[N^2, (N+1)^2]内有素数及最大相继素数差一般表达式的推导
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元素个数正好等于 pk-2 端
按规则(g)可再取一个元素 pk-2
由于此时数列中元素 pk-1
pk 外侧元素的排列是对称的(互为镜像)
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线 www.paper.edu.cn 从元素 pk 右边第一个等于 3 的元素起的整个右侧的数列正好是数列(p)从左 端起 到第一个等于 pk-2 的那部分数列 因此只能参照数列(p) 依次选取符 合规则(g)的两个数值相同且小于 pk-1 的素数分别排列在数列两端 共可选取 (pk-1 pk-2)/2 1 次 这样新数列的形式为 pk-1,......,pk-2,......,19,17,3,13,11,3,7,5,3,pk,pk-1,3, 5,7,3,11,13,3,17,19,3,23,......,pk-2,......,pk-1 Lk pk-1 数列(d)的元素个数为 比数列(c) 增加的元素个数为 1 Lk Lk Lk-1 pk-1 pk-2
既然是关于相继素数差的问题 那么不妨从素数及相继素数差的产生过 程中寻求答案 由于素数中只有 2 是偶数 因此本文仅从奇数及奇数组成的数 列出发进行讨论 一 奇数数列和对应的最小素因数数列 将大于 1 的所有奇数按从小到大的顺序排列 可得到一奇数数列 (q) 按
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,......,2k+1,...... 将数列(q)中每一元素按算术基本定理分解 原顺序排列可得到一对应数列
(b) (2-1)
的
显然 Ln 比 La 大一倍 下面用归纳法证明 Ln 是由不大于 pn 的素数组成 遵从规则(g)的素数数列中元素个数的最大值
证 最小的奇素数是 3 p3 3 所以 n 从 4 开始 3 而 p4-1 n 4 时 如同数列(a)和数列(a')形式的数列都只有一个元素 5 p4 7 按规则(g) 组成最大元素值不超过 7 的最长素数数列只能为 3,5,7,3 或 3,7,5,3 L4 4 p4-1 1 数列的元素个数为 n k 1 时 按上述方式排列的素数数列如下 pk-2,......,23,3,19,17,3,13,11,3,7,5,3,pk-2,pk-1,3,5,7,3, (c) 11,13,3,17,19,3,23,......,pk-2 设这是以最大元素值不超过 pk-1 个数为 Lk-1 pk-2 1 按规则(g)组成的最长素数数列 数列的元素
(3-2)
N2
2N
因此自然数区间 [N2
素数 pn 与 pn+1 之间最多只有 1 个奇合数的最小素因数大于
1/2 令 N1 pi2 可知所有大于 pn 且最小素因数为 pi 的奇合数中 证 设 pi pn N1 最小 设与 N1 最接近且最小素因数等于 pi 的奇合数为 N2 则 N2 满足以 下关系式
(d)
直接将元素 pk 排列在数列(c)一端的外侧 此时 pk Lk-1 1 由于规则(g)的 限制 在数列(c)中不可能再安排第二个等于 pk 的元素 只可能取其它小于 pk 的元素按照规则(g)继续排列在元素 pk 的外侧 因此最终比数列(c)增加的元 素个数为 L (pk-1 pk-2)/2 Lk/2
用元素 pk 置换出数列(c)中唯一一个值等于 pk-1 的元素 将置换出的元素 pk-1 排列在数列(c)一端的外侧 由于 pk-1 Lk-1 1 受到规则(g)的限制 此时 在数列(c)中不可能再安排第二个等于 pk-1 的元素 结果与 相同 由此可知 当 n k 时 按照规则(g)构造的元素个数最多的素数数列只能 是数列(d) 因此 Ln 是由不大于 pn 的元素组成的遵从规则(g)的素数数列的 元素个数最大值 证毕 三. 初步结论 记 M 为筛掉数列(q)中最小素因数不大于 pn 的元素后 剩余相邻元素之 间被筛掉的元素个数的最大值 由定理 1-2 及式(2-1)可知 M Ln pn-1 1 记 D'为筛掉数列(q)中最小素因数不大于 pn 的元素后 所有两相邻元素 之差的最大值 则 D' 2M 2 2(pn-1 1) 2 2pn-1 2pn
给一充分大的自然数 N 则不大于 N 的素数个数为 (N) 记 di 为不大于 N 的素数 pi 的相继素数差 di pi+1 pi [i 2,3,......, (N) 1 pi 在本文 中表示按从小到大顺序排列的第 i 个素数] 若不考虑素数 2 这一特例 可知 di 的下界是 2 记 D(N) 为不大于 N 的素数的相继素数差的上界 人们自然 会问 D(N) 可能有多大 ? 对充分大的正数 N 杰波夫猜测 N2 (N+1)2 之间有素数 Cramér 猜测 2 切比雪夫证明了 N 2N 之间有素数 到目前为止 楼世拓和姚 D(N) ln N 琦已证明 D(N) kN6/11+ (其中 为任意小正数 k 为大于 1 的正数)
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最大相继素数差一般表达式的推导
蒋力 摘要 建立奇数数列及与之对应的最小素因数数列 构造出符合该数列排列 2 2 规则 元素个数最多且所有元素都不大于 N 的数列 从而得到 [N , (N+1) ]内 有素数的结论 进一步分析相邻素数间奇数最小素因数的特点 揭示出其中隐 藏的一些规律 得到不超过自然数 N 的最大相继素数差的一般表达式 关键词 最小素因数 素数数列 相继素数差
取其最小素因数为新元素
3,5,7,3,11,13,3,17,19,3,23,5,3,29,31,......
(p)
关于数列(p)的排列方式 有定理 1-1 数列(p)的排列方式遵从以下基本 规则 ── 规则(g) 数值相同的元素之间的距离为其值的整数倍 若数列中某元素的值为 pi 则所有与该元素的距离等于 pi 的整数倍位置 上的元素的值都不大于 pi 证 若数列(q)上第 j 个元素 aj 是第 i 个元素 ai 的 k 倍 根据奇数数列
当 n k 时 应在数列(c)的基础上安排数值为 pk 的元素 根据规则(g) 数 列(c)上可以安排数值为 pk 的元素的位置只有 4 个 这就是 数列(c)的两端 的外侧 数值为 pk-2 和 pk-1 的元素的位置 而且只能有以下三种方式 在当前数列的基础上采用以下步骤 用新的元素 pk 置换出数列中唯一一个值等于 pk-2 的元素 将置换出来的元素 pk-2 排列在数列的一端 这时数列的元素个数为 Lk-1 1 (pk-2 1) 1 pk-2 排在数列的另一 而
(kai
1)/2
由于数列(q)中的元素都是奇数 k 只能取奇数 因此 (k 1)/2 为整数 所以 Dj,i 是 ai 的整数倍 同理 若第 h 个元素 ah 是 ai 的 m 倍 则二者之间的距离 Dh,i 也是 ai 的整数倍 ah aj 之间的距离为 h j (m k)ai/2 仍然是 ai 的整数倍 因 此数列(q)中所有值为 ai 整数倍的元素 其相互之间的距离都为 ai 的整数 倍 任选数列(p)中某个元素 pi 由数列(p)的定义可知 其中所有数值等于 pi 的元素 在数列(q)中对应位置的元素都是 pi 的整数倍 它们相互间的距离都 为 pi 的整数倍 因而可知 所有数值等于 pi 的元素在数列(p)中相互的距离 同样为 pi 的整数倍 因此规则(g)的 成立 设数列(q)中第 k 个元素 ak 为 pj 的整数倍 若 ak 的最小素因数为 pi 且 pi 不大于 pj 根据数列(p)的定义 ak 在数列(p)中对应位置的元素值 只能是 pi 因此规则(g)的 成立 证毕 定理 1-2 用不大于 pn 的奇素数作元素 按规则(g)构造出一个包含元素 个数最多的数列 将最小素因数不大于 pn 的元素筛掉后 数列(q)剩余的元素 中任意相邻元素之间被筛掉的元素个数都不超过这个数列的元素个数 而且所有 这些被筛下来的元素的最小素因数都不大于 pn 证 筛掉数列(q)中最小素因数不大于 pn 的元素后 记 m 为此时数列(q) 中任意两相邻元素之间被筛掉的元素个数 可知这 m 个元素的最小素因数都不 大于 pn 而且按其在数列(q)中的顺序排列 依然是数列(q)的子数列 由此可 知以这些元素的最小素因数为元素 按原顺序排列的数列都是数列(p)的子数 列 而当 pn 为有限值时 以不大于 pn 的素数为元素 按规则(g)排列数列 中 必然有组成数列的元素个数最多的数列 由于数列(p)的最大元素值不大于 pn 的子数列 其排列顺序也遵从规则(g) 因此这些子数列的元素个数不可能 超过按规则(g)排列的元素个数最多的那个数列 证毕 二 构造数列
N2
pipi+1
pi(pi
2)
pi2
2pi
式(3-1)表明区间 (pi2, pi2 2pi) 内有素数 再由所设条件 pi2 pn 可知上 2 式右端大于 pn+1 即 N2 pn+1 所以无论 pi 是否大于 pn+1 pn 与 pn+1 之间最小 1/2 素因数大于 pn 的奇数最多只有 1 个 而小于 pn 的素数与其相邻素数之间 所有奇数的最小素因数都不大于 pn1/2 证毕 四 相邻素数间最小素因数相同的奇数个数与相继素数差的关系 b 为正整数 且 (a b) 1 则奇数数列(q)有以
既然规则(g)是数列(p)排列所遵循的基本规则 那么不妨参照数列(p)来构 造定理 1-2 中所描述的数列 首先 从数列(p)左边第一个元素起 到第一个 pn-1 元素的前一元素(用 pn-1 表示)为止 截取数列(p)的一部分 得到如下形式的数列 3,5,7,3,11,13,3,17,19,3,23,......, pn-1 根据定义 可计算出数列(a)的元素个数为 其次 利用数列(a)进行变换与扩展 建立数列(a)的 镜像 数列 La (pn-1 1)/2 1 (a)
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pn-1,......,23,3,19,17,3,13,11,3,7,5,3
(a')
在数列(a')与(a)之间插入数值分别为 pn-1 和 pn 的素数(两数列中所有元素 的值都不大于 pn-2 ) 将这两个数列连接起来 这样得到一个依然符合规则(g) 的新数列 其形式如下 pn-1,......,23,3,19,17,3,13,11,3,7,5,3,pn,pn-1,3,5,7,3, 11,13,3,17,19,3,23,......, pn-1 数列(b)的元素个数为 Ln [(pn-1 1)/2 1] 2 2 pn-1 1
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线 www.paper.edu.cn (q)的通项公式 ai Dj,i j i i 2 1 可知二者之间的距离为 (ai 1)/2 (kai ai)/2 (k 1)ai/2
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D[(N+1)2] 由于 (N+1)2 定理 3-1 pn
1/2
2pn
2N (N+1)2] 内有素数
由于筛掉最小素因数不大于 pn 的元素后 数列(q)中剩余的所有数值小于 pn+1 的元素都是素数 所以可以确定 不大于 pn+12 的任意两相邻素数之差都不 大于 2pn 即
2
D(pn+12)
2pn pn+12
(3-1) 所以不大于 (N+1)2
2 对于满足 pn N pn+1 的自然数 N 因为 (N+1) 的素数相继素数差上界 D[(N+1)2] 满足不等式
元素个数正好等于 pk-2 端
按规则(g)可再取一个元素 pk-2
由于此时数列中元素 pk-1
pk 外侧元素的排列是对称的(互为镜像)
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线 www.paper.edu.cn 从元素 pk 右边第一个等于 3 的元素起的整个右侧的数列正好是数列(p)从左 端起 到第一个等于 pk-2 的那部分数列 因此只能参照数列(p) 依次选取符 合规则(g)的两个数值相同且小于 pk-1 的素数分别排列在数列两端 共可选取 (pk-1 pk-2)/2 1 次 这样新数列的形式为 pk-1,......,pk-2,......,19,17,3,13,11,3,7,5,3,pk,pk-1,3, 5,7,3,11,13,3,17,19,3,23,......,pk-2,......,pk-1 Lk pk-1 数列(d)的元素个数为 比数列(c) 增加的元素个数为 1 Lk Lk Lk-1 pk-1 pk-2
既然是关于相继素数差的问题 那么不妨从素数及相继素数差的产生过 程中寻求答案 由于素数中只有 2 是偶数 因此本文仅从奇数及奇数组成的数 列出发进行讨论 一 奇数数列和对应的最小素因数数列 将大于 1 的所有奇数按从小到大的顺序排列 可得到一奇数数列 (q) 按
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,......,2k+1,...... 将数列(q)中每一元素按算术基本定理分解 原顺序排列可得到一对应数列
(b) (2-1)
的
显然 Ln 比 La 大一倍 下面用归纳法证明 Ln 是由不大于 pn 的素数组成 遵从规则(g)的素数数列中元素个数的最大值
证 最小的奇素数是 3 p3 3 所以 n 从 4 开始 3 而 p4-1 n 4 时 如同数列(a)和数列(a')形式的数列都只有一个元素 5 p4 7 按规则(g) 组成最大元素值不超过 7 的最长素数数列只能为 3,5,7,3 或 3,7,5,3 L4 4 p4-1 1 数列的元素个数为 n k 1 时 按上述方式排列的素数数列如下 pk-2,......,23,3,19,17,3,13,11,3,7,5,3,pk-2,pk-1,3,5,7,3, (c) 11,13,3,17,19,3,23,......,pk-2 设这是以最大元素值不超过 pk-1 个数为 Lk-1 pk-2 1 按规则(g)组成的最长素数数列 数列的元素
(3-2)
N2
2N
因此自然数区间 [N2
素数 pn 与 pn+1 之间最多只有 1 个奇合数的最小素因数大于
1/2 令 N1 pi2 可知所有大于 pn 且最小素因数为 pi 的奇合数中 证 设 pi pn N1 最小 设与 N1 最接近且最小素因数等于 pi 的奇合数为 N2 则 N2 满足以 下关系式
(d)
直接将元素 pk 排列在数列(c)一端的外侧 此时 pk Lk-1 1 由于规则(g)的 限制 在数列(c)中不可能再安排第二个等于 pk 的元素 只可能取其它小于 pk 的元素按照规则(g)继续排列在元素 pk 的外侧 因此最终比数列(c)增加的元 素个数为 L (pk-1 pk-2)/2 Lk/2
用元素 pk 置换出数列(c)中唯一一个值等于 pk-1 的元素 将置换出的元素 pk-1 排列在数列(c)一端的外侧 由于 pk-1 Lk-1 1 受到规则(g)的限制 此时 在数列(c)中不可能再安排第二个等于 pk-1 的元素 结果与 相同 由此可知 当 n k 时 按照规则(g)构造的元素个数最多的素数数列只能 是数列(d) 因此 Ln 是由不大于 pn 的元素组成的遵从规则(g)的素数数列的 元素个数最大值 证毕 三. 初步结论 记 M 为筛掉数列(q)中最小素因数不大于 pn 的元素后 剩余相邻元素之 间被筛掉的元素个数的最大值 由定理 1-2 及式(2-1)可知 M Ln pn-1 1 记 D'为筛掉数列(q)中最小素因数不大于 pn 的元素后 所有两相邻元素 之差的最大值 则 D' 2M 2 2(pn-1 1) 2 2pn-1 2pn
给一充分大的自然数 N 则不大于 N 的素数个数为 (N) 记 di 为不大于 N 的素数 pi 的相继素数差 di pi+1 pi [i 2,3,......, (N) 1 pi 在本文 中表示按从小到大顺序排列的第 i 个素数] 若不考虑素数 2 这一特例 可知 di 的下界是 2 记 D(N) 为不大于 N 的素数的相继素数差的上界 人们自然 会问 D(N) 可能有多大 ? 对充分大的正数 N 杰波夫猜测 N2 (N+1)2 之间有素数 Cramér 猜测 2 切比雪夫证明了 N 2N 之间有素数 到目前为止 楼世拓和姚 D(N) ln N 琦已证明 D(N) kN6/11+ (其中 为任意小正数 k 为大于 1 的正数)
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最大相继素数差一般表达式的推导
蒋力 摘要 建立奇数数列及与之对应的最小素因数数列 构造出符合该数列排列 2 2 规则 元素个数最多且所有元素都不大于 N 的数列 从而得到 [N , (N+1) ]内 有素数的结论 进一步分析相邻素数间奇数最小素因数的特点 揭示出其中隐 藏的一些规律 得到不超过自然数 N 的最大相继素数差的一般表达式 关键词 最小素因数 素数数列 相继素数差
取其最小素因数为新元素
3,5,7,3,11,13,3,17,19,3,23,5,3,29,31,......
(p)
关于数列(p)的排列方式 有定理 1-1 数列(p)的排列方式遵从以下基本 规则 ── 规则(g) 数值相同的元素之间的距离为其值的整数倍 若数列中某元素的值为 pi 则所有与该元素的距离等于 pi 的整数倍位置 上的元素的值都不大于 pi 证 若数列(q)上第 j 个元素 aj 是第 i 个元素 ai 的 k 倍 根据奇数数列
当 n k 时 应在数列(c)的基础上安排数值为 pk 的元素 根据规则(g) 数 列(c)上可以安排数值为 pk 的元素的位置只有 4 个 这就是 数列(c)的两端 的外侧 数值为 pk-2 和 pk-1 的元素的位置 而且只能有以下三种方式 在当前数列的基础上采用以下步骤 用新的元素 pk 置换出数列中唯一一个值等于 pk-2 的元素 将置换出来的元素 pk-2 排列在数列的一端 这时数列的元素个数为 Lk-1 1 (pk-2 1) 1 pk-2 排在数列的另一 而
(kai
1)/2
由于数列(q)中的元素都是奇数 k 只能取奇数 因此 (k 1)/2 为整数 所以 Dj,i 是 ai 的整数倍 同理 若第 h 个元素 ah 是 ai 的 m 倍 则二者之间的距离 Dh,i 也是 ai 的整数倍 ah aj 之间的距离为 h j (m k)ai/2 仍然是 ai 的整数倍 因 此数列(q)中所有值为 ai 整数倍的元素 其相互之间的距离都为 ai 的整数 倍 任选数列(p)中某个元素 pi 由数列(p)的定义可知 其中所有数值等于 pi 的元素 在数列(q)中对应位置的元素都是 pi 的整数倍 它们相互间的距离都 为 pi 的整数倍 因而可知 所有数值等于 pi 的元素在数列(p)中相互的距离 同样为 pi 的整数倍 因此规则(g)的 成立 设数列(q)中第 k 个元素 ak 为 pj 的整数倍 若 ak 的最小素因数为 pi 且 pi 不大于 pj 根据数列(p)的定义 ak 在数列(p)中对应位置的元素值 只能是 pi 因此规则(g)的 成立 证毕 定理 1-2 用不大于 pn 的奇素数作元素 按规则(g)构造出一个包含元素 个数最多的数列 将最小素因数不大于 pn 的元素筛掉后 数列(q)剩余的元素 中任意相邻元素之间被筛掉的元素个数都不超过这个数列的元素个数 而且所有 这些被筛下来的元素的最小素因数都不大于 pn 证 筛掉数列(q)中最小素因数不大于 pn 的元素后 记 m 为此时数列(q) 中任意两相邻元素之间被筛掉的元素个数 可知这 m 个元素的最小素因数都不 大于 pn 而且按其在数列(q)中的顺序排列 依然是数列(q)的子数列 由此可 知以这些元素的最小素因数为元素 按原顺序排列的数列都是数列(p)的子数 列 而当 pn 为有限值时 以不大于 pn 的素数为元素 按规则(g)排列数列 中 必然有组成数列的元素个数最多的数列 由于数列(p)的最大元素值不大于 pn 的子数列 其排列顺序也遵从规则(g) 因此这些子数列的元素个数不可能 超过按规则(g)排列的元素个数最多的那个数列 证毕 二 构造数列
N2
pipi+1
pi(pi
2)
pi2
2pi
式(3-1)表明区间 (pi2, pi2 2pi) 内有素数 再由所设条件 pi2 pn 可知上 2 式右端大于 pn+1 即 N2 pn+1 所以无论 pi 是否大于 pn+1 pn 与 pn+1 之间最小 1/2 素因数大于 pn 的奇数最多只有 1 个 而小于 pn 的素数与其相邻素数之间 所有奇数的最小素因数都不大于 pn1/2 证毕 四 相邻素数间最小素因数相同的奇数个数与相继素数差的关系 b 为正整数 且 (a b) 1 则奇数数列(q)有以
既然规则(g)是数列(p)排列所遵循的基本规则 那么不妨参照数列(p)来构 造定理 1-2 中所描述的数列 首先 从数列(p)左边第一个元素起 到第一个 pn-1 元素的前一元素(用 pn-1 表示)为止 截取数列(p)的一部分 得到如下形式的数列 3,5,7,3,11,13,3,17,19,3,23,......, pn-1 根据定义 可计算出数列(a)的元素个数为 其次 利用数列(a)进行变换与扩展 建立数列(a)的 镜像 数列 La (pn-1 1)/2 1 (a)
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pn-1,......,23,3,19,17,3,13,11,3,7,5,3
(a')
在数列(a')与(a)之间插入数值分别为 pn-1 和 pn 的素数(两数列中所有元素 的值都不大于 pn-2 ) 将这两个数列连接起来 这样得到一个依然符合规则(g) 的新数列 其形式如下 pn-1,......,23,3,19,17,3,13,11,3,7,5,3,pn,pn-1,3,5,7,3, 11,13,3,17,19,3,23,......, pn-1 数列(b)的元素个数为 Ln [(pn-1 1)/2 1] 2 2 pn-1 1
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D[(N+1)2] 由于 (N+1)2 定理 3-1 pn
1/2
2pn
2N (N+1)2] 内有素数
由于筛掉最小素因数不大于 pn 的元素后 数列(q)中剩余的所有数值小于 pn+1 的元素都是素数 所以可以确定 不大于 pn+12 的任意两相邻素数之差都不 大于 2pn 即
2
D(pn+12)
2pn pn+12
(3-1) 所以不大于 (N+1)2
2 对于满足 pn N pn+1 的自然数 N 因为 (N+1) 的素数相继素数差上界 D[(N+1)2] 满足不等式