高中数学专题强化训练含解析 (2)

[A 组 夯基保分专练]

一、选择题

1．在等比数列{a n }中,公比q ＝2,前87项和S 87＝140,则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87等于( ) A.1403 B ．60 C ．80 D ．160

解析：选

C.a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a 1q 2×

1－（q 3）291－q 3＝q 2

1＋q ＋q 2×

a 1（1－q 87）1－q

＝4

7

×140＝80.故选C. 2．已知数列{a n }中,a 1＝a 2＝1,a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，

2a n

，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )

A ．1121

B ．1122

C ．1123

D ．1124

解析：选C.由题意可知,数列{a 2n }是首项为1,公比为2的等比数列,数列{a 2n －1}是首项为1,公差为2的等差数列,故数列{a n }的前20项和为1×（1－210）1－2

＋10×1＋10×9

2×2＝1123.选C.

3．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *),数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ,则

S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )

A.110

B.15

C.111

D.211

解析：选C.因为2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *), 所以2a 1＋22a 2＋…＋2n －

1a n －1＝n －1(n ≥2),

两式相减得2n a n ＝1(n ≥2),a 1＝12也满足上式,故a n ＝1

2n ,

故

1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

,

S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n

n ＋1

,

所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝1

11

,故选C.

4．(太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上,等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *),其前n 项和为T n ,则下列结论正确的是( )

A ．S n ＝2T n

B ．T n ＝2b n ＋1

C ．T n >a n

D ．T n

解析：选D.因为点(n ,S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上,所以S n ＝3·2n －3,所以a n ＝3·2n －

1,所以

b n ＋b n ＋1＝3·2n －

1,因为数列{b n }为等比数列,设公比为q ,则b 1＋b 1q ＝3,b 2＋b 2q ＝6,解得b 1＝1,q ＝2,所以b n ＝2n －

1,T n ＝2n －1,所以T n

5．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *),且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1

a n

＜t ,则实数t 的取值范

围为( )

A ．(1

3,＋∞)

B ．[1

3,＋∞)

C ．(2

3

,＋∞)

D ．[2

3

,＋∞)

解析：选D.依题意得,当n ≥2时,a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2 n 2

2(n －1)

2＝2 n 2－(n －1)2＝22n －1,又a 1＝21＝22×1－

1,因此a n

＝22n －

1,1a n ＝122n －1,数列{1a n }是以12为首项,14为公比的等比数列,等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23

(1

－14n )＜23,因此实数t 的取值范围是[2

3

,＋∞),故选D. 6．(河北“五个一名校联盟”模拟)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…则在这个红色子数列中,由1开始的第2018个数是( )

A ．3971

B ．3972

C ．3973

D ．3974

解析：选B.由题意可知,第1组有1个数,第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式,可知前n 组共有n （n ＋1）2个数．由于2016＝63×（63＋1）2<2018<64×（64＋1）2＝2080,因此,第2018个数是第64

组的第2个数．由于第1组最后一个数是1,第2组最后一个数是4,第3组最后一个数是9,……,第n 组最后一个数是n 2,因此,第63组最后一个数为632,632＝3969,第64组为偶数组,其第1个数为3970,第2个数为3972.故选B.

二、填空题

7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ,m ∈N *)且a 1＝5,则a 8＝________．

解析：数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ,m ∈N *)且a 1＝5,令m ＝1,则S n ＋1＝S n ＋S 1＝S n ＋5,即S n ＋1－S n ＝5,所以a n ＋1＝5,所以a 8＝5.

答案：5

8．(武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36,a 4a 6＝275,且a n a n ＋1有最小值,则这个最小值为________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 3＋a 7＝36,所以a 4＋a 6＝36,

与a 4a 6＝275,联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩

⎪⎨⎪⎧a 4＝25，

a 6＝11，