高等数学：第一讲 向量的概念
高等数学教材向量
高等数学教材向量高等数学教材——向量一、向量的概念及基本性质在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。
它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。
1. 向量的定义向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。
向量既有大小也有方向，是一个有序数对。
2. 向量的基本性质（1）向量的模长向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。
若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。
（2）向量的方向角向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。
方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。
（3）向量的相等对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构成一个新的向量。
向量的加法满足平行四边形法则，即⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。
2. 向量的减法向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。
3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。
即k⃗AB=(|k|)⃗AB。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个标量。
向量的数量积的计算公式为：⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。
2. 向量的向量积向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是一个向量。
向量的向量积的计算公式为：⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和⃗CD所在平面的单位法向量。
向量知识点总结高一
向量知识点总结高一一、向量的定义和性质1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的性质（1）向量的大小和方向唯一确定一个向量。
（2）同一向量的不同表示叫做向量的等价表示。
（3）向量的等价表示之间可以互相转换。
（4）向量与数的乘积可以用数的乘法来定义。
（5）向量之间可以进行加法运算和减法运算。
二、向量的基本运算1. 加法和减法（1）向量的加法：两个向量的和等于它们的尾部相连形成的新向量。
（2）向量的减法：两个向量的差是指把减数的向量的起点与被减数的向量的终点相连成新向量。
2.数乘（1）向量的数乘：一个向量与一个实数相乘是指该向量的长度乘以这个实数，并且方向不变。
3.数量积（内积）（1）数量积的定义：设两个向量a，b之间的夹角为θ，那么向量a与向量b之间的数量积为一个数abcosθ。
（2）数量积的性质：a·b=|a|·|b|cosθ。
（3）数量积的应用：计算向量的模、求向量的夹角、求向量的投影等。
4.向量积（外积）（1）向量积的定义：设有向量a，b，它们的向量积a×b是一个向量，它的大小等于|a|·|b|·sinθ，它的方向垂直于a和b所在的平面，满足右手定则。
5.混合积（1）混合积的定义：设有三个向量a，b，c，它们的混合积为|a×b·c|。
三、向量的基本定理1. 平行四边形法则对于平行四边形abcd，向量a，b的和是向量a+c，且a+c=b+d。
2. 三角形法则对于三角形abc，向量a+b+c=0。
3. 余弦定理对于三角形abc，有c²=a²+b²-2abcosC，其中C为角c所对的边。
4. 已知（a1,b1）,(a2,b2)的数量积等于0的条件两个向量的数量积等于0，表示这两个向量垂直。
四、向量的常用技巧1. 向量的模向量a的模表示为|a|，表示向量a的大小。
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。
一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
例如，力、速度、位移等都是向量。
二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。
2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。
三、向量的模向量的模就是向量的长度。
若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。
例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同。
对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。
八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。
高一数学向量知识点总结
高一数学向量知识点总结引言：高一是数学学科中向量的起步阶段，掌握好向量的基本概念、运算法则以及与平面几何的关联是非常重要的。
本文将对高一学生需要了解和掌握的向量知识点进行总结。
通过对这些知识的学习，学生将能够更好地理解几何形状以及解决相关的问题。
一、向量的基本概念向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
向量通常记作箭头加一个字母，如：→AB，表示从点A指向点B的向量。
向量由起点和终点确定，且相同起点和相同终点的向量被称为相等向量。
二、向量的表示及运算法则1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量，记作→AB ∥ →CD。
平行向量可以通过倍数关系相互转化，即若→AB∥→CD，则有→AB= k →CD，其中k为实数。
2. 线段取负：若有向线段→AB表示向量a，则有向线段→BA表示向量-a。
3. 向量加法：向量相加的结果是一个新的向量，其起点与第一个向量的起点重合，终点与第二个向量的终点重合。
向量的加法满足交换律和结合律，即→AB + →BC = →AC。
4. 向量减法：向量相减的结果是一个新的向量，其起点与第一个向量的起点重合，终点与第二个向量的起点重合。
向量的减法可以转化为加上其相反数，即→AB - →BC = →AB +(-→BC)。
三、向量的数量表示1. 数量积：向量的数量积又称点积或内积，记作→a • →b。
定义为两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积，即→a • →b = |→a| |→b| cosθ。
其中，θ为两个向量的夹角。
2. 向量的垂直判定：向量→a与向量→b垂直的充要条件是→a•→b = 0，即两个向量的数量积等于零。
四、向量与平面几何的关联向量在平面几何中有着广泛的应用，尤其是在向量与直线、向量与平面的关系中。
1. 平面上的点的坐标表示：平面上的点可以用向量表示，例如点A的坐标可表示为→OA，其中O为原点。
2. 点的中点坐标表示：线段的中点坐标可以表示为两个端点向量之和的一半，即→M = (→A + →B) / 2。
《高一数学向量》课件
向量混合积具有分配律、结合律和交换律等性质。
详细描述
向量混合积具有以下性质
向量混合积在物理和工程领域有广泛的应用，如力矩、速度和加速度的计算等。
向量混合积在物理和工程领域中有许多应用，例如计算力矩、速度和加速度等。在三维空间中，力矩可以通过三个向量的混合积来计算，即力矩等于向量与向量的叉乘的点乘。此外，向量混合积还可以用于计算速度和加速度的合成，以及解决一些物理问题，如刚体的运动学和动力学问题等。
总结词
3. 交换律
$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
2. 结合律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$；
1. 分配律
$vec{A} cdot (vec{B} + vec{C}) = vec{A} cdot vec{B} + vec{A} cdot vec{C}$；
总结词
详细描述
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高一数学向量
目录
向量的基本概念向量的运算向量的数量积向量的向量积向量的外积向量的混合积
01
CHAPTER
向量的基本概念
向量的定义是指既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
总结词
向量是数学中一个基本的概念，它表示一个既有大小又有方向的量。在物理学和工程学中，向量被广泛应用于描述速度、加速度、力等物理量。在数学中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。
向量的模长可以通过点乘来计算，即|a|=sqrt(a·a)，向量的方向可以通过点乘来确定，即当a·b>0时，向量a和b同向，当a·b<0时，向量a和b反向。
向量高数知识点总结
向量高数知识点总结一、向量的概念向量是指既有大小又有方向的量。
在数学上，向量可以用有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标表示。
例如，一个二维向量可以表示为(a,b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量；一个三维向量可以表示为(a,b,c)，类似地，a、b、c分别代表向量在x、y、z轴上的分量。
在物理学中，向量的概念也是非常重要的，比如力、速度等都是向量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加的运算。
如果有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a+b，即将a和b的对应分量相加得到新的向量。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的运算。
如果有一个向量a和一个实数k，它们的数乘运算可以表示为ka，即将a的每个分量都乘以k得到新的向量。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即a-b = a+(-1)*b。
三、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得向量组中的向量v1、v2、...、vn满足关系式k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性相关的。
这就意味着向量组中的某一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
2. 线性无关如果向量组中的向量v1、v2、...、vn不是线性相关的，即不存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性无关的。
线性相关与线性无关是线性代数中非常重要的概念，它和矩阵的秩有关系，而矩阵的秩又在模型拟合、降维处理等领域有着重要的应用。
四、向量的线性组合和向量空间1. 向量的线性组合如果有向量组v1、v2、...、vn和实数k1、k2、...、kn，那么k1*v1+k2*v2+...+kn*vn就是向量v1、v2、...、vn的线性组合。
线性组合可以用来表示向量的线性关系，它在数学建模中有着重要的应用。
高一向量的基本知识点总结
高一向量的基本知识点总结一、引言高中数学学科的复杂性以及对数学学习的基础要求，使得初入高中学生面临许多新的概念和知识点。
其中，向量作为重要的数学概念之一，对于理解和应用其他数学领域的知识都至关重要。
本文将对高一向量的基本知识点进行总结。
二、基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
在二维平面内，向量通常用有向线段表示；在三维空间中，向量用有向线段或坐标表示。
2. 向量的表示：向量通常用字母加箭头表示，如AB 或 a，表示起点为A，终点为B的向量。
3. 零向量：零向量是长度为零，方向随意的向量，通常用 0 或0→ 表示。
4. 向量的相等：两个向量相等，需要满足大小和方向都相同。
5. 平行向量：两个向量的方向相同或相反时，称为平行向量。
6. 共线向量：两个向量的方向相同或平行，称为共线向量。
三、向量运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即 A + B = B + A 和 (A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法：向量的减法可以通过将减向量取反再进行向量的加法来实现。
即 A - B = A + (-B)。
3. 数乘运算：将向量与一个实数乘积相乘，可以改变向量的长度和方向。
例如，2A表示将向量A的长度乘以2。
四、向量的性质1. 平行向量的性质：平行向量的长度相等或成正比。
而且，平行向量之间的加减运算仍为平行向量。
2. 长度与方向：向量的长度和方向确定了向量的性质。
长度为1的向量称为单位向量。
3. 内积和外积：向量的内积和外积是向量运算中常见的概念。
内积表示两个向量之间的夹角关系，而外积则表示两个向量所构成的平行四边形的面积。
五、向量的应用1. 几何应用：向量常用于描述平面几何中的线段、直线、多边形等的位置关系。
2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用，例如力的叠加、速度和加速度的表示等。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的三维图形处理和计算机游戏开发中，向量是不可或缺的工具。
必修一数学向量知识点总结
必修一数学向量知识点总结一、向量的概念向量是有大小和方向的量，它可以表示为有向线段。
向量的大小叫做向量的模，用 | | 表示；向量的方向叫做向量的方向角，用α 表示。
通常情况下，向量用小写字母表示，如 a 或 b。
二、向量的表示1. 向量的表示方法：向量可以用坐标表示，也可以用分解表示。
（1）坐标表示：一个向量可以表示为（x，y），其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
在二维平面直角坐标系中，向量 a 在 x 轴的分量为a₁，在 y 轴的分量为a₂，那么向量 a 可以表示为a = (a₁，a₂)。
（2）分解表示：如果直角坐标系中的向量 a 的终点为 P（x₁，y₁），那么向量 a 可以表示为 a = xi + yj，其中 i 和 j 分别表示 x 轴和 y 轴上的单位向量。
2. 向量的相等条件：如果两个向量 a 和 b 的对应分量相等，则向量 a 等于向量 b，即 a = b 当且仅当a₁ = b₁ 且a₂ = b₂。
三、向量的运算1. 向量的加法和减法：两个向量 a 和 b 的和可以表示为向量 a 的起点与向量 b 的终点的有向线段所组成的新向量，即 a + b。
两个向量的差可以表示为向量 a 的起点与向量 b 的终点的有向线段所组成的新向量，即 a - b。
2. 向量的数乘：一个向量 a 与一个实数 k 的数乘可以表示为以向量 a 为一边，同向并且长度是原来的 k 倍的有向线段的向量，即 ka。
3. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积，也叫点积或内积，可以表示为 a·b =|a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模，θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
4. 向量的向量积：两个向量 a 和 b 的向量积，也叫叉积或外积，可以表示为 a×b =|a||b|sinθn，其中 n 表示与向量 a 和向量 b 共面的法向量。
高一向量的所有知识点总结
高一向量的所有知识点总结高一是学习数学的重要阶段，其中向量是一个重要的概念。
向量是几何学中的一个基本概念，也是其他学科中常用的数学工具。
下面将总结高一向量的所有知识点。
一、向量的定义向量是由大小和方向确定的量。
通常用有向线段表示，有两个重要的要素：大小和方向。
大小指向量的长度或模，用符号||a||表示；方向指向量的朝向，可以用角度或在坐标系中表示。
二、向量的表示与运算向量有多种表示方式，其中最常用的是分量表示法和坐标表示法。
1. 分量表示法：将向量表示为其在坐标轴上的投影，常用三维坐标表示向量。
例如，向量a的分量表示为a=(a1, a2, a3)，其中a1、a2和a3分别表示向量a在x、y和z轴上的分量。
2. 坐标表示法：将向量表示为从原点到指定点的有向线段。
例如，向量a的坐标表示为a=(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量a在x、y 和z轴上的坐标。
向量的运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法：向量的加法满足向量共线三要素：大小相等、方向相同、共面。
向量a+b的计算规则是将向量a的起点与向量b的终点相接，得到一个新的向量，起点与向量a的起点相同，终点与向量b的终点相同。
2. 向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算。
向量a-b的计算规则是将向量b取反，然后与向量a相加。
3. 数乘：数乘是指将向量与一个实数相乘。
数乘后的向量与原向量同向或反向，其长度为原向量长度的绝对值与实数绝对值的乘积。
三、向量的线性运算向量的线性运算包括数乘运算和向量的线性组合。
1. 向量的数乘运算：向量的数乘是指将向量与一个实数相乘，其结果是一个新的向量。
数乘的规则是保持方向不变，改变大小。
2. 向量的线性组合：向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的比例进行加法运算。
例如，给定向量a1、a2、a3和实数c1、c2、c3，它们的线性组合表示为c1a1 + c2a2 + c3a3。
四、向量的数量积与夹角向量的数量积是两个向量的乘积，结果为一个实数。
高一数学向量知识点总结
高一数学向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义- 既有大小又有方向的量叫做向量。
例如力、位移等都是向量。
2. 向量的表示- 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以A为起点、B为终点的向量记作→AB。
- 字母表示：用小写字母→a,→b,→c·s表示向量。
3. 向量的模- 向量→AB或→a的大小称为向量的模，记作|→AB|或|→a|。
模是一个非负实数。
4. 零向量- 长度为0的向量叫做零向量，记作→0，零向量的方向是任意的。
5. 单位向量- 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
与非零向量→a同向的单位向量为(→a)/(|→a|)。
二、向量的运算（一）向量的加法1. 定义- 已知向量→a、→b，在平面内任取一点A，作→AB=→a，→BC=→b，则向量→AC叫做→a与→b的和，记作→a+→b，即→a+→b=→AB+→BC=→AC。
这种求向量和的方法叫做三角形法则。
- 平行四边形法则：已知向量→a、→b，作→AB=→a，→AD=→b，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则→AC=→a+→b。
2. 运算律- 交换律：→a+→b=→b+→a。
- 结合律：(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
（二）向量的减法1. 定义- 向量→a与→b的差→a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量，→b 与-→b大小相等，方向相反。
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
- 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
（三）向量的数乘1. 定义- 实数λ与向量→a的积是一个向量，记作λ→a，它的长度|λ→a|=|λ||→a|，当λ> 0时，λ→a的方向与→a的方向相同；当λ < 0时，λ→a的方向与→a的方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
2. 运算律- 结合律：λ(μ→a)=(λμ)→a。
高数大一向量知识点总结
高数大一向量知识点总结向量是高数大一中重要的数学概念之一，具有广泛的应用。
本文将对大一高数中的向量知识点进行总结和归纳。
一、向量的基本概念向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量的大小称为模，用 |AB| 或 ||AB|| 表示；向量的方向可以用角度或与坐标轴的夹角表示。
二、向量的表示1. 平面向量的表示：设 A、B 是平面内的两个点，可以用向量AB 表示这两个点的位移关系。
向量 AB 的坐标表示为(Ax, Ay) 或 [Ax, Ay]，其中 Ax 表示 x 方向上的位移，Ay 表示 y 方向上的位移。
2. 空间向量的表示：设 A、B 是空间内的两个点，可以用向量AB 表示这两个点的位移关系。
向量 AB 的坐标表示为(Ax, Ay, Az) 或 [Ax, Ay, Az]，其中 Ax 表示 x 方向上的位移，Ay 表示 y 方向上的位移，Az 表示z 方向上的位移。
三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
数量乘法改变向量的大小，不改变向量的方向。
4. 向量的点乘：向量的点乘又称内积，表示为 A·B 或A∙B。
点乘的结果是一个实数，满足交换律和分配律。
5. 向量的叉乘：向量的叉乘又称外积，表示为 A×B 或 A∧B。
叉乘的结果是一个向量，满足反交换律和分配律。
四、向量的性质与定理1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量。
平行向量的叉积为零。
2. 垂直向量：如果两个向量的点积为零，它们被称为垂直向量。
垂直向量的叉积为一个新的向量，该向量与原来的两个向量都垂直。
3. 向量的模：向量的模表示向量的大小，满足|AB| = √(Ax^2 + Ay^2) 或|AB| = √(Ax^2 + Ay^2 + Az^2)。
高数大一知识点向量
高数大一知识点向量高数大一知识点：向量一、概念与表示方法在数学中，向量是具有大小和方向的量，并且可以进行相加和相乘等运算。
在高数中，向量是一个非常重要的概念，它可以用来表示空间中的位置、速度、力等。
在数学中，向量通常用字母加箭头表示，例如：→AB表示从点A指向点B的向量。
向量也可以使用坐标表示，例如：向量→AB可以表示为(2, 3)，其中2表示x轴上的分量，3表示y轴上的分量。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
要注意的是，向量的加法是满足交换律和结合律的。
例如，给定向量→AB(2, 3)和→CD(4, -1)，它们的和可以表示为(2+4, 3+(-1))，即(6, 2)。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和取负运算来表示。
例如，给定向量→AB(2, 3)和→CD(4, -1)，它们的差可以表示为(2, 3) + (-4, 1)，即(2-4, 3+1)，即(-2, 4)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数量乘法也遵循交换律和结合律。
例如，给定向量→AB(2, 3)和实数k=2，它们的数量积可以表示为k(2, 3)，即(2*2, 3*2)，即(4, 6)。
三、向量的性质及相关定理1. 向量和平面垂直的条件如果两个向量的点积等于0，则它们互相垂直。
例如，给定向量→AB(2, 3)和→CD(3, -2)，它们的点积可以表示为2*3 + 3*(-2)，即6 - 6，等于0，因此可以得出结论：→AB和→CD垂直。
2. 向量的模长向量的模长表示向量的大小，它可以通过勾股定理得到。
例如，对于向量→AB(2, 3)，它的模长可以表示为√(2^2 + 3^2)，即√13。
3. 单位向量单位向量指模长为1的向量，可以通过原向量除以模长得到。
例如，对于向量→AB(2, 3)，它的单位向量→u可以表示为(2/√13, 3/√13)。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
数学必修一向量知识点梳理
数学必修一向量知识点梳理向量是物理和数学中的重要概念，它可以用来描述位移、速度、加速度等物理量。
在高中数学必修一的课程中，向量是一个重要的内容。
下面将梳理数学必修一中向量的知识点。
1.向量定义和表示：-向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
-用有序数对表示向量，如AB或者a。
-平行向量有相同的方向或相反的方向，相等的向量有相同的大小和方向。
-通常用加粗的小写字母表示向量，如a，或者用大写字母表示向量的模，如AB。
2.向量的加法和减法：-向量的加法满足交换律和结合律。
-如有向量a=(a1,a2)，向量b=(b1,b2)，则a+b=(a1+b1,a2+b2)。
-如有向量a=(a1,a2)，向量b=(b1,b2)，则a-b=(a1-b1,a2-b2)。
3.数乘：-向量与一个实数相乘，称为数乘，可以改变向量的大小和方向。
-如有向量a=(a1,a2)，实数k，则k*a=(k*a1,k*a2)。
4.向量的线性运算：-若a，b，c是向量，k，m是实数，则有：- k(a + b) = ka + kb- (k + m)a = ka + ma- k(ma) = (km)a5.向量的数量积（点积）：-向量的数量积是两个向量乘积的数量。
-设有向量a=(a1,a2)，向量b=(b1,b2)，则a·b=a1*b1+a2*b2-数量积的运算规律有交换律和结合律。
6.向量的垂直和平行判定：-若两个向量的数量积为零，则两个向量垂直。
-若两个向量的方向相同或相反，则两个向量平行。
7.向量在直角坐标系中的表示：-平面直角坐标系中，一个向量可以表示为一个有序数对，表示从原点到点的位移。
-如有向量a=(a1,a2)，则表示从原点到点(a1,a2)的位移。
-在直角坐标系中，可以利用平移和线段平行进行向量的运算。
8.向量的模和单位向量：-向量的模是指向量的大小，用，AB，表示。
-向量的单位向量是指向量的大小为1的向量。
大一高数知识点笔记向量
大一高数知识点笔记向量大一高数知识点笔记：向量在高等数学中，向量是一种非常重要的数学概念。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有广泛应用。
本文将为你详细介绍大一高数中与向量相关的知识点。
一、向量的定义与表示向量是具有大小和方向的量，通常用一个有方向的线段来表示。
我们可以用字母加箭头的形式来表示一个向量，例如，向量a用符号a↑表示。
向量的起点为原点，终点为尖头。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
设有两个向量a和b，它们的和为c，则a+b=c。
具体而言，如果a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，则c=(a1+b1, a2+b2)。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
设有一个向量a和实数k，它们的积为b，则ka=b。
具体而言，如果a=(a1, a2)，则ka=(ka1, ka2)。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为向量的内积或点积，用符号“·”表示。
设有两个向量a和b，则a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别为向量的模，θ为夹角。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为向量的叉积，用符号“×”表示。
设有两个向量a和b，则a×b=|a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别为向量的模，θ为夹角，n为法向量。
三、向量的运算法则1. 交换律：向量的加法和数量积满足交换律，即a+b=b+a，a·b=b·a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 分配律：向量的数乘相对于向量的加法满足分配律，即k(a+b)=ka+kb。
4. 向量的数量积的分配律：(ka)·b=k(a·b)，a·(kb)=k(a·b)。
四、向量的线性相关与线性无关1. 向量的线性组合设有n个向量a1, a2, … ,an，以及n个实数c1, c2, … ,cn，它们的线性组合为c1a1+c2a2+…+cnan。
高一数学必修课件向量概念
电场强度与电势差
电场强度和电势差都是向量，通 过向量的运算可以描述电场的分 布和电荷在电场中的受力情况。
电流与电压
在交流电路中，电流和电压都是 向量，通过向量的运算可以求解 电路中的功率、阻抗等问题。
其他实际问题中向量应用
01
地理信息系统中的方向与距离
在地理信息系统中，利用向量可以表示地理位置之间的方向和距离，方
向量的减法运算
向量的数乘运算
向量的点积运算
向量的叉积运算
两个向量相加，等于它 们的对应坐标相加所得 到的新向量。
两个向量相减，等于它 们的对应坐标相减所得 到的新向量。
一个向量与一个实数相 乘，等于它的每个坐标 与这个实数相乘所得到 的新向量。
两个向量的点积等于它 们的对应坐标的乘积之 和。点积可以用来判断 两个向量的夹角和其中 一个向量的长度。
$A_s$线性无关；
从向量组$A$中任意 添加一个向量到 $A_s$中，所得的新 向量组都线性相关。
则称向量组$A_s$是 向量组$A$的一个极 大无关组。
秩：向量组的极大无 关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩 。记作$r(A)$。
06
向量在解决实际问题中应用
力学问题中向量应用
力的合成与分解
判断力的方向
通过数量积可以判断两个力之间的夹角，进而确定它们之 间的方向关系。
05
向量线性运算与几何意义
线性组合与线性表示
线性组合
对于向量组$A: alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_m$，若存在一组实数$k_1, k_2, ldots, k_m$，使得$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_malpha_m = beta$，则称向量$beta$是向量组$A$的线性组合。
高一数学人必修课件向量的概念
向量的减法满足三角形法则。即两个向量相减，等于加上 这个向量的相反向量。
向量的数乘
实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。 当实数与向量相乘时，它的长度与这个实数的绝对值成正 比，它的方向与这个实数的符号有关。
空间向量数量积和夹角
向量的数量积
两个向量的数量积是一个实数，记作$vec{a} cdot vec{b}$，它的值等于这两个向量的模 的乘积再乘以它们夹角的余弦值，即$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| cdot |vec{b}| cdot cos < vec{a}, vec{b} >$。
02
性质
数乘满足分配律和结合律，即$(lambda + mu)vec{a} =
lambdavec{a} + muvec{a}$和$(lambdamu)vec{a} =
lambda(muvec{a})$。
03
特殊值
当$lambda = 0$时，$lambdavec{a} = vec{0}$；当$lambda < 0$时
，$lambdavec{a}$与$vec{a}$方向相反。
向量运算性质总结
封闭性
向量加、减、数乘运算的结果仍 是向量。
结合律
向量加法和数乘满足结合律。
交换律
向量加法满足交换律，但向量减 法不满足交换律。
分配律
数乘对向量加法和减法满足分配 律。
03
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理内容
向量的定义
拓展延伸：向量在物理等其他领域应用
向量在力学中的应用
在力学中，力、速度、加速度等物理量都是矢量，可以用向量表示。例如，力的合成与分解、运动的合成与分解等问 题都可以转化为向量的运算问题。
高等数学第八章
第八章 向量代数与空间解析几何(数学一)第一节 向量代数中的若干运算一、向量的概念1.定义:既有大小又有方向的量称为向量。
2.坐标形式:),,(z y x a a a a =ρ3.模与方向余弦:记a ρ与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,,则 222cos zyxx aa a a ++=α,222cos zy x y aa a a ++=β, 222cos zyxz aa a a ++=λ且方向余弦间满足关系1cos cos cos 222=++γβα。
γβα,,描述了向量a ρ的方向,常称它们为向量的方向角(在0与π之间)。
a ρ的模可以表示为222zy x a a a a ++=ρ。
向量a ρ同方向上的单位向量常记为︒a ρ。
二、向量的运算设三个向量),,(321321a a a k a j a i a a =++=ρρρρ,),,(321321b b b k b j b i b b =++=ρρρρ, ),,(321321c c c k c j c i c c =++=ρρρρ,常数λ。
1.与差:加法 ),,(332211b a b a b a b a +++=+ρρ 减法 ),,(332211b a b a b a b a ---=-ρρ2.数乘:),,(321a a a a λλλλ=ρ3.数量积(i)定义:数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂⋅=⋅b a b a b a ρρρρρρ,cos ,称为b a ρρ,为数量积也称点积,记为b a ρρ⋅。
其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂b a ρρ,为向量b a ρρ,间夹角(在0与π之间)。
(ii)性质:①a a a ρρρ⋅=2;②0b a ρρ⋅表示向量a ρ在向量b ρ上的投影,a j b a bρρρρPr 0=⋅;③a b b a ρρρρ⋅=⋅。
(iii)计算:①232221a a a a ++=ρ;②332211b a b a b a b a ++=⋅ρρ。
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2.向量有方向、大小，双重属性，而方向是不能比 较大小的，因此向量不能比较大小.
向量不能比较大小
02 向量的表示
1.几何法：用有向线段表示
2.字母法：用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别
a
A
B
a 不是 a
3.用表示向量的有向线段的起点和终
点字母表示
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量 也叫做共线向量.
特别的，零向量与任一向量平行. 即：0//a
2. 相等向量：大小相等方向相同的向量.表示：a b ，与起点位置
无关 相反向量：大小相同方向相反的向量
2020/10/6
例题
如图，设 O是正六边形 ABCDEF的中心， (1)分别写出图中与向量 OA、OB 、OC 相等的向量． (2)与向量OA长度相等的向量有多少个？ (3)是否存在与向量OA长度相等，方向相反的向量？
解 (1) OA CB DO OB DC EO
OC AB ED FO (2) 11 (3) FE
谢谢
AB
2020/10/6
03 与向量有关的基本概念
1. 向量的长度(模): 向量 AB 的大小 表示：| AB |
2. 零向量与单位向量
零向量: 长度为零的向量(方向任意). 表示： 0, | 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
2020/10/6
向04量之向间量的之关间系的关系
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量. 表示： a //b
向量的概念
目录
01
向量的概念
02
向量的表示
03 与向量有关的基本概念
04
向量之间的关系
引入
B
A
老鼠由A处向东以每秒6米的速 度逃窜，而猫由B处以每秒10米的 速度追击. 若B处在A处北8米，问 猫能否抓到老鼠？ 若能，如何在最 短的时间内抓到老鼠？
C
01 向量的概念 定义： 既有大小又有方向的量叫向量. 例：力、位移、加速度、速度等. 注意： 数量与向量的区别：