2.3系统的稳定性与因果性

2.3 系统的稳定性和因果性
• 稳定性 • 因果性
一、稳定性
1、定义 对于每个有界输入x(n)，都产生有 界输出y(n)的系统。即 对于任意n，总存在数N,M，使得
当 x(n) M 时，有 y(n) N
2、充要条件 其单位取样响应h(n)是绝对可 和的。即
S h(n) P (1)
n
证：1)充分性
n
|
h(n)
|
例：某LSI系统，其单位抽样响应为
h(n) anu(n)
试讨论其是否是因果的、稳定的。
解：讨论因果性： n 0时 h(n) 0
该系统是非因果系统
讨论稳定性：
1
h(n) 0 an a n 1 a 1
n
n
n0
a 1 a 1
当 a 1时系统稳定，当 a 1时系统不稳定
设（1）式成立，且 x(n) 有界，即 S , x(n) M.
则
y(n) h(k)x(n k) h(k) x(n k)
k
k
M h(k)
k
MS
即 y(n) 是有界的。充分性得证。
2)必要性
利用反证法。假设系统稳定，但它的单位采样响应 h(n)
不是绝对可和的，即
S h(n)
)
若若不为是线线性非性时非变时k系变 hh统系((kk))，统2 用，k（要 h1用(k）)稳式S定的性条的件一判般断定；义判别。
二、因果性
1、定义 若系统 n时刻的输出，只取决于n时 刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻 以后的输入无关，则称该系统为因果系统。 反之，则是非因果系统。
• 因果系统通常称为“物理可实现系统”， 非因果系统称为“物理不可实现系统”。
n
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定义一个有界输入
h*(n)
x(n)
h(n)
当h(n) 0
0
当h(n) 0
式中h*(n)是h(n)的复共轭，h(n)是h(n) 的反转。 显然 x(n) 1，即 x(n)有界。求n 0时刻的输出
注：判断一个y(0系) 统k是x(否0 稳k)h定(k)时 ，k
h* (k ) h(k )
h(k
k
k n0 1
分析第2项，x(k) 为 n0 时刻之后的输入，当 h(n0 k) 0
第2项为零，充分性得证。否则，要使输出与第2项 的输入无关， h(n0 k) 必须为零，必要性得证。
结论: 因果稳定的线性时不变系统的单 位取样响应是因果的,且是绝对可和的,即
h(n) h(n)u(n)
思考：
对于系统 y(n) T[x(n)] ex(n) 设 x(n) M 判断该系统 是否是稳定的？
解： y(n) ex(n) e x(n) eM N
所以系统是稳定系统
例如： y(n)=T[x(n)]=x(n)+x(n-1) 是因果系统 y(n)=T[x(n)]=x(n)+x(n+1) 是非因果系统
2、充要条件 h(n) 0 n 0
证明：根据线性非时变系统的卷积关系，n n0 时刻
的输出为：
y(n0 )
x(k)h(n0 k)
k
n0
x(k)h(n0 k) x(k)h(n0 k)