第七章 线性相关分析.
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第七章线性相关
n
i
x )( yi y )
n
2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1 Nhomakorabea
xy x y / n [ x ( x ) / n][ y ( y )
2 2 2 2
2
/ n]
2
576161 ( 3376)( 3407) / 20 [571728 ( 3376) / 20][581081 ( 3407) / 20]
药理研究:服药剂量与某代谢产物的关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
线性相关的概念 线性相关的统计学描述 线性相关的统计推断 等级相关 线性相关分析的注意事项
第一节 线性相关的概念
一、线性相关的概念：
独立是指一个指标的取值与另一指标取值多少无关。
两指标间不独立则为相关，即某一指标的取值与另 一指标的取值多少有关。 统计学中用一个统计量描述线性相关的密切程度， 称相关系数(Correlation coefficient)。
二、相关系数的区间估计
对样本相关系数r作变换 z tanh 1 r (反双曲正切函数变换) 按正态近似原理， 1 可得到 tanh 的1－置信区间
( z u n 3 , z u n3
对区间的上下限作反变换r=tanh z
样本相关系数r＝0.9296
z=tanh-10.9296=1.6554 1.6554 1.96 / 20 3 (1.1800，2.1308)
二、相关系数的特点
相关系数r的绝对值必然在0到1之间。 r=0，表示无相关; |r|=1，表示函数关系。 相关系数的符号表示相关的方向。 相关系数的绝对值表示相关的密切程度。
第七章-相关关系分析法-简答题
第七章 相关关系分析法 简答题1.什么是相关关系？相关分析与回归分析的主要内容有哪些？相关关系：指现象之间客观存在的、不确定的数量依存关系。
主要内容：（1）确定变量之间是否相关；（2）确定变量之间的相关类型；关系的密切程度和方向（3）确定变量之间的相关关系的密切程度和方向；（4）建立变量之间的回归方程；（5）给定自变量的值，求因变量的值；（6）测定因变量的估计标准误差。
其中前三个属于相关关系，后三个属于回归关系。
2.什么是相关系数？r 的计算公式中，标准差和协方差分别起的作用是什么？ 相关系数：是说明两种现象之间直线相关关系密切程度的统计分析指标。
协方差的作用：显示x 与y 之间相关的性质，即是正相关、负相关； 显示x 与y 之间线性相关关系密切程度的大小。
标准差作用 ：消除离差积乘中两个变量原有计量单位的影响；将相关系数的值局限在-1到+1之间。
3.如何利用相关系数来判别现象之间的相关关系？（1）相关系数的取值范围为：-1≤r ≤1 。
（2）r ＞0，是正相关， r ＜0，是负相关。
（3）r 越接近0，相关程度越，为不相关。
（4）1=r ，为完全相关，0=r 。
（5）3.0<r ， 为不相关或微弱相关低；r 越接近1，相关程度越高。
5.03.0<≤r ，为低度相关； 8.05.0<≤r ，为显著相关； 18.0<≤r ， 为高度相关。
4.简述简单直线回归分析的特点。
（1）在两个变量之间必须根据研究的目的确定哪个是自变量，哪个是因变量。
（2）在没有明显因果关系的两个变量中，可配合两个回归方程。
值得注意的是，若两个变量存在明显的因果关系时，只能计算一条回归直线，另一条配合出来也没意义。
(3)回归方程的作用在于给出自变量的数值来估计因变量的可能值。
(4)直线回归方程中，自变量的系数b称为回归系数。
回归系数的符号为正时表示正相关,为负表示负相关。
(5) 回归分析中，因变量是随机的，而把自变量当作研究时可以控制的量。
第七章 相关分析和线性回归分析
❖偏相关系数的取值范围及大小含 义与相关系数相同。
❖对样本来自的两总体是否存在显 著的净相关进行推断。
练习
❖ 高校科研研究.sav：高级职称的人年数 可能是共同影响课题总数和发表论文数 的变量，希望考察控制高级职称的人年 数的影响后，课题总数和发表论文数之 间的关系。
❖ 教养方式.sav：父亲对情感温暖的理解 是否成为父亲惩罚严厉以及拒绝否认的 中介变量？
线性回归分析
❖ 回归分析是一种应用极为广泛的数量分 析方法。它用于分析事物之间的统计关 系，侧重考察变量之间的数量变化规律， 并通过回归方程的形式描述和反映这种 关系，帮助人们准确把握变量受其他一 或者多个变量影响的程度，进而为控制 和预测提供两个或两个以上变量之间关系的方法。 从广义上说，相关分析包括了回归分析。严格地说， 二者有区别：
❖偏相关也称净相关，它在控制其 他变量的线性影响的条件下分析 两变量间的线性相关，所采用的 工具是偏相关系数。
❖控制变量数为1时，偏相关系数称 为一阶偏相关；当控制两个变量 时，称为二阶偏相关；当控制变 量的个数为0时，偏相关系数称为 零阶偏相关，也就是相关系数。
❖ 如果需要进行相关分析的两个变量其取值 均受到其他变量的影响，就可以利用偏相 关分析对其他变量进行控制，输出控制其 他变量影响后的相关系数。
❖相关系数
（二）散点图
❖含义 ❖简单散点图：生成一对相关变量的散
点图 ❖重叠散点图：生成多对相关变量的散
点图 ❖矩阵散点图：同时生成多对相关变量
的矩阵散点图 ❖三维散点图：生产成三个变量之间的
三维散点图
散点图的基本操作
❖简单散点图 ❖重叠散点图 ❖矩阵散点图 ❖三维散点图
练习
❖高校科研研究.sav: ❖绘制课题总数与论文数的简单散点
❖对样本来自的两总体是否存在显 著的净相关进行推断。
练习
❖ 高校科研研究.sav：高级职称的人年数 可能是共同影响课题总数和发表论文数 的变量，希望考察控制高级职称的人年 数的影响后，课题总数和发表论文数之 间的关系。
❖ 教养方式.sav：父亲对情感温暖的理解 是否成为父亲惩罚严厉以及拒绝否认的 中介变量？
线性回归分析
❖ 回归分析是一种应用极为广泛的数量分 析方法。它用于分析事物之间的统计关 系，侧重考察变量之间的数量变化规律， 并通过回归方程的形式描述和反映这种 关系，帮助人们准确把握变量受其他一 或者多个变量影响的程度，进而为控制 和预测提供两个或两个以上变量之间关系的方法。 从广义上说，相关分析包括了回归分析。严格地说， 二者有区别：
❖偏相关也称净相关，它在控制其 他变量的线性影响的条件下分析 两变量间的线性相关，所采用的 工具是偏相关系数。
❖控制变量数为1时，偏相关系数称 为一阶偏相关；当控制两个变量 时，称为二阶偏相关；当控制变 量的个数为0时，偏相关系数称为 零阶偏相关，也就是相关系数。
❖ 如果需要进行相关分析的两个变量其取值 均受到其他变量的影响，就可以利用偏相 关分析对其他变量进行控制，输出控制其 他变量影响后的相关系数。
❖相关系数
（二）散点图
❖含义 ❖简单散点图：生成一对相关变量的散
点图 ❖重叠散点图：生成多对相关变量的散
点图 ❖矩阵散点图：同时生成多对相关变量
的矩阵散点图 ❖三维散点图：生产成三个变量之间的
三维散点图
散点图的基本操作
❖简单散点图 ❖重叠散点图 ❖矩阵散点图 ❖三维散点图
练习
❖高校科研研究.sav: ❖绘制课题总数与论文数的简单散点
自考-数量方法-相关分析讲义(第七章)
第七章 相关与回归分析打印本页对于现实世界，不仅要知其然，而且要知其所以然。
顾客对商品和服务的反映对于商家是至关重要的，但是仅仅有满意顾客的比例是不够的，商家希望了解什么是影响顾客观点的因素，以及这些因素是如何起作用的。
通过本章学习，要对客观现象之间存在的相互依存、相互制约的关系加以分析，了解它们之间存在什么样的关系及其密切程度，并且能用一定的数量方式表现出来。
第一节 简单线性相关一、 相关关系及其表现形态（一）什么是相关关系任何事物的变化都与周围的其他事物相互联系和相互影响，我们如何根据统计数据确定变量间的关系形态及其联系程度，并探索其内在的规律性，人们在实践中发现变量之间的关系可以分为两种类型即函数关系和相关关系。
1.相关关系的概念相关关系：客观现象之间存在的互相依存关系，但存在不确定的数量关系。
如居民储蓄与居民家庭收入；父母身高与子女身高等。
身高与体重具有相关关系。
一般来说，身材较高的人，体重也较重。
反过来，体重较重的人，一般身体也较高。
同时，身高1.7米的人其体重有许多值；体重为60公斤的人，其身高也有许多值。
身高与体重之间没有完全严格的数量关系存在。
相关分析：对现象之间相关关系密切程度的研究。
就是研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定函数来表达现象相互关系的方法。
2.相关关系与函数关系的区别函数关系：是指变量之间存在的相互依存的关系，它们之间的关系值是确定的。
如销售额与销售量之间的关系（在价格确定的条件下）；圆的半径与面积的关系等。
相关关系与函数关系的不同之处表现在：（1）函数关系指变量之间的关系是确定的，而相关关系的两变量的关系则是不确定的。
可以在一定范围内变动；（2）函数关系变量之间的依存可以用一定的方程y=f（x）表现出来，可以由给定的自变量来推算因变量，而相关关系则不能用一定的方程表示。
函数关系是相关关系的特例，即函数关系是完全的相关关系，相关关系是不完全的相关关系。
23第七章直线回归与相关分析
研究“一因一果”，即一个自变量与一 个依变量的回归分析称为一元回归分析； 研究“多因一果”，即多个自变量与一 个依变量的回归分析称为多元回归分析。 一元回归分析又分为直线回归分析与曲 线回归分析两种； 多元回归分析又分为多元线性回归分析 与多元非线性回归分析两种。
回归分析：揭示出呈因果关系的相关变 量间的联系形式，建立它们之间的回归方程， 利用所建立的回归方程，由自变量(原因)来预 测、控制依变量(结果)。
SS x ( 159.0444) 2
144.6356
249.5556 74.6670
所以
S yx
2 ˆ ( y y )
n2
74.6670 = 3.2660 (天) 92
【题一】下表为每1000 g土壤中所含NaCl 的不同克数(x)，对植物单位叶面积干物质 (Y)的影响，试建立其回归方程。 土壤NaCl含量 x/g· kg-1 干重 y/mg· y bx
（7-3）式中的分子是自变量 x 的离均差与
依变量 y 的离均差的乘积和 ( x x )( y y ) ，
简称乘积和，记作 SP ，分母是自变量 x 的离 xy
均差平方和 ( x x )2，记作 SS x。
a 叫做样本回归截距，是总体回归截距α的 最小二乘估计值也是无偏估计值，是回归直线
资料如下表，建立 y 与 x 的直线回归方程。
表7-1 平均温度累积值(x)与一代三化螟盛发期（y）资料
年份 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 累积温 x 35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2 盛发期 y 12 16 9 2 7 3 13 9 –1
第七章 相关分析
（四）按变量多少划分可分为单相关、复相关
1.单相关：两个因素之间的相关关系叫单相关，即研究时只涉 及一个自变量和一个因变量。 2.复相关：二个以上因素的相关关系叫复相关，即研究时涉及 两个或两个以上的自变量和因变量。 偏相关：在某一现象与多种现象相关的场合，当假定其他变 量不边时，其中两个变量之间的相关关系称为偏相关。 在实际工作中，如存在多个自变量，可抓住其中主要的自变 量，研究其相关关系，而保持另一些因素不变，这时复相关为 偏相关。
第七章 直线相关与回 归分析
含秩相关
第一节
相关分析的概念
一、相关分析的概念： 相关分析是分析变量间是否有相关关系，确定相关关系是否 存在，描述相关关系呈现的形式和方向，以及变量间相关的密 切程度的方法。 二、函数关系和相关关系： 函数关系反映变量间的数量上，存在着确定的数量对应关系
，这种关系可用数学函数关系表达式，由一个变量精确计算出 另一个变量。见函数关系散点图和曲线。 相关关系反映变量间存在数量上的相关关系，但不具有确定 性的对应关系。见相关关系散点图和曲线。
三、相关分析内容
相关分析通常包括考察随机变量观测数据的散点图、 计算样本相关系数以及对总体相关系数的显著性检验 等内容。 散点图可以大致判断两个变量之间有无相关关系、 变量间的关系形态以及变量之间的关系密切程度，但 准确度量两个变量之间的关系密切程度，需要计算相 关系数。 一般情况下，总体相关系数ρ是未知的，通常是将 样本相关系数r作为ρ的估计值，于是常用样本相关系 数推断两变量间的相关关系．这一点要和相关系数的 显著性检验结合起来应用。
2．回归分析的种类
（1）根据所涉及变量的多少不同，回归分析可分为简单回归 和多元回归。 简单线性回归又称一元回归或直线回归，是指两个变量之 间的回归，研究一个自变量与另一个因变量的线性趋势数量 关系。 多元线性回归是研究多个自变量与一个因变量的线性趋势 数量关系。 （2）根据变量变化的表现形式不同，回归分析也可分为直线 回归和曲线回归。 对具有直线相关关系的现象，配之以直线方程进行回归分 析，即直线回归； 对具有曲线相关关系的现象，配之以曲线方程进行回归分 析，则称为曲线回归。
统计学 第 七 章 相关与回归分析
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量 的取值来预测或控制另一个特定变量的取 值，并给出这种预测或控制的精确程度
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
SPSS统计分析_第七章_相关分析
以一个例子来进行Kendall秩相关系数的计算。
如果两位鉴定家各自以吸引力的大小将7幅抽
象派画评定了秩，那么可能知道这些秩评定
之间的相符的程度。
画 号
2
6
5
1
4
3
7
鉴别家1
鉴别家2
1
2
2
3
3
1
4
4
5
6
6
5
7
7
依次取观测2（鉴别家2）给出的秩，数出每一个右面在 秩次上比自己小的个数，并将这些个数加起来。例如抽 象画2的秩为2，其个数是1，因为其右边的只有抽象画5 的秩比它小。6个数依次为1，1，0，0，1和0，所以总 和为Q＝3，Kendall秩相关系数则为： R=1-4Q/n(n-1)=1-12/42=0.714
二、相关系数
积矩相关系数（Pearson相关系数）
Spearman和Kendall秩相关系数 偏相关系数
1、积矩相关系数（Pearson相关系数）
积矩相关系数(又称积差相关系数)适用于等间隔测度， 相关系数采用Pearson积矩相关。
R
xy
( x x)( y y)
i 1 i i
n
等。
有关统计量
不相似性测度 等间隔数据的不相似性（距离）测度可以使用的统 计量：欧几米德（欧氏）距离、欧氏距离平方等。 计数数据，使用卡方。 二值（只有两种取值）数据，使用欧氏距离、欧氏 距离平方等。
相似性测度
等间隔数据使用统计量皮尔逊相关或余弦。 测度二元数据的相似性使用的统计量有二十余种。
仍以四川绵羊地区中山柏生长的数据为例
中这两个变量间的相关系数不是0，因此必须
经过检验。检验的零假设是：总体中两个变
第七章 相关分析
2
y
2
2
y
xf 1230 41 x 30 f yf 464 15 . 47 y 30 f xyf 18490 616 . 33 xy 30 f x y
2
x f
2
f
63100 30
2103 . 33
2
y f
2
f
20 20 15 10 5 0
30
40
50
80
相关图
三、相关系数的测定与应用
（一）相关系数的特点 相关系数是测定变量之间相关密切程度 和相关方向的代表性指标。 相关系数用符号“r”表示。
其特点表现在：
（１）参与相关分析的两个变量是对等 的，不分自变量和因变量，因此相关系 数只有一个。 （２）相关系数有正负号反映相关关系 的方向，正号反映正相关，负号反映负 相关。 （３）计算相关系数的两个变量都是随 机变量。
相关关系与函数关系的不同之处表现在：
（1）函数关系指变量之间的关系是确定的， 而相关关系的两变量的关系则是不确定的。可 以在一定范围内变动； （2）函数关系变量之间的依存可以用一定的 方程y=f(x)表现出来，可以给定自变量来推算 因变量，而相关关系则不能用一定的方程表示。 函数关系是相关关系的特例，即函数关系是完 全的相关关系，相关关系是不完全的相关关系。
函数关系和相关关系的联系表现在：
对具有相关关系的现象进行分析时， 则必须利用相应的函数关系数学表达式 来表明现象之间的相关方程式。 相关关系是相关分析的研究对象，函 数关系是相关分析的工具。
三、相关关系的种类
（１）按相关的程度划分，有完全相关、不完 全相关和不相关。 相关分析的主要对象是不完全的相关关系。 （２）按相关的方向来划分，有正相关和负相 关。 正相关指的是因素标志和结果标志变动的方向 一致，负相关指的是因素标志和结果标志变动 的方向相反。
y
2
2
y
xf 1230 41 x 30 f yf 464 15 . 47 y 30 f xyf 18490 616 . 33 xy 30 f x y
2
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63100 30
2103 . 33
2
y f
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20 20 15 10 5 0
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相关图
三、相关系数的测定与应用
（一）相关系数的特点 相关系数是测定变量之间相关密切程度 和相关方向的代表性指标。 相关系数用符号“r”表示。
其特点表现在：
（１）参与相关分析的两个变量是对等 的，不分自变量和因变量，因此相关系 数只有一个。 （２）相关系数有正负号反映相关关系 的方向，正号反映正相关，负号反映负 相关。 （３）计算相关系数的两个变量都是随 机变量。
相关关系与函数关系的不同之处表现在：
（1）函数关系指变量之间的关系是确定的， 而相关关系的两变量的关系则是不确定的。可 以在一定范围内变动； （2）函数关系变量之间的依存可以用一定的 方程y=f(x)表现出来，可以给定自变量来推算 因变量，而相关关系则不能用一定的方程表示。 函数关系是相关关系的特例，即函数关系是完 全的相关关系，相关关系是不完全的相关关系。
函数关系和相关关系的联系表现在：
对具有相关关系的现象进行分析时， 则必须利用相应的函数关系数学表达式 来表明现象之间的相关方程式。 相关关系是相关分析的研究对象，函 数关系是相关分析的工具。
三、相关关系的种类
（１）按相关的程度划分，有完全相关、不完 全相关和不相关。 相关分析的主要对象是不完全的相关关系。 （２）按相关的方向来划分，有正相关和负相 关。 正相关指的是因素标志和结果标志变动的方向 一致，负相关指的是因素标志和结果标志变动 的方向相反。
统计学 第七章 相关与回归分析
数 值 说 明
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
通常：当相关系数的绝对值： 通常：当相关系数的绝对值： 小于0.3 小于0.3时,表示不相关或微弱相关 0.3时 介于0.3 0.5， 介于0.3至0.5，表示低度相关 0.3至 介于0.5 0.8，表示显著（中度） 介于0.5至0.8，表示显著（中度）相 0.5至 关 大于0.8Lxx Lyy
r=
n ∑ xy − ∑ x ⋅ ∑ y n ∑ x 2 − (∑ x ) 2 ⋅ n ∑ y 2 − (∑ y ) 2
r=
∑ ( x − x )( y − y) ∑ ( x − x )2 ∑ ( y − y)
2
( x − x )( y − y) = ∑ xy − 1 ∑ x ∑ y ∑ n
第二节
定性分析
相关分析的方法
是依据研究者的理论知识和实践经 验，对客观现象之间是否存在相关 关系，以及何种关系作出判断。 关系，以及何种关系作出判断。 在定性分析的基础上，通过编制相 在定性分析的基础上， 关表、绘制相关图、计算相关系数 等方法， 等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。 形态及密切程度。
xy
( y − y) 2 ∑
σ xσ y
3.相关系数的其他公式 相关系数的其他公式
• （1）积差法公式： ）积差法公式： • • （2）积差法简化式： ）积差法简化式： r= • • （3）简捷公式： ）简捷公式： •
∑ ( x − x)( y − y) r=
nσ xσ y
∑ ( x − x )( y − y ) ∑ (x − x) ⋅ ∑ ( y − y)
第七章 相关分析
（一）测定现象之间有无相关关系及相关 的表现形式
（二）测定相关关系的密切程度
（三）选择适当的数学模型，确定现象之 间的关系值 （四）衡量估计值的准确程度 （五）预测因变量
第一节完
第二节 简单线性相关分析
一、相关图和相关表（P344）
（一）相关图（P344）
1、相关图的概念 2、相关图的作用
（二）相关表（P344-347）
y c 57.2 1.8x
n2
上例中:
15048 57.2 300 1.8 1182 4 15.6 1.97 4
xy 1182
a=57.2
b=-1.8
(三)估计标准误差与相关系数的关系
s yx δ y 1 r 2
Γ 1
s2 yx δ2 y
相关系数的绝对值越大，则估计标准误差越小，相关程 度就越高；相关系数的绝对值越小，则估计标准误差越 大，相关程度越低。 当 r 0，则 s yx δy 当 r 1，则 s yx 0
第七章 相关分析
教学目的与要求：
本章介绍相关分析与回归分析的基本原 理和基本方法。通过本章的教学，要求学生
正确理解相关分析的意义和作用，掌握相关
分析的方法；掌握回归模型的建立及回归预 测的方法。
本章重点与难点：
1.相关系数 2.直线回归分析 3.估计标准误差
第一节 相关分析的意义和种类
一、相关关系的概念（P339）
y 2 y 2 …… (3)
将（1）（2）（3）代入积差法公式得：
Γ 1 xy x y n 1 1 2 2 2 2 x x y ( y ) n n
n x 2 x
x 2 x
2
（二）测定相关关系的密切程度
（三）选择适当的数学模型，确定现象之 间的关系值 （四）衡量估计值的准确程度 （五）预测因变量
第一节完
第二节 简单线性相关分析
一、相关图和相关表（P344）
（一）相关图（P344）
1、相关图的概念 2、相关图的作用
（二）相关表（P344-347）
y c 57.2 1.8x
n2
上例中:
15048 57.2 300 1.8 1182 4 15.6 1.97 4
xy 1182
a=57.2
b=-1.8
(三)估计标准误差与相关系数的关系
s yx δ y 1 r 2
Γ 1
s2 yx δ2 y
相关系数的绝对值越大，则估计标准误差越小，相关程 度就越高；相关系数的绝对值越小，则估计标准误差越 大，相关程度越低。 当 r 0，则 s yx δy 当 r 1，则 s yx 0
第七章 相关分析
教学目的与要求：
本章介绍相关分析与回归分析的基本原 理和基本方法。通过本章的教学，要求学生
正确理解相关分析的意义和作用，掌握相关
分析的方法；掌握回归模型的建立及回归预 测的方法。
本章重点与难点：
1.相关系数 2.直线回归分析 3.估计标准误差
第一节 相关分析的意义和种类
一、相关关系的概念（P339）
y 2 y 2 …… (3)
将（1）（2）（3）代入积差法公式得：
Γ 1 xy x y n 1 1 2 2 2 2 x x y ( y ) n n
n x 2 x
x 2 x
2
生物统计学：第七章 直线回归与相关分析
特别要指出的是：利用直线回归方程进行预 测或控制时，一般只适用于原来研究的范围，不 能随意把范围扩大，因为在研究的范围内两变量 是直线关系，这并不能保证在这研究范围之外仍 然是直线关系。若需要扩大预测和控制范围，则 要有充分的理论依据或进一步的实验依据。利用 直线回归方程进行预测或控制，一般只能内插， 不要轻易外延。
（三）、相关系数的显著性检验
统计学家已根据相关系数r显著性t检验法计算出了 临界r值并列出了表格。 所以可以直接采用查表法对相 关系数r进行显著性检验。
先根据自由度 n-2 查临界 r 值 ( 附表8 )， 得 r0.05(n2) ，r0.01(n2)。若|r|＜ r0.05(n2)，P＞0.05，则相 关系数r不显著，在r的右上方标记“ns”；若 r0.05(n2) ≤|r|＜ r0.01(n2) ，0.01＜P≤0.05，则相关系数 r 显 著，在r的右上方标记“*”；若|r|≥ r0.01(n2) ，P ≤ 0.01， 则相关系数 r 极显著，在 r 的右上方标记 “**”。
第七章 直线回归与相关分析
在试验研究中常常要研究两个变量间的关系。 如：人的身高与体重、作物种植密度与产量、食品价格与需
求量的关系等。 两个关系 依存关系：依变量Y随自变量X变化而变化。
—— 回归分析 互依关系：依变量Y与自变量X间的彼此关系.
—— 相关分析
一 直线回归
（一）、直线回归方程的建立 对于两个相关变量x和y，如果通过试验或调查 获得它们的n对观测值： （x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn） 为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将每一 对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图。
y)2 y)2
SPxy 2 SSxSS y
SPxy SS x
第七章相关分析
y 实际值；
y n
c 2
估计值；
自由度。例
Syx
y2aybxy
n2
Syx越小 观测值离回归直线越近，回归直线代表性越大； Syx越大 观测值离回归直线越远，回归直线代表性越小； Syx=0 所有相关点都落在回归直线上，估计结果完全准确。
2.判定系数R2——用来度量回归直线与样本 观察值拟合优劣的程度。
3）从中可以解出：
b
nxy x y nx2 (x)2
a y bx
这样就得到了直线回归方程： yc abx
举例
回归方程 链接开篇案例
回归方程的评价
回归直线或曲线是用来代表变量之间关系的一般水平。根 据回归线推测的因变量显然与实际值有差异，这种差异大小说 明推算的准确性以及回归线代表性的大小。
Q (y a b)2 xm，i分n 别求一阶偏导：
Q 0 a
Q 0 b
Q a2 (yab)x (1 )0 Q b2 [y ( a b)x (x)]0
整理得到二元一次方程：
yn ab x x y a x b x 2
一、相关表和相关图
相关表：是指将相关变量的数值，按标志值的大小 顺序一一对应而平行排列起来的统计表。
例（续前例1）
相关图：在平面直角坐标系中，以横轴表示变量X,纵轴
相关图 表示变量Y，将相关变量的资料数值在坐标图
例（续前例2）
中表示出来（能较直观地看出两个变量之间相 关关系的粗略形式），也称散点图、散布图。
y
回归线 ·· ·······
x
常用的评价回归方程的指标有：估计标准误差 和判定系数
1.估计标准误差——因变量实际值（观测值）y和估计值
北师大版选择性必修第一册第七章2.12.2相关系数 成对数据的线性相关性分析课件(26张)
第二组样本点的两个变量之间负相关,因此r2<0,则有r1>0>r2,故选A.
)
数学
探究点二
成对数据的线性相关性
[问题2] 两个变量Y与X的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的
相关系数r如表,其中拟合效果最好的模型是哪一个?
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
相关系数r
0.15
0.48
0.96
0.50
∑ ( -)(-)
最小二乘估计公式分别为 b̂ ==
∑ ( -)
=
, â =- b̂ .
数学
∑ ( -)( -) .
解:(2)计算 b̂ ==
∑ ( -)
=
≈0.219,
=
â =- b̂ ≈3-0.219×11=0.591,
所以 Y 关于 X 的线性回归方程为 Y=0.219X+0.591.
令 Y=0.219X+0.591>6,解得 x>24.699≈24.70,
即实现产品销量超 6 万件,预测至少需要投入促销费用 24.70 万元.
数学
变式训练2-1:为分析人体肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人
群中随机抽出8人,他们的体质指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位:mmol/L)、
提示:模型3.
知识点2:样本的线性相关系数满足|r|值越接近1,两个随机变量之间的线
性相关 程度越强
,|r|值越接近0,说明两个随机变量之间的线性相关
程度越弱
.我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系,这时求线性
回归方程有必要也有意义.
)
数学
探究点二
成对数据的线性相关性
[问题2] 两个变量Y与X的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的
相关系数r如表,其中拟合效果最好的模型是哪一个?
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
相关系数r
0.15
0.48
0.96
0.50
∑ ( -)(-)
最小二乘估计公式分别为 b̂ ==
∑ ( -)
=
, â =- b̂ .
数学
∑ ( -)( -) .
解:(2)计算 b̂ ==
∑ ( -)
=
≈0.219,
=
â =- b̂ ≈3-0.219×11=0.591,
所以 Y 关于 X 的线性回归方程为 Y=0.219X+0.591.
令 Y=0.219X+0.591>6,解得 x>24.699≈24.70,
即实现产品销量超 6 万件,预测至少需要投入促销费用 24.70 万元.
数学
变式训练2-1:为分析人体肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人
群中随机抽出8人,他们的体质指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位:mmol/L)、
提示:模型3.
知识点2:样本的线性相关系数满足|r|值越接近1,两个随机变量之间的线
性相关 程度越强
,|r|值越接近0,说明两个随机变量之间的线性相关
程度越弱
.我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系,这时求线性
回归方程有必要也有意义.
统计学原理第七章_相关分析
各类相关关系的表现形态图
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象 之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个 合适的数学模型，来近似地表达变量之 间的平均变化关系。（高度相关）
• （三）相关分析与回归分析的联系
• 1. 它们有具有共同的研究对象。
n
(x x )(y y ) n
σx
(x x )
n
2
(x x ) n
(y y ) n
1
1
2
σy
(y y )
n
2
2
再代入到原公式中，得：
r σ
2 xy
σx y σ
( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y )
2
·· ·②
销售收入 （百万元）
40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100
广告费（万元）
钢材消费量与国民收入
2500
2000
1500
钢材消费量（万吨）
1000
500
0
（相关图）
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
国民收入（亿元）
例子
表1 某企业产量与生产费用的关系
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8
量，哪个是因变量，变量都是随机的。
• 2. 回归分析是对具有相关关系的变量间
的数量联系进行测定，必须事先确定变
量的类型。通常因变量是随机的，自变
量可以是随机的，也可以是非随机的。
第二节 简单线性相关分析
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(北师版)教学课件第七章-§2成对数据的线性相关性
否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用样
本相关系数来判断：||越接近1，对应的散点越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的
效果就越好.
注意：样本相关系数只能描述两个变量之间的相关方向及密切程度，不能揭示二者之间的本质联系.
高中数学
选择性必修第一册
如果散点图中的点大致分布在一条直线附近，这条直线就能反映这 对数据的变化规律，
否则求出的方程没有实际意义.
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选择性必修第一册
北师大版
新知学习
1．线性相关系数
一般地，设随机变量，的组观测值分别为（1，1），
（2，2），…，（，），记
＝
1 −ҧ 1 −ത + 2 −ҧ 2 −ത +⋯+ −ҧ −ത
1 −ҧ 2 + 2 −ҧ 2 +⋯+ −ҧ 2
=1 −ҧ −ത
＝
，
1 −ത 2 + 2 −ത 2 +⋯+ −ത 2
2
2
=1 −ҧ
=1 −ത
称为随机变量X和Y的样本（线性）相关系数.
为了计算的方便，我们再给出如下式子：
7
r=
∑ xi yi -7x y
=1
7
∑ 2 -7
i=1
2
7
∑ 2 -7
=1
=
2
4 900.16-7×24×28.99
2
2
4 144-7×24 × 5 892.013 6-7×28.99
≈0.94.
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反思感悟
本相关系数来判断：||越接近1，对应的散点越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的
效果就越好.
注意：样本相关系数只能描述两个变量之间的相关方向及密切程度，不能揭示二者之间的本质联系.
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如果散点图中的点大致分布在一条直线附近，这条直线就能反映这 对数据的变化规律，
否则求出的方程没有实际意义.
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1．线性相关系数
一般地，设随机变量，的组观测值分别为（1，1），
（2，2），…，（，），记
＝
1 −ҧ 1 −ത + 2 −ҧ 2 −ത +⋯+ −ҧ −ത
1 −ҧ 2 + 2 −ҧ 2 +⋯+ −ҧ 2
=1 −ҧ −ത
＝
，
1 −ത 2 + 2 −ത 2 +⋯+ −ത 2
2
2
=1 −ҧ
=1 −ത
称为随机变量X和Y的样本（线性）相关系数.
为了计算的方便，我们再给出如下式子：
7
r=
∑ xi yi -7x y
=1
7
∑ 2 -7
i=1
2
7
∑ 2 -7
=1
=
2
4 900.16-7×24×28.99
2
2
4 144-7×24 × 5 892.013 6-7×28.99
≈0.94.
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第7章线性系统的稳定性分析
(b)外加扰动
(c)系统稳定
(d)系统不稳定
临界稳定：扰动消失后，如果系统的输出与原始 平衡状态之间存在恒定偏差，或输出维持等幅振 荡，则系统处于临界稳定状态。
稳定
临界稳定
不稳定
说明： （1）在经典控制论中，将临界稳定视为不稳定。 原因： ①在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或 线性化； ②实际系统参数的时变特性； ③系统必须具备一定的稳定裕量。
t o
则系统（渐近）稳定。
b1s m 1 bm 1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
1
j
j j )][s ( j j j )]
令xi(t)=0，此时在扰动输入n(t)作用下系统的闭 环传递函数为：
X ( s) G2 ( s ) N ( s) o 2 N ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm a0 s n a1s n 1 an 1s an
a0
b0 s m b1s m1 bm1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
j
j j )][s ( j j j )]
假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号 δ(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应。这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题。 显然，当t→∞时，如果 lim x t 0
在控制工程中，一般取a0为正值。如果a0为负值， 则可在特征方程的两边同乘以-1使a0变成正值。则上述结 论可以归纳为：要使全部特征根s1、s2、…、sn都具有负 实部，则特征方程的各项系数a0、a1、a2、…、an均必须 为正值，即
第七章 相关与回归分析
总体一元线性 回归方程:
Yˆ EY X
以样本统计量估计总体参数
(估计的回归方程)
样本一元线性回归方程： yˆ a bx
（一元线性回归方程）
截距 斜率（回归系数）
截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各 种因素对因变量y的平均影响；回归系数b 表
明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变 动b个单位。
n x2 x2 n y2 ( y)2
1637887 916 625
0.9757
16 55086 9162 16 26175 6252
r 2 0.97572 0.9520
第七章 回归分析与相关分析
第七章 相关与回归分析
STAT
★ 第一节 相关分析概述 ★ 第二节 一元线性回归分析
第七章 回归分析与相关分析
yˆ a bx是理论模型，表明x与y变量 之间的平均变动关系，而变量y的实际
值应为yi (a bxi ) i yˆ i
X对y的线性影响而形 成的系统部分，反映两 变量的平均变动关系， 即本质特征。
随机干扰：各种偶然 因素、观察误差和其 他被忽视因素的影响
体重（Y）
75 70 65 60 55 50 45 40
b
n xy x y
n x2 x2
16 37887 916 625 16 55086 9162
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
函数关系 相关关系
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Shaanxi Normal Universitson 相关系数 要求计算检验相关系数的双侧概率
2018/12/14
“相关分析”主对话 框 Variables框：摄食量、耗 氧量 选中pearson法和Twotailed检验
2018/12/14
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上图相关分析对话框说明：
a. Correlation Coefficients复选框组： Pearson法：计算连续变量或是等间隔测度的变量间的相 关系数r。 Spearman法：用于Spearman相关系数的计算。是最常用的 非参数相关分析（秩相关）。 Kendall’s法：计算Kendall’s等级相关系数，是一个用于反 映分类变量一致性的指标（主观评分），只能在两个变量均 属于有序分类时使用。
2018/12/14
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Options：选Means and standard deviations
2018/12/14
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3.结果分析：
平均值与标准差 两变量的相关分析结果。 摄食量与耗氧率之间的 相关系数r＝0.990，P值 为0.000<0.01，差异极显 著。表明两变量存在极 显著的正相关关系，即 耗氧率随摄食量的增加 而增加。
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评定结果
1、数据输入：
变量名为“甲”、“乙”；小数位（Decimals）依题意定义为 0。
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2018/12/14
2.简明分析步骤：
Analyze－Correlate－Bivariate Variables框：甲、乙 Kendall’s tau-b Spearman 进入要分析的变量甲、乙 要求计算Kendall’s秩相关系数 要求计算Spearman秩相关系数
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2018/12/14
b. Test of Significance框。用于确定进行相关系数的 Two-tailed双尾检验（系统默认设置）或One-tailed 单尾检验 c. Flag significant correlations。选择此项将对显著的 相关系数加上星号“*”标志（系统默认设置）， 单个星号“*”表示显著，两个星号“**”表示非 常显著。
两变量间的相关性，通常用相关系数r来描 述它们的密切程度和相关方向。
计算公式：
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例1 某科技人员养了35尾团头鲂，共重7.2kg，在水 温29℃条件下，测量摄食量（g）与耗氧率 （mgO2/kg.h）间的关系，结果如下表所示，试计算 摄食量与耗氧率的线性相关系数。
第七章
线性相关分析
2018/12/14
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自然界中的许多事物彼此间都存在相互联系、相互 制约的关系。因而在生物试验研究中，常常要研究两 个或两个以上变量间的关系。这种关系经常是一种不 确定的相关关系，即一个变量的取值受到另一个或多 个变量的影响，两者之间既有关系，但又不存在完全 确定的函数关系。例如：仔猪初生重与断奶重、鱼的 体长与体重、作物的产量与施肥量、药物的剂量与疗 效等问题。
摄食量不同时团头鲂耗氧率的测定结果
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2018/12/14
1.数据输入
在Variable View 变量工作表中定义两个变量“摄食 量”、“耗氧率”。小数位（Decimals）依题意分 别定义为0和1。 在Data View 数据视图工作表中输入数据。
2018/12/14
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2.简明分析步骤：
Analyze－Correlate－Bivariate
Variables框：摄食量、耗氧率 Pearson Two-tailed Options： Means and standard deviations 计算两变量的基本统计量 Continue OK 陕西师范大学
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1.2 两个等级（秩）变量的相关分析
在生产实际中 ，有时会遇到一些变量时以有序等级作 为取值的，即以自然数1、2、……作为取值，这些变 量称为有序等级变量。 例2 中国黑白花奶牛的外貌评分等级一般分为特等80 分，一等75分，二等70分，三等65分4个等级（用1、 2、3、4表示）。甲乙两评委对10头母牛进行评定， 评定等级结果如下表所示。试分析甲乙两评委评分 的一致性。
相关分析就是研究变量间相关关系的一种常用方法。
2018/12/14
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1 线性相关分析
在spss统计软件中的相关分析有三个方面 • Bivariate：两个变 量间 的相关分析 • Partial：偏相关分 析
• Distances：距离相 关分析
OK
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Variables框：甲、乙。
选择计算Kendall’s tau-b和Spearman秩相 关系数(黑白花奶牛 评分——等级变量)。 OK！
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•简单（线性）相关分析：对两个变量 间的直线关系进行的相关分析。
•偏相关分析：研究其余变量保持不变 的情况下两个变量间的线性相关。
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1.1 两个变量间的相关分析
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“相关分析”主对话 框 Variables框：摄食量、耗 氧量 选中pearson法和Twotailed检验
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上图相关分析对话框说明：
a. Correlation Coefficients复选框组： Pearson法：计算连续变量或是等间隔测度的变量间的相 关系数r。 Spearman法：用于Spearman相关系数的计算。是最常用的 非参数相关分析（秩相关）。 Kendall’s法：计算Kendall’s等级相关系数，是一个用于反 映分类变量一致性的指标（主观评分），只能在两个变量均 属于有序分类时使用。
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Options：选Means and standard deviations
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3.结果分析：
平均值与标准差 两变量的相关分析结果。 摄食量与耗氧率之间的 相关系数r＝0.990，P值 为0.000<0.01，差异极显 著。表明两变量存在极 显著的正相关关系，即 耗氧率随摄食量的增加 而增加。
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评定结果
1、数据输入：
变量名为“甲”、“乙”；小数位（Decimals）依题意定义为 0。
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2.简明分析步骤：
Analyze－Correlate－Bivariate Variables框：甲、乙 Kendall’s tau-b Spearman 进入要分析的变量甲、乙 要求计算Kendall’s秩相关系数 要求计算Spearman秩相关系数
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b. Test of Significance框。用于确定进行相关系数的 Two-tailed双尾检验（系统默认设置）或One-tailed 单尾检验 c. Flag significant correlations。选择此项将对显著的 相关系数加上星号“*”标志（系统默认设置）， 单个星号“*”表示显著，两个星号“**”表示非 常显著。
两变量间的相关性，通常用相关系数r来描 述它们的密切程度和相关方向。
计算公式：
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例1 某科技人员养了35尾团头鲂，共重7.2kg，在水 温29℃条件下，测量摄食量（g）与耗氧率 （mgO2/kg.h）间的关系，结果如下表所示，试计算 摄食量与耗氧率的线性相关系数。
第七章
线性相关分析
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自然界中的许多事物彼此间都存在相互联系、相互 制约的关系。因而在生物试验研究中，常常要研究两 个或两个以上变量间的关系。这种关系经常是一种不 确定的相关关系，即一个变量的取值受到另一个或多 个变量的影响，两者之间既有关系，但又不存在完全 确定的函数关系。例如：仔猪初生重与断奶重、鱼的 体长与体重、作物的产量与施肥量、药物的剂量与疗 效等问题。
摄食量不同时团头鲂耗氧率的测定结果
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1.数据输入
在Variable View 变量工作表中定义两个变量“摄食 量”、“耗氧率”。小数位（Decimals）依题意分 别定义为0和1。 在Data View 数据视图工作表中输入数据。
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2.简明分析步骤：
Analyze－Correlate－Bivariate
Variables框：摄食量、耗氧率 Pearson Two-tailed Options： Means and standard deviations 计算两变量的基本统计量 Continue OK 陕西师范大学
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1.2 两个等级（秩）变量的相关分析
在生产实际中 ，有时会遇到一些变量时以有序等级作 为取值的，即以自然数1、2、……作为取值，这些变 量称为有序等级变量。 例2 中国黑白花奶牛的外貌评分等级一般分为特等80 分，一等75分，二等70分，三等65分4个等级（用1、 2、3、4表示）。甲乙两评委对10头母牛进行评定， 评定等级结果如下表所示。试分析甲乙两评委评分 的一致性。
相关分析就是研究变量间相关关系的一种常用方法。
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1 线性相关分析
在spss统计软件中的相关分析有三个方面 • Bivariate：两个变 量间 的相关分析 • Partial：偏相关分 析
• Distances：距离相 关分析
OK
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Variables框：甲、乙。
选择计算Kendall’s tau-b和Spearman秩相 关系数(黑白花奶牛 评分——等级变量)。 OK！
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•简单（线性）相关分析：对两个变量 间的直线关系进行的相关分析。
•偏相关分析：研究其余变量保持不变 的情况下两个变量间的线性相关。
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1.1 两个变量间的相关分析