散度,旋度,涡度

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旋度散度梯度计算公式

旋度散度梯度计算公式在物理学和工程学中，旋度、散度和梯度是描述场的重要概念。

它们可以用于描述矢量场的变化情况，从而帮助我们更好地理解自然界中的各种现象。

本文将介绍旋度、散度和梯度的计算公式。

旋度旋度是矢量场的一个性质，用于描述一个场在某点旋转的强度和方向。

一般来说，旋度表示矢量场的局部旋转性质。

对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其旋度计算公式如下：$abla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix} $其中$abla \times \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} 的旋度， \vec{i} 、 \vec{j} 和 \vec{k}分别表示x、y和z$方向的单位矢量。

散度散度描述了矢量场的流出或流入程度，它表示一个矢量场在某点的流出量与该点周围的体积之比。

对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其散度计算公式如下：$abla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z} $其中$abla \cdot \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} $的散度。

梯度梯度描述了标量场在某点的变化率和方向，它表示一个标量场在某点的最大变化率和该点的方向。

对于一个标量场$ \phi $，其梯度计算公式如下：$abla \phi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial\phi}{\partial y} \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{pmatrix} $其中$abla \phi 表示标量场 \phi $的梯度。

通量，散度，换流量，旋度

通量，散度，换流量，旋度转载⾃:马同学我在数学书中看到散度和旋度的时候，如果不结合物理来理解这两个数学公式的话，不过是平平⽆奇的曲线积分、曲⾯积分的⼀个应⽤⽽已。

数学书上提到这两个公式的⽬的应该也是为了加深对曲线积分、曲⾯积分的理解。

有句名⾔怎么说的来着：数学没有物理是瞎⼦，物理没有数学是跛⼦下⾯就让我们结合物理来理解下散度和旋度。

我是学数学的并⾮学物理的，我之后涉及的物理知识很可能是⾮常直觉的、不严格的，望⼤家多多包涵。

1 通量与散度要理解散度，先要理解通量。

1.1 通量通量简单来说，就是单位时间内通过的某个曲⾯的量。

1.1.1 太阳辐射与通量听起来有点抽象，我们举个例⼦：我们都知道，⼈类离不开太阳。

因为每时每刻我们都在接收太阳带给我们的能量。

那太阳每秒钟到底会向外辐射多少能量呢？⼀种⽐较直观的办法，就是计算到底有多少能量通过太阳的表⾯。

什么意思呢？这个有着耀眼光芒的就是太阳：为了⽅便观看，我们只看它在⼆维平⾯上的投影图，这并不影响我们的讨论：太阳每时每刻都在向外辐射能量。

沿着太阳表⾯，作⼀条封闭曲线（其实是封闭的曲⾯，因为太阳实际上是⼀个球体）：粗略来说，我们把曲⾯上的给加起来就是通过此曲⾯的通量。

但是这⾥有个细节问题，在曲⾯上的不同的点的⽅向是不⼀样的，我们应该怎么相加？1.1.2 的⽅向这⾥⽤太阳辐射的模型不太好说明，我们换⼀个模型来描述。

我有⼀间房⼦，请⽆视我的灵魂画法：为了⽅便数学建模，我把它表⽰为⼀个多边形：屋外下着垂直于地⾯的⾬滴：如果屋顶有⼀个天窗忘了关，地⾯就会有⼀滩⽔渍：如果是侧⾯的屋顶有同样⼤⼩的天窗忘了关，地上的⽔渍就会⼩⼀些：如果是在垂直的墙壁上的窗户忘了关，可以想见，地上是不会有⽔渍的。

可以观察到，⽔渍在⾬⽔和窗户垂直的时候取到最⼤值，相切的时候取到最⼩值。

在中间的时候⽔渍的⼤⼩是窗户在与⾬⽔垂直⽅向的投影。

所以我们只需要关注垂直于曲⾯的分量就可以了：1.1.3 ⼩结根据上⾯所述，通量就是把曲⾯上的通过积分积起来。

柱面坐标涡量和散度

柱面坐标涡量和散度柱面坐标是一种常用的坐标系，用于描述三维空间中的物体位置和运动。

在柱面坐标系中，一个点的位置由径向距离、极角和高度三个参数确定。

涡量和散度是描述流体运动和场的两个重要概念，它们在物理学和工程学中有着广泛的应用。

涡量是描述流体旋转的量。

在柱面坐标系中，涡量可以通过计算流体速度场的旋度得到。

旋度表示速度场在某一点的旋转程度，可以用来描述流体中的涡旋结构。

在柱面坐标系中，涡量的大小和方向可以通过计算速度场在极角方向上的偏导数减去在径向方向上的偏导数得到。

涡量的大小越大，表示流体旋转的程度越大。

散度是描述流体流动的量。

在柱面坐标系中，散度可以通过计算速度场的散度得到。

散度表示速度场在某一点的流出或流入程度，可以用来描述流体的源汇情况。

在柱面坐标系中，散度的大小可以通过计算速度场在径向方向上的偏导数加上在高度方向上的偏导数得到。

散度的大小越大，表示流体流动的程度越大。

涡量和散度在流体力学中有着重要的应用。

涡量可以用来描述流体中的旋涡和涡旋结构，例如风力发电机的叶片旋转和风洞中的旋涡现象。

散度可以用来描述流体中的源汇和流动情况，例如水流在管道中的流动和空气在飞机机翼上的流动。

涡量和散度的计算可以帮助我们了解流体的运动规律和流动特性，从而优化设计和改进流体系统的性能。

除了在流体力学中的应用，涡量和散度也在电磁学、热传导和声学等领域有着重要的作用。

在电磁学中，涡量可以用来描述电流的环绕和磁场的旋转，散度可以用来描述电荷的分布和电场的源汇情况。

在热传导中，涡量可以用来描述热流的环绕和温度的旋转，散度可以用来描述热源的分布和温度的源汇情况。

在声学中，涡量可以用来描述声波的环绕和声场的旋转，散度可以用来描述声源的分布和声场的源汇情况。

柱面坐标中的涡量和散度是描述流体运动和场的重要概念。

它们在物理学和工程学中有着广泛的应用，可以帮助我们了解流体的运动规律和流动特性，优化设计和改进流体系统的性能。

通过计算涡量和散度，我们可以揭示流体中的旋涡和源汇情况，从而深入理解流体力学和相关领域的物理现象。

散度和旋度

§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：磁场“高斯定理”(2.4-1)安培环路定理(2.4-2)由高斯积分变换定理于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：▽.B = 0 （2.4-3）（比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0）再由斯托克斯积分变换定理由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4）（比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ）(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole)按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5）其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒，e为基本电荷的绝对值.上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止.假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处（2.4-6）那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成（2.4-7）若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程（2.4-8）我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到（2.4-9）Φ0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e 和h 组成. （2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子Φ0的整数倍.磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr. 和 W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooper pair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.[1] B.S.Deaver,Jr.,and W.M..Fairbenk, Phys.Rev.Lett.7 (1961)43.[2] B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48 (1982)1378.[3] B.Cabrera，et,al., Phys.Rev.Lett.51 (1983)1933.梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意义时间与空间是物理最基本的物理量：我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变化率, 加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等, 因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.力做孕i以将能量储存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量内积F．d r表示)因此反过来可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度（有没有联想到梯田的高度差！）以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）电场源自于电荷磁场源自于电流电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便是磁场散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε出现ε只是因为单位选择的因素而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ 黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-23 22:25:30关键词:|电场:2|电荷:1谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε于是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成 Laplace's equation （有源则称poission's equation）(当然以上所写类似d/dx 等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论吧！蔡承宸荣誉点数32点 (高中职)张贴:2006-10-27 01:09:17关键词:|强度:1|电流:3|磁场:3Quote:在 2006-10-23 21:32:24, 黄福坤写了:磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ我想请问两个问题：(一).上面式子的物理意义是不是「若空间中有磁场分布，则必有若干个面电流密度不为零的点存在」以及「空间中的某一位置点P有面电流密度存在，则使得该点产生一有旋的磁场。

电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析.

通过积分形式的麦克斯韦第三方程可以得到磁感应强度矢量的边界条件：，表明磁感应强度的法向分量在分界面上式连续的。 4.磁场强度的散度：
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有：。的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变的位移电流之和。的边界条件：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。的边界条件：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从而得到：。的旋度：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为的边界条件：

向量场的散度与旋度

向量场的散度与旋度向量场的散度与旋度是研究向量场性质的重要概念。

散度和旋度可以帮助我们理解向量场在空间中的流动和变化。

本文将从基本定义、计算方法和几何意义三个方面介绍向量场的散度与旋度。

一、定义向量场是指每个点处都有一个向量与之对应的场。

设向量场为F，该向量场的定义域为R³，若在定义域内的每一点P，都对应着一个三维向量F(P)=⟨P₁, P₂, P₃⟩，则称F为R³上的一个向量场。

二、散度的概念散度描述了向量场的流出或流入某一点的程度。

设向量场为F，位置向量为r=⟨x, y, z⟩，则向量场F的散度定义为div(F) = ∇·F =(∂P₁/∂x) + (∂P₂/∂y) + (∂P₃/∂z)。

三、散度的计算方法为了计算向量场的散度，我们需要对各分量进行偏微分运算。

根据散度的定义，将F展开可得div(F) = (∂P₁/∂x) + (∂P₂/∂y) + (∂P₃/∂z)。

通过对F的每个分量分别求偏导数，再相加得到散度的值。

四、散度的几何意义散度可以解释为向量场在某一点处的源汇强度，表示该点的流动性质。

若div(F) > 0，表示向量场从该点流出；若div(F) < 0，表示向量场流入该点；若div(F) = 0，表示向量场在该点无流动。

五、旋度的概念旋度描述了向量场的旋转性质。

设向量场为F，位置向量为r=⟨x, y, z⟩，则向量场F的旋度定义为rot(F) = ∇×F = ( ∂P₃/∂y - ∂P₂/∂z )i + ( ∂P₁/∂z - ∂P₃/∂x )j + ( ∂P₂/∂x - ∂P₁/∂y )k。

六、旋度的计算方法计算向量场的旋度需要进行向量运算。

根据旋度的定义，可通过交叉相乘的方式计算出每个分量的值，得到向量场的旋度。

七、旋度的几何意义旋度可以解释为向量场在某一点处的旋转强度，表示该点的转动性质。

若rot(F) ≠ 0，表示向量场在该点具有旋转性质；若rot(F) = 0，表示向量场在该点无旋转。

直角坐标系中的散度旋度公式推导

直角坐标系中的散度旋度公式推导在数学和物理学中，直角坐标系是一种常见的坐标系，用于描述和定位空间中的点。

散度和旋度是矢量场的两个重要性质，它们在物理学中有着重要的应用。

本文将介绍直角坐标系中的散度和旋度的计算方法，并推导出相应的公式。

散度的定义和计算散度是矢量场在某一点的流出量与单位体积的比值。

设一个三维矢量场为$ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $，则其散度 $abla \cdot \mathbf{F} $ 可表示为：$$ \ abla \\cdot \\mathbf{F} = \\frac{\\partial F_x}{\\partial x} +\\frac{\\partial F_y}{\\partial y} + \\frac{\\partial F_z}{\\partial z} $$ 其中，$abla \cdot \mathbf{F} $ 对应于直角坐标系下的散度。

旋度的定义和计算旋度是矢量场的环流量密度，它描述了矢量场在某一点的旋转程度。

设一个三维矢量场为 $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $，则其旋度 $abla \times \mathbf{F} $ 可表示为：$$ \ abla \\times \\mathbf{F} = \\left( \\frac{\\partial F_z}{\\partial y} -\\frac{\\partial F_y}{\\partial z}, \\frac{\\partial F_x}{\\partial z} -\\frac{\\partial F_z}{\\partial x}, \\frac{\\partial F_y}{\\partial x} -\\frac{\\partial F_x}{\\partial y} \\right) $$其中，$abla \times \mathbf{F} $ 对应于直角坐标系下的旋度。

散度、旋度、梯度释义

散度、旋度、梯度释义散度、旋度、梯度是矢量分析中的重要概念，通常用于描述矢量场的特性。

1. 散度（Divergence）散度是指矢量场在某一点上的流出量与流入量之差，也就是说，它描述了矢量场的源和汇在该点的情况。

如果某一点的散度为正，表示该点是矢量场的源，矢量场从该点向外扩散；如果散度为负，表示该点是矢量场的汇，矢量场汇聚于该点；如果散度为零，则表示该点是矢量场的旋转中心。

数学上，散度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的散度算子作用于该点处的矢量的结果。

散度算子用符号“∇·”表示，因此，该点的散度可以用以下公式来计算：div F = ∇·F其中，F表示矢量场，div F表示该点的散度。

2. 旋度（Curl）旋度是指矢量场在某一点上的旋转程度，也就是说，它描述了矢量场在该点处的旋转方向和强度。

如果某一点的旋度为正，表示该点周围的矢量场是顺时针旋转的；如果旋度为负，表示该点周围的矢量场是逆时针旋转的；如果旋度为零，则表示该点周围的矢量场没有旋转。

数学上，旋度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的旋度算子作用于该点处的矢量的结果。

旋度算子用符号“∇×”表示，因此，该点的旋度可以用以下公式来计算：curl F = ∇×F其中，F表示矢量场，curl F表示该点的旋度。

3. 梯度（Gradient）梯度是指矢量场在某一点上的变化率，也就是说，它描述了矢量场在该点处的变化方向和强度。

如果某一点的梯度为正，表示该点处的矢量场在该方向上增强；如果梯度为负，表示该点处的矢量场在该方向上减弱；如果梯度为零，则表示该点处的矢量场没有变化。

数学上，梯度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的梯度算子作用于该点处的标量函数的结果。

梯度算子用符号“∇”表示，因此，该点的梯度可以用以下公式来计算：grad f = ∇f其中，f表示标量函数，grad f表示该点的梯度。

直角坐标系梯度散度旋度公式大全

直角坐标系梯度散度旋度公式大全梯度、散度和旋度是数学中的向量运算符，它们在直角坐标系中具有重要的应用。

本文将介绍直角坐标系下梯度、散度和旋度的定义以及它们的具体计算公式。

梯度梯度是一个向量，它表示标量函数在空间中变化最快的方向和速率。

在直角坐标系中，梯度可以使用以下公式进行计算：grad(f) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k其中，f是一个标量函数，i、j和k分别表示直角坐标系中的单位向量。

散度散度是一个标量，它表示向量场的源或汇在给定点的密度。

在直角坐标系中，散度可以使用以下公式进行计算：div(F) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z其中，F是一个向量场，Fx、Fy和Fz分别表示该向量场在x、y和z方向的分量。

旋度旋度也是一个向量，它表示向量场在给定点的旋转程度。

在直角坐标系中，旋度可以使用以下公式进行计算：curl(F) = ( ∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z )i + ( ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x )j + ( ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y )k其中，F是一个向量场，Fx、Fy和Fz分别表示该向量场在x、y和z方向的分量。

梯度、散度和旋度的物理意义梯度、散度和旋度在物理学和工程学中有广泛的应用。

梯度描述了标量场的变化速率和方向，它在物理学中常用于描述场的势能分布、温度分布或者电势分布。

散度描述了向量场的源和汇的密度，它在物理学中常用于描述电场分布中的电荷密度或者流体力学中的流体源。

旋度描述了向量场的旋转程度，它在物理学中常用于描述流体力学中的涡旋运动或者电磁场中的涡旋流。

结语本文介绍了直角坐标系下梯度、散度和旋度的定义和计算公式，以及它们在物理学和工程学中的应用。

这些向量运算符在求解偏微分方程、分析场的性质和描述物理现象中起着重要的作用。

对于深入理解这些概念，进一步探索它们在不同领域和问题中的应用非常有帮助。

大气边界层中散度、涡度、铅直速度的计算

大气边界层中散度、涡度、铅直速
度的计算
大气边界层中散度、涡度、铅直速度的计算是一个比较重要的任务，它可以帮助我们了解大气环境状况，有助于进行大气环境预测。

一般来说，大气边界层中散度、涡度、铅直速度的计算是包括以下几个步骤：
1. 确定大气边界层的位置：首先要根据当地的气象条件和大气层次结构来确定大气边界层的位置，这也是计算散度、涡度和铅直速度的基础条件。

2. 计算大气边界层上空气流动的散度：一般来说，散度就是空间上气流分散的程度，一般可以用大气边界层上空气流动的瞬时速度差方程来计算，并且用风向角度及风速来表示，从而计算出大气边界层上空气流动的散度。

3. 计算大气边界层上空气流动的涡度：涡度是指空气流动的旋转度，通常可以用大气边界层上空气流动的瞬时速度弯曲方程来计算，并且用风向角度及风速来表示，从而计算出大气边界层上空气流动的涡度。

4. 计算大气边界层上空气流动的铅直速度：铅直速度是指空气流动的垂直方向上的速度，一般可以用大气边界层上空气流动的瞬时速度斜率方程来计算，并且用风向角
度及风速来表示，从而计算出大气边界层上空气流动的铅直速度。

以上就是大气边界层中散度、涡度、铅直速度的计算的详细过程，它们都是由大气边界层上空气流动的瞬时速度来计算，精确的计算结果对于我们了解大气状况十分重要，因此，在计算大气边界层中散度、涡度、铅直速度时，应当注意细节，以确保计算结果的准确性。

散度的旋度

散度的旋度散度和旋度是向量场的两个重要概念。

它们分别描述了向量场的发散和旋转程度，对于研究流体力学、电磁学等领域具有重要的应用价值。

散度（Divergence）是一个标量，描述了向量场在某一点的流出或流入程度。

它可以用来描述流体在某一点的流量变化情况。

在三维空间中，散度的定义为：$%nabla Íot %boldsymbol{F}= %frac{%partial F_1}{%partial x} + %frac{%partialF_2}{%partial y} + %frac{%partial F_3}{%partial z}$，其中$%boldsymbol{F}$是一个向量场，$F_1, F_2, F_3$是它在$x, y, z$方向上的分量。

如果在某一点，向量场的散度为正，说明该点有流出现象；如果散度为负，说明该点有流入现象；如果散度为零，则说明该点既没有流入也没有流出。

散度的物理意义十分直观，它可以用来描述物质的密度变化情况，对于流体力学、热力学等领域具有广泛的应用。

旋度（Curl）是一个向量，描述了向量场在某一点的旋转程度。

它可以用来描述流体在某一点的旋转情况。

在三维空间中，旋度的定义为：$%nabla %times %boldsymbol{F} = ¾gin{vmatrix}%boldsymbol{i} & %boldsymbol{j}& %boldsymbol{k}%% %frac{%partial}{%partial x}& %frac{%partial}{%partial y} & %frac{%partial}{%partial z}%%F_1 & F_2 & F_3%end{vmatrix}$，其中$%boldsymbol{i}, %boldsymbol{j}, %boldsymbol{k}$是三个单位向量。

电磁场旋度散度

电磁场旋度散度电磁场是物质与电磁力相互作用的一种表现形式。

在电磁学中，旋度和散度是描述电磁场性质的两个重要概念。

旋度是矢量场的一个重要特征，表示了矢量场在空间中的旋转程度。

在电磁场中，旋度描述了磁场的旋转特性。

具体而言，旋度表示磁场矢量在单位面积内旋转的速率。

旋度的大小和方向代表了磁场矢量的旋转速率和旋转方向。

当旋度为零时，表示磁场无旋转，磁场线是闭合的。

当旋度不为零时，表示磁场存在旋转，磁场线是开放的。

散度是矢量场的另一个重要特征，描述了矢量场的源和汇。

在电磁场中，散度描述了电场和磁场的源和汇分布情况。

具体而言，散度表示单位体积内的场强变化率。

散度的正负代表了场强源和汇的性质，正值表示场强源，负值表示场强汇。

当散度为零时，表示场强无源无汇，场线是闭合的。

当散度不为零时，表示场强存在源和汇，场线是开放的。

旋度和散度是描述电磁场的两个重要工具，它们可以帮助我们理解电磁场的变化规律和分布情况。

通过研究旋度和散度，我们可以深入了解电磁场的性质和行为，为电磁学的研究和应用提供理论基础和实践指导。

旋度和散度的概念不仅在电磁学中有重要意义，也在其他领域有广泛应用。

例如，在流体力学中，旋度和散度可以描述流体的旋转和流动情况；在地理学中，旋度和散度可以描述大气环流和海洋洋流的变化规律。

因此，旋度和散度的研究不仅对电磁学有价值，也对其他学科的发展和应用具有重要影响。

电磁场的旋度和散度是描述电磁场性质的两个重要概念。

旋度描述了磁场的旋转特性，散度描述了电场和磁场的源和汇分布情况。

通过研究旋度和散度，我们可以深入了解电磁场的性质和行为，为电磁学的研究和应用提供理论基础和实践指导。

旋度和散度的概念在其他领域也有广泛应用，对相关学科的发展和应用具有重要影响。

【基础科学】旋度和散度(共111页)

Curl
[ A nˆ lim
l A dl ]max
S 0
S
2、旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
该面元矢量的方向 nˆ 。
2) 它描述A在该点处的旋涡源强度。
3) 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
§1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
s
ds

q
4 r2
4
r2

q
这证明在此球面上所穿过的电通量 e 的源正是点电荷q。
例：
球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
解：
Sr ds
r x y z 3 x y z
r ds rdv 3 dv 3 4 r3 4 r3
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量）等于A•B/|A|

旋度和散度的在电磁场中的物理意义

旋度和散度的在电磁场中的物理意义
电磁场中旋度和散度是不可分离的两个重要概念，它们在物理上有着明确的解释、定义与研究，因而在现在的物理学研究中发挥了重要作用。

旋度是指电磁场的旋转特性，指的是力场上的一个数量，具有旋转对称性，可
以按照一定的旋转方向。

简单来讲，就是指电磁场在一定半径范围内，存在着一个旋转的矢量势能。

旋度可以用来描述电磁场中矢量螺旋状势场的相对强度，主要表现形式是熵值。

散度是指矢量势能在不同半径中的变化情况，是电磁场强度变化的一种测量值。

通过对散度的测量，可以检测电磁场在不同空间尺度的不同分布，从而更好的了解整个能量场结构，更有助于分析电磁现象的特征。

两者是紧密联系的，旋度描述了力场的局地分布，而散度表示了力场在全局上
该如何发生变化。

旋度代表着空间力学视角下的纯发现，而散度却发挥着更全面的功能，它把空间力学视角的描述上升到一个更为普遍的概念，两者相互补充，共同帮助我们更好地去理解电磁场。

散度和旋度的物理意义

散度和旋度的物理意义是什么?
散度与旋度是曲线积分和曲面积分的一个应用。

旋度的物理意义是设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小。

一般说来，这两者的比值有一极限值，即记作单位面积平均环流的极限。

散度的物理意义是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。

水平散度是气体在单位时间内水平面积的变化率。

如果面积增大，散度取正值，为水平辐散；如果面积缩小，散度取负值，为水平辐合。

三维空间的散度表示任意气块在单位时间内其单位体积的变化率。

气块的体积膨胀称为辐散，气块体积收缩称为辐合。

定义：
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。

水平散度是气体在单位时间内水平面积的变化率。

如果面积增大，散度取正值，为水平辐散；如果面积缩小，散度取负值，为水平辐合。

三维空间的散度表示任意气块在单位时间内其单位体积的变化率。

气块的体积膨胀称为辐散，气块体积收缩称为辐合。

在大气科学中散度指衡量速度场辐散、辐合强度的物理量。

单位为/秒。

表示单位时间内体积的膨胀率。

在不可压缩流体中散度为0，所以水平方向有辐散或辐合，垂直方向就会发生补偿性的收缩和延伸，而出现垂直运动。

因此，可以通过水平散度计算大气中的垂直速度。

散度与旋度

散度与旋度散度和旋度是物理学和数学中两个关键的概念，它们用于描述向量场的特性。

在本篇文档中，我们将探讨散度与旋度的定义、特性以及它们在现实生活中的应用。

散度散度是一个向量场的发散性度量，它描述了向量场的源头和汇聚点。

向量场是在空间中每个点上定义的矢量函数，而散度则告诉我们一个点的流出量与流入量之差。

如果流出的量大于流入的量，则散度为正；反之，如果流入的量大于流出的量，则散度为负。

数学上，一个向量场的散度可以通过取其数学上的散度运算得到。

在三维空间中，向量场的散度定义为其每个分量的偏导数之和：div(F) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z其中，Fx、Fy和Fz分别代表向量场F在x、y和z三个方向的分量。

散度有许多实际应用，尤其是在流体力学和电学中。

在流体动力学中，散度可以用于计算一个流体的源汇量；在电学中，散度可以用于描述电场在空间中的分布特性。

旋度旋度是一个向量场的旋转性度量，它描述了向量场在一个点上是否具有旋转特性。

像散度一样，向量场也是在空间中每个点上定义的矢量函数，而旋度则告诉我们一个点处的流线是否发生了旋转。

数学上，一个向量场的旋度可以通过取其数学上的旋度运算得到。

在三维空间中，向量场的旋度定义为其每个分量的偏导数之差：rot(F) = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k其中，i、j和k分别代表向量场在x、y和z三个方向的单位矢量。

旋度也有许多实际应用。

在固体力学中，旋度可以用于描述与旋转有关的物理量，如刚体的旋转角速度；在电学中，旋度可以用于计算涡旋电场所产生的感应电动势。

散度与旋度的关系散度和旋度是向量场两个重要的特性，它们在很多情况下都是相互关联的。

根据斯托克斯定理，一个向量场在某一个曲面上的散度与该向量场在其边界上的旋度有着直接的关系。

具体来说，斯托克斯定理表明，当我们考虑一个空间曲面上的向量场时，曲面内部的散度与曲面边界上的旋度是相等的。

名词笔记

1. Θse：<0 不稳定能量区有利于对流的发生2.散度：指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

3.涡度：就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场，而散度是一个标量场4.低压槽英文名称：Trough of low pressure概况：三面气压较高而一面气压较低的天气系统，简称槽，低压槽内常伴有辐合上升运动，易生产生云和降水。

天气图上低压中心向外伸展的那部分，等压线不闭合略呈“U”型或“v”型的低压区域（像水槽，中间气压低，两侧气压高）称为低压槽。

从低压区中延伸出来的狭长区域称为低压槽，简称为槽，槽中的气压值比两侧的气压要低。

在天气图上。

低压槽一般从北向南伸展。

凡从南向北伸展的槽称为倒槽，从东向西伸展的槽称为横槽。

从北向南伸展的低压槽一般是处于西风气流中，而横槽是在东北气流与西北气流的交界处，倒槽则是处于偏东气流之中。

槽中各条等压线弯曲最大处的连线称为槽线。

在对流层的中下部，低压槽附近的气流呈辐合上升的形式，故在低压槽附近易产生气旋等天气系统，并常伴有雨雪、大风、降温等天气。

4.“低压槽”和“高压脊”两个名词，实际上就是气旋和反气旋。

在北半球的西风带里，大气是呈波浪起伏式运动的。

波浪的低谷区就是低压槽，气流作反时针方向旋转，气压分布是中间低、四周高，空气自外界向槽内流动，槽内空气辐合上升，形成阴雨天气。

波浪的高峰区就是高压脊，气流作顺时针方向旋转，气压分布是中间高、四周低，空气自中心向外辐散，脊内盛行下沉气流，一般天气晴好。

一对槽脊，一低一高组成一个波动。

西风带里的高空槽脊系统就叫西风波。

高空的槽脊系统与地面的天气变化有密切的关系。

如在北半球的西风带里，高空槽前一般吹西南风，这种风能把孟加拉湾和印度洋上空的暖湿空气输送到我国中纬度地区，为形成云雨创造了条件。

散度,旋度

如何理解高等数学中的散度、旋度李伯忍(东莞理工学院计算机学院, 广东东莞 523808)摘要: 曲线积分和曲面积分是高等数学课程中的重点和难点, 格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是沟通上述几类积分内在联系的几个重要积分公式. 本文研究了高斯公式和斯托克斯公式中的散度和旋度的物理含义.关键词: 曲线积分; 曲面积分; 散度; 旋度中图分类号: O113, O335 文献标识码: A1 引言理工类专业学生在学习课程“高等数学”的过程中, 对曲线积分和曲面积分往往感到困难. 这是因为这部分的课程内容的理论性较强, 概念较抽象, 尤其是第二类曲线积分和第二类曲面积分以及两个重要的积分公式即高斯公式和斯托克斯公式, 它们涉及到场论中通量和散度、环流量和旋度等物理概念, 但在常见的“高等数学”教材中较少涉及这部分内容, 因此导致学生对这部分的教学内容难以理解. 据此本文将从这些概念的物理含义作较为详细地介绍, 以期减少学生学习中的困难.曲线积分和曲面积分实际上是积分的区域分别是平面或空间中的一段曲线和一片曲面的情形, 这有别于积分的区域是数轴上的区间, 平面上的区域和空间中的区域. 曲线积分和曲面积分分别有第一类曲线积分和曲面积分及第二类曲线积分和曲面积分. 格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是沟通上述几类积分内在联系的几个重要积分公式.高斯公式可以认为是格林公式在三维空间中的推广. 格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域边界曲线上的曲线积分之间的联系, 可以把在某一坐标平面上分段光滑的闭合曲线上的第二类曲线积分转化为相应坐标平面上的二重积分来计算. 而高斯公式揭示了空间闭合区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系, 可以把坐标空间中分片光滑的闭合曲面的第二类曲面积分转化为空间中闭合曲面围成的区域的三重积分来计算, 反之亦然. 斯托克斯公式建立了沿空间曲面的曲面积分与该曲面的边界闭合曲线的曲线积分的联系, 是联系第二类曲线积分和第二类曲面积分的桥梁, 是格林公式的推广. 本文着重研究了高斯公式和斯托克斯公式中的散度和旋度的物理含义.2 通量与散度定义向量微分算子k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 它被称为哈密尔顿算子, 也称之为矢量微商符.定义流速场k z y x R j z y x Q i z y x P V ),,(),,(),,(++=→, 取哈密尔顿算子∇与流速场→V 的数量积, 即→→=∂∂+∂∂+∂∂=++⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇V div z R y Q x P Rk Qj Pi k z j y i x V )( (2.2)现在我们要问, 这样运算得到的到底是一个什么样的物理量? 为什么称它为散度? 为了说明此问题, 引入体积通量F , 它定义为→→⋅=∫∫σσd V F (2.3)式中σ为流体中某一封闭曲面, σσd n V d V →→→→⋅=⋅为单位时间经σd 面元的流体体积的通量, 因此(2.3)式为单位时间内流经整个闭曲面σ的流体体积通量. 按曲面积分和体积积分之间转换的高斯公式, 于是(2.3)式的右端可改写为 τστσd V d V ∫∫∫∫∫→→→⋅∇=⋅ (2.4) 式中τ为闭合曲面所围成的体积. 当闭合曲面向内无限缩小, 即0→τ时, 则→→→⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇∫∫∫∫∫∫V d d V τττττ0lim (2.5) 结合(2.2)-(2.5)式, 即有ττF V div 0lim →→= (2.6)此时说明流体的散度其实就是单位体积的流体体积通量. 当σ为几何面时, 如果0)(>→M V div , 表示流点M 有外流的体积通量, 犹如泉水的源头, 在流体力学中称之为源, 它的大小表示源的强度; 如果0)(<→M V div , 表示流点M 是汇, 它的大小表示汇的强度; 如果0)(=→M V div , 表示流点M 既不是源也不是汇. 当σ为流点组成的物质面, 外流体积通量相当于流点组成的闭曲面σ的向外膨胀, 故0)(>→M V div , 表示流点M 的体积膨胀, 它的大小表示膨胀的强度; 反之, 表示流点M 的体积收缩, 它的大小表示收缩的强度.3 环流量与旋度取哈密尔顿算子∇与流速场→V 的矢量积, 即→→=∂∂∂∂∂∂=×∇V rot R Q P z y xk j iV (3.1) 在流体力学中称之为涡度或旋度, 同样要问, 这样运算得到的物理量究竟代表了什么样的物理意义? 为什么称它为旋度? 在微积分学中, 函数)(x f y =的几何图形通常为一曲线, 相应的一阶导数dx df 为该曲线在相应点的切线的斜率, 它是反映该曲线特征的一个量. 相仿地, 流场→V 是空间坐标) , ,(z y x 的函数, 对它作一阶矢量微商运算即→×∇V , 也应是反映该流速场特征的一个量. 所以, 旋度是流速场的一个微商量, 为了说明它的物理含义, 再引入一个与它密切有关的流速场的积分量即速度环流, 可清晰的说明(3.1)式的物理含义. 为此, 在流体中取一闭曲线l , 该曲线上某一点的矢量微元→l d 与该点流速矢量→V 的方向通常并不一致. 但是, 一般情况下该点的流速矢量→V 在→l d 方向总具有分量, 然后沿闭合曲线l 将所有这些流速分量进行求和, 记作Γ, 于是 →→⋅=Γ∫l d V (3.2)这个数值称作环流量, 实际上也是矢量函数→V 沿有向闭合曲线l 的第二类曲线积分. 当l 为闭合曲线时, 环流量Γ表示了流体完全沿着闭合曲线l 流动; 环流量Γ也表示了流体沿闭合曲线流动趋势的程度.引用曲线积分和曲面积分的转换公式, 即斯托克斯公式, 有 →→→→⋅×∇=⋅=Γ∫∫∫σσd V l d V l (3.3) 式中σ为以闭合曲线l 为周界的任意曲面, 曲面的单位法向→n 则顺着周界按右手螺旋法则确定. 如果闭合曲线向内无限收缩, 即0→σ, 于是→→→→→⋅×∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅×∇∫∫∫∫n V d d V σσσσσ0lim (3.4) 将(3.3)式代入(3.4)式, 可得σσΓ=⋅×∇→→→0lim n V (3.5) 由此可知, 流体某点的旋度矢量在相应单位面元法向的分量就是单位面积环流量的极限值. 在一般情况下, 由于旋度→×∇V 是空间矢量, 而环流量Γ仅是一个标量, 因此只能认为旋度矢量的模(即||→×∇V ), 正好等于跟旋度矢量相垂直的某面元上单位面积环流量的极限值. 若以运动员在闭合跑道上跑步比作速度环流量, 则当闭合跑到无限缩小时, 运动员就只能在原地打转了. 从这个比喻可知, 流体单位面积环流量的极限值(即→→⋅×∇n V )是量度流体旋转程度的物理量, 故把→×∇V 称作旋度. 由于流速矢量→V 为场的分布, →×∇V 称作旋度矢量场. 下面以一个简单的例子来对旋度的含义作些解释.设有刚体绕定轴L 转动, 角速度为→ω, M 为刚体内任意一点, 在定轴L 上任取一点O 为坐标原点, 作空间直角坐标系, 使z 轴与定轴L 重合, 则k ωω=→, 而点M 可用向量) , ,(z y x OM r ==→→来确定, 有力学知识知道, 点M 的线速度→v 可表示为→→→×=r v ω, 由此有)0 x, ,(00ωωωy zy x k j i v −==→, 而→→==−∂∂∂∂∂∂=ωωωω2)2 0, ,0(0xy zy x kj i v rot 这说明对刚体上任意一点的旋度刚好等于角速度的两倍, 当刚体无限收缩的情况下即变为流点, 这表明旋度不但是量度流体旋转的物理量, 而且其值正好等于流点角速度的两倍. 此结论对一般三维流动情况也成立.4 结束语高等数学是理工类专业的基础课程, 从本文的研究, 我们看到曲线积分和曲面积分等内容与流体力学的紧密联系. 可以说, 能够较好的掌握高等数学知识, 是理工类专业的学生进一步学习相关专业课程必备的专业技能.参考文献[1] 吴赣昌. 高等数学(下册)[M]. 北京: 中国人民大学出版社, 2007.[2] 同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[3] 余志豪, 苗曼倩, 蒋全荣, 杨平章. 流体力学[M]. 北京: 气象出版社, 2004.。

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假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。

假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。

此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。

上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。

如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。

矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。

显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将它们乘以一个数，或加上一个数等。

但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，其中散度就是其中一种。

三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。

注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。

对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下操作：1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同；2、将这个值赋予这个点对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。

除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度运算(curl)。

跟散度运算不同，旋度运算的结果不是标量场，而是另一个矢量场。

旋度运算的规则比较繁复，但是网上很多地方都有解释，这里就不讲了。

而涡度就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场，而散度是一个标量场，这就是两者的本质区别了。

对电场散度和旋度的理解首先在说明散度和旋度之前，先说说对于曲面积分和曲线积分的理解。

对曲面的积分有两类（第一类曲面积分和第二类曲面积分），这个差别主要在于矢量性，第一类曲面积分并不带矢量性，比如知道面密度和面积的微元，对密度求积分得到整个面积的质量，而第二类曲面积分带有矢量性，比如知道流速V=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k和小微元面积的单位法向量n=(cosA,cosB,cosC)，对流速求积分得到单位时间的流量，但是后者的流速和小微元面积带有方向。

因此可以说第二类曲面积分就是对于向量点积的积分，第一类面积分就是对一般数乘的积分，而第一类曲面积分就是第二类曲面积分的特殊情况。

由曲面积分可以引入高斯公式：对曲线积分也有两类（第一类曲线积分和第二类曲线积分），对于曲线积分其实和曲面积分一样，第一类和第二类的区别依然在于矢量性。

比如，在第一类曲线积分的一个应用是求变线密度弯曲细杆的质量，而第二类是求变力沿曲线做功（力的方向和大小都在随着位移变化）。

由曲线积分可以引入格林公式：这些概念我们可以看出，高斯公式是三重积分和曲面积分的运算关系，格林公式是曲面积分和线积分的运算关系。

有了这些基本概念，我们来看散度和旋度的问题，进而引出MAXWELL方程组。

先看散度的定义式：这个定义式说明散度就是一个矢量在一个闭区域内，其单位体积内通量的大小，通量即是通过之量的意思，如果用高斯定理和积分中值定理，由此我们就可以得出一个重要的结论：矢量的通量即是这个矢量对X,Y,Z...的偏导的和（标量），通量通俗的讲，可以理解为一个矢量在闭合曲面的累积效果，就像积分的本质就是求和一样，这对于后面理解MAXWELL方程组有很大帮助。

接下来引入旋度的公式：这个公式告诉我们一个矢量旋度，实际上就是这个矢量在一个闭合曲线上沿曲线切线方向的积累，但这个是有方向的，该方向与曲线的环绕方向满足右手螺旋定则，这就是旋度，旋度越大，说明这个矢量在闭合曲线上的积累越多。

很容易明白，对于静电场而言，其电场强度的旋度为0。

如果用斯托克斯公式（格林公式的推广）和积分中值定理，我们就能得到下面的结论：这个公式正是矢量旋度的表达式。

下面我们就由这些来看看MAXWELL方程组：现在我就分别说明下我对上面公式的理解。

第一个揭示了电场是一个有源场，什么是有源场呢？？我的理解是，该场的散度是由实体物质（正负电子）所发出，是有源可寻的。

第二个高斯磁定律，磁感应强度的散度为0，即为这个磁场是无源可寻的，这也就说明无法寻找到磁单极，这里我认为，在电子绕原子核高速运动的过程中，随着电子运动的速度矢量和位移乘积的变化，会向外辐射出一定能量，这个能量即可以形成磁场。

第三个是法拉第电磁感应定律，首先这个定律应用在运动电荷而不是静电荷上，这个定律告诉我们，变化的磁场产生闭合涡旋电流，磁通量的变化会产生电场强度，电场强度的变化还会阻碍磁通量的变化，而电场强度在其周围的切向动态积累不为0，磁场变化对电场强度的影响。

第四个等式，到目前也只能理解为变化的电流产生磁场。

更多的理解，以后慢慢补充。

梯度：是一个向量，大小是单位距离内观测量变化的多少，方向是等势面（或等势线）变化最快的方向，该方向与等势面（或等高线）垂直。

例如：爬山的时候沿什么方向爬的最快？当然是沿直线到山顶最快，也就是垂直山体的等高线爬山速度最快，即梯度。

散度：是空间某一点所含的源的强度，它不是矢量，而是标量。

比如某点上有个电荷+Q，它向四面八方传播电场，那么这个点上散度的大小是Q。

（散度和高斯定理有密切联系~注意散这个字，就像+Q一样将电场散向四面八方。

）旋度：一个矢量可以根据右手定则产生出与它垂直的另一个矢量（比如电流I这个矢量可以在空间任意点产生一个垂直的磁B矢量）。

旋度是一个矢量，是某一个向量（比如磁B矢量）的源头（I）的大小及方向。

旋这个字貌似在影射右手定则的样子。

梯度积完是原函数,散度积完是高斯公式,旋度积完是stokes公式。

梯度描述标量场，是标量场方向导数最大方向的变化率。

旋度和散度描述矢量场，旋度描述场的漩涡结构如何，散度描述场的源性结构如何。

散度可以理解为单位体积之通量，旋度可理解为单位面积之环流。

梯度，例如温度梯度，即温度的偏导。

可以认为是温度变化最快的方向。

散度，简单理解为离散程度。

可以认为是物体的收缩和膨胀程度。

涡度，简单理解为旋转程度。

可以认为是物体的旋转。

散度和旋度都是矢量，梯度则是一个标量。

它表示的是标量场有着最大陡峭程度的方向的变化率，就象我国地图上青藏高原落差最大地方的变化率一样。

散度是闭合曲面围成空间中的通量除以围成空间体积，然后令曲面无限小。

旋度是闭合曲面围成面积中的环流除以围成范围面积，然后令曲线无限小。

拿水池举例，入水口的散度为正，出水口的散度为负，散度值的大小由入/出水的速度而定。

水池内其他位置单位时间内流入的水量等于流出的水量，所以散度为0。

将一颗小球放入水中（假设球心位置不改变），该球因为水流运动而旋转的速度就是该点旋度的值，该球旋转的顺/逆时针决定该点旋度值的符号，该球旋转轴的方向决定该点的旋度方向。

简单地说:散度就是看看某一个点是否有"射线"发出;旋度就是放个"水车"在某个点，看看"水车"能不能转起来。

什么是散度｜散度的物理意义导读：散度是一个标量，流体速度场的散度为0时，流体不会发散，散度定义为区域直径趋于0时，其边界面上的矢量积分和区域体积的比值。

譬如在电场中，一点的散度就可以解释为：包围此点的一个很小曲面上的电通量和这个小曲面包围体积的比。

或者可以理解为某点附近单位体积包围面的电通量。

如果某点E散度为0，那么此点就没有电荷。

这是麦克...什么是散度｜散度的物理意义散度是一个标量散度的意义粗糙的理解是，在一个点附近射出向量数与射入向量数的差散度可以理解为一个流场中，某点的流速v在各方向的变化率之和，是一个标量。

根据这个定义可以知道，如果在流场中取一小空间，其散度不为零的话，就说明有流入或流出的流体。

当散度为零的话，说明该小空间的流体是连续的，没有多余的流体流入流进。

所以，连续体的连续式就是以此式为零流体速度场的散度为0时，流体不会发散散度定义为区域直径趋于0时其边界面上的矢量积分和区域体积的比值。