2017年考研数学二真题与答案解析

2017考研数学二真题及答案解析

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）

（1）若函数⎪⎩

⎪

⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax

x

x f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=

ab 。 )(B 2

1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。

【答案】)(A

【解】a

ax x f x 21

cos 1lim

)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，

因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2

1

=

ab ，应选)(A 。 （2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ）

)

(A ⎰

->1

10)(x f 。 )

(B ⎰

-<1

1

0)(x f 。

)(C ⎰⎰->10

1

)()(dx x f x f 。 )(D ⎰⎰-<1

1

)()(dx x f x f 。

【答案】)(B

【解】取12)(2

-=x x f ，显然

⎰

-<1

1

0)(x f ，应选)(B 。

（3）设数列}{n x 收敛，则 （ ）

)(A 当0sin lim =∞

→n n x 时，0lim =∞

→n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞

→n n n x x 时，0lim =∞

→n n x 。

)(C 当0)(lim 2

=+∞

→n

n n x x 时，0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞

→n n x 。 【答案】)(D

【解】令A x n n =∞

→lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞

→A A x x n n n 得0=A 。

（4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=*

y （ ）

)(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。 )(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。 )(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。

【答案】)(C

【解】特征方程为0842

=+-λλ，特征值为i 222,1±=λ。

对方程x

e y y y 284=+'-''，特征形式为x

Ae

y 21=；

对方程x e

y y y x

2cos 842=+'-''，特解形式为)2sin 2cos (22x C x B xe y x +=，

故方程)2cos 1(842x e y y y x

+=+'-''的特解形式为 )2sin 2cos (22x C x B xe Ae

y x x

++=*

，应选)(C 。

（5）设),(y x f 具有一阶偏导数，且对任意的),(y x 都有0)

,(,0),(<∂∂>∂∂y

y x f x y x f ， 则 （ ）

)(A )1,1()0,0(f f >。 )(B )1,1()0,0(f f <。 )(C )0,1()1,0(f f >。 )(D )0,1()1,0(f f <。

【答案】)(D 【解】

0)

,(>∂∂x

y x f 得),(y x f 关于x 为增函数，从而),0(),1(y f y f >； 由

0)

,(<∂∂y

y x f 得),(y x f 关于y 为减函数，从而)1,()0,(x f x f >， 由),0(),1(y f y f >得)0,0()0,1(f f >；

由)1,()0,(x f x f >得)1,0()0,0(f f >，故)1,0()0,1(f f >，应选)(D 。

（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线)(1t v v =（单位：s m /），虚线表示乙的速度曲线)(2t v v =，三块阴影部分面积的数值依次为

3,20,10，计时开始后乙追甲的时刻为0t （单位：s ），则（ ） )(A 100=t 。 )(B 20150<t 。

【答案】 【解】

（7）设A 为3阶矩阵，),,(321ααα=P 为可逆矩阵，使得⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-2000100001

AP P ，则

=++)(321αααA （ ）

)(A 21αα+。 )(B 322αα+。 )(C 32αα+。 )(D 312αα+。

【答案】)(B

【解】由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2000100001

AP P 得⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=200010000P AP ，

于是()323232121112,,0111200010000111)(ααααααα+=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++P AP A ，

应选)(B 。

（8）已知矩阵⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001,100020012,100120002C B A ，则 （ ）

)(A A 与C 相似，B 与C 相似。 )(B A 与C 相似，B 与C 不相似。 )(C A 与C 不相似，B 与C 相似。)(D A 与C 不相似，B 与C 不相似。

【答案】)(B

【解】C B A ,,的特征值为1,2321===λλλ，

由⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=-1001000002A E 得1)2(=-A E r ，则A 可相似对角化，从而C A ~；

由⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=-1000000102B E 得2)2(=-B E r ，则B 不可相似对角化，从而B 与C A ,不相似，应选

)(B 。

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） （9）曲线)2

arcsin 1(x

x y +=的斜渐近线为________。 【答案】2+=x y 。 【解】1)2

arcsin 1(lim lim

=+=∞→∞

→x

x y x x ，