求曲线轨迹方程专题(2)
曲线的轨迹方程 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
专题2：曲线的轨迹方程一、填空题1．圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面上与P 不重合的一个定点，P 是圆上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________ ①椭圆；①双曲线；①抛物线；①圆；①一个点2．已知椭圆 22116x y += 的左右焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为___________.3．过圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点A 作圆O 的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ．当点M 在直线l 上运动时，①MAQ 的垂心的轨迹方程为________．4．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1C ：22221x y a b+=的左、右顶点分别为1A ，2A .直线l ：()()2121m y m x y -+-=+（m R ∈）交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为______.5．点M 为椭圆22195x y +=上一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，则12F MF △的内心轨迹方程为____________.二、解答题6．在平面直角坐标系xOy 中，A B ，为抛物线()2:20C y px p =>上不同的两点，且OA OB ⊥，点D ()12，且⊥OD AB 于点D . （1）求p 的值；（2）过x 轴上一点 ()()00T t t ≠，的直线l 交C 于()11M x y ，，()22N x y ，两点，M N ，在C 的准线上的射影分别为P Q ，，F 为C 的焦点，若2PQF MNF S S ∆∆=，求MN 中点E 的轨迹方程.7．若动点M 到定点()0,1A 与定直线:3l y =的距离之和为4. （1）求点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点()0,B t （t R ∈）对称的不同点有几对？请说明理由.8．已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求①MBD 的内切圆半径r 的取值范围．9．已知221(1)1C x y ：-+=，222(1)25C x y ++=：．（1）若直线L 与①C 1相切，且截①C 2的弦长等于L 的方程．（2）动圆M 与①C 1外切，与①C 2内切，求动圆M 的圆心M 轨迹方程．10．如图，设点 A 和B为抛物线 ()240y px p => 上原点以外的两个动点，已知 OA OB ⊥，OM AB ⊥．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．11．设椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，已知(),0A a 、()0,B b -，且原点到直线AB .，（①）求椭圆E 的方程；（①）已知过点()1,0M 的直线交椭圆E 于C 、D 两点，若存在动点N ，使得直线NC 、NM 、ND 的斜率依次成等差数列，试确定点N 的轨迹方程.12．已知抛物线C ：22x y =，过点(11)Q ,的动直线与抛物线C 交于不同的两点,A B ，分别以,A B 为切点作抛物线的切线1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点P .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）求PAB △面积的最小值，并求出此时直线AB 的方程. 13．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),S x y 满足直线AS 与BS 的斜率之积为34-，记动点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么样的曲线；（2）设M ，N 是曲线C 上的两个动点，直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒.①求证：点P 在定直线上；①求证：直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.14．已知点1,0A ，E ，F 为直线1x =-上的两个动点，且AE AF ⊥，动点P 满足//EP OA ，//FO OP （其中O 为坐标原点）.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M 、N ，如果4OM ON ⋅=-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标.15．已知椭圆C 的方程为2212y x +=，点P (a ，b )的坐标满足2212b a +≤，过点P 的直线l 与椭圆交于A ､B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.16．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为14-．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程，并说明是什么曲线；（2）设直线l 不经过点(0,1)P 且与曲线C 相交于点D ．E 两点．若直线PD 与PE 的斜率之和为2，证明：l 过定点．17．在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于14-，设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）设过点()1,0且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求证：直线AM ，BN 的交点在直线4x =上.18．过椭圆C 外一点()00,P x y 作椭圆22:154x y C +=的切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，满足12l l ⊥.（1）求P的轨迹方程（2）求ABP△的面积(用P的横坐标0x表示)（3）当P运动时，求ABP△面积的取值范围.参考答案1．①①①①【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.【解析】（1）因为A 为圆O 内的一定点，P 为O 上的一动点， 线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ， 可得,MA MP MA MO MP MO OP r =+=+==， 即动点M 到两定点,O A 的距离之和为定值，①当,O A 不重合时，根据椭圆的定义，可知点M 的轨迹是：以,O A 为焦点的椭圆；①当,O A 重合时，点M 的轨迹是圆；（2）当A 为圆O 外的一定点，P 为O 上的一动点， 线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ， 可得,MA MP MA MO MP MO OP r =-=-==， 即动点M 到两定点,O A 的距离之差为定值，根据双曲线的定义，可得点M 的轨迹是：以,O A 为焦点的双曲线； （3）当A 为圆O 上的一定点，P 为O 上的一动点，此时点M 的轨迹是圆心O .综上可得：点M 的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故答案为：①①①①【点评】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用线段垂直平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转化思想的应用.2．221416x y +=【分析】先利用椭圆的几何性质得到Q 的轨迹方程为：2216x y +=，再根据M 的坐标与Q 的坐标关系可得M 的轨迹方程.【解析】如图，延长2F Q 交1F P 的延长线于S ，连接OQ . 因为PQ 为2SPF ∠的平分线且2F S PQ ⊥，故2PSF △为等腰三角形且2PS PF =，2SQ QF =， 所以121248PF PF PS PF +=+=⨯=.在12F SF △中，因为122,FO F O SQ QF ==，所以()1111422OQ F S F P PS ==+=， 故Q 的轨迹方程为：2216x y +=.令(),M x y ，则()2,Q x y ，所以22416x y +=即221416x y +=，故答案为：221416x y +=【点评】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.3．2240x y y +-= (0)x ≠【分析】设M 点坐标(m ，2)(0)m ≠，由于MA ，MQ 是过M 点的圆的两条切线，求出切点弦AQ 的方程24mx y +=，将其与圆的方程联立，可以得到Q 点坐标，由于AM 垂直于y 轴，于是垂线BQ 就垂直于x 轴，因此B 、Q 横坐标相同．又MA 、MQ 是圆的两条切线，于是MA MQ =，因此可知MH 过AQ 中点，而由圆的对称性可知，MO 也过AQ 的中点，于是可知M 、H 、O 三点共线．又直线OM 的斜率知道了，B 点的横坐标知道了，于是H 点的纵坐标也出来了，则垂心H 的轨迹可求． 【解析】解：由题意设M 点坐标(m ，2)(0)m ≠，则以MO 为直径的圆的方程为2221()(1)(4)24m x y m -+-=+， 又圆O 的方程为224x y +=，两式作差得：24mx y +=．联立22244mx y x y +=⎧⎨+=⎩，解得22284824m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或02x y =⎧⎨=⎩． 则点Q 的横坐标为284mm +．由于AM 垂直于y 轴，于是垂线BQ 就垂直于x 轴，因此B 、Q 横坐标相同．又MA 、MQ 是圆的两条切线，于是MA MQ =，因此可知(MH H 为三角形MAQ 的垂心）过AQ 中点，而由圆的对称性可知，MO 也过AQ 的中点，于是可知M 、H 、O 三点共线．由直线MO 的方程为2y x m =，代入Q 点横坐标得H 点的纵坐标为2164y m =+．∴三角形MAQ 的垂心的轨迹方程为2284164m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩． 消掉m 得：2240x y y +-= (0)x ≠．故答案为：2240x y y +-= (0)x ≠【点评】本题考查轨迹方程的求法，训练了参数法求曲线的轨迹，解答此题的关键是求出过切点的弦的方程，属于中档题． 4．2x a =【分析】由已知，可得直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0，设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y ，联立椭圆方程，解得12,y y ，再由由1,,A P R 三点共线可得11y yx a x a =++，由2,,A Q R 三点共线可得22y y x a x a=--，两式相除可得1222()()y x a x a x a y x a --=++，再将12,y y 代入化简即可.【解析】因为()()()2121m y m x y m R -+-=+∈， 所以(22)10m y x x y --+--=，由22010y x x y --=⎧⎨--=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0，设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y ， 联立椭圆方程，得22222222()20b t a y b ty b a b +++-=，则>0∆，222212122222222,,b a b b ty y y y b t a b t a --=+=++，()()222121222a b b y y y y b t-+=， 由1,,A P R 三点共线可得11y yx a x a =++，由2,,A Q R 三点共线可得22y y x a x a =--， 两式相除可得12122121()(1)()(1)y x a y ty a x a x a y x a y ty a -+--===++++()()12121211ty y a y ty y a y +-++()()()()()()22212122221222112112a bb y y ta y ab t a a b b y y ta yb t-++--==+-+++，解得2x a =， 所以点R 在定直线2x a =上，故点R 的轨迹方程为2x a =. 故答案为：2x a =.【点评】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道难度较大的题.5．2251(0)44x y y +=≠ 【分析】设12F MF △的内心为I ，连接MI 交x 轴于点N ，由内角平分线性质定理得到32MINI=，设()()()0011,,,,,I x y M x y N x y ，再由焦半径公式及内角平分线定理得到049I x x =，则04,09N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后利用向量关系把M 的坐标用I 的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.【解析】如图，设12F MF △的内心为I ，连接MI 交x 轴于点N ，连接12,IF IF 在1MF I △中1IF 是1MF N ∠的角平分线. 根据内角平分线性质定理得到11MIMF NI NF =.同理可得22MIMF NINF =.所以1212MI MF MF NI NF NF ==，根据等比定理得：1212+22MI MF MF a aNI NF NF c c===+ 在椭圆22195x y +=中，3,2a b c ===所以32MINI=设()()()0011,,,,,I x y M x y N x y ，则00y ≠10233MF x ===+ 同理20233MF x =- 又11212,2F N x F N x =+=-，则011023232233x x x x ++=--，可得1049x x =所有04,09N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0004,,,9MI x x y y IN x x y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭由32MI IM =，得002332x x x x -=-，032y y y -=- 所以0035,22x x y y =-=，代入椭圆22195x y +=方程.得225144x y +=，由00y ≠，则0y ≠.所以12F MF △的内心轨迹方程为：()2251440x y y +=≠ 故答案为：()2251440x y y +=≠【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.6．（1）52；（2）252524y x =- 【分析】（1）由点()12D ，且OD AB ⊥于点D ，可求得直线AB 的方程，联立直线方程与抛物线方程由韦达定理可表示A B y y ，进而表示A B x x ⋅，再由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=构建方程，解得p 值；（2）分别表示PQF S ∆与MNF S ∆，由已知2PQF MNF S S ∆∆=构建方程，解得t 的值，设MN 的中点E 的坐标为()x y ，，当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =构建等式，整理得中点轨迹方程；当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合，综上可得答案.【解析】（1）由OD AB ⊥及()12D ，，得直线AB 的斜率112OD k k =-=-， 则AB 的方程为()1212y x -=--，即25x y =-+， 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，联立22,25,y px x y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得24100y py p +-=，216400p p ∆=+>，由韦达定理，得10A B y y p =-，于是222210025224A B A B y y p x x p p p =⋅==， 由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=，即0A B A B x x y y +=，则25100p -=， 解得52p =. （2）由（1）得抛物线的焦点504F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设C 的准线与x 轴的交点为G ， 则12115222PQF S FG PQ y y ∆==⨯-，12115224MNF S FT PQ t y y ∆==--，由2PQF MNF S S ∆∆=，得5544t -=，且0t ≠，得52t =.设MN 的中点E 的坐标为()x y ，， 则当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =，可得21212221212105555552222255y y y y y y y yy y x x y y y x x x x ---=⇒=⇒=⇒=-+-----， 25255242y x x ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭； 当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合， 所以MN 的中点的轨迹方程为252524y x =-.【点评】本题考查由已知关系求抛物线的标准方程，还考查了在抛物线中线弦的问题下求中点的轨迹方程问题，属于难题.7．（1）()24,3124,3y y x y y ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩；作图见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）设(),M x y 34y -=，分类讨论，可得点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）当0t ≤或4t ≥显然不存在符合题意的对称点，当04t ＜＜时，注意到曲线C 关于y 轴对称，至少存在一对（关于y 轴对称的）对称点，再研究曲线C 上关于()0,B t 对称但不关于y 轴对称的对称点即可.【解析】解：（1）设(),M x y 34y -=①：当3y ≤1y =+， 化简得：24x y =①：当3y >7y =-，化简得：()2124x y =--（二次函数）综上所述：点M 的轨迹方程为()24,3124,3y y x y y ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩（如图）：（2）当0t ≤或4t ≥显然不存在符合题意的对称点，当04t ＜＜时，注意到曲线C 关于y 轴对称，至少存在一对（关于y 轴对称的）对称点.下面研究曲线C 上关于()0,B t 对称但不关于y 轴对称的对称点设()00,P x y 是轨迹()243x y y =≤上任意一点， 则()200043x y y =≤，它关于()0,B t 的对称点为()00,2Q x t y --，由于点Q 在轨迹()2124x y =--上，所以()()2001224x t y -=---，联立方程组()20020041224x y x t y ⎧=⎪⎨=--⎪⎩（*）得()0041224y t y =---，化简得()006033y t y +=≤≤ ①当()00,3y ∈时，()2,3t ∈，此时方程组（*）有两解， 即增加有两组对称点.①当00y =时，2t =，此时方程组（*）只有一组解， 即增加一组对称点.（注：对称点为()0,0P ，()0,4Q ） ①当03y =时，3t =，此时方程组（*）有两解为()P，()Q -， 没有增加新的对称点.综上所述：记对称点的对数为()()[)0,0,41,0,2,2,23,2,31,3,4t t t M M t t t ⎧≤≥⎪∈⎪⎪==⎨⎪∈⎪⎪∈⎩. 【点评】本题考查根据几何条件告诉的等量关系求轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大. 8．（1）22y x =；（2）1,)+∞【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），结合题意得出点Q 的坐标，再利用向量数量积的运算可得出点P 的轨迹方程；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、D （x 3，y 3），设直线AM 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将该直线方程与曲线C 的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点B 和点D 的横坐标相等，于是得出BD ①x 轴，根据几何性质得出①MBD 的内切圆圆心H 在x 轴上，且该点与切点的连线与AB 垂直．方法一是计算出①MBD的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式；方法二是设H （x 2﹣r ，0），直线BD 的方程为x ＝x 2，写出直线AM 的方程，利用点H 到直线AB 和AM 的距离相等得出r 的表达式； 方法三是利用①MTH ①①MEB ，得出MH HTMB BE=，然后通过计算得出①MBD 内切圆半径r 的表达式．通过化简得到r 关于x 2的函数表达式，并换元2112t x =+＞，将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系式，然后利用单调性可求出r 的取值范围．【解析】（1）设点(),P x y ，则()2,Q y - ①(),OP x y =，()2,OQ y =- ①0OP OQ ⋅= ①220OP OQ x y ⋅=-+=，即22y x =（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，直线BD 与x 轴交点为E ，内切圆与AB 的切点为T ．设直线AM 的方程为：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则联立方程2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：()2222204k k x k x +-+=①1214x x =且120x x << ①1212x x << ①直线AN 的方程为：111122y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， 与方程22y x =联立得：22222111111122024y x y x x x y ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭，化简得：221111122022x x x x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭解得：114x x =或1x x = ①32114x x x == ①BD x ⊥轴 设MBD ∆的内切圆圆心为H ，则H 在x 轴上且HT AB ⊥方法（一）①2211222MBD S x y ∆⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，且MBD ∆的周长为：22y①22211122222MBDS y r x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦①221x y r ⎛⎫+ ⎪===.方法（二）设()2,0H x r -，直线BD 的方程为：2x x =，其中2222y x =直线AM 的方程为：221122y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，即22211022y x x y y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，且点H 与点O 在直线AB 的同侧，①()2221x r y y r -+==，解得：2221x y y r +==方法（三）①MTH MEB ∆~∆ ①MH HT MB BE =221x r r y +-=，解得：22211x y x r ⎛⎫++⎪==21x +==令212t x =+，则1t >①r =在()1,+∞上单调增，则r >，即r的取值范围为)1,+∞．【点评】本题考查轨迹方程以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能力与化简变形能力，属于难题．9．（1）33y x y x ==-+（2）22198x y .【分析】（1）设所求直线l 的方程为y=kx+b ，由直线l 与①C 1相切、直线l 截①C 2的弦长，列方程组即可求出直线L 的方程．（2）由题意得：|MC 1|+|MC 2|=6，设动点M （x ，y ），列方程能求出动圆M 的圆心M 轨迹方程．【解析】解：（1）设所求直线L 的方程为y =kx +b ，①直线L与①C1相切，=1，（i）又直线L截①C2的弦长等于，=2，（ii）d2=r2-21=4，①|k-b，①|k-b|=2|k+b|，①k+3b=0，（iii）或3k+b=0，（iiii）（iii）代入（i），得：|23k25109k+=，无解，（iiii）代入（i），得：|-2k，解得k=3±，当kb=，直线方程为yx当k=b，直线方程为y=x．经检验得斜率不存在的直线均不适合题意．故直线L的方程为yx y=（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，设动点M（x，y）=6，解得2298x y+=1，①动圆M的圆心M轨迹方程为22198x y+=．【点评】本题考查直线方程的求法，动圆的圆心的轨迹方程的求法，直线与圆相切、弦长公式、直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，属于难题．10．M 的轨迹是以 ()2,0p 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点． 【解析】【分析】设出点的坐标，根据给出的两个垂直关系，得到各个坐标间的关系，最后消掉参数得到轨迹方程，并去掉不符合的点。
关于全国卷(新课标)中轨迹方程的研究(二)
关于全国卷（新课标）中轨迹方程的研究（二）本文主要研究圆锥曲线和极坐标与参数方程中关于轨迹方程的几种解法；本文分两篇，其中（一）为讲义，（二）为配套练习。
选题主要是全国卷近10年的真题和各地诊断考试真题。
练习题配置：每套题包含（一）中的五种方法的练习题各2-3个题，共12个题。
本文一共3套题（练习1—练习3） 练习1：1．（2018成都三诊文）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()1,0B ，动点M 满足4MA MB +=.记动点M 的轨迹方程为曲线C ，求曲线C 的方程；2.如图所示，在△ABC 中，已知A （-22,0）B （22，0），且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．3、已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,B 是圆221:()42M x y -+=上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程。
4．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．求曲线C 的方程；5．（2011广东）设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切．求C 的圆心轨迹L 的方程；6.（浙江理）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹,求曲线C 的方程；7.（福建文)如图，已知点F （1，0），直线l :x =-1,P 为平面上的动点，过P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且··,求动点P 的轨迹C 的方程;8、点A,B 的坐标分别是(-2,0)，(2,0)，直线AM ，BM 相交于点M,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的积是34-,求点M 的轨迹方程.9、(2018新课标Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10、已知12,A A 为22194x y +=的长轴的两端点，12,P P 是垂直于12A A 的弦的两端点，则11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程为 ．11、已知椭圆22194x y +=，过点()21Q ，作一条直线交椭圆于A,B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程．12、若,M N 是两定点，6MN =，动点P 满足1PM PN ⋅=，则P 的轨迹方程为 ．练习2：1、点A,B 的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2,则点M 的轨迹是什么?2、在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点()2,0F 的距离与到定直线8x =的距离的比是12.求动点M 的轨迹方程。
高中数学选择性必修第一册 专题研究二 求曲线的轨迹方程
探究 2 (1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个 是被动的．
(2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方 程：
①某个动点 P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点 M 随 P 的变化而变化； ③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律．
谢
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2 0 22
专题研究二 求曲线的轨迹方程
专题讲解
例 1 设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的 轨迹方程．
【解析】 方法一(直接法)：设 OQ 为过 O 的一条弦，P(x，y)为其中点，则 CP⊥OP，OC 中点为 M12，0，
则|MP|＝12|OC|＝12，得方程x－122＋y2＝14，考虑轨迹的范围知 0<x≤1. 方法二(定义法)：∵∠OPC＝90°， ∴动点 P 在以 M12，0为圆心，OC 为直径的圆上，|OC|＝1，再利用圆的方 程得解．
探究 1 本题中的四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几 节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可．
例 2 设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x2＋2y2＝4 交于 A，B 两点，P 是 l 上满足P→A·P→B＝1 的点，求点 P 的轨迹方程．
【解析】 设 P(x，y)，A，B y2＝t2，1<t<3 与椭圆 C2：x92＋y2 ＝1 相交于 A，B，C，D 四点，点 A1，A2 分别为 C2 的左、右 顶点．求直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程．
【解析】 由椭圆 C2：x92＋y2＝1，知 A1(－3，0)，A2(3，0)． 设点 A 的坐标为(x0，y0)，由圆和椭圆的对称性，得点 B 的坐标为(x0，－y0)． 设点 M 的坐标为(x，y)，
曲线轨迹方程的求法
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Ｚ Ｂ的垂 直平分线 ． 是 Ｚ 上 内切 ；３动 圆 与 圆 Ｃ内切 ， （） 与圆 外切 ；４ 动 圆 中心 的任 意弦 ，是线段 Ａ （）
与圆 Ｃ外切 ， 圆 内切 ． 。 与
异于椭圆中心的点． Ｉ Ｏ ｌＡ 若 Ｍ ＝ ｌ（ ｌ ０为坐标原
， 求点 的轨迹方程． 在情况 （）（ ） ， １ 、２下 动圆圆心 的轨迹方程为 ｘＯ － ． 点 ）当点 Ａ在椭 圆 Ｃ 上运动时 ，
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例 ２ （０８年全 国 Ｉ卷理科第 ｌ 题 ）已知 Ｆ Ｉ ｚ＋ｃ ２０ Ｉ ５ ＡＣＩ －
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３ ． 用动点和相关点的坐标表示以上关系； 代点．
因为 为 Ａ Ｂ中点 ， Ａ（ ，） （， ） 则 ０， Ｏ２ ． Ｂ ｙ 又因
ｌ
４ ． 把以上关系式化简； 化简．
５ 明． 明所得方程为所求 曲线的轨迹方程 ． ． 证 证
ｚ ｚ ｚ ｚ过点 Ｐ ２ ４ ， Ｐ Ｐ． ｋ ・ ２ 上且 ， （ ， ）则 Ａ上 Ｂ即
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
求曲线的方程(二) ppt
—— 2.1.2求曲线的方程（二）
1
复习：
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标; 二、(限)找条件，由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
以上步骤用一句话概括就是:建设现 ( 限 ) 代化 . ．．． ． ． ． ．．
评讲作业题 巩固步骤
2
练习：
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构 成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在 ABC 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ABC 的面积 等于3，求顶点C的轨迹方程。
3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点，满足 MN MP MN NP 0 。则动点P(x,y)的 轨迹方程为 。
设直线 l 的方程为 y kx
M
B y kx 由方程组 2 2 x y 6 x 4 y 10 0 0 2 2 消去 y 得 (1 k ) x (6 4k ) x 9 0 6 4k 9 x1 x2 , x1 x2 2 1 k 1 k 2 3 2k x 2 2 1 k 2 k 消去参数 得 x y 3x 2 y 0 ∴ y k 3 2k 1 k 2
x x
x
∴所求轨迹方程为 x2 y2 3x 2 y 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)
点差法
6
2 2 x y 6 x 4 y 9 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
高三数学轨迹方程50题及答案
高(Gao)三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数(Shu)法、交轨法，待定(Ding)系数法。
(1)直(Zhi)接法(Fa)直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=B 、x 2+y 2=C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41)11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A、(x－2)2+(y+4)2=16B、(x－2)2+4(y+2)2=16 (0)yC、(x－2)2－(y+4)2=16D、(x－2)2+4(y+4)2=1612、椭(Tuo)圆(Yuan)C与椭(Tuo)圆关于(Yu)直线x+y=0对(Dui)称，椭圆C的方程是（）A、 B、C、 D、13、设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ( )A. B.C. D.14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为 ( )15、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为（）A、x2+y2=2a2B、x2+y2=4a2C、x2－y2=4a2D、x2－y2=a2二、填空题：16、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。
求曲线轨迹方程的方法
四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =u u u r u u u r·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r·，求直线AP与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =u u u r，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =．将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
人教A版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练66 求曲线轨迹方程的方法 (2)
课时规范练66 求曲线轨迹方程的方法基础 巩固练1.已知点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a,当a 为3和5时,点P 的轨迹分别是( ) A.双曲线的右支 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线2.已知点A(-2,-1),B(2,1),若动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为12,则动点P 的轨迹方程为( )A.x 26+y 23=1,x≠±2B.x 26+y 23=1,x≠±√6 C.x 22-y 2=1,x≠±2 D.y 2-x 22=1,x≠±23.已知△ABC 的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A 的轨迹方程是( )A.x 236+y 220=1(x≠0) B.y 236+x 220=1(x≠0) C.y 220+x 26=1(x≠0)D.y 236+x 220=14.(多选题)(湖南浏阳模拟)已知点A(-1,0),B(1,0),直线AP,BP 相交于点P,直线AP,BP 的斜率分别为k 1,k 2,则下列说法正确的是( ) A.当k 1·k 2=-2时,点P 的轨迹为除去A,B 两点的椭圆 B.当k 1·k 2=2时,点P 的轨迹为除去A,B 两点的双曲线 C.当k 1-k 2=2时,点P 的轨迹为抛物线 D.当k1k 2=2时,点P 的轨迹为一条直线5.(浙江温州第一次适应性测试)动点M(到定直线l:的轨迹方程是( ) A.x 225+y 29=1 B.x 225+y 216=1 C.y 225+x 29=1D.y 225+x 216=16.两条直线x+y-1=0的交点的轨迹方程是 .7.已知点P 为椭圆x 225+y 216=1上的任意一点,O 为坐标原点,点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 的轨迹方程为 .8.椭圆x 29+y 2=1上有动点P,点F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,则△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程为 .9.动圆M 过点A(2,0),且与圆C:x 2+y 2+4的轨迹方程是 .综合 提升练10.(江苏南通模拟)已知圆C 的方程为x 2+y 2=16,直线l 为圆C 的切线,记A(-2,0),B(2,0)两点到直线l 的距离分别为d 1,d 2,动点P 满足|PA|=d 1,|PB|=d 2,则动点P 的轨迹方程为( )A.x 2+y 2=4 B.x 216+y 212=1C.x 216−y 212=1 D.y 2=4与两个定点A(3,0),O(0,0)的距离的比为2,且动点M 不在的轨迹与x 轴所围成的图形的面积为 .12.(多选题)(湖南邵阳模拟)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点P 为定圆O 上的动点,点A 为圆O 所在平面上的定点且不与点O 重合,线段AP 的垂直平分线交直线OP 于点Q,则点Q 的轨迹可能是( ) A.一个点 B.直线 C.椭圆 D.双曲线13.(浙江慈溪中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A,B 分别是定直线y=kx 和y=-kx(k>0)上的动点,若△AOB 的面积为定值S,则线段AB 的中点的轨迹为( ) A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线14.(浙江台州模拟)若圆x 2+y 2-ax+2y+1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P 与y 轴相切,则圆心P 的轨迹方程为( ) A.y 2-4x+4y+8=0 B.y 2-2x-2y+2=0 C.y 2+4x-4y+8=0 D.y 2-2N 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)中垂直于长轴的动弦,A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,则直线AM 和NB 的交点P 的轨迹方程为 .16.(北京第三十五中学期中改编)已知两定点M(1,3),N(3,1),动点P 满足直线PM 与直线PN 的斜率之积为4,求动点P 的轨迹方程.创新应用练17.(浙江绍兴模拟)蒙日是法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现椭圆或双曲线上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹为圆,该圆称为蒙日圆,如图所示.则双曲线C:x 29−y 24=1的蒙日圆的面积为( )A.4πB.5πC.9πD.13π18.(浙江杭州模拟)已知点F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆上除了左、右顶点之外的任一点,从F 2引∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q 的轨迹方程为 .课时规范练66 求曲线轨迹方程的方法1.D 解析依题意得|F1F2|=10.当a=3时,2a=6<|F1F2|,且|PF1|-|PF2|=6>0,所以点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.2.C 解析设P(x,y)(x≠±2),因为直线PA与直线PB的斜率之积为12,所以-1-y-2-x ·1-y2-x=12,整理得x22-y2=1(x≠±2).3.B 解析∵△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),∴|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12.∵12>8,∴点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是椭圆.∵a=6,c=4,∴b2=20,∴椭圆的方程是y 236+x220=1(x≠0).4.AB 解析设P(x,y),x≠±1.A选项,k1·k2=-2,故yx+1·yx-1=-2,变形为x2+y 22=1,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的椭圆,A正确;B选项,k1·k2=2,故yx+1·yx-1=2,变形为x2-y22=1,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的双曲线,B正确;C选项,k1-k2=2,故yx+1−yx-1=2,变形为y=1-x2,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的抛物线,C错误;D选项,k1k2=2,即yx+1·x-1y=2,变形为x=-3,且y≠0,故点P的轨迹为除去点(-3,0)的直线,D错误.故选AB.5.A 解析根据题意可得√(x+4)2+y 2|x+254|=45,化简可得x 225+y 29=1.6.x 2+y 2-x-y=0 解析两直线的方程分别变形为xy,故x 2-x=y-y 2,也就是x 2+y 2-x-y=0.7.x 2254+y 24=1 解析设点M(x,y),由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点P(2x,2y),而点P 为椭圆x 225+y 216=1上的任意一点,于是得(2x )225+(2y )216=1,整理得x 2254+y 24=1,所以点M 的轨迹方程是x 2254+y 24=1.8.x 2+y 219=1(y≠0) 解析设点P((x,y).椭圆的焦点为F 1(-2√2,0),F 2(2√2,0).∵△PF 1F 2存在,∴y 1≠0.由三角形的重心坐标公式有{x =x 1+(-2√2)+2√23,y =y 1+0+03,即{x 1=3x ,y 1=3y .∵y 1≠0,∴y≠0.∵点P 在椭圆上, ∴x 129+y 12=1,∴(3x )29+(3y)2=1(y≠0),故△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程为x 2+y 219=1(y≠0).9.x 214−y 2154=1的圆心为M(x,y),半径为r.圆C:C|=r+R,所以|MC|-|MA|=1<|AC|=4.由双曲线的定义得点M的轨迹是以A,C为焦点,实轴长为1的双曲线的右支,因为实轴长为1,焦点为C(-2,0),A(2,0),所以动圆圆心M的轨迹方程是x 21 4−y2154=1x≥12.10.B 解析如图,分别过点A,O,B作直线l的垂线,垂足分别为A1,O1,B1,则AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切点为O1.因为A(-2,0),B(2,0),所以O是AB的中点,所以OO1是梯形ABB1A1的中位线,所以|OO1|=|AA1|+|BB1|2=d1+d22.又圆C的方程为x2+y2=16,其半径为4,所以|OO1|=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|.所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为8的椭圆,设椭圆的方程为x2 a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=8,c=2,所以a=4,b2=a2-c2=12,所以动点P的轨迹方程为x 216+y212=1.11.2π解析设M(x,y),由题意得|MA||MO|=2,又已知A(3,0),O(0,0),则√(x-3)2+y2√x2+y2=2,化简整理得(不在的轨迹为以(-1,0)为圆心,2为半径的圆在x轴上方及在x轴上的点.π×22=2π.该轨迹与x轴所围成的图形的面积为S=1212.ACD 解析分以下几种情况讨论:设定圆O的半径为R,①当点A在圆O上时,连接OA,则|OA|=|OP|.所以点O在线段AP的垂直平分线上,又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点,所以点Q与点O重合,此时,点Q的轨迹为圆心O,故A正确.②当点A在圆O内,且点A不与圆心O重合时,连接AQ,由垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|,所以|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=R>|OA|,此时,点Q的轨迹是以点A,O为焦点,且长轴长为R的椭圆,故C正确.③当点A在圆O外时,连接AQ,由垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|,所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=R<|OA|,此时点Q的轨迹是以点A,O为焦点,且实轴长为R的双曲线.故D正确.故选ACD.13.C 解析设A(x1,kx1),B(x2,-kx2),则|OA|=√1+k2|x1|,|OB|=√1+k2|x2|.由于△AOB的面积为定值且sin∠AOB为定值,从而|x1)2-2y Mk2=(x)2-(x1-x2)2=4x1x2=±4T为定值,从而线段AB的中点的轨迹为双曲1+x2线.14.C 解析圆x2+y2-ax+2y+1=0的圆心为A a,-1,圆x2+y2=1的圆心为2O(0,0),因为圆x 2+y 2-ax+2y+1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y=x-1对称, 所以AO 的中点a 4,-12在直线y=x-1上,即a 4-1=-12,解得a=2,经检验,当a=2时,A(1,-1),O(0,0),直线AO 的斜率是k=-1,显然直线AO 与直线y=x-1垂直. 所以a=2.设圆心P 的坐标为(x,y),因为过点C(-2,2)的圆P 与y 轴相切,所以√(x +2)2+(y -2)2=|x|,解得y 2+4x-4y+8=0. 15.x 2a 2−y 2b 2=1((x 1,y 1),N(x 1,-y 1),P(x,y).椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴端点为A(-a,0),B(a,0).因为A,M,P 三点共线,所以y x+a=y 1x 1+a,x≠-a.因为N,B,P 三点共线,所以y x -a=-y 1x 1-a,x≠a.两式相乘得y 2x 2-a 2=-y 12x 12-a 2(x≠±a).因为x 12a 2+y 12b 2=1,所以y 12=b 2(a 2-x 12)a 2,即y 12x 12-a 2=-b 2a 2,所以y 2x 2-a 2=b 2a 2,整理得x 2a 2−y 2b 2=1(和NB 的交点P 的轨迹方程是x 2a 2−y 2b 2=1(x≠±a).16.解设点P 的坐标为(x,y)(x≠1,且与直线PN 的斜率之积为4,∴y -3x -1·y -1x -3=4(x≠1,且x≠3),化简得4x 2-y 2-16x+4y+9=0(x≠1,且x≠3),则所求轨迹方程为4x 2-y 2-16x+4y+9=0(x≠1,且x≠3).17.B 解析设两条互相垂直的切线的交点为P(x 0,y 0),由题可知,双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0,设过点P 且与双曲线C相切的一条切线方程是y-y 0=k(x-x 0),k≠0,由{x 29-y 24=1,y -y 0=k (x -x 0),消去y,整理得(4-9k 2)x 2+(18x 0k 2-18ky 0)x-9(kx 0-y 0)2-36=0,4-9k 2≠0,则Δ1=0,即(18x 0k 2-18ky 0)2-4·(4-9k 2)·[-9(kx 0-y 0)2-36]=0,整理得(x 02-9)k 2-2x 0y 0k+y 02+4=0,因为过点P 有两条直线与曲线C 相切,所以x 02-9≠0,且Δ2>0,即9y 02-4x 02+36>0.因为过点P 的这两条切线互相垂直,k 1k 2=y 02+4x 02-9=-1<0,所以x 02-9<0,则-3<x 0<3.由k 1k 2=y 02+4x 02-9=-1,得x 02+y 02=5,故该双曲线的蒙日圆方程为x 2+y 2=5,圆的半径为√5,所以该双曲线的蒙日圆的面积为5π. 18.x 2+y 2=a 2(,连接OQ.因为PQ 是∠F 1PF 2外角平分线,且PQ ⊥MF 2,所以在△PMF 2中,|PF 2|=|PM|,且Q 为MF 2中点.因为P 为椭圆上一点,则|PF 1|+|PF 2|=2a,在△F 1F 2M 中,O 为F 1F 2的中点,所以|OQ|=12|MF 1|=12(|PF 1|+|PM|)=12(|PF 1|+|PF 2|)=12×2a=a,所以点Q 的轨迹方程为x 2+y 2=a 2(x≠±a).。
轨迹方程的五种求法例题
动点轨迹方程的求法 【2 】一.直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求,其进程是建系设点,列出几多么式,坐标代换,化简整顿,重要用于动点具有的几何前提比较显著时．例1已知直角坐标平面上点Q （2,0）和圆C ：122=+y x ,动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图）,求动点M 的轨迹方程,解释它表示什么曲线．【解析】：设M （x,y ）,直线MN切圆C于N,则有λ=MQMN ,即λ=-MQONMO 22,λ=+--+2222)2(1yx y x ．整顿得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ,这就是动点M 的轨迹方程．若1=λ,方程化为45=x ,它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线;若λ≠1,方程化为2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（,它表示认为)0,12(22-λλ圆心,13122-+λλ为半径的圆．二.代入法若动点M （x,y ）依附已知曲线上的动点N 而活动,则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或知足的几何前提,从而求得动点M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情形．例2 已知抛物线12+=x y ,定点A （3,1）,B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP:PA=1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设),(),,(11y x B y x P ,由题设,P分线段AB 的比2==PB AP λ,∴.2121,212311++=++=y y x x 解得2123,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上,其坐标合适抛物线方程,∴.1)2323()2123(2+-=-x y 整顿得点P 的轨迹方程为),31(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．三.界说法若动点活动的纪律知足某种曲线的界说,则可依据曲线的界说直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空.选择题的情势消失．例3 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是 （A ）012122=+-x y （B ）012122=-+x y （C ）082=+x y （D ）082=-x y【解析】：如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M 到定圆圆心（－2,0）的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以（－2,0）为核心,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,极点是（1,0）,启齿向左,所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．例4 一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为 （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆【解析】：如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线界说知,其轨迹是以O.C 为核心的双曲线的左支,选（C ）． 四.参数法若动点P （x,y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x.y 关于另一变量的参数方程,再化为通俗方程．例5设椭圆中间为原点O,一个核心为F （0,1）,长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程;（2）设经由原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q,点P 在该直线上,且12-=t t OQOP ,当t 变化时,求点P 的轨迹方程,并解释轨迹是什么图形．【解析】：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t ba b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-． (2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222ty t x t y t x 或个中t ＞1．消去t,得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分． 五.交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其进程是选出一个恰当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标合适的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程． 例6 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．【解析】：PA 和QB 的交点M （x,y ）随A.B 的移动而变化,故可设)1,1(),,(++t t B t t A ,则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t,得.082222=+-+-y x y x 当t=－2,或t=－1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的重要办法,也是常用办法,假如动点的活动和角度有显著的关系,还可斟酌用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何办法,都要留意所求轨迹方程中变量的取值规模．。
轨迹方程的求法 (2)
轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程. 若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标y x 、的方程。
经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。
其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标y x 、，从而得到动点轨迹的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，消去参数t ，便可得到动点P 的轨迹普通方程。
其中应注意方程的等价性，即由t 的范围确定出y x 、范围。
（5）交轨法：通过求两个曲线的交点，得出交点的参数方程，消参后可得出普通方程。
也可以不解方程直组消参。
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.1.若点M （x,y ）满足|3|0x y -+=，则点M 的轨迹是（ ）1、C ；A.圆B.椭圆C.双曲线 D 抛物线.2点M 为抛物线2y x =上的一个动点，连结原点O 与动点M ，以OM 为边作一个正方形MNPO ，则动点P 的轨迹方程为（ ） 2、C ；A.2y x =B. 2y x =-C. 2y x =±D. 2x y =±3.20=化简的结果是（ ）3、B ；A.22110036x y += B. 22110064x y += C.22136100x y += D. 22164100x y += 4一动圆M 与两定圆14)(x :221=++O y C 9)4-(:222=+O y x C 均外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿.)1(11522-≤=-x y x 解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支. 变式：一动圆M 与两定圆14)-(x :221=+O y C 100)4(:222=++O y x C 分别外切和内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿.14574121x 22=+y5已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线6 .设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y 解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C 7. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________..解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a ,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-答案：)4(1316162222ax a y a x >=- 8 . 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=09 . 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)10 已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.解：建立坐标系如图所示，设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0).设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆.11 .双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程. .解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).12 .已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.13 已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R.(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2| 又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)或者：a Q F OR ==121(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC14 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.15 设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=--⑥①³②,得y 12²y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得py x y y x x y y y y p 442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p--=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0 (y 1y 2=－4pa ,.x 1x 2=)所以y 1y 2=k pb 4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以kpk4=－22k b ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法三:设OA 的方程为，代入y 2=4px 得① ② ③ ④ ⑤则OB 的方程为，代入y 2=4px 得∴AB 的方程为，过定点，由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法四:设M (x ,y ).(x ≠0)，OA 的方程为，代入y 2=4px 得则OB 的方程为，代入y 2=4px 得由OM ⊥AB ，得M 既在以OA 为直径的圆:……①上，又在以OB 为直径的圆:……②上（O 点除外），①+②得.x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. [错解分析]:当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.（此题可以让证明AB 过定点，）这是此题的一个副本产品。
圆锥曲线(求轨迹方程)
专题 圆锥曲线（求轨迹方程）求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F (x ，y )＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法（相关点法）：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．1．一个区别——“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只须求出轨迹的方程，标出变量x ，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据．2．双向检验——求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．考向一 直接法求轨迹方程【例1】 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．【解】 (1)由题意可知，直线PM 与PN 的斜率均存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ＞0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1＜λ＜0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．④当λ＜－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．【对点练习1】已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，是圆的轨迹方程；当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程；当λ＝0时，是直线的轨迹方程．综上，方程不表示抛物线的方程．【答案】 C图8-8- 2 图8-8- 1考向二 定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．【解】 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．【解】(1)根据题意，知|P A |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ，因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4. 因此其轨迹方程为y 2＝－8x .考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8-8-2所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【解】(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.图8-8-5(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415.【对点练习2】(2014·合肥模拟)如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM →＝λPN →且PM →·QN→＝0. (1)求点N 的轨迹方程；(2)过点A (0,3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2与点N 的轨迹分别交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点．【解】(1)由PM →＝λPN →且PM →·QN →＝0可知N ，P ，M 三点共线且PM ⊥QN . 过点Q 作QN ⊥PM ，垂足为N ，设N (x ，y )，∵|OP |＝3，|OQ |＝1，由相似可知P (3x ，y )．∵P 在圆x 2＋y 2＝9上，(3x )2＋y 2＝9，即y 29＋x 2＝1. 所以点N 的轨迹方程为y 29＋x 2＝1.(2)证明：设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ＋3，y 29＋x 2＝1⇒(k 21＋9)x 2＋6k 1x ＝0，① 解得x ＝0或x ＝－6k 1k 21＋9. 所以x E ＝－6k 1k 21＋9，y E ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9＋3＝27－3k 21k 21＋9， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9，27－3k 21k 21＋9. ∵k 1k 2＝－9，∴k 2＝－9k 1.用k 2＝－9k 1替代①中的k 1， 同理可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1k 21＋9，3k 21－27k 21＋9. 显然E ，F 关于原点对称，∴直线EF 必过原点O .【达标训练】一、选择题1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线3．(2014·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )图8-8-4 A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线4．(2014·合肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →， 且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1二、填空题7．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是_______________________．8．动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是_______________________．9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为_______________________．10.(2014·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是_____________．三、解答题11．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．12．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．13．(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．【达标训练】 参考答案一、选择题1．A. 【解析】∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．2．D. 【解析】由已知：|MF |＝|MB |，由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．3．A ．【解析】设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎨⎧ x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.4．B ．【解析】由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r ＞|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B.5．A. 【解析】设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )，则BP →＝(x ，y －y B )，P A →＝(x A －x ，－y )，∵BP →＝2P A →，∴⎩⎨⎧ x ＝2(x A －x )，y －y B ＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝32x ，y B＝3y .∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，B (0,3y )． 又Q (－x ，y )，∴OQ →＝(－x ，y )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，∴OQ →·AB →＝32x 2＋3y 2＝1， 则点P 的轨迹方程是32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．6．C ．【解析】设AP 中点M (x ，y )，P (x ′，y ′)，则x ＝x ′2，y ＝y ′－12，∴⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y ＋1， 代入2x 2－y ＝0，得2y ＝8x 2－1，故选C.二、填空题7．y 2＝8x 。
专题：轨迹方程的求法
专题 轨迹方程的求法例1、 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.例2、已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线例3、【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
M(x,y)B(a,0)A(-a,0)oyx例4、已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．例5、【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。
证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
例6、过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.122=+y x MQ ()0>λλ例7、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线例8、[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.例9、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程例10、如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
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轨 迹 方 程 问 题常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程；1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x ，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．例1．设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；解：因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-，所以a ·b ＝2210mx y +-=， 即 221mx y +=．当m ＝0时，方程表示两条直线：1±=y ； 当1m =时，方程表示的是圆：221x y +=； 当m ＞0且1≠m 时，方程表示的是椭圆； 当m ＜0时,方程表示的是双曲线． 2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程PMN例2．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,)P x y ，则，同理222(2)1PN x y =-+-．2222211(2)1PM O P O M x y =-=++-∵PM =，∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=． 这就是动点P 的轨迹方程． 注：动圆圆心轨迹问题①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程：例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C 的方程；（2）过A 作直线l 交曲线C 于,D E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程； （3）在（2）中求ODE ∆的重心G 的轨迹方程。
解：(1)点P 到点A 的距离等于点P 到直线y= -1的距离，故点P 的轨迹C 是以点A 为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线C 的方程 x 2=4y.2222A ,14440,+=4,(+)2, 1,21 2()1,1.2221l x y x x kx k x k y x x k y y x y =====+=⎧=⋅+=+⎨=+⎩1122212122(2)设M(x,y),D(x ,y ),E(x ,y ),依题意知过的直线的斜率存在，设该直线的方程为：y=kx+1 与联立，消整理得：--则x x 则x x kx+1=2k 2k 即，消去得：即为所求的方程k 另解：（2）(0,1)A ，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，(,)M x y ，则由2114x y =，2224x y =，两式相减得l k = 21212142y y x x x x x -+==-，又1l AM y k k x -==，12x y x -∴=，即2112y x =+. （3）设G （x,y ）, 由（2）得2+=4,+=(+)242k k k +=+121212x x y y x x ，240+33,0+42333k x x k y y +⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨+⎪⎪==+⎪⎪⎩⎩1212x x y y ，消去k 得：23243y x =+为所求方程。
4．“代入法”求轨迹方程：设点M 是已知曲线F （x ，y ）＝0上的动点，点P 因点M 的运动而运动（即点P 是点M 的相关点），求点P 的轨迹方程． ①设点M 的坐标为M （0x ，0y ），则F （0x ，0y ）＝0； ②设点P 的坐标为P （x ，y ）；③因为“点P 随点M 的运动而运动”，可以求得：0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）； ④把0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）代入F （0x ，0y ）＝0，即得所求点P 的轨迹方程．例4.已知点100(,)P x y 为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P .求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程.解： (1) 由已知得208303F b A b y （，），（，）,则直线2F A 的方程为:03(3)yy x b b =--,令0x =得09y y =,即20(0,9)P y ,设P x y （，）,则 00002952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩,即0025x x yy =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，代入22002218x y b b -=得:222241825x y b b -=, 2F 1F Oy xA 2P 1P P即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -= 5．“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y ）＝0和动曲线G(x ，y)＝0相交于点P ，求点P 的轨迹方程．从理论上，其求解程序为： ①设动点P 的坐标为：),(P P y x ；②解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F ，求交点即得到．其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点．例5．已知椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． （1）求a 与b 的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1L 过2F 且与x 轴垂直，动直线2L 与y 轴垂直，2L 交1L 于点P .求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.解：（1）e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心（0，0）到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+，∴2b ＝2，2a ＝3 ．（2）1F （－1，0）、2F （1，0），由题意可设P （1，t ）（t ≠0）.那么线段1PF 的中点为N （0，2t）．2L 的方程为：y ＝t ，设M(M M y x ,)是所求轨迹上的任意点.直线1PF 的斜率k ＝2t ，∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2．所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42，消去参数t 得：M Mx y 42-=，即： x y 42-=，其轨迹为抛物线（除原点）．又解：由于MN ＝（－x ，2t －y ），1PF ＝（－x ，2t－y ）．∵MN ·1PF ＝0， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，，消参数t 得：x y 42-=（x ≠0），其轨迹为抛物线（除原点）． 注：本题的第一问是由几何量确定轨迹方程；第二问是“交轨法”求轨迹方程． 例6．已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C 的内切圆半径为253，记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． (1)求椭圆2C 的标准方程；(2)设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，L 是线段AB 的垂直平分线，M 是L 上异于椭圆中心的点．若||MO ＝λ||OA (O 为坐标原点)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程．解：(1)由题意得22245253ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1． (2)若AB 所在的斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx(k ≠0)，A(A A y x ，)．由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++，⇒2222220(1)||45A A k OA x y k +=+=+． 设M(x ，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y kλ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线，所以直线L 的方程为y ＝1x k-⇒k ＝x y -，代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯，由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=， 当k ＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M 的轨迹方程为22245x y λ+=，（λ≠0）．例7．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（1）设椭圆长半轴长及分别为a ，c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a＝4，c ＝3.⇒椭圆C 的方程为221167x y +=． （2）设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。
由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+,整理得2222(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。
（i ）34λ=时。
化简得29112y =,所以点M 的轨迹方程为47(44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。
（ii ）34λ≠时，方程变形为2222111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-,当304λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。
当314λ<<时，点M 轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分． 例8．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．设()M x y ，，则 1(2)F M x y =+，，111(2)F A x y =+，，1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，， 由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩⇒12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩ ⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822y y y yx x x x --==----， 即1212()8yy y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 练习：1.分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是_______.2.已知点F 为抛物线22y x =的焦点，P 在抛物线上运动，则线段PF 的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ ），如果M 是线段1F P 的中点，则动点M 的轨迹是( ).（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线4.设A，B分别是直线y xAB=P满足=和y=上的两个动点，并且||20 =+．记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程.OP OA OB5.已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为，过点F且垂直长轴的弦长为1，1(1) 求椭圆C的方程;1(2) 过椭圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量1=+，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.OQ OM ON。