博弈论介绍

弈 和 规定或定义一个博弈需设定的几个方面： 博 博弈的局中人 弈 各博弈方各自可选择的全部策略或行为的集合 论
博弈方的得益
博弈论
博弈论就是系统研究用上述方法定义的各种各样的博弈问题，寻求各 博弈方合理选择策略的情况下博弈的解，并对这些解进行讨论分析的理论。
博弈的相关概念
局中人：指的是博弈中选择行动以最大化自己效用 的决策主体（可能是人，也可能是团体，如国家、 企业）。 行动：是参与人的决策变量。
博弈论的早期研究
博弈思想源于对策问题，可谓历史悠久，至少可追溯到 2000多年前我国古代的“齐威王田忌赛马”。 博弈论早期研究的起点——1883年的“古诺模型”。这一 模型同1883年伯特兰德的寡头竞争模型都是对博弈问题的早 期零星研究 博弈论的系统研究是从本世纪初期开始的。系统研究博弈 理论的发端是齐默罗（Zermelo）和波雷尔（Borel）对象棋 博弈等的系统研究。
有限策略（所有博弈方都只有有限种可选策略）的
博弈只有有限种结果（一种结果就是每个博弈方各 一种可选策略构成的一个组合，全部可能的结果的 数量因而就等于各博弈方可选策略数的连乘积） 有限策略博弈理论上就总可以用得益矩阵法、扩展 形法或简单罗列的办法将所有的策略、结果及对应 的得益列出 无限策略博弈就不可能用这些列举的方法来表示其 全部策略、结果和得益，一般只能用数集或函数式 加以表示
贡献：决策制定理性观点方面有着杰出的贡献，对博弈论和其他许多 经济理论的形成起到了重要的乃至不可或缺的作用

托玛斯-谢林（Thomas C. Schelling ）84岁，美国公民。他1951年 获得哈佛大学经济学博士学位。后曾在美国哈佛大学的肯尼迪学 院教学长达２０年，担任政治经济学教授，并获得退休名誉教授 的称号。之后他还在美国马里兰大学公共政策学院和经济系担任 教授，并获得退休名誉教授称号。他教授的课程除包括经济学理 论外，还涉及外交、国家安全、核战略以及军控等多方面。
纳 什 均 衡 * * * 的 ui {si , si } ui {si , si }, si Si , i 定 si* 是下述最大化问题的解： 义 或者用另一种表述方式，
s argmaxui ( s , , s , si , s
* i si Si * 1 * i 1
定
义
G S1 , , Sn ; u1 , , un
在n个参与人博弈的战略式表述
S 中，假定参与人 i 有K个纯战略： i Si1 , , Sik ，那么， 概率分布 i i1 , , ik 称为 i 的一个混合战略，这里 ik ( sik )是 i 选择 sik 的概率，对于所有 K 的 k 1, , K ,0 ik 1, 1 ik 1 。
博弈论为经济分析提供了一种统一的框架和方法论。
博弈论已成为主流经济学的一部分。
博弈论奠定了现代微观经济学的基础。
博弈论为宏观经济政策分析提供了一种新方法和新 思路，从而为宏观经济学提供微观基础。
博弈相关概念、类型
博弈（Game Theory）的定义：
即一些个人、队组或其他组织，面对一定的环境条件，在一定的规则 下，同时或先后，一次或多次，从各自允许选择的行为或策略中进行选择 博 并加以实施，并从中各自取得相应结果的过程。
参 与 U 人 D
L
参与人B M
R
Fra Baidu bibliotek
1, 0 0, 3
1, 2 0, 1
0, 1 2, 0
参 与U 人 D
参与人B L M
A
参与人B 参 与U 人 L M
1, 0 0, 3
1, 2 0, 1
1, 0
1, 2
A
A
纳什均衡
有n个参与人的战略式表述博弈 G { S1 ,Sn;u1 ,un } ， * * * 战略组合 s {s1 ,, si ,, sn } 是一个纳什均衡，如果对 * 于每一个 i ，si 是给定其他参与人选择 * * * si {s1 ,, si*1 , si*1 ,, sn } 的情况下第 i 个参与人的最 优战略，即:
定义：在博弈的战略式表述中，如果对于所有的 i
si 是 i 的占优战略，那么，战略组合 s ( s1 , , sn ) 称为占优战略均衡（dominant-strategy equilibrium）。
广告对策 厂商Ｂ 做广告 厂 商 Ａ 做 不做 不做广告
10，5
15，0
囚犯两难对策

坦白
囚徒2
抵赖
囚 徒 坦白 1
抵赖
-5，-5
0，-9
-9，0
-1，-1
这种直观的形式将大大增进对问题的理解。
博弈分类
博弈中的博弈方 两人博弈 多人博弈
博弈中的策略 有限策略博弈 无限策略博弈 博弈中的得益 常和博弈 变和博弈 博弈的过程 静态博弈 动态博弈 完全信息 不完全信息 博弈的合作 合作博弈 非合作博弈
在博弈论中，一般假定参与人的行动空间和行动顺序是所有参与 人的共同知识
得益：在博弈论中，或者是指一个特定的战略组合 下参与人得到的确定效用水平，或者是指参与人得 到的期望效用水平。
博弈的策略表达式
战略型表述又称为标准式表述（normal form representation）
我们给出战略式表述： 1、博弈的参与人集合：i , (1,2, , n) ； 2、每个参与人的战略空间：i , i 1,2, , n ； S 3、每个参与人的支付函数：i (s1 , , si , , sn ),i 1,2, , n 。 u
6，8
10，2
重复剔除的占优策略均衡
智猪博弈 小猪
按 等待
大 猪 按
等待
3，1
2，4
7，-1
0，0
定义1：令 s i'和 si''是参与人 i 可选择的两个战略
（即 si' Si , si'' Si ）。如果对于任意的其他参与人 s i ，参与人 i 从选择 s i' 得到的支付严格小 的战略组合 '' 于从选择 si 得到的支付
静态博弈：所有博弈方同时或可看作同时选择 策略的博弈。 动态博弈：各博弈方不是同时，而是先后、依 次进行选择、行动，后选择、行动的博弈方在自 己选择行动之前一般能看到此前其他博弈方的选 择、行动的博弈 。
占优策略均衡
无论对手选何种策略，均衡状态 时的策略是局中人最好的选择：我 所做的是不管你做什么我所能做得 最好的。
我们将用G S1 , , Sn ; u1 , , un 代表战略式表述博弈。
在两寡头产量博弈里，企业是参与人，产量是战略空间， 利润是支付；战略式表述博弈为：
G q1 0, q2 0; 1 (q1 , q2 ), 2 (q1 , q2 )
q 这里， i和 i 分别式第1个企业的产量和利润
两人博弈就是在两个各自独立决策，相互具有
策略依存关系的博弈方之间的决策问题。
两人博弈是博弈中最普通、最常见，也是研究 得最多的博弈类型。如，囚徒的困境、齐威王 与田忌赛马、猜硬币、石头〃剪子〃布，日常 生活中的棋牌、球类比赛，以及经济活动中两 厂商之间的竞争、谈判、兼并收购、劳资纠纷 等等都是两人博弈问题。
博弈论的形成
博弈论的真正起点—— 冯诺伊曼、摩根斯坦 1944年《博弈论和经济行 为》 （Theory of Games and Economic Behavior）
2005年诺贝尔经济学奖——
博弈论方面的贡献

罗伯特-奥曼（Robert J. Aumann ）75岁，出生于德国法兰克福， 1955年在美国麻省理工学院获得数学博士学位现任耶路撒冷希伯 来大学理性分析中心教授、纽约州立大学斯坦尼分校经济系和决 策科学院教授、以色列数学俱乐部主席、美国经济联合会荣誉会 员等。他还担任《国际对策论杂志》、《数理经济学杂志》、 《经济学理论杂志》、《运筹学数学》等多家专业杂志社的编辑。
混合战略的引进
混 合 战 略 纳 什 均 衡 的 引 入
根据纳什均衡的定义，有些博弈不存在纳什均
衡，如下面两个例子：
流浪汉
寻找工作 游荡 正面
儿童B
反面
政 救济 府 不救济
3， 2
-1，1
-1，3 0，0
儿 正面 童 反面
-1， 1
1，-1
1，-1 -1，1
A
例1 社会福利博弈
例1 猜谜游戏
为了解决这类问题，我们引入混合战略纳什均衡
* i 1
, s )
* n
纳什均衡是在对手不改变策略的条
件下局中人最好的选择：我所做的 是给你所做的情况下我所能做的最 好的。
参与人B
L C R
参 与 人
U M D
0，4 4，0 3，5
4，0 0，4 3，5
5，3 5，3 6，6
A
完全信息静态博弈模型举例
1.
性别战模型
女 足球 男 足球 芭蕾 芭蕾
ui ( si' , s i ) ui ( si'' , s i )si
' s i' 严格劣于战略 si'（ s i' is strictly 我们说战略 '' s i' 称为相对于 si'' 地劣战略； dominated by si ）。通常， si'' s i' 对应地， 称为相对于 的占优战略。占优战略均衡中 si' 的占优战略。 si 的占优战略 是相对于多有 si
2，1
0，0
0，0
1，2
有两个纳什均衡（足球，足球）（芭蕾，芭蕾）。 在实际生活中，可能由其它方式解决这一问题，如
先动优势，若男的先买好足球赛票，两人就会出现 在足球场。
2.
斗鸡博弈
Ｂ 进 Ａ 进 退 退
－3，－3
0，2
2，0
0，0
模型的应用：
修路、世界各地抢占地盘、击剑运动、敌 进我退，敌退我追、夫妻间吵架。
贡献：《冲突战略》、《武器与影响》等，其中前者是相关领域中最 具开创性的理论著作之一。他的理论和思想不仅运用在经济学分析中， 在外交、军事领域也深有影响。
Robert J. Aumann
Thomas C. Schelling
博弈论对现代经济学的影响
严格说来，博弈论是一门数学，但由于它主要以冲突问题为 研究对象，因而通常被经济学家作为基本分析方法所使用， 并成为应用经济学和管理学分析和研究的基础。
定义的四种均衡概念
占优策略均衡、重复剔除的占优均衡，纯战
略纳什均衡，混合战略纳什均衡。