李忠(北京大学)：数学的意义与数学教育的价值

数学的意义与数学教育的价值李忠（北京大学）一个人，从小学、中学到大学，都得学数学。

干吗要学这么多数学呢？其意义究竟何在？社会公众一般对于数学与数学教育的意义缺乏足够的了解，甚至存在许多误解。

一般说来，人们容易看到各种技术的进步及其对社会发展与人类生活带来的好处，而看不到背后的重要支撑---基础科学，尤其是数学。

这里也有一个舆论问题，数学界缺少面向公众的正确而简明易懂的解释。

在我国，哥德巴赫猜想家喻户晓，人们误认为认为数学是研究那些古老难题的学科，没有多大实际用途，充其量是为国家争光。

现在，有相当多的家长与学生认为数学仅仅是为了升学而不得不学的东西，对于未来就业与工作并没有多大用场。

对于这些问题，应该怎么看呢？让我谈谈自己的看法。

先从数学这门学科讲起。

数学是一门非常特殊的科学。

从科学的分类上，它是一门基础科学，而不是一门应用性科学。

但是它并不是自然科学。

什么是数学？数学是一门演绎科学。

它的研究对象主要是“数”与“形”。

一百多年以前，恩格斯就曾经给数学下过一个定义：“数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。

”一百多年过去了，数学的发展使得数学的研究对象，已经远远超出了“数”与“形”的范畴。

但是，我依然认为恩格斯的说法，是对数学的较好概括，而不大喜欢某些新说法。

这是因为，无论如何，“数学首要的和基本的对象是数量关系和空间形式”（前苏联《哲学百科全书》，1964年版）。

此外，还因为恩格斯的话明确地指出了数学与现实世界之间的联系，而其他说法多忽略了这一点。

自然界中的一切事物，都有“数”与“形”两个侧面。

因此，数学所描述的数量关系与空间形式，就自然成为物理学、力学、天文学、化学、生物学等自然科学的基础。

数学为这些科学提供了语言与工具。

正如，伟大科学家伽利略所说：“大自然，这部伟大的书，是用数学语言写成的。

”回顾科学发展的历史，我们会发现物理学、天文学、力学的许多重大发展无不与数学的进步息息相关。

比如，牛顿力学，特别是万有引力定律的发现，依赖于微积分创立；而爱因斯坦的相对论则以黎曼几何为其基础。

著名数学家黎曼曾经指出：“只有在微积分创立之后，物理才发展成为一门真正意义下的科学”。

而力学与天文学实际上就是一种应用数学。

恩格斯说，“数学在力学中的作用是100%”。

与其他基础科学相比，数学这门科学有其明显的特征。

数学最重要的特征是其研究对象的抽象性，它决定了数学其他特征，并使它区别于自然科学。

任何数字都是抽象的，它舍弃了观察对象的一切其他属性，而只关注其数量。

数字“1”既可以代表一个苹果，也可以代表一只羊，或一座山。

数字“1”就是忽略了苹果，羊，山等事物的差异，而只从数量上加以抽象。

从具体数字再发展到一个代表量的文字“x”，是进一步的抽象。

至于函数y=f(x)，则是一个更进一步的抽象。

正是因为数学对象的抽象性，才决定了它的应用广泛性。

1+1=2不仅适用于苹果，羊，山，而且适用于一切事物。

一个函数y=A sin ωx可以代表可以代表电场的电流或电压的变化规律，也可以代表某种波动的规律。

许多完全不同事物提出的问题可以归结为同一个数学模型，因而一个数学模型的解答大多能应用于多个方面。

数学研究对象的抽象性，决定了数学在其论述方法上明显区别于其他科学----这就是数学的演绎性。

在生物学中，要断言麻雀有胃并不难，只要解剖几个麻雀就足够了。

而在数学中，要说明勾股定理成立，不能只靠验证几个直角三角形，而需要证明。

数学研究中，在其探索阶段也许会用到归纳的办法，但是归纳出来的结论，不能作为定论，而只能作为一种猜测，有待于将来的证明或者否定。

这就是说，数学中要确立一条规律只能依靠严格的逻辑推理，而不能靠归纳，不能靠经验或实验数据，更不能靠人们的直觉或想当然。

比如，到目前为止，我们可以说明，许多大于2偶数都可以表成两个奇数素数之和，但是不能因此而说一切偶数皆如此。

在未证明之前，他只是一个猜想，而不是一个定理。

再比如，我们测量了很多三角形的三个内角之和等于180°，但是不能因此而得出所有三角形都如此的结论，需要严格证明。

数学的这种精神，早在2500多年之前就确定了，这是古希腊人的功劳。

它一直被作为数学的基本精神沿承至今。

古希腊人对数学的最大贡献在于，他们认为数学中的每一个命题，都要根据明白无误的假定和事先给定的公理与公设，由形式逻辑推演出来。

古希腊人的这种精神就是一种科学的精神。

正是由于这种精神才导致了无理数的发现，以及欧几里得《几何原本》的诞生，才使得古希腊的数学成就远远超过了同时代的几个其他文明古国。

后来在欧洲文艺复兴时，古希腊的这种精神在欧洲发扬光大，并带动了数学与自然科学的发展。

比如，微积分的创立与万有引力定律的发现。

此外，能够反映这种科学精神巨大成功的另一个典型事例是非欧几何的诞生。

而如果没有非欧几何，自然也就不会有黎曼几何与爱因斯坦的广义相对论。

数学的这种精神，使人类摆脱了狭隘经验的束缚，促使人们理性地思考与认识世界，并努力追求理性的完美。

柏拉图认为存在一个先验的“理性王国”，这是唯心主义。

但是，他对追求理性完美的肯定却是正确的、有远见的。

他曾说，“否定人类这种追求理性完美的意义，就比猪猡还蠢”。

中国的古代在数学上有重要贡献，但并没有形成一个演绎系统。

在我国，人们认识到科学以及科学精神的重要性，那是很晚的事---20世纪初的五四时代。

那是在屡遭失败并付出巨大代价之后得出的结论。

因为数学的结论是逻辑演绎的结果，所以数学的结论是永恒的，不会随时代变迁而改变。

数学是这样一门科学，它的发展不是对于旧有理论的否定。

非欧几何并不是对欧氏几何的否定，两者都成立，只不过是在不同的公理体系下而已。

人们或许会认为，在历史上数学是重要的，但今天是高科技时代，抽象数学已经没有那么重要了。

我们的结论恰恰相反。

高科技的发展的基石是数学，并且高科技的发展使得数学的应用达到了空前的广泛。

在高科技时代，自然科学的各个研究领域都已进入到更深的层次和更广的范畴，这时就更加需要数学。

在这种情况下，一度被认为没有应用价值的某些抽象的数学概念和理论，出人意料地在其他领域中找到了它们的原型与应用，数学与自然科学的关系从来没有像今天这样密切。

恩格斯过去所说“数学在化学中的应用是线性方程组，而在生物学中的应用是零”的状况早已成为历史。

数学中的许多高深理论与方法正在深入广泛地渗透到自然科学研究的各个领域中去。

例如，分子生物学中DNA结构的研究与数学中的纽结理论有关，而理论物理中的规范场论与微分几何中的纤维丛理论紧密相关。

至于现代理论物理则用到了许多当代纯数学理论。

美国自然科学基金会最近指出：当代自然科学的研究正在日益呈现出数学化的趋势。

事实证明，数学不仅是自然科学的基础，而且也是今天高科技的基础。

20世纪最伟大的技术成就首推电子计算机的发明与应用。

它改变了我们日常生活的方方面面，并使人类进入到信息时代。

在电子计算机的发明史上，里程碑式的人物是图林和冯·诺依曼，他们都是数学家。

今天，IT技术已被广泛地应用于人类生活，使我们无处不感到它的存在。

然而，享用这些成果的人们却往往只看到了技术成果，而看不到这些技术背后起关键作用的数学。

这样的例子很多：医学上的CT技术，中文印刷排版的自动化，波音777的计算机模拟设计，指纹的识别，石油地震勘探的数据处理，网络系统安全技术等等，在这些形形色色的成就背后，数学都扮演着十分重要的不可缺少的角色。

数学在这些领域内不是一种可有可无的参考，而有时是问题的关键。

总之，信息时代的科技创新，要求人们具有较高的数学素养。

1985年，美国国家研究委员会在一份报告中指出：“数学是推动计算机技术发展和促进这种技术在其它领域应用的基础科学”。

该委员会还强调指出“数学是一个大有潜力的资源”，有待人们去大力开发。

他们把数学与能源、材料等并列为必须优先发展的基础研究领域。

钱学森在80年代也提出过所谓“头脑产业”，其主要意思也是IT技术与数学的结合会形成一个巨大产业。

前美国总统科学顾问艾德华•大卫说过一句重要的话：“很少人认识到当今如此被广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术。

”这句话不是要否定各种硬件技术发展的意义，而是强调数学在高技术中的关键性，是要强调高技术中数学的不可或缺性。

从这个意义上讲，他的见解无疑是正确的，并且是富有远见的。

当今数学不再只是通过其它基础学科间接地应用于技术领域，而是广泛地直接地应用于各种技术之中。

现在，大规模科学计算与计算机模拟在科学研究和技术开发中扮演着十分重要的角色，成为一种研究手段。

有时人们把计算机模拟与理论分析、科学实验相并列，称之为科学探索的三大手段之一。

在某些领域里，科学计算已经替代或部分替代了一些价值昂贵的实验，大规模科学工程计算正在材料科学、流体力学等研究中，以及航天、军事和大型工程设计中，发挥着巨大作用。

现在，让我们谈谈数学和经济学及管理科学之间的联系。

用数学模型研究宏观经济与微观经济，用数学手段进行市场调查与预测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资，在发达国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。

在数学中数理统计学，优化与决策，实验设计，随机微分方程，都是专门针对这些问题的数学理论。

中国科学院从过去的一个数学研究所而发展成现在的5个所，其中的一个所就是以研究经济、管理、金融为主。

他们在国家的粮食产量预报、外汇的汇率等一系列问题上，为国家的决策提出了重要参考意见。

近年来，我国的许多高等院校都增设立统计系，乃至金融数学系。

这些现象都反映了数学和经济学、管理学的深刻联系，也反映了社会对于这方面的数学人才的需求。

在经济与金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。

大家知道数学没有诺贝尔奖。

但数学家却从经济学获得了诺贝尔奖。

在诺贝尔经济学奖的获得者当中，数学家占了相当大的比例（有一年的统计数字为17/27）。

美国著名电影《美丽的心灵》就描述了这样一位数学家。

下面谈谈数学教育的价值，主要是中学数学教育的价值。

我个人认为，中学数学教育的目的有以下三个方面：传授初等数学知识；进行逻辑推理训练；培育科学精神。

这里所谓初等数学，是相对于高等数学而言的。

通常，人们把微积分以后的数学称作高等数学，而把此前的数学称作初等数学；其内容应当主要是：初等代数，欧几里得几何，三角函数，解析几何初步。

目前，许多国家在高中阶段讲一点微积分、概率与统计。

尽管如此，中学所讲的数学基本上是以初等数学为主。

中学所讲的这些数学知识是学生在未来的工作与学习所必须的基础数学知识，没有一个坚实的初等数学的基础，学好高等数学是不可能的。

而没有高等数学知识，又怎么学习近代的其他科学的知识呢？不用说理科与工科各个专业，就是一些文科专业，比如，经济类各专业，统计专业，金融专业，以及经济管理专业，同样需要较多高等数学的知识。