人教版高中数学(理科)选修函数的连续性

函数的连续性一、教学目标：1．了解函数在一点处连续的定义及函数在点x x =处连续必须满足的三个条件。

2．理解闭区间上连续函数的性质。

二、教学重点： 三、教学过程： （一）主要知识：1．连续函数的定义： ； 2．初等函数的连续性： ； 3．连续函数具有以下性质（最大值最小值定理）： 。

（二）知识点详析1．连续函数的定义：如果函数y=f(x)在点x x =处及其附近有定义，而且)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 连续。

这个定义包含三层含义：⑴f(x)在点0x x =处及其附近有定义；⑵)(lim 0x f x x →存在；⑶)()(lim 00x f x f x x =→。

以上三个条件只要缺少其中的任意一个，f(x)在x x =处都不连续。

在函数于x x =处连续的定义的基础上，我们可以定义函数在区间上连续：如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每一点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续；如果函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，在x=a 处有)()(lim a f x f a x =+→，在x=b 处有)()(lim b f x f b x =-→，就说函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，这种环环相扣、层层推进的定义方式能很好地培养我们严谨的逻辑思维。

2．关于闭区间上的连续函数的性质，课本中借助于函数的几何图像只给出一个性质：最大值最小值定理。

因为闭区间[a ，b]上的连续函数f(x)的图像是坐标平面内的一条有始点(a ，f(a))和终点(b ，f(b))的连续曲线，所以函数f(x)在闭区间[a ，b]上的函数值必存在最大值和最小值。

（三）例题分析：例1.讨论下列函数在给定点或区间上的连续性：⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0)(x 1-0)(x 11)(11xxe e xf ，点x=0；⑵22)(2+--=x x x x f ，区间[0，2]；⑶⎩⎨⎧>+≤+=-1)(x 4x -1)(x 2)(2x x f ，点x=-1。

分析 对于函数f(x)在给定点x 处的连续性，关键是判断函数当x x →时的极限是否等于)(0x f ；对于函数f(x)在给定区间上的连续性，则要看它在给定区间上任一点是否都有定义，是否都连续，特别要注意端点处的情形。

解 ⑴当-→0x 时，-∞→x 1，则0lim 10=-→x x e ， ∴111lim 110-=+--→x xx e e ，又111lim 11lim 110110=+-=+---→→++xx x x xx ee e e ，从而f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在x=0处不连续。

⑵∵2)(x 1122)(2≠+=---=x x x x x f ，∴f(x)在x=2处无定义，从而f(x)在x=2处不连续，因此f(x)在[0，2]上不连续，（但f(x)在区间[0，2]内是连续的） ⑶∵3)2(lim )(lim 211=+=---→-→x x f x x ，3)4(lim )(lim 11=+=++-→-→x x f x x ，∴3)(lim 1=-→x f x ， 又32)1()1(2=+-=-f ，因此)1()(lim 1-=-→f x f x 。

所以函数f(x)在x=-1处连续。

说明 对于分段函数在分界点处的极限，一定要注意它的左、右极限是否存在，是否相等，对于分式函数，要注意如果分子、分母约去一个或几个因式后，所得函数与原来的函数是否是同一个函数。

例2．函数11)(2+-=xxxf，⑴求f(x)的定义域，并作出函数的图像；⑵求f(x)的不连续点0x；⑶对f(x)补充定义，使其在R上是连续函数。

分析函数f(x)是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围。

给函数f(x)补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求)(limxfxx→，再让)(lim)(xfxfxx→=即可。

解：⑴函数f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠-1}。

当x≠-1时，111)(2-=+-=xxxxf，图象如图2—5所示。

⑵由定义可知，函数f(x)的不连续点是1-=x。

⑶因为当x≠-1时，f(x)=x-1，所以2)1(lim)(lim11-=-=-→-→xxfxx。

因此，将函数f(x)的表达式改写为⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=-1)(x2--1)(x11)(2xxxf，则函数f(x)在R上连续。

说明要作分式函数图像，首先应对函数式进行化简，然后再作函数的图像，别要注意化简前后的函数定义域不能发生变化。

例3 求a 的值，使⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0)(x bx a 0)(x 11)(xxx f 处处连续。

分析：由函数解析式可以看出，f(x)在x<0及x>0时均连续。

因此只需要考虑x=0时的情形。

解： 21111lim 11lim )(lim 00=-+=--=---→→→x x x x f x x x 。

而abx a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 00，要使f(x)在x=0处连续，必须取21=a ，则21)(lim )(lim )(lim 000===→→→+-x f x f x f x x x ，且此时21)0(==a f 。

∴21=a 时，f(x)处处连续。

说明：分段函数的连续性关键在于分断点处是否连续。

如果不连续，要补充定义的则补充定义；若是含参数的，使参数取适当的定值使得函数在此处连续。

例4．设y=f(x)是一个分段函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+<<≤≤++<+==4).(x x -44),x (1 24x -1),x (-1 g(x)-1),x (-324x -3),(x3)(22x x x x f y⑴找出一个函数g(x)使函数f(x)在点x=-1，x=1处都连续； ⑵函数f(x)在点x=-3，x=4处是否连续？若不连续，如何改变原来函数的部分表达式，使之连续？分析：在平面直角坐标系中画出已知函数的图像，可以发现在点x=-3，4处是间断的，在区间（-1，1）内是“空白的”。

为了使函数在R 上连续，可以求出当x=-3，-1，1，4时的函数值或函数的极限值，再构造函数使之满足函数连续的条件。

解：⑴当x=-1时，12)1(4)1(2-=+-⨯+-=y ，当x=1时，y=-1+4×1-2=1， 于是所求函数g(x)满足：当x ∈（-1，1）时，g （x ）∈（-1，1），且1)(lim 1-=-→x g x ，1)(lim 1=→x g x ，在x ∈（-1，1）上连续。

于是可设g(x)=x ，x ∈（-1，1）.⑵又由于x=-3时，y=-1；而对于y=x+3当x=-3时，y=0。

于是只要将y=x+3的图像向下平移一个单位长度，即可使函数在x=-3处连续。

由于x=4时，y=0；而对于242-+-=x x y ，当x=4时y=-2。

于是只要将y=4-x 的图像向下平移两个单位长度，即可使函数在点x=4处连续。

这样我们就得到R 上的连续函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+<<≤≤++<+=4)(x x-24)x (1 24x -1)x (-1 x -1)x (-3 24x -3)(x222x x x y说明：满足条件的g(x)不是惟一的，例如3)(x x g =，x ∈（-1，1）；x x g 2sin )(π=，x ∈（-1，1）都满足题意。

（四）巩固练习： 1．“函数f(x)在点0x 处有定义且极限存在”是“f(x)在点x 处连续”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设函数在区间[0，+∞]上连续，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．03．函数x x f cos 1)(=在x ∈（-3π，3π）上不连续点的个数有（ ）A ．1B ．2C ．6D ．54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=-1)(x b ax -1)(x )1(11)(2x x f 在（-∞，+∞）内连续，则a 、b 满足___________；5．⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0)(x k 0)(x cos 1)(2x xx f ，当k=____________时，f(x)在点x=0处连续？6．已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-+=>--+=0)(x )11(x b0),(x a 0),(x 111)(22x x x x f 在点x=0处连续，求a 、b 。

答案：1．B 2．B 3．C 4．b-a=1 5．126．1)111(lim )111(lim 20220=-++=--+++→→x x x x x ，211lim )]11([lim 00bx b x x bx x =++=-+--→→。

因为f(x)在x=0处连续，所以a f bx f x f x x =====-+→→)0(2)(lim 1)(lim 00，即有a=1，b=2。