线性方程组的求解方法及应用开题报告
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中一个非常重要的概念，在实际生活中也有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和解法线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是一次方程。
一般形式为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1...a11, a12, ...,a2n为方程组的系数，x1, x2, ..., xn为未知数，b1, b2, ..., bm 为常数。
线性方程组的解是一组解x1*, x2*, ..., xn*，满足每个方程都成立。
根据线性方程组的定义，我们可以使用多种方法来求解线性方程组。
下面是常用的几种解法：1. 直接代入法直接代入法是最简单的求解线性方程组的方法之一。
我们可以将一个方程的解代入另一个方程，从而得到一个只有一个未知数的方程。
然后，我们可以继续代入得到下一个只有一个未知数的方程，直到求解出所有的未知数。
2. 消元法消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
我们可以通过将多个方程相加或相减，从而消除一个或多个未知数。
通过反复进行消元操作，我们可以将线性方程组化简为一个更简单的形式，最终求解出未知数。
3. 矩阵法线性方程组在实际生活中有广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1. 经济学在经济学中，线性方程组常用于描述供求关系和价格变动等经济现象。
通过求解线性方程组，我们可以分析市场的平衡价格和数量，评估供求关系的弹性，预测价格的变动趋势等。
2. 物理学在物理学中，线性方程组常用于描述天体运动、电路分析、力学问题等。
通过求解线性方程组，我们可以计算物体的位置、速度、加速度等物理量，预测天体的运动轨迹，分析电路中的电流和电压分布等。
3. 工程学4. 计算机科学在计算机科学中，线性方程组常用于解决图像处理、计算机图形学、机器学习等问题。
通过求解线性方程组，我们可以进行图像恢复、图像分割、边缘检测等图像处理操作，进行三维图形的渲染、变换和模拟，训练机器学习模型等。
线性方程组的求解与应用开题报告
设计题目线性方程组理论及其应用学生姓名陈彦语学号1111124123 专业数学与应用数学（师范类）一、课题的目的意义：高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（Cramer's Rule）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法，本文将更加系统的阐述求解线性方程组的几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中的应用。
线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支，其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
线性方程组的求解是数值计算领域十分活跃的研究课题之一，大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。
因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化。
可以说，线性方程组的求解在现代科学领域占有重要地位。
二、近几年来研究现状：目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。
直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。
迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。
三、设计方案的可行性分析和预期目标：可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组的一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件的学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究的基础上，给出利用matlab软件求解几类常见线性方程组的方法。
通过广泛收集线性方程组应用方向的文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域的应用，并实现线性方程组的求解过程。
预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高的角度来审视高等代数，对其中的线性方程组部分有一个更加深刻的理解和认识，锻炼自己的发散性思维和缜密的思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题的能力，从而达到对所学知识的融会贯通。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是代数中的一种重要概念，它在数学、物理、经济学等领域都有着广泛的应用。
线性方程组的求解和应用是数学学习中的重要内容，它不仅有助于我们理解和解决现实生活中的问题，还能够培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍线性方程组的基本概念、求解方法及其在实际应用中的重要性。
一、线性方程组的基本概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
线性方程组的一般形式可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bma11, a12, ..., amn是方程组的系数，x1, x2, ..., xn是未知数，b1, b2, ..., bm 是常数。
线性方程组的解就是一组满足所有方程的未知数的值，它可以有唯一解、无穷多解或无解三种情况。
下面我们将介绍线性方程组的求解方法。
二、线性方程组的求解方法1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法。
它通过对方程组进行初等变换，将其转化为简化的行阶梯形方程组，进而求解未知数的值。
这种方法适用于任意的线性方程组，并且能够保证得到方程组的所有解。
2. 矩阵法矩阵法是一种利用矩阵和行列式进行线性方程组求解的方法。
通过将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式，然后利用矩阵的运算法则进行变换，最终得到方程组的解。
这种方法简洁高效，特别适用于大型方程组的求解。
三、线性方程组的应用线性方程组在现实生活中有着广泛的应用，尤其是在数学、物理、经济学等领域。
下面我们以几个实际问题为例，介绍线性方程组的应用。
1. 混合物问题假设有两种成本分别为a元/kg和b元/kg的商品，要求混合成价值为c元/kg的混合物，问分别要混合多少kg才能得到混合物。
这个问题可以用线性方程组来解决，通过设置方程组表示成本和价值的关系，然后求解未知数即可得到解。
线性方程组求解的预条件迭代法的开题报告
线性方程组求解的预条件迭代法的开题报告一、选题背景和意义线性方程组求解是数值线性代数的经典问题，对于实际问题的建模和求解具有重要的意义。
然而，对于大规模稠密线性方程组的求解，直接使用直接法（如高斯消元法）会受到极大的计算和存储压力，而迭代法则是一种有效的替代方法。
预条件迭代法是一种广泛使用的迭代法，其基本思想是先通过某种方法构造一个易于求解的预条件矩阵，然后在原方程组的基础上，将其转化为一个矩阵形式的迭代方程组，并通过多次迭代求解得到原方程组的解。
预条件迭代法不仅可以加速线性方程组的求解，而且能够在求解过程中控制误差，提高计算精度。
因此，对预条件迭代法的研究和应用具有重要的实际意义。
二、研究目的和内容本项目旨在研究预条件迭代法在稠密线性方程组求解中的应用。
具体研究内容包括以下几个方面：1. 探究预条件迭代法的基本原理，包括预条件矩阵的构造、预条件矩阵的选取和迭代方程式的推导等。
2. 研究现有的预条件迭代算法，如Jacobi预条件迭代法、Gauss-Seidel预条件迭代法和ILU预条件迭代法等，分析它们的优缺点和适用范围。
3. 结合具体的数值实验，分析预条件复杂度和收敛效果的影响因素，如预条件矩阵的选取、求解器的选择以及预条件参数的选取等。
4. 将预条件迭代法应用到实际问题中，比如流体力学中的Navier-Stokes方程组、地质学中的地震波传播方程等，探究其在实际问题中的应用效果。
三、研究方法和步骤本项目的研究方法主要包括理论分析和数值实验两个方面。
在理论分析方面，将结合参考文献和相关资料，重点研究预条件迭代法的基本原理和现有算法，并分析预条件矩阵的选取和预条件参数的选取等方面的关键问题。
在数值实验方面，将编写相应的数值计算程序，对几种常用的预条件迭代算法进行测试，分析算法对于不同线性方程组的求解的有效性和收敛性，通过大量的数值实验来验证算法的正确性和实用性。
项目的具体实施步骤如下：1. 文献调研和资料收集。
线性方程组的解法及其应用开题报告
[12]张明淳.工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.
[13]赵树嫄.线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.
2.其次，找出解的几何意义并找出应用范围
3.最后，通过实践分析，总结出线性方程组在应用方面的作用
五、主要参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.
[2]白梅花.线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.
第1－2周：完成英文文献翻译工作。撰写开题报告。了解自己论文的背景，目的方案及预期达到的目标。
第3－4周：搜集阅读文献，根据研究方法对课题展开研究,获得一些研究成果。接受指导老师的检验，开题答辩。
2.中期（5-8周）
第5－8周：搜集阅读文献，根据研究方法对课题展开研究；获得一些研究成果；争取有一些理论创新；论文初步完成。
3.全部完成与整理（9-14、15-16周）
第9－14、15－16周：完善论文。写出较高质量的研究报告；接受指导老师的检验。申请结题。
4.答辩（第17周）
第17周：上交论文。接受教师组审查鉴定，进行毕业答辩。
四、预期达到的目标
1.首先，通过对齐次与非齐次线性方程组的求解，找出齐次与非齐次线性方程组解的判定方法
[7]首都师范大学数学系组编.数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.
[8]徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147.
关于病态线性方程组解法的开题报告
[4] 郑洲顺, 黄光辉。求解病态线性方程组的共轭向量基算法好.pdf。山东大学学报(理学版)，第43卷第10期。
[5]郑洲顺, 黄光辉, 杨晓辉。求解病态线性方程组的混合算法.pdf。贵州工业大学学报( 自然科学版)，第37卷第3期。
二、主要研究内容
整理和总结各种求解病态线性方程组算法，熟悉和了解各种方法的求解过程，并总结其优缺点，在此基础上，创新方法，寻求一种新的方法，将现有的方法适当的组合起来，取长补短而形成新的算法，并且有好的数值结果。
三、研究设计方法及技术路线
1、首先进行资料的搜集，并仔细阅读文献，熟悉文献内容。
2、重点研究最新的迭代算法，并与传统方法进行简单对比，分析各自的优缺点。
3、创新已有的方法，综合各种方法的优缺点，尽可能找到新的、能够很快得到有效解的方法。
4、最后结合实例，对相关方法的收敛速度和精确度进行测试和对比。
四、时间安排
本课题拟研究病态线性方程组的解法，首先对已有的算法进行总结、比较，由于算法一般都具有某些优点以及缺点，在结合自己的学习成果，总结创新得出自己的求解方法。
2、国内外研究状况
用直接法求解线性方程组,对于系数矩阵对角占优是很有效的。方程阶数不高时，人们经常使用；而当方程组阶数大时,由于积累误差,导致结果失真。为了克服误差积累问题,通常用迭代法。它具有可达到所要求的精度和对计算内存要求不大优点,对求解大型线性方程组,迭代法计算时间远比直接法少，所以在实际计算中，迭代法也被人们广泛使用。本次论文主要整理和研究利用迭代法求解病态线性方程组。
线性方程组的求解与应用
线性方程组的求解与应用线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从线性方程组的定义、求解方法以及应用方面进行探讨。
一、线性方程组的定义与特点线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
线性方程的一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b。
其中，a₁、a₂、...、aₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b为常数。
线性方程组的特点是未知数的最高次数为一次，且各个未知数之间没有乘积项。
二、线性方程组的求解方法1. 列主元消元法列主元消元法是线性方程组求解的一种常用方法。
它的基本思想是通过消元将线性方程组转化为上三角形方程组，然后通过回代求解未知数。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数项列向量合并在一起。
（2）选取第一列的主元素，即系数矩阵第一列中绝对值最大的元素，如果为零则选取下一列的主元素。
（3）通过初等行变换将主元素所在列的其他元素消为零。
（4）重复步骤2和步骤3，直到系数矩阵变成上三角形矩阵。
（5）通过回代求解未知数，即从最后一行开始，依次求解每个未知数的值。
2. 矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种线性方程组求解的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，然后与常数矩阵相乘得到未知数的解。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成矩阵的形式，即AX = B。
其中，A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
（2）判断系数矩阵A是否可逆，如果可逆则存在唯一解，否则可能存在无解或无穷解。
（3）如果A可逆，则求解A的逆矩阵A⁻¹。
（4）将未知数矩阵X表示为X = A⁻¹B。
三、线性方程组的应用线性方程组在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的应用为例进行介绍。
1. 经济学中的应用线性方程组在经济学中有着重要的应用。
例如，经济学家可以通过建立线性方程组来描述供求关系、市场均衡等经济现象，进而预测市场的变化趋势。
线性方程组的求解与应用开题报告
设计题目线性方程组理论及其应用学生姓名陈彦语学号专业数学与应用数学（师范类）课题地目地意义：高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（' ）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组地方法，本文将更加系统地阐述求解线性方程组地几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中地应用.线性代数是代数学地一个重要组成部分，广泛应用于现代科学地许多分支，其核心问题之一就是线性方程组地求解问题.线性方程组地求解是数值计算领域十分活跃地研究课题之一，大量地科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组.因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化.可以说，线性方程组地求解在现代科学领域占有重要地位.二、近几年来研究现状：目前关于线性方程组地数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法.直接方法最基本地是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组地有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展.迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组地精确解，迭代法具有地优点是：需要计算机地存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度地问题.迭代法是解大型稀疏矩阵方程组地重要方法，当前对迭代算法地研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好地性能加速还有待进一步研究..三、设计方案地可行性分析和预期目标：可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组地一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件地学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究地基础上，给出利用软件求解几类常见线性方程组地方法.通过广泛收集线性方程组应用方向地文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域地应用，并实现线性方程组地求解过程.预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高地角度来审视高等代数，对其中地线性方程组部分有一个更加深刻地理解和认识，锻炼自己地发散性思维和缜密地思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题地能力，从而达到对所学知识地融会贯通.四、所需要地仪器设备、材料：仪器设备：计算机，网络资源以及图书馆资料，打印机，纸材料：[]王萼芳,石生明.高等代数[].北京:高等教育出版社[]同济大学数学系.线性代数[].上海:高等教育出版社[]李庆扬,王超能,易大义.数值分析[].北京:清华大学出版[]王沫然与科学计算[].北京:清华大学出版社，[]《运筹学》教材编写组. 运筹学[]. 北京:清华大学出版社[]杨启帆,方道元. 数学建模[].杭州:浙江大学出版社，.[]姜启源.数学模型[].北京:高等教育出版社[]刘从义.线性方程组地求解及其应用[],考试周刊[]仝秋娟.几种特殊线性方程组解法研究[],陕西:西安电子科技大学，[]丁丽娟.数值计算方法[].北京:北京理工大学出版社[]谢金星,薛毅.优化模型与软件[],北京:清华大学出版社五、课题分阶段进度计划：序号起止日期工作内容阶段成果（第周）至查阅资料，填写开题报告，完成开题答辩材料.形成论文框架.（第周）至撰写论文初稿，翻译英文.完成初稿电子版及英文翻译电子版.（第周）至继续查找资料，修改完善论文内容和合适，修改译文；完成论文第二稿（第周）至进一步修改完善论文，最终定稿，打印论文；准备论文答辩提纲.正稿并答辩指导教师意见签字：年月日。
线性方程组解法的研究【开题报告】
毕业论文开题报告信息与计算科学线性方程组解法的研究一、选题的意义线性代数是本专科高校中各类专业的一门公共基础课.。
由于线性问题广泛地存在于科学技术的各个领域, 许多非线性问题在一条件下也可以转化为线性问题来处理，线性代数已成为应用最广泛的大学基础数学课程之一，它的重要性也已经成为我们的共识.。
通过对线性代数课程的学习，可以提高学生的数学素质和数学能力, 特别是培养逻辑推理、归纳判断、科学计算、用数学语言和符号进行表达的能力等，对提高学生的思维能力、开发学生智力等起到重要作用。
尤其是现在, 随着计算机的逐渐普及，作为一门基础理论课的线性代数, 能够很好的帮助学生对计算机知识的理解和学习, 提高培养学生综合素质的效率。
矩阵被作为许多高等代数教材中研究的重要工具, 然而, 线性方程组理论同样也是一个比较重要的研究工具。
线性方程组是线性代数的主要内容，只要恰当地运用线性方程组理论, 我们在研究一些问题时就可以使比较复杂的研究过程简单化。
线性方程组与矩阵、向量的内容密切相关, 它与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广。
求解线性方程组是线性代数的核心内容之一, 同时也是它的最重要的应用领域之一。
线性方程组的求解还能处理许多实际问题，在科学研究与生产实践中，许多问题都可以归结为线性方程组的求解。
线性方程组的解法有很多，不同的线性方程组，根据其性质和特征，应当选择适当的解法。
所以，寻找最有效最简便的求解方法就显得极其重要。
本文首先对线性方程组的定义和基本性质等作了一些简单阐述，然后通过例子介绍了一些方程组的解法和特征，对其加以延伸综合、归纳总结，进一步提高我们线性方程组及其解法的认识，接着介绍了行列式线性方程组及其解法在一些领域中的应用，本文最后做出了简单的总结，使文章更加完整，也更加巩固了我们所学的线性方程组的相关知识，提升了我们对数学的理解和应用能力。
二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）本文研究的主要内容及解决的主要问题是线性方程组的多种解法研究及其有关应用。
线性方程组的求解与应用
线性方程组的求解与应用线性方程组是数学中最基本的代数方程组之一，它包含了一组线性方程，并且求解这些方程能使所有方程都成立。
线性方程组求解的重要性不言而喻，它在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其在实际应用中的具体案例。
一、线性方程组的求解方法：在解线性方程组之前，首先需要了解什么是线性方程组。
线性方程组是形如以下形式的方程组：```a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m```其中a_ij为方程组的系数，x_i为未知变量，b_i为常数项，m为方程的数量，n为未知变量的数量。
线性方程组的求解方法有多种，常见的有高斯消元法、克拉默法则和矩阵求逆法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法，它的思想是通过行变换将系数矩阵化为上三角形矩阵，然后再通过回代求解未知变量。
具体步骤如下：- 将方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵A与常数项向量b合并为[A|b]；- 选取一个主元，通常选择系数矩阵的第一列第一个非零元素作为主元，并通过行交换将主元移到第一行第一列位置；- 通过消元操作，将主元下方的元素置零，使得系数矩阵变换为上三角形矩阵；- 通过回代，求解未知变量的值。
高斯消元法是一种直观易懂且常用的线性方程组求解方法，但它在处理大规模方程组时计算量较大。
2. 克拉默法则克拉默法则是一种基于线性方程组的行列式表示的求解方法。
根据克拉默法则，只需求解方程组的每个未知变量对应的行列式即可。
具体步骤如下：- 计算系数矩阵的行列式，即Δ；- 依次计算将系数矩阵的第i列替换为常数项向量所得的行列式，即Δi；- 未知变量xi的值等于Δi除以Δ。
克拉默法则适用于小规模的线性方程组，但在大规模方程组中计算量较大。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用一、引言线性方程组是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介绍线性方程组的解法以及其在实际问题中的应用。
二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种经典方法，其基本思想是通过一系列变换将线性方程组化简为简化行阶梯形式，从而得到方程组的解。
1. 列主元素消去高斯消元法的第一步是选取列主元素，并进行消去操作。
选择列主元素的方法有多种，常用的是选取列中绝对值最大的元素作为主元素。
通过逐行操作，将其他行的对应元素通过消去或替换操作，将当前列的主元素下方的元素全部变为零。
2. 回代求解经过列主元素消去之后，线性方程组会被转化为简化行阶梯形式。
接下来通过回代求解方法，即从最后一行开始，逐行求解未知数的值。
将解代入上一行的方程中，逐步回代，直至求得所有未知数的值。
三、矩阵运算法除了高斯消元法外，矩阵运算法也是解决线性方程组的一种常见方法。
通过将系数矩阵与未知数矩阵进行运算，可以直接求解线性方程组。
1. 逆矩阵法若方程组的系数矩阵可逆，即其行列式不为零，则可以通过求解逆矩阵的方法来得到方程组的解。
将方程组转化为矩阵形式，即AX=B 的形式，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
通过求解逆矩阵，即X=A^(-1)B，可以得到未知数矩阵的值。
2. 克拉默法则当方程组的系数矩阵为非奇异矩阵时，可以利用克拉默法则求解线性方程组。
该方法通过求解系数矩阵的各个子式的值，进而得到方程组的解。
具体步骤是将系数矩阵的各列依次替换为常数矩阵，求解出各个子式的值，然后将得到的解代入方程组中即可得到未知数的值。
四、线性方程组的应用线性方程组不仅仅在数学中具有重要意义，其在实际问题中的应用也非常广泛。
1. 物理问题中的应用线性方程组在描述物理问题中经常扮演着重要的角色。
例如，力学中的受力平衡问题、电路中的电流分布问题、热传导中的温度分布问题等，都可以通过建立线性方程组来求解。
2. 经济学问题中的应用线性方程组在经济学中也有广泛的应用。
(完整版)开题报告(线性方程组解的结构
线性方程组在解决应用问题中起着重要的作用，是一个极其重要的数学工具.线性方程组的求解过程通常与向量相联系，而空间又可以用向量来表示，向量又与我们日常生活的许多事例相关,所以,我们生活中遇到的许多无法快捷解出的难题中的很大一部分都可以通过与向量相联系，运用向量方程组的求解进而解决一些复杂的难题。而在方程组的求解中，线性方程组是方程组中的最基本的方程组,所以，线性方程组的求解是十分重要的，故归纳和总结出求解线性方程组的方法就显得尤其必要，对线性方程组解的结构研究具有重要意义.
2、国内外研究现状
国内外都对方程组的解的结构的求解过程做出了详尽的分析，但是很少有人对线性方程组下的齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的过程放在一起做具体的分析，比较和概括，所以本文将对线性方程组下的齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的求解过程做详尽的分析,从中我们可以看到两者在求解过程中的联系与区别，最后将两者解集间的区别与相互间关系作一个系统的归纳，便于理解和记忆。
本科毕业论文（设计）开题报告
题目:线性方程组解的结构研究
二级学：
学生姓名：
指导教师：
2013年 11 月 10 日
学院本科毕业论文（设计)开题报告
题 目
线性方程组解的结构
二级学院
数学与财经学院
班 级
开题日期
专 业
数学与应用数学
姓 名
学 号
指导教师
研究方法：查阅文献、探索研究、综合论述.
拟要解决的关键问题：齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构及两者
解集间的关系
6、前期准备和主要参考文献
前期准备：收集资料,查阅大量参考文献，研读拟定出论文大纲。
主要参考文献：
[1]张禾瑞，郝邴新编.高等代数（第四版）［M].北京:高等教育出版社，2003：263—267。
线性方程组的解法及应用案例
线性方程组的解法及应用案例一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解决线性方程组的方法有很多种，本文将介绍常见的解法，并结合实际案例进行应用分析。
二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过将方程组转化为阶梯形式，从而简化计算过程。
下面通过一个例子来说明高斯消元法的具体步骤。
假设有如下线性方程组：```2x + 3y - z = 13x - 2y + 2z = 3x + y - z = 0```首先，我们将方程组写成增广矩阵的形式：```[2 3 -1 | 1][3 -2 2 | 3][1 1 -1 | 0]```接下来，我们通过行变换的方式将矩阵转化为阶梯形式。
具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][1 1 -1 | 0]```2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][0 -1 0 | -0.5]```3. 将第三行乘以-8，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 -1 0 | -0.5]```4. 将第三行乘以3，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 0 0 | -2]```现在，我们得到了一个阶梯形的矩阵。
接下来，我们可以通过回代的方式求解方程组的解。
从最后一行开始，我们可以得到z的值为1。
然后，将z的值代入第二行的方程中，可以得到y的值为-0.5。
最后，将z和y的值代入第一行的方程中，可以得到x的值为0.5。
综上所述，线性方程组的解为x=0.5，y=-0.5，z=1。
三、矩阵求逆法除了高斯消元法，矩阵求逆法也是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过求解方程组的逆矩阵，从而得到方程组的解。
下面通过一个例子来说明矩阵求逆法的具体步骤。
线性方程组理论的若干应用-论文开题报告
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学术价值和现实意义
本文在简单介绍线性方程组及其基本理论的基础上,主要讨论了线性方程组在高等代数及解析几何方面的应用.在高等代数中,首先介绍了线性方程组及其基本理论,包括线性方程组的相关定义及几种表达形式、基本结论和解线性方程组的矩阵方法.然后,讨论了线性方程组理论在多项式、矩阵、及线性空间、欧式空间这几个方面的应用.最后,在解析几何方面,通过几个命题和一个例题的证明过程,讨论了如何将空间难理解的问题转化为容易求解的线性方程组问题.由此可见,利用线性方程组理论解题,不仅可以体会到创造性解题的数学乐趣,还体现了线性方程组理论在解决空间多维问题的优势.我们可以恰当地运用线性方程组理论知识去解决较复杂数学问题,使许多数学难题得到更为简明的刻画,不仅有助于问题得以迅速地转化和解决,还能使复杂的问题显得既简明又优美,从中展示了数学理论之间的联系及相互渗透.
选题类型指：理论研究、应用研究、实验研究、计算机软件设计、工程设计、艺术设计等.
论
文
提
纲
或设计思路
线性方程组是线性代数研究的一个重要对象,利用矩阵、行列式及向量空间等工具,建立了完整的线性方程组理论.反过来,线性方程组理论在讨论其它问题时也有独特作用.本文主要讨论了线性方程组理论在高等代数及解析几何中的一些应用,从中展示了数学理论之间的联系及相互渗透.
论文主要分成四个章节,第一章为论文引言.第二章为线性方程组及其基本理论,在这一章节,主要内容为线性方程组的相关定义及几种表达形式、线性方程组的基本结论和解线性方程组的矩阵方法.第三章为线性方程组理论在高等代数中的应用,在这一章节,主要有线性方程组在多项式理论、矩阵、线性空间、欧式空间中等几个的应用.第四章为线性方程组理论在解析几何中的应用,内容主要有线性方程组在平面解析几何、空间解析几何中的应用.
解线性方程组与非线性方程组求解方法与实际应用
解线性方程组与非线性方程组求解方法与实际应用线性方程组与非线性方程组是数学中常见的问题，它们在各个领域的实际应用中都起着重要的作用。
本文将从解线性方程组的方法、解非线性方程组的方法以及它们在实际应用中的具体案例进行探讨。
一、解线性方程组的方法解线性方程组是基础的数学问题，它可以用于描述一系列线性关系。
我们先来了解一下解线性方程组的最基本方法——高斯消元法。
高斯消元法是一种通过矩阵变换来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 利用行变换将增广矩阵转化为上三角矩阵。
3. 通过回代法求解得到方程组的解。
除了高斯消元法外，还可以使用矩阵求逆法、克拉默法则等方法求解线性方程组。
这些方法在不同情况下有着各自的优势和适用性。
二、解非线性方程组的方法与线性方程组不同，非线性方程组的求解更加复杂。
非线性方程组包含非线性函数，其解不再是直线或平面，而可能是曲线或曲面。
常见的解非线性方程组的方法有牛顿法、割线法、迭代法等。
这些方法通过迭代逼近的方式来求解非线性方程组的解。
比如牛顿法通过利用导数的信息来快速逼近解，割线法则是通过两点连线逼近解。
非线性方程组的求解方法多种多样，选择适合问题特点和求解效果的方法非常重要。
在实际应用中，根据需求和约束条件灵活选择合适的方法，有助于提高求解效率和准确性。
三、实际应用案例接下来，我们将探讨线性方程组和非线性方程组在实际应用中的具体案例。
1. 工程中的应用线性方程组可以用于描述力学、电路等工程问题。
比如在建筑设计中，可以使用线性方程组求解平衡力学问题，进而评估结构的稳定性。
在电路分析中，线性方程组可以用于求解电流、电压等相关问题。
非线性方程组在工程中也有广泛的应用。
比如在机械振动分析中，可以利用非线性方程组求解物体的运动方程，进而评估结构的稳定性。
在电力系统中，非线性方程组可以用于求解负荷流问题，进而实现电力系统的优化。
2. 经济学中的应用线性方程组在经济学中有重要的应用。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组在数学和工程领域中有着广泛的应用，它们描述了多个变量之间的线性关系，如电路分析、机械结构分析、经济学模型等领域都能见到线性方程组的身影。
线性方程组的求解不仅在理论上有着重要意义，更在实际问题中发挥着巨大的作用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其应用。
一、线性方程组的概念及求解方法线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中未知量的最高次数为1。
一般形式如下：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bma11, a12, ..., a1n, b1是已知的常数，x1, x2, ..., xn是未知数，要求的是未知数的值。
求解线性方程组的方法有很多，常用的有高斯消元法、矩阵法和克拉默法则等。
下面分别介绍这几种方法：（1）高斯消元法高斯消元法是通过逐步消元来解线性方程组的方法。
首先将线性方程组写成增广矩阵的形式，然后利用初等行变换将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵，最终通过回代求解未知数的值。
这种方法在理论上很严谨，但在实际应用中计算量较大。
（2）矩阵法线性方程组可以用矩阵表示，因此可以借助矩阵的性质来求解线性方程组。
具体操作是将系数矩阵和常数矩阵组成增广矩阵，然后对增广矩阵进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵，再通过回代求解未知数的值。
（3）克拉默法则克拉默法则是一种比较直观的方法，它是通过行列式的性质来求解线性方程组的。
具体操作是求出系数矩阵的行列式和以每个未知数为自变量的n个方程组成的行列式，然后用系数矩阵的行列式除以方程组行列式就得到了未知数的值。
以上三种方法都可以用来求解线性方程组，但在不同的应用场景下可能有所不同，需要根据实际情况来选择合适的方法。
二、线性方程组的应用线性方程组在现实生活和工程领域中有着广泛的应用。
下面介绍一些典型的应用场景。
解线性方程组的预处理方法的开题报告
解线性方程组的预处理方法的开题报告题目：解线性方程组的预处理方法研究与应用摘要：线性方程组是数值线性代数中的基础问题，常常要进行大规模的计算。
为了提高求解速度和精度，需要采用一些预处理方法对系数矩阵进行改造，使其更易于求解。
本文将从预处理方法的理论分析出发，探讨几种典型的预处理方法，并通过实验数据分析它们的优缺点。
关键词：线性方程组，预处理方法，典型方法，实验分析一、绪论线性方程组的求解是数学和工程领域中的基础问题，涉及到很多科学计算的应用。
线性方程组的求解方法可以分为直接法和迭代法两类。
直接法通过对矩阵进行初等变换，实现从方程组到三角矩阵的转换，可精确地求得方程组的解。
但是直接法的时间和空间复杂度很高，在求解大规模线性方程组时不适用。
迭代法则是通过从一个初始近似解开始，逐步逼近精确解的过程。
迭代法具有较高的效率和稳定性，并且可以用预处理技术进行改进。
预处理技术是解决大规模线性方程组问题的有效手段，它是对系数矩阵进行初步加工处理，以便更好地适应某种求解算法的特性。
通常情况下，预处理技术可以使求解速度加快，精度提高，收敛性增强。
本文将从预处理方法的理论分析出发，重点探讨下列典型方法：ILU 分解、SSOR预处理、AMG预处理等，并通过实验比较它们的性能差异。
二、预处理方法的理论分析预处理方法是解决系数矩阵的稀疏特性与求解算法的高效性之间的冲突的方法，其本质思想是通过改变线性方程组的系数矩阵，使其满足求解算法的特性，以此提高求解过程的性能。
预处理技术可以分为不完全预处理和完全预处理两类。
1. 不完全预处理不完全预处理采用一种近似的方法来求解原问题，它可以针对特定的求解算法进行预处理，以简化原问题矩阵的结构，加速求解过程，减少计算复杂度。
其中，ILU分解是一种经典的非完全预处理方法，其主要思想是将原矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积形式。
2. 完全预处理完全预处理则是通过对系数矩阵进行完全分解，得到矩阵的特征和结构信息，进而利用这些信息进行求解或加速。
max-代数上两类线性方程组求解的开题报告
max-代数上两类线性方程组求解的开题报告题目：max-代数上两类线性方程组求解一、研究背景及意义随着数学理论的发展和应用场景的拓展，max-代数的研究逐渐成为了热点领域。
在max-代数中，线性方程组作为一种最基本的算式关系，其求解方法对于高维数据的建模和计算具有重要的意义。
本文将重点研究max-代数上的两类线性方程组，并探究其求解方法，以期为相关研究提供参考。
二、相关理论1. max-代数max-代数是一种在数学中应用非常广泛的代数结构，主要用于处理不确定的量。
它将加法和乘法运算重新定义，使得两个数的加法不再是它们的和，而是它们中的最大值；同样，两个数的乘法也不再是它们的积，而是它们中的和。
2. max-矩阵max-矩阵是一种特殊的矩阵，由max-代数的元素构成。
在max-矩阵中，数值大小的比较关系将决定其行列式的符号。
由于max-矩阵的特殊性质，其线性方程组的求解方法也与传统的矩阵求解方法有所区别。
3. max-代数上的线性方程组max-代数上的线性方程组与传统线性代数中的线性方程组类似，其形式为Ax=b，其中A是一个max-矩阵，x和b是分别由max-代数元素构成的向量。
不同之处在于，max-代数中不存在一般意义上的逆元素，因此其求解方式与传统线性方程组的求解方式有所不同。
三、研究方法本文将从max-代数上线性方程组的定义和基本性质入手，深入探究其求解方法。
具体来说，我们将研究max-代数上两类线性方程组的特征及求解方法，其中一类为行满秩矩阵的max-代数上线性方程组，另一类为满秩矩阵的max-代数上线性方程组。
我们将结合理论分析和实例验证的方式，深入探究两类线性方程组的求解方法，以及其适用范围和局限性。
四、预期研究结果本文的研究成果将有望为max-代数线性方程组的求解提供新的思路和方法。
通过结合理论分析和实例验证的方式，我们将深入探究两类线性方程组的求解方法，以及其适用范围和局限性。
本文的研究成果有望为相关领域的理论研究和应用开发提供有益的参考。
12线性方程组的迭代法求解开题报告书
[16]曲双红，王雪莲.求解线性方程组迭代法的Excel实现，高校理科研究.2010年，第21卷（第6期：5页）
[17]高静.系数矩阵为L-矩阵的线性方程组的新迭代法，苏州市职业大学学报.2011年，第22卷（第2期：4页）
[12]汪仲文.解线性方程组的迭代方法之比较，喀什师范学院学报.2008，29（6）：21-25.
[13]韩艳丽.求解线性方程组的Jacobi和Gauss—Seidel迭代法的收敛定理，河南理工大学学报.2009，20（3）：31.
[14]陈丽红，周志刚，万立.求解线性方程组的一种迭代法的改进，武汉科技学院学报.2010，23（2）：33-35.
[8]何吉欢.大型线性方程组的变分迭代解法，工.迭代法解线性方程组的收敛性比较，江西科学.2009，27（5）：659-661.
[10]徐亚平，李让利.关于解线性方程组的迭代法，汉中师范学院学报（自然科学）.1997，15（1）：5-9.
[11]王丽，孙明军，宋永忠.解非埃尔特线性方程组的外推迭代法的收敛性，南京师大学报（自然科学版）.2007，30（1）：1-5.
[18]张步林.线性代数方程组迭代解法的MATLAB实现，成都纺织高等专科学校学报.2008年，第25卷（第4期：3页）
[19]花威.线性方程组的迭代解法及其MALAB实现程序，长江工程职业技术学院学报.2009年，第26卷（第4期：3页）
[20]杨廷鸿，但琦，汪益川，田艳芳.线性方程组迭代解法的另类矩阵形式，后勤工程学院学报.2006年，第13卷（第3期：1页）
预期目标
(1)学会运用各种迭代方法解线性方程组。
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开题报告线性方程组的求解方法及应用开题报告一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势) 线性方程组求解在中国历史久矣。
对线性方程组的研究,中国比欧洲至少早1500年,记载在公元初《九章算术》方程章中。
现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。
在科学计算中的许多问题,例如,电学中的网络问题,船体放样中的样条函数计算,实验数据的曲线拟合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等问题,最终都归结为求解线性代数方程组。
现行高等代数教材只用行初等变换来解线性方程组,存在一定的局限性。
本文主要讨论了解线性方程组的直接法中的Gauss消元法,以及行初等变换、克莱姆法则、标准上三角形求解法等。
对于不同类型的问题,线性方程组的求解方法不尽相同。
同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。
这就需要我们去根据相关问题去探究。
马克思曾经说过“一门科学只有成功地应用数学时,才算达到了完善的地步”。
随着科学技术的进步,数学已迅速渗透到各门学科之中,因而能强烈感受到数学的重要性。
而应用数学中很多用到了线性代数的相关知识,而本选题涉及的线性方程组知识尤为重要,在实际生活的数学应用中,对所需目标进行确定,接着进一步明确一些决策中的关键因素,即而确立线性方程组,进而对此方程求解。
因而求线性方程组解是线性代数中的精髓部分,恰当地使用方法,可以使计算过程比较简洁,避免了迂回复杂的计算。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题也许会觉得解线性方程组会很容易,但事实上想要彻彻底底的完整得出方程组的解是非常不容易的。
若要正确完整得出方程解,首先要具备一定的线性代数的知识,其次要分析对于什么样类型,采用什么样的方法去解决更便捷、更有效。
对于不同类型的问题,线性方程组解法的适用就至关重要。
同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。
这就需要我们去根据相关问题去探究。
本报告主要涉及到一些方程求解的方法,比如初等行变换、回代法、高斯消元法、标准上三角形法等。
同时还介绍了线性方程组在以下几方面的应用,在几何方面求点到平面的方程,空间中向量相关性的判别方法。
2.1线性方程组的一些性质线性方程组即一次方程组。
线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式。
含个方程,个未知量的线性方程组的一般形式为:表示未知量,称系数项,称常数项。
将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解称为系数矩阵,在系数矩阵的右边添上一列,这一列是线性方程组的等号右边的值形成了增广矩阵。
线性方程组也可以用矩阵表示。
型线性方程组可表示为,称为线性方程组的系数矩阵;为线性方程组的增广矩阵;方程组的解是使矩阵等式成立的维向量。
在矩阵形式下,对增广矩阵作初等变换不改变方程组的解。
如矩阵和是行初等变换下等价的矩阵,即存在可逆矩阵,使,则线性方程组是等价的线性方程组。
线性方程组也可以用向量表示。
设矩阵是线性方程组的系数矩阵,用记的第列,即则型线性方程组可表示为方程组的解等价于列向量的线性组合;方程组的解就是列向量线性组合的组合系数。
同时也可利用该形式下的系数矩阵和增广矩阵来研究该方程组解的形式。
如矩阵的秩是元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件;系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩是元非齐次线性方程组有解的充分必要条件;是元非齐次线性方程组唯一解的充分必要条件。
2.2求线性方程组解的方法2.2.1 初等变换法初等变换满足以下三种矩阵变换:对换矩阵的两行(列)用非零数矩阵乘矩阵的某一行(列)把矩阵某一行(列)的倍加到另一行(列)上去用消元法解线性方程组就是对增广矩阵施行一系列初等行变换。
克莱姆法则克莱姆法则定义:含个方程,个未知量的线性方程组的一般形式为: ()当其系数行列式时,有唯一解:,其中。
回代法有三种运算可得到一个等价的方程组:(i交换任意两个方程的顺序。
ii任一方程两边同乘一个非零的实数。
iii任一方程的倍数加到另一方程上。
对给定的方程组,可以使用这些运算得到一个容易求解的等价方程组。
若的方程组仅有一个解,则利用上面的运算i和运算iii可得到一个等价的“严格三角形方程组”。
然后从第个方程组解的,将其代入第个方程解得,将和的值代入到第个方程解得,以此类推,此法即为回代法。
2.2.4高斯消元法先对系数矩阵进行消元,再将化为为三角形式,确定分解,可通过下述两步求解:第1步:前代。
方程可写为形如令,可得因此,可以通过求解下三角方程组求得: 由第一个方程可得。
这个值可用于从第二个方程中求解,和的值又可用于从第三个方程求解,依此类推,求得下三角方程组的解。
第2步:回代。
一旦确定。
仅需求解上三角方程组,就可求解得到方程组的解。
三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标1.研究内容1利用回代法来求解线性方程组;2利用初等行变换求解线性方程组;3利用直接法中的Gauss消去法求解线性方程组;4利用标准上三角形求解线性方程组;5利用克莱姆法则求解线性方程组。
2.研究方法及技术路线本论文主要以查找资料,以现有的知识水平,在前人的研究论述基础上,采取了从大量阅读已有的数据资料,然后运用相关的知识就线性方程组求解方法作了个总结,从一个整体的角度对线性方程组如何求解,以及求解的角度给做了探讨、总结,对一些实际应用比较广泛的重要方法都通过实例给出了详细的说明。
3.研究难点(1)从大量的阅读材料中整理与论文相关的资料是一个难点。
(2)对于一个线性方程组,找到合适方法求解是一个难点。
(3)对得到的解进行分析,验证是一个难点。
(4)在前人基础上的方法进行创新是一个难点。
4.预期达到的目标通过这次论文的撰写,能更深的理解《运筹学》及《线性代数》等相关课程的知识,通过对线性方程组求解的研究使我从另一个不同的角度审视线性代数,对线性代数的相关知识有了更深刻的理解,对线性代数的基本方法和基本技能能有较好的理解和掌握,培养我们的发散思维及谨密的思考能力。
同时在本文的撰写过程中掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法,培养自己利用所学知识分析和解决实际问题的能力,学会从多种角度看待问题,从而达到对所学知识融会贯通的能力。
四、论文详细工作进度和安排第七学期第9周至10周发放毕业论文(设计)任务书;第七学期第11周至17周完成并分别提交毕业论文(设计)文献综述、开题报告及外文翻译;第七学期第18周至第八学期第3周完成毕业论文(设计)初稿;第八学期第3周至11周1、进入实习单位进行毕业实习,对论文进行修改;2、第11周(5月3日)前必须返校,完成毕业实习返校,并递交毕业实习报告,进一步完善毕业论文;第八学期第12周(5月12日)将完成的毕业论文(设计)交给指导教师;第八学期第14周(5月23日)至第8学期16周(6月10日)完成毕业论文答辩。
五、主要参考文献:[1]马小霞.唐军强.齐次线性方程组存在全非零解的一个判定方法[J].焦作大学学报,2009,1:80-81.[2]侯秋果.矩阵初等变换的应用[J].邢台学院初等教育学院,2010,11:112-113.[3]闫国松.浅议初等变换在矩阵理论中的作用[J].科技信息,2008,14:115-116.[4]付春尧.矩阵初等变换应用举例[J].南京邮电大学理学院,2010,16:84-85.[5]杨桂元.线性方程组解的有关问题[J].大学数学,2008,24:157-160.[6]赵树源.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,2001:113-119.[7] 胡先富.齐次线性方程组通解的一种简便求法[J].廊坊师范学院学报,2009,8:11-13.[8]徐晓飞.曹祥玉.姚旭.陈盼.一种基于Doolittle LU分解的线性方程组并行求解方法[J].电子与信息,2010,32:2019-2021.[9]中山大学数学力学系.常微分方程[M].北京: 高等教育出版社,1978:202-210.[10]杨荫华.线性代数[M].北京:北京大学出版社, 2004;83-90.[11]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京: 高等教育出版社,2000:146-159.[12]孙学农.谈齐次线性方程组的基础解系的求法[J].济宁师范专科学校学报,2003,6:5-6.[13]魏宗田.齐次线性方程组中的独立方程[J].高等数学研究,2009,1:91-92.[14] J. Appl .Invetible Linear Maps Preserving -Inverses Of Matrices Over Pid[J]..Math.&Computing, 222006: 255-265[15]Xavier Luciani,Laurent Albera.Joint Eigenvalue Decomposition Using Polar Matrix Factorization[J].Springer-Verlag Berlin Heidelberg ,2010:555-562.。