新课标必修一函数的单调性的教学设计

课题：函数的单调性教学目标：
1．知识与技能
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性概念；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
(3)了解数形结合的思想及严密的逻辑推理，培养学生良好的数学思想和数学方法；
（4）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．2．过程与方法能够观察研究函数图象的特点，来研究函数的单调性性质．
3．情感、态度、价值观：培养学生学习数学的兴趣，体会函数图象的变化规律及蕴含本质
教学方法：引导发现法
教学重点：函数的单调性．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学程序与环节设计：
1．创设情境 ：问题引入
2．组织探究：通过几个函数的图象的“上升“和”下降
“的整体认识探究函数的单调性的定义及判断函数单调性的方法步骤
3．尝试练习：利用函数的图象确定函数的单调区间 4．巩固提高：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
5．作业反馈：单调性定义的应用 教学过程： 一、 引入课题 1．
在初中，有没有学过函数的增减性？（学过）
一些函数的增减性是怎样知道的？（观察图象得出）
2
（1）． f(x) = -x
○
1 从左至右图象上升还是下降
______? ○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大， f(x)的值随着 ________ ． （2）． f(x) = x 2
○
1在区间 ____________ 上，f(x)
随着x的增大而 ________ ．
○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
（3）．如何把上述的图象所反映的特征用数学符号语言表示出来？{引导学生探讨，归纳}
二、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；
○2作差f(x1)－f(x2)；
○3变形（通常是因式分解和配方）；
○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
（二）典型例题
例1．根据函数图象说明函数的单调性．
如图，是定义在区间[]
-上的函数()
5,5
y f x
=，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：函数()y f x =的单调区间有[)5,2-，[)2,1-，[)1,3，
[]3,5。

其中()y f x =
在区间[)5,2-，[)1,3上是减区间，在区间[)2,1-，[]3,5上是增函数。

巩固练习：课本P 36练习第3题
题后小结：以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？
例2．根据函数单调性定义证明函数的单调性． 物理学中的玻意耳定律k
p v
=（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强P 将增大，试用函数的单调性证明之。

分析：按题义，只要证明k
p v
=在区间（0，+∞）上是减函数即可。

证明：根据单调性的定义，设1v ，2v 是定义域（0，+∞）上的任意两个实数， 且1v <2v ，则21121212
()()v v k k
p v p v k v v v v --=
-=。

由1v ，2v ∈（0，+∞），得12v v >0； 由1v <2v ，得21v v ->0； 又K>0，于是12()()p v p v ->0， 即1()p v >2()p v
所以，函数k p v
=，V ∈（0，+∞）是减函数。

也就是说，当体积
V 减少时，压强P 将增大。

巩固练习：
练习：判断函数 x y 1= 在(0,+∞)上单调性， 并给予证明。

思考：画出反比例函数x
y 1
=的图象． ① 这个函数的定义域是什么？
② 它在定义域上具有单调性吗？为什么？
③请你确定此函数的单调性，并证明你的结论．
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
题后小结：函数的单调性是在定义域内的某个区间上
的性质，证明过程的第一步任取变量一定
要注意其所在的区间范围。

三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取值→作差→变形→定号→下结论四、业布置
1．书面作业：课本P43习题1．3（A组）第1- 4题．
2.提高作业：
(1),f(x)=x2-2bx+b在x ∈ ( -∞,1) 上是减函数，求b的取值范围
(2).f(x)=(b-2)x2-2bx+b在x ∈ ( -∞,1] 上是减函数，
求b的取值范围 .
教学过程与操作设计：。