平方根(提高)知识讲解

平方根(提高)知识讲解标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

平方根（提高）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数x的平方等于a，即2x a

=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定

0的算术平方根还是0）；a

a的算术平方根”，a叫做被

开方数.

要点诠释：

a

0，a≥0.

2.平方根的定义

如果2x a

=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平

方.平方与开平方互为逆运算. a(a≥0)

的平方根的符号表达为0)

a≥

，其中

a的算术平方根.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2

）结果不同：

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫

它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以

立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方

根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

(0)

||0(0)

(0)

a a

a a

a a

>

⎧

⎪

===

⎨

⎪-<

⎩

()

2

a a

=≥

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、（2015秋•张家港市校级期中）已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣9的立方根是2，c 是的整数部分，求a+b+c 的平方根．

【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a ﹣1与3a+b ﹣9的值，进而可得a 、b 的值；接着估计的大小，可得c 的值；进而可得a+b+c ，根据平方根的求法可得答案．

【答案与解析】

解：根据题意，可得2a ﹣1=9，3a+b ﹣9=8；

故a=5，b=2；

又∵2＜＜3，

∴c=2，

∴a+b+c=5+2+2=9，

∴9的平方根为±3．

【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．

举一反三：

【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的两个不同的平方根，求m 的值.

【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2互为相反数. 解：当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，

所以m ＝()()22

221[2(1)1]39a -=⨯--=-=

2、x 为何值时，下列各式有意义 2x 4x -11x x +- (4)

13x x --． 【答案与解析】

解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x

(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010

x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x

+-有意义．

(4)由题意可知：1030

x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．

所以当1x ≥且3x ≠时，13x x --有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三： 【变式】已知4322232b a a =-+-+，求

11a b

+的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.

a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以

b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b

+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

(1)2222252434-+；(2)111200.36900435

--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：(1)22

22252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72

=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x .

（1）23610;x -= （2）()2

1289x +=；

（3）()2932640x +-=