《24.1.4 圆周角2》课件

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24.1.4 圆周角课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册

究
与
应
用
[概括新知]
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
对的弦是
直径
.
直角
.
,90°的圆周角所
探
究
与
应
用
[理解应用]
例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为
6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连接OD.
得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为
图24-1-32
13
2
cm .
谢谢观看！
D.100°
图24-1-27
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
圆心角
圆周角
的定义
类比
圆周角
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理
的推论
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则
∠AOC的度数为
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
( A )
图24-1-28
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则
∠DBC的度数是
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
( C )
图24-1-29
课
堂
小
结

§24.1.4圆周角2PPT30页

踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
§24.1.4圆周角2
26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。

人教版数学九年级上册第24章圆 24.1.4 圆周角课件(共16张PPT)优质课件PPT

2.与圆周角有关的问题：弦的条件需转化成弧的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、猜想，最后证明结论，探究得出圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角

初中数学教学课件：24.1.4圆周角(人教版九年级上)

C
等于（ B ）.
A.30° B.60° C.90° D、45°
A
B
P
1.如图，∠A=50°，∠AOC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）. A.70° B.110° C.90° D.120°
2.（南通·中考）如图，⊙O的直径
A
ED O
B
C
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
24.1.4 圆周角
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单应用； 2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用； 3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法.
C
C
O
O
B
A
B
B A
A
C
O
圆周角：顶__点__在__圆__上__，并且角_两__边__都__和__圆__相__交_. 圆心角: 顶__点__在__圆__心___ 的角.
∠COB=120°．∴∠CBD=1 ∠COD=1 ×1 ∠COB=30°.
2
22
又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°，
∠OBC=∠OCB=30°, ∠ABD=41°+30°+30°=101°.
答案：101°
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
A D B D 2 A B 2 1 0 52 ( c m )
2
2
跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ D ）. A.50° B.80° C.90° D.100°

24.1.4圆周角PPT课件

多边形，这个圆叫做这个多边形的
O
外接圆.
B
如图：四边形ABCD是⊙O的内接四
C
边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
利用圆周角定理：我们可得
圆内接四边形的对角互补。
在同圆中，同弦所对的圆周角相等或互补
1、求圆中角x的度数。
35°
120°
120°
O.
70° x
A
B
O.
x
A
O
A
B
C
2、如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= 130° 。
2、如图，在直径为AB的半圆中，O
为圆心，C、D为半圆上的两点， ∠CAD=260，则∠COD=____5_2_°___
2021
12
3、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ D ）
A、50°； B、80°；
BO
C、90°； D、100°
C
4、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
思考：定理中的“同弧或等弧”能否改为 “同弦或等弦”？
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
那么它们所对的弧相等，所对的弦一定相等。
如图，在⊙O中，若
M
∠AMB=∠CMD，则
D
是否AB相与等CD？
O
A
C
2021
B
11
练一练
1、求圆中角x的度数。
35°
O.
70° x
A
B
120° 120°
O.
x
A
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时,

九年级上数学《24.1.4 圆周角(2)》课件

A
D
O B C
圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
返回
等腰
例1
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证：⌒ ⌒ BD=DE 解:BD=CD.理由是: 连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， B ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC，
A E D C
∵AB=AC， ∴BD=CD, AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∴ BD= DE （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）。 ⌒ ⌒
练习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
人教版九年级上册
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 C 的一半． D A O · B
老师提示: 圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
推论：半圆（或直径）所对的圆周角
是直角，900的圆周角所对的弦是直径。
∵ AB是直径
∴ ∠AC1B=900
A
C1
O
B D
∠BDC=20°,求∠A。
C
解法1：∵∠CBD=300，∠BDC=200
∴∠C=1800-∠CBD-∠BDC=1300
∴∠A=1800-∠C=500（圆内接四边形对角互补）
变式：已知∠OAB等于40度,求∠C的度数. D
O A C
B
2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB=CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E。 F 求证：BE=EC BE=EC A C E

24.1.4圆周角教学课件(共33张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册

∴△AOF 是等边三角形，
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练习5 如图，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过点 0 作OM⊥AB 于点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
E D
F 中心角半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )

24.1.4 第2课时圆内接四边形初中数学人教版数学九年级上册课件

∴ ∠C = 180°- ∠CBD - ∠BDC = 130°；
O
∴ ∠A = 180°- ∠C = 50°；
B
D
（圆内接四边形对角互补）
C
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
5. 已知 ∠OAB = 40°，求 ∠C 的度数.
解：延长 AO 至 D，交圆心于点 D，连接 BD；
D
O
∵ ∠OAB = 40°且 AD 是直径，
O B
( (
( (
∵ BCD 和BAD 所对的圆心角之和为 360°，
C
D
又 ∠BCD 和 ∠BAD 分别为 BCD 和BAD 所对的圆周角，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°；同理，∠ABC + ∠ADC = 180°.
总结：圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
学习目标
概念剖析
典型例题
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A 如图：
四边形 ABCD 为 ⊙ O 的内接四边形；
B
O
⊙ O 为四边形 ABCD 的外接圆.
C
D
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
问题 1：如图，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
A
猜想：∠A + ∠C = 1＿80＿°＿，∠B + ∠D = ＿1＿80＿°． B
当堂检测
课堂总结
（一）圆内接四边形的性质
例 1：如图所示，已知四边形 ABCD 为 ☉O 的内接四边形，∠ADE 为四
边形 ABCD 的一个外角. 求证：∠ABC = ∠ADE.

新人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角(2)》公开课课件

2020年2月28日星期五
作业:
A层（基础题）
练习册第102--104页第 1--3 题、第 1--2 题、第 1--4 题．
B层（拓展题）
练习册第103--104页第 3题、第 5--7 题．
2020年2月28日星期五
选做作业
（1）如下图左，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，∠ABD =30°，则∠BCD 的度数为多少？
（2）如下图右，在⊙O 中，AB 为直径，直线 l 与 ⊙O 交于点 C、D，BE⊥l 于点 E，连接 BD、BC．
求证：∠CBE =∠ABD． z.xx.k
D C
A
O
B
A
O
B
D
CE lห้องสมุดไป่ตู้
2020年2月28日星期五
D
与 ∠A的数量关系？ A
∠DCE＋∠∠1A与＝∠18D0C°E
又 ∠A ＋∠为1＝内对18角0°
所以∠A＝∠DCE
O
1
E
B
C
2020年2月28日星期五
3．性质推导
几何表达式： ∵ ABCD是⊙O
A
D 1E
的内接四边形， z.xx.k
∴ ∠A+∠C=180°
O
且∠B=∠1 B
C
2020年2月28日星期五
C
⊙O为四边形ABCD的外接圆。
2020年2月28日星期五
2．性质探究
观察圆内接四边形对角之间有什么关系．如何验证你的猜想呢？
A DE
O
F
B
C
圆内接四边形的对角互补，并且任何一角的外角都等于它的内对角．
2020年2月28日星期五
2．性质探究

人教版九年级上册 24.1.4 圆周角课件30张

五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新定义顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类比思
定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新定义顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B

初三九年级数学：24.1.4圆周角课件2

（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。
探究新知
圆内接多边形:所有顶点都在同一圆上的多边形。圆内接四边形的对角有何数量关系？
B
A
O·
D C
推论２:圆内接四边形对角互补
例题解析
如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝５０°，则∠BAE＝_________ .
课堂小结
圆周角定义的两个特征： (1) 顶点在圆上 ; (2) 两边都与圆相交 .
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
探究新知
2. 在⊙O上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，有同样的结论吗？
发现：同弧所对的圆周角都相等,同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半．
几何语言：你能证明这个结论吗？
图 23.1.9
想想看，∠ACB会是怎么样的角？
推论１:半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90°（直角）。
反过来也是成立的，即：
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
例题解析
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC，
A
E
B
DC
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
则∠BOC的度数是 (
)
A．１２0° B．１１0° C．1００° D．７0°
２．如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
３．求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）