新课标A版高中数学选修2-3课时作业21 Word版含答案
人教新课标版数学高二-高中数学选修2-3课时作业 1.3.1二项式定理
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课时提升作业(八)二项式定理一、选择题(每小题3分,共18分)1.若实数a=2-,则a10-2a9+22a8-…+210= ( )A.32B.-32C.1 024D.512【解析】选A.由题意得a 10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10,又a=2-, 所以原式=(2--2)10=32.2.(2014·济宁高二检测)若展开式的第4项为含x3的项,则n等于( ) A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选B.T k+1=·x n-k·=·(-1)k·x n-2k,k∈{0,1,2,…,n},因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.3.(2013·江西高考)展开式中的常数项为( )A.80B.-80C.40D.-40【解析】选C.展开式的通项公式为T k+1=(x2)5-k=(-2)k x10-5k.由10-5k=0,得k=2,所以常数项为T 2+1=(-2)2=40.4.(2014·杭州高二检测)对于二项式(n∈N*),有以下四种判断:①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.其中正确的是( )A.①与③B.②与③C.②与④D.①与④【解析】选D.二项式的展开式的通项公式为T k+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.5.在的二项展开式中,x的系数为( )A.10B.-10C.40D.-40【解析】选D.的展开式的通项为T r+1=(2x2)5-r=25-r(-1)r x10-3r,令10-3r=1,得r=3,所以T 4=22(-1)3x=-40x.所以x的系数是-40.【误区警示】本题易把二项式系数等同于项的系数而错选A.6.(2014·湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=( ) A.2 B. C.1 D.【解题指南】考查二项式定理的通项公式.【解析】选C.因为T r+1=·(2x)7-r·=·27-r·a r·x7-2r,令7-2r=-3,得r=5,所以·22·a5=84,解得a=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.【解析】根据已知条件可知=,所以n=8,因为展开式的通项公式为T r+1=x8-2r,令8-2r=-2,则r=5.所以=56即为所求.答案:568.(2014·唐山高二检测)二项式的展开式中整式项共有项(用数字作答).【解析】由T r+1=(x2)9-r=x18-3r,依题意需使18-3r为整数.故18-3r≥0,r≤6,即r=0,1,2,3,4,5,6共7项.答案:79.233除以9的余数是.【解析】233=811=(9-1)11=×911-×910+×99-…+×9-,因为除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.答案:8【一题多解】233=230×23=645×8=8×(63+1)5=8×(×635+×634+633+632+×63+)=8×(635+5×634+10×633+10×632+5×63)+8,因为括号内的各项都是9的倍数.所以233除以9所得的余数是8.答案:8三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·淄博高二检测)在的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数.(2)含x2的项.【解析】(1)第3项的二项式系数为=15,又T 3=(2)4=24·x,所以第3项的系数为24=240.(2)T k+1=(2)6-k=(-1)k26-k x3-k,令3-k=2,得k=1.所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.11.在(1-x2)20的展开式中,如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等,(1)求r的值.(2)写出展开式中的第4r项和第r+2项.【解析】(1)第4r项和第r+2项的二项式系数分别是和,因为=,所以4r-1=r+1或4r-1+r+1=20,解得r=4或r=.所以r=4.(2)T 4r=T16=·(-x2)15=-15504x30,T r+2=T6=(-x2)5=-15504x10.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2012·安徽高考)(x2+2)的展开式的常数项是( )A. -3B.-2C.2D.3【解题指南】由多项式乘法的运算法则知,展开式中的常数项由两部分构成,前一个因式取x2时,后一个因式必须含,前一个因式取2时,后一个因式必须为常数.【解析】选D.第一个因式取x 2,第二个因式取含的项得:1×(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得:2×(-1)5=-2,展开式的常数项是5+(-2)=3.【变式训练】(1-x)4的展开式中x2的系数是( )A.-6B.-3C.0D.3【解析】选A.因为(1-)3的有理项为1和3x,故要出现x2,需从(1-x)4因式中找x 2项和x项,即x2和-x,所以x2项为x2·1-·x·3x=-6x2.2.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是( )A.1.23B.1.34C.1.33D.1.24【解析】选B.(1. 05)6=(1+0.05)6=+×0.05+×0.052+×0.053+…+×0.056=1+0.3+0.0375+0.0025+…+1.5625×10-8≈1.34.3.(2014·萍乡高二检测)若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )A. B.C. D.(1,+∞)【解析】选D.二项式(x+y)9的展开式的通项是T r+1=·x9-r·y r.依题意有即解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞).4.(2013·陕西高考)设函数f(x)=则当x>0时,f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )A.-20B.20C.-15D.15【解题指南】由x的取值确定函数表达式,再由二项展开式的通项确定展开式中的常数项.【解析】选A.当x>0时,f(f(x))==的展开式中,常数项为(-)3=-20.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014·成都高二检测)在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有项.【解析】因为T r+1=x20-r y r(r=0,1,2,…,20)的系数为有理数,所以r=0,4,8,12,16,20,共6项.答案:66.(2014·山东高考)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.【解题指南】本题考查了二项式定理,基本不等式的应用,可先写出已知式子二项展开式的通项,然后利用基本不等式求出最值.【解析】将展开,得到T r+1=a6-r b r x12-3r,令12-3r=3,得r=3.由a3b3=20,得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2.答案:2三、解答题(每小题13分,共26分)7.已知的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.(1)求x的整数次幂的项.(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.【解题指南】(1)根据前三项的二项式系数之和为37,求出n;再利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为整数得到x的整数次幂的项.(2)根据二项展开式中间项的二项式系数最大,再利用组合数公式证明. 【解析】(1)展开式的前三项的二项式系数之和为++=37,解得n=8.所以=的展开式的通项为T r+1=(x)8-r=.当r=0,6时,x的指数为整数.所以x的整数次幂的项有x12,28x.(2)展开式共有9项,根据展开式中间项的二项式系数最大,故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.证明如下:因为展开式第5项的二项式系数为==70.展开式第4项的二项式系数为,展开式第6项的二项式系数为,因为===56<70.故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.8.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:(1)n的值.(2)展开式中x5的系数.(3)含x的整数次幂的项的个数.【解析】二项展开式的通项为T k+1=·=(-1)k.(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,所以x5的系数为(-1)6=.(3)要使2n-k,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.【拓展延伸】已知展开式中某些项(或系数)求其他问题的思路及技巧(1)根据给定的条件和通项公式,建立方程来确定指数.(2)根据所求的指数,再求所求解的项.(3)为减少计算中的错误,宜将根式化为分数指数幂.【变式训练】在的展开式中,已知第6项为常数项.(1)求n.(2)求含x2项的系数.(3)求展开式中所有的有理项.【解析】通项为T r+1==,(1)因为第6项为常数项,所以r=5时,有=0,即n=10.(2)令=2,得r=(n-6)=2,则所求的系数为=.(3)根据通项,由题意得令=k(k∈Z),则10-2r=3k,即r=5-k,因为r∈Z,所以k应为偶数.所以k可取2,0,-2,此时r取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为x2,,x-2.关闭Word文档返回原板块。
新课标A版高中数学选修2-3课时作业：23 Word版含答案
课时作业(二十三)1．已知随机变量X的分布列是则E(X)和A．1和0 B．1和1.8C．2和2 D．2和0.8答案 D2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表s123A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1答案 B3．已知随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4x＋3)的值为( )A．64 B．256C．259 D．320答案 B解析由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.4．(2015·九江六校期末联考)袋中有大小、形状相同的白、黄乒乓球各一个，每次摸取一个乒乓球记下颜色后放回，现连续取球4次，记取出黄球的次数为X ，则X 的方差D (X )＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案 C解析 每次取球时，黄球被取出的概率为12，把4次取球看作4次独立重复试验，黄球出现的次数X ～B (4，12)，则D (X )＝4×12×12＝1.5．随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (X )＝3，则D (X )的值是( )A.59B.79C.89D ．1 答案 A解析 因为a ＋b ＋c ＝1,2b ＝a ＋c ， 所以b ＝13，a ＋c ＝23.又因为E (X )＝13，所以13＝－a ＋c .故a ＝16，c ＝12.D (X )＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.6．已知X 的分布列为( )A ．－13B.59C.109D.209答案 D解析 E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59， 所以D (η)＝D (2X ＋2)＝4D (X )＝4×59＝209.7．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53B.73 C ．3 D.113答案 C解析 因为E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.所以x 2＝4－2x 1.D (X )＝(43－x 1)2×23＋(43－x 2)2×13＝29.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.∴x 1＋x 2＝3.8．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解． 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15.所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X ，则D (X )等于________．答案 0.196解析 由题意知，随机变量服从二项分布，所以D (X )＝np (1－p )＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.10．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案 12，5解析 成功次数ξ～B (100，p )，所以D (ξ)＝100p (1－p )≤100·(p ＋1－p2)2＝25，当且仅当p ＝1－p .即p ＝12时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.11．(2015·宁波高二检测)已知随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝1.1，则D (X )＝________.答案 解析 由15＋m ＋310＝1可知m ＝12.又由E (X )＝m ＋310x ＝1.1可知x ＝2.所以D (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.12．从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P (A )＝0.96.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；(2)若该批产品共100件，从中一次性任意抽取2件，用ξ表示取出的2件产品中的二等品的件数，求ξ的分布列及期望．解析 (1)记A 0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”，则A 0、A 1互斥，且A ＝A 0＋A 1.故P (A )＝P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝(1－p )2＋C 12p ·(1－p )＝1－p 2.由题意，知1－p 2＝0.96，又p >0，故p ＝0.2.(2)ξ可能的取值为0,1,2.若该批产品共100件，由(1)知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故 P (ξ＝0)＝C 280C 2100＝316495，P (ξ＝1)＝C 180C 120C 2100＝160495，P (ξ＝2)＝C 220C 2100＝19495.所以ξ的分布列为所以ξ的期望E (ξ)＝0×495＋1×495＋2×495＝495＝5.13．工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．(1)求报废的合格品少于2件的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1， 而P (ξ＝0)＝A 226×5＝115，P (ξ＝1)＝A 22A 12A 146×5×4＝215，故P (ξ<2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝115＋215＝15.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3,4， P (ξ＝2)＝A 13×A 12×A 24A 46＝15， P (ξ＝3)＝A 14×A 12×A 34A 56＝415， P (ξ＝4)＝A 15×A 12×A 44A 66＝13， 由(1)知P (ξ＝0)＝115，P (ξ＝1)＝215，故ξ的分布列为：E (ξ)＝0×115＋1×215＋2×15＋3×415＋4×13＝83.14．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．思路 (1)根据相互独立事件及对应事件的概率公式求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)根据企业获得的资金的数目及独立事件概率公式求出其相应的概率，列出分布列，利用期望公式求期望．解析 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×15＋100×5＋120×15＋220×5＝15＝15＝140.1．设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)，D (ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则( )A ．D (ξ1)>D (ξ2)B ．D (ξ1)＝D (ξ2)C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关 答案 A解析 先求出两个随机变量的方差，再比较大小．由条件可得，随机变量ξ1，ξ2的平均数相同，记为x ，则D (ξ1)＝15[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 5－x )2]，D (ξ2)＝15[(x 1＋x 22－x )2＋(x 2＋x 32－x )2＋…＋(x 5＋x 12－x )2]，所以D (ξ1)－D (ξ2)＝120[(x 1－x 2)2＋(x 2－x 3)2＋…＋(x 5－x 1)2]>0，即D (ξ1)>D (ξ2)．2．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为：D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7. 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6， 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P XP X＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.3．一种电脑屏幕保护画面，只有符合“O ”和“△”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“O ”和“△”之一，其中出现“O ”的概率为p ，出现“△”的概率为q ，若第k 次出现“O ”，则记a k ＝1；出现“△”，则记a k ＝－1.令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)当p ＝13，q ＝23时，求S 4＝2的概率；(2)当p ＝q ＝12时，记ξ＝|S 4|，求ξ的分布列及数学期望．解析 (1)“S 4＝2”即电脑屏幕变化4次(相当于4次独立重复试验)，其中“O ”出现3次，“△”出现1次，∴其概率为：P (S 4＝2)＝C 34(13)3×23＝881，即S 4＝2的概率为881.(2)由题知ξ的取值有：0,2,4.记：y 表示电脑变化4次中“O ”出现的次数，则y ～B (4，12)，P (ξ＝0)＝P (y ＝2)＝C 24(12)2(12)2＝38， P (ξ＝2)＝P (y ＝1)＋P (y ＝3)＝C 14(12)×(12)3＋C 34(12)3×(12)＝816＝12，P (ξ＝4)＝P (y ＝0)＋P (y ＝4)＝(12)4＋(12)4＝18，∴ξ的分布列为：ξ的期望为：E (ξ)＝0×38＋2×12＋4×18＝1＋12＝32.4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解析 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一随机变量的可能取值为6,9,12. ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则 P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则 P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则 P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×15＋9×15＋12×15＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.5．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解析 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2(3)由(2)得，E (X 1)＝1×25＋2×50＋3×10＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×10＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．6．某单位在应聘会上，设置了难度不同的甲、乙两个系列的问题，每个系列都有A 和B 两个问题，应聘时每个应聘者自选一个系列问题，两个问题的得分之和为该应聘者的成绩．假设每个应聘者完成每个系列中的两个问题的得分是相互独立的，根据应聘的个人综合水平可知，某应聘者能回答甲系列和乙系列问题的情况如下表：甲系列：(1)若该应聘者希望成为应聘者中的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其成为第一名的概率；(2)若该应聘者选择乙系列，求其成绩X 的分布列及其数学期望E (X )．解析 (1)若该应聘者希望获得第一名，应选择甲系列．理由如下，选择甲系列最高得分为100＋40＝140>118，可能成为第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110<118，不可能成为第一名．选甲系列成为第一名的概率为P (甲为第一名)＝34×34＋14×34＝34.(2)X 的取值为：50,70,90,110. P (X ＝50)＝1100， P (X ＝70)＝110×910＝9100， P (X ＝90)＝910×110＝9100， P (X ＝110)＝910×910＝81100. ∴E (X )＝104.。
(人教版)高中数学选修2-3课时作业1 Word版含答案
第一章一、选择题(每小题分，共分)．某班有男生人，女生人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有()．．．．解析：根据分类加法计数原理，因数学课代表可为男生，也可为女生，因此选法共有＋＝(种)，故选.答案：．已知∈{}，∈{－，－}，则·可表示不同的值的个数为( )．个．个．个．个解析：分两步：第一步，在集合{}中任取一个值，有种不同的取法；第二步，在集合{－，－}中任取一个值，有种不同取法．故·可表示×＝(个)不同的值，故选.答案：．已知两条异面直线，上分别有个点和个点，则这个点可以确定不同的平面个数为( )．．．．解析：分两类：第类，直线与直线上个点可以确定个不同的平面；第类，直线与直线上个点可以确定个不同的平面．故可以确定＋＝个不同的平面．答案：．(·福州市高二期末联考)某班小张等位同学报名参加，，三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报小组，则不同的报名方法有( )．种．种．种．种解析：小张的报名方法有种，其他位同学各有种，所以由分步乘法计数原理知共有×××＝(种)不同的报名方法，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．如图，从→有种不同的走法．解析：分为两类，不过点有种走法，过点有×＝种走法，共有＋＝种走法．答案：．名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，报名的方法共有种．解析：做完这件事需要名同学全部报完才算完成，需要分步骤完成，故属于分步乘法计数原理，可分四步，每一步的同学都有种报名的选择，故总的报名方法有×××＝种．答案：三、解答题(每小题分，共分)．某校高三共有三个班，其各班人数如下表：()()从()班、()班男生中或从()班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解析：()从三个班中任选一名学生为学生会主席，可分三类：第一类：从()班任选一名学生，有种不同选法；第二类：从()班任选一名学生，有种不同选法；第三类：从()班任选一名学生，有种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法共有＝＋＋＝(种)．()由题设知共有三类：第一类：从()班男生中任选一名学生，有种不同选法；第二类：从()班男生中任选一名学生，有种不同选法；第三类：从()班女生中任选一名学生，有种不同选法；由分类加法计数原理可知，不同的选法共有＝＋＋＝(种)．．高二一班有学生人，其中男生人，从中选取名男生和名女生为代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？解析：男生有人，女生有人，根据本题题意，需分两步：第一步：从男生人中任选人，有种不同的选法；第二步：从女生人中任选人，有种不同的选法．。
高中数学人教A版选修2-3教案：1.2.1排列第一课时 Word版含解析
1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)． 说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。
人教新课标版数学高二-A版选修2-3 二项式定理 课时作业
课时作业(七)一、选择题1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x5解析：原式＝(x－1＋1)4＝x4.故选A.答案：A2．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于()A．9 B．10C．11 D．8解析：∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n ＝11.故选C.答案：C3．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为()A．－210 B．210C．－120i D．－210i解析：由通项公式得T7＝C610·(－i)6＝－C610＝－210.答案：A4．若C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3解析：C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n＝(1＋x)n－1，检验得B正确．答案：B5．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30 B．20C．15 D．10解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.答案：C6．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( )A ．45B ．55C ．70D ．80解析：由二项式定理得(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292，即a ＝41，b ＝29，所以a ＋b ＝70.答案：C二、填空题7．若x >0，设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中的第三项为M ，第四项为N ，则M ＋N 的最小值为________．解析：T 3＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝54x ， T 4＝C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝52x， 故M ＋N ＝5x 4＋52x ≥2258＝522. 答案：5228．已知2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，则实数a 的值为________． 解析：根据题意，由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a ，由于2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，根据二项式定理展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.答案：99．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 答案：12三、解答题 10．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．解：方法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120. (2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 方法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x ， 则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2. 11．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1 ＝(31＋1)n －1＝C 0n ·31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n－1 ＝31(C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n为整数，∴原式能被31整除．12．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次幂的项；(2)展开式中的所有有理项．解：(1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．T k ＋1＝C k 8(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·x 4－34k ， 令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.。
2020-2021学年数学人教A版选修2-3课时作业：1-3-1 二项式定理
课时作业7 二项式定理时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分) 1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( D ) A ．20 B ．40 C ．80D ．160解析：方法1：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6x 6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.方法2：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2的次数和为6，则根据题意满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( A ) A ．－210 B ．210 C ．－120iD ．－210i解析：由通项公式得T 7＝C 610(－i )6＝－C 610＝－210.3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( A ) A ．840 B ．－840 C ．210D ．－210解析：在通项T r ＋1＝C r 10(－2y )r x 10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.4．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( C )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n解析：逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n ＝(－1)n .5．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( B )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n 展开式中的第r ＋1项为C r n (3x )n －r x －32r ＝C r n 3n －rxn －52r ，若展开式中含常数项，则存在n ∈N *，r ∈N ，使n －52r ＝0，故最小的n 值为5，故选B.6．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( D ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为C r 5x r(0≤r ≤5，r ∈Z )，则原式中含x 2的项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a＝－1.7．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( B )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B.8．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( B ) A ．x ＝5，n ＝5 B ．x ＝5，n ＝4 C ．x ＝4，n ＝4 D ．x ＝4，n ＝3解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．二、填空题(每小题6分，共计18分)9．在(x －a )10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a ＝－12.解析：T 4＝C 310x 7(－a )3，则C 310(－a )3＝15，解得a ＝－12.10．(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理项的共有17项． 解析：T r ＋1＝C r 100(3x )100－r(32)r ＝C r 100·350－r2·2r3·x 100－r (r ＝0,1,2，…，100)，为使系数为有理数，r 必为2与3的倍数，即6的倍数，故r ＝0,6,12，…，96，共有17个．11．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是3.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r·(－1)r ＝(－1)r C r 51x10－2r .令10－2r ＝2或10－2r ＝0，解得r ＝4或r ＝5.故(x 2＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 45＋2×(－1)5×C 55＝3.三、解答题(共计22分)12．(10分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项． (2)求展开式中所有的有理项．若T k ＋1是常数项，则16－3k4＝0，即16－3k ＝0，∵k ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)由(1)知，若T k ＋1是有理项，当且仅当16－3k4为整数．∵0≤k ≤8，k ∈Z ，∴k ＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.13．(12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋23x n的展开式的前三项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项？一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来．解：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n·2r·x 9n －11r 6 ，r ＝0,1,2，…，n ， ∴由题意C 0n ·20＋C 1n ·21＋C 2n ·22＝129. 结合组合数公式，有1＋2n ＋2n (n －1)＝2n 2＋1＝129，∴2n 2＝128，n 2＝64.∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·2r·x 72－11r6 ，r ＝0,1,2， (8)若展开式中存在常数项， 则72－11r ＝0，则r ＝7211∉N ＋， ∴展开式中不存在常数项．若展开式中存在一次项，则72－11r6＝1， ∴72－11r ＝6.∴r ＝6.∴展开式中存在一次项，它是第7项，T 7＝C 68·26x ＝C 28·26x ＝1 792x .——素养提升——14．(5分)设m 为大于1且小于10的正整数，若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 2m的展开式中有不含x 的项，则满足这样条件的m 有1个．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 2m的展开式的通项为T r ＋1＝C r m ·(x 3)m －r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r ·C r m ·x 3m －5r . 因为展开式中有不含x 的项， 所以有3m －5r ＝0，即3m ＝5r .又1<m <10(0≤r ≤m )，且m ∈N *，r ∈N ，所以满足条件的只有m ＝5.15．(15分)求证：32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除． 证明：32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182，该式每一项都含因式82，故能被64整除．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
(人教版)高中数学选修2-3课时作业3 Word版含答案
第一章第课时一、选择题(每小题分，共分)．下列问题中：()本不同的书分给位同学，每位一本；()位同学互通一次电话；()位同学互通一封信；()个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有( )．个．个．个．个解析：由排列与顺序有关，可知()()是排列，()()不是排列，故选.答案：．(·桂林市高二期末测试)×××…××等于( )．．．．解析：由排列数公式知，选.答案：．在，，，四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法( )．种．种．种．种解析：这是一个排列问题，即从四个不同元素中选出两个元素的排列数，由公式知＝×＝，故选.答案：．已知＝，则等于( )．．．．解析：由已知得(－)＝，即－－＝，∴＝或＝－(舍去)，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．从，，，，五个元素中每次取出三个元素，可组成个以为首的不同的排列，它们分别是.解析：画出树形图如下：可知共个，它们分别是，，，，，，，，，，，.答案：，，，，，，，，，，，．(·江苏省徐州市高二期末测试)用这四个数字能组成没有重复数字的三位数个．(用数字表示)解析：这是一个排列问题由排列数公式可知，可组成＝××＝(个)没有重复数字的三位数．答案：三、解答题(每小题分，共分)．判断下列问题是否是排列问题：()某班共有名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？()从到十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？()会场有个座位，要求选出个座位安排个客人就座，有多少种不同的方法？()某班有名学生，假期约定每人通电话一次，共需通电话多少次？解析：()是．选出的人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题．()是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．()是．“入座”问题同“排队”一样，与顺序有关，故选个座位安排位客人是排列问题．()不是．通电话一次没有顺序，故不是排列问题．．()从四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？()由四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．解析：()由题意作树形图，如图．故所有的两位数为，共有个．()直接画出树形图．由上面的树形图知，所有的四位数为：.共个四位数．。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 Word版含答案
3．1 回归分析的基本思想及其初步应用[学习目标]1．了解随机误差、残差、残差图的概念．2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果． 3．掌握建立线性回归模型的步骤． [知识链接]1．什么叫回归分析？答 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法． 2．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？答 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等． [预习导引] 1．线性回归模型(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系． (2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (3)对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i－nx －y－∑n i ＝1x 2i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －，其中(x －，y －)称为样本点的中心．(4)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和b 是模型的未知参数，e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量． 2．残差的概念对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n ，e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差． 3．刻画回归效果的方式 (1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． (2)残差平方和法残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． (3)利用R 2刻画回归效果R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y －）2；R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好.要点一 求线性回归方程例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 解 (1)散点图如图．(2)x －＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y －＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑5i ＝1x i y i＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054. ∑5i ＝1x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625. a ^＝y －－b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05. (3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是82.规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．跟踪演练1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解 (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x －＝15∑5i ＝1x i ＝109，∑5i ＝1(x i －x －)2＝1 570， y －＝23.2，∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^， 则b^＝∑5i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1（x i －x －）2＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －－b ^x －＝0.181 42.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. 回归直线如上图所示．(3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)． 要点二 线性回归分析例2 为研究重量x (单位：克)对弹簧长度y (单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R 2； (3)进行残差分析． 解 (1)散点图如图x －＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，y －＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，∑6i ＝1x 2i＝2 275，∑6i ＝1x i y i ＝1 076.2 计算得，b^≈0.183，a ^≈6.285， 所求回归直线方程为y ^＝0.183x ＋6.285. (2)列表如下：所以∑6i ＝1(y i －y ^i )2≈0.013 18，∑6i ＝1(y i －y －)2＝14.678 4.所以，R 2＝1－0.013 1814.678 4≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．规律方法 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，通过残差e ^1，e ^2，…，e^n来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．若残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．跟踪演练2 已知某种商品的价格x (元)与需求量y (件)之间的关系有如下一组数据：求y 对x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．解 x －＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y －＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑5i ＝1x i y i＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以b^＝∑5i ＝1x i y i－5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15.a^＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：所以，∑5i ＝1(y i －y ^i )2＝0.3，∑5i ＝1(y i －y －)2＝53.2，R 2＝1－∑5i ＝1 （y i －y ^i ）2∑5i ＝1 （y i －y －）2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好． 要点三 非线性回归分析 例3 下表为收集到的一组数据：(1)作出x 与y 的散点图，并猜测x 与y 之间的关系； (2)建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x ＝40时y 的值．解 (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，其中c 1，c 2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为求得回归直线方程为z ^＝0.272x －3.849， ∴y ^＝e 0.272x －3.849. 残差(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1 131.规律方法解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程．跟踪演练3为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；(3)计算相关指数．解(1)作散点图如图所示．(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为由计算器得：z ^＝0.69x ＋1.115，则有y ^＝e 0.69x ＋1.115. (3)y －＝3776，∑n i ＝1e ^21＝∑n i ＝1(y i －y ^)2＝4.816 1， ∑n i ＝1(y i－y －)2＝24 642.8，R 2＝1－4.816 124 642.8≈0.999 8， 即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.1．下列各组变量之间具有线性相关关系的是( ) A ．出租车费与行驶的里程 B ．学习成绩与学生身高 C ．身高与体重 D ．铁的体积与质量 答案 C2．若劳动生产率x (千元)与月工资y (元)之间的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，则下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元D ．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元 答案 B3．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y^＝－10x＋200B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200答案 A解析由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x＝10时，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合题意，故选A.4．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解(1)设所求的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝∑5i＝1（x i－x－）（y i－y－）∑5i＝1（x i－x－）2＝1020＝0.5，a^＝y－－b^x－＝0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y^＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．回归分析的基本思路(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a^)； (4)按一定规则估计回归方程中的参数；(5)提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等.一、基础达标1．在下列各量之间，存在相关关系的是( )①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系．A ．②③B ．③④C ．④⑤D ．②③④ 答案 D2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 由回归方程为y ^＝0.85x －85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知y ^＝b ^x ＋a ^＝b ^x ＋y －－b ^x －(a^＝y －－b ^x －)，所以回归直线过样本点的中心(x －，y －)；利用回归方程可以估计总体，所以D 不正确．3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 答案 B解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6(万元)时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2如下表哪位同学的实验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高？( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 答案 D5．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，相关指数为________． 答案 0 0 16．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为________． 答案 y ^＝－10＋6.5x解析 由题意知x －＝2，y －＝3，b ^＝6.5，所以a ^＝y －－b ^x －＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y ^＝－10＋6.5x .7．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据如下表：(1)求样本中心点； (2)画出散点图；(3)求纯获利y 与每天销售件数x 之间的回归方程． 解 (1)x －＝6，y －＝79.86，中心点(6，79.86)． (2)散点图如下：(3)因为b ^＝∑7i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1（x i －x －）2≈4.75， a ^＝y －－b ^x －≈51.36，所以y ^＝4.75x ＋51.36.二、能力提升8．(2013·福建)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′ 答案 C解析 x －＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y －＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b^＝∑ni ＝1x i y i－nx － y －∑n i ＝1x 2i －nx －2＝57，a ^＝y －－b ^x －＝－13，b ′＝2－02－1＝2＞b^，a ′＝－2＜a ^. 9．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过( )A.点(2，3) B ．点(1.5，4) C ．点(2.5，4) D ．点(2.5，5) 答案 C解析 回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，即(2.5，4)．10．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．答案 D (3，10)解析 去掉D (3，10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大． 11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：对处理的数据，容易算得x －＝0，y －＝3.2，b ^＝（－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×29－5×0×3.2（－4）2＋（－2）2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －－b ^x －＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝6.5(x －2 006)＋3.2.即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入—成本)解 (1)x －＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80∵b ^＝－20，a ^＝y ^－b ^x －， ∴a^＝80＋20×8.5＝250 ∴回归直线方程y ^＝－20x ＋250；(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20(x －334)2＋361.25∴该产品的单位应定为334元，工厂获得的利润最大． 三、探究与创新13．(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x －＋a^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2，a ^＝y －－bx －， 其中x －，y －为样本平均值． 解 (1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8，y －＝1n ∑n i ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －nx －2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑ni ＝1x i y i －nx －y －＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
最新人教A版高中数学选修2-3全册课时同步作业
人教A版高中数学选修2-3全册课时同步作业1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理2、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用3、排列与排列数公式4、排列的应用5、组合与组合数公式6、组合的应用7、二项式定理8、“杨辉三角”与二项式系数的性质9、离散型随机变量10、离散型随机变量的分布列11、条件概率12、事件的相互独立性13、独立重复试验与二项分布14、离散型随机变量的均值15、离散型随机变量的方差16、正态分布17、回归分析的基本思想及其初步应用1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、题组对点训练对点练一分类加法计数原理的应用1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为( )A．13 B．16C．24 D．48解析：选A 由分类加法计数原理可知，不同走法种数为8＋2＋3＝13.2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C 分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．4．椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．解析：因为焦点在y 轴上，所以0＜m ＜n ，考虑m 依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n 值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20.答案：205．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.对点练二 分步乘法计数原理的应用6．如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可构成线路的条数为( )A ．8B ．6C ．5D ．3解析：选B 从A 处到B 处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A 处到B 处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.7．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A ，B ，后两个字符用a ，b ，c (允许重复)，则不同编号的书共有( )A ．8本B ．9本C ．12本D ．18本解析：选D 完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.8．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C 要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a 有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．9．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．解析：将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．答案：4210．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？解：完成一荤一素一汤的套餐分三步：第一步，配一个荤菜有6种选择；第二步，配一个素菜有5种选择；第三步，配一个汤有3种选择．根据分步乘法计数原理，共可配成6×5×3＝90种不同的套餐．对点练三两个计数原理的综合应用11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．12．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．二、综合过关训练1．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )A．27种B．36种C．54种D．81种解析：选C 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法，故选C.2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种B．24种C．120种D．12种解析：选A 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．3．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为( )A．7 B．12C．81 D．64解析：选D 第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D 以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．5．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )A．34B．43C．12 D．以上都不对解析：选C 由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多1张，则所有分法的种数是________．解析：第一步，分第1张电影票，有10种分法；第二步，分第2张电影票，有9种分法；第三步，分第3张电影票，有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．答案：7207．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中m>n的数对有多少个？解：(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3，有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．8．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类，一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；第二类，一幅选自国画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法；第三类，一幅选自油画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．2、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用一、题组对点训练对点练一组数问题1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279解析：选B 由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.2．由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是( )A．4 B．8C．16 D．24解析：选B 由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为4＋4＝8.3．由1,2,3,4,5,6,7,8,9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？解：当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数．可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取2,4,6,8中的1个，有4种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为4×8×7＝224.当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数．可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取1,3,5,7,9中的1个，有5种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为5×8×7＝280.对点练二涂色问题4．如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有( )A．180种B．240种C．360种D．420种解析：选D 区域2,3,4,5地位相同(都与其他4个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时应注意：区域4与区域2同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法；区域4与区域2不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种栽种方案．故选D.5.如图所示，“中国印”被中间的白色图案分成了5个区域，现给它着色，要求相邻区域不能用同一颜色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同的着色方法有( )A．120种B．72种C．48种D．24种解析：选B 以所选颜色的种数为标准，可分两类进行：第一类，用3种颜色有4×3×2＝24(种)；第二类，用4种颜色有4×3×2×2＝48(种)．∴共有24＋48＝72种不同的方法，故选B.6.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？解：第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案．对点练三抽取(分配)问题7．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各一名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为( )A．11 B．30C．56D．65解析：选B 先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法．8．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有( ) A．4种B．5种C．6种D．7种解析：选A 共有4种方法．列举如下：1,4,5；2,4,4；2,3,5；3,3,4.9．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7个会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解：“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”，故需分三类：①既会英语又会日语的不当选；②既会英语又会日语的按会英语当选；③既会英语又会日语的按会日语当选．既会英语又会日语的人数为7＋3－9＝1，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人．先分类后分步，从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法；从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法；从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法．根据分类加法计数原理，共有6×2＋6×1＋2×1＝20种不同选法．二、综合过关训练1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9解析：选B 分两步：第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18C．12 D．6解析：选B ①当从0,2中选取2时，先排2，再排1,3,5中选出的两个数，共有2×3×2＝12个奇数．②当从0,2中选取0时，必须排在十位，只要从1,3,5中选出两个数排在个位、百位即可，共有3×2＝6个奇数．由分类加法计数原理，知共有12＋6＝18个奇数．3.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )A．6种B．8种C．12种D．48种解析：选D 每个景区都有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法，游览第二个景点有4种选法，游览第三个景点有2种选法，故共有6×4×2＝48种不同的游览线路．4．用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比3 542大的四位数的个数是( )A．360 B．240C．120 D．60解析：选C 因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数，所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120个比3 542大的四位数．5．用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有________个．解析：由四位数是偶数，知最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1 222,2 122,2 212，共3个，当出现2个1时，有1 122,1 212,2 112，共3个，当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数，故数字1,2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个)．答案：76．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A、B的值，则方程表示不同直线的条数是________．解析：若A＝0，则B从1,2,3,5,7中任取一个，均表示直线y＝0；同理，当B＝0时，表示直线x＝0；当A≠0且B≠0时，能表示5×4＝20条不同的直线．故方程表示直线的条数是1＋1＋20＝22.答案：227.有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？解：法一：第一步：种植A试验田有4种方法；第二步：种植B试验田有3种方法；第三步：若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种种植方法．第四步：由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C 也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．(2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法．8．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列{a n}．(1)这个数列共有多少项？(2)若a n＝341，求n的值．解：(1)由题意，知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为4×4×4＝64，即数列{a n}共有64项．(2)比341小的数分为两类：第一类，百位上的数是1或2，有2×4×4＝32个三位数；第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有3×4＝12个三位数．所以比341小的三位数的个数为32＋12＝44，因此341是这个数列的第45项，即n＝45.3、排列与排列数公式一、题组对点训练对点练一排列概念的理解1．下列问题是排列问题的是( )A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D ．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？解析：选B 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.2．从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 排列与顺序有关，故②④⑤是排列． 对点练二 利用排列数公式进行计算或证明 3．已知A 2n ＝132，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：选B A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0， 解得n ＝12或n ＝－11(舍去)． 4．A 312－A 310的值是( ) A ．480 B ．520 C ．600D ．1 320解析：选C A 312＝12×11×10＝1 320， A 310＝10×9×8＝720， 故A 312－A 310＝1 320－720＝600. 5．下列等式中不成立的是( ) A ．A 3n ＝(n －2)A 2n B.1nA n n ＋1＝A n －1n ＋1C ．n A n －2n －1＝A nn D.nn －mA m n －1＝A mn解析：选B A 中，右边＝(n －2)(n －1)n ＝A 3n 成立；C 中，左边＝n ×(n －1)× (2)n ×(n －1)×(n －2)×…×2×1＝A n n 成立；D 中，左边＝nn －m ×(n －1)！(n －m －1)！＝n ！(n －m )！＝A mn 成立；经验证只有B 不正确．6．计算下列各题： (1)A 66；(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n .解：(1)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1.(3)由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)． 因为n ≥3且n ∈N *， 所以3n 2－17n ＋10＝0. 解得n ＝5或n ＝23(舍去)．所以n ＝5.对点练三 简单的排列问题7．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：选B 问题为6选4的排列即A 46＝360.8．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位偶数的个数是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48解析：选D 从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法，再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A 34种，由分步乘法计数原理知组成无重复数字的四位偶数的个数为2×A 34＝48.9．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票的种数为( )A ．15B ．30C ．12D ．36解析：选B 只需分析每两个大站之间需要的火车票的种数即可．对于两个大站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，所以问题归结为求从6个不同元素中每次抽出2个不同元素的排列数，故不同的火车票有A 26＝6×5＝30(种)．10．将A 、B 、C 、D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．解：由于A 不排在第一，所以第一只能排B 、C 、D 中的一个，据此可分为三类．由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.11．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号种数为A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15.二、综合过关训练1．89×90×91×…×100可表示为( )A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100解析：选C 最大数为100，共有12个连续整数的乘积，由排列数公式的定义可以得出．2．与A310·A77不相等的是( )A．A910B．81A88C．10A99D．A1010解析：选B A310·A77＝10×9×8×7！＝A910＝10A99＝A1010，81A88＝9A99≠A1010，故选B.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A．12种B．24种C．48种D．120种解析：选B ∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( ) A．120个B．80个C．40个D．20个解析：选C 由题意知可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有A25个；第二类，十位数字取6，有A24个；第三类，十位数字取5，有A23个；第四类，十位数字取4，有A22个．所以“伞数”的个数为A25＋A24＋A23＋A22＝40.故选C.5．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A28；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是A28A22；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是A28A22.故所求的四位数的个数是A28＋A28A22＋A28A22＝280.答案：2806.有3名大学毕业生，到5家公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答) 解析：将5家公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A35＝5×4×3＝60(种)．答案：607．有三张卡片，正面分别写着1,2,3三个数字，反面分别写着0,5,6三个数字，问这三张卡片可组成多少个三位数？解：先排列三张卡片，有A33×2×2×2种排法，0排在首位的个数为A22×2×2，则这三张卡片可以组成A33×2×2×2－A22×2×2＝40个三位数．8．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.4、排列的应用一、题组对点训练对点练一数字排列问题1．用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( )A．48个B．64个C．72个D．90个解析：选C 有A13A44＝72个无重复数字的五位偶数．2．用0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数为________．解析：因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其个数为A33＝6.答案：63．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？解：(1)法一(直接法)：A15·A35＝300(个)．法二(间接法)：A46－A35＝300(个)．(2)法一(直接法)：因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A35个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有A12·A14·A24，故有A35＋A12·A14·A24＝156个不同的四位偶数．法二：(间接法)：从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A13·A35个，其中第一位是0的有A12·A24个．故适合题意的有A13·A35－A12A24＝156个不同的四位偶数．(3)1在首位的数的个数为A35＝60.2在首位且0在第二位的数的个数为A24＝12.2在首位且1在第二位的数的个数为A24＝12.以上四位数共有84个，故第85个数是2 301.对点练二排队问题4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!解析：选C 利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A33(A33)3＝(3！)4.5．4名男生和4名女生并坐一排照相，女生要排在一起，不同排法的种数为( ) A．A88B．A55A44C．A44A44D．A58解析：选B 因为4名女生要排在一起，所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列，然后再将4名女生排列，共有A55A44种排法．6．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有( )A．120种B．240种。
新课标A版高中数学选修2-3课时作业2 Word版含答案
课时作业(二)．将名大学毕业生全部分配给所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )．种．种．种．种答案解析每名大学生有三种不同的分配方式，所以共有种不同的分配方式．．从集合＝{}中任取三个数作为二次函数＝＋＋的系数，，.则可构成不同的二次函数的个数是( )．．．．答案解析由于是二次函数，需分三步确定系数，，，有除之外的四种选法，有四种选法，有三种选法，故有××＝种．．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆种蔬菜品种中选出种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( )．种．种．种．种答案解析(直接法)：黄瓜种在第一块土地上有××＝种．同样，黄瓜可种在第二块、第三块土地上，共有不同的种法有×＝种．(间接法)：种选种，种在三块地上有××＝种，其中不种黄瓜有××＝种，共有不同种法－＝种．．已知异面直线，上分别有个点和个点，则经过这个点可以确定不同的平面个数为( ) ．．．．答案解析根据一条直线与直线外一点可确定一个平面，因此可分为两类；第一类，直线与直线上的点所确定的平面有个平面；第二类，直线与直线上的点所确定的平面有个，根据分类加法计数原理，共有＋＝个不同平面．．书架上原来并排放着本不同的书，现要再插入本不同的书，那么不同的插法共有( ) ．种．种．种．种答案解析我们可以一本一本的插入，先插一本，可在原来本书形成的个空当中插入，共有种插入的方法；然后再插第二本，这时书架上有本书形成个空当，有种插入方法；再插最后一本，有种插法，所以共有××＝种不同的插法．．有个不同的棱柱、个不同的棱锥、个不同的圆台、个不同的球，若从中取出个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( )．．．．答案解析分两步：第一步，取多面体，有＋＝种不同的取法，第二步，取旋转体，有＋＝种不同的取法．所以不同的取法种数是×＝种．．如图所示，用不同的五种颜色分别为，，，，五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这些要求的不同着色的方法共有( )种．种．种．种答案解析按照分步计数原理，先为着色共有种，再为着色共有种(不能与相同)，接着为着色有种(不与，相同)，同理依次为，着色各有种，所以不同着色的方法共有＝××＝(种)．．已知集合＝{，－}，＝{－，－}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有( )．个．个．个．个答案解析此问题可分两类：①以集合中的元素作为横坐标，集合中的元素作为纵坐标，集合中任取一个元素的方法有种，要使点在第一、第二象限内，则集合中只能取两个元素中的一个，有种方法，根据分步乘法计数原理有×＝个；②以集合中的元素作为横坐标，集合中的元素为纵坐标，集合中任取一个元素的方法有种，要使点在第一、第二象限内，则集合中只能取两个元素中的一个，有种方法，根据分步乘法计数原理，有×＝个．。
人教新课标版数学高二-A版选修2-3课时作业 1-3-1二项式定理
课时作业(十一)1．在二项式(x 2－1x )5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5答案 B解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r·(－1x)r＝(－1)r ·C r 5·x 10－3r， 令10－3r ＝4，∴r ＝2，则x 4的系数是(－1)2·C 25＝10.故选B.2．(2x 3－12x 2)10的展开式中的常数项是( ) A ．210 B.1052 C.14 D ．－105答案 B3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210答案 A解析 T 4＋1＝C 410x 6(－2y )4＝C 410×4x 6y 4＝840x 6y 4.4．二项式(52＋77)24展开式中的整数项是( ) A ．第15项 B ．第14项 C ．第13项 D ．第12项答案 A解析 (52＋77)24展开式的通项为C r 24(52)24－r·(77)r.要使其为整数，应使24－r 5与r 7都是整数，观察易知r ＝14时24－r 5＝2，r7＝2皆为整数，因此所求为第r ＋1项，即第15项．5．把(3i －x )10(i 是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )A ．135B ．－135C ．－3603iD ．3603i答案 D解析 ∵T 7＋1＝C 710(3i)3(－x )7＝－C 71033i 3x 7＝C 71033i x 7，所以展开式的第8项的系数为33·C 710i ，即3603i.6．在(x ＋1)(2x ＋1)·…·(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( )A ．C 2nB ．C 2n ＋1C ．C n －1nD.12C 3n ＋1答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2＝C 2n ＋1.7．(2011·陕西理)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20答案 C解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6(2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15.8．(2013·安徽)若(x ＋a 3x)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a＝________.答案 12解析 由二项式(x ＋a 3x)8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3.故C 38a 3＝7，∴a ＝12.9．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________．答案 －240解析 (x －y )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x 10－r (－y )r ＝(－1)r C r 10x 10－r y r， ∴x 7y 3的系数为－C 310，x 3y 7的系数为－C 710. ∴所求的系数和为－(C 710＋C 310)＝－2C 310＝－240.10．化简：(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3的值为________． 答案 x 4 解析 原式为(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1 ＝[(x －1)＋1]4＝x 4.11．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．答案 －20解析 方法一 所给的代数式是五个二项式的代数和．因此所求的x 2的系数就应该是这五个二项式的展开式中x 2的系数的代数和，即－C 02－C 13－C 24－C 35＝－20.方法二 也可以利用等比数列求和公式，将原式化为(x －1)[1－(1－x )5]1＋(x －1)＝(x －1)＋(x －1)6x .可以看出，所求的x 2的系数就是(x －1)6中x 3的系数，即为－C 36＝－20.12．在(x －a )10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a ＝________. 答案 －1213．(32＋12)50的二项展开式中，整数项共有________项．答案 4 解析T k ＋1＝C k 50(32)50－k·(12)k＝C k50·2100－5k 6. 由0≤k ≤50，且k ∈N 可知，当k ＝2,8,14,20时， 100－5k6取整数，即展开式中有4项是整数项． 14．求(x ＋1x －1)5展开式中的常数项．解析 方法一 (x ＋1x －1)5＝(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x－1)(x ＋1x －1)．按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5；若从五个因式中选定一因式取x ，一因式取1x ，另三个因式中取(－1)，为C 15C 14(－1)3；若从五个因式某两因式中取x ，另两因式中取1x ，余下一个因式中取－1，所得式为C 25C 23(－1)，所以常数项为(－1)5＋C 15C 14(－1)3＋C 25C 23(－1)＝－51.方法二 由于本题只有5次方，也可以直接展开，即[(x ＋1x )－1]5＝(x ＋1x )5－5(x ＋1x )4＋10(x ＋1x )3－10(x ＋1x )2＋5(x ＋1x )－1.由x ＋1x 的对称性知，只有在x ＋1x 的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，∴常数项为－5C 24－10C 12－1＝－51.方法三 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x )－1]5， ∴通项为T r ＋1＝C r5(x ＋1x )5－r ·(－1)r (0≤r ≤5)．当r ＝5时，T 6＝C 55(－1)5＝－1；当0≤r <5时，(x ＋1x )5－r的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r x5－r －k·(1x )k＝C k 5－r x5－r －2k(0≤k ≤5－r )． ∵0≤r <5，且r ∈Z ，∴r 只能取1或3相应的k 值分别为2或1.∴常数项为C 15C 24(－1)＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51.►重点班选做题15．(2010·全国卷Ⅰ)(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2的系数是( )A ．－6B ．－3C ．0D ．3答案 A解析 由于(1－x )4的通项为T r ＋1＝C r 4(－x )r ＝(－1)r C r 4x r ，(1－x )3的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 3 ，所以乘积中的x 2项的系数为(1－x )4中的x 2项的系数和x 的系数分别乘(1－x )3中的常数项和x 的系数再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12＝－6.16．(2011·新课标全国理)(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 对于(x ＋a x )(2x －1x )5，可令x ＝1得1＋a ＝2，故a ＝1.(2x－1x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1x )r＝C r 525－r×(－1)r ×x 5－2r ，要得到展开式的常数项，则x ＋1x 的x 与(2x －1x )5展开式的1x 相乘，x ＋1x 的1x 与(2x －1x )5展开式的x 相乘，故令5－2r ＝－1，得r ＝3.令5－2r＝1，得r ＝2，从而可得常数项为C 35×22×(－1)3＋C 25×23×(－1)2＝40.17．若(cos φ＋x )5的展开式中x 3的系数为2，则sin(2φ＋π2)＝________.答案 －35解析 由二项式定理，得x 3的系数为C 35cos 2φ＝2，得cos 2φ＝15，故sin(2φ＋π2)＝cos2φ＝2cos 2φ－1＝－35.18．(2011·浙江理)设二项式(x －a x )6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．答案 2 解析。
高中数学选修2-3各章节课时作及答案解析
1.1第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业一、选择题1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( )A ．182B ．14C ．48D ．91[答案] C 新人教A 版选修2-3[解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C ．2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )A ．13种B ．16种C ．24种D ．48种[答案] A[解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A ．3．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A ．18B ．38C ．58D ．78[答案] D[解析] 四位同学各自在周六、周日两天中选择一天参加公益活动的情况有24＝16种方式，其中仅在周六或周日参加的各有一种，故所求概率P ＝1－1＋116＝78.4．定义集合A 与B 的运算A *B 如下：A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，若A ＝{a ，b ，c }，B ＝{a ，c ，d ，e }，则集合A *B 的元素个数为( )A ．34B ．43C ．12D ．24[答案] C[解析] 显然(a ，a )、(a ，c )等均为A *B 中的元素，确定A *B 中的元素是A 中取一个元素来确定x ，B 中取一个元素来确定y ，由分步计数原理可知A *B 中有3×4＝12个元素．故选C ．5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )A．8种B．9种C．10种D．11种[答案] B[解析]设四个班级分别是A、B、C、D，它们的老师分别是a、b、c、d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C、D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B、C、D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．6．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18C．12 D．6[答案] B[解析](1)当从0,2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要2不排在个位即可，先排2再排1,3,5中选出的两个奇数，共有2×3×2＝12(个)．(2)当从0,2中选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，只要排好从1,3,5中选出的两个奇数．共有3×2＝6(个)．综上，由分类加法计数原理知共有12＋6＝18(个)．二、填空题7．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0、1、2、3、5、7这6个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则可表示不同的直线__________ ________条．[答案]22[解析]当A或B中有一个为零时，则可表示出2条不同的直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，则可表示出5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理知，共可表示出20＋2＝22条不同的直线．8. 三边均为整数且最大边长为11的三角形有__________ ________个．[答案]36[解析]另两边长用x、y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x＋y≥12.当y＝11时，x∈{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x∈{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)．9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有__________ ________种．(用数字作答)[答案]48[解析]本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法．三、解答题10．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？[解析](1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8＋7＝15种；(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个球共有8×7＝56种．一、选择题11．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A．26 B．24C．20 D．19[答案] D[解析]因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D．12．(2014·长安一中质检)用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279[答案] B[解析] 用0,1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.13．(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)(c 1＋c 2＋c 3)完全展开后的项数为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24[答案] B[解析] 每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12.14.(2015·江西抚州市七校高二期末联考)设m ∈{1,2,3,4}，n ∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f (x )＝x 3＋mx ＋n 在区间[1,2]上有零点的概率是( )A ．12B ．916C ．1116D ．1316[答案] C[解析] 根据题意，f ′(x )＝3x 2＋m ，又因为m >0，所以f ′(x )＝3x 2＋m >0； 故f (x )＝x 3＋mx ＋n 在R 上单调递增，若函数f (x )＝x 3＋mx ＋n 在区间[1,2]上有零点， 则只需满足条件f (1)≤0且f (2)≥0. ∴m ＋n ≤－1且2m ＋n ≥－8， ∴－2m －8≤n ≤－m －1， 当m ＝1时，n 取－2，－4，－8；m ＝2时，n 取－4，－8，－12； m ＝3时，n 取－4，－8，－12； m ＝4时，n 取－8，－12；共11种取法，而m 有4种选法，n 有4种选法，则函数f (x )＝x 3＋mx ＋n 情况有4×4＝16种，故函数f (x )＝x 3＋mx ＋n 在区间[1,2]上有零点的概率是1116，故选C ．二、填空题15．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__________ ______种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．[答案]9 20[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．16．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为__________ ________.[答案]2n(n－1)[解析]先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成以该点为直角顶点的n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共有2n(n－1)个符合题意的直角三角形．三、解答题17．若x、y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．[解析]按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；…x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．18.已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中a i、b j(i＝1、2、3、4，j ＝1、2)均为实数．(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？[解析](1)因为集合A中的每个元素a i(i＝1、2、3、4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个．(2)在(1)的映射中，a1、a2、a3、a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．1.1第2课时两个基本原理的应用课时作业一、选择题1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有( )A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种[答案] A[解析] 分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种．2．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是( ) A ．4 B ．24 C ．43D ．34[答案] C[解析] 依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C ． 3．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( )A ．125个B ．15个C ．100个D ．10个[答案] C[解析] 由题意可得a ≠0，可分以下几类，第一类：b ＝0，c ≠0，此时a 有4种选择，c 也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；第二类：c ＝0，b ≠0，此时a 有4种选择，b 也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；第三类：b ≠0，c ≠0，此时a ，b ，c 都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的函数； 第四类：b ＝0，c ＝0，此时a 有4种选择，共有4个不同的函数．由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N ＝16＋16＋64＋4＝100(个)．故选C ．4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A ．49 B ．13 C ．29 D ．19 [答案] D[解析] 本题考查计数原理与古典概型，∵两数之和为奇数，则两数一奇一偶，若个位数为奇数，则共有4×5＝20个数，若个位数为偶数，共有5×5＝25个数，其中个位为0的数共有5个，∴P ＝520＋25＝19.5．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )A ．6种B ．36种C ．63种D ．64种[答案] C[解析] 每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C ．6．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] 当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8. 当公比为3时，等比数列可为1、3、9. 当公比为32时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个． 二、填空题7．(2014·杭州模拟)有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1、2、3、4四个数字，现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S ，则“S 恰好为4”的概率为________.[答案]364[解析] 本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a ，b ，c )来表示连续抛掷3次所得的3个数字，则该试验中共含4×4×4＝64个基本事件，取S ＝a ＋b ＋c ，事件“S 恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则所求概率P ＝364.8．设椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________________.[答案]20[解析]曲线是焦点在y轴上的椭圆，∴n>m.当m＝1时，n有6种取法，当m＝2时，n有5种取法……当m＝5时n有2种取法，∴这样的椭圆共有6＋5＋4＋3＋2＝20个．9．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法________种．[答案]242[解析]取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．三、解答题10．有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项．(1)学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？(2)有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？[解析](1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个．∴甲有6种不同的获奖情况．(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有4×4×4＝64(种)．一、选择题11. 元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有( )A．6种B．9种C．11种D．23种[答案] B[解析]解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，当A拿贺卡b，则B 可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类加法计数原理，四张贺卡共有3＋3＋3＝9(种)分配方式．解法2：让四人A 、B 、C 、D 依次拿一张别人送出的贺卡，如果A 先拿，有3种，此时被A 拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有3×3×1×1＝9(种)．12．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为( )A ．16B ．18C ．24D ．32[答案] C[解析] 若将7个车位从左向右按1～7进行编号，则该3辆车有4种不同的停放方法：(1)停放在1～3号车位；(2)停放在5～7号车位；(3)停放在1、2、7号车位；(4)停放在1、6、7号车位．每一种停放方法均有6种，故共有24种不同的停放方法．13．(2014·张家界月考)先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为m 、n ，则mn 是奇数的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．16 [答案] C[解析] 先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn 是奇数，则m 、n 都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P ＝936＝14.14．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足b ≤4≤c ，则这样的三角形有( )A ．10个B ．14个C ．15个D ．21个[答案] A[解析] 当b ＝1时，c ＝4；当b ＝2时，c ＝4,5；当b ＝3时，c ＝4,5,6；当b ＝4时，c ＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．选A ．[点评] 注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 二、填空题15．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，向量a ＝(m ，n )和向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________.[答案]512[解析] cos θ＝a ·b |a ||b |＝m －n2·m 2＋n2， ∵θ∈(0，π2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·b >0，a ∥＼ b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n >0，m －n2m 2＋2n2<1.∴m >n ，则m ＝2时，n ＝1；m ＝3时，n ＝1,2；m ＝4时，n ＝1,2,3；m ＝5时，n ＝1,2,3,4；m ＝6时，n ＝1,2,3,4,5.则这样的向量a 共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，而第一次投掷骰子得到的点数m 有6种情形，同样n 也有6种情形，∴不同的向量a ＝(m ，n )，共有6×6＝36个，因此所求概率P ＝1536＝512.16．从集合{1,2,3,4,5,6}中任取两个元素作为双曲线x 2a －y 2b＝1中的几何量a 、b 的值，则“双曲线渐近线的斜率k 满足|k |≤1”的概率为________.[答案] 12[解析] 所有可能取法有6×5＝30种，由|k |＝ba≤1知b ≤a ，满足此条件的有(2,1)，(3,2)，(3,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)共15种，∴所求概率P ＝1530＝12.三、解答题17．现有高三四个班的学生共34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？[解析] (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N ＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N ＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类：每类又分两步，从一、二班的学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班的学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班的学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班的学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班的学生中各选1人，有8×10种不同的选法：从三、四班的学生中各选1人，有9×10种不同的选法；所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．18.用1、2、3、4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{a n}．(1)写出这个数列的前11项；(2)这个数列共有多少项？(3)若a n＝341，求n.[解析](1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数，每个位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64项．(3)比a n＝341小的数有两类：①；②.共有2×4×4＋1×3×4＝44∴n＝44＋1＝45(项)．1.2.1第1课时排列（一）课时作业一、选择题1．从1、2、3、4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( )A．2 B．4C．12 D．24[答案] C[解析]本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A24＝12.2．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( )A．A812种B．2A88A44种C．8A88种D．9A88种[答案] D[解析]将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A99＝9A88种．3．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A．108种B．186种C．216种D．270种[答案] B[解析]从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A37－A34＝186(种)，选B．4．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( )A．A88B．A48C．A44A44D．2A44[答案] C[解析]安排4名司机有A44种方案，安排4名售票员有A44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A44A44种方案．5．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)种准备不同的火车票种数为( ) A．30种B．15种C．81种D．36种[答案] A[解析]对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A26＝6×5＝30种．故选A．6．某校某班2015年元旦晚会计划有8个声乐节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数为( )A．A88B．A811C．A88A39D．A88A38[答案] C[解析]先排8个声乐节目共有A88种排法，产生9个空隙，再插入3个舞蹈节目有A39，据分步乘法计数原理，共有A88·A39种．7．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案] 480[解析] A 、B 两个字母与C 的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A 66＝480.8.某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有________种．[答案] 48[解析] 由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类．第一类，用4色有A 44种，第二类，用3色有4A 33种，故共有A 44＋4A 33＝48种．9．用0、1、2、3、4、5可以排出没有重复数字且大于3240的四位数________个． [答案] 149[解析] 当首位为4或5时，有2×A 35种；当首位为3，百位为4或5时，有2×A 24种；当首位为3，百位为2，十位为5时，有3种，最后还有3245和3241满足，因此没有重复数字且大于3240的四位数共有2A 35＋2A 24＋3＋2＝149个．三、解答题10．用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数． (1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？ (2)这些四位数中大于6500的有多少个？[解析] (1)偶数的个位数只能是2、4、6有A 13种排法，其它位上有A 36种排法，由分步乘法计数原理知共有四位偶数A 13·A 36＝360个；能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120个．(2)最高位上是7时大于6500，有A 36种，最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×A 25种．∴由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6500的共有A 36＋2A 25＝160个．11．摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种[答案] B[解析] 2位老师作为一个整体与5名学生排队，相当于6个元素排在6个位置，且老师不排两端，先安排老师，有4A 22＝8种排法，5名学生排在剩下的5个位置，有A 55＝120种，由分步乘法计数原理得4A 22×A 55＝960种排法．[点评] 因为两位老师相邻，故可作为一个元素，因此可先将5名同学排好，在5名学生形成的4个空位中选1个，将两位老师排上，共有A 55·(4A 22)种不同排法．12．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x 2m 2＋y 2n2＝1中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B ＝{(x ，y )||x |<11，且|y |<9}内的椭圆个数为( )A ．43B ．72C ．86D ．90[答案] B[解析] 在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m 、n ，共有A 28＝56种方法；可在9、10中取一个作为m ，在1、2、…、8中取一个作为n ，共有A 12A 18＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A 28＋A 12A 18＝72.13．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种[答案] A[解析] 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A 33种不同的排法；再排第二列，第二列第一行的字母有2种排法，排好此位置后，其他位置只有一种排法．因此共有2A 33＝12种不同的排法．14.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种[答案] D [解析]如图所示，三个区域按参观的先后次序共有A 33种参观方法，对于每一种参观次序，每一个植物园都有2类参观路径，∴共有不同参观路线2×2×2×A 33＝48种．二、填空题15．如果直线a 与b 异面，则称a 与b 为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案] 24[解析] 六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．考察PA 与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(PA ，BC )，(PA ，CD )，(PA ，DE )，(PA ，EF )共四对．同理与其他侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．16．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种．[答案] 5760[解析] 第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A 22种放法； 第二步，油画内部排列，有A 44种； 第三步，国画内部排列，有A 55种．由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有A 22A 55A 44＝5 760(种)． 三、解答题17．求和：12！＋23！＋34！＋…＋n n ＋！.[解析] ∵k k ＋！＝k ＋1－1k ＋！＝k ＋1k ＋！－1k ＋！＝1k ！－1k ＋！，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12！－13！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13！－14！＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ！－1n ＋！＝1－1n ＋！. 18.(2015·宝鸡市金台区高二期末)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？[解析] 百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个， 百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个， 百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个， 百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个， 百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个， 同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个， 百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个， 百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个， 百位是2比666小的渐降数有1个，所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．1.2.1第2课时 排列（二）课时作业一、选择题1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A ．36 B ．30 C ．40 D ．60[答案] A[解析] 奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有35A 35＝36个．2．(2014·辽宁理，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24[答案] D[解析] 就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有A 34＝24种不同坐法，故选D ．3．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为( )A．18 B．36C．48 D．60[答案] B[解析]甲在排头或排尾站法有A12种，再让乙在中间3个位置选一个，有A13种站法，其余3人有A33种站法，故共有A12·A13·A33＝36种站法．4．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A．504种B．960种C．1008种D．1108种[答案] C[分析]甲、乙相邻看作一个元素与其它元素一块排，由于丙不排在第1天、丁不排在第7天，因此按甲、乙的排位进行分类．[解析]甲、乙相邻的所有方案有A22A66＝1440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：A22A55＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有A22A44＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1440－2×240＋48＝1008种，故选C．[点评] 在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( ) A．20种B．30种C．40种D．60种[答案] A[解析]分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法；∴A24＋A23＋A22＝20.6．由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有( ) A．(2A45－A34)个B．(2A45－A35)个C．2A45个D．5A45个[答案] A[解析]能被5整除，则个位须为5或0，有2A45个，但其中个位是5的含有0在首位的排法有A34个，故共有(2A45－A34)个．[点评] 可用直接法求解：个位数字是0时有A45种；个位数字是5时，首位应用1、2、3、4中选1个，故有4A34种，∴共有A45＋4A34个．二、填空题7．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________.[答案]24[解析]“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．∴有A34＝24种不同坐法．8．(2015·宝鸡市金台区高二期末)某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有不同排法________种．[答案]14[解析]解法1：若第一节排数学，共有A33＝6种方法，若第一节不排数学，第一节有2种排法，最后一节有2种排法，中间两节任意排，有2×2×2＝8种方法，根据分类计数原理，共有6＋8＝14种，故答案为14.解法2：间接法：4节课全部可能的排法有＝24种，其中体育排第一节的有＝6种，数学排最后一节的有＝6种，体育排第一节且数学排最后一节的有＝2种，故符合要求的排法种数为－＋＝14种．9．2014年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)[答案]24[解析]将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A23＝24种．三、解答题10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14400种．。
新课标A版高中数学选修2-3课时作业：2 Word版含答案
课时作业(二)1．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( ) A．8种B．15种C．125种 D．243种答案 D解析每名大学生有三种不同的分配方式，所以共有35种不同的分配方式．2．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c.则可构成不同的二次函数的个数是( )A．48 B．59C．60 D．100答案 A解析由于是二次函数，需分三步确定系数a，b，c，a有除0之外的四种选法，b有四种选法，c有三种选法，故有4×4×3＝48种．3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( )A．24种 B．18种C．12种 D．6种答案 B解析(直接法)：黄瓜种在第一块土地上有3×2×1＝6种．同样，黄瓜可种在第二块、第三块土地上，共有不同的种法有6×3＝18种．(间接法)：4种选3种，种在三块地上有4×3×2＝24种，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种，共有不同种法24－6＝18种．4．已知异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．13C．10 D．16答案 B解析根据一条直线与直线外一点可确定一个平面，因此可分为两类；第一类，直线a与直线b上的点所确定的平面有8个平面；第二类，直线b与直线a上的点所确定的平面有5个，根据分类加法计数原理，共有8＋5＝13个不同平面．5．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有( )A．336种 B．120种C．24种 D．18种答案 A解析我们可以一本一本的插入，先插一本，可在原来5本书形成的6个空当中插入，共有6种插入的方法；然后再插第二本，这时书架上有6本书形成7个空当，有7种插入方法；再插最后一本，有8种插法，所以共有6×7×8＝336种不同的插法．6．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( )A．14 B．23C．48 D．120答案 C解析分两步：第一步，取多面体，有5＋3＝8种不同的取法，第二步，取旋转体，有4＋2＝6种不同的取法．所以不同的取法种数是8×6＝48种．7．如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这些要求的不同着色的方法共有( )A.500种 B．520种C．540种 D．560种答案 C解析按照分步计数原理，先为A着色共有5种，再为B着色共有4种(不能与A相同)，接着为C着色有3种(不与A，B相同)，同理依次为D，E着色各有3种，所以不同着色的方法共有N＝5×4×33＝540(种)．8．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有( )A．18个 B．16个C．14个 D．10个答案 C解析此问题可分两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，集合M中任取一个元素的方法有3种，要使点在第一、第二象限内，则集合N中只能取5,6两个元素中的一个，有2种方法，根据分步乘法计数原理有3×2＝6个；②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素为纵坐标，集合N中任取一个元素的方法有4种，要使点在第一、第二象限内，则集合M中只能取1,3两个元素中的一个，有2种方法，根据分步乘法计数原理，有4×2＝8个．综合以上两类，利用分类加法计数原理，共有6＋8＝14个．故选C.9．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．答案 4解析分两类，3个奇数两两相加，3个偶数两两相加，都得偶数，又1＋5＝2＋4,3＋5＝2＋6，所以可得不同的偶数有3＋3－2＝4个．10．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．11．动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？解析因为3只羊都被吃掉，故应分为三步，逐一考虑．每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有4种可能，按照分步乘法计数原理，故有4×4×4＝43＝64种．12．(2015·石家庄高二检测)某校高二年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去旅游．(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选1人带队，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？解析(1)分三类．第一类：从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同选法；第二类：从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同选法；第三类：从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同选法．由分类加法计数原理得N＝8＋10＋6＝24种不同的选法．(2)分三步：第一步：从一班的8名优秀团员中选1人带队，有8种不同选法；第二步：从二班的10名优秀团员中选1人带队，有10种不同选法；第三步：从三班的6名优秀团员中选1人带队，有6种不同选法．由分步乘法计数原理得N＝8×10×6＝480种不同的选法．(3)分三类，每一类可分为两步．第一类：从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10＝80种不同选法；第二类：从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6＝60种不同选法；第三类：从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6＝48种不同选法．由分类加法计数原理得N＝80＋60＋48＝188种不同的选法．13．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？解析(1)由于1至4号区域各有5色方法有54＝625种．(2)第一类，1号区域与3号区域同色时，有5×4×4＝80种涂法，第二类，1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260(种)．14．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个．(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？(4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？(5)小于100的无重复数字的自然数？解析由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．(4)百位数字只有4种选择，个位数字只有2种选择，十位数字可有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×2×8＝64(个)．(5)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类．一位自然数：10个．两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的两位数共有9×9＝81(个)．由分类加法计数原理知，符合题意的自然数共有10＋81＝91(个)．►重点班选做题15．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落可能性共有( )A ．6种B ．36种C ．63种D ．64种答案 C解析 每个焊点都有正常与脱落两种情况，共有26种情况，但其中有一种情况是各焊点都正常的情况，所以共有26－1种电路不通的情况．16．已知互不相同的集合A 、B 满足A ∪B ＝{a ，b }，则符合条件的A ，B 的组数共有________种．答案 9解析 当A ＝∅时，集合B ＝{a ，b }；当A 只有1个元素时，B 可以有2种情况，此时有2×2＝4种情况；当A ＝{a ，b }时，集合B ＝∅，{a }，{b }或{a ，b }，此时有4种情况，综上可知，符合条件的A 、B 共有1＋4＋4＝9种． 17．设椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________．答案 201．已知a ，b ∈{0,1,2，…，9}，若满足|a －b |≤1，则称a ，b “心有灵犀”．则a ，b “心有灵犀”的情形共有( )A ．9种B ．16种C ．20种D ．28种答案 D解析 当a 为0时，b 只能取0,1两个数；当a 为9时，b 只能取8,9两个数；当a 为其他数时，b 都可以取3个数．故共有28种情形．2．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49 B.13C.29 D.19答案 D3．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，最多5个，则不同的分法共有( ) A．4种 B．5种C．6种 D．7种答案 A4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8答案 D5．若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有________种不同情况(没有并列冠军)?答案125思路本题关键在于搞清楚要以谁为主来研究问题．本题中完成的事件是5名学生争夺3项比赛冠军，这里，每名学生能获几项比赛冠军不确定，但这每一项比赛的冠军都可以由5个运动员中的1人获得，故应以“冠军”为主，即“冠军”作为位置，由5名运动员去占3个位置．解析每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得，3个冠军依次被获得的不同情况有53种．6．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．答案63解析对于每一张人民币来说，都有两种选择，用或不用，而都不用则形不成币值，由分步计数原理，可得N＝2×2×2×2×2×2－1＝26－1＝63(种)．7．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有________个．答案36解析另两边长用x、y表示，且设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取值11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取值10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形，……当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.8．有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答)．答案8解析第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号有2×2＝4(种)方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作的电脑的型号有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作的电脑的型号只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．9.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．答案40解析满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8(个)；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32(个)，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)．10．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有________种．答案12解析分两步：第一步，先选垄，如图，共有6种选法；第二步，种植A、B两种作物，有2种选法；因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6×2＝12(种).。
新课标A版高中数学选修2-3课时作业21 含答案 精品
课时作业(二十一)1．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．解析 由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18，同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为：E (Y 21)＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.2．某渔船要对下月是否出海作出决策，如果出海后遇到好天气，可得收益6 000元，如果出海后天气变坏将损失8 000元．若不出海，无论天气如何都将承担1 000元损失费．据气象部门的预测，下月好天气的概率是0.6，天气变坏的概率为0.4，请你为该渔船作出决定，是出海还是不出海？依据是什么？解析 若选择出海，设X 为渔船的收益，则由题知X 的可能取值为6 000元，－8 000元，P (X ＝6 000)＝0.6，P (X ＝－8 000)＝0.4.∴E (X )＝6 000×0.6＋(－8 000)×0.4＝400. 若选择不出海，则损失1 000元． ∵400>－1 000，∴应选择出海．3．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．解析 (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式，得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215， P (ξ＝4)＝1C 26＝115.从而知ξ的分布列为所以，E (ξ)＝0×3＋1×15＋2×5＋3×15＋4×15＝3.4．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．解析 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×3＝2.5．某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率． 解析 (1)设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×910＝95.则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)．故E (Y )＝3×13＝1.则该选手在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. 所以选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设“该选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分”为事件C ，“该选手在A 区投篮得4分且在B 区投篮得3分或0分”为事件D ，“该选手在A 区投篮得2分且在B 区投篮得0分”为事件E ，则事件C ＝D ∪E ，且事件D 与事件E 互斥．P (D )＝81100×(49＋827)＝35， P (E )＝18100×827＝475， P (C )＝P (D ∪E )＝35＋475＝4975，故该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975.►重点班选做题6．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22， －3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________. 答案 47解析季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2015年所得奖金的数学期望．解析 P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14；P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×16＋300×4＋750×8＋1 260×4＋1 800×16＝783.75(元)．1．A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：为ξ、η.(1)求ξ、η的概率分布； (2)求E (ξ)，E (η)．解析 (1)ξ的可能值为3,2,1,0，则P (ξ＝3)＝23×25×25＝875，P (ξ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (ξ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝3075＝25，P (ξ＝0)＝13×35×35＝975＝325.根据题意ξ＋η＝3，所以P (η＝0)＝P (ξ＝3)＝875，P (η＝1)＝P (ξ＝2)＝2875，P (η＝2)＝P (ξ＝1)＝25，P (η＝3)＝P (ξ＝0)＝325.∴ξ，η的分布列为(2)E (ξ)＝15，E (η)＝15.2．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．(1)求ξ的分布列及数学期望；(2)记“函数f (x )＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率．解析 (1)分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A 1、A 2、A 3.由已知A 1、A 2、A 3相互独立，P (A 1)＝0.4，P (A 2)＝0.5，P (A 3)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0，所以ξ的可能取值为1、3.P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2 A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝1－0.24＝0.76，所以ξ的分布列为：E (ξ)(2)因为f (x )＝(x －32ξ)2＋1－94ξ2，所以函数f (x )＝x 2－3ξx ＋1在区间[32ξ，＋∞)上单调递增．要使f (x )在[2，＋∞)上单调递增，当且仅当32ξ≤2，即ξ≤43，从而P (A )＝P (ξ≤43)＝P (ξ＝1)＝0.76.。
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课时作业(二十一)
．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期
望．解析由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：；乙组同学的植树棵数是.分别从甲、乙两
组中随机选取一名同学，共有×＝种可能的结果，这两名同学植树总棵数的可能取值为.事件“＝”等价于“甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵”，所以该事件有种可能的结
果，因此(＝)＝＝，同理可得(＝)＝，(＝)＝，(＝)＝，(＝)＝.
所以随机变量的分布列为：
)
＝×＋×＋×＋×＋×＝.．某渔船要对下月是否出海作出决策，如果出海后遇到好天气，可得收益元，如果出海
后天气变坏将损失元．若不出海，无论天气如何都将承担元损失费．据气象部门的预测，下月好天气的概率是，天气变坏的概率为，请你为该渔船作出决定，是出海还是不出海？依据是
什么？
解析若选择出海，设为渔船的收益，则由题知的可能取值为元，－元，
(＝ )＝，(＝－ )＝.
∴()＝×＋(－)×＝.
若选择不出海，则损失元．
∵>－，∴应选择出海．．在甲、乙等个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一
起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为，…，)，求：
()甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
()甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．
解析()设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号均为偶
数”，由等可能性事件的概率计算公式，得()＝－()＝－＝－＝.
()ξ的所有可能值为，且(ξ＝)＝＝，
(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，
(ξ＝)＝＝.
从而知ξ的分布列为
．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业
建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有名工人独立地从中任选一
个项目参与建设．
()求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；()记ξ为人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数
学期望．解析记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件，，，＝，由题意知，，相互独立，，，相互独立，，，相互独立，，，(，，＝，且，，互不相同)相
互独立，且()＝，()＝，()＝.
()他们选择的项目所属类别互不相同的概率
＝！()＝()()()＝×××＝.
()解法一设名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，
由已知，η～(，)，且ξ＝－η，
所以(ξ＝)＝(η＝)＝()＝，
(ξ＝)＝(η＝)＝()()＝，
(ξ＝)＝(η＝)＝()()＝，
(ξ＝)＝(η＝)＝()＝.
故ξ的分布列是
.
解法二记第名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件，＝.
由已知，，，相互独立，且。