第二章图形的变换(姜小龙)

第二章图形的变换

图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答，也将有效地提高思维品质.

初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题

2.1图形的平移与对称

火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动

上面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景•你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流.

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移(translation ).平移不改变图形的形状和大小

一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；

对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等.

例1如图，将面积为5的△ ABC沿BC方向平移至△ DEF的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积是多少？

分析⑴对应点的距离等于平移的距离；

(2)利用平移前后的两个图形全等”平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法.

解设点A到BC的距离为h,

戸, 1

则S SBC = 2BC h = 5.

•••平移的距离是BC的长的2倍，

••• AD = 2BC, CE= BC,

1

•四边形ACED的面积=^(AD + CE) h =

1 1

2(2BC + BC) h= 3 >^BC h = 3 X5 = 15.

例2 如图，两个全等的△ ABC和厶DEF重叠在一起，固定△ ABC，将△ DEF进行如下变换：

(1) 如图1, △ DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD，请直接写出

S^A BC与S四边形AFED 的关系；

(2) 如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ ABC应满足什么

条件？请给出证明；

（

3）在（2）的条件下，将△ DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG,请你在图3的位置画出图形，并求出sin/CGF的值.

（第24题團1）（第24题團2〉（第24题團3）

分析⑴由平移可知AD=BE，从而可得S A DBE=S A DFA , S A ABC=S A DFE , S A DFE=S A DFB +S A DBE,

S A ABC=S四边形AFBD ；

（2）若四边形AFBD是正方形，则 / AFB=90°, AF=BF，又CF=BF，从而可知AF=AF=BF, 从而可得 / BAC=90° AB=AC；

（3）由（2）知，△ ABC为等腰直角三角形，从而可知GF=2CF，设CF= k,则GF = EF=CB=2k,

由勾股定理，得：

CG= 、、5 k,从而可求得sin / CGF=

—

解⑴ S A ABC=S四边形AFBD ；

⑵△ ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC, / BAC=90。，理由如下:

••• F为BC的中点，

••• CF = BF,

•/ CF= AD ,

• AD= BF,

又•/ AD // BF ,

•四边形AFBD为平行四边形，

••• AB=AC,F 为BC 的中点，

• AF 丄BC,

••平行四边形AFBD为矩形，

•••/ BAC=90°,F 为BC 的中点，

1

• AF=_BC=BF ,

2

•四边形AFBD为正方形；

S3

由（2）知，△ ABC为等腰直角三角形，AF丄BC,设CF=k,则GF = EF=CB=2k,由勾股定理,

得：CG =..5 k, sin / CGF=CJ

k 5.

CG V5k 5

例3如图1，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，口ABCD的顶点A的坐标为(-2, 0)，点D的坐标为(0, 2 ...3),点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直

线I与X轴交于点F，与射线DC交于点G.

⑴求/ DCB的度数；

⑵当点F的坐标为(-4, 0)时，求点G的坐标；

(3) 连结OE,以OE所在直线为对称轴，△ OEF经轴对称变换后得到△ OEF'记直线EF与射线

DC的交点为H.

①如图2,当点G在点H的左侧时，求证：△ DEGDHE ;

(图1)

解：⑴在Rt A AOD 中,

••• / DAB=60° .

•••四边形ABCD是平行四边形

•••/ DCB = / DAB =60 °

⑵•••四边形ABCD是平行四边形

• CD // AB

•/ DGE = / AFE

又•••/ DEG=/ AEF , DE=AE

•••△DEG ◎△ AEF

• DG=AF

•/ AF=OF- OA=4- 2=2

• DG=2

••点G的坐标为(2, 2,3)

(3)① T CD // AB

•••/ DGE=/ OFE

•/△ OEF经轴对称变换后得到△ OEF '

•••/ OFE=/ OF '

•••/ DGE=/ OF '

1

在Rt △ AOD 中，T E 是AD 的中点• OE=—AD=AE

②若△ EHG的面积为3-. 3，请直接写出点F的坐标.

(图2)

■/ tan /

DAO