§11.3连续映射的性质
线性空间与线性映射
λa1 + λb1 λ a + λ b 2 2
λa1 + µa1 λa + µa 2 2
第十一章 线性空间与线性映射
a1 + b1 + c1 ②．由 a + (b + c ) = ,(a + b ) + c = a2 + b2 + c2
a1 + b1 + c1 a + b + c 2 2 2
即见 a + (b + c ) = (a + b ) + c
第十一章 线性空间与线性映射
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
⇐：设存在不全为0的数k1,…, kn ，使得 k1a1 + … + kn an = 0 不妨设k1 ≠ 0(k1,…, kn都一样)，于是
kn k2 k3 a1 = − ⋅ a2 − ⋅ a3 - … − ⋅ an k1 k1 k1
即，a1 可由其余线性表示。 由定理11.2.1，线性相关也可如下定义：
11.2.2 线性相关 给定一组向量a1,…, an ，若其中有一个可由其余线性表示,则称 向量组a1,…, an 线性相关。 你也许试图寻求这一概念的直观解释，建议你不要再找了，因 为没有比这更直白的说法了。你就记住： “线性相关，就是有一个向量可由其余线性表示”。 这个说法易懂，但不便于检验。我们再换个说法。
第十一章 线性空间与线性映射
完整word版点集拓扑讲义学习笔记
度量空间与连续映射2章第它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．度量空间与连续映射§2.1本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中,R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考.察出发，抽象出度量和度量空间的概念，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R（）x=×→R如下：对于任意ρ定义,： y=，令）＝y xρ（，页40 共* 页2 第是的一个度量，因此偶容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ，ρ)是一个度量空间．(这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．对这里定，称为义的度量ρ的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即)|<∞} ＝ {x=(H定义ρ如下：对于任意＝（）∈H），yx ＝（(x,y)= 令ρ（即验证<∞）以及验证ρ是说明这个定义是合理的H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert 空间．例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（的一个离散度量，如果对于每一个x，y） y∈X，x≠y，成立．＞对于任何页40 共** 页3 第例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有(x,y)=ρ容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻记作B（x，ε域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．页40 共* 页4 第，）是x∈XB（x (2)如果B（x的两个球形邻域，任意选取实，）和数}min{ ，则易见有ε＞0，使得ε＜，）∩B（x，））B （x，εB（x 即B（x，ε）满足要求．）．显然．＞0．如果xρ（，yz∈B，（3）设y∈B（xε＝）．令ε-，），则（y ）＜xy，）+ρ）+ρ（y，x=ε（（（z，x）≤ρz，yρ，y）ε）．这证明B（εB（x，）．，所以z∈B（x定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}页40 共** 页5 第却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：本身和空集都是开集；X （1）集合（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 满足开集的条件；空集X中不包含任何一个点，也自然地可以认为中，所以它满足开集的条件．的一个球形邻x如果x∈U∩V，则存在U设和V是X中的两个开集．（2）．根据V，的一个球形邻域B（x）包含于域B（x，）包含于U，也存在x ，（xε）同时包含于BB（2），x有一个球形邻域（x，）和B定理2.1.1，），因此（x，）U∩V B（x，B（x，）∩B（xε）由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．页40 共* 页6 第中的开集构成的子集族．如果，则存在是一个由X3）设*Α（A有一个球形邻域包含于是一个开集，所以由于∈*x使得，显x∈然这个球形邻域也包含于中的一个开集．．这证明是X此外，根据定理2.1.1（3）可见，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈VU，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈VU，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．页40 共** 页7 第f(如果对于)是两个度量空间，f:X→Y，∈X以及定义2.1.5 设X和Y （ε），，存在δ的某一个球形邻域B），的任何一个球形邻域B（f(),），则称映射在点处是连续的．（)，δ）），εB（使得f(Bf（如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果在点f处连续，可以说成：和Y设ρ中的度量，则和分别是度量空间X对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，x∈B （,δ）便有）＜δ（即f(f(x)∈B（.（即(f(x),f())ε））．＜ε)，下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．以及∈X．X→Y则下述条件Y是两个度量空间，f：和定理2.1.4 设X：和（*2）*（1）和（2）分别等价于条件（1））f处是连续的；在点（1的每一个邻域的原象是的一个邻域；（1）*f( )（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．（）的一个邻域．根令U为f成立．1）蕴涵（）*：设（1）1证明条件（），ε）包含于B（fU（．由于f）有一个球形邻域2.1.3据定理，f（处是连续的，所以在点有一个球形邻域（（BfBεB（fB）），δ（（），）．然而，（（）使得，δf 页40 共* 页8 第），所以（），εU）（）是）B），这证明（（U（U的一个邻域．，δ（f1）*成立．任意给定）的一个邻条件（1）*蕴涵（1）．设条件（，根据定理2.1.3是（的一个邻域．f()，ε域B（εf(),），）则（B ）包含于δ（，有一个球形邻域B （）．f），ε（B（（f（B在点处连续．因此，δ））B（f（），ε）．这证明f中的一个开集，为Y*．设条件（2）成立．令V2条件（）蕴涵（2）是一个开集，所Vx）∈V．由于）．对于每一个x∈U，我们有f（U（＝VxU是1）*，）的一个邻域．由于以V是f（xf在每一点处都连续，故根据（由U＝∪x∈UUx．U．易见Ux的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得 U是一个开集．都是开集，根据定理2.1.2，于每一个Ux）的x是f（2）*成立，对于任意x∈X，设U条件（2）*蕴涵（2）．设（根．U）（（的一个开集x）V U．从而Vx∈）f一个邻域，即存在包含（x的一个邻域，对于U据条件（2）*，（V）是一个开集，所以）是x（是任意选取的，所以处连续．由于点x在点*成立，于是fx）而言，条件（1 f是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念性质（定理2.1.2作业：P47 1.2.3.4.页40 共** 页9 第拓扑空间与连续映射§2.2:本节重点. 并在此空间上建立起来的连续映射的概念拓扑与拓扑空间的概念,: 注意区别. 拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理 2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．ττ满足如下X是一个集合，定义2.2.1 设X的一个子集族．如果是条件：τ∈（；lX），Tτ；（2）若A，B∈A∩B∈，则（3）若τ是X的一个拓扑．则称ττ）是一个拓扑空间，或X如果，是集合X的一个拓扑，则称偶对（τT是一个相对于拓扑而言的拓扑空间；此外称集合的每一个元素都叫做Xττ．即：A∈A是开集.）或（开集XX拓扑空间（，）中的一个（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．页40 共* 页10 第现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．中的所有开集构为由ρ）是一个度量空间·令定义X2.2.2 设（X，的一个拓扑．我们称2.1.2）是，（X 为成的集族．根据定理，X的X由．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度度量ρ诱导出来的拓扑）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，X，ρρ）为拓扑量空间（空间时，指的就是拓扑空间（X，）空），HilbertR因此，实数空间，n维欧氏空间（特别，欧氏平面间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．TT是X，}．容易验证，设X是一个集合．令的一个拓扑，称之为 ={X T）为一个平庸空间．在平庸空间（；并且我们称拓扑空间（X，X，的X平庸拓扑T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．TP（X），即由XX是一个集合．令 =的所有子集构成的族．容易验证，设TT）为一X；并且我们称拓扑空间（，的一个拓扑，称之为X的离散拓扑是X T）中，X的每一个子集都是开集．在离散空间（X，个离散空间.T ={，{a}，{a，b}，{a，{a，bc}．令，b，c}}．＝2.2.3 例设X TT）是一个拓扑空间．这个拓扑X的一个拓扑，因此（，容易验证，是X空间既不是平庸空间又不是离散空间．页40 共** 页11 第例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令X|T ={U 的一个有限子集}∪{是X}T是X的一个拓扑：先验证；另外，根据定义便有∈T．）X∈T (因为 =)（1T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A（2）设A，B∈和B T ．的一个有限子集，所以A∩B∈是都不是空集．这时X,显然有）设（3．令，则如果X任意选取．这时是设的一个有限子集，所以P是X的一个拓扑，称之为3），X的有限补拓根据上述（1），（2）和（P）称为一个有限补空间．，扑．拓扑空间（X例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T 的一个可数子集}∪{X}={U X|是T 是X2.2.4通过与例中完全类似的做法容易验证（请读者自证）的一个T ）称为一个可数补空间．，的可数补拓扑．拓扑空间（拓扑，称之为XX页40 共* 页12 第一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？P使）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量设（X，ρ定义2.2.3PP）是一个ρ诱导出来的拓扑可度量化空，则称（得拓扑X，即是由度量间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑可以看出，和从§2．1中的习题23空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是中给出的那个空间只含有三个点，2.2.3离散空间，因此它不是可度量化的；例拓扑空间是比可度量空间的但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这范围要广泛．是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．U定义2.2.4 是两个拓扑空间，f:X→Y．如果中每一个开集Y设X和Y的一个连续映射，或简称Xf是中的一个开集，则称X到Y（的原象U）是映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）页40 共** 页13 第但所指出的却是连续映射的最重要的下面的这个定理尽管证明十分容易，性质．都是拓扑空间．则，Y和ZX定理2.2.1 设是一个连续映射；1:X→X）恒同映射：（也是连续映射．和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z（2）如果f:X→Y l连续．），所以证明（）设2f:X→Y,g:Y →Z都是连续映射（连续．这证明gof如在线性代数中我们考在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后群论中的同构，者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．是一个—一映射，f：X→Y Y设X和是两个拓扑空间．如果2.2.5 定义和f是一个同胚映射或同胚．都是连续的，则称：Y→X并且f定理2.2.2 设X都是拓扑空间．则Y和Z，：X→X）恒同映射（1是一个同胚；）如果f：X→Y（：Y→X也是一个同胚；2是一个同胚，则页40 共* 页14 第：X→Z也是一个同胚．：Y→Z都是同胚，则gof（3）如果f：X→Y和g 2.2.1，定理证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理．5．4．．53和定理1．l是一个—一映射，并且（l是同胚．），都是连续的，从而是一个—一映射，并且f和）设f：X→Y是一个同胚．因此f都（2也都是连续的，也是一个—一映射并且是连续的．于是和所以也是一个同胚．，f都是—一映射，并且因此f和gf）设：X→Y和g：Y→Z都是同胚．（3和且gof射，并—因此gof也是一映，g续和都是连的． gof是一个同胚．都是连续的．所以：X→Y，则f和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚设定义2.2.6 X ．同胚于YX是同胚的，或称X与Y同胚，或称X称拓扑空间与拓扑空间Y 粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．都是拓扑空间．则和Z设X，Y定理2.2.3X同胚；1）X与（同胚；Y与X同胚，则（2）如来X与Y Z同胚．同胚，则与ZX与同胚，）如果（3X与YY 2.2.2直接得到．证明从定理在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，我们可以说：根据定理2.2.3，因而同胚关系将这个拓扑空两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．页40 共** 页15 第，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚P拓扑空间的某种性质．换言之，拓拓扑不变性质的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这段时期才完成的工作．种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某也正因为如此，是一个去粗取精的过程．一个方面）的精粹而进行的一次提升，新的概念和理论往往有更多的包容．一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正拓扑学无疑也是如此，的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3 邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．页40 共* 页16 第我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，定义2.3.1 设（X，P使得x∈VU，则称U满足条件：存在一个开集V∈是点x的一个邻域．点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．是空集，以下证明充分性．如果U证明定理中条件的必要性是明显的． U ≠．根据定理中的条件，当然U是一个开集．下设使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．页40 共** 页17 第是一个拓扑空间．记为点x∈XX的邻域系．则：定理2.3.2 设U∈x∈X，；并且如果≠，则（1）对于任何x∈U；U ∩V∈，V∈ U，则；（2）如果V∈并且U； V （3）如果，则U∈V∈满足条件：(a)VU和，则存在(b) （4）如果对于任何U∈ V ∈．y∈V，有P且由定义,∴X∈证明（1）,∴,≠如果 X,X∈，则x∈UU∈PP和使得∈则存在设2（）U，V∈．U．和∈ T,∴U∩V∈成立．从而我们有, U∈，并且设3（）P．V满足条件已经满足条件（a），根4（）设U∈．令V∈据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一P子集族x ∈X，个拓扑T使得对于每一点在拓扑空间恰是点x（X，)中的邻域系．(证明略)页40 共* 页18 第现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果的原象（U）是Ux∈X的一个邻域，则称映射ff（x）∈Y的每一个邻域是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发．并且该定理也保证了：当X 和Y是两个度量空间时，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则）恒同映射：X→X在每一点x∈X（1处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．页40 共** 页19 第x处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点f连续．这就证明了作业: ,掌握证明一个映射是否连续的方法．掌握证明一个子集是邻域的方法§2.4 导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，AX．如果点x∈X的每一个邻域U ，则称点xx中异于的点，即U∩（A-{x}是集合）≠A的一个凝聚中都有A点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如＝，）U ∩（A-{x}使得即存在x果x∈A并且不是A的凝聚点，x的一个邻域U 的一个孤立点．为Ax则称):(牢记即页40 共* 页20 第在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，）＝． d（A从而A的导集是空集，即2.4.2 例平庸空间中集合的凝聚点和导集．是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：设X是一个平庸空间，A A显然没有任何一个凝聚点，亦即第1种情形：．这时A=．（可以参见定理2.4.1中第（d（A）l=）条的证明．）。
拓扑空间开集闭集闭包聚点邻域
第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分.本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射.然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射.随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等.进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离d(x,y)= .无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：1. d(x,y)≥0 , ∀x,y∈n R;2. d(x,y) = 0 ⇔x = y ;3. d(x,y) = d(y,x) ∀x,y∈n R;4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ∀x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征.将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义. （一）度量空间1.定义定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ⇔x = y ；②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ；③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z)则称ρ是集合X中的一个度量.如果ρ是集合X中的一个度量，则称偶对（X，ρ）是一个度量空间，或径称X 是一个度量空间.而ρ（x,y ）称为从点X 到点Y 的距离.2. 度量空间举例例2.1.1 实数空间R对实数集合，定义ρ：R×R →R 如下：∀x,y ∈R ，令ρ（x,y ）=|x-y| ,易知ρ是R 的一个度量.因此（R,ρ）是一个度量空间.可见，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广.例2.1.1 n 维欧式空间n R对实数集合R 的n 重笛卡尔积n R =R×R×…×R ，定义ρ：n R ×n R →R 如下：对任意两点x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) ∈n R ，令ρ（x,y ）=可以验证ρ是n R 的一个度量，偶对（n R ，ρ）称为n 维欧氏空间.有时径称n R 为n 维欧氏空间.n=2时，2R 常称为欧氏平面或平面.例2.1.2 Hilbert 空间H记H 是平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H={ x=(x 1 ,x 2,…，x n ) | x i ∈R, i ∈Z + , 21i i x∞=<∞∑ },定义ρ：H×H →R 如下：对于任意x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) ∈H ，令ρ（x,y ）=.这个定义的合理性及验证<∞以及验证ρ是H 的一个度量，可见P 49 附录.因此（H, ρ） 是一个度量空间，称为Hilbert 空间.例2.1.3 离散的度量空间设（X, ρ）是一个度量空间，称（X, ρ）是一个离散的度量空间或称ρ是一 个离散的度量，如果对每一个x ∈X,存在一个实数0x δ>使得ρ（x,y ）>x δ ,对任何y ∈X ，y ≠ x 成立.如，设X 是一个集合，定义ρ：X×X →R ,使得对于任何x,y ∈X,有0(,)1x y x y x yρ=⎧=⎨≠⎩若若 , 易知ρ 是X 的一个离散度量，度量空间（X, ρ）是离散的.思考题例2.1.5 令X= C ([a,b]) = {f: [a,b]→R |f在[a,b]上连续}，并且对于任意的f , g ∈C ([a,b]),令d(f,g)=⎰b a|f(x)-g(x)|dx, d是C ([a,b])的度量吗？（答案：d是C ([a,b])的度量，因此（C ([a,b])，d）是一个度量空间）3.邻域、开集⑴度量空间的球形邻域及其基本性质定义2. 设（X, ρ）是一个度量空间，x∈X, 对于任意的ε>0，B（x,ε）={y∈X |ρ（x,y）< ε} 称为以x为中心，ε为半径的球形邻域，也称为x的一个ε邻域，也记作Bε(x) .定理1.0.1 度量空间（X, ρ）的球形邻域具有以下性质：①每一点x∈X至少有一邻域，并且x属于它的每一个邻域；②对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；③如果y∈X属于x的某个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域.证明：……⑵度量空间的开集及其基本性质定义3. 设X是一个度量空间，A⊂X，如果,0都，使B(a,ε)∀∈∃>a Aε⊂X ，则称A是X的一个开集.由定理2.1.1的③知，X的球形邻域都是开集.例2.1.7 实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间、闭区间都不是开集.两个开区间的并也是开集.可见，度量空间的开集是实数空间开区间的推广.定理1.0.2 度量空间X的开集具有以下性质：①集合X本身和空集Ф都是开集；②任何两个开集的交是开集；③任何一个开集族的并是开集.证……推论U是度量空间的开集的充分必要条件是U是这个空间中若干个球形邻域的并.⑶度量空间中点x的邻域---球形邻域的推广定义4. 设X是一个度量空间，x∈X,U⊂X，如果存在开集V使x∈V⊂U，则称U是x的一个邻域.注：有定义可知，开集V是它的每一点的邻域，但邻域却不一定是开集.如[0，2]是1 的邻域，但它不是开集.定理1.0.3 设X是一个度量空间，x∈X,U⊂X，则U是x的一个邻域⇔存在B(x,ε)⊂U.证明：……本定理为邻域提供了一个等价说法.推论X是一个度量空间，U⊂X，则U是X的一个开集⇔U是其内每一点的邻域.证由定义2.1.3和定理2.1.3 .（二）度量空间之间的连续映射定义5 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，以及x0∈X，如果对于f (x0)的任何一个球形邻域B(f(x0),ε)，存在x0的某一个球形邻域B(x0，δ)使得f (B(x0，δ))⊂B(f(x0),ε)，则称映射f在x0处是连续的.如果映射f 在X的每一点连续，则称f 是一个连续函数.显然这个定义是数学分析中连续函数定义纯粹形式上的推广.定理1.0.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，则①f在x0点处连续⇔ f (x0)的每一个邻域的原像是x0的一个邻域；② f 是连续的⇔Y中每个开集的原像是 X中的开集.证明：①“⇒”若f在x0点处连续，设U为f (x0) 的一个邻域，据TH2.1.3，有B(f(x0),ε)⊂U，因为f在x0点处连续，所以存在B(x0，δ)使得f (B(x0，δ))⊂B(f(x0),ε)，然而f-1 [B(f(x0),ε)]⊂f-1(U)，而B(x0，δ)⊂ f-1 [B(f(x0),ε)]，所以B(x 0，δ) ⊂ f -1(U)，这说明f -1(U)是 x 0的一个邻域 .“⇐” 设f (x 0)的每一个邻域的原像是x 0的一个邻域，任给f (x 0) 的一个邻域B(f(x 0),ε)，则f -1 [B(f(x 0),ε)]是x 0的一个邻域，据TH2.1.3，x 0有一个球形邻域B(x 0，δ) ⊂ f -1 [B(f(x 0),ε)]，因此f[ B(x 0，δ)] ⊂ B(f(x 0),ε)，所以f 在x 0 点处连续.② “⇒”设f 连续，令V 为Y 中一开集，U= f -1(V ),对于每一个x ∈U ，则f(x) ∈V ，由于V 是开集，所以V 是f(x)的一个邻域，由于f 在每一点x 连续，故由①知U 是x 的一个邻域，由上面的推论知，U 是开集.“⇐”设Y 中每个开集的原像是 X 中的开集，下证f 在任一点x ∈X 连续.设U 是f(x)的一个邻域，即存在开集V 使f(x) ∈V ⊂U ，从而x ∈f -1(V)⊂ f -1(U),由条件f -1(V) 是 X 中的开集，所以f -1(U) 是x 的一个邻域，于是①中必要条件成立.所以f 在点x ∈X 连续.由于x 的任意性，所以f 是连续映射.二、拓扑空间、开集、闭集参照度量空间中开集的基本性质（TH1.1.2） 建立拓扑空间定义1.1.1 设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件： ① X ,Ф∈T ； ② 若A,B ∈T ，则A ∩B ∈T ；③ 若T 1 ⊂ T ，则1A A ∈∈ T T . 则称T 是X 的一个拓扑.若T 是X 的一个拓扑，则称偶对（X, T ）是一个拓扑空间，或称集合X 是相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或T 不需指出时，径称集合X 是一个拓扑空间.T 中每一个元素叫做拓扑空间（X, T ）或X 中的一个开集；开集的补集称为闭集.说明：⑴ 条件②蕴含着：当n > 1时若A 1 ，A 2 ，… …， A n ∈T ,则A 1∩A 2∩… …∩A n ∈T .（但对无限交不一定成立，见后面的例）⑵ ②、③两条常被称为关于有限交、无限并封闭；⑶ 当T 1 =Ф时，1A A φ∈=∈ T T , 这一点在①中已有规定，因此以后验证③成立只需对T 1 ≠Φ验证即可；⑷ 有拓扑空间的定义和度量空间开集的基本性质知，度量空间都是拓扑空间.关于这一点还有下面的定义：定义1.1.2 设（X, ρ）是度量空间.令T ρ 是由X 中的所有开集构成的集族，据TH1.0.2，T ρ 是X 的一个拓扑.我们称T ρ为X 的由度量ρ诱导出来的拓扑.约定：说度量空间（X, ρ）的拓扑时，如果没有另外说明，就指T ρ ，称其为拓扑空间时就指（X, T ρ） .因此，实数空间R ，n 维欧氏空间R n (特别，欧氏平面R 2),Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，其拓扑就是其各自的通常度量诱导出来的拓扑.在实数空间中，（11,a a n n -+）是开集，但11(,){}n Z a a a n n∈+-+=不是开集.这说明无限个开集的交不一定是开集.定理1.1.1 设X 是一个拓扑空间，记F 为所有闭集构成的集族.则： ① X,Ф∈F ； ② 如果A,B ∈F ，则A,B ∪F ；① 如果Ф≠F 1 ⊂ F ，则1A A ∈∈F F .证明 ① 由于X,Ф∈T ，所以Ф=X ′，X=Ф′∈F .② 当A,B ∈F 时，有 A ′,B ′∈T ，从而A ′∩B ′∈T ，因此A ∪B = A 〞∪B 〞=（A ′∩B ′）′∈F .③ 令T 1 ={A |A ′∈F 1 },于是T 1⊂ T ，因此1U U ∈∈T T ，从而1111''()()A A A U A A A U ∈∈∈∈'''===∈F F F T F .证毕.注：⑴ ②蕴含着，n>1时，A 1，A 2，…，A n 是闭集，则A 1∪A 2∪…∪A n 也是闭集.即闭对有限并封闭； ⑵ ③中要求F 1≠Ф，因为F 1 =Ф时，1A A ∈F 无意义.例1. 平庸空间设X 是一个集合，令T ={X ,Φ}，容易验证T 是X 的一个拓扑，称为X 的平庸拓扑，称 （X ，T ）为平庸空间.在平庸空间中，有且只有两个开集：X ,Φ；有且只有两个开集：X ,Φ.例2.离散空间设X 是一个集合，令T =P (X)，易知T 是X 的一个拓扑，称为X 的离散拓扑，称（X ，T ）为离散空间.在离散空间中，每一个子集都是开集，每一个子集都是开集.离散空间可以记作（X ，P (X)） .例3. 设X={a,b,c},令T ={Φ ,{a} ,{a,b},X },可以验证T 是X 的一个拓扑，因此（X ，T ）为一个拓扑空间.它既不是平庸拓扑，又不是离散拓扑.说明： 对X={a,b,c}，可以为其构造出29个拓扑，其中平庸拓扑最小，离散拓扑最大.可见对同一个集合，它可以有不同的拓扑.例4.有限补拓扑空间设X 是一个集合，令T ={U ⊂ X | U' 是X 的一个有限子集 }∪{Φ}. 易验证T 是X 的一个拓扑，称其为X 的有限补拓扑，（X ，T ）称为有限补拓扑空间.下面验证T 满足拓扑定义中的③成立设T 1 ⊂ T ，若T 1 = Φ，则1A A φ∈=∈ T T ；若存在A 0≠Ф, A 0∈T 1 ,则110)(A A A A A ∈∈'''=⊂ T T 是X 的有限子集，所以1A A ∈∈ T T .所以③成立.问题：当X 是一个有限集合时，X 的有限补拓扑空间又是已知的什么拓扑空间 ？例5. 可数补拓扑空间设X 是一个集合，令T ={U ⊂ X | U' 是X 的一个可数子集 }∪{Φ}. 易验证T 是X 的一个拓扑，称其为X 的可数补拓扑，（X ，T ）称为可数补拓扑空间.（课下验证）问题：当X 是一个可数集合时，X 的可数补拓扑空间又叫做什么拓扑空间 ？（离散拓扑空间） .当X 是有限时，与什么空间是同一个空间？（有限拓扑空间）三、邻域与邻域系、聚点、导集，闭集，闭包1. 邻域邻域系的定义定义1.1.3 设（X ,T ）是一个拓扑空间，x ∈X,U ⊂ X ,如果存在开集V ∈T 使得x ∈V ⊂ U ，则称U 是x 的一个邻域.点x 的所有邻域构成的集族称为点x 的邻域系.由定义，若U 是包含x 的开集，那么它一定是x 的一个邻域，称U 是点x 的一个开邻域.说明：由于X 的子集A 是X 作为度量空间的开集与A 是X 作为拓扑空间的开集是一回事，所以包含x 的集合U 是X 作为度量空间x 的邻域⇔U 是X 作为拓扑空间x 的邻域.定理1.1.2 X 是一个拓扑空间， U ⊂X ， 则U 是X 的一个开集⇔U 是其内每一点的邻域.证明：“⇒”显然.“⇐” 若U =Φ，则结论成立.若U ≠Φ，由条件对每一个x ∈U ，存在开集V x 使x ∈V x ⊂U ，因此{}x x U x U U x V U ∈∈=⊂⊂，所以x x U U V ∈= 为开集.推论 U 是X 的一个开集 ⇔ U 可以表示为开邻域之并.2. 导集，闭集，闭包的概念定义1.1.4 设X 是拓扑空间，A ⊂X ，x ∈X ，如果对x 的每一个邻域U 都有U ∩(A-{x})≠Φ,则称点x 是集合A 的一个聚点.集合A 的所有聚点构成的集合称为A 的导集，记作d(A).如果x ∈A ，并且x 不是A 的凝聚点，既存在x 的一个邻域U 使得U ∩(A-{x})=Φ，则称点x 是集合A 的一个孤立点.集合A 与A 的导集d(A)的并A ∪d(A)称为集合A 的闭包，记作A 或A -.即A = A ∪d(A) .说明 (1)A 的孤立点一定的属于A ，但A 的极限点不一定属于A ；(2)凝聚点、孤立点、导集都是相对于X 的某个拓扑而言的，它与拓扑有关. 因此在谈这些问题时一般都需要明确是相对于那个拓扑来说的.同时也可知：(3) 欧氏空间中有关这几个概念的结论在一般拓扑空间中不见得的成立.(4)若A ⊂d(A)，则称 A 为自密集，若A =d(A)，则称A 为完全集.若d(A)∩A=Φ，则称A 为孤立点集.(5)在离散空间中，由于d(A)=Φ，既没有任何极限点，所以任何子集都是闭集.（我们已知任何子集是开集）.而在平庸空间中，d({x.})=X-{x.}，若A 多于一个点，则d(A)=X，所以在平庸空间中任何真子集都不是闭集3. 导集，闭集，闭包的性质定理1.1.3 设X是一个拓扑空间A⊂X，则①d(Φ)=Φ②若A⊂B，则d(A)⊂d(B)③d(A∪B) =d(A)∪d(B) ④d(d(A))⊂A∪d(A)证明①由于对于每一点x∈X和点x的任何一个邻域U有U∩(Φ-{x})=Φ,所以x∉d(Φ),因此d(Φ)=Φ .②如果x∈d(A),U是x一个邻域,由于U∩(A-{x})≠Φ,所以U∩(B-{x}) ≠Φ，因此x∈d(B).这证明了d(A)⊂ d(B) .③据②及A,B⊂ A∪B得知d(A)，d(B)⊂ d(A∪B)，所以d(A)∪d(B)⊂d(A∪B)，下证d(A∪B)⊂ d(A)∪d(B) .设x∈d(A∪B)，则对x的任何一个邻域U有U∩(A∪B -{x})≠Φ，即U∩[(A-{x})∪(B-{x})]= [U∩(A-{x})]∪[U ∩(B-{x})]≠Φ，所以U∩(A-{x})≠Φ或U∩(B-{x})≠Φ，所以x∈d(A)或x ∈d(B)，所以x∈d(A)∪d(B)，所以d(A∪B) = d(A)∪d(B) .④设x∉ A∪d(A)，则 x∉A 且 x∉d(A) ，所以存在x的一个邻域U 使U ∩(A-{x})=Φ，任意选取x的一个开邻域V，使得V⊂U ，这是我们也有V∩(A-{x})=Φ ,由于x∉A ，所以V∩A =Φ，这也就是说，V中的任何一个点都不是A中的点，因此对于任何y∈V，有V∩(A-{y})=Φ,由于V是y的一个邻域，因此y不是A的凝聚点，即y∉d(A) .这说明V中没有A的任何一个凝聚点.于是x有一个邻域V与A的导集d(A) 无交，即V∩d(A)=Φ，所以V∩（d(A)-{x}）=Φ，所以 x∉d(d(A)).将以上给出的论证概括起来便是：只要x∉ A∪d(A)，便有x∉d(d(A))，这就是说d(d(A))⊂A∪d(A) .证毕.注：d(d(A))⊄d(A)，d(A)⊄ d(d(A)).定理1.1.4 设X是一个拓扑空间，A⊂X，则A是闭集⇔d(A)⊂A.证明“⇒”设A是闭集，则A'是开集，如果x∉A，则x∈A'，则A'是x的一个邻域，它满足条件：A∩A'=Ф，因此x∉d(A).于是我们有d(A)⊂A.“⇐”设d(A)⊂A.如果x∈A' ，则x∉A，所以x∉d(A)，由聚点的定义x有一个邻域U 使U ∩(A-{x})=Φ，从而U ∩A=Φ，也即U ⊂ A'，这证明，对于任何x ∈A'，A'是x 的一个邻域，因此A'是开集.定理1.1.5 拓扑空间X 的子集A 是闭集 ⇔ A A = .证 A 为闭集⇔ d(A) ⊂A ⇔ A ∪d(A)=A,即A A = .定理1.1.6 X 是拓扑空间，对于任意的集合A,B ⊂X ，有① φφ= ； ② A A ⊂ ； ③ A B A B = ； ④ A A =证明 … …用到 d(A ∪B) =d(A)∪d(B) 和d(d(A))⊂A ∪d(A)定理1.1.7 拓扑空间X 的任何一个子集A 的闭包都是闭集.定理1.1.8 设X 是拓扑空间，F 是由空间X 中所有的闭集构成的族，则对于X 的每个子集A ，有,B B A A B ∈⊃=F .即集合A 的闭包等于包含A 的所有闭集之交.证明 由于A 包含于,B B A B ∈⊃F ，然而后者是一闭集，所以,B B A A B ∈⊃⊂F ；另一方面，因为A 是闭集，并且A A ⊂ ，所以,B B A B A ∈⊃⊂F ，所以,B B A A B ∈⊃=F .说明 因A 是包含A 的闭集，而由定理，又包含于任何一个包含A 的闭集之中.因此我们有结论：一个集合的闭包是包含着这个集的最小闭集.定理1.1.4 设X 是一个拓扑空间，A ⊂X ，则 φ≠U A ；⑵(()())A B A B d A d B ⊂⊂⊂若，则；⑶ A B A B ⊂ ，由⑵可得.一个令人关心的问题是，是否拓扑空间真的要比度量空间的范围更广一点？ 换句话说，是否每一个度量空间都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X ，T ）是拓扑空间.如果存在X 的一个度量ρ使得拓扑T 就是由ρ诱导出来的拓扑T ρ ，则称（X ，T ）是一个可度量化空间.注： ⑴是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？ 回答是否定的.因为由§2.1习题2可知，每一个只含有限点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间.然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量的.例2.2.3给出的拓扑空间含三个点，但不是离散空间，就不是可度量化的；⑵ 由此看来，拓扑空间确实比度量空间范围更广；⑶ 拓扑空间在什么条件下可度量化？后面将由专门讨论.二 拓扑空间之间的连续映射及同胚1. 拓扑空间之间的连续映射及性质定义2.2.4 设X 、Y 是两个拓扑空间，f:X →Y ,如果Y 中每个开集U 的原像f -1(U )是X 中的一个开集，则称f 是从X 到Y 的一个连续映射，或简称映射f 连续.问题：常值映射连续吗？——连续.可见连续映射不一定是一一映射.注 设X 、Y 是两个度量空间，f:X →Y 连续.由于视X,Y 为拓扑空间时，其开集与X,Y 作为度量空间时的开集一样，所以由该定义和Th2.1.4知，X,Y 都作为拓扑空间时，f:X →Y 也连续.可见拓扑空间的连续是度量空间之间连续的推广.定理2.2.1 设X 、Y 、Z 是拓扑空间，则② 恒同映射i X ：X →X 是一个连续映射；③ 如果f:X →Y 连续，g:Y →Z 连续，则g.f ：X →Z 也连续.证明 ①如果U 是X 的一个开集，则1()X i U =U,当然也是X 的开集，所以i X连续.② 设f:X →Y 连续，g:Y →Z 连续，设W 是Z 的开集,由于g 连续，所以g -1(W)是Y 中开集；又因为f 连续，所以f -1[g -1(W)]是X 中的开集.因此（g.f ）-1（W ）=f -1[g -1(W)]是X 中的开集.这证明g.f 连续.2. 拓扑空间之间的同胚及性质在数学的许多学科中都涉及两类基本对象.例如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合与映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等.并且对于后者都要提出一类予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的一一映射，以及初等几何中的刚体运动（即平移加旋转）等等，我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射.下面将从连续映射中挑出一类予以关注.这就是同胚映射.定义2.2.5 设X 和Y 都是拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1 都连续，则称f 是一个同胚映射或同胚.注：⑴ 直观上说，f 连续表示不撕裂， f -1 连续表示不粘连.f:X →Y 是一个同胚，表示X 到Y 不撕裂、不粘连.⑵ 映射f 是一一映射，一定连续吗？不见得连续.如，设f:Q →Z + 是一一映射（因为有从Q →Z +的单射，也有从Z +→Q 的单射，据定理1.7.9有这样的一一映射f ）若取Q 的拓扑为平庸拓扑，Z +的拓扑为离散的拓扑，则f 不连续.⑶ 连续的一一映射一定同胚吗？不一定.如，令X=R n ,取它的拓扑为离散拓扑，Y= R n ,取它的拓扑为通常度量诱导的拓扑.映射:n R i X Y →是连续的、一一的，但1n R i -不连续.11,{})(){}n R a X a i a a --∈=为开集，但(在Y 中是闭集.所以:n R i X Y →不是同胚. 定理2.2.2 设X 、Y 、Z 是拓扑空间，则① 恒同映射i X ：X →X 是一个同胚；② 如果f:X →Y 是一个同胚，则f -1： Y →X 也是一个同胚；④ 如果f:X →Y 和g:Y →Z 都是同胚，则g.f ：X →Z 也是一个同胚.证明：（以下证明中的根据，可见定理2.2.1，定理1.5.3，定理1.5.4） ① 恒同映射i X 是一个一一映射，并且i X =i X -1 都是连续的，从而i X 是一个同胚.② 设f:X →Y 是同胚，因此f 是一个一一映射，并且f 和f -1都是连续的. 于是f -1也是一个一一映射并且f -1和(f -1)-1=f 也都连续，所以f -1： Y →X 也是一个同胚.③ 如果f:X →Y 和g:Y →Z 都是同胚，因此f 和g 是一个一一映射,并且f和f -1,，g 和g -1 都是连续的，因此g.f 也是一一映射，并且g.f 和（g.f ）-1 = f -1 .g -1都是连续的，所以g.f ：X →Z 也是一个同胚.定义2.2.6 设X 、Y 是拓扑空间，如果存在一个同胚f:X →Y ，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚与Y .定理2.2.3设X、Y、Z是拓扑空间，则①X与X同胚；②若X与Y同胚,则Y与X也同胚；③若X与Y同胚,则Y与Z同胚,则X与Z也同胚.证明：从定理2.2.2直接可得.说明：⑴在拓扑空间组成的族中，同胚关系是一个等价关系.因此同胚关系将拓扑空间族分成互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚.⑵拓扑空间的某种性质P，如果为某一拓扑空间所具有，则与其同胚的拓扑空间也具有，则称性质P是一个拓扑不变性质或拓扑不变量.简言之，拓扑不变性是同胚的拓扑空间都具有的性质.例如后面将要讨论的集合为开集、闭集、点集的闭包与导集、点的邻域、序列的收敛性以及拓扑空间的连通性、紧致性等都是拓扑不变性质.拓扑不变性质简称拓扑性质.⑶拓扑学的中心任务就是研究拓扑空间的拓扑不变性质.研究拓扑空间的拓扑性质很有意义.如果我们研究某一问题时，研究的是这一空间的拓扑性质，我们可以转化为对其同胚空间的研究，这样就有可能使某些难处理的问题变得简单.当然，证明两个空间的同胚有时是非常困难的事情.实际上我们常常利用拓扑性质来区分空间，说明它们不同胚.一个空间有拓扑性质P，而另一个空间没有性质P，则这两个空间就一定不是同胚的.至此我们已经做完了将数学分析中的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学史上经过了很长时间才完成的工作.在数学的发展过程中，对所研究的问题不断地加以抽象这种做法屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某个方面）的精髓而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程.也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容.拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有了更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量处理的映射空间）.这一些我们在学习过程中必然会不断地加深体会.为了对新旧概念的区别有更加深刻的印象，在这两节中给出了一些例子.客观地讲这些例子除去欧氏空间（包括实数空间和Hilbert空间）其他都显得有点怪，明显的是为澄清概念而构造出来的.这些例子只是帮助我们更好地掌握拓扑学的工具.不要误认为拓扑学就是数学分析中的连续函数再加上某些不常见的例子.补充命题，见余玄冰编译《点集拓扑》P50-52.命题1 设X,Y都是拓扑空间，f：X→Y和g：Y→X都连续，且g◦f = i X , f◦g = i Y ，则f是同胚，而且实际上g=f-1 .命题2 映射f：X→R连续⇔∀b∈R，{ x | f(x) <b },{ x | f(x) >b }都是开集.命题3 令f , g：X→R连续. 则①|f|α(α>0)是连续的.（|f|α= |f(x)|α）② a f + b g 连续，其中a,b∈R；③ f ·g是连续的；④若在X上，f(x)≠0，则1f是连续的.注：后面证明定理4.2.5 [ Borsuk—Ulam定理]时用到命题3 .。
《连续函数的性质》课件
《连续函数的性质》PPT课件将帮助你了解连续函数的定义、基本性质、中值 定理及其应用、极限与连续函数的关系，以及连续函数在各个领域的应用。
什么是连续函数
连续函数是一种在数学上具有特殊性质的函数，其定义表明了它在数学中的重要地位。连续函数的图像通常具 有平滑的曲线。
连续函数的基本性质
连续函数的零点及其应用
连续函数的零点是指函数与x轴的交点，具有重要的应用价值。
极限与连续函数的关系
极限的定义及其性质
极限是连续函数研究中的基本 概念之一，通过极限可以更深 入地理解连续函数。
连续函数与无穷大的 性质
连续函数在无穷大的情况下也 保持连续性，并展现出独特的 性质。
连续函数与无穷小的 性质
连续函数在无穷小的情况下也 保持连续性，并具有一些特殊 的性质。
连续函数的应用
1
连续函数在物理学、工程学、经济学等领域的应用
连续函数在各个领域中都有广泛的应用，例
连续函数在计算机科学中扮演重要角色，如信号处理、图像处理和模拟仿真等领 域。
四则运算
连续函数可以进行加、减、 乘、除等基本的数学运算， 保持函数的连续性。
复合运算及其性质
连续函数可以进行复合运算， 从而构建更复杂的函数。
配合极限的连续函数的 性质
连续函数可以与极限一起使 用，使得函数的性质更具深 度。
连续函数的中值定理及其应用
微积分中的中值定理
中值定理是微积分中的重要定理，通过研究连续函数的中值可以得到有用的结果。
总结与思考
连续函数的特点和应 用
连续函数具有连续性、平滑性 等特点，并广泛应用于各个学 科领域。
连续函数的研究方向
未来的研究可以探索连续函数 在更高维度、更复杂情况下的 性质及应用。
连续映射把开集映成开集证明
连续映射把开集映成开集证明
连续映射是把一个拓扑空间映射到另一个拓扑空间的函数，其重要性在于保持了连续性这一关键性质。
连续映射在数学、物理等领域有着广泛的应用。
本文将探讨连续映射把开集映成开集的证明，并分析其意义。
首先，我们来了解一下连续映射的定义和性质。
连续映射的定义：设f是由拓扑空间X到拓扑空间Y的映射，若对于X中的任意点x，在Y中存在邻域U，使得f(X)U，则称f为连续映射。
连续映射的性质：
1.保距：连续映射保持距离不变。
2.保凸：连续映射保持凸集不变。
3.逆映射连续：连续映射的逆映射也是连续的。
接下来，我们定义开集，并探讨其性质。
开集的定义：在拓扑空间X中，若集合A中的任意点x，都有周围的邻域N(x)A，则称集合A为开集。
开集的性质：
1.空集和全集X都是开集。
2.任意两个开集的并集仍是开集。
3.任意开集的补集是闭集。
现在，我们来证明连续映射把开集映成开集。
证明：设f是由拓扑空间X到拓扑空间Y的连续映射，X中的开集为A，Y 中的开集为B。
任取Y中的点y，由于f是连续的，存在X中的开集U，使得
f(U)B。
又因为U是X的开集，所以f(A)f(U)B。
故连续映射f把开集A映成了开集B。
综上所述，我们证明了连续映射把开集映成开集，并分析了其意义。
这一结果进一步彰显了连续映射在拓扑学中的重要作用。
在实际应用中，连续映射保持集合的性质，使得在研究复杂问题时，可以简化问题并保持问题的本质特征。
度量空间中的自列紧集、紧集、连通集与连续映射.docx
自列紧集(列紧闭集)与连续映射1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。
证明：设X、Y是度量空间，A是X的自列紧子集。
设f:A—Y是连续映射，象集％B= f(X)cY0设｛yj是B的序列。
对任意正整数k,设y#的某个原象是\ e Ac X ,这样得到X的序列｛%｝。
因为X是自列紧集，存在｛%｝的子列｛%｝收敛于XoGXo因为f:A—Y连续，所以序列｛&｝ = "(&)｝收敛于f(Xo)eB0｛&｝ = ｛“£)｝是仪｝的子序列，故象集B 是自列紧集。
所以自列紧集在连续映射下的象是自列紧集。
2.度量空间的自列紧子集到实数集连续映射可以取到最大最小值。
证明：设X是度量空间，A是X的自列紧子集。
设f :A T R是连续映射，象集为B二f(X|cR。
那么B是自列紧集。
由于实数集中的自列紧集是有界闭集，而有界闭集一定有最大最小值(若无，可构造出收敛于确界的序列，那么确界便为聚点，矛盾)。
所以f ：A->R可以取到最大最小值。
3.R n的非空子集有最值性质(任意到R的连续映射有最大最小值)当且仅当它是自列紧集。
证明：充分性：度量空间的自列紧子集具有最值性质已证。
IT1是度量空间，所以R11的非空自列紧子集有最值性质。
必要性：假设A是Rn的非自列紧子集，则A是无界或不闭的(R*中自列紧集等价于有界闭集)。
(1)若A无界，定义函数f(x) = ||x||,该函数连续但是没有最大值。
(2)若A不闭，存A的序列｛\｝收敛于点X Q EA。
定义函数f(x) = ||x—X Q H,该函数没有最小值，因为它可以任意接近于0但是取不到0。
综上，R11的非自列紧子集不具有最值性质。
所以IT的非空子集有最值性质当且仅当它是自列紧集。
紧集与连续映射1.度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。
证明：设X、Y是度量空间，A是X的紧子集。
设f:A->Y是连续映射，象集为B= f(X)cY0设B的一个开覆盖为G。
连续函数的性质
存在 x 0 D , 使得对一切
x D , 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ),
则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值
点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
例如,符号函数
y sgn x 的最大值为1,最小值为-1;
我们知道,常函数 与线性y函=数c 都是 R 上 y = x
的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
P( x) a0 a1x L an xn
也是连续函数.
同理,有理函数
P(x) Q( x)
a0 b0
a1 x L b1x L
an xn bm xm
(分母不为零)同样是连续函数.
正弦函数 y sin x的最大值为1,最小值为-1;函数
y x [ x] 的最大值不存在,最小值为零.注意: y sin x 在( π , π )上 既无最大值,又无最小值.
22
(其上确界为1, 下确界为-1 )
定理4.6（最大、最小值定理）
若函数 f ( x) 在闭区
间[a ,b]上连续，则 f ( x) 在 [a ,b]上有最大、最小值.
定理4.4（连续函数的四则运算）
若函数 f ( x), g( x)
均在点x0连续,则函数
(1) f ( x) g( x), (2) f ( x) g( x),
(3) f ( x) g( x), (4) f ( x) / g( x), g( x0 ) 0 在点x0也是连续的 .
此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得 到, 具体过程请读者自行给出.
这就证明了 g( f ( x)) 在点 x0 连续.
连续 函数的运算性质
§1.11连续函数的运算与性质函数改变量：1． 定义：自变量增量0x x x -=∆ 函数增量0y y y -=∆ 二、 连续函数的概念： 1．（增量法定义）0lim 0=∆→∆y x例1 证明：2x y =在给定的点0x 处连续。
2．()()00lim x f x f x x =→①()x f 在点0x 有定义②()x f x x 0lim →存在③()()00lim x f x f x x =→3．[]b a ,上的连续函数 ①在区间),(b a 上每一点连续。
②在端点b a ,上左、右连续 例 2 证明：x y sin =在),(+∞-∞上连续。
分析：()+∞∞-∈∀,0x00sin )sin(x x x y -∆+=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⋅∆=2cos 2sin 20x x x 02sin lim 0=∆→∆xx 12cos 0≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+x xlim 0=∆→∆y x三、 函数的间断点 1．函数的间断点定义：①()x f 在点0x 无定义②()x f x x 0lim →不存在③()()00lim x f x f x x ≠→例1 讨论xy 1=在0=x 处的连续性。
例2 讨论下列函数在1=x 处的连续性。
01<-x x ()=x f 00=x 01>+x x例3 讨论函数()=x f 11=x在1=x 处的连续性。
例4 （补充题型：有关补充定义、改变定义）P93/27（3）给()xmkx x f +=1ln )(补充定义一个什么数值，能使)(x f 在点0=x 处连续2．间断点的分类：（补充）（左=右） 可去间断点 间 第一类间断点 （左≠右） 断（左、右极限都存在） 跳跃间断点 点 第二类间断点（左、右极限至少有一个不存在） 四、 连续函数的运算法则1． 四则运算法则 定理1 四则运算保持连续性 定理2 复合运算保持连续性 定理 3 基本初等函数在其定义域内都是连续函数。
连续映射——精选推荐
因此 A f 1( f ( A)) ,因此 A f 1( f ( A)) ,由于 f ( A)为 Y 中闭
集,因此, f 1( f ( A)) 为 X 中闭集,因此 f 1( f ( A)) = f 1( f ( A)) , 因此 A f 1( f ( A)) ,因此有 f ( A) f( f 1( f ( A))) f ( A).
习 题 §3.1 1. 证明 (1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射是连续映
射.
(2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映
射. 2. 设 (X ,T1),(X ,T2) 是相对于同一基础集的两个拓扑
空间,证明 (1) 恒同映射 iX : (X ,T1) (X ,T2) 连续的充要条件中是 T1
第三章 连 续 映 射
§3.1 连续映射 §3.2 连续映射与邻域基,拓扑基 §3.3 连续性与闭集,闭包,内部
§3.1 连续映射
重点：连续映射的定义与性质 难点：同胚映射与同胚空间
定义 3.1.1 设( X,T1 )和 (Y,T2) 是两个拓扑空间, f: X Y , 如果对于每一个 U∈ T2 ,都有 f 1(U ) T1 ,换句话讲,如果 Y 中每一个开集 U 的原象 f 1(U )是 X 中的一个开集,则称 f 是从拓扑空间( X ,T1 )到拓扑空间 (Y,T2) 的一个连续映射,或 简称 f 是从 X 到 Y 的一个连续映射,或更简单地,映射 f 连 续.
射,而且 f 1和( f )1 1 f 也都是连续映射,因此, f 1也是 一个同胚.
(3) 设 f : X Y ,g :Y Z 都是同胚,因此 f 和 g 都 是一一映射,并且 f, f 1 g, g 1都是连续的,因此 g f 是 一个一一映射而且 g f 和 g 1 f 1 (g f )1都是连续 的,因此 g f 是一个同胚.
连续函数的基本性质
第八节 连续函数的基本性质一．初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；（3）)()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，x x x y cos sin tan ==在2ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。
2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0lim 。
注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。
（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 00x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。
即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。
例1：求下列极限（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞→ （2）xx x )1ln(lim 0+→ （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。
度量空间中自列紧集、紧集、连通集与连续映射
开集与连续映射1.定义在度量空间的开子集上的函数,连续⇔开集的逆象是开集。
证明：设X 、Y 是度量空间，A 是X 的开子集，设有映射:f A Y →。
(1)充分性:设映射:f A Y →连续，需证开集的逆象是开集。
设S 是Y 的任一开子集，并设S 的逆象是()1R f S -=。
任取x R ∈，那么()f x S ∈。
因为A 是开集，所以存在正数x σ使得(),x U x A σ⊆。
因为S 是开集，所以存在正数x ε使得()(),x U f x S ε⊆。
因为:f A Y →是连续映射，故存在正数x τ使得()()()(),,x x f U x A U f x S τε⋂⊆⊆。
设{}min ,x x x δστ=,那么()(),,x x U x U x A δσ⊆⊆且()(),,x x U x U x δτ⊆，所以()()()()()()()(),,,,x x x x f U x f U x A f U x A U f x S δδτε=⋂⊆⋂⊆⊆，那么(),x U x R δ⊆。
所以S 的逆象()1R f S -=是开集。
(2)必要性:设开集的逆象是开集，需证映射:f A Y →连续。
任取x A ∈。
任取正数x ε，设()(),x S U f x ε=，显然S 是Y 的开子集。
设S 的逆象是()1R f S -=，那么R 是开集，所以存在正数x δ使得(),x U x R δ⊆ 。
因为()1R f S -= ，所以 ()()(),x f R S U f x ε⊆= 。
又因为(),x U x R δ⊆，所以()()()()(),,x x f U x f R S U f x δε⊆⊆= 。
所以映射:f A Y →连续。
自列紧集(列紧闭集)与连续映射1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。
证明:设X Y 、是度量空间，A 是X 的自列紧子集。
设:f A Y →是连续映射,象集为()B f X Y =⊆。
连续映射与同胚
连续映射与同胚连续映射和同胚是数学中重要的概念，它们在拓扑学、函数分析等领域有着广泛的应用。
本文将介绍连续映射和同胚的定义、性质以及它们之间的关系。
一、连续映射的定义与性质在数学中，连续映射是指保持拓扑结构的映射。
具体来说，设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。
如果对于任意开集V⊆Y，其原像f^(-1)(V)是X中的开集，那么f被称为连续映射。
连续映射具有以下性质：1. 保持拓扑结构：连续映射将开集映射为开集，闭集映射为闭集。
2. 保持极限：如果序列{x_n}收敛于x，则映射后的序列{f(x_n)}收敛于f(x)。
3. 保持连通性：如果X是连通的，则映射后的空间f(X)也是连通的。
二、同胚的定义与性质同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射和其逆映射都是连续映射。
具体来说，设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个双射。
如果f和f^(-1)都是连续映射，那么f被称为同胚映射，X和Y 被称为同胚的。
同胚具有以下性质：1. 保持拓扑结构：同胚映射将开集映射为开集，闭集映射为闭集。
2. 保持连通性：如果X是连通的，则Y也是连通的。
3. 保持紧致性：如果X是紧致的，则Y也是紧致的。
三、连续映射与同胚的关系连续映射和同胚之间存在一定的关系。
具体来说，如果一个映射是同胚的，那么它一定是连续的。
但是反过来，并不是所有的连续映射都是同胚的。
举个例子来说明这个关系。
考虑实数集R上的两个拓扑空间，一个是R上的标准拓扑，另一个是R上的离散拓扑。
映射f:R→R定义为f(x)=x，这个映射是连续的，但不是同胚的。
因为在标准拓扑下，R是连通的，而在离散拓扑下，R是不连通的。
四、应用举例连续映射和同胚在数学中有着广泛的应用。
在拓扑学中，同胚可以用来刻画拓扑空间之间的等价关系。
在函数分析中，连续映射和同胚可以用来研究函数的性质和变换。
举个应用的例子来说明。
考虑一个平面上的圆和一个正方形，它们是两个不同的拓扑空间。
通过一个映射f，我们可以将圆映射为正方形，使得映射后的图形保持原有的拓扑结构。
§11.3连续映射的性质
§11.3 连续映射的性质一、紧集上的连续映射 上一节关于连续映射的定义是：“定义11.2.4' 设D 是n R 上的开集，0x D ∈为一定点，f 是从D 到m R 上的映射（向量值函数）。
如果()()00lim x x f x f x →=，则称映射f 在点0x 连续。
用“εδ-”语言来说就是：若对()000,x o x εδδ>>∈任给的，存在，使得当时，成立()()0f x f x ε-<（即()()()0,f x o f x ε∈）则称f 在点0x 连续。
如果映射f 在D 上每一点都连续，就称f 在D 上连续。
这时称映射f 为D 上的连续映射。
”现在将上述定义中的“D 是开集”推广到n R 上任意点集。
定义11.3.1 设点集n K R ⊂，0x K ∈为一定点，f 是从K 到m R 上的映射（向量值函数）。
若()000,x o x K εδδ>>∈ 任给，存在，使得当时，成立()()0f x f x ε-<（即()()()0,f x o f x ε∈）则称f 在点0x 连续。
如果映射f 在点集K 上每一点都连续，就称f 在K 上连续。
这时称映射f 为K 上的连续映射。
也就说，当0x 是K 的内点时，这就是原来的定义11.2.4'；当0x 是K的边界点时，只要求函数在0x 的δ领域中属于K 的那些点（即()0,x o x Kδ∈ ）满足不等式()()0f x f x ε-<。
对于一元函数，我们已经讨论了闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、介值性和一致连续性）。
闭区间上是一维空间中的有界闭集，顺理成章地，在讨论n 维空间n R 上的连续函数的性质时，也应该要求函数的定义域是n R 中的有界闭集，即紧集。
这样，一元函数在闭区间上的性质就可以拓展到多元函数，这也是引进紧集概念的一个原因。
下面先给出紧集上的连续映射的一个重要性质。
紧集与连续映射的性质
紧集与连续映射的性质紧集和连续映射是数学中重要的概念，在拓扑学领域有广泛的应用。
本文将讨论紧集和连续映射的性质，并深入探讨它们的关系。
一、紧集的性质紧集是指具有紧致性质的集合。
紧致性质是指从该集合中选择任何一个开覆盖，都可以找到有限个开集合覆盖整个集合。
接下来我们将详细介绍紧集的性质。
1.紧集的闭子集也是紧集。
证明：设X是一个紧集，A是X的一个闭子集。
如果从X的任何一个开覆盖中包含A，那么从它们中挑选出覆盖A，即可覆盖整个X。
所以A是紧的。
2.有限个紧集的并集也是紧集。
证明：设X1, X2, ..., Xn是n个紧集，如果从它们任意一个开覆盖中选取，可以得到X1, X2, ..., Xn的开覆盖。
由于它们是有限个，所以可以选择其中的一个开覆盖覆盖整个并集。
3.紧集在连续映射下的像也是紧集。
证明：设f: X -> Y是一个连续映射，X是紧集。
我们需要证明f(X)是Y中的紧集。
首先，我们取Y中的一个开覆盖，即{Vi}i∈I，其中I是一个指标集。
那么f^(-1)(Vi)是X中的开集。
由于X是紧集，从这些开集中选择覆盖X的有限个开集，即f^(-1)(V1), f^(-1)(V2), ..., f^(-1)(Vn)。
因为f是一个连续映射，所以f(f^(-1)(Vi)) = Vi，其中i=1,2,...,n。
这样我们得到了一个有限个开集{Vi}i=1,2,...,n，覆盖了f(X)。
即f(X)是紧集。
二、连续映射的性质连续映射是指在定义域和值域中保持距离的映射。
连续映射在数学中有着重要的作用，下面将探讨连续映射的性质。
1.连续映射保持紧集。
证明：设f: X -> Y是一个连续映射，X是紧集。
我们需要证明f(X)是Y中的紧集。
我们可以通过反证法来证明。
假设f(X)是不紧的，即存在Y中的开覆盖{Ui}i∈I，其中I是一个指标集，但无法从中选择有限个开集覆盖f(X)。
然而，由于f是一个连续映射，f^(-1)(Ui)是X中的开集。
度量空间与连续映射
[a，b]={x∈R|a≤x≤b} 却不是R中的开集．因为对于 a∈[a，b]而言， 任何ε＞0，B（x，ε） [a,b] 都不成立．类 似地，半开半闭的区间 （a，b]={x∈R |a＜x≤b}， [a，b)＝{x∈R|a≤x＜b} 无限的闭区问 [a，∞)={x∈R|x≥a} , （－∞，b]={x∈R|x≤b} 都不是R中的开集．
1
（2）* 蕴涵（2）． 设（2）* 成立． 对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域， 即 存在包含 f（x）的一个开集V U．
f （U）． 从而 x∈ f （V）
1 1
f （V）是一个开集， 根据（2）*，
1 f 所以 （U）是x的一个邻域，
1
因此 对于x而言，（1）*成立， 于是 f在点x处连续． 由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．
三、连续映射
1、定义 •定义2.1.5 设X和Y是两个度量空间，f: X→Y， x0 x0 以及 ∈X如果对于f( )的任何一个球形邻域 x0 x0 B（f( ),ε），存在 的某一个球形邻域 x0 x0 x0 B( ,δ),使得f(B（ ,δ）) B(f( ),ε), x0 则称映射在 点处是连续的．
即：A为度量空间X的开集 a A, B (a, ) A.
•球形邻域都是开集
def
例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．
设a，b∈R，a＜b．我们说开区间 （a，b）={x∈R|a＜x＜b} 是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b）， 若令ε＝ min{ x- a，b- x}， 则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明 无限的开区间 （a，∞）＝{x∈R|x＞a}， （-∞，b）＝ {x∈R|x＜b} （-∞,∞）＝R 都是R中的开集．然而闭区间
数学分析ch11-3连续函数的性质
对于 K 中所有满足| x' x | 的 x, x成立，则称 f 在 K 上一致连续。
一致连续的映射一定是连续的，但反之不然（参见本节习题 3）。
定理 11.3.4（一致连续性定理） 设 K 是 Rn 中紧集，f : K→ Rm 为
连续映射。则 f 在 K 上一致连续。
2
。因此
f (x) f (x) ≤| f ( x) f (at ) | +| f ( x) f (at ) |
。
22
由定义， f 在 K 上一致连续。
连通集与连通集上的连续映射
定义 11.3.3 设 S 是 Rn 中点集，若连续映射
: [0,1] R n
的值域全部落在 S 中，即满足 ( [0,1]) S，则称 为 S 中的道路， (0) 与 (1)分别称为道路的起点与终点。
定义 11.3.4 连通的开集称为（开）区域。（开）区域的闭包称 为闭区域。
例如，若 a Rn ，那么开球 S = { x Rn | | x a | r }
是区域；集合 S = { x Rn ai xi bi , i 1,2,, n}
也是区域。请读者思考如何为上述 S 上任意两点构造相应的道路（连 续映射）。
若 S 中的任意两点 x，y 之间，都存在 S 中以 x 为起点，y 为终点 的道路，则称 S 为（道路）连通的，或称 S 为连通集。
直观地说，这意味着 S 中任意两点可以用位于 S 中的曲线相联结 （见图 11.3.1）。
x
y 图 11.3.1 显然 R 上的连通子集为区间，而且 R 上的连通子集为紧集的充要 条件为：它是闭区间。
定理 11.3.5 连续映射将连通集映射成连通集。 证 设 D 是 Rn 中的连通集， f : D Rm 为连续映射，现证明 f 的 像集
连续映射把开集映成开集证明
连续映射把开集映成开集证明摘要：一、连续映射的定义与性质1.定义连续映射2.连续映射的性质二、开集的定义与性质1.定义开集2.开集的性质三、连续映射将开集映成开集的证明1.证明思路2.证明过程正文：一、连续映射的定义与性质连续映射是指，对于拓扑空间(X, T) 和(Y, T")，如果从X 到Y 的映射f：X → Y 满足以下条件：1.对于X 中的任意一个元素x，f(x) 都在Y 中；2.对于X 中的任意一个开集U，f(U) 也在Y 中，且在f(U) 中任取一个元素y，总存在一个开集V，使得f(V) 包含于f(U)，并且V 中的每个元素x 都有f(x) = y。
连续映射具有以下性质：1.连续映射的复合是连续映射；2.连续映射的逆映射是连续映射；3.连续映射保持开集。
二、开集的定义与性质开集是指拓扑空间中的一种特殊子集，满足以下条件：1.空集和全集是开集；2.任意两个开集的并是开集；3.任意一个开集的极限是开集。
开集具有以下性质：1.开集中的元素是开点；2.开集的补集是闭集；3.开集的任意子集是开集。
三、连续映射将开集映成开集的证明我们要证明：对于拓扑空间(X, T) 和(Y, T")，连续映射f：X → Y，若U 是X 中的一个开集，则f(U) 是Y 中的一个开集。
证明思路：1.证明f(U) 非空；2.证明f(U) 是开集。
证明过程：1.证明f(U) 非空：因为U 是开集，所以U 中存在一个元素x0。
由连续映射的定义可知，f(x0) 存在，即f(U) 非空。
2.证明f(U) 是开集：任取f(U) 中的一个元素y0，需要证明存在一个开集V，使得f(V) 包含于f(U)，并且V 中的每个元素x 都有f(x) = y0。
由连续映射的定义，存在一个开集V0，使得f(V0) 包含于f(U)，并且V0 中的每个元素x 都有f(x) = y0。
再由开集的性质，V0 是开集，所以V0 的补集是闭集。
连续映射把开集映成开集证明
连续映射将开集映射为开集的证明1. 前言在数学中，连续映射是一种非常重要的概念。
它描述了函数在某个点附近的行为，并且在很多数学领域中都有广泛应用。
其中一个重要的性质是连续映射可以将开集映射为开集。
本文将详细证明这一性质。
2. 定义首先，我们需要明确一些基本概念和定义。
定义1：开集是指对于任意一个点x，存在一个正实数r，使得以x为中心、半径为r的球体完全包含在该集合内。
定义2：连续映射是指对于任意一个点x，对应的函数值f(x)在x附近都非常接近。
换句话说，如果x足够接近某个点a，那么f(x)就会足够接近f(a)。
3. 连续映射将开集映射为开集的证明现在我们来证明连续映射可以将开集映射为开集。
定理：如果函数f:X→Y是一个连续映射，并且U⊆X是一个开集，那么f(U)是Y中的一个开集。
证明：为了证明f(U)是Y中的一个开集，我们需要证明对于f(U)中的任意一点y，都存在一个正实数r′使得以y为中心、半径为r′的球体完全包含在f(U)内。
设y∈f(U)，则存在x∈U使得f(x)=y。
根据连续映射的定义，对于任意给定的正实数r>0，存在一个正实数δ>0，使得当d X(x′,x)<δ时，有d Y(f(x′),f(x))< r。
考虑以x为中心、半径为δ的球体，记作Bδ(x)。
由于x∈U且U是一个开集，所以(x)为中心、半径为r0的球体完全包含在 $U 存在一个正实数r0>0, 使得以x0=B r$内。
接下来我们要构造合适的r′来满足要求。
考虑到如果d X(x′,x)<min{δ,r0}时，则有d Y(f(x′),f(x))<r. 因此我们可以选择r′=min{δ,r0}。
现在我们来证明以y为中心、半径为r′的球体完全包含在f(U)内。
对于任意一个点(x)使得f(x′)=y′。
y′∈B r′(y)，我们有d Y(y′,y)<r′≤δ。
这意味着存在x′∈B r(x)⊆U，所以x′∈U。
连续映射（拓扑学）
连续性还等价于基开集的原像是开集，也等价于子基 开集的原像是开集．
连续映射
第三章连续映 射
连续映射与同 胚
连续映射 同胚 焊接引理
商拓扑与商映 射
商拓扑 商映射
序列的收敛性
Proof. 在证明定理之前，我们首先回顾几个包含式（见命 题??）： 设f : X → Y 是任意映射，A ⊆ X , B ⊆ Y ，则有
设知f −1 f (A) 是X 闭集．所以
有A¯ ⊆ f −1 f (A) = f −1 f (A) ，于是
得f (A) ⊆ f f −1 f (A) ⊆ f (A)．
连续映射
第三章连续映 射
连续映射与同 胚
连续映射 同胚 焊接引理
商拓扑与商映 射
商拓扑 商映射
序列的收敛性
Proof. （4）⇒（5）：假设对X 的任意子集A，有f (A) ⊆ f (A)．下 证对Y 的任意子集B，有f −1 B ⊇ f −1(B)．对集 合f −1(B)应用假设条件，并注意f [f −1(B)] ⊆ B，得
连续映射
第三章连续映 射
连续映射与同 胚
连续映射 同胚 焊接引理
商拓扑与商映 射
商拓扑 商映射
序列的收敛性
Example
常值映射总是连续的． 恒等映射id : (X , T ) → (X , T )也是连续的，但恒等映 射id : (X , T1) → (X , T2)却不一定连续．比如当X 至少含两个 点，T1是平庸拓扑，T2是离散拓扑时，恒等映射就不连 续．一般来讲，恒等映射id : (X , T1) → (X , T2)连续的充分 必要条件是T2 ⊆ T1．
焊接引理
第三章连续映 射
连续映射与同 胚
第1节 映射与变换
如果
fg IS/ , gf IS ,
则称f 是可逆的映射并且称g是f 的逆映射。
映射可逆的条件是什么？可逆映射的逆映射唯 一吗？函数中的反函数与此有关吗？
定理2.2 （1）映射 f : S S /可逆的充分必要条 件是f 是双射。 （2）可逆映射的逆映射是唯一的。
证明 （1）假设f 是可逆的。令f 的一个逆映射为 g : S / S,
则由逆映射的定义知
fg IS/ , gf IS .
对任意的a,b S, 如果 f (a) f (b), 则
单射
a IS (a) (gf )(a) g( f (a)) g( f (b)) gf (b) b
对任意的 a/ S / , 记 a g(a/ ) S, 则
二、映射的复合与逆映射 设有两个映射 S f S / g S // , 定义新的映射
gf : S S // , gf (a) g( f (a))
称gf 是映射f 和g 的复合或乘积。
注释2 （1） 对任意映射 f : S S / , 由单位变换
和映射复合定义容易验证 fIS f , IS/ f f .
2、特殊映射
假设有一个映射 f : S S / . 如1）果若f (S) S / , 即对任意的 y S / , 存在，x均存S在, 使得 y f ( x), 则称f 是S到 S / 的满射; 如果S中不同元素的像也不同，即
a1,a2 S,a1 a2 f (a1 ) f (a2 ) 则称f是S到 S /的一个单射； 如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射.
② 集合S到S自身的映射称为S 的一个变换． ③ 注意 f 表示映射的对应规则。 ④ 区分函数与映射、映射与变换概念之间关系． ⑤ 两个映射相等是指对任意元素，它们的像相等。
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定义11.3.1 设点集，为一定点，是从到上的映射（向量值函数）。 若时，成立
（即） 则称在点连续。
如果映射在点集上每一点都连续，就称在上连续。这时称映射为上 的连续映射。
也就说，当是的内点时，这就是原来的定义11.2.；当是的边界点 时，只要求函数在的领域中属于的那些点（即）满足不等式。
下面先给出紧集上的连续映射的一个重要性质。
定理11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。 证：设是中的紧集，为连续映射。要证明的像集（值域） 是紧集，根据定理11.1.10 (是紧集的任一无限子集都有属于的聚点)，只 要证明中的任意一个无限点集必有聚点属于即可。因为每一个无限点集 都有可列的无限子集（即点列），所以只要证明像集中的任意一个任意一个点列。对于每个，任取一个满足的，则为紧 集中的点列，所以它必有聚点属于，即存在的子列满足
。 再由在点的连续性得
， 即是的一个聚点，因为，所以。因此是紧集。#
按照这个定理，如果是中紧集的连续函数（）， 那么的像集（数集）是中的紧集，因此是有界闭集，进而存在最大数和 最小数。于是就可得到以下紧集上多元函数的两个重要性质：
显然，若映射在点集上一致连续，则必在上连续，但反之不然。不 过下面的定理11.3.4告诉我们，在紧集上的连续映射一定是一致连续的 映射。
定理11.3.4 设是中的紧集，为连续映射，则在上一致连续。
证：对任意给定的，由于在上连续，因此对任意，存在，使得对任 意，只要（即），就有
。 显然所有这样的领域之集是的一个开覆盖。由于是紧集，因此在中必存 有限个开集 覆盖了（即对任意，必存在，使）。
定理11.3.2（有界性）若是中的紧集，是上的连续函数，则在上有 界。
定理11.3.3（最值性）若是中的紧集，是上的连续函数，则在上能 取得最大值和最小值，即存，使得对一切成立
。
二、映射的一致连续性 定义11.3.2 设是中的点集，为映射。如果对任给的，存在，使得对 任意，，都有
， 则称映射在点集上一致连续。
记，则对任意，，不妨设 （），这时
， 从而
。 因此在上一致连续。#
三、连通集与连通集上的连续映射 设，，称点集 为中连结点与点的直线段。 一般地，设是闭区间到的连续映射 即定义在的连续函数组
， 若满足
，， 则称值域 为上连接点与点的连续曲线。
设是中的点集，若上述的连续曲线全部落在中，即，则称连续曲线 为点集中的道路，与分别称为道路的起点与终点。
若中的任意两点之间，都存在以为起点，为终点的道路，则称点集 为连通的，或称为连通集。
显然，实数集上的连通集必是区间，而且为紧集的充分必要条件 是：为闭区间。
连通的开集称为开区域，简称区域。区域的闭包称为闭区域。
定理11.3.5 连续映射将连通集映射成连通集。 证：设是中的连通集，为连续映射，现证明的像集（即值域） 是连通集，即要证明对于中的任意两点与之间，都存在以为起点，为终 点的道路。 设，，，由于是连通的，所以存在连续映射
作业（P133）：1，2.
§11.3 连续映射的性质 一、紧集上的连续映射 上一节关于连续映射的定义是： “定义11.2. 设是上的开集，为一定点，是从到上的映射（向量值函 数）。如果
， 则称映射在点连续。用“”语言来说就是：
若对时，成立 （即）
则称在点连续。 如果映射在上每一点都连续，就称在上连续。这时称映射为上的连
续映射。”
对于一元函数，我们已经讨论了闭区间上的连续函数的性质（有界 性、最值性、介值性和一致连续性）。闭区间上是一维空间中的有界闭 集，顺理成章地，在讨论维空间上的连续函数的性质时，也应该要求函 数的定义域是中的有界闭集，即紧集。这样，一元函数在闭区间上的性 质就可以拓展到多元函数，这也是引进紧集概念的一个原因。
， 使得。于是对于连续（复合）映射来说，有
， 且，。这说明就是中以为起点，为终点的道路。再由的任意性即知是连 通集。#
注意到，对于连续映射，当时，它就是元连续函数，。而我们知道， 上的连通集必是区间，而上的连通紧集就是闭区间。于是有下面的推 论。
推论11.3.1 连续函数将连通的紧集映射成闭区间。 由这个推论便得到类似于闭区间上连续函数的介值性定理： 定理11.3.6（介值定理）设是连通的紧集，是上的连续函数。则可 以取到它在上的最小值与最大值之间的一切值。换言之，的值域是闭区 间。