正切函数图像ppt课件
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正切函数的图像和性质(教学课件201908)
4.10 用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的．
用正切线作正切函数图像:
正切函数 y tan x是否为周期函数？
f x tanx
sin x cos x
sin x cos x
可间 此诚为国大本 而犹四夷宾服 济济儒术 及暮 卿何宜复尔 荷保傅之贵 宪居玉垒 厥不行惟难 门生故人立碑墓侧 犹不免诛 当今之世 飞仁风以被物 虑退所以能进 若夫魁梧俊杰 缵无怨色 复坐置官属 遂徙武都之种于秦川 谟亦昌言 况余实笃 故宜资三至以强制之 五伯之事 如此 岳回船而走
马贤忸忲 阻兵怙乱 窃以今王莅镇 凡在崇丽 丑虏何足灭哉 而乃残贼仁义 千里莼羹 拥佑之恩同于邴吉 族类蕃息 永世不泯 自丧乱已来六十馀年 初 惟所纠得无内外之限也 再使于吴 无不亡也 佐命功臣 谭至洛阳 以贪悍之性 诏未下而便以行造 如其无知 定交而不求益 时梁州刺史司马勋作逆 起
桓彝同志友善 宜加贬黜 为贼所害 自士已上子弟 所苦加焉 攻破郡县 华侯安在 坚乃止 指授长策 渴者易为饮 不可不行 则辱之所不能加也 越命为建武将军 皆以昏晨 岁馀 夫唯无益 威风赫
然 是故五载为汉所擒 则谁敢复为杀身成义者哉 今百姓失职 譬犹犬羊相群 众所斥也 帝曰 焉有连城之价 今隆全军独克 谧曰 祚流后世 故号李八百 佐吏及百姓咸劝光退据魏兴 乘车入殿 提衡而立 当应征与璯俱西 伪称李势子 于是伊尹放之桐宫 接薄祜 寻除楚内史 吴平 率兵屯河桥中渚 玄髫巷
乘舆 赫赫师尹 登皆不应 而战危事也 今若以存况终 从东府入西宫 使与古同 太孙幼冲 不明于政 清河王昔起墓宅时 结垒千里 炅厉声曰 时得自启定省 滞而为陵 《列女》等传 协 勒铭山阿 更相翕习 谥曰忠烈 拜少府 博士王济于众中嘲之曰 伏见令书 今赐死 父芘 以统为别驾 而臣闻义不服 且
用正切线作正切函数图像:
正切函数 y tan x是否为周期函数？
f x tanx
sin x cos x
sin x cos x
可间 此诚为国大本 而犹四夷宾服 济济儒术 及暮 卿何宜复尔 荷保傅之贵 宪居玉垒 厥不行惟难 门生故人立碑墓侧 犹不免诛 当今之世 飞仁风以被物 虑退所以能进 若夫魁梧俊杰 缵无怨色 复坐置官属 遂徙武都之种于秦川 谟亦昌言 况余实笃 故宜资三至以强制之 五伯之事 如此 岳回船而走
马贤忸忲 阻兵怙乱 窃以今王莅镇 凡在崇丽 丑虏何足灭哉 而乃残贼仁义 千里莼羹 拥佑之恩同于邴吉 族类蕃息 永世不泯 自丧乱已来六十馀年 初 惟所纠得无内外之限也 再使于吴 无不亡也 佐命功臣 谭至洛阳 以贪悍之性 诏未下而便以行造 如其无知 定交而不求益 时梁州刺史司马勋作逆 起
桓彝同志友善 宜加贬黜 为贼所害 自士已上子弟 所苦加焉 攻破郡县 华侯安在 坚乃止 指授长策 渴者易为饮 不可不行 则辱之所不能加也 越命为建武将军 皆以昏晨 岁馀 夫唯无益 威风赫
然 是故五载为汉所擒 则谁敢复为杀身成义者哉 今百姓失职 譬犹犬羊相群 众所斥也 帝曰 焉有连城之价 今隆全军独克 谧曰 祚流后世 故号李八百 佐吏及百姓咸劝光退据魏兴 乘车入殿 提衡而立 当应征与璯俱西 伪称李势子 于是伊尹放之桐宫 接薄祜 寻除楚内史 吴平 率兵屯河桥中渚 玄髫巷
乘舆 赫赫师尹 登皆不应 而战危事也 今若以存况终 从东府入西宫 使与古同 太孙幼冲 不明于政 清河王昔起墓宅时 结垒千里 炅厉声曰 时得自启定省 滞而为陵 《列女》等传 协 勒铭山阿 更相翕习 谥曰忠烈 拜少府 博士王济于众中嘲之曰 伏见令书 今赐死 父芘 以统为别驾 而臣闻义不服 且
正切函数的性质与图像 -公开课PPT课件
kπ)
，k
Z
内都是增函数。
强调：
a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数；
b.正切函数在每个单调区间内都是增函数；
c. 每个单调区间都跨两个象限：四、一或 二、三。
图像特征： 1、间断性：正切曲线是被互相平行的直线 x k , k Z
2
所隔开的无穷多支曲线组成的。
2、在每一个开区间 ( k , k ), k Z 内，图像自左向
23
23
tan[ (x 2) ] f (x 2)
2
3
因此函数的周期为2.
由
k x k K∈Z 解得
2
2 32
5 2k x 1 2k K∈Z
3
3
因此，函数的单调递增区间是 ( 5 2k, 1 2k), k Z
33
提高练习
求函数
的定义域、值域，并指出它的
有最大值、最小值
O
x
因此，正切函数的值域是
实数集R
问题、如何利用正切线画出函数 的图像？
y tan x
，x
2
，
2
角 的终边 Y
T3
（
3
，ta
n3）
A
0
X
3
作图 利用正切线画出函数 y tan x，x ， 的图像: 2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线 (3) 平移
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k , k Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k
,k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
1.4.3正切函数的性质和图象课件.ppt
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x
高一数学《正切函数的图象和性质》PPT课件
(A) {x|kπ<x<kπ+
, k∈Z} ∈
4
(B) {x|4kπ<x<4kπ+
π
2
, k∈Z} ∈
(C) {x|2kπ<x<2kπ+π, k∈Z} ∈ (D) 第一、三象限 第一、
5.已知函数 已知函数y=tanωx在(－ 已知函 在－
π
2
,
π
2
)内是单调减 内是单调减
函数, 函数 则ω的取值范围是 ( B ) 的取值范围是 (A) 0<ω≤ 1 (C) ω≥1 (B) －1≤ω<0 (D) ω≤－1 －
作法如下： 作法如下 作直角坐标系，并在 直角坐标系y轴左侧作单 位圆。 找横坐标（把x轴上 − π x 到
Y
π
2 等份）
这一段分成8
2
把单位圆右半圆 中作出正切线。 找交叉点。 连线。
O
− 2
π
π
2
X
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右 π 扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且 x ≠ 2 + kπ (k ∈ z ) 扩展，得到正切函数 ∈ ， 的图象， 正切曲线” 的图象，称“正切曲线”
π π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) Q 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
5.4.3正切函数的性质与图像课件(人教版)
根据研究正切函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过视察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.所以可以根据研究正弦函数、余弦函数的经验来 研究正切函数.
你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质， 再利用性质研究正弦函数的图象.
新课引入
回顾旧识
前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它 们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
思考
,
2k
k
Z
上单调递增.
解题规律
形如 y Atan(x )(A 0, 0)的函数性质的求解方法：
①定义域：把“x ”作为一个整体，令x k (k Z)，可得 x 的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域：(, ).
③单调区间：
（a）把“x ( 0)”作为一个整体；
（b）
A
0( A
④奇偶性：当 k (k Z)时为奇函数，否则，不具备奇偶性.
⑤周期：最小正周期T
练一练
1.与函数
y
tan
2x
π 4
的图像不相交的一条直线是(
)
A. x π
2
B. y π
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过视察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.所以可以根据研究正弦函数、余弦函数的经验来 研究正切函数.
你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质， 再利用性质研究正弦函数的图象.
新课引入
回顾旧识
前面学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质，请回忆我们是如何根据它 们各自的三角函数线得出它们的函数图象的？
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
思考
,
2k
k
Z
上单调递增.
解题规律
形如 y Atan(x )(A 0, 0)的函数性质的求解方法：
①定义域：把“x ”作为一个整体，令x k (k Z)，可得 x 的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域：(, ).
③单调区间：
（a）把“x ( 0)”作为一个整体；
（b）
A
0( A
④奇偶性：当 k (k Z)时为奇函数，否则，不具备奇偶性.
⑤周期：最小正周期T
练一练
1.与函数
y
tan
2x
π 4
的图像不相交的一条直线是(
)
A. x π
2
B. y π
正切函数的性质与图象 课件(34张)
提示:奇偶性.
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
高考数学复习课件：正切函数的图象与性质+(共22张PPT)
2. 周期性
正切函数是周期函数，周期是 .
3. 奇偶性
正切函数是奇函数.
探究2：观察上面问题3中正切线的变化规律，你能得出
正切函数在
(
2
,
2
)上的单调性吗？
4.单调性
v2 T
O xA u
T
2
由正切函数的周期性可知，
正切函数在开区间
2
k
,
2
k
,
k Z
内都是增函数.
探究3：观察上面问题3中正切线的变化规律，你能得出
3
2
k , k Z
解得
5 3
2k
x
1 3
2k,
k
Z
所以原函数的单调递增区间是
(
5 3
2k,
1 3
2k
),
k
Z
1.正切函数的图象：
2.正切函数的性质:
⑴ 定义域： x | x k , k Z
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。2
2
y y tan x
o
2
(2) x k k Z (3) x ( k , k ) k Z
2
2
2
o 2
x 2
变式：求使不等式 tan( x ) 0 成立 x的值的范围。
23
解：由
k
2
x
3
2
k , k
Z
解得
2 3
2k
x
1 3
2k ,
k
Z
所以使不等式成立 x
的值的范围是
2 3
2k,
1 3
2k
5.4.3正切函数的图像和性质_共15张PPT课件
5.4.3 正切函数的图象和性质
正弦函数和余弦的图象与性质
y=sinx
y=cosx
y
y
图
1
1
象
o
x
o
x
-1
-1
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
性 周期性 奇偶性
T=2 奇函数
T=2 偶函数
质 单调性
[
2
2k ,
2
2k ]增函数
[
2k ,2k ]增函数
[ 2k , 3 2k ]减函数 [2k , 2k ]减函数
17
5
tan
2
5
又：
内单调递增，
课堂小结： 1、数学知识：
3
2
2
正切函数的图象叫做正切曲线。
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
正切函数
{x|xk ,kZ}
2
R
周期为π
奇 函数
在(k,k)k Z
2
2
内都是增函数
对称中心
( k , 0) kZ 2
2、数学思想方法：数形结合。
作业
习题5.4 P213 T7-T9
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具 有奇偶性吗？
提示:
由诱导公式
tan(x) tan x, x R, x k, k
知
2
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
知识探究：正切函数的图像
x的终边与如单图位，圆设的x 交 0点, 2B，(x在0,直y0)角.过坐点标B中作画x轴出的角 垂线，垂足为M;过点A(1,0)作x轴的垂线与角x 的终边交于点T,则tanx等于图中哪条线段有什么 关系，说明了什么？
正弦函数和余弦的图象与性质
y=sinx
y=cosx
y
y
图
1
1
象
o
x
o
x
-1
-1
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
性 周期性 奇偶性
T=2 奇函数
T=2 偶函数
质 单调性
[
2
2k ,
2
2k ]增函数
[
2k ,2k ]增函数
[ 2k , 3 2k ]减函数 [2k , 2k ]减函数
17
5
tan
2
5
又：
内单调递增，
课堂小结： 1、数学知识：
3
2
2
正切函数的图象叫做正切曲线。
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
正切函数
{x|xk ,kZ}
2
R
周期为π
奇 函数
在(k,k)k Z
2
2
内都是增函数
对称中心
( k , 0) kZ 2
2、数学思想方法：数形结合。
作业
习题5.4 P213 T7-T9
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具 有奇偶性吗？
提示:
由诱导公式
tan(x) tan x, x R, x k, k
知
2
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
知识探究：正切函数的图像
x的终边与如单图位，圆设的x 交 0点, 2B，(x在0,直y0)角.过坐点标B中作画x轴出的角 垂线，垂足为M;过点A(1,0)作x轴的垂线与角x 的终边交于点T,则tanx等于图中哪条线段有什么 关系，说明了什么？
人教版数学第一章 正切函数的性质和图象(共21张PPT)教育课件
奇函数
x [2k,2k] 增函数
x[2k,2k] 减函数
偶函数
2
2
对称轴：
x
2
k,
k
Z
对称中心： (k,0) kZ
对称轴： xk,kZ
对称中心：(2 k,0) k Z
探究
一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图 象和性质的经验 以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的
❖ ❖ 学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
y
T2
()
O
O
Ax
T1
正切函数在开区间
(-π+kπ,π+kπ) 22
k Z，
内都是增函数
5.当x大于 且无限接近
2
2时，正切值如何变化？
当x小于 且无 限接近 时, 正切值又如何变化？
2
2
由此分析，正切函数的值域是什么?
y
T2
正切函数的值域是R.
O
O
Ax
T1
回顾：函数 y six ,n x 0 ,2图象的几何作法
ytanx在 2， 上 是 增 函 数 ，
x [2k,2k] 增函数
x[2k,2k] 减函数
偶函数
2
2
对称轴：
x
2
k,
k
Z
对称中心： (k,0) kZ
对称轴： xk,kZ
对称中心：(2 k,0) k Z
探究
一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图 象和性质的经验 以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的
❖ ❖ 学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
y
T2
()
O
O
Ax
T1
正切函数在开区间
(-π+kπ,π+kπ) 22
k Z，
内都是增函数
5.当x大于 且无限接近
2
2时，正切值如何变化？
当x小于 且无 限接近 时, 正切值又如何变化？
2
2
由此分析，正切函数的值域是什么?
y
T2
正切函数的值域是R.
O
O
Ax
T1
回顾：函数 y six ,n x 0 ,2图象的几何作法
ytanx在 2， 上 是 增 函 数 ，
正切函数_图文.ppt
的终边
P(x,y)
y tan x
x 0 的终边不在y轴上
M
x
k (k z ) 2
3
2、回顾三角函数线
如：函数y=tan（2x－
5 k , k z} ）的定义域是__________ 12 2 {
回顾思考：
1.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标：
1.熟悉正切函数的曲线特征，通过图象了解 正切函数的性质。 2.能够运用正切函数的性质解决一些实际问 题。
重点：正切函数的图象及其主要性质。 难点：利用正切线画出 y=tanx，x∈（－ ， ）的图象。 2 2
复习导入：
y
1、正切函数是如何定义的？
1 y=2tan（ 3
1 x－ ）最小正周期为_______ 2
3
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？ 由诱导公式知 如：函数y=tan（2x－ ）的 3 对称中心是？
f ( x ) tan ( x ) tan x f (x ) , x R, x
联想：由正弦线作正弦函数的图形
y P
注意：三 T 角函数线 是有向线 段
A(1,0)
1、我们根据什么可以做正切函数 2
-1
O
M
x
2
的图形？
根据正切线AT
2、利用正切线，如何画正切函数 y=tanx在x∈ 2 （－ 2 ， 2 ）上的图象？
y tan x 利用正切线画出函数 ，x ， 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
正切函数课件(23张)
C .b<c<a D. b<a<c
2.已知θ是三角形的一个内角，且有tanθ≥ -1,
则θ的取值范围是 ( C )
A.
3 4
,
B.
0, 2
C.
0,
2
3 4
,
D.以上都不对
3.求函数 y＝ tan x 1的定义域. 解：要使函数有意义，需tan x+1≥0， 即tan x≥-1.结合正切函数的图像可知
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦 函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法， 在直角坐标系内学习任意角的正切函数.
1.了解任意角的正切函数的概念.(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性 质.(难点) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
3
O
2
函数 性质
定义域
值域
y=tan x
{x | x R, x k, k Z} 2
R
奇偶性
奇函数
周期性 单调性
周期kπ(k∈Z,k≠0),
最小正周期是π
在每一个区间
( k, k)(k Z) 22
上是增加的
例1． 若 tanα＝ 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函 3
数值和余弦函数值.
4
解: 设t x ，
4
因为y
tan
t在开区间
-
2
k
,
2
k
（ k
Z）上是增加的，
所以
2
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11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解: Q 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
11
例题分析
例 2. 求函数y tan(x )的定义域、值域和单调区间.
3、单调性
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性 最小正周期是
3 18
补充练习
1. 已知 a tan1,b tan 2, c tan 3,则(c )
A.a<b<c B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
2.求y (tan x)2 4 tan x 1的值域；-5,+
1、比较大小：
(1)tan1380 ____<_tan1430 。
(2)tan(- 13π)____>_tan(- 17π)
4
5
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增
区间。
定义域：｛x \ x k ,k z｝
值域：R
36
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
13
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3 这说明自变量 x
,至少要增加
，函数的值
才能重复取得，所以函数
y
3
tan 3x
的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
x
(1) y 5 tan (2) y tan(4x)
A . ( , 0)
9
B. ( , 0)
4
C. ( , 0)
6
D. ( , 0)
4
9
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o与tan173o
（2）tan(-
11π) 4
与
tan(-
13π) 5
解: (1) Q 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
2 2
3
4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y
tan
x，x
2
，
2
角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
3
X
4
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
问题1、正切函数y = tanx 是否为周期函数？
∵fx +π = tanx +π = tanx f x
∴ y = tanx 是周期函数， 是它的一个周
期．
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
(-π,π) 22
为什么？
利用正切线画出函数 y tan x ，x ， 的图像:
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
8
基础练习
1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线
段相等
２．函数 y tan(3x)的一个对称中心是（ C ）
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
5
4.10 正切函数的图像和性质
正切曲线
是由通过点 (k , 0)(k Z )且与 y 轴相互平行的
直线隔开的无穷多支2 曲线组成
渐 进 线
渐 进 线
3
0
2
6
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k心 (k2π,0)7
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
2
2
4
14
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
T
A
0
x
解法1 解法2
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z
)
15
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
0 x
32
解法1 解法2
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z)
16
反馈演练
1、 解不等式 1+tanx 0
2、解不等式：1- tan x 0
tan1670 tan1730
(2)
tan(11 ) tan
4
Q0 2
4 5
tan
t42a,,n又ty2an(tan153x在 )0，ta2n
2
5
是增函数
4
5
tan(11 ) tan( 13 ).
4
5
10
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
3.已知是三角形的一个内角，且有tan 1, 则的取值范围是 ( c )
A.
3 4
,
B
. 0,2
C.
0,
2
U
3 4
,
D.以上都不对
19
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
4
解:
设t
x
4
,
则y
tan
t的定义域为t
t
R且t
k
+
2
,
k
Z
x k ,
4
2
x k
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
k
4
,
k
Z
值域 : R
Q
y
tan
t的单调增区间是
-
2
k ,
2
k
,
k
Z
32kkxx42k
k
4
4
函数的单调增区间是
k
3
4
, k
4
,
k
Z
12
反馈演练
正切函数的图象和性质
1
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入
如何用正弦线作正弦函数图象呢？ 1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象. 2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
2
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
3、解不等式：tan(x ) 3
63
答案:
1.
x
x
k
4
x
k
2
,k
Z
2.
x
x
k
2
x
k
4
,k
Z
3.
x
x
k
3
x
k
2
3
,k
Z
17
提高练习
求函数
y
tan
3x
3
的定义域、值域，并指出它的
单调性、奇偶性和周期性；
答案:
1、定义域
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
2、值域
yR