散度,旋度,涡度

假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。

上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。

矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。

显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将它们乘以一个数，或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，其中散度就是其中一种。

三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。

对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下操作：

1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同；

2、将这个值赋予这个点

对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。

除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度运算(curl)。

跟散度运算不同，旋度运算的结果不是标量场，而是另一个矢量场。旋度运算的规则比较繁复，但是网上很多地方都有解释，这里就不讲了。

而涡度就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场，而散度是一个标量场，这就是两者的本质区别了。

对电场散度和旋度的理解

首先在说明散度和旋度之前，先说说对于曲面积分和曲线积分的理解。

对曲面的积分有两类（第一类曲面积分和第二类曲面积分），这个差别主要在于矢量性，第一类曲面积分并不带矢量性，比如知道面密度和面积的微元，对密度求积分得到整个面积的质量，而第二类曲面积分带有矢量性，比如知道流速V=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k和小微元面积的单位法向量n=(cosA,cosB,cosC)，对流速求积分得到单位时间的流量，但是后者的流速和小微元面积带有方向。因此可以说第二类曲面积分就是对于向量点积的积分，第一

类面积分就是对一般数乘的积分，而第一类曲面积分就是第二类曲面积分的特殊情况。

由曲面积分可以引入高斯公式：

对曲线积分也有两类（第一类曲线积分和第二类曲线积分），对于曲线积分其实和曲面积分一样，第一类和第二类的区别依然在于矢量性。比如，在第一类曲线积分的一个应用是求变线密度弯曲细杆的质量，而第二类是求变力沿曲线做功（力的方向和大小都在随着位移变化）。

由曲线积分可以引入格林公式：

这些概念我们可以看出，高斯公式是三重积分和曲面积分的运算关系，格林公式是曲面积分和线积分的运算关系。有了这些基本概念，我们来看散度和旋度的问题，进而引出MAXWELL方程组。

先看散度的定义式：

这个定义式说明散度就是一个矢量在一个闭区域内，其单位体积内通量的大小，通量即是通过之量的意思，如果用高斯定理和积分中值定理，由此我们就可以得出一个重要的结论：

矢量的通量即是这个矢量对X,Y,Z...的偏导的和（标量），通量通俗的讲，可以理解为一个矢量在闭合曲面的累积效果，就像积分的本质就是求和一样，这对于后面理解MAXWELL方程组有很大帮助。

接下来引入旋度的公式：

这个公式告诉我们一个矢量旋度，实际上就是这个矢量在一个闭合曲线上沿曲线切线方向的积累，但这个是有方向的，该方向与曲线的环绕方向满足右手螺旋定则，这就是旋度，旋度越大，说明这个矢量在闭合曲线上的积累越多。很容易明白，对于静电场而言，其电场强度的旋度为0。如果用斯托克斯公式（格林公式的推广）和积分中值定理，我们就能得到下面的结论：

这个公式正是矢量旋度的表达式。

下面我们就由这些来看看MAXWELL方程组：

现在我就分别说明下我对上面公式的理解。

第一个揭示了电场是一个有源场，什么是有源场呢？？我的理解是，该场的散度是由实体物质（正负电子）所发出，是有源可寻的。

第二个高斯磁定律，磁感应强度的散度为0，即为这个磁场是无源可寻的，这也就说明无法寻找到磁单极，这里我认为，在电子绕原子核高速运动的过程中，随着电子运动的速度矢量和位移乘积的变化，会向外辐射出一定能量，这个能量即可以形成磁场。

第三个是法拉第电磁感应定律，首先这个定律应用在运动电荷而不是静电荷上，这个定律告诉我们，变化的磁场产生闭合涡旋电流，磁通量的变化会产生电场强度，电场强度的变化还

会阻碍磁通量的变化，而电场强度在其周围的切向动态积累不为0，磁场变化对电场强度的影响。

第四个等式，到目前也只能理解为变化的电流产生磁场。

更多的理解，以后慢慢补充。

梯度：是一个向量，大小是单位距离内观测量变化的多少，方向是等势面（或等势线）变化最快的方向，该方向与等势面（或等高线）垂直。例如：爬山的时候沿什么方向爬的最快？当然是沿直线到山顶最快，也就是垂直山体的等高线爬山速度最快，即梯度。

散度：是空间某一点所含的源的强度，它不是矢量，而是标量。比如某点上有个电荷+Q，它向四面八方传播电场，那么这个点上散度的大小是Q。（散度和高斯定理有密切联系~注意散这个字，就像+Q一样将电场散向四面八方。。）

旋度：一个矢量可以根据右手定则产生出与它垂直的另一个矢量（比如电流I这个矢量可以在空间任意点产生一个垂直的磁B矢量）。旋度是一个矢量，是某一个向量（比如磁B矢量）的源头（I）的大小及方向。旋这个字貌似在影射右手定则的样子。

梯度积完是原函数,散度积完是高斯公式,旋度积完是stokes公式。

梯度描述标量场，是标量场方向导数最大方向的变化率。旋度和散度描述矢量场，旋度描述场的漩涡结构如何，散度描述场的源性结构如何。散度可以理解为单位体积之通量，旋度可理解为单位面积之环流。

梯度，例如温度梯度，即温度的偏导。可以认为是温度变化最快的方向。

散度，简单理解为离散程度。可以认为是物体的收缩和膨胀程度。

涡度，简单理解为旋转程度。可以认为是物体的旋转。

散度和旋度都是矢量，梯度则是一个标量。它表示的是标量场有着最大陡峭程度的方向的变化率，就象我国地图上青藏高原落差最大地方的变化率一样。

散度是闭合曲面围成空间中的通量除以围成空间体积，然后令曲面无限小。

旋度是闭合曲面围成面积中的环流除以围成范围面积，然后令曲线无限小。

拿水池举例，入水口的散度为正，出水口的散度为负，散度值的大小由入/出水的速度而定。水池内其他位置单位时间内流入的水量等于流出的水量，所以散度为0。

将一颗小球放入水中（假设球心位置不改变），该球因为水流运动而旋转的速度就是该点旋度的值，该球旋转的顺/逆时针决定该点旋度值的符号，该球旋转轴的方向决定该点的旋度方向。

简单地说:散度就是看看某一个点是否有"射线"发出;旋度就是放个"水车"在某个点，看看"水车"能不能转起来。