四边形基本要求

四边形基本要求
1．掌握多边形内角和及外角和定理，能够应用它们去计算一些问题．
2．掌握平行四边形的定义、性质定理及判定定理，并能应用它们去计算或证明问题．对矩形、菱形和正方形作类似要求．
3．理解中心对称和中心对称图形的涵义及其简单性质，并会作简单图形的中心对称图形．4．了解梯形涵义及其与平行四边形的区别，掌握等腰梯形的定义、性质定理及判定定理，并能应用它们去计算或证明问题．
5．掌握平行线等分线段定理、三角形及梯形中位线定理，其中三角形中位线定理尤其重要．要能够运用这些定理进行有关计算和证明．
6．了解四边形如何分类，清楚它们之间的从属关系．
7．要能够应用矩形、平行四边形、三角形、梯形面积计算公式计算有关这些图形面积的简单问题，还要学会应用这些公式计算某些其他多边形的面积，并且会证明一些有关面积的简单问题．
要正确认识菱形与平行四边形的关系
（1）菱形是特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形，因而它具有平行四边形的一切性质．
（2）菱形有它自己独特的而一般平行四边形没有的性质：四边相等，对角线互相垂直，每条对角线分别平分一组对角．在学习过程中要避免将菱形的特殊性质用到平行四边形上，还要注意不要将矩形与菱形的特殊性质混在一起．
（3）菱形的判定也需要三个条件，实际上三个条件中有两个是判定平行四边形的，另一个是菱形的特殊条件．
要正确认识矩形与平行四边形的关系
（1）矩形是特殊的平行四边形，即有一个角是直角的平行四边形，因而它具有平行四边形的所有性质．
（2）矩形有它自己独特的而一般平行四边形没有的性质：四个角都是直角，对角线相等．在学习过程中要避免将矩形的特殊性质用到平行四边形上．
（3）矩形的判定有三个条件，实际上三个条件中有两个是判定平行四边形的，另一个是矩形的特殊条件．
对策分析：
1. 四边形首次学习时坚持做中学、不要用输灌和推理论证代替学生的操作和体验
一般认为，四边形两个章节的学习方法和教学目的都是不相同的．首次学习，即经验学习阶段，应强调数学活动经验的积累和直观感受的获得，坚持做中学，利用模型制作、测量、简单说理等手段获得有关四边形的基本结论，最好让学生达到这些“结论”非这样不可的程度，
千万不要用教师的输灌和推理论证代替学生的操作和体验．直观体验的亲身性和明晰性，是二次学习时顺利回忆和强化理解的源泉．
2. 有意识的提前复习，与遗忘现象作斗争
遗忘现象是自然规律，及时复习是增加记忆与理解的重要手段．由于学生的学习任务比较繁重，教师的教学习惯一般是当时教什么，就布置什么内容的作业，实际上这一习惯可以适当改变一下，作业中既应该有巩固性习题，也应该适时布置一些复习性习题，特别是需要衔接的那些知识，应该有意识的提前复习．比如四边形二次学习的前几周或前几天，让学生有计划的回忆四边形首次学习的内容，这样就可以在少浪费课时的情况下，得到良好的教学效果．3. 强化“实验几何到论证几何”转折章节的学习，提升对几何的整体认识
在各版本教材中，转折章节都是在前面对几何结论已经有了一定的直观认识的基础上编排的，基本属于几何证明阶段的第一步，主要介绍几何证明中的一些基本概念，激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心.需要阐明的是：本章的任务有局部和全局之分，从局部来看，这一章安排的知识并不是很难，大部分学生都能比较顺利的掌握；但是从几何教学的全局来看，转折章节要担负起理解几何精神、对几何有一个整体认识的重任. 转折章节全局观下的任务是否可以包括：了解几何的演绎体系，尽可能把知识进行串联，优化知识结构；了解几何的主要研究对象，主要工具和方法；有意识渗透一点逻辑学的基本知识，合乎逻辑的思考和展开论证等任务.即强化“实验几何到论证几何”转折章节的学习，提升对几何的整体认识.在这里，我们有很多机会让学生自然地回顾四边形首次学习的那些命题和逆命题.本章的充分甚至过度学习，可以使我们在更高的观点上学习和掌握四边形二次学习的相关内容，这样处理的效果应该优于把四边形一股脑全学完的效果．
最后，再次告诫我们的老师，学生在几何知识的学习过程中，遇到的困难要超乎我们的武断和想象，与代数相比，学生更不能自发的学好几何，几何的学习，更加依赖于教师自身对几何的理解和教学艺术．所以，当我们遇到教材编排方面的困惑时，应该研读课程标准的要求，领会教材的编写意图，搭建教材和学生之间的桥梁，以帮助学生顺利达成课程目标，而不能仅限于困惑和埋怨．
本章的主要内容有矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性质和四边形是矩形、菱形、正方形及等腰梯形的条件．有些内容在前两个学段学生已有接触，但还十分肤浅．本章不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升．
特殊平行四边形与梯形的概念与性质是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．与基本图形（矩形、菱形、正方形、梯形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，学生要正确理解证明的本身，需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点．
一、教科书内容和课程教学目标
(1) 本章知识结构框图如下：
(2) 本章教学要求
①在动手操作（摆火柴棒、折纸）过程中加深对矩形、菱形、正方形的概念、对称性及其他有关性质的理解，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件．
②探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件．
③通过交流、讨论、归纳梳理出各个概念的从属关系，各个性质和判定的相互联系与区别，培养学生概括能力，进行矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中的客观规律教育．
(3) 本章教材分析
1．本章的主要内容是特殊平行四边形与梯形，课本从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形．教师可以再补充一些日常生活中的
具体的事例，以加深对这些基本图形的认识与理解．
2．矩形、菱形、正方形、梯形之间存在一定区别与联系，矩形、菱形和正方形都是一类特殊的平行四边形，矩形是有一个角是直角的平行四边形，而菱形是有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此，它既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．梯形不是特殊的平行四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形．只有搞清楚它们之间的关系，才能更好把知识学好．可以抓住平行四边形这条主线，搞清楚它们之间的区别与联系．
3．本章的学习要注意多从实物出发，让学生感受到图形世界无处不在，引起学生学习的兴趣．还可以结合一些具体问题，让学生感受学习空间与图形知识的重要性和必要性．对于一些抽象的概念、性质等，也要从解决实际问题引入，让学生在探索中真正理解这些性质．同时要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系．这些不仅是学习好本章的关键，对于学好整个平面几何各章也是很重要的．4．在教学中应注重对证明本身的理解，虽然前面已有接触，但学生还不熟练，这需要一个过程．因此，教学中不要过分追求证明的数量和技巧，要控制一定的难度，控制在《标准》所规定的范围内．
二、本章编写特点
（一）充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界
人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的实物原型到平面图形，再到基本图形——矩形、菱形、正方形、梯形，从而更好地“把握图形”．
在本章教科书的许多地方，如菱形、梯形概念的引入，基本图形的性质与判定的探究，以及合作学习、课内练习、探究活动、作业题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中的物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识图形，了解图形，最终达到用图形解决现实生活中的实际问题．
（二）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形，树立图形观念．
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．
在本章的教科书中，设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目，让学生在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形等．比如利用火柴棒首尾相接摆成平行四边形，再通过观察思考这个平行四边形的特点，从而引出矩形、菱形的概念．再比如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法等．通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流．其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想像能力．（三）重视几何语言与证明思想的培养和训练
在本章，特别注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程．首先，教科书强调实物原型的作用，引入了大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形，并从几何图形中抽象出文字和符号．其次，教科书重视几何证明的作用，对于对象的文字和符号描述，都是紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上培养证明思想，从而解决几何证明的有关问题．
例如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法．这样通过学生自己动手探究出判定菱形的方法，实现了“几何模型→图形→文字”的过程，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．因此，教学中应重视对学生几何语言的培养，这对学习几何证明非常重要．另外，几何证明也是训练学生几何语言的一种非常有效的方法，正确的几何证明也能训练人的思维，教师应鼓励学生阅读课文，可以在作业中模仿教材中的证明，注重对证明本身的理解．
三、教学建议
（一）注意与前两个学段的衔接
这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”——特殊平行四边形与梯形的有关内容和要求，并了解它们与这一部分内容的联系与区别．
从《数学课程标准》看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直观认识长方形、正方形、梯形等几何图形，并对这些几何图形进行有关的计算．在这一章，要通过丰富的实例，认识基本图形（矩形、菱形、正方形和梯形）之间的关系，通过对平行四边形的进一步的探究，从而发展几何直觉；进一步认识这些基本图形的概念和一些性质，并能初步利用数学语言加以论证并应用．
了解了这些联系与区别，教学时便可以在学习知识的基础上，把前面两个学段学过的内容加深一步，同时避免完全的重复．
（二）把握好教学要求
在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征．这并不意味着要用严格的几何推理的方式来展开学习，而是要强调在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形性质的过程．例如对于判定菱形的方法，教科书中先利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．而课后让学生在作业中模仿教材中的证明，关键是注重对证明本身的理解，决不能片面追求证明的数量和技巧．
对于推理能力的培养，整套教科书是按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深地安排的，推理能力的培养既集中在“空间与图形”中，又结合各领域中适宜的内容自然地进行．在本章，由于已经进入第三学段的后半段，已不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“用符号表示推理”，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续．矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质的得出都通过说理来加以论证．但要控制一定的难度，证明的要求控制在《数学课程标准》所规定的范围内．1、如图2－4－9所示，在正方形 ABCD中，AO⊥BD、OE、FG、HI都垂直于 AD，EF、GH、IJ
都垂直于AO，若已知 SΔAIJ=1，则S正方形ABCD=______.
2、如图2－4－7所示，周长为68的矩形被分成
了7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）
A．98 B．196; C．280 D．284
3、如图2－4－12所示，EF 为梯形ABCD 的中位线．
AH 平分∠DA B 交EF 于M ，延长DM 交AB 于N ．
求证：AADN 是等腰三角形．
一、基础知识
1、等腰梯形有一个角是60°，上下底长分别是3cm 和7cm ，则腰长为 。

2、四边形ABCD 的四个角之比∠A ：∠B ：∠C ：∠D ＝
1：2：2：3，则四边形是（ ）（A ）平行四边形
（B ）等腰梯形 （C ）直角梯形 （D ）非直角、等腰梯形
3、在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5 ，BD=12c m ，则梯形中位
线的长等于（ ）
A. 7.5cm
B. 7cm
C. 6.5cm
D. 6cm
4、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是两腰的中点，且AD=5，BC=7，则EF 的
长为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
二、知识点梳理 1、熟练掌握梯形、等腰梯形、直角梯形定义、性质并能解决相关计算和证明
2、解决梯形问题的基本思路是：
梯形 通过（分割或拼接）转换为三角形或平行四边形
3、解决梯形问题常用辅助线的方法（如下图所示）：
①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．
②“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．
③“延腰”：构造具有公共角的两个三角形．
④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，
∠C=30°，AD=2，BC=8。

求：梯形两腰AB 、CD 的长。

F E D C
B A
在等腰梯形ABCD 中
5
AB DC AD BC ==∥，，DC ＝6,AB ＝12，动点P 从A 点出发以每秒1
个单位的速度向终点D 运动, 动点Q 从B 点出发以每秒2个单位的速度向终点A 运动,两点
同时出发，当P 点到达D 点时Q 点也随之停止。

（1）梯形ABCD 的面积是
（2）当PQ ∥BC 时，P 点离开A 的时间等于 秒
（3）P,Q,A 三点构成直角三角形时，P 点离开A 点多少时间？
1、如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下
列图形中的（ ）
A ．三角形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．正方形
2、直角梯形一腰长10cm ，且一条腰与底边所成的角是30°，则另一腰长为 cm 。

3、顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是（ ）
（A ）矩形 （B ）菱形 （C ）等腰梯形 （D ）正方形
4. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，P 是AD 中点．求证：BP ＝PC ．
Q A
B
C
D
第10题图2 第10题图1
5在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，0
90A ∠=，AB=2，BC=3
CD=1，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，写出推理过程。

（同学们可采用①或④的辅助线作法）
4、如图，梯形ABCD 中，AD ＝18cm ，BC ＝21cm ，点P 从点A 开始沿AD 边向D 以1m/s 的速度移动，点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以2m/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设移动时间为t 秒，求： （1）t 为何时，四边形ABQP 为矩形？
（2）t 为何时，四边形PQCD 为等腰梯形？
5、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点。

求证：MN 和PQ 互相平分。

10、如图(1)，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F.
(1) 求证：BP=DP ；
(2) 如图47(2)，若四边形PECF 绕点C 旋转，在旋转过程中是否
总有BP=DP ？若是，请证明之；若不是，请举出反例；
(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个
顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并
证明之.
例1、如图，在矩形纸片ABCD 中，
BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P
处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°．
（1）求BE 、QF 的长．（2）求四边形PEFH 的面积．
A P D
B Q
C N M Q P
D C B A
例2、（2007云南双柏）如图，在梯形纸片ABCD 中，AD//BC ，AD >CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C′E ．
求证：四边形CDC′E 是菱形．
3、（2007福建福州）下列命题中，错误的是（ ）
A ．矩形的对角线互相平分且相等
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．等腰梯形的两条对角线相等
D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
4、（2007浙江义鸟）在下列命题中，正确的是（ ）
A ．一组对边平行的四边形是平行四边形
B ．有一个角是直角的四边形是矩形
C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 下列命题中正确的是（ ）
A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B ．两条对角线相等的四边形是矩形
C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
3、(苏州)已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ 。

给出以下六个命题：① 若所得四
边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 是菱形；② 若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 是
矩形； ③ 若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④ 若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC ＝BD ；⑤ 若所得四边形
MNPQ 为矩形，则么∠BAD ＝90°；⑥ 若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB ＝AD 。

以上命题中，正确的是（ ）
A ① ②
B ① ② ③ ④
C ③ ④
D ③ ④ ⑤ ⑥
(徐州)如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，围成的四边形EFGH 显然是平行四边形。

⑴ 当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定是“菱形、矩形、正方形”中的
哪一种？请将你的结论填入下表：
5、（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
6、（2007山东临沂）如图，在四边形ABCD 中， E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，
要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应
满足的一个条件是 。

A D E
B C
C ′ C
D G H F (第2题图)
图12G F E
D
C B
A ）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？
并证明你的结论．
20.（2008湖北襄樊）如图12，B 、C 、E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG
是都是正方形.连接BG 、DE.
（1）观察猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论. （2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若
存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.
33. (2008黑龙江黑河)已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A
顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．
当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．
（1）当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
●中考点击
考点分析：
B B M B
C N
C N
C N
M
图1 图2
图3 A A A D D D
A
B C E
F M N O (第19题图）
●难点突破方法总结
分析近年数学中考试题可以发现，四边形在中考试题中占有很重要的地位，是中考的重点内容之一.本部分试题形式，题型丰富，考查面广.因而学生在复习时应从以下几个方面注意强化.
1.准确掌握多边形的内角和公式，正多边形的性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和判定，平面镶嵌的条件和镶嵌设计等，这些都是应考的重要前提.
2.用转化思想求解数形结合题、方案设计题，以及一些综合题.
3.用综合法、归纳法、比较法、类比法等数学方法，解答开放性、综合合性的阅读理解、归纳探索等试题.
4.运用理论联系实际的方法，动手操作，实践探究，解决操作题、开放题、创新题.
中考将继续考查多边形的内、外角和公式的应用，平行四边形的性质和判别方法的应用，考查特殊平行四边形的性质与判别方法，其中菱形、矩形、正方形的性质与判别将是考查的重点，关注特殊四边形与函数类问题结合的题型。

将继续考查梯形有关的计算与证明，其中等腰梯形的性质与判别方法的应用是考查的重点。

应试对策
1、熟记多边形的内角和公式、外角和公式，会利用公式求多边形的边数理解平行四边形的面积、周长、对称性，掌握平行四边形的性质。

2、掌握矩形、菱形、正方形的相关性质和判别方法，进行证明和计算，要注意培养数形结合的能力，灵活运用知识解决综合性问题的能力。

3、理解梯形、直角梯形的有关概念，会进行有关计算，掌握等腰梯形的性质与判别方法的应用，熟练其辅助线的添法，体会转化的思想。