方法篇-椭圆中“类切割线定理”透析

椭圆中的“类切割线定理”——2016年高考四川卷理科第20题【原题呈现】(2016年全国高考四川卷理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y =－x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T . （I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（II ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P . 证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.【考情综述】在高考中，解析几何综合题的地位是无人可以撼动的，无论是四川卷还是其它省市卷或全国卷，解答题中必有它的身影，并且往往还是以压轴题(倒数第二题)的身份出现．究其原因，是其在中学数学中的地位决定的．解析几何倡导用代数方法研究几何问题，把代数的知识和方法系统地用于研究几何之中，数形结合的思想和方法使代数、几何获得统一．通过解析几何学习，可以使学生对已学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合应用数学知识的能力．同时，系统地掌握解析几何的基础知识，也会为今后学习高等数学奠定坚实的基础．就全国高考四川卷中的解析几何综合题而言，近三年的理科试题都位于整卷第20题的位置，统一以直线与椭圆的位置关系为素材，主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法，并考查数学思维的严谨性、深刻性与灵活性．从考查内容看，试题同样以两问的形式进行设置，第一问一般是“求椭圆的方程”，这一问都是送分题，往往是要求考生熟练掌握椭圆的标准方程和简单几何性质．如2013年“已知椭圆的焦点坐标，椭圆过定点，求椭圆的离心率”；2014年“已知椭圆的焦距，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，求椭圆的方程”；2015年“已知椭圆的离心率，过特殊点的特殊直线被椭圆截得的弦长（本质是椭圆过定点），求椭圆的方程”等．由此可见，今年的第一问设置较前几年难度有所增加，其难度在于：第一问中就要动用直线与椭圆联立方程组，使用“判别式”，无形中增加了运算量．试题的第二问才是试题或者整卷中的“亮点”，也是难点，是考生发挥能力的“舞台”．这一问往往以定量或定性的方法研究直线与椭圆间形成的某指定几何元素或结构间的关系，要求考生灵活进行转化与化归、准确进行运算与求解、严密进行推理与论证．如2013年“过定点的动直线与椭圆交于Ｍ，Ｎ两点，求线段MN 上满足222211||||||AQ AM AN =+的Q 点轨迹方程”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式，正确处理参数关系，从定量运算中探索动点的定性特征；2014年“F 为椭圆左焦点，T 为左准线上动点，过F 作TF 的垂线交椭圆于点P ,Q ，证明OT 平分线段PQ ，求||||TF PQ 最小值”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式、斜率公式，除作定性分析外，还会用基本不等式对相关数据进行最值求解；2015年“是否存在与定点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立”，在要求考生熟练运用韦达定理的同时，对考生转化与化归的能力提出较高要求．相比较而言，今年的第二问回到了对“韦达定理、弦长公式”的考查上，特别是动因的减少(定直线上已知斜率的动点)，降低了试题的思维强度．虽然今年是全国高考四川省自主命题的最后一年，解析几何综合题延续了自己的风格，但在今后的全国高考中，解析几何综合题的难度依然不会降低，考查的重点依然会聚焦在定点、定值问题，范围、最值问题等问题上，核心方法依然是“设而不求”，在进行弦长、斜率、距离等几何量的计算过程中巧妙运用韦达定理，只是考查内容有可能从椭圆的“一枝独秀”，发展到与抛物线“争奇斗艳”．【考点解读】在《2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理）考试说明》中，对圆锥曲线的考试要求，特别是“直线与圆锥曲线的位置关系及其简单应用”要求达到Ｃ级（掌握）层次，即要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决．而《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课标版）：理科数学》中，则明确表述为：“①掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．”因此，在圆锥曲线学习中，重点应该把握以下几个方面：1、掌握椭圆和抛物线的定义、标准方程、几何性质；2、掌握直线与圆锥曲线相交的解题一般步骤；3、熟记弦长公式、点到线的距离公式；4、熟悉常见的平面几何性质及其等价结论，准确对几何特征进行转化；5、会用坐标、方程等代数知识表示常见的几何性质和几何量，如距离、角、垂直、面积等；6、能熟练准确地进行代数式的化简、变形、计算；7、理解函数、方程和不等式的关系、理解解析思想和方法.首先，直线与圆锥曲线的位置关系．从代数角度讲，就是解方程组⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，进一步就是解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，因此，韦达定理的使用是最常见的解题手段．只要是有关圆锥曲线弦的问题，都会涉及根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法．比如，弦长问题，由|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可以避开求交点坐标的繁杂计算，这在近几年的四川考题中都有体现．再者，设元与消元的问题．将几何问题代数化的过程中，要选择合理的变元，设点还是设斜率，合理的设元直接影响着解题的进程．比如，2014年的考题除设点T 坐标外，还可以设直线PQ 的方程(x =my －2)，计算过程各有千秋．最后，转化与化归的问题．用代数方法研究几何问题，几何特征的合理转化也很重要．比如，2015年的“||||||||QA PA QB PB =”，官方的答案是依据平行线性质定理提供的，实际上按三角形内角平分线性质处理，解法更优越．【解题指津】对于2016年四川卷理科第20题，第一问属基础题，由条件“两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点”，可得b ，c 间的等量关系，再由条件“直线l :y =－x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ”，利用判别式等于零，可得a ,b 的等量关系，结合a 2=b 2+c 2，可求得答案．第二问探究“λ的存在性”．一是|PT |,|P A |⋅|PB |如何求？因为T 点坐标已知，只要知道P 点坐标即可求|PT |，而|P A |⋅|PB |的计算显然要通过韦达定理处理．注意到直线l 与l '的斜率(k 1与k 2)都已知，结合弦长公式，则有|PT |2=(1+k 12)(x P －x T )2, |P A |⋅|PB |=(1+k 22)|(x P －x A )(x P －x B )|= (1+k 22)|x P 2－(x A +x B )x P +x A x B |．二是P 点坐标从何来？既可直接设P 点坐标，也可设直线l '方程，求得P 点坐标．解：(I)由题意，12F F C △为直角三角形，所以b c ==. 所以椭圆E 方程为222212x y b b+=. 将直线l :y =－x +3，代入整理得223121820x x b -+-=.因为l 与椭圆E 只有一个公共点，所以22=1243(182)0b ∆-⋅-=，解得2=3b . ∴22:163x y E +=. T 点坐标为()21，． (II)方法一：因为P 点在直线y =－x +3上，设其为(m ,3－m ),所以|PT |2=[1+(－1)2](m －2)2=2(m －2)2． 由12OT k =，'l 平行OT ，得直线l '方程为y =12(x +6－3m ), 代入椭圆E 的方程，得x 2+2(2－m )x +3m 2－12m +8=0,设A ,B 两点横坐标为x A ,x B ，则x A ＋x B ＝2(m －2)，x A x B ＝3m 2－12m +8，所以|P A |⋅|PB |=(1+14)|(m －x A )(m －x B )|=54|m 2－2m (m －2)+ 3m 2－12m +8|=52(m －2)2． 即|PT |2=54|P A |⋅|PB |，故存在λ=54，使得2||||||PT PA PB λ=⋅． 方法二：设直线l '方程为y =12x +n (n ≠0)， 由1,23,y x n y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩得P 点坐标为(223n -,213n +)， 所以|PT |2=89n 2. 将直线l '方程代入椭圆E 的方程，得3x 2+4nx +4(n 2－3)=0,设A ,B 两点横坐标为x A ,x B ，则x A ＋x B ＝－4n 3，x A x B ＝4(n 2－3)3， 所以|P A |⋅|PB |=(1+14)|(223n -－x A )(223n -－x B )| =54|(223n -)2－(223n -)(x A ＋x B )+ x A x B |=109n 2. 即|PT |2=54|P A |⋅|PB |， 故存在λ=54，使得2||||||PT PA PB λ=⋅． 方法一、二的优劣在于设元的角度，一个是设点，一个是设直线方程，从解题过程看，无太大的差异，相对而言，设点的运算量要少一点．但两种方法的核心内容不在于“设元”，而是“弦长”的计算方式，这是问题的突破口．这里的弦长计算既不是用一般两点间的距离公式AB ，也不能用直线被圆锥曲线截得的弦长公式|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2（是|P A |⋅|PB |，而不是|AB |），需要我们理解两点间距离公式与弦长公式的联系，将“弦长”的两点泛化为“在特定直线上”的两点，即用|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|简化计算过程，这就是合理运算途径的选择．当然，如果能从线段长度乘积（|P A |⋅|PB |）的运算形式，联系到直线的参数方程，则运算过程会更简捷．方法三：设P 点坐标为(x 0,3－x 0)，直线l '的参数方程为002,3x x t y x t =+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)， 代入椭圆E 的方程，整理得2t 2+4t +x 02－4x 0+4=0，设A ,B 两点对应的参数为t A ,t B ，则t A t B ＝(x 0－2)22． 所以|P A |⋅|PB |＝|5t A |⋅|5t B |=52(x 0－2)2． (以下略)实际上，关于弦长|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|的运用还是比较广泛的．比如，2013年四川省理科卷第20题中的222211||||||AQ AM AN =+，因为A (0,2)、M 、N 三点共线，所以问题转化为222211M Nx x x =+．再比如，2016年四川省文科卷第20题中的|MA |⋅|MB |=|MC |⋅|MD |，2016年全国II 理科卷第20题中的2|AM |=|AN |等都有相似的处理方法．【学术拓展】从问题结论的形式“2||||||PT PA PB λ=⋅”，我们很容易联想到平面几何中关于圆的几何性质——“切割线定理”，这显然可看成是该定理在椭圆中的拓展．但由于椭圆是由圆进行伸缩变换所得，所以非平行的等长线段在同一伸缩变换作用下所得线段长度是不一定相等的．也就是说圆的切割线定理中的割线任意性，在椭圆中会受到一定条件的限制，这就是椭圆的“类切割线定理”．定理 已知倾斜角为α的直线l 1与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>相切于点T ，过直线l 上的任意一点P ，作倾斜角为β的直线l 2与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，则222222222sin cos ||||||sin cos a b PT PA PB a b ββαα+=⋅+． 证明：设过点P (m ，n )倾斜角为β的直线参数方程为cos ,sin ,x m t y n t ββ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 代入椭圆E 的方程，整理得(a 2sin 2β+b 2cos 2β)t 2+2(a 2n sin β+b 2m cos β)t +a 2n 2+b 2m 2－a 2b 2=0， 所以2222222222sin cos a n b m a b PA PB a b ββ+-⋅+＝． 同理，可得22222222222||sin cos a n b m a b PT a b αα+-+＝， 故222222222sin cos ||||||sin cos a b PT PA PB a b ββαα+=⋅+． 说明：若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则2222212222221(1)()||||||(1)()k a k b PT PA PB k a k b ++=⋅++． 推论 过点P 作两条直线l 1，l 2分别与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>交于A ,B 与C ,D 两点，若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则222212222221(1)()||||||||(1)()k a k b PA PB PC PD k a k b ++⋅=⋅++． 特别地，当k 1+k 2＝0时，有||||||||PA PB PC PD ⋅=⋅．这正是2016年四川文科卷第20题的命题依据．(2016年全国高考四川卷理科第20题)已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．【同步分拆】基于以上定理、推论及思想方法，我们可以命制如下数学问题，供大家参考． 问题１ 已知直线l :y =x +3与椭圆22:163x y E +=有且只有一个公共点T ，过直线l 上一点P 作斜率为k 的直线l '与椭圆E交于不同的两点A 、B ，若存在无数多个点P ，使得2||||||PT PA PB =⋅，求常数k 的值． 问题2 如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1,0),离心率为22.分别过O,F 的两条弦AB ,CD 相交于点E (异于A ,C 两点),且OE=EF .(1)求椭圆的方程;(2)记直线AC 与BD 的交点为Q ，求证:||||||||QA QC QB QD ⋅=⋅问题3 过点M (0,－2)作抛物线y 2=x 的切线MA ，切点为A （异于原点O )，直线l 过点M 与抛物线交于两点B ,C ，与直线OA 交于点N ．试问:MN MN MB MC+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【教学建议】解析几何综合题是高考考查的重点内容之一，针对解题中经常出现的问题，在平时教学中，主要应该注意以下几个方面的问题．运算是基础．解析几何综合题往往涉及大量含有字母的复杂代数式运算，准确无误的运算是解决解析几何综合题的基础性问题．课堂教学中要舍得花时间放在运算上，不仅老师要有板演运算的过程，还应要求学生在课堂上进行运算求解．认为运算是学生自己的事，课后的事，都是错误的！因为如此繁杂的代数式运算是初中教学没有要求，更没有进行相关的训练的，这正是很多学生“谈算色变”，患有“运算恐惧症”的主要原因．特别是在运算过程中，要强调选择和设计合理、简捷的运算途径，合理的运算途径直接影响解析几何综合题的解题进程．方法是关键．解析几何用代数方法研究几何问题，既涉及代数方法的运用问题，也涉及几何特征的转化问题．运算是基础，方法要先行！毕竟数学教学的核心内容是思维方法，“多考一点想少考一点算”也是高考中竭力体现的目标．课堂教学中，要帮助学生提炼数学思想方法，设法一题多解，从不同角度认识同一数学问题，拓宽学生的数学视野，在比较中提升数学能力．设法多题一解，加深学生的思维深度，找出不同数学问题间的内在联系，透过现象看本质。