第2章-能量守恒定律(刚体的定轴转动)

2 j j 2 11 2 2 2
2 j j
质量连续分布
J m r r dm
2 j j 2 j
dm：质量元 d V ：体积元
r dV
2 V
第二章 守恒定律
17
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
转动定律应用 说明 (1) M J ,
M J
与 M 方向相同．
r
F
m Fn
M rFt mr 2 M mr
2
第二章 守恒定律
12
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
（2）刚体 质量元受外力 Fej， 内力 Fij
2 j j
z
O
Mej Mij m r
内力矩
ej
r j m j
Fej
外力矩
Fij
2 j j
第二章 守恒定律
角位移 (t t) (t)
x
方向: 右手螺旋方向
6
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.

d 角加速度 dt


>0
z

z

<0
7

第二章 守恒定律
物理 （工）
2-4
F
r
d
*
P

F F Fi 0, M i 0 i i
F Fi 0, M i 0 i i
9
F
第二章 守恒定律
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
其中 Fz 对转轴的
F Fz F
z
k
O
F
M z k r F M z rF sin
第二章 守恒定律
r
Fz

F
10
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
§2-4 刚体的定轴转动
第二章 守恒定律
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．) ⑴ 刚体是理想模型 说明： ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
第二章 守恒定律
2012.10真题第22、30题
第二章 守恒定律
29
第二章 守恒定律
23
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：

t2
t1
Mdt J2 J1
非刚体定轴转动的角动量定理

t2
t1
Mdt J 22 J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
第二章 守恒定律
5
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
一
刚体转动的角速度和角加速度 z 角坐标 (t )
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
O
ω
d P(t)
r P’(.t+dt)
.
d 角速度矢量 lim t 0 t dt
刚体的定轴转动
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
(2) 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
(3) 运动描述仅需一个角坐标．
第二章 守恒定律
8
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
一
力矩
z
O
M
用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd d : 力臂 F 对转轴 z 的力矩 M r F
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中 M J与平动中F ma 地位相同．
第二章 守恒定律
18
物理 （工）wenku.baidu.com
2-4
刚体的定轴转动
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体的体密度 有关． （2）与刚体的几何形状(及体密度 的分 布)有关． （3）与转轴的位置有关．
第二章 守恒定律
Fij
转动定律 M J 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
第二章 守恒定律
14
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
转动定律 M J
M 讨论 （1） J
d （2） M J J dt
（3）M 0， ω=常量
第二章 守恒定律
15
物理 （工）
第二章 守恒定律
24
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J =常量 如果物体所受的合外力矩等于零， 或者不受外力矩的作用，物体的角动量 保持不变．——角动量守恒定律
第二章 守恒定律
25
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
讨论 守恒条件 M 0 若 J 不变， 不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中 M
2-4
刚体的定轴转动
三
转动惯量
J m r
j
2 j j
J r dm
2
转动惯量的单位：kg· m2 J 的意义：转动惯性的量度 .
第二章 守恒定律
16
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
J 的计算方法 质量离散分布
J m r m r m r m r
in
>> M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第二章 守恒定律
26
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
例题 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上， 滑轮质量为 m ，绳下端挂一物体，物体所受 重力为 G, 滑轮的角加速度为 β 1 ，若将物体 去掉而以与G相等的力 直接向下拉绳子，滑 β2 β1 R R 轮的角加速度β 2将 (A) 不变 (C) 变大 (D) 无法判断
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt in 合外力矩 对定轴转动的刚体 M i 0 ， ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL M dt dt
第二章 守恒定律
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
二 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动 的角动量

ri
z
2 L mi ri
i
2
( mi ri )

O
vi
mi
L J
第二章 守恒定律
22
i
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
2 刚体定轴转动的角动量定理 质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
M
j
M ij m r
j
M ij M ji
M ij 0
j
13
第二章 守恒定律
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
M
j
ej
( m r )α
2 j j
z
O
J m r J r 2 dm
2 j j j
定义转动惯量
r j m j
Fej
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r

圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
21
2
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如： v、 a 等都相同． 刚体平动 质点运动
第二章 守恒定律
3
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
第二章 守恒定律
4
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
Fji
ij
O
M ji
d
iF ri
Mij M ji
第二章 守恒定律
11
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
二
转动定律
（1）单个质点 m 与转轴刚性连接
z
M
O
Ft
Ft mat mr
M rF sin θ
19
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
2010.10 一匀质圆盘对某轴的转动惯量J=50kg· m2， 若它受到对于该轴的合外力矩M=l00N· m， 则圆盘的角加速度 α=______________rad/s2.
第二章 守恒定律
20
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
例2-14 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
第二章 守恒定律
27
(B) 变小
G
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
解 GR J 2 2 GR J
FT R J1 1 FT R J
又 所以
G > FT
2 > 1
R
FT’ G
β
1
FT
R
G
β
2
答案：选（C）
第二章 守恒定律
28
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动