新课标必修一函数的单调性的教学设计

课题：函数的单调性教学目标：

1．知识与技能

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性概念；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

(3)了解数形结合的思想及严密的逻辑推理，培养学生良好的数学思想和数学方法；

（4）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．2．过程与方法能够观察研究函数图象的特点，来研究函数的单调性性质．

3．情感、态度、价值观：培养学生学习数学的兴趣，体会函数图象的变化规律及蕴含本质

教学方法：引导发现法

教学重点：函数的单调性．

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

教学程序与环节设计：

1．创设情境 ：问题引入

2．组织探究：通过几个函数的图象的“上升“和”下降

“的整体认识探究函数的单调性的定义及判断函数单调性的方法步骤

3．尝试练习：利用函数的图象确定函数的单调区间 4．巩固提高：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

5．作业反馈：单调性定义的应用 教学过程： 一、 引入课题 1．

在初中，有没有学过函数的增减性？（学过）

一些函数的增减性是怎样知道的？（观察图象得出）

2

（1）． f(x) = -x

○

1 从左至右图象上升还是下降

______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大， f(x)的值随着 ________ ． （2）． f(x) = x 2

○

1在区间 ____________ 上，f(x)

随着x的增大而 ________ ．

○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

（3）．如何把上述的图象所反映的特征用数学符号语言表示出来？{引导学生探讨，归纳}

二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

注意：

○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

（二）典型例题

例1．根据函数图象说明函数的单调性．

如图，是定义在区间[]

-上的函数()

5,5

y f x

=，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：函数()y f x =的单调区间有[)5,2-，[)2,1-，[)1,3，

[]3,5。其中()y f x =

在区间[)5,2-，[)1,3上是减区间，在区间[)2,1-，[]3,5上是增函数。

巩固练习：课本P 36练习第3题

题后小结：以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？

例2．根据函数单调性定义证明函数的单调性． 物理学中的玻意耳定律k

p v

=（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强P 将增大，试用函数的单调性证明之。

分析：按题义，只要证明k

p v

=在区间（0，+∞）上是减函数即可。

证明：根据单调性的定义，设1v ，2v 是定义域（0，+∞）上的任意两个实数， 且1v <2v ，则21121212

()()v v k k

p v p v k v v v v --=

-=。 由1v ，2v ∈（0，+∞），得12v v >0； 由1v <2v ，得21v v ->0； 又K>0，于是12()()p v p v ->0， 即1()p v >2()p v

所以，函数k p v

=，V ∈（0，+∞）是减函数。也就是说，当体积

V 减少时，压强P 将增大。 巩固练习：

练习：判断函数 x y 1= 在(0,+∞)上单调性， 并给予证明。

思考：画出反比例函数x

y 1

=的图象． ① 这个函数的定义域是什么？

② 它在定义域上具有单调性吗？为什么？

③请你确定此函数的单调性，并证明你的结论．

说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．

题后小结：函数的单调性是在定义域内的某个区间上

的性质，证明过程的第一步任取变量一定

要注意其所在的区间范围。

三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取值→作差→变形→定号→下结论四、业布置

1．书面作业：课本P43习题1．3（A组）第1- 4题．

2.提高作业：

(1),f(x)=x2-2bx+b在x ∈ ( -∞,1) 上是减函数，求b的取值范围

(2).f(x)=(b-2)x2-2bx+b在x ∈ ( -∞,1] 上是减函数，

求b的取值范围 .