,第5组]70,60[,得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访,估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率;(Ⅱ)已知第1组群众中男性有3名,组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队,求至少有1名女性群众的概率.17.(本小题满分12分)已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>-+⋅=ωωωωx x x x f 的两条相邻对称轴之间的距离为2π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数)(x g y =的图象,若函数k x g y -=)(在区间]32,6[ππ-上存在零点,求实数k 的取值范围..0.0.0.018.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111C B A ABC -中,1111C A B A =,点E D ,分别是1111,B A C B 的中点,11===BD AB AA ,ο601=∠AB A .(Ⅰ)求证://1AC 平面BD A 1; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面111C B A .19.(本小题满分12分)已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,32,01=>a a n ,且4321,1,3a a a -成等差数列.(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列}{n b 满足1)1(log 13=-⋅+n n S b ,求满足方程100950413221=++++n n b b b b b b Λ的正整数n 的值.20.(本小题满分13分)已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax x x a x f .(Ⅰ)当0=a 时,求)(x f 的极值; (Ⅱ)当0<a 时,讨论)(x f 的单调性; (Ⅲ)若对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ,求实数m 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21,它的四个顶点构成的四边形的面积为34.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆C 的右焦点为F ,过F 作两条互相垂直的直线21,l l ,直1C1B1ACBA DE线1l 与椭圆C 交于Q P ,两点,直线2l 与直线4 x 交于N 点. (i )求证:线段PQ 的中点在直线ON 上;(ii )求||||FN PQ 的取值范围.数学(文科)参考答案及评分标准说明:1.本解答仅给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准标准酌情赋分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.【答案】D . 【解析】由}2{=B A I得B A ∈∈2,2,所以2,2==b a ,所以}2,4{},2,3{==B A ,所以}4,3,2{=B A Y .故选D .【考点】元素与集合关系、集合运算. 2.【答案】C . 【解析】由题意可得,i 54522i 2i 221+--=+-=a a a z z ,因为21z z 为纯虚数,所以054,0522≠+-=-a a ,所以1=a .故选C .【考点】复数的概念、复数的代数运算.3.【答案】D .【解析】执行程序框图,第一次2,551102=<=+⨯=i N ,第二次3,554212=<=+⨯=i N ,第三次4,5511342=<=+⨯=i N ,第四次5,55264112=<=+⨯=i N ,第五次6,55575262=>=+⨯=i N ,所以输出的i 的值为6.故选D .【考点】程序框图输出结果. 4.【答案】B .【解析】由题意可得,“0)(2<-a b a ”等价于“0,02><-a b a 或0,02<>-a b a ”,即“0,0≠<-a b a ” ,所以“b a <”是“0)(2<-a b a ” 的必要不充分条件.故选B .【考点】充要条件、不等式性质. 5.【答案】C . 【解析】由题意可得,2)43210(51=++++⨯=x ,5.4)7.68.45.43.42.2(51=++++⨯=y ,因为回归直线一定过样本点的中心),(y x ,所以6.225.4+⨯=∧b ,解得95.0=∧b .当6=x 时,y 的预测值为3.86.2695.0=+⨯.故选D .【考点】线性回归直线方程、预测值. 6.【答案】B .【解析】由题意可得,)(cos )()(cos )(22x f x xx x x f ==--=-ππ,所以)(x f 为偶函数,)(x f 的图象关于y 轴对称,可排除答案A 、C ;当1=x 时,01cos )1(<-==πf ,可排除D .故选B .【考点】函数的图象与性质. 7.【答案】A . 【解析】由题意可得,135log 5log 1033<=+-<,所以315log 25log 1233<=++-<,所以151)3()31()15(log )25log 1()5log 1(115log 15log 33333====++-=+--f f f .故选A .【考点】函数值、指对运算. 8.【答案】D .【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为3,高为1的圆锥.设其外接球的半径为R ,则222)3()1(=--R R ,解得2=R ,所以该几何体外接球的表面积为πππ1624422=⨯==R S .故选D .【考点】三视图、组合体体积. 9.【答案】A . 【解析】构造函数∈=x x f x F x ,e )()(R ,)(x F 的导函数x x x x x f x f x f x f x F e )()()e ()e )((e )()('2'''-=-=.因为)()('x f x f >,0e >x ,所以0)('<x F ,)(x F 在R 上是减函数,所以20162015e )2016()2016(e )2015()2015(f F f F =>=,所以)2016()2015(e f f >.故选A .【考点】抽象函数单调性、比较大小. 10.【答案】C .【解析】因为θsin ||||b a b a ⋅=⊗,所以3R1-R1⊗=⋅=⋅=⊗θθsin ||||sin ||||,选项A 恒成立.当,≠,0sin ||||=⋅=⊗θ时,0sin =θ,所以0=θ或πθ=,所以//;当=或0=b 时,b a //恒成立,选项B 恒成立.θsin ||||⋅=⊗θ2cos 1||||-⋅=2||||⋅===212212212122222121)()())((y x y x y y x x y x y x -=+-++=||1221y x y x -=,选项D 恒成立.当⊥⊥=+===,,,1||||||时,20)(=⊗+⊗≠=⊗+c b c a c b a ,选项C 不恒成立.故选C .【考点】新定义、数量积.编者注:本题中,,在印刷体中用黑体..来表示。
高考数学模拟考试三模试题含解析 试题
2021届高考数学模拟考试〔三模〕试题〔含解析〕一、单项选择题.1.集合{}1,3,5,7A =,{}21,B y y x x A ==+∈,那么A B =〔 〕A. {}1,3,5,7,9,11,15B. {}1,3,5,7C. {}3,5,9D. {}3,7【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,先得到{}3,7,11,15,再求交集,即可得出结果. 【详解】因为{}1,3,5,7A =,所以{}{}21,3,7,11,15B y y x x A ==+∈=, 因此{}3,7A B ⋂=. 应选:D.【点睛】此题主要考察集合交集运算,熟记交集的概念即可,属于根底题型. 2.复数z 满足()2313z i +=,那么在复平面内z 对应的点位于〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简复数z 和z ,再根据复数的几何意义判断对应的点所在的象限. 【详解】()()()13231323232323i z i i i i -===-++- 23z i ∴=+,复数z 在复平面内对应的点是()2,3,在第一象限.应选:A【点睛】此题考察复数的运算,复数的几何意义,属于根底题型. 3.向量2a =,1b =,()()31a b a b +⋅-=,那么向量a 与向量b 的夹角为〔 〕A.4π B.34π C.3π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件,求出a b ⋅,再由向量夹角公式,即可求出结果. 【详解】因为向量2a =,1b =,()()31a b a b +⋅-=,所以22231a a b b -⋅-=,即2231a b -⋅-=,即1a b ⋅=-, 因此12cos ,22a b a b a b⋅-<>===-,所以3,4a b π<>=.应选:B.【点睛】此题主要考察求向量的夹角,熟记向量夹角公式,以及向量数量积的运算法那么即可,属于根底题型.4.在某技能测试中,甲乙两人的成绩〔单位:分〕记录在如下的茎叶图中,其中甲的某次成绩不明晰,用字母a 代替.甲乙成绩的平均数相等,那么甲乙成绩的中位数分别为〔 〕A. 20 20B. 21 20C. 20 21D. 2121 【答案】B 【解析】 【分析】先由题中数据,根据题意,求出4a =,将甲乙的成绩都从小到大排序,即可得出中位数.【详解】由题中数据可得:甲的平均数为118181620242812466a ax +++++++==,乙的平均数为218182020242812866x +++++==,因为甲乙成绩的平均数相等,所以12412866a +=,解得:4a =, 所以甲的成绩为:16,18,18,24,24,28,其中位数为1824212+=, 乙的成绩为:18,18,20,20,24,28,其中位数为2020202+=. 应选:B.【点睛】此题主要考察由茎叶图计算中位数,属于根底题型. 5.函数2sin 2sin 221x xy x =+-的图像大致是〔 〕A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式,分别判断0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,2sin 2sin 221x x y x =+-的正负,即可得出结果. 【详解】当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin 20x >,21x >,所以2sin 2sin 2021x xy x =+>-,排除AB 选项;当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,sin 20x <,021x <<,所以2sin 221sin 2sin 202121xx x x y x x +=+=⋅>--,排除D 选项. 应选:C.【点睛】此题考察函数图像的识别,根据排除法,即可得出结果.6.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的?数书九章?〔1247年〕.该书第二章为“天时类〞,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨〞、“圆罂测雨〞、“峻积验雪〞和“竹器验雪〞.其中“天池测雨〞法是下雨时用一个圆台形的天池盆搜集雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.当盆中积水深九寸〔注:1尺=10寸〕时,平地降雨量是〔 〕 A. 9寸 B. 7寸C. 8寸D. 3寸【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得盆中水的体积,再除以盆口面积即得.【详解】由天池盆上底面半径是14寸,下底面半径上6寸,高为18寸,由积水深9寸知水面半径为1(146)102⨯+=寸, 那么盆中水体积为()22196106105883ππ⨯⨯++⨯=〔立方寸〕所以平地降雨量为2588314ππ=⨯〔寸〕,应选:D .【点睛】此题考察圆台的体积计算公式,正确理解 题意是解题关键.此题属于根底题. 7.某HY 在演习过程中,用悬挂的彩旗来表达行动信号,每个信号都由从左到右排列的4面彩旗组成,有红、黄、蓝三种颜色的彩旗.假设从所有表达的信号中任选一种,那么这种信号中恰有2面红色旗子的概率为〔 〕 A.827B.227C.49D.13【答案】A 【解析】 【分析】首先求彩旗表达信号的所有方法种数,以及信号中恰有2面红色旗子的方法种数,再根据古典概型计算.【详解】由条件可知悬挂的彩旗表达行动信号,一共有4381=种,假设恰有2面红色旗子,那么有224224C ⋅=种,所以这种信号中恰有2面红色旗子的概率2488127P ==. 应选:A【点睛】此题考察古典概型,属于根底题型,此题的关键是正确理解题意,并能转化为数学问题.8.线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦,且AB =假设点P 为直线40x y +-=上的任意一点,那么PA PB +的最小值为〔 〕A 1B. 1C. 2D.2【答案】C 【解析】 【分析】取AB 中点为M ,连接PM ,OM ,根据题意,求出1OM =,再由2PA PB PM +=,PM OM OP +≥,得到PA PB +取最小值,即是PM 取最小值,所以只需OP 取最小,根据点到直线间隔 公式,求出OP 的最小值,即可得出结果. 【详解】取AB 中点为M ,连接PM ,OM ,因为AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦,且AB =,所以12OM ==⎝⎭,又2PA PB PM +=,PM OM OP +≥,即1PM OP ≥- 因此,PA PB +取最小值,即是PM 取最小值,所以只需OP 取最小, 又点P 为直线40x y +-=上的任意一点,所以点O 到直线40x y +-=的间隔 ,即是min OP ,即min 2242211OP -==+,因此minmin 1221PMOP =-=-,即minmin2422PA PB PM+==-.应选:C.【点睛】此题主要考察求向量模的最值问题,将其转化为直线上任意一点与圆心间隔 的最值问题,是解决此题的关键,属于常考题型. 二、多项选择题.9.以下命题正确的选项是〔 〕A. 在HY 性检验中,随机变量2K 的观测值越大,“认为两个分类变量有关〞这种判断犯错误的概率越小B. ()2,XN μσ,当μ不变时,σ越大,X 的正态密度曲线越矮胖C. 假设在平面α内存在不一共线的三点到平面β的间隔 相等,那么平面//α平面βD. 假设平面α⊥平面β,直线m α⊥,//n m ,那么βn// 【答案】AB 【解析】 【分析】对选项A ,根据HY 性检验的原理即可判断,对选项B ,根据正态曲线的几何特征即可判断,对选项C ,D ,利用面面和线面的位置关系即可判断.【详解】对选项A ,因为随机变量2K 的观测值越大,说明两个变量有关系的可能性越大, 即犯错误的概率越小,故A 正确.对选项B ,根据正态曲线的几何特征,即可判断B 正确.对选项C ,当平面α与平面β相交时,在平面α内存在不一共线的三点 到平面β的间隔 相等,故C 错误.对选项D ,假设平面α⊥平面β,直线m α⊥,//n m , 那么直线n 有可能在平面β内,故D 错误. 应选:AB【点睛】此题主要考察了HY 性检验和正态分布,同时考察了线面和面面的位置关系,属于简单题.10.函数()sin cos f x x x =+〔 〕 A. 2π为()f x 的周期B. 对于任意x ∈R ,函数()f x 都满足()()f x f x ππ+=-C. 函数()f x 在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()f x 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.由函数周期定义判断是否满足()()2f x f x π+=;B 根据诱导公式判断是否满足()()f x f x ππ+=-;C.根据定义域,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,化简函数,并判断函数的单调性;D.在一个周期内,分[]0,x π∈和(],2x ππ∈两种情况讨论函数,并判断函数的最小值. 【详解】A.()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x xπππ+=+++=+,即()()2f x f x π+=,所以2π为()f x 的周期,故A 正确;B.()()()sin cos sin cos f x x x x x πππ+=+++=-,()()()sin cos sin cos f x x x x x πππ-=-+-=-,所以()()f x f x ππ+=-,故B正确;C.当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,此时5,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,而5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故C 正确; D.由A 可知函数的周期是2π,所以只需考察一个周期函数的值域,设[]0,2x π∈,当[]0,x π∈时,()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,sin 4x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,即()f x ∈-⎡⎣,当(],2x ππ∈时,()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭,59,444x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦,cos 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,即()(f x ∈-,所以[]0,2x π∈时,()f x 的最小值为-1,故D 不正确. 应选:ABC【点睛】此题考察三角函数的性质,重点考察诱导公式,周期性,函数的单调性和最值,属于中档题型.11.关于函数()2ln f x a x x=+,以下判断正确的选项是〔 〕 A. 函数()f x 的图像在点1x =处的切线方程为()240a x y a ---+= B. 2x a=是函数()f x 的一个极值点 C. 当1a =时,()ln 21f x ≥+D. 当1a =-时,不等式()()210f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导,得到()22a f x x x '=-,求出函数()f x 的图像在点1x =处的切线方程,即判断A ;根据0a <时,()220a f x x x'=-<恒成立,得到函数单调,无极值点,可判断B ;根据导数的方法求出1a =时,()f x 的最小值,即可判断C ;根据导数的方法判断1a =-时函数的单调性,根据单调性列出不等式组求解,即可得出结果. 【详解】因为()2ln f x a x x=+,所以()12f =,()22a f x x x '=-,所以()12f a '=-,因此函数()f x 的图像在点1x =处的切线方程为()()221y a x -=--, 即()240a x y a ---+=,故A 正确; 当0a <时,()220a f x x x'=-<在()0,x ∈+∞上恒成立,即函数在定义域内单调递减,无极值点;故B 错;当1a =时,()22122x f x x x x ='-=-,由()0f x '>得2x >;由()0f x '<得02x <<, 所以函数()2ln f x x x =+在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增;因此()min 2ln 2ln 212f x =+=+,即()ln 21f x ≥+;故C 正确;当1a =-时,()2120f x x x'=--<在()0,x ∈+∞上恒成立,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减;由()()210f x f x -->可得210021x x x x->⎧⎪>⎨⎪-<⎩,解得:112x <<,故D 正确;应选:ACD.【点睛】此题主要考察求曲线在某一点处的切线方程,以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等,属于常考题型.12.双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点,假设1222AF BF AF ==,那么〔 〕 A 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 双曲线的渐近线方程为y x =±D. 原点O 在以2F 为圆心,2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长a 的关系,然后计算离心率,求渐近线方程,同时在假设D 正确的情况下,出现矛盾的结论,最终得出正确选项.【详解】如图,设2AF x =,那么212BF AF x ==,所以122a AF AF x =-=,122226BF BF a x a a =+=+=,36AB x a ==,所以1BF AB =,∴11AF B F AB ∠=∠,A 正确;124AF x a ==,16BF AB a ==,在1AF B △中,121cos 63a F AB a ∠==, 在12AF F △中,122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-,即222141642423c a a a a =+-⨯⨯⨯2443a =,22113c a =,所以c e a ==B 正确;由22222113c a b a a +==得2283b a =,b a =,渐近线方程为3y x =±,C 正确;假设原点O 在以2F 为圆心,2AF 为半径的圆上,那么22OF AF =,2c a =,2ce a==与B 矛盾,不成立,D 错. 应选:ABC .【点睛】此题考察双曲线的焦点弦有关问题,解题关键是利用双曲线的定义把焦点弦焦半径用a 表示.从而寻找到,,a b c 的选题关系可求得离心率和渐近线方程. 三、填空题.13.数列{}n a 中,11a =,1n n a a n +=+,那么6a =______. 【答案】16 【解析】 【分析】直接由递推式逐一计算得出6a .【详解】由题意2112a a =+=,2324a a =+=,4337a a =+=,54411a a =+=,65516a a =+=.故答案为:16.【点睛】此题考察数列的递推公式,由递推公式求数列的项,假如项数较小,可直接利用递推公式逐一计算,假如项数较大,那么需要从递推式寻找到规律,或者求出通项公式,再去求某一项.14.四张卡片上分别写有数字3、4、5、6,甲、乙、丙、丁四名同学各取走一张,假设甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数,甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9,那么______同学卡片上的数字最小. 【答案】丁 【解析】【分析】根据题意,先得到甲的卡片数字只能是6,从而可分别得出其他同学的卡片数字,进而可得出结果.【详解】由题意,因为甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数,所以甲的是4、乙的是6,或者乙的是4、甲的是6;又甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9,那么甲的卡片数字只能是6,所以乙的是4,丙的是5,故丁的是3. 即丁同学卡片上的数字最小. 故答案为:丁.【点睛】此题主要考察合情推理,根据题中条件合理推断即可,属于根底题型. 15.()()45432123451x x b x a x a x a x a x a ++=+++++,其中413a =,那么b =______.【答案】3 【解析】 【分析】4a 是x 的系数,由多项式乘法结合二项式定理可得.【详解】由题意展开式中x 的系数为14113b C ⋅+=,解得3b =.故答案为:3.【点睛】此题考察二项式定理,掌握二项展开式通项公式是解题关键.对两个多项式相乘,注意乘法法那么的应用.16.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N ,Q 分别为棱11A B ,11B C ,1BB 的中点,点P 为棱1CC 上的动点,那么P MNQ V -的最大值为______,假设点P 为棱1CC 的中点,三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上,那么该球的外表积为______. 【答案】 (1). 12(2). 8π 【解析】 【分析】连接1B C 交QN 于点H ,根据正方体的特征,得到1B C QN ⊥,H 为QN 的中点,点C 到直线QN 的间隔 最大为CH ,由题中数据,求出CNQS,得到当点P 与点C 重合时,PNQ的面积最大;再由()()()1maxmaxmax13P MNQM PNQ PNQ V V MB S --==⋅⋅,即可求出P MNQ V -的最大值;假设点P 为棱1CC 的中点,连接PQ 交1B C 于点E ,连接NE ,那么点E 为右侧面11B BCC 的中心,取左侧面11A ADD 的中心为点F ,连接EF ,记EF 的中点为G ,那么G为正方体1111ABCD A B C D -的中心,连接MG ,那么MG EF ⊥,得到PNQ 的外接圆圆心为点E ,根据球的构造特征,得到三棱锥M PQN -外接球的球心在直线EF 上,记作点O ,连接OM ,ON ,设三棱锥M PQN -外接球的半径为R ,根据题中条件,列出方程求解,即可得出22R =,从而可求出球的外表积. 【详解】连接1B C 交QN 于点H ,因为四边形11B BCC 是正方形,N ,Q 分别为棱11B C ,1BB 的中点,所以易得,1B C QN ⊥,H 为QN 的中点,且正方形11B BCC 中,点C 到直线QN 的间隔 最大为CH ,又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,所以QN ==1B C ==因此1B H =CH ==,所以13222CNQS==, 又点P 为棱1CC 上的动点,所以当点P 与点C 重合时,PNQ 的面积最大,为32; 因为正方体1111ABCD A B C D -中,11A B ⊥平面11B BCC ,所以1MB ⊥平面PNQ , 又P MNQ M PNQ V V --=,所以()()()1maxmaxmax1132P MNQM PNQ PNQ V V MB S --==⋅⋅=; 假设点P 为棱1CC 的中点,连接PQ 交1B C 于点E ,连接NE ,那么点E 为右侧面11B BCC 的中心,取左侧面11A ADD 的中心为点F ,连接EF ,记EF 的中点为G ,那么G 为正方体1111ABCD A B C D -的中心,连接MG ,那么MG EF ⊥,因为P 为棱1CC 的中点,所以22112NP C N C P NQ =+==,所以2224NP QN PQ +==,因此NP NQ ⊥, 所以PNQ 的外接圆圆心为点E ;又球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,11//EF A B ,11A B ⊥平面11B BCC ,所以EF ⊥平面11B BCC ,因此三棱锥M PQN -外接球的球心在直线EF 上,记作点O , 连接OM ,ON ,设三棱锥M PQN -外接球的半径为R , 那么OM ON R ==,又1//MB GE ,且1MB GE =,1EF B C ⊥,所以四边形1MB EG 为矩形, 因此11122MG B E B C ===,所以2222OG OM MG R =-=-, 因为1112NE CC ==,所以2221OE ON NE R =-=-, 又112GE OG OE EF =+==,所以22121R R -+-=,解得:22R =,所以该球的外表积为248R ππ=. 故答案为:12;8π.【点睛】此题主要考察求三棱锥体积的最值,以及求三棱锥外接球的外表积,熟记简单几何体的结果特征,以及棱锥体积公式、球的外表积公式即可,属于常考题型,难度较大. 四、解答题.17.数列{}n a 是单调递增的等差数列,11a =,且12a +,22a ,37a +成等比数列. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 满足()11nn b a +=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕21n a n =-;〔2〕当n 为偶数时,111n T n =-++;当n 为奇数时,111n T n =--+.【解析】 【分析】〔1〕先由题意,设{}n a 的公差为d ,且0d >,根据12a +,22a ,37a +成等比数列,列出方程求出公差,从而可求出通项公式;〔2〕根据〔1〕的结果,由等差数列求和公式,以及()11nn b a +=-,得到()()2111nn n b n n +=-+,再由裂项求和的方法,即可求出结果.【详解】〔1〕由题意,设{}n a 的公差为d ,且0d >, 因为11a =,且12a +,22a ,37a +成等比数列,∴()()22213227a a a =+⨯+,即()()22213127d d +=⨯++,解得2d =,52d =-〔舍〕. ∴()12121n a a n n =+⨯-=-. 〔2〕∵21n a n =-,∴()21212n n n S n +-==,()211n Sn +=+,()1n n ==+,∵()11nn b a +=-,121n a n +=+, ∴()()()21111111nn n n b n n n n +⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭.当n 为偶数时,1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当n 为奇数时,1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴当n 为偶数时,111n T n =-++;当n 为奇数时,111n T n =--+. 【点睛】此题主要考察求等差数列的通项公式,以及数列的求和,熟记等差数列的通项公式与求和公式,等比中项的定义,以及裂项求和的方法即可,属于常考题型. 18.在①(),m a b c a =+-,(),n a b c =-,且m n ⊥,②22cos a c b C -=,③1sin cos 62B B θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并给出解答. 在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且______. 〔1〕求角B ;〔2〕假设4b =,求ABC 周长的最大值. 【答案】条件选择见解析;〔1〕3B π=;〔2〕12.【解析】 【分析】〔1〕假设选①,根据向量数量积的坐标表示,以及余弦定理,即可求出角B ;假设选②,根据正弦定理,化简整理,即可求出角B ;假设选③,先将条件化简,得到1cos 32B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即可求出角B ;〔2〕先由余弦定理,根据〔1〕的结果,得到()2163a c ac =+-,再由根本不等式,求出8a c +≤,即可得出周长的最值.【详解】〔1〕选①∵(),m a b c a =+-,(),n a b c =-,且m n ⊥, ∴()()()0a b a b c c a +-+-=.化简得,222a cb ac +-=,由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,又因为0B π<<,∴3B π=.选②根据正弦定理,由22cos a c b C -=得2sin sin 2sin cos A C B C -=, 又因为()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+,所以2sin cos sin C B C =,又因为sin 0C ≠, 所以1cos 2B =,又因为()0,B π∈,所以3B π=.选③由1sin cos 62B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭11cos cos 22B B B +=+,即11cos 222B B -=,所以1cos 32B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,又因为()0,B π∈,所以233B ππ+=,因此3B π=. 〔2〕由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()2163a c ac =+-.又∵2a c +≥()24a c ac +≤,当且仅当a c =时等号成立, ∴()()2233164a c ac a c +=+-≤,解得,8a c +≤,当且仅当4a c ==时,等号成立.∴8412a b c ++≤+=. ∴ABC 的周长的最大值为12.【点睛】此题主要考察解三角形,以及求三角形的周长最值问题,熟记正弦定理与余弦定理,以及根本不等式即可,属于常考题型.19.如图1所示,EFGH 为矩形,四边形ABCD 为正方形.1ADD A 与11BCC B 为全等的等腰梯形,其中11122224AB AE AA DH A D =====,沿着AB ,BC ,CD ,DA 折成如图2所示的几何体1111ABCD A B C D -,使1A ,1B ,1C ,1D 分别与E ,F ,G ,H 重合.〔1〕求证:平面11AA D D ⊥平面ABCD ;〔2〕求平面11B CD 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】〔1〕证明见解析;〔2251. 【解析】 【分析】〔1〕由四边形ABCD 是正方形,得AB AD ⊥,再由四边形11ABB A 是矩形,得1AB AA ⊥,然后利用线面垂直的断定定理可得AB ⊥平面11AA D D ,再由面面垂直的断定定理可证得结论;〔2〕由可推得1OA ,OD ,ON 两两垂直,所以以OD ,ON ,1OA 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如下图,然后利用空间向量求解即可.【详解】〔1〕证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB AD ⊥,∵四边形11ABB A 是矩形, ∴1AB AA ⊥,又∵1AD AA A ⋂=,1AA ⊂平面11AA D D , ∴AB ⊥平面11AA D D .又因为AB 平面ABCD ,∴平面11AA D D ⊥平面ABCD .〔2〕由〔1〕知平面ABCD ⊥平面11ADD A . 过1A 作1A O AD ⊥于点O ,∵平面ABCD ⊥平面11ADD A , 平面ABD ⋂平面11ADD A AD =, ∴1A O ⊥平面ABCD .过O 作//ON AB ,且交BC 于点N , ∴1OA ,OD ,ON 两两垂直, 分别以OD ,ON ,1OA 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如下图:那么()3,4,0C ,()12,0,3D ,()10,4,3B ,()11,4,3CD =--,()13,0,3CB =-,设平面11B CD 的一个法向量为(),,n x y z =,那么由110,0,CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得430,330.x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩令3z =,得11,,32n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =, ∴251cos ,17m n m n m n⋅==, 所以平面11B CD 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为25117.【点睛】此题考察的是证面面垂直和求二面角的余弦值,考察空间想象才能,利用了空间向量求解,考察了计算才能,属于中档题.20.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12,P 为椭圆C 上异于长轴端点的任意一点,12PF F △〔1〕求椭圆C 的HY 方程;〔2〕A 为椭圆C 的右顶点,过左焦点F 的动直线交椭圆于B ,D 两点〔异于点A 〕,直线AB ,AD 与定直线():0l x t t =≠的交点分别为M ,N ,假设以MN 为直径的圆经过点F ,求直线l 的方程.【答案】〔1〕22143x y +=;〔2〕直线l 的方程为4x =-. 【解析】 【分析】〔1〕当P 是短轴端点时,12PF F △面积的最大,由此可处bc ,再由离心率,及222a b c =+可求得,a b 得椭圆方程;〔2〕设直线BD 的方程为1x my =-,代入椭圆方程,()11,B x y ,()22,D x y ,得122634m y y m +=+,122934y y m -=+,设()1,M t n ,()2,N t n ,由A ,B ,M 三点一共线得2n ,同理得2n ,把.M N 坐标代入0NF MF ⋅=,并代入1212,y y y y +可求得t . 【详解】解:〔1〕由离心率12e =得,2a c =,① 因为当点P 为短轴端点时,12PF F △面积最大,122c b bc ⨯⨯== 在椭圆中222a b c =+,③由①②③解得,24a =,23b =,所以椭圆的HY 方程为22143x y +=.〔2〕由〔1〕知,()1,0F -,()2,0A ,设直线BD 的方程为1x my =-,联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消x 得()2234690m y my +--=,设()11,B x y ,()22,D x y , 那么()()()222643491441440m m m ∆=--⨯+⨯-=+>, 122634m y y m +=+,122934y y m -=+. 设()1,M t n ,()2,N t n ,由A ,B ,M 三点一共线得,11122y n x t =--, ∴()11122t y n x -=-,同理得()22222t y n x -=-, 因为以MN 为直径的圆经过点F ,所以NF MF ⊥,于是0NF MF ⋅=,由()21,NF t n =---,()11,MF t n =---,()21210t n n ∴++=.将()11122t y n x -=-,()22222t y n x -=-,代入上式,得()()()()22121221022y y t t x x -⋅++=--, ∵111x my =-,221x my =-,∴()()()()22121221033y y t t my my -⋅++=--,③ 将122634m y y m +=+,122934y y m -=+, 代入③得()()222104t t --++=, 解得4t =-,或者0t =〔舍去〕.故直线l 的方程为4x =-.【点睛】此题考察求椭圆方程,考察直线与椭圆相交问题,解题方法是“设而不求〞的思想方法,即设交点坐标,设直线方程与椭圆方程联立方程组,消元后应用韦达定理得出1212,y y y y +〔或者1212,x x x x +〕,然后把这个1212,y y y y +代入其他条件化简变形,得出结论.21.贝诺酯为对乙酰氨基酚与阿司匹林的酯化产物,是一种新型的抗炎、抗风湿、解热镇痛药,主要用于类风湿关节炎、急慢性风湿性关节炎、神经痛及术后疼痛.药监部门要利用小白鼠扭体实验,对某厂消费的该药品的镇痛效果进展检测,假设用药后的小白鼠扭体次数没有减少,扭体时间是间隔没有变长,那么认定镇痛效果不明显.〔1〕假设该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为23,对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为45,药监部门要利用两只雌性和两只雄性小白鼠检测该药药效,对4只小白鼠逐一检测.假设在检测过程中,一只小白鼠用药后镇痛效果明显,记录积分为1,镇痛效果不明显,那么记录积分为1-.用随机变量X 表示检测4只小白鼠后的总积分,求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ;〔2〕假设该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为p ,现对6只雌性小白鼠逐一进展检测,当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时,停顿检测.设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为()f p ,求()f p 最大时p 的值.【答案】〔1〕分布列答案见解析,期望为:2815;〔2〕p = 【解析】【分析】 〔1〕由题意分别写出随机变量X 的可能取值,再根据HY 事件同时发生的概率分别求对应的概率,再计算分布列和数学期望;〔2〕首先由题意可知()()()454611f p p p p p p p =-+-=-,利用导数求函数的最大值.【详解】〔1〕由题意,随机变量X 的可能取值为4-,2-,0,2,4.()2224141135225P X ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()2211222442241221111355335225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-⨯+-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()2222112222442424520111133553535225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯+-⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()22112224422496211355335225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()222464435225P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X 的分布列为:()()()112529664420284202422522522522522522515E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯==. 〔2〕由题意知()()()454611f p p p p p p p =-+-=-,()01p <<,()()353246223f p p p p p '=-=-.令()()322230f p p p '=-=得,p =∴当0p <<时,()0f p '>,()f p 单调递增;当13p <<时,()0f p '<,()f p 单调递减,∴当3p =,()f p 获得最大值. 【点睛】此题考察HY 事件同时发生的概率,离散型随机变量分布列,数学期望,导数求函数的最值,属于中档题型,此题的关键是正确理解题意,并才能转化为数学问题,尤其是第一问,不重不漏的求出X 所取的所有数值,并且整理理解随机变量,并求概率.22.函数()x f x e =,()ln h x x x =+,()()1ag x x a e =-+.〔1〕设()()()F x xf x ah x =-,讨论()F x 极值点的个数;〔2〕判断方程()()f x g x =的实数根的个数,并证明:122462232nnn n e e e e e +++++⋅⋅⋅+≥. 【答案】〔1〕答案见解析;〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕先对函数()F x 求导,分别讨论0a ≤,0a >,用导数的方法研究其单调性,从而可确定极值点个数;〔2〕先将方程()()f x g x =化为1x a e x a -=-+,设x a t -=,那么原方程又可化为1t e t =+.设()1t M t e t =--,用导数的方法求出 ()()min 00M t M ==,即可判断方程根的个数;得到对于任意的t R ∈,1t e t ≥+,从而有111242222111214121222n n n n n n n e e e n +++---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简整理,即可证明不等式成立.【详解】〔1〕()()ln xF x xe a x x =-+,0x >, ∴()()()()1111x x x xe a F x x e a x x +-⎛⎫'=+-+= ⎪⎝⎭, ①当0a ≤时,()0F x '>,()F x 在()0,∞+内单调递增,()F x 没有极值点.②当0a >时,令()xH x xe a =-, 当[)0,x ∈+∞时,()()10xH x x e '=+>, ∴()H x 在[)0,+∞上单调递增.又()00H a =-<,()()10a H a a e =->, ∴00x ∃>,使()00H x =,且当()00,x x ∈时,()0H x <,当()0,x x ∈+∞时,()0H x >,从而()00F x '=,当()00,x x ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减,当()0,x x ∈+∞时,()0F x '>,()F x 单调递增,∴0x x =是函数()F x 的极小值点.综上,当0a ≤时,()F x 无极值点,当0a >时,()F x 有一个极值点.〔2〕方程()()f x g x =可化为1x a e x a -=-+.设x a t -=,那么原方程又可化为1t e t =+.设()1t M t e t =--,那么()1tM t e '=-. ∵()00M '=,当(),0t ∈-∞时,()0M t '<,()M t 在(),0-∞上单调递减, 当()0,t ∈+∞时,()0M t '>,()M t 在()0,∞+上单调递增;()()min 00M t M ∴==,所以当0t ≠时,()0M t >,所以方程1t e t =+只有一个实数根,∴方程()()f x g x =只有一个实数根.∵对于任意的t R ∈,1t e t ≥+. ∴111242222111214121222n n n n n n n e e e n +++---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21132421222n n n n n n n n n n n +++=++⋅⋅⋅+-+=+-+=, 即()12242232n nn n e e e e +-+++⋅⋅⋅+≥, ∴12242232nn n n e e e e ++++⋅⋅⋅+≥. 【点睛】此题主要考察导数的方法研究函数的极值点个数,判断方程根的个数,以及证明不等式恒成立的问题,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数单调性,判断极值等,属于常考题型,难度较大.。
【附15套精选模拟试卷】东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)试卷含解析
东北三省三校2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A .2-B .1-C .1D .32.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ). A .B .C .D .3.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A .B .C .D .4.已知函数()sin cos f x x x ωω=-(0>ω),若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合,记ω的最小值为0ω,函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 ( )A .2[,]63k k ππππ++(k Z ∈)B .27[,]36k k ππππ+++(k Z ∈) C .[,]12232k k ππππ++(k Z ∈) D .7[,]32122k k ππππ++(k Z ∈)5.已如F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点,过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ,若2FM a =,记该双曲线的离心率为e ,则2e =( ).A .1172+ B .1174+ C .252+ D .25+ 6.如图是某几何体的三视图,则过该几何体顶点的所有截面中,最大的截面面积是( )A.2 B.3C.4 D.3 2π7.设定义在R上的函数()y f x=满足任意t R∈都有1(2)()f tf t+=,且(0,4]x∈时,()'()f xf xx>,则6(2017)f,3(2018)f,2(2019)f的大小关系是()A.6(2017)3(2018)2(2019)f f f<<B.3(2018)6(2017)2(2019)f f f<<C.2(2019)3(2018)6(2017)f f f<< D.2(2019)6(2017)3(2018)f f f<<8.已知复数5121a iz a Ri i,+=+∈+-,若复数z对应的点在复平面内位于第四象限,则实数a的取值范围是()A.1a>B.0a<C.01a<< D.1a<9.已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左焦点F,右顶点为E,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABE∆是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是()A.()1,2B.()2,12+C.()12,++∞D.()2,+∞10.已知0x y>>,则( )A.11x y>B.11()()22x y>C.cos cosx y> D.ln(+1)ln(1)x y>+11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为()A1725B1729C17210D.217221012.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述:“斜解立方,得两壍堵。
2020—2021年高考总复习数学(文)三校联考模拟试题及参考答案(精品试题).docx
届高三三校联考 数学(文科)试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.答卷前,考生务必先将自己的班级、姓名、准考证号、座号用5.0mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题直接答在答题纸相应区域,不能答在试卷上;试题不交,请妥善保存,只交答题卡与答题纸. 参考公式:用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式x b y a xn xy x n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i∧∧====∧-=--=---=∑∑∑∑,)())((1221121.球的表面积公式24R S π=,其中R 是球的半径.如果事件B A ,互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+;如果事件B A ,对立,那么)(1)(A P B P -=.第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的. 1.已知集合},{},,3{b a B a A ==,若}2{=B A I ,则=B A Y ( )开始 1,0==i Ni N N +=2 1+=i i?M N >否输入MA }3,2{B }4,3{C }3,2,2{ D}4,3,2{2.已知复数i 21-=a z ,i 22+=z (i 为虚数单位),若21z z 为纯虚数,则实数a 的值为( )A 4-B 1-C 1D 43.执行如图所示的程序框图,若输入的M 的值为55,则输出的i 的值为( ) A 3B 4C 5D 64.设∈b a ,R ,则“b a <”是“0)(2<-a b a ” 的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5.已知具有线性相关关系的两个变量y x ,之间的一组数据如下:x1 2 34 y2.23.45.48.47.6且回归直线方程为6.2+=∧∧x b y ,根据模型预报当6=x 时,y 的预测值为( )A 76.5B 8.6C 3.8D 46.86.函数2cos )(xx x f π=的图象大致是( )yO12 3 1- 2- 3- x121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x121-2-3A BCD7.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=2,)31(,2),2()(x x x f x f x,则)5log 1(3+-f 的值为()A151 B 35C 15D32 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) Aπ34 Bπ332C π4D π169.已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数,)('x f 为其导函数,若对侧视图321正视图俯视图32•于任意实数x ,都有)()('x f x f >,其中e 为自然对数的底数,则( )A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f < C)2016()2015(e f f =D)2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定10.对于两个平面向量b a ,,定义它们的一种运算:θsin ||||b a b a ⋅=⊗(其中θ为向量b a ,的夹角),则关于这种运算的以下结论中,不恒成立的是( ) Aa b b a ⊗=⊗B 若0=⊗b a ,则b a //C c b c a c b a ⊗+⊗=⊗+)(D 若),(),,(2211y x b y x a ==,则||1221y x y x b a -=⊗第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.函数21)1ln(1)(x x x f -++=的定义域为________.12.若直线)0,0(2>>=-b a by ax 过圆012422=++-+y x y x 的圆心,则ab 的最大值为________. 13.设△ABC 的内角CB A ,,的对边分别为cb a ,,,若B AC a sin 2sin 3,41cos ,4=-==,则=c ________.14.某企业生产甲、乙两种产品均需用B A ,两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲 乙原料限额A(吨)32 12 B(吨)12815.抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线13:222=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则=p ________.三、解答题:本大题共6个小题,共75分. 16.(本小题满分12分)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权,围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众,按他们的年龄分组:010.0020.00.02 030.0 20 30 40 50 60 70 组距频率035.0年龄(岁)第1组)30,20[,第2组)40,30[,第3组)50,40[,第4组)60,50[,第5组]70,60[,得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访,估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率;(Ⅱ)已知第1组群众中男性有3名,组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队,求至少有1名女性群众的概率.17.(本小题满分12分)已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>-+⋅=ωωωωx x x x f 的两条相邻对称轴之间的距离为2π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数)(x g y =的图象,若函数k x g y -=)(在区间]32,6[ππ-上存在零点,求实数k 的取值范围.18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111C B A ABC -中,1111C A B A =,点E D ,分别是1111,B A C B 的中点,11===BD AB AA ,ο601=∠AB A . (Ⅰ)求证://1AC 平面BD A 1; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面111C B A .19.(本小题满分12分)已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,32,01=>a a n ,且4321,1,3a a a -成等差数列.1C1B1ACBA DE(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列}{n b 满足1)1(log 13=-⋅+n n S b ,求满足方程100950413221=++++n n b b b b b b Λ的正整数n 的值.20.(本小题满分13分)已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f .(Ⅰ)当0=a 时,求)(x f 的极值; (Ⅱ)当0<a 时,讨论)(x f 的单调性; (Ⅲ)若对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ,求实数m 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为21,它的四个顶点构成的四边形的面积为34.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆C 的右焦点为F ,过F 作两条互相垂直的直线21,l l ,直线1l 与椭圆C 交于Q P ,两点,直线2l 与直线4=x 交于N 点. (i )求证:线段PQ 的中点在直线ON 上; (ii )求||||FN PQ 的取值范围.数学(文科)参考答案及评分标准说明:1.本解答仅给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准标准酌情赋分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.【答案】D . 【解析】由}2{=B A I得B A ∈∈2,2,所以2,2==b a ,所以}2,4{},2,3{==B A ,所以}4,3,2{=B A Y .故选D .【考点】元素与集合关系、集合运算. 2.【答案】C . 【解析】由题意可得,i 54522i 2i 221+--=+-=a a a z z ,因为21z z为纯虚数,所以054,0522≠+-=-a a ,所以1=a .故选C .【考点】复数的概念、复数的代数运算. 3.【答案】D .【解析】执行程序框图,第一次2,551102=<=+⨯=i N ,第二次3,554212=<=+⨯=i N ,第三次4,5511342=<=+⨯=i N ,第四次5,55264112=<=+⨯=i N ,第五次6,55575262=>=+⨯=i N ,所以输出的i 的值为6.故选D .【考点】程序框图输出结果. 4.【答案】B .【解析】由题意可得,“0)(2<-a b a ”等价于“0,02><-a b a 或0,02<>-a b a ”,即“0,0≠<-a b a ” ,所以“b a <”是“0)(2<-a b a ” 的必要不充分条件.故选B .【考点】充要条件、不等式性质. 5.【答案】C .【解析】由题意可得,2)43210(51=++++⨯=x ,5.4)7.68.45.43.42.2(51=++++⨯=y ,因为回归直线一定过样本点的中心),(y x ,所以6.225.4+⨯=∧b ,解得95.0=∧b .当6=x 时,y 的预测值为3.86.2695.0=+⨯.故选D .【考点】线性回归直线方程、预测值. 6.【答案】B .【解析】由题意可得,)(cos )()(cos )(22x f xx x x x f ==--=-ππ,所以)(x f 为偶函数,)(x f 的图象关于y 轴对称,可排除答案A 、C ;当1=x 时,01cos )1(<-==πf ,可排除D .故选B .【考点】函数的图象与性质. 7.【答案】A .【解析】由题意可得,135log 5log 1033<=+-<,所以315log 25log 1233<=++-<,所以151)3()31()15(log )25log 1()5log 1(115log 15log 33333====++-=+--f f f .故选A .【考点】函数值、指对运算. 8.【答案】D .【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为3,高为1的圆锥.设其外接球的半径为R ,则222)3()1(=--R R ,解得2=R ,所以该几何体外接球的表面积为πππ1624422=⨯==R S .故选D .3R1-R1【考点】三视图、组合体体积. 9.【答案】A . 【解析】构造函数∈=x x f x F x,e )()(R ,)(x F 的导函数xx x x x f x f x f x f x F e)()()e ()e )((e )()('2'''-=-=.因为)()('x f x f >,0e >x ,所以0)('<x F ,)(x F 在R 上是减函数,所以20162015e)2016()2016(e )2015()2015(f F f F =>=,所以)2016()2015(e f f >.故选A .【考点】抽象函数单调性、比较大小. 10.【答案】C .【解析】因为θsin ||||b a b a ⋅=⊗,所以a b a b b a b a ⊗=⋅=⋅=⊗θθsin ||||sin ||||,选项A 恒成立.当0,≠b a ,0sin ||||=⋅=⊗θb a b a 时,0sin =θ,所以0=θ或πθ=,所以b a //;当0=a 或0=b 时,b a //恒成立,选项B 恒成立.θsin ||||b a b a ⋅=⊗θ2cos 1||||-⋅=b a 2)||||(1||||b a b a b a ⋅⋅-⋅=22)(|)||(|b a b a ⋅-⋅==212212212122222121)()())((y x y x y y x x y x y x -=+-++=||1221y x y x -=,选项D 恒成立.当b c a c b a c b a ⊥⊥=+===,,0,1||||||时,20)(=⊗+⊗≠=⊗+c b c a c b a ,选项C 不恒成立.故选C .【考点】新定义、数量积.编者注:本题中c b a ,,在印刷体中用黑体..来表示。
2020-2021学年高考总复习数学(文)三校联考模拟试题及答案解析
最新高三三校联考 数学(文科)试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟. 2.答卷前,考生务必先将自己的班级、姓名、准考证号、座号用5.0mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题直接答在答题纸相应区域,不能答在试卷上;试题不交,请妥善保存,只交答题卡与答题纸. 参考公式:用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式x b y a xn xy x n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i∧∧====∧-=--=---=∑∑∑∑,)())((1221121.球的表面积公式24R S π=,其中R 是球的半径.如果事件B A ,互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+;如果事件B A ,对立,那么)(1)(A P B P -=.第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.1.已知集合},{},,3{b a B a A ==,若}2{=B A I ,则=B A Y ( )A }3,2{B }4,3{C }3,2,2{D }4,3,2{2.已知复数i 21-=a z ,i 22+=z (i 为虚数单位),若21z z 为纯虚数,则实数a 的值为( ) A 4- B 1- C 1 D 4 3.执行如图所示的程序框图,若输入的M 的值为55,则输出的i 的值为( )A 3B 4C 5D 64.设∈b a ,R ,则“b a <”是“0)(2<-a b a ” 的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5.已知具有线性相关关系的两个变量y x ,之间的一组数据如下:且回归直线方程为6.2+=∧x b y ,根据模型预报当6=x 时,y 的预测值为( )A 76.5B 8.6C 3.8D 46.86.函数2cos )(xxx f π=的图象大致是( )y x y1-A BC D7.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=2,)31(,2),2()(x x x f x f x ,则)5log 1(3+-f 的值为( ) A151B35C 15D 328.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) A π34 Bπ332C π4D π169.已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数,)('x f 为其导函数,若对于任意实数x ,都有)()('x f x f >,其中e 为自然对数的底数,则( ) A )2016()2015(e f f > B )2016()2015(e f f < C )2016()2015(e f f = D )2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定10.对于两个平面向量b a ,,定义它们的一种运算:θsin ||||b a b a ⋅=⊗(其中θ为向量b a ,的夹角),则关于这种运算的以下结论中,不恒成立的是( )A a b b a ⊗=⊗B 若0=⊗b a ,则b a //C c b c a c b a ⊗+⊗=⊗+)(D 若),(),,(2211y x y x ==,则||1221y x y x -=⊗第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.函数21)1ln(1)(x x x f -++=的定义域为________.12.若直线)0,0(2>>=-b a by ax 过圆012422=++-+y x y x 的圆心,则ab 的最大值为________.13.设△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若B A C a sin 2sin 3,41cos ,4=-==,则=c ________.14.某企业生产甲、乙两种产品均需用B A ,两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业15.抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线13:22=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则=p ________.三、解答题:本大题共6个小题,共75分.16.(本小题满分12分)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权,围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众,按他们的年龄分组:第1组)30,20[,第2组)40,30[,第3组)50,40[,第4组)60,50[,第5组]70,60[,得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访,估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率;(Ⅱ)已知第1组群众中男性有3名,组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队,求至少有1名女性群众的概率.17.(本小题满分12分)已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>-+⋅=ωωωωx x x x f 的两条相邻对称轴之间的距离为2π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原010.0 60组距.0来的2倍,纵坐标不变,得到函数)(x g y =的图象,若函数k x g y -=)(在区间]32,6[ππ-上存在零点,求实数k 的取值范围. 18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111C B A ABC -中,1111C A B A =,点E D ,分别是1111,B A C B 的中点,11===BD AB AA ,ο601=∠AB A . (Ⅰ)求证://1AC 平面BD A 1;(Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面111C B A .19.(本小题满分12分)已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,32,01=>a a n ,且4321,1,3a a a -成等差数列.(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列}{n b 满足1)1(log 13=-⋅+n n S b ,求满足方程100950413221=++++n n b b b b b b Λ的正整数n 的值.20.(本小题满分13分)已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f . (Ⅰ)当0=a 时,求)(x f 的极值;(Ⅱ)当0<a 时,讨论)(x f 的单调性;(Ⅲ)若对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ,求实数m 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为21,它的四个顶点构成的四边形的面积为34.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆C 的右焦点为F ,过F 作两条互相垂直的直线21,l l ,直线1l 与椭圆C 交于Q P ,两点,直线2l 与直线4=x 交于N 点. (i )求证:线段PQ 的中点在直线ON 上; (ii )求||||FN PQ 的取值范围.1C1B 1A CB A D E数学(文科)参考答案及评分标准说明:1.本解答仅给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准标准酌情赋分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.【答案】D .【解析】由}2{=B A I 得B A ∈∈2,2,所以2,2==b a ,所以}2,4{},2,3{==B A ,所以}4,3,2{=B A Y .故选D . 【考点】元素与集合关系、集合运算. 2.【答案】C . 【解析】由题意可得,i 54522i 2i 221+--=+-=a a a z z ,因为21z z为纯虚数,所以054,0522≠+-=-a a ,所以1=a .故选C . 【考点】复数的概念、复数的代数运算. 3.【答案】D .【解析】执行程序框图,第一次2,551102=<=+⨯=i N ,第二次3,554212=<=+⨯=i N ,第三次4,5511342=<=+⨯=i N ,第四次5,55264112=<=+⨯=i N ,第五次6,55575262=>=+⨯=i N ,所以输出的i 的值为6.故选D .【考点】程序框图输出结果. 4.【答案】B .【解析】由题意可得,“0)(2<-a b a ”等价于“0,02><-a b a 或0,02<>-a b a ”,即“0,0≠<-a b a ” ,所以“b a <”是“0)(2<-a b a ” 的必要不充分条件.故选B .【考点】充要条件、不等式性质.5.【答案】C .【解析】由题意可得,2)43210(51=++++⨯=x ,5.4)7.68.45.43.42.2(51=++++⨯=y ,因为回归直线一定过样本点的中心),(y x ,所以6.225.4+⨯=∧b ,解得95.0=∧b .当6=x 时,y 的预测值为3.86.2695.0=+⨯.故选D .【考点】线性回归直线方程、预测值. 6.【答案】B . 【解析】由题意可得,)(cos )()(cos )(22x f xxx x x f ==--=-ππ,所以)(x f 为偶函数,)(x f 的图象关于y 轴对称,可排除答案A 、C ;当1=x 时,01cos )1(<-==πf ,可排除D .故选B . 【考点】函数的图象与性质.7.【答案】A .【解析】由题意可得,135log 5log 1033<=+-<,所以315log 25log 1233<=++-<,所以151)3()31()15(log )25log 1()5log 1(115log 15log 33333====++-=+--f f f .故选A . 【考点】函数值、指对运算. 8.【答案】D .【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为3,高为1的圆锥.设其外接球的半径为R ,则222)3()1(=--R R ,解得2=R ,所以该几何体外接球的表面积为πππ1624422=⨯==R S .故选D .【考点】三视图、组合体体积.9.【答案】A . 【解析】构造函数∈=x x f x F x,e )()(R ,)(x F 的导函数xx x x x f x f x f x f x F e)()()e ()e )((e )()('2'''-=-=.因为)()('x f x f >,0e >x ,所以0)('<x F ,)(x F 在R 上是减函数,所以20162015e )2016()2016(e )2015()2015(f F f F =>=,所以)2016()2015(e f f >.故选A .【考点】抽象函数单调性、比较大小.10.【答案】C .【解析】因为θsin ||||b a b a ⋅=⊗,所以a b a b b a b a ⊗=⋅=⋅=⊗θθsin ||||sin ||||,选项A 恒成立.当0,≠b a ,0sin ||||=⋅=⊗θb a b a 时,0sin =θ,所以0=θ或πθ=,所以b a //;当0=a 或0=b 时,b a //恒成立,选项B 恒成立.3R1-R 1θsin ||||b a b a ⋅=⊗θ2cos 1||||-⋅=ba 2||||⋅===212212212122222121)()())((y x y x y y x x y x y x -=+-++=||1221y x y x -=,选项D 恒成立.当⊥⊥=+===,,,1||||||时,20)(=⊗+⊗≠=⊗+,选项C 不恒成立.故选C .【考点】新定义、数量积.编者注:本题中c b a ,,在印刷体中用黑体..来表示。
2020年东北三省三校高考数学三模试卷(理科)
2020年东北三省三校高考数学三模试卷(理科)一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B的子集个数为()A. 2B. 4C. 6D. 82.已知复数z=sinθ−2√23+(cosθ−13)i为纯虚数,则tanθ=()A. −2√2B. −√24C. √24D. 2√23.小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况,将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图,则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为()A. 4B. 3C. 2D. 14.“新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析,并有针对性的采取措施.如图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图,根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对,下列说法错误的是()A. 2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省B. 2月7日到2月13日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省C. 2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增“新冠肺炎”确诊人数的波动大D. 后四日(2月10日至13日)乙省每日新增“新冠肺炎“确诊人数均比甲省多5.某多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为()A. 23B. 43C. 53D. 736.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的S为()A. a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值B. a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值C. a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值D. a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值7.函数y=sinx+√3cosx的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f(x)的图象,则下列说法不正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期2πB. 函数f(x)的图象关于直线x=5π6对称C. 函数f(x)的图象关于(π3,0)对称中心D. 函数f(x)在[5π6,11π6]上递增8.如图,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=AB=2,∠BAD=60°,M是BB1的中点,则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A. −√105B. −15 C. 15D. √1059. 已知圆M :x 2+y 2=12,过圆M 内一点E(1,√2)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( )A. 6√2B. 12√2C. 12√3D. 24√310. 已知函数f(x)={|x −1+1|,x <0|x −1|−1,x ≥0,若函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点,则实数k 的取值范围为( )A. [−1,12) B. (−∞,−116)∪(12,+∞) C. [−116,12)D. {−116}∪[0,12)11. 已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的右焦点为F ,过原点的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点,且|BF|=3|AF|,则双曲线C 的离心率取值范围为( )A. (1,2]B. (1,3]C. (3,+∞)D. [2,+∞)12. 若对任意x ∈(0,+∞),不等式2e 2x −alna −alnx ≥0恒成立,则实数a 的最大值为( )A. √eB. eC. 2eD. e 2二、填空题(本大题共3小题,共15.0分)13. 2020年5月17日晚“2019年感动中国人物名单揭晓”,中国女排位列其中,在感动中国的舞台上,她们的一句“我们没赢够”,再次鼓舞中国人民.中国之光--中国女排,一次次在逆境中绝地反击赢得奥运冠军,“女排精神”也是我们当前处于“新冠”逆境中的高三学子们学习的榜样,前进的动力.一次比赛中,中国女排能够闯入决赛的概率为0.8,在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9,则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率是______.14. 稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质,比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘,它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物,长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式: 名称 萘蒽并四苯……并n 苯结构简式…… …… 分子式C 10H 8 C 14H 10C 18H 12…………由此推断并十苯的分子式为______.15. f(x)是定义在R 上的函数,其导函数为f′(x),若2f(x)+f′(x)>2,f(1)=2,则不等式f(x)>e 2−2x +1(其中e 为自然对数的底数)的解集为______. 三、多空题(本大题共1小题,共5.0分)16.在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB),则A=;若O是△ABC外接圆的圆心,且cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数m=.四、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.已知数列{a n},{b n}(b n≠0,n∈N∗),满足a1=2b1,a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0.(Ⅰ)令c n=a nb n,证明:数列{c n}为等差数列,并求数列{c n}的通项公式;(Ⅱ)若b n=13 n,求数列{a n}的前n项和S n.18.新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现,给经济运行带来明显影响,住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重.随着复工复产的有序推动,我市某西餐厅推出线上促销活动:A套餐(在下列食品中6选3)西式面点:蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司;中式面点:豆包、桂花糕.B套餐:酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合.复工复产后某一周两种套餐的日销售量(单位:份)如表:(Ⅰ)根据该西餐厅上面一周A、B两种套餐的销售情况,结合两种套餐的平均销售量和方差,评价两种套餐的销售情况(不需要计算,只给出结论即可);(Ⅱ)如果该西餐厅每种套餐每日销量少于20份表示业绩“一般”,销量大于等于20份表示业绩“优秀”,求该西餐厅在这一周内B套餐连续两天中至少有一天销量业绩为“优秀”的概率;(Ⅲ)某顾客购买一份A套餐,求她所选的面点中所含中式面点个数X的分布列及数学期望.19. 如图1,在直角梯形ABCD 中,AB//DC ,∠BAD =90°,AB =4√2,AD =2√2,DC =3√2,点E 在CD 上,且DE =2√2,将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置,PB =2√6(如图2).(Ⅰ)求证:平面PAE ⊥平面ABCE ;(Ⅱ)在线段PC 上存在点F ,满足PC =4PF ,求平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C 1:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0),P 1(1,1),P 2(0,2),P 3(√32,−1),P 4(√32,1)四点中恰有三点在椭圆C 1上,抛物线C 2:y 2=2px(p >0)焦点到准线的距离为12. (Ⅰ)求椭圆C 1、抛物线C 2的方程;(Ⅱ)过椭圆C 1右顶点Q 的直线l 与抛物线C 2交于点A 、B ,射线OA 、OB 分别交椭圆C 1于点M 、N . (i)证明:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值; (ii)求△AOB 、△MON 的面积分别为S 1、S 2,求S 1S 2的最小值.21. 已知函数f(x)=sinx +cosx −ax(a ∈R).(Ⅰ)当a =1时,求f(x)在[−π4,π2]上最值;(Ⅱ)若对一切x ∈[−π,0],不等式f(x)≤1恒成立,求实数a 的取值范围.22. 已知曲线C 1:{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π4). (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程及点A 、B 、C 、D 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.23. 已知函数f(x)=|ax −1|(a >0).(Ⅰ)若不等式f(x)+f(x −1)≥1对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值集合A ; (Ⅱ)若x ,y ∈A ,求证:x +y +1xy ≤1x +1y +xy .答案和解析1.【答案】B【解析】解:解{x 2+y 2=1y =x得,{x =−√22y =−√22或{x =√22y =√22;∴A ∩B ={(−√22,−√22),(√22,√22)}; ∴A ∩B 子集个数为C 20+C 21+C 22=22=4.故选:B .可解方程组{x 2+y 2=1y =x得出{x =−√22y =−√22,或{x =√22y =√22,从而得出A ∩B 有两个元素,从而得出A ∩B 的子集个数为C 20+C 21+C 22=4.考查描述法表示集合的概念,交集的定义及运算,以及子集的定义,子集个数的求法.2.【答案】A【解析】解:∵z =sinθ−2√23+(cosθ−13)i 为纯虚数,∴{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0,解得sinθ=2√23,cosθ=−13.则tanθ=sinθcosθ=−2√2. 故选:A .由已知可得{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0,求得cosθ与sinθ的值,即可得解. 本题考查复数的概念,同角三角函数的基本关系,是基础题.3.【答案】D【解析】解:因为南岗区空置房套数有7套,则其中位数是79;道里区空置房套数有8套,则其中位数为76+802=78,所以两中位数之差是79−78=1. 故选:D .由茎叶图分别求出两区的中位数,相减即可. 本题通过茎叶图考查中位数的求法,属于基础题.4.【答案】C【解析】解:根据图象所给数据可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为19,方差为53,单日新增最大值为28,2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为22,方差约为17,单日新增最大值为29,故可得AB正确,C错误,由图可知,后四日乙人数均比甲人数多,故D正确,故选:C.根据图象计算平均数、方差进行比较即可本题考查学生合情推理能力,考查统计的相关知识,属于基础题.5.【答案】B【解析】解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为四棱锥体.如图所示:所以:V=13×2×2×1=43.故选:B.直接利用三视图转换为直观图,进一步求出几何体的体积.本题考查的知识要点:三视图和直观图形之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.6.【答案】C【解析】解:模拟程序的运行,可得k=3,S=a3,满足条件k>0,执行循环体,k=2,S=a2+a3x0,满足条件k>0,执行循环体,k=1,S=a1+x0(a2+a3x0),满足条件k>0,执行循环体,k=0,S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0)),不满足条件k>0,退出循环,输出S的值为a0+x0(a1+x0(a2+a3x0)).故选:C.模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的k ,S 的值,当k =0时,不满足条件k >0,退出循环,输出S 的值为a 0+x 0(a 1+x 0(a 2+a 3x 0)).本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,依次正确写出每次循环得到的S ,k 的值是解题的关键,属于基础题.7.【答案】D【解析】解:把函数y =sinx +√3cosx =2sin(x +π3)的图象向右平移2π3个单位长度, 得到函数f(x)=2sin(x −π3)的图象, 显然,f(x)的周期为2π,故A 正确; 当x =5π6时,f(x)=2,为最大值,故f(x)的图象关于直线x =5π6对称,故B 正确;当x =π3时,f(x)=0,故f(x)的图象关于点(π3,0)对称,故C 正确; 在[5π6,11π6]上,x −π3∈[π2,3π2]上,f(x)单调递减,故D 错误,故选:D .利用三角恒等变换化简函数的解析式,函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,得出结论. 本题主要考查三角恒等变换,函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于中档题.8.【答案】D【解析】解:∵M 是BB 1的中点,∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵AA 1=AB =2,直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形, ∴|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,又∠BAD =60°,∠AA 1B 1=∠AA 1D 1=90°,∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×2×12+12×4=4,∴cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=√105, ∴异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值为√105. 故选:D .可以得出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,进行数量积的运算即可求出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值,然后即可求出cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值,从而得出异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值.本题考查了用向量求异面直线所成角的方法,异面直线所成角的定义,正四棱柱的定义,向量夹角的余弦公式,考查了计算能力,属于基础题.9.【答案】C【解析】解:如图,|OE|=√12+(√2)2=√3,则|BD|=2√12−3=6, |AC|=4√3.∴四边形ABCD 的面积为12×6×4√3=12√3. 故选:C .由题意画出图形,分别求出最长弦和最短弦的值,再由12|AC|⋅|BD|求解. 本题考查直线与圆的性质,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.10.【答案】D【解析】解:函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点,即方程kx +12=f(x)有三个根. 函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象如图:当直线y =kx +12过(−1,0)与(0,12)时,k =12−00−(−1)=12; 当直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时,联立{y =kx +12y =1x+1,得2kx 2−x −2=0. 由△=(−1)2+16k =0,解得k =−116.结合图象可知,若函数y =f(x)与y =kx +12的图象有3个交点, 则实数k 的取值范围为{−116}∪[0,12). 故选:D .函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点,即方程kx +12=f(x)有三个根.由函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象,求出直线y =kx +12过(−1,0)时的斜率,再利用判别式法求出直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时直线的斜率,数形结合可得实数k 的取值范围.本题考查函数零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.11.【答案】A【解析】解:设双曲线的左焦点为F 1,根据对称性知AFBF 1是平行四边形,所以有|AF|=|BF 1|, 又点B 在双曲线上,所以|BF|−|BF 1|=2a因为|BF|=3|AF|,所以|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ,即|BF|=3a ,|BF 1|=a , 而在三角形BFF 1中,|BF|+|BF 1|=4a ≥2c ,|BF|−|BF 1|=2a <2c , 所以双曲线的离心率e ∈(1,2], 故选:A .由双曲线的对称性,连接A ,B 与右焦点F 的连线,可得AFBF 1是平行四边形,对应边平行且相等,3|AF|=|BF|,推出|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ,然后结合三角形的边长关系,求和双曲线的离心率的范围. 本题考查双曲线的性质及三角形的性质,属于中档题.12.【答案】C【解析】解:依题意,对任意x ∈(0,+∞),2e 2x ≥aln(ax)恒成立, 记f(x)=2e 2x ,g(x)=aln(ax)(x >0),则f′(x)=4e 2x ,g′(x)=ax , 易知函数f(x)在(0,+∞)上单增,显然a >0,则函数g(x)在(0,+∞)上递增, 要使f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立,只需x ∈(0,+∞)时,函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方,如图可知,a 越大,函数g(x)图象的开口越大,故当两函数恰好相切时,此时实数a 取得最大值,设切点为(m,n),则{am=4e2m2e2m=n aln(am)=n ,解得{m=12n=2ea=2e,则实数a的最大值为2e.故选:C.记f(x)=2e2x,g(x)=aln(ax)(x>0),则只需x∈(0,+∞)时,函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方,当a取得最大值时,两函数恰好相切,设出切点,建立方程组,解出即可.本题考查利用导数研究函数的最值,考查不等式的恒成立问题,同时也涉及了导数的几何意义的运用,考查转化思想及运算能力,属于中档题.13.【答案】0.72【解析】解:一次比赛中,中国女排能够闯入决赛的概率为0.8,在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9,则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率为:P=0.8×0.9=0.72.故答案为:0.72.利用相互独立事件概率乘法公式能求出中国女排闯进决赛且获得冠军的概率.本题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.【答案】C42H24【解析】解:设并n苯的分子式中C原子的个数为a n,H原子的个数是b n,由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列,{b n}是公差为2的等差数列,因为a2=10,b2=8,所以a n=10+4(n−2)=4n+2,b n=8+2(n−2)=2n+4,所以a10=42,b10=24,所以并十苯的分子式为C42H24,所以答案为C42H24.本题主要考察等差数列.设并n苯分子式中C原子的个数为a n,H原子的个数是b n,由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列,{b n}是公差为2的等差数列,进而求得n=10时a n和b n的值,从而得到并十苯的分子式.本题考查等差数列,要求学生能够利用已知归纳出等差数列的首项和公差,进而求解指定项.属于基础题.15.【答案】(1,+∞)【解析】解:f(x)>e2−2x+1,即e2x f(x)−e2x>e2,令g(x)=e2x f(x)−e2x,则g′(x)=e2x[2f(x)+f′(x)−2]>0,故g(x)在R递增,而g(1)=e2f(1)−e2=e2,∴e2x f(x)−e2x>e2,即g(x)>g(1),即x>1,故不等式的解集是(1,+∞),故答案为:(1,+∞)令g(x)=e2x f(x)−e2x,得到g(x)>g(1),结合函数的单调性求出不等式的解集即可.本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道常规题.16.【答案】π3√32【解析】解:①2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB),2sinC⋅tanB=sinB⋅(tanA+tanB),因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入上式得,2[sinAcosB+cosAsinB]⋅sinBcosB=sinB⋅(sinAcosA+sinBcosB)2[sinAcosB+cosAsinB]⋅1cosB =sinAcosA+sinBcosB,2[sinAcosB+cosAsinB]⋅cosA=sinAcosB+sinBcosA,2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB=sinAcosB+sinBcosA,2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB−sinAcosB−sinBcosA=0,sinAcosB(2cosA−1)+cosAsinB(2cosA−1)=0,(2cosA−1)(sinAcosB+cosAsinB)=0,(2cosA−1)sin(A+B)=0,(2cosA−1)sinC=0,所以2cosA−1=0,即cosA=12,因为是锐角三角形,所以A=π3,②取AB边中点D,则AB⊥ODcosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ,cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,cosB 2sinC ⋅c2+cosC2sinB⋅b⋅c⋅cosA=m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ),cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=m⋅12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2,cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=12m⋅sin2C,cosB+cosAcosC=msinC,所以m=cosB+cosAcosCsinC =cos[π−(A+C)]+cosAcosCsinC=−cosAcosC+sinAsinC+cosCcosAsinC=sinA=√32.故答案为:π3,√32.①利用正弦定理边化角,结合两角和差公式进行化简变形,即可得答案.②取AB边中点D,则AB⊥OD,cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,利用正弦定理边化角,化简即可得出答案.本题考查正弦定理,向量数量积,属于中档题.17.【答案】解:(Ⅰ)证明:∵b n≠0,a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0,∴a nb n −a n+1b n+1+2=0.又c n=a nb n,∴c n−c n+1+2=0,即c n+1−c n=2,c1=a1b1=2,∴{cn}为首项、公差均为2的等差数列,∴c n=2n;(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得c n=a nb n =2n,∵bn=13 n,∴a n=2n×(13)n.∵S n=2[1×13+2×(13)2+3×(13)3+⋯n⋅(13)n]①,∴13S n=2[1×(13)2+2×(13)3+⋯(n−1)⋅(13)n+n⋅(13)n+1]②,由①−②可得:23S n=2[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n−n⋅(13)n+1]=2[13[1−(13)n]1−13−n⋅(13)n+1]=1−(2n3+1)⋅(13)n,∴S n=32−2n+32⋅13n.【解析】(Ⅰ)先由题设条件⇒a n bn −a n+1b n+1+2=0,再由c n=a nb n⇒c n+1−c n=2,进而证明数列{cn}为等差数列,求出其通项公式;(Ⅱ)先由(Ⅰ)和题设条件求出a n ,再利用错位相减法求其前n 项和即可.本题主要考查等差数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用,属于中档题.18.【答案】解:(Ⅰ)根据所给数据可知B 套餐的平均销售高于A 套餐,但A 套餐销售情况比B 套餐更稳定,波动性小;(Ⅱ)设“一周内B 套餐连续两天中至少有一天销量业绩优秀”为事件C , 则P(C)=36=12;(Ⅲ)由题意知,随机变量X 的可能取值为0,1,2; 计算P(X =0)=C 43C 63=15,P(X =1)=C 21⋅C 42C 63=35,P(X =2)=C 22⋅C 41C 63=15, 所以随机变量X 的分布列为, X 012P153515数学期望为E(X)=0×15+1×35+2×15=1.【解析】(Ⅰ)根据所给数据分析判断即可; (Ⅱ)利用古典概型的概率公式计算就;(Ⅲ)由题意知随机变量X 的可能取值,计算对应的概率值,写出分布列,求出数学期望.本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题,也考查了运算求解能力,是基础题.19.【答案】解:(Ⅰ)证明:取AE 中点O ,连结OB ,∵在直角梯形ABCD 中,AB//DC ,∠BAD =90°,AB =4√2,AD =2√2,DC =3√2,点E 在CD 上,且DE =2√2,将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置,PB =2√6, ∴∠OAB =π4,AO =12AE =2,在△OAB 中,AO =2,AB =4√2,∠OAB =π4, ∴OB 2=4+32−2×2×4√2×√22=20,在Rt △DAE 中,PO =12AE =2,PB =2√6, ∴PB 2=OB 2+PO 2,∴PO ⊥OB ,∵PA =PE ,AO =OE ,∴PO ⊥AE , ∵OB ∩AE =O ,∴PO ⊥平面ABCE , 又PO ⊂面DAE ,∴平面PAE ⊥平面ABCE . (Ⅱ)解:取AB 中点M ,连结OM , ∵AM =12AB =2√2,AO =2,∠OAB =π4,∴OM ⊥AE ,∵PO ⊥面ABCE ,∴PO ,OM ,AE 两两垂直, 如图,建立空间直角坐标系,A(0,−2,0),E(0,2,0),M(2,0,0), 又∵M 是AB 中点,∴B(4,2,0),P(0,0,2),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0), ∴C(1,3,0),又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,34,−12),∴F(14,34,32), 设平面ABF 的法向量n⃗ =(x,y ,z), AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,0),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,114,32), 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x +4y =0n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 4+11y 4+3z2=0,取y =1,得n ⃗ =(−1,1,−53), 平面PAE 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0,0), 设平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角为θ, 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√43=3√4343, ∴平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值为3√4343.【解析】(Ⅰ)证明:取AE 中点O ,连结OB ,推导出PO ⊥OB ,PO ⊥AE ,从而PO ⊥平面ABCE ,由此能证明平面PAE ⊥平面ABCE .(Ⅱ)取AB 中点M ,连结OM ,推导出PO ,OM ,AE 两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值.本题考查考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力,是中档题.20.【答案】解:(Ⅰ)由C 1关于x 轴对称,P 3,P 4关于x 轴对称,所以P 3,P 4在C 1上,所以34b +1a =1,若P 1在C 1上,则1b 2+1a 2>34b 2+1a 2=1,所以P 1不在C 1上,P 2在C 1上, 所以a =2,b =1,即C 1:y 24+x 2=1,又由p =12,可得C 2:y 2=x ;(Ⅱ)(i)证明:设直线l :x =my +1,代入y 2=x 中,可得y 2−my −1=0, 所以y 1+y 2=m ,y 1y 2=−1,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=1−1=0;(ii)设直线OA :x =m 1y(m 1>0),将直线OA 代入C 1中, 可得y2(4m 12+1)=4,即y M =√1+4m 1,同理可得y N =1√4+m 1, S 1S 2=12|OA|⋅|OB|12|OM|⋅|ON|=|OA||OM|⋅|OB||ON|=|y 1||y M |⋅|y 2||y N |=|y 1y 2||y M y N |=√4m 12+1⋅√m 12+44|m 1|=14√4m 12+4m 12+17≥14√2√16+17=54,当且仅当m 12=1m 12,即m 1=1时取得等号.【解析】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和抛物线的位置关系,注意联立直线方程和抛物线方程,运用韦达定理,考查化简运算能力,属于较难题目.(Ⅰ)由椭圆的对称性,判断P 3,P 4在C 1上,再由椭圆的范围可得P 1不在C 1上,P 2在C 1上,可得a ,b ,即有椭圆方程,由p 的值,可得抛物线的方程;(Ⅱ)(i)设直线l :x =my +1,联立抛物线的方程,运用韦达定理和向量数量积的坐标表示,即可得证; (ii)设直线OA :x =m 1y(m 1>0),将直线OA 代入C 1中,求得M 的纵坐标,同理可得N 的纵坐标,再由三角形的面积公式和基本不等式,即可得到所求最小值.21.【答案】解:(I)f′(x)=cosx −sinx −a ,当a =1时,f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1,令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增,在(0,π2)上单调递减, 故f(x)max =f(0)=1, ∵f(−π4)=π4,f(π2)=1−π2<π4, ∴f(x)min =f(π2)=1−π2, (II)f(−π)=aπ−1≤1,故a ≤2π, f′(x)=−√2sin(x −π4)−a ,∵−π≤x ≤0,∴−5π4≤x −π4≤−π4,∴−1≤sin(x −π4)≤√22,−1≤−√2sin(x −π4)≤√2,(i)a ≤−1时,f′(x)≥0,f(x)在[−π,0]上单调递增,f(x)<f(0)=1恒成立, (ii)−1<a ≤2π时,当−π≤x ≤−π4时,f′(x)单调递增,当−π4≤x ≤0时,f′(x)单调递减, ∴f′(π)=−1−a <0,f′(−π4)=√2−a >0,f′(0)=1−a >0, ∴存在a ∈(−π,−π4),使得f′(a)=0,所以当−π≤x <a 时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当a <x ≤0时,f′(x)>0,函数单调递增, 又因为f(−π)=aπ−1≤1,f(0)=1≤1, ∴f(x)≤1,∴a ≤2π【解析】(I)把a =1代入,然后对函数求导,然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值;(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值,结合导数对a 进行分类讨论,然后结合导数与单调性关系及函数性质可求.本题主要考查了利用导数求解函数的最值,及由不等式的恒成立求解参数范围问题,体现了分类讨论思想的应用. 22.【答案】解:(Ⅰ)曲线C 1:{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)整理得x 2=2t 1+t 2,y =−1+21+t 2≠−1, 所以转换为直角坐标方程为:x 24+y 2=1(y ≠−1).曲线C 2的极坐标方程为ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π4).转换为直角坐标为(√2,√2) 所以B(2,3π4)转换为直角坐标为(−√2,√2),C(2,5π4)转换为直角坐标为(−√2,−√2),D(2,7π4)转换为直角坐标为(√2,−√2).(Ⅱ)设点P(x 0,y 0),则:x 024+y 02=1,所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x 02+4y 02+16=3x 02+20, 由于0≤x 02≤4,所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围为[20,32].【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果.(Ⅱ)利用曲线上的点的范围,进一步求出关系式的范围.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径的应用,关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.23.【答案】解:(Ⅰ)f(x)+f(x−1)≥1,即为|ax−1|+|ax−a−1|≥1,而a>0时,|ax−1|+|ax−a−1|≥|ax−1−ax+a+1|=|a|=a,当且仅当(ax−1)(ax−a−1)≤0时,上式取得等号.即有|ax−1|+|ax−a−1|的最小值为a,由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min,则a≥1,即A=[1,+∞);(Ⅱ)证明:x+y+1xy −(1x+1y+xy)=(x−1x)+(y−xy)+(1xy−1y)=(x−1)(x+1)x+y(1−x)+1xy(1−x)=x−1xy [(x+1)y−xy2−1]=x−1xy[xy(1−y)+(y−1)]=(x−1)(xy−1)(1−y)xy,由x,y∈[1,+∞),可得x−1≥0,1−y≤0,xy≥1,即xy−1≥0,则(x−1)(xy−1)(1−y)xy≤0,可得x+y+1xy≤1x+1y+xy.【解析】(Ⅰ)由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min,由绝对值不等式的性质可得最小值,即可得到所求集合A;(Ⅱ)运用作差比较法,结合因式分解和不等式的性质,即可得证.本题考查不等式恒成立问题的解法,以及不等式的证明,考查绝对值不等式的性质和作差比较法的运用,考查运算能力和推理能力,属于中档题.。
高考模拟复习试卷试题模拟卷三校生高考数学模拟试卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷三校生高考数学模拟试卷 班级姓名学号得分(请将是非选择题、单项选择题答案写到表格中) 一、是非选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.对每小题的命题作出选择,的选A,错的选B. 1. 实数0与集合A={0,1}的关系是.0A ∈(A B) 2. 点M(1,1)在圆.1)1(22上=+-y x(A B)3. 若非零向量.0,//,=•b a b a b a 则满足(A B)4. }.10{02<<<+x x x x 的解集是不等式(A B)5. 342tan ,2tan ==θθ则若(A B) 6. 24lg 25lg =+(A B) 7. 函数x y πsin = 的最小周期是2(A B)8. 若点A,B 到平面a 的距离都等于1,则直线.//a AB (A B) 9. 当6)32(3的系数是的展开式中x x +(A B)10,等差数列).(125,3,1*N n n a n ∈-=的通项公式为(A B)二、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.11. 的离心率为椭圆125922=+y x ( )A.53 B.54C. 43 D.4512. 已知的值域是函数xy 2=( )A.{}0≤y yB. {}0≥y yC. {}0>y yD. {}R y y ∈13. 已知[]()=⋂==B A B A 则集合,5,2,3,0( )A. (]3,2B. [)5,0C. ()3,2D. []3,214. 不等式[]的最小值为函数2,1,32-∈+-=x x y ( ) A. 1 B. 0C. 2D. 315. 的大小关系是,,三个数53cos 5cos )8-(cos πππ( ) A.)53cos()5cos()8cos(πππ<<-B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<8cos )5cos()53cos(πππ B.C.⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<5cos )8cos()53cos(πππ D.⎪⎭⎫⎝⎛<<-5cos )53cos()8cos(πππ 16. 不等式的取值范围是,则是直线与平面所成的角若θθ( ) A.[)π,0B. )2,0(πC. )2,0[πD.]2,0[π17. 那么下列说法正确的是如果,b a >( )A.1>baB. 22b a >C.ba 11< D. 33b a >18. 从1,2,3,4,5,6中任取两个数,则这两个数之和为9的概率是( )A.154 B.51 C. 152D. 151 第I 卷(非选择题 80分)三、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.19.在直角坐标系中,过点(0,1)和(1,0)的直线l 的方程是20. 在===∠=∠∆AC BC B A ABC ,则,,中,4453021. 到右焦点的距离为,则点到右焦点的距离为右支上一点若双曲线p p x x 3116922=- 22. 已知一个圆柱的底面半径为1,高为2,则该圆柱的全面积为 23. 已知向量),1,2(),1,1(-=-=b a =+b a 则24.甲乙两人投掷飞镖,他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示,用甲、乙训练的成绩的方差大小关系是,乙甲22s s四、解答题:本大题共6小题,2528小题每小题8分,2930小题每小题9分,共50分. 25. (本小题满分8分) 27. (本小题满分8分) 28. 已(本小题满分8分)已知).0(0542:22>=-+--+m m y x y x C 的方程是 30. (本小题满分9分)(1)求异面直线所成的角与11CC AB . (2)若M为线段AC的中点,N为线段1111//:BMC N AB C A 平面平面的中点,求证 29.(本小题满分9分)高考理科数学试题及答案(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
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16 x2 9 y 2 144 的
26.在△ ABC 中, ∠ A,
∠ B,
1
∠ C 成等差数列 , cosA=
,
7
求 sinC
28.设{ an}为等差数列 ,
已知 S3=12, S 5=35, 求 an 和 S10
30.长方形 ABCD 的对角线交于 O 点 , AB=4 求:( 1) PA与 BC所成的角
( 2)求证:平面 APC⊥平面 ABCD ( 3)求 PA 与平面 ABCD所夹角的正切值
如图所示 ,
PA=PB=PC=PD=BC= 3,
1
a1= ,
3
9
a4 = ,
8
则数列的 公比为
3
…………………(
)
2
7.若向量 2 AB 3CD 0 ,
则 AB ∥ CD ……………………………………
(
)
:
级 班
x2
8.双曲线
4
y 2 1 的渐近线方程为 y 3
3 x, 2
焦距为 2………………
(
)
9 .直线 l ⊥平面 ,
直线 m ∥平面 ,
若l ∥ m,
x 轴相切的圆的方程(
)
B . (x - 2) 2+( y +3) 2=4
D. (x - 2) 2+( y +3) 2=9
D.【 0,
13.10 件产品中 ,
3 件次品 ,
甲、乙两人依次各取一件产品 ,
按取后放
回,
求恰有一件次品的概率为(
21
A.
100
1
B.
24
)
21
C.
45
14.若函数 f(x) 在定义域 R 上是奇函数 ,
则⊥
………………(
)
10
x3
10.二项式
展开式中二项式系数最大的项是第五项…………………
(
)
3x
二、选择题(每小题 5 分,
共 40 分)
11.函数 f(x)=lg( 3 x )的定义域是 (
)
A.R
B.(- 3, 3 )
C.(-∞ , - 3)∪( 3,
+∞)
+∞)
D.1
12.以点 M (- 2, 3 )为圆心且与 A. (x + 2)2+( y- 3)2=4 C.( x +2) 2+( y -3)2 =9
b 8, <
a, b > = 2 , 求 2a b ? a b 。 3
27.已知 f(x)= ax2 bx c 且 f ( -1)=f(4)=0, f(0)=
- 4,
求( 1)f(x) 的解析式;
( 2)解不等式 f(x ) ≧ 6
29. 顶点在原点 ,
对称轴为坐标轴的抛物线的焦点是椭圆
上顶点
求:( 1)抛物线的标准方程;
5
C.
2
D.1
则 x= ( )
5
D.
2
三、填空题(每题 19. 已知 x ∈(
5 分,
共 30 分)
,
1
), 已知 sinx= ,
2
已知 tanx= - 1,
则 x= _ 则 x= _
20. 已知正方形 ABCD的边长为 2, AP ⊥平面 ABCD,
且 AP=4,
则
点 P 到 BD的距离
21. 过圆 x 2 y 2 36 上一点( 4, 22. 椭圆 x 2 4y 2 1 的离心率为
A.64
B.49
C.16
D.15
D.
即不充分也不必要条件
)
17.在直角坐标系中 ,
设 A(- 2, 3 ), B (- 3,
-3) , 现沿 x
轴把直角坐标系折成直二面角 ,
则 AB的长为(
)
A.6
B.5
C. 19
18. a =( 1, 2
A .10
),
b =(x, 5
B . -10
) ,且 2a b ,
23.4 名 男 生 和 2 名 女 生 站 成 一 排 , 种
2 5 )的切线方程为
__
其 中 2 名女生站在两端的站 法有
24. 函数 y 2 x2 4 x 1 的值域为
四、解答题(第 25、26、题 ,
每小题 10 分 ,
第 27.28 题 ,
每小题 15 分 ,
共 50 分)
25、已知 a 5 ,
三校生数学高考模拟试卷
一、是非选择题。 (对的选 A,
错的选B。每小题 3 分 ,
共 30 分)
1.如果 A={0.1.2.3},
B={ 1},
则 B∈A…………………………………………
:
(
)
号 座
2.已知直线上两点 A (- 3, 3 ) ,B( 3 , - 1),
5
则直线 AB 的倾斜角为
6
(
)
3.lg2+lg5=lg7 ………………………………………………………………………(
)
4 .函数 f(x)= 5 4x x2 的定义域是【- 1, 5
】…………………………
(
)
5.sin750·sin375 0=
1
……………………………………………………………(
)
:
4
名
姓
6 . 在 等 比 数 列 { an } 中 ,
且当 x ﹥0 时, f(x)=
21
D.
50
2
10 4x x , 则 f( -
2)= ( ) .
4
A. -10
B.10 4
C
2)
x
+ y=0
和直线
2x+ y +1=0 互相平行的(
D.10 -12 )
.A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件
16.设数列{ an}的前 n 项和为 sn n 2 ,则 a8=(