矩阵相似的性质：矩阵相似例题

1 矩阵的相似

1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形

2 相似的条件

3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）

矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似

定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质

（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.

（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。

（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX，

C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。

3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；

Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）

=秩（PA）=秩（AQ）

证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩

?1

（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）

（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即

P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)

证明设f(x)?anx?an?1x

nn

n?1

a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E

于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B

n?1

kk

由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得

Bk?X?1AkX，

?1?1

anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X

?a1A?a0E?X

?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于

f(B)。

?a1X?1AX?a0E

a1B?a0E

（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；

证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式

?1?1

AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。得B?CAC?C

又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值?1,?2,

A的迹trA12?

矩阵有相同的迹

,?n，而

n，B的迹trB12?n，从而trA?trB，即相似

（4）A与B有相同的Jordan标准形；（5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。

证明设A与B相似，由性质2可知A?B，若A可逆，即A?0，从而B?0，故B

可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。（6）若

?1

证明A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B?PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,

A与B相似，B与D相似，则?

?A0B0?

?与相似。