希望杯全国数学邀请赛试题集锦

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希望杯第4-10届小学六年级全国数学竞赛题及解答

第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试1．2006×2008×(12006×2007+12007×2008)＝________.2．900000－9＝________×99999.3． 1.•2×1.•2•4+ 1927＝________.4．如果a ＝20052006，b ＝20062007，c ＝20072008，那么a ，b ，c 中最大的是________，最小的是________.5．将某商品涨价25％，若涨价后销售金额与涨价前销售金额相同，则销售量减少了____％.6．小明和小刚各有玻璃弹球若干个。

小明对小刚说：“我若给你2个，我们的玻璃弹球将一样多。

”小刚说：“我若给你2个，我的弹球数量将是你的弹球数量的三分之一。

”小明和小刚共有玻璃弹球________个。

7．一次测验中，小明答错了10道题，小刚答错了8道题，小强答对的题的数量等于小明与小刚答对题的数量之和，且小强答错了3道题。

这次测验共有________道题。

8．一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字之和的五分之三是________。

9．将一个数A 的小数点向右移动两位，得到数B 。

那么B ＋A 是B －A 的_______倍.(结果写成分数形式) 10．用10根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有________个。

11．希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按左下图中实线所示，从第1珩第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。

小明的编号是30，他排在第3行第6列，则运动员共有________人。

12．将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为l 的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有________块。

13．如下图中，∠AOB 的顶点0在直线l 上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠AOB ＝____度。

第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理

A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、组填空题（每题分，共分） 11 ．已知函数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数，
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数，
当
xÎR 时，
î0，x为无理数.
î1，x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9．等比数列
an
中，“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10．已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称，则 f (x) =（）
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
，且
Sn Tn
=
3n - 3 ，则 a6 2n + 3 b6
=（
）
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中，与 EF 相等的向量的个 E

“希望杯全国数学邀请赛真题(五年级)-图文

“希望杯全国数学邀请赛真题（五年级）-图文第一届小学“希望杯”五年级第1试一、填空题1.计算＝_______2.将1、2、3、4、5、6分别填在图中的每个方格内，使折叠成的正方体中对面数字的和相等。

3.在纸上画5条直线，最多可有_______个交点。

4.气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是______，温差最大的景区是______5.,各表示一个两位数，若和它的反序数＋＝_______6.三位数的差被99除，商等于_______与_______的差。

7.右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图2中，正方形有_______个，三角形有_______个。

8.一次智力测验，主持人亮出四块三角形的牌子：在第(4)块牌子中，？表示的数是_______9.正方形的一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米。

10.六位自然数1082□□能被12整除，末两位数有种情况。

11.右边的除法算式中，商数是。

第1页共87页12.比2/3大，比3/4小的分数有无穷多个，请写出三个：。

13.A、B、C、D、E五位同学进行乒乓球循环赛（即每2人赛一场），比赛进行了一段时间后，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，这时，E赛了场。

14.观察5某2＝5＋55＝60，7某4＝7＋77＋777＋7777＝8638，推知9某5的值是。

15.警察查找一辆肇事汽车的车牌号（四位数），一位目击者对数字很敏感，他提供情况说：―第一位数字最小，最后两位数是最大的两位偶数，前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2‖。

警察由此判断该车牌号可能是。

16.一个小方木块的六个面上分别写有数字2，3，5，6，7，9。

小光，小亮二人随意往桌上扔放这个木块。

规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分。

当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分。

每人扔100次，得分高的可能性最大。

17.从1，2，3，4，5，6，7，8，9。

第10届“希望杯”全国数学邀请赛高一(1,2试)

第十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（第一试）班级姓名一、选择题1、已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f 等于------------------------（）（A ）x 2（B ）12+x（C ）22+x （D ）32+x2、若}2log |{2x x x x -=∈，则有--------------------------------------（）（A ）12>>x x （B ）x x >>12（C ）x x >>21 （D ）21x x >>3、已知222)(--=-x x x f ，0)(=a f ，则)(a f -等于------------------（）（A ）4--a（B ）―2（C ）―4（D ）a 2-4、线段OA 、OB 、OC 不共面，∠AOB=∠BOC=∠COA=60º，OA=1，OB=2，OC=3，则ΔABC 是--------------------------------------------------------------------（）（A ）等边三角形（B ）不等边的等腰三角形（C ）直角三角形（D ）钝角三角形5、已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥=23 , )3lg(23, lg )(x x x x x f ，若方程k x f =)(无实数解，则k 的取值范围是------------------------------------------------------------------（）（A ）)0,(-∞（B ）)1,(-∞ （C ）)23lg ,(-∞（D ）),23(lg +∞6、若︒<<︒<<1809020βα，βαcos )(sin =a ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则c b a ,,的大小顺序是--------------------------------------------------------（）（A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）c a b >> （D ）b a c >>7、函数)2(log )(2x x x f x -+=的定义域是------------------------------（）（A ）21<<-x（B ）20<<x （C ）10<<x 或21<<x（D ）0>x 且1≠x8、函数αx x f =)(，)1,0()0,1( -∈x ，若不等式||)(x x f >成立，则在}2,1,32,31,0,32,1,2{---∈α的条件下，α可以取的值的个数是-------------------（）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）49、在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b 2，b a <，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，当∠CEB=90º时，二面角C-EF-B 的平面角的余弦值等于------------（）（A ）0（B ）22b a（C ）22b a -（D ）ba-10、l b a ,,是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，则α的取值范围是---------------------------------------------------------（）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ 二、填空题11、函数)(a x f y -=与函数)(a x f y +-=的图象关于对称。

历届希望杯试题及答案

历届希望杯试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是宇宙的中心B. 太阳是宇宙的中心C. 宇宙没有中心D. 地球是太阳系的中心答案：C2. 以下哪个数学公式表示圆的面积？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = 4πr²D. A = πr答案：A二、填空题1. 请填写下列方程的解：2x + 3 = 11答案：x = 42. 请计算以下表达式的值：(3 + 2) × 4 - 6答案：14三、解答题1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

答案：斜边长度= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm2. 一个数的3倍加上5等于20，求这个数。

答案：设这个数为x，则有3x + 5 = 20，解得x = (20 - 5) / 3 = 5。

四、判断题1. 所有偶数都是2的倍数。

答案：正确2. 地球自转一周的时间是24小时。

答案：正确五、简答题1. 请简述牛顿第三定律。

答案：牛顿第三定律指出，对于两个相互作用的物体，它们之间的力是相互的，大小相等，方向相反。

2. 解释什么是光的折射现象。

答案：光的折射现象是指光从一种介质进入另一种介质时，光线的传播方向发生改变的现象。

这通常是因为不同介质对光的传播速度不同导致的。

六、计算题1. 一个长方体的长、宽、高分别为10cm、8cm和6cm，计算其体积。

答案：体积 = 长× 宽× 高= 10cm × 8cm × 6cm = 480cm³2. 一个圆的半径为7cm，求其周长和面积。

答案：周长= 2πr = 2 × π × 7cm ≈ 43.98cm面积= πr² = π × 7² ≈ 153.94cm²七、综合题1. 一个物体从静止开始以2m/s²的加速度做匀加速直线运动，求物体在第3秒末的速度和位移。

第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题

第１７届“希望杯”全国数学邀请赛试题初中一年级　第１试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．在数轴上，点Ａ对应的数是－２００６，点Ｂ对应的数是＋１７．则Ａ、Ｂ两点的距离是（）（Ａ）１９８９．（Ｂ）１９９９．（Ｃ）２０１３．（Ｄ）２０２３．２．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间必定有一个正整数；②两个符号相反的分数之间必定有一个负整数；③两个符号相反的分数之间必定有一个整数；④两个符号相反的分数之间必定有一个有理数．其中真命题的个数为（）（Ａ）１．　（Ｂ）２．　（Ｃ）３．　（Ｄ）４．图１３．图１是某中学参加选修课学生人数的扇形统计图，从图中可以看出参加数学选修课的学生为参加选修课学生总人数的（）（Ａ）１２％．（Ｂ）２２％．（Ｃ）３２％．（Ｄ）２０％．４．如果ａ＜－３，那么（）（Ａ）ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１．（Ｂ）ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３．（Ｃ）ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．（Ｄ）ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２．５．如图２的交通标志中，轴对称图形有（）（Ａ）４个．（Ｂ）３个．（Ｃ）２个．（Ｄ）１个．图２６．对于数ｘ，符号［ｘ］表示不大于ｘ的最大整数．例如［３．１４］＝３，［－７．５９］＝－８．则满足关系式［３ｘ＋７７］＝４的ｘ的整数值有（）（Ａ）６个．（Ｂ）５个．（Ｃ）４个．（Ｄ）３个．图３７．在图３所示的４×４的方格表中，记∠ＡＢＤ＝α，∠ＤＥＦ＝β，∠ＣＧＨ＝γ，则α，β，γ的大小关系是（）（Ａ）β＜α＜γ．（Ｂ）β＜γ＜α．（Ｃ）α＜γ＜β．（Ｄ）α＜β＜γ．８．方程ｘ＋ｙ＋ｚ＝７的正整数解有（）（Ａ）１０组．（Ｂ）１２组．（Ｃ）１５组．（Ｄ）１６组．图４９．如图４，ＡＢＣＤ与ＢＥＦＧ是并列放在一起的两个正方形．Ｏ是ＢＦ与ＥＧ的交点．如果正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，ＣＧ＝２厘米．则·４３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期△ＤＥＯ的面积是（）．（Ａ）６．２５平方厘米．（Ｂ）５．７５平方厘米．（Ｃ）４．５０平方厘米．（Ｄ）３．７５平方厘米．１０．有如下四个叙述：①当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．②当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．③当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．④当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．其中正确的叙述是（）（Ａ）①③．（Ｂ）②④．（Ｃ）①④．（Ｄ）②③．二、Ａ组填空题１１．神舟六号飞船的速度为７．８千米／秒，航天员费俊龙用３分钟在舱内连做４个“前滚翻”，那么当费俊龙“翻”完一个跟斗时，飞船飞行了千米．１２．已知ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝－３０，则ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝．１３．图５为某工厂２００３年至２００５年的利润和资产统计表，由图可知资产利润率最高的年份是年．（注：资产利润率＝利润总资产）图５１４．计算：１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝．图６１５．图６是一个程序流向图，请你看图说出“终止”处的计算结果是．１６．已知ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），则ｍ２＋１ｍ２的值是．１７．ｎ是自然数，如果ｎ＋２０和ｎ－２１都是完全平方数，则ｎ等于．１８．Ｉｆ　ｘ＝２ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１，ｔｈｅｎ　ａ＝．（英汉词典：ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ解）１９．将（１＋２ｘ－３ｘ２）２展开，所得多项式的系数和是．图７２０．如图７所示，圆的周长为４个单位长度，在圆的４等分点处，顺时针方向依次标上数字０，１，２，３．先让圆周上数字０所对应的点与数轴上的数－１所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，使数轴上－２，－３，－４，…所对应的点与圆周上３，２，１，…所对应的点重合，那么数轴上数－２００６与圆周上对应的数是．三、Ｂ组填空题２１．把一块正方体木块的表面涂上漆，再把它锯成２７块大小相同的小正方体．在这些小正方体中，没涂漆的有个，至少被漆２个面的有块．图８２２．如图８所示，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８厘米，ＢＣ＝６厘米．分别以ＡＣ、ＢＣ为边向形外作正方形ＡＥＤＣ、ＢＣＦＧ．三角形ＢＥＦ的面积为ａ，六边形ＡＥＤＦＧＢ面积为Ｓ．则ａ＝平方厘米，且ａＳ＝．·５３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版２３．世界十大沙漠的面积见下表：（面积单位：万平方千米）名称撒哈拉沙漠阿拉伯沙漠利比亚沙漠澳大利亚沙漠戈壁沙漠面积８６０　２３３　１６９　１５５　１０４名称巴塔哥尼亚沙漠鲁卜哈利沙漠卡拉哈里沙漠大沙沙漠塔克拉玛干沙漠面积６７　６５　５２　４１　３２十大沙漠的总面积为万平方千米．已知地球陆地面积为１．４９亿平方千米，占地球表面积的２９．２％，则十大沙漠的总面积占地球表面积的％（精确到千分位）．２４．甲自Ａ向Ｂ走了５．５分钟时，乙自Ｂ向Ａ行走，每分钟比甲多走３０米．他们于途中Ｃ处相遇．甲自Ａ到达Ｃ用时比自Ｃ到Ｂ用时多４分钟，乙自Ｃ到Ａ用时比自Ｂ到Ｃ用时多３分钟．则甲从Ａ到Ｃ用了分钟，Ａ、Ｂ两处的距离是米．２５．将１，２，３，４，５，６，７，８，９按任意顺序写成一排，其中相邻的３个数字组成一个三位数．共有七个三位数，求这七个三位数的和．则所得这些三位数之和的最小值是．参考答案一、选择题题号１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０答案Ｄ　Ｂ　Ｂ　Ｃ　Ｃ　Ｄ　Ｂ　Ｃ　Ａ　Ｃ提示１．Ａ，Ｂ两点间的距离是＋１７－（－２００６）＝１７＋２００６＝２０２３．故选（Ｄ）．２．如－１２和１２之间既没有正整数，也没有负整数，所以命题①，②不正确．０介于两个符号相反的分数之间，所以命题③，④正确．故选（Ｂ）．３．参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的１００％－１７％－２６％－３５％＝２２％．故选（Ｂ）．４．因为ａ＋２ａ＋３＝１－１ａ＋３，ａ＋１ａ＋２＝１－１ａ＋２，ａａ＋１＝１－１ａ＋１，又ａ＋１＜ａ＋２＜ａ＋３＜０，可得０＜－（ａ＋３）＜－（ａ＋２）＜－（ａ＋１），所以－１ａ＋１＜－１ａ＋２＜－１ａ＋３，因此ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．故选（Ｃ）．５．第一、第三两个交通标志是轴对称图形，其他两个交通标志不是轴对称图形，故选（Ｃ）．６．解不等式４≤３ｘ＋７７＜５，得整数解ｘ＝７，８，９．故选（Ｄ）．７．观察图形，易知　∠ＡＢＤ＝α＞９０°，∠ＤＥＦ＝β＜９０°，∠ＣＧＨ＝γ＝９０°，所以β＜γ＜α．故选（Ｂ）．８．因为ｘ，ｙ，ｚ均为正整数，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝７，所以１≤ｘ≤５．下面分类讨论：当ｘ＝１时，有５组解；当ｘ＝２时，有４组解；当ｘ＝３时，有３组解；当ｘ＝４时，有２组解；当ｘ＝５时，有１组解．共计５＋４＋３＋２＋１＝１５（组）解．故选（Ｃ）．９．如图９，连接ＢＤ，易知ＢＤ∥ＥＧ，图９所以△ＥＤＯ与△ＢＥＯ的面积相等．由于Ｏ是正方形ＢＥＦＧ的对角线ＢＦ与ＥＧ的交点，所以△ＢＥＯ的面积等于正方形ＢＥＦＧ面积的四分之一．因为正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，所以边长ＢＣ＝３厘米．又ＣＧ＝２厘米，因此，ＢＧ＝５厘米，正方形ＢＥＦＧ的面积等于２５平方厘米．所以△ＥＤＯ的面积＝△ＢＥＯ的面积＝２５４＝６．２５（平方厘米）．故选（Ａ）．·６３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１０．当０＜ｘ＜１或－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ和１－ｘ＋ｘ２都大于０，所以两式的比值大于０．又（１－ｘ＋ｘ２）÷１１＋ｘ＝（１－ｘ＋ｘ２）（１＋ｘ）＝１＋ｘ３，当０＜ｘ＜１时，１＋ｘ３＞１，所以①正确，②不正确；当－１＜ｘ＜０时，１＋ｘ３＜１，所以③不正确，④正确．故选（Ｃ）．二、Ａ组填空题题号１１　１２　１３　１４　１５　１６　１７　１８　１９　２０答案３５１　５０　２００４　１６－３２９４４２１－４　０　３提示１１．费俊龙“翻”一个跟斗的时间为（３×６０÷４）秒，神舟六号飞船飞行的速度为７．８千米／秒，所以在费俊龙“翻”一个跟头的时间内飞船飞行了７．８×３×６０÷４＝３５１（千米）．１２．因为ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝ａｂ（ａ＋ｂ）＝－３０，所以ａｂ＝－１０．故　ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝（ａ＋ｂ）２－３ａｂ＋１１＝３２－３×（－１０）＋１１＝５０．１３．计算得２００３年的资产利润率＝３００３０００×１００％＝１０％，２００４年的资产利润率＝３６０３２００×１００％＝１１．２５％，２００５年的资产利润率＝４８０５０００×１００％＝９．６％，所以资产利润率最高的年份是２００４年．１４．１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝１７×－２＋１３８（）×－１６１７（）３８＝１６．１５．只要按照程序的过程走就可以看出结果应该是－２的５次方，等于－３２．１６．译文：如果ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），那么ｍ２＋１ｍ２＝．解　由条件知　ｍ－２＝－４１ｍ＋２，即（ｍ－２）１ｍ＋２（）＝－４，１－２ｍ＋２ｍ＝０．所以１ｍ－ｍ＝１２，两边平方，再整理得　ｍ２＋１ｍ２＝９４．１７．设ｎ＋２０＝ａ２，ｎ－２１＝ｂ２（ａ，ｂ均为整数），则ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝４１，且ａ２＞ｂ２，又因为４１是质数，所以ａ－ｂ＝１，ａ＋ｂ＝４１；｛或ａ－ｂ＝４１，ａ＋ｂ＝１；｛或ａ－ｂ＝－１，ａ＋ｂ＝－４１；｛或ａ－ｂ＝－４１，ａ＋ｂ＝－１．｛方程组的两式相加，得２ａ＝４２，或２ａ＝－４２，即ａ＝２１，或ａ＝－２１，从而ｎ＝ａ２－２０＝４４１－２０＝４２１．１８．译文：已知ｘ＝２是方程１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１的解，那么ａ＝．解　从外向里逐层去括号：１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０＝９，１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＝－１，１３ｘ＋ａ２＋４（）－７＝－６，１３ｘ＋ａ２＋４（）＝１，ｘ＋ａ２＋４＝３，ｘ＋ａ２＝－１，ｘ＋ａ＝－２．将ｘ＝２代入上式，得ａ＝－４．·７３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版１９．多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｍ－１ｘ１＋ａｎ的系数和为ａ０＋ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ－１＋ａｎ，故只需令多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｎ－１ｘ１＋ａｎ中的ｘ＝１即可．所以（１＋２ｘ－３ｘ２）２的展开式的系数和为（１＋２－３）２＝０．２０．因为｜（－２００６）－（－１）｜＝２００５＝５０１×４＋１，所以数轴上的数－２００６与圆周上的数３相对应．三、Ｂ组填空题题号２１　２２　２３　２４　２５答案１；２０　６６；１４８　１７７８；３．４８　１０；１４４０　４６４８；３１２２提示２１．８个角上的小正方体三面涂漆，１２条棱上各有１块小正方体两面涂漆，６个面上各有１块小正方体一面涂漆，还剩１块中心的小正方体没有涂漆．所以没涂漆的小正方体有１块，至少被漆２个面的小正方体有８＋１２＝２０（块）．２２．易知Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＣＤＦ＝１２×６×８＝２４（平方厘米），正方形ＡＣＤＥ的面积＝８２＝６４（平方厘米），正方形ＢＣＦＧ的面积＝６２＝３６（平方厘米）．所以六边形ＡＥＤＦＧＢ的面积＝２４＋２４＋６４＋３６＝１４８（平方厘米）．连接ＣＥ，则Ｓ△ＣＦＥ＝Ｓ△ＣＦＤ＝２４（平方厘米），Ｓ△ＣＢＥ＝Ｓ△ＣＢＡ＝２４（平方厘米），又Ｓ△ＢＣＦ＝６２２＝１８（平方厘米）．所以三角形ＢＥＦ的面积２４＋２４＋１８＝６６（平方厘米）．２３．十大沙漠的总面积为８６０＋２３３＋１６９＋１５５＋１０４＋６７＋６５＋５２＋４１＋３２＝１７７８（万平方千米），地球陆地面积为１．４９亿平方千米＝１．４９×１０４万平方千米，占地球表面积的２９．２％，所以地球表面积为１．４９×１０４÷２９．２％（万平方千米）．故十大沙漠的总面积占地球表面积的１７７８１．４９×１０４÷２９．２％＝３．４８％．２４．解法１　设甲与乙相遇时甲行走了ｔ分钟，则甲自Ｃ到达Ｂ处所用时间是（ｔ－４）分钟，乙自Ｂ到达Ｃ处所用时间是（ｔ－５．５）分钟，乙自Ｃ到达Ａ处所用时间是（ｔ－２．５）分钟．设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ｔｖ＝（ｔ－２．５）（ｖ＋３０），（ｔ－４）ｖ＝（ｔ－５．５）（ｖ＋３０）．｛即３０ｔ－２．５ｖ－７５＝０，３０ｔ－１．５ｖ－１６５＝０．｛解得ｔ＝１０，ｖ＝９０．｛所以Ａ，Ｂ两处的距离为（２ｔ－４）ｖ＝１６×９０＝１４４０（米）．解法２　设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ＡＣ－ＢＣ＝４ｖ，ＡＣ－ＢＣ＝３（ｖ＋３０）．｛解得ｖ＝９０．又设甲与乙相遇时乙行走了ｔ分钟，则（５．５＋ｔ）×９０－（９０＋３０）ｔ＝９０×４，解得ｔ＝４．５．所以甲从Ａ到Ｃ所用时间是５．５＋４．５＝１０（分钟），Ａ，Ｂ两处的距离为９０×１０＋（９０＋３０）×４．５＝１４４０（米）．２５．设排列的九个数为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ依题意知，所求的七个三位数的和为ａｂｃ＋ｂｃｄ＋ｃｄｅ＋ｄｅｆ＋ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｉ＝１００ａ＋１１０ｂ＋１１１（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ）＋１１ｈ＋ｉ，为使所求的七个三位数的和最大，应选取ａ＝３，ｂ＝４，ｃ～ｇ选５～９，ｈ＝２，ｉ＝１，此时，最大的和为４６４８．为使所求的七个三位数的和最小，应选取ａ＝７，ｂ＝６，ｃ～ｇ选１～５，ｈ＝８，ｉ＝９，此时，最小的和为３１２２．·８３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期初中一年级　第２试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．ａ和ｂ是满足ａｂ≠０的有理数，现有四个命题：①ａ－２ｂ２＋４的相反数是２－ａｂ２＋４；②ａ－ｂ的相反数是ａ的相反数与ｂ的相反数的差；③ａｂ的相反数是ａ的相反数和ｂ的相反数的乘积；④ａｂ的倒数是ａ的倒数和ｂ的倒数的乘积．其中真命题有（）（Ａ）１个．　（Ｂ）２个．　（Ｃ）３个．　（Ｄ）４个．２．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（）３．在代数式ｘｙ２中，ｘ与ｙ的值各减少２５％，则该代数式的值减少了（）（Ａ）５０％．（Ｂ）７５％．（Ｃ）３７６４．（Ｄ）２７６４．４．若ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，则以下四个结论中正确的是（）（Ａ）ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ一定是正数．（Ｂ）ｄ＋ｃ－ａ－ｂ可能是负数．（Ｃ）ｄ－ｃ－ｂ－ａ一定是正数．图１（Ｄ）ｃ－ｄ－ｂ－ａ一定是正数．５．在图１中，ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ，则ｘ的值是（）（Ａ）１０．（Ｂ）２０．（Ｃ）３０．（Ｄ）４０．６．已知ａ，ｂ，ｃ都是整数，ｍ＝｜ａ＋ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ａ－ｃ｜，那么（）（Ａ）ｍ一定是奇数．（Ｂ）ｍ一定是偶数．（Ｃ）仅当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ是偶数．（Ｄ）ｍ的奇偶性不能确定．７．三角形三边的长ａ，ｂ，ｃ都是整数，且［ａ，ｂ，ｃ］＝６０，（ａ，ｂ）＝４，（ｂ，ｃ）＝３．（注：［ａ，ｂ，ｃ］表示ａ，ｂ，ｃ的最小公倍数；（ａ，ｂ）表示ａ，ｂ的最大公约数），则ａ＋ｂ＋ｃ的最小值是（）（Ａ）３０．（Ｂ）３１．（Ｃ）３２．（Ｄ）３３．图２８．如图２，矩形ＡＢＣＤ由３×４个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有（）（Ａ）４０个．（Ｂ）３８个．（Ｃ）３６个．（Ｄ）３４个．９．设ａ是有理数，用［ａ］表示不超过ａ的最大整数，如［１．７］＝１，［－１］＝－１，［０］＝０，［－１．２］＝－２，则在以下四个结论中正确的是（）（Ａ）［ａ］＋［－ａ］＝０．（Ｂ）［ａ］＋［－ａ］等于０或１．（Ｃ）［ａ］＋［－ａ］≠０．（Ｄ）［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．１０．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｕｍ　ｂｅｒ　ａｘｉｓ，ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｔｗｏｐｏｉｎｔｓ　Ａａｎｄ　Ｂｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ｎｕｍ　ｂｅｒｓ　７ａｎｄ　ｂ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｂｅｔｗｅｅｎＡａｎｄ　Ｂｉｓ　ｌｅｓｓ　ｔｈａｎ　１０．Ｌｅｔ　ｍ＝５－２ｂ，ｔｈｅｎｔｈｅ　ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｍｉｓ（）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．（英汉词典：ｎｕｍｂｅｒ　ａｘｉｓ数轴；ｐｏｉｎｔ点；ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏ对应于…；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｄｉｓｔａｎｃｅ距离；ｌｅｓｓ　ｔｈａｎ小于；ｖａｌｕｅ值、数值；ｒａｎｇｅ范围）·９３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版二、填空题１１．１１２－２５６＋３１１２－４１９２０＋５１３０－６４１４２＋７１５６－８７１７２＋９１９０＝．１２．若ｍ＋ｎ－ｐ＝０，则ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）的值等于．图３１３．图３是一个小区的街道图，Ａ，Ｂ，Ｃ，…，Ｘ，Ｙ，Ｚ是道路交叉的１７个路口，站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设个岗哨．１４．如果ｍ－１ｍ＝－３，那么ｍ３－１ｍ３＝．１５．１＋２＋３＋４＋５＋…＋２００５＋２００６１－１１００４（）１－１１００５（）１－１１００６（）…１－１２００６（）＝．１６．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有个．１７．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为２９、２３、２１和１７岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是岁．１８．初一（２）班的同学站成一排，他们先自左向右从“１”开始报数，然后又自右向左从“１”开始报数，结果发现两次报数时，报“２０”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有１５人，则全班同学共有人．１９．２　ｍ＋２００６＋２　ｍ（ｍ是正整数）的末位数字是．２０．Ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　ａ，ｂ，ｃ，ｄ　ａｒｅ　ａｌｌ　ｉｎｔｅｇｅｒｓ，ａｎｄ　ｆｏｕｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ　ｈａｖｅ　ａｌｗａｙｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｘ，ｙ，ｚ，ｗ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｎｕｍｂｅｒｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｏｆ　ａｉｓ．（英汉词典：ｔｏ　ａｓｓｕｍｅ假设；ｉｎｔｅｇｅｒ整数；ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ（方程的）解；ｐｏｓｉｔｉｖｅ正的；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｍｉｎｉｍｕｍ最小值）三、解答题要求：写出推算过程２１．（１）证明：奇数的平方被８除余１．（２）请你进一步证明：２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．图４２２．如图４所示，△ＡＢＣ的面积为１，Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点．连结ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ，连结ＣＯ并延长ＡＢ于Ｆ．求四边形ＢＤＯＦ的面积．２３．老师带着两名学生到离学校３３千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为２５千米／小时．这辆摩托车后座可带乘１名学生，带人后速度为２０千米／小时．学生步行的速度为５千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过３个小时．参考答案一、选择题题号１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０答案Ｃ　Ｃ　Ｃ　Ｃ　Ａ　Ｂ　Ｂ　Ａ　Ｄ　Ｃ提示１．因为－ａ－２ｂ２＋４＝２－ａｂ２＋４，所以命题①是真命题；因为ａ－ｂ的相反数为－（ａ－ｂ）＝－ａ－（－ｂ），所以命题②的真命题；·０４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期因为ａｂ的相反数为－ａｂ，（－ａ）（－ｂ）＝ａｂ，又ａｂ≠０，所以－ａｂ≠ａｂ，因此③不是真命题；因为ａｂ≠０，所以ａｂ的倒数为１ａｂ＝１ａ·１ｂ，因此，④是真命题．故选（Ｃ）．２．观察即知，选（Ｃ）．３．因为ｘ（１－２５％）·［ｙ（１－２５％）］２＝２７６４ｘｙ２，所以代数式的值减少了１－２７６４＝３７６４．故选（Ｃ）．４．当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２时，（Ａ）不成立；当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２０时，（Ｄ）不成立；又因为ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，所以ｄ＋ｃ＞０，①ｄ－ｃ＞０，②－ａ＞０，③－ｂ＞０，④①＋③＋④，得　ｄ＋ｃ－ａ－ｂ＞０，②＋③＋④，得　ｄ－ｃ－ｂ－ａ＞０，即（Ｂ）不正确，（Ｃ）正确．故选（Ｃ）．５．根据三角形内角和定理，并利用等腰三角形两底角相等，得２ｘ＋３０×２＋５０×２＝１８０，解得ｘ＝１０．故选（Ａ）．６．因为ａ，ｂ，ｃ，均为整数，又奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数；所以当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个奇数一个偶数时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个偶数一个奇数时，ｍ为偶数；故选（Ｂ）．７．由题意知ｂ既能被４整除，又能被３整除，所以ｂ能被１２整除．又６０能被ｂ整除，所以ｂ＝１２或６０．（１）若ｂ＝１２，则６０÷ｂ＝５，因为（５，４）＝１，（５，３）＝１，所以ａ，ｃ中至少有一个含因数５．若ａ含因数５，则ａ≥２０，又ｃ≥３，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥２０＋１２＋３＝３５；若ｃ含因数５，则ｃ≥１５，又ａ≥４，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥４＋１２＋１５＝３１，取ａ＝４，ｂ＝１２，ｃ＝１５，能构成三角形．（２）若ｂ＝６０，则ａ＋ｂ＋ｃ＞６０＞３１．综上知，ａ＋ｂ＋ｃ的最小值为３１．故选（Ｂ）．８．从５条竖线中取２条，共有５×４２＝１０（种）取法，从４条横线中取２条，共有４×３２＝６（种）取法．２条竖线和２条横线可组成１个矩形，所以图中的矩形共有１０×６＝６０（个），其中，正方形有４×３＋３×２＋２×１＝２０（个），所以，不是正方形的矩形有６０－２０＝４０（个）．故选（Ａ）．·１４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版９．当ａ＝１．１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－２，所以（Ａ）、（Ｂ）不成立．当ａ＝１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－１，所以（Ｃ）不成立．当ａ≥０时，ａ可以写成ａ＝［ａ］＋｛ａ｝，而０≤｛ａ｝＜１，－ａ＝－［ａ］－｛ａ｝．如果｛ａ｝＝０，即ａ是正整数，则［－ａ］＝－［ａ］，所以［ａ］＋［－ａ］＝０．如果｛ａ｝＞０，则［－ａ］＝－［ａ］＝－１，所以［ａ］＋［－ａ］＝－１．当ａ＜０时，令ｂ＝－ａ＞０，将上面讨论中的ａ换成ｂ，仍可以得到［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．故选（Ｄ）．１０．译文：点Ａ和点Ｂ分别对应于数轴上的两个数７和ｂ，且｜ＡＢ｜＜１０．如果ｍ＝５－２ｂ，那么ｍ的取值范围是（）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．解　由题意知｜ＡＢ｜＝｜ｂ－７｜＜１０，所以－３＜ｂ＜１７，即－２９＜５－２ｂ＜１１．故选（Ｃ）．二、填空题题号１１　１２　１３　１４　１５答案１９１０－３　４－３６　４０２６０４２题号１６　１７　１８　１９　２０答案３１　１８　５３或２５　０　２４３３提示１１．原式＝１＋１２＋３－２５６（）＋１１２＋　５－４１９２０（）＋１３０＋７－６４１４２（）＋１５６＋　９－８７１７２（）＋１９０＝１＋１２＋１６＋１１２＋１２０＋１３０＋１４２＋１５６＋１７２＋１９０＝１＋１－１２（）＋１２－１３（）＋１３－１４（）＋　１４－１５（）＋…＋１８－１９（）＋１９－１１０（）＝２－１１０＝１－９１０．１２．因为ｍ＋ｎ－ｐ＝０，所以ｍ－ｐ＝－ｎ，ｎ－ｐ＝－ｍ，ｍ＋ｎ＝ｐ，即　ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）＝ｍｎ－ｍｐ＋ｎｍ－ｎｐ－ｐｍ＋ｐｎ（）＝ｍｎ－ｐｎ（）＋ｎｍ－ｐｍ（）－ｍｐ＋ｎｐ（）＝ｍ－ｐｎ＋ｎ－ｐｍ－ｍ＋ｎｐ＝－１－１－１＝－３．１３．因为ＤＳ，ＡＸ，ＥＹ，ＦＺ是小区中４条彼此平行的街道，守望每条街道都需要１个岗哨，因此，守望这４条彼此平行的街道至少需要４个岗哨．即守望这个小区的所有街道需要安排的岗哨不能少于４个．在Ｄ，Ｎ，Ｙ，Ｆ路口设４个岗哨即可守望小区的所有街道，因此，最少要设４个岗哨．１４．ｍ３－１ｍ２＝ｍ－１ｍ（）ｍ２＋１１ｍ２（）＝－３　ｍ２－２＋１ｍ２＋３（）＝－３　ｍ－１ｍ（）２＋３［］＝－３×１２＝－３６．·２４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１５．原式＝（１＋２００６）×１００３１００３２００６＝２００７×２００６＝４０２６０４２．１６．设共有乒乓球ｘ个，则第一名得乒乓球的个数为ｘ２＋１２＝１２（ｘ＋１）；第二名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２（）＋１２＝１４（ｘ＋１）；第三名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２－ｘ＋１４（）＋１２＝１８（ｘ＋１）；以此类推，第四名得乒乓球的个数为ｘ＋１１６；第五名得ｘ＋１３２．依题意ｘ＋１２＋ｘ＋１４＋ｘ＋１８＋ｘ＋１１６＋ｘ＋１３２＝ｘ，即（ｘ＋１）１２＋１４＋１８＋１１６＋１３２（）＝ｘ．解得ｘ＝３１．１７．设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别是ａ，ｂ，ｃ，ｄ，则有ａ＋ｂ＋ｃ３＋ｄ＝２９，ｂ＋ｃ＋ｄ３＋ａ＝２３，ｃ＋ｄ＋ａ３＋ｂ＝２１，ｄ＋ａ＋ｂ３＋ｃ＝１７．烅烄烆将四个式子相加并化简，得ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝４５，再将上面方程组的每个式子乘以３后分别与（＊）式相减，得ａ＝１２，ｂ＝９，ｃ＝３，ｄ＝２１．由对称性，知甲、乙、丙、丁四人中年龄最大的是２１岁，年龄最小的是３岁．所以最大年龄与最小年龄的差为２１－３＝１８（岁）．１８．有如图５所示的两种情况：图５所以全班共有２０＋２０＋１３＝５３（人），或２０＋（２０－１５）＝２５（人）．１９．因为２　ｍ＋２００６＋２　ｍ＝２　ｍ（２２００６＋１），而２２００６＝（２４）５０１×２２＝１６５０１×４，乘积的个位数字是４，所以２２００６＋１的个位数字是５，又２　ｍ为偶数，所以ｍｍ＋２００６＋２　ｍ的末位数字为０．２０．译文：设ａ，ｂ，ｃ，ｄ均为整数，且关于ｘ，ｙ，ｚ，ｗ的四个方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１，（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ的根都是正数，则ａ可能取得的最小值是．解　因为方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１的根ｘ＞０，所以ａ－２ｂ＞０，又因为ａ，ｂ均为整数，所以ａ－２ｂ也为整数，即ａ－２ｂ≥１，ａ≥２ｂ＋１．同理可得ｂ≥３ｃ＋１，ｃ≥４ｄ＋１，ｄ≥１０１．所以ａ≥２ｂ＋１≥２（３ｃ＋１）＋１＝６ｃ＋３≥６（４ｄ＋１）＋３＝２４ｄ＋９≥２４×１０１＋９＝２４３３，故ａ可能取得的最小值为２４３３．三、解答题２１．（１）设ｎ为任意整数，则２ｎ＋１为任意奇数．那么（２ｎ＋１）２＝２ｎ２＋４ｎ＋１＝４ｎ（ｎ＋１）＋１．由于ｎ（ｎ＋１）能被２整除，·３４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版所以４ｎ（ｎ＋１）能被８整除，所以４ｎ（ｎ＋１）＋１被８除余１．因此，奇数的平方被８除余１．（２）假设２００６可以表示为１０个奇数的平方之和，也就是ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ２３＋…＋ｘ２１０＝２００６，（其中ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘ１０都是奇数）等式左边被８除余２，而２００６被８除余６．矛盾！因此，２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．２２．设Ｓ△ＢＤＦ＝ｘ，Ｓ△ＢＯＤ＝ｙ．因为Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点，且Ｓ△ＡＢＣ＝１，所以Ｓ△ＡＯＥ＝Ｓ△ＣＯＥ＝Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＣＯＢ＝１４．则Ｓ△ＡＯＦ＝１４－ｘ，Ｓ△ＡＣＦ＝３４－ｘ，Ｓ△ＢＣＦ＝１４＋ｘ．由Ｓ△ＡＯＦＳ△ＢＯＦ＝ＡＦＢＦ＝Ｓ△ＡＣＦＳ△ＢＣＦ，得１４－ｘｘ＝３４－ｘ１４＋ｘ，即１１６－ｘ２＝３４ｘ－ｘ２，得ｘ＝１１２．又Ｓ△ＣＯＤ＝１４－ｙ，Ｓ△ＡＣＤ＝３４－ｙ，Ｓ△ＡＢＤ＝１４＋ｙ．由Ｓ△ＢＯＤＳ△ＣＯＤ＝ＢＤＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＣＤ，得ｙ１４－ｙ＝１４＋ｙ３４－ｙ，即１１６－ｙ２＝３４ｙ－ｙ２，得ｙ＝１１２．所以Ｓ四边形ＢＤＯＦ＝ｘ＋ｙ＝１１２＋１１２＝１６．２３．要使师生二人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计方案如下：设学生为甲、乙二人．乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如果６所示，设老师带甲乘摩托车行驶了ｘ千米，用了ｘ２０小时，比乙多行了ｘ２０×（２０－５）＝３４ｘ（千米）．图６这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了３４ｘ÷（２５＋５）＝ｘ４０（小时）．乙遇到老师时，已经步行了ｘ２０＋ｘ４０（）×５＝３８ｘ（千米），离博物馆还有３３－３８ｘ（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有ｘ＝３３－３８ｘ，解得ｘ＝２４．即甲先乘摩托车行驶２４千米，用了１．２小时，再步行９千米，用了１．８小时，共计３小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过３个小时．·４４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期。

小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。

3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。

4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。

6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。

7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。

9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。

11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。

12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说：“我会开。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开。

”三人的话只有一句是真话。

会开车的是。

14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。

回校后，小明补给小光28元。

小明、小光各带了元，每本书价元。

第13届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试一．选择题1．已知}3|{},4|{2<=>=x x N x x M ，则下列等式中正确的是---------------------------（） (A))}2|{-≥=x x N M (B)R N M = (C)}3|{<=x x N M (D)R N M =2．设x x g -=1)(，且当1≠x 时，x x x g f -=1)]([，则)21(f 等于-------------------------（） (A)2 (B)1 (C)31 (D)0 3．设)()(),()(,3)()(),5()(4321x f x f x f x f x f x f x f x f --=-=-=+=，则下列表述中正确的是---------------------------------------------------------------------------------------------------------（）(A))(1x f 的图象是由)(x f 的图象往右平移5个单位得到(B))(2x f 的图象是由)(x f 的图象往上平移3个单位得到(C))(3x f 是偶函数(D))(4x f 的图象是将)(x f 的图象绕原点旋转180得到4．已知x x x f 2001)(2-=，若n m n f m f ≠=),()(，则)(n m f +等于-------------------（） (A)2001 (B)2001- (C)0 (D)1000.55．已知数列}{n a 满足11,211+-==+n n a a a ，则2001a 等于-------------------------------------（） (A)23- (B)31- (C)1 (D)2 6．命题:P 有些三角形是直角三角形，则命题P 为-------------------------------------------------（）(A)有些三角形不是直角三角形 (B)有些三角形是锐角或钝角三角形(C)所有三角形都不是直角三角形 (D)不是三角形就不是直角三角形7．Let f be a function such that )()()(y f x f y x f ⋅=+ for any real numbers x and y. If161)1(=f ,then the value of )1(-f is--------------------------------------------------------------------（） (A)16 (B)161 (C)161- (D)16- 8．设)sin(cos )(),cos(sin )(x xg x x f ==，则（）(A))(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 (B) )(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数(C) )(x f 为偶函数，)(x g 为偶函数 (D) )(x f 为奇函数，)(x g 为奇函数9．已知集合}032|{},0)152(log |{2223≤--=>--=a ax x x B x x x A ，若∅≠B A ，则实数a 的取值范围是（） (A))0,34(- (B)),34()4,(+∞--∞ (C)),2()34,(+∞--∞ (D)),2()0,34(+∞- 10．在以下关于向量的命题中，不正确的是（）(A)若向量),(y x =，向量),(x y -=，则⊥(B)四边形ABCD 是菱形的充要条件是=且||||=(C)点G 是ABC ∆的重心，则0=++(D) ABC ∆中，和的夹角等于A - 180二、A 组填空题11．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+成立的条件是_________________________. 12．若2523παπ<<，且32sin =α，则α2在第_____________象限. 13．函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=1,111,1x x x x y 的反函数是_______________________________. 14．已知数列}{n a 中，131+=+n n n a a a ，且719=a ，则=2002a _____________. 15．不等式x x x 13512≤+的解集为________________________________.16．已知函数5)3(42)(2+-+=x a ax x f 是在区间)3,(-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________________.17．在ABC ∆中，AB CH S AB ABC ⊥==∆,22,3于H ，HB AH 2=，则与B ∠的两边相切且圆心在CH 上的圆的半径等于___________________.18．使不等式22115+>-+x x x 成立的x 的正整数值是__________________. 19．Let a and b the two real roots of the quadratic equation 0)43()1(22=+++--k k x k x ,where k is some real number. The largest possible value of 22b a + is ________________________.20．用)(n S 表示自然数n 的数字和，例如18909)909(,101)10(=++==+=S S ，若对任何N n ∈，都有x n S n ≠+)(，满足这个条件的最大的两位数x 的值是_______________.三、B 组填空题21．若等比数列}{n a 是递增数列，则首项1a 及公比q 应满足的条件是_______________.22．函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在区间]2,1[上的最大值比最小值大3a ，则=a ________. 23．已知函数R x x x x f y ∈++-==,182)(2，对于R t ∈，在区间]2,[+t t 上，将函数)(x f 的最大值表示为t 的函数)(t g ，则=)(t g ________________________.24．设函数x y 6.03-=与函数x y 6.0=的图象交于点),(111y x P ，对任意N n ∈且1>n ，将过点)3,0(和点)0,(1-n x 的直线与直线x y 6.0=的交点的坐标记为),(n n n y x P ，则点321,,P P P 的坐标依次为__________________________________，点2002P 的坐标为_______.25．若抛物线c bx ax y ++=2过点)4,0(-，且与直线x y =的交点A 、B 关于直线x y -=对称，又24||=AB ，则=a _________，=b ___________，=c _________________.。

数学希望杯试题及答案

数学希望杯试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的平方等于9，这个数是多少？A. 3B. -3C. 3或-3D. 9答案：C3. 计算下列表达式的结果：(2x - 3) + (4x + 5) = ?A. 6x + 2B. 6x - 8C. 6x + 7D. 2x + 2答案：C4. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 7答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆的半径是5，那么它的周长是______。

答案：10π2. 一个等差数列的前三项分别是1，4，7，那么它的第10项是______。

答案：263. 如果一个矩形的长是10，宽是6，那么它的面积是______。

答案：604. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。

答案：16三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(3² + 4²) = √(9 + 16) =√25 = 5。

2. 计算下列方程的解：2x - 5 = 3x + 2答案：将方程整理得 -x = 7，所以 x = -7。

3. 一个数的3倍加上4等于20，求这个数。

答案：设这个数为x，则有3x + 4 = 20，解得 x = (20 - 4) / 3 =16 / 3。

四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：如果一个三角形的两边长分别为a和b，且a > b，那么这个三角形的第三边c满足b - a < c < a + b。

答案：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

最全希望杯数学竞赛真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 018-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 024-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 032-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 038-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 048-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 056-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 064-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 071-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题........................................... 078-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 085-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 096-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题........................................... 103-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题............................................ 111-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 118-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 127-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 136-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 145-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 159-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 167-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 171-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 176-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 182-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 186-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题....................................... 193-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题....................................... 198-20029.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (203)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (204)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题....................................... 213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (204)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题....................................... 228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题....................................... 234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题....................................... 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题....................................... 248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题....................................... 252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题....................................... 257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题....................................... 263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题....................................... 267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题................................... 274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题................................... 285-28823.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题................................... 288-301希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( )A．a，b都是0．B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数．2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式．C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是( )A. 有最小的自然数．B．没有最小的正有理数．C．没有最大的负整数．D．没有最大的非负数．4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( )A．a，b同号．B．a，b异号．C．a＞0．D．b＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2个．B．3个．C．4个．D．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A．一样多． B．多了．C．少了．D．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A．增多．B．减少．C．不变．D．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．198919902－198919892=______． 3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______. 8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989) =(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x ．B.甲方程的两边都乘以43x; C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34. 10．如图: ，数轴上标出了有理数a ，b ，c 的位置,其中O 是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30． 12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2．计算：-32÷6×16=_______.3．计算：(63)36162-⨯=__________.4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______．5．计算:111111 2612203042-----=_________.6．n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

数学希望杯试题及答案

数学希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C2. 如果a和b是两个非零的自然数，且a > b，则下列哪个不等式是正确的？A. a + b > bB. a - b > bC. a × b < bD. a ÷ b > 1答案：D3. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 圆的周长是2πr，其中r是半径。

如果一个圆的周长是12.56厘米，那么这个圆的半径是多少？A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米答案：A5. 以下哪个是偶数？A. 1B. 2C. 3D. 5答案：B6. 一个数的平方等于16，这个数是多少？A. 2B. 4C. ±4D. ±2答案：D7. 一个数的立方等于-8，这个数是多少？A. -2B. -4C. 2D. 4答案：A8. 一个数的绝对值是5，这个数可以是多少？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 如果x = 2y + 3，y = 3x - 4，那么x + y的值是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：C10. 一个数列的前三项是2, 4, 6，这是一个等差数列。

第10项是多少？A. 20B. 22C. 24D. 26答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

答案：162. 如果一个数的立方根是2，那么这个数是________。

答案：83. 一个数除以10，得到的结果再乘以10，这个数是________。

答案：不变4. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是________。

答案：25. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。

答案：56. 如果一个数的1/3等于10，那么这个数是________。

希望杯历年真题集(九年级)-附答案

目录第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (3)第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛(第1试) (7)第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (11)第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛(第1试) (15)第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛(第2试) (19)第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (23)第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (27)第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (31)第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (35)第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (40)第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (43)参考答案 (47)第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（）A ．8分钟B ．7分钟C ．6分钟D ．5分钟 2．若关于x 的一元二次方程()2320a b x ax b +++=有唯一解，则这个解是（）A ．23-B ．32-C ．23D ．323．如图，已知////AD EF BC ，::1:2:4AD EF BC =，则梯形AEFD 与梯形EBCF 的面积之比为（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:34．一个兵乓球队有男队员6人，女队员5人，其中男、女左撇子分别有3人和2人，若从这个球队任意抽取2人，则抽到2个左撇子的概率是（）A ．211 B ．511 C ．15D ．251215．已知x ，y 都是负整数，且满足66xy x=-，则y 的最小值为（） A ．3- B ．4- C ．5- D ．6-6．已知等腰ABC 中，,30AB AC BAC =∠=︒,AD 为BC 边上的高，P 点在AC 上，E 点在AD 上，若PE EC +的最小值为4，则ABC 的面积为（）A ．8B ．16C ．32D ．647．如图，AB 是圆O 的直径，点C 平分AB ，点D 平分AC ，DB 、CA 交于点E ，则DEEB的值（）A ．13B ．14 C ．1 D8．已知直线()0y kx k =<与双曲线2y x=-交于点()11A x y ，和()22B x y ，两点，则122138x y x y -的值是（） A ．10- B ．5- C ．5 D ．109．用一些棱长是1的小正方体堆成一个立体，下图分别是它的俯视图和主视图，则这个立体的表面积（含下底面面积）的值最小是（）A ．42B ．43C ．44D ．4610．如图，在ABC 中，BAC ∠、BCA ∠的平分线相交于点I ，若35B ∠=，BC AI AC =+，则BAC ∠的度数为（）A ．60B ．70C ．80D ．90二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．如图，正六边形的边向外延长一倍，连接端点后又构成一个大的正六边形，则小正六边形与大正六边形的面积之比为；12．若对于p 的任意值，抛物线2231y x px p =-++都过一个定点，则这个定点的坐标是； 13．如图，正方形ABCD 的边长为 4，E 点在BC 上，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则EC = ；14．在锐角ABC 中，54AB AC ==，，则BC 的取值范围是；15．袋中装有大小相同的黑球、白球、红球各2个，规定：取出一个黑球计0分，取出一个白球计1 分，取出一个红球计2分；在抽取这些球的时候，看不到球的颜色.甲先取出3个球，不再放回袋中，然后，乙取出剩余的3个球；取出球的总积分多者获胜.则甲乙成平局的概率为；16．不等式21x x a -+-≥对所有实数x 都成立，则 a 的最大值是； 17．如图，设M 是ABC 的重心，过M 的直线分别交边AB AC 、于P Q 、两点，且APm PB=，AQ n QC =，则11m n+= ；18．已知抛物线()20y ax bx c c =++≠与x 轴的交点坐标为()()1,0,3,0-,当25x -≤≤时，y 的最大值为12，则该抛物线的解析式为；19．已知平面直角坐标系中有()1,3A ，()3,1B 两点，在x y 、轴上分别找一点C D 、，使四边形的周长最小，则最小周长为；20．明明用计算器求代数式()a b c +的值.他依次按出“,,,,,a b c ⨯+=”，显示11；当他依次按“,,,,b c a +⨯=”，显示14 (其中,,a b c 均为正整数).这时他才明白不按括号时，计算器先做乘法再做加法.那么如果他按键正确(该加括号时加括号)时，显示结果应为；三、B 组填空题（每小题 8 分，共 40 分）21．已知代数式22 342x xy y x by ---+-能分解为两个关于x y 、的一次式的乘积，则b = 或； 22．已知,,x y z 是三个非负实数，满足3252x y z x y z ++=+-=，，若2S x y z =+-，则S 的最大值为最小值为；23．已知()2f x ax bx c =++，若()01f =，并且()()12f x f x x +-=，则()1f = ，()1f -= ，a = ，b = ；24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A C 、分别在轴上，顶点B 在()14,8，点E F 、分别在OA 、 OB 、上.将AEF 沿EF 对折，使点A 落在线段BC 上的点D 处.经过抛物线()2220y ax abx ab c c =-++<顶点P 的每一条直线总平分矩形OABC 的面积.若点P 在线段DE 上，AF 的长为整数，且已知抛物线与线段EF 仅有一个交点，则点F 的坐标是，a 的取值范围是；25．某种在同一平面内进行传动的机械装置如左图，右图是它的示意图.其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且PQ 带动连杆OP 绕定点O 摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的O 上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 做 OH l ⊥于点H ，并测得4OH = 分米，3PQ = 分米，2OP = 分米.则点Q 在l 上允许滑动的最大距离为分米，点P在O 上的最大移动路线长为分米；第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．如图1所示，一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，则它们的主视图是（）图1 A B C D2．完成一项工作,甲单独做需a 天,乙单独做需b 天,甲乙合作需c 天,则丙单做全部工作所需的天数是（）A ．abc ab ac bc -- B ．abc ab ac bc +- C ．ab ac bcabc++ D ．()ab c b a c --3．已知1,0,1x ≠-，则1111x x x x x x -+++-+的值可能是（） A ．比3大的数 B ．比3-小的数 C ．1,3±± D ．比3-大,并且比3小的数4．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，两条对角线交于点E .已知ABE 的面积是a ,CDE 的面积是b ，则梯形ABCD 的面积是（）A ．22a b +B )a b +C ．2D ．()2a b +5．已知a ,b 是实数，关于x 的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组是（）A ．11ax bx >⎧⎨>⎩B ．11ax bx >⎧⎨<⎩C ．11ax bx <⎧⎨>⎩D ．11ax bx <⎧⎨<⎩6．如图，AB BC ⊥，AB BC =，点D 在BC 上，以D 为直角顶点作等腰直角，则当D 从B 运动到C 的过程中，点E 的运动轨迹是（）A ．圆弧B ．抛物线C ．线段D ．双曲线7．已知实数1234,,,x x x x 满足条件1231234234134124x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩其中1234a a a a <<<,则1234,,,x x x x 的大小关系是（）A ．1234x x x x <<<B ．2314x x x x <<<C ．3214x x x x <<<D ．4321x x x x <<< 8．已知23x ≤≤，则函数()21y x =-的取值范围是（）A ．14y ≤≤和916y ≤≤B ．116y ≤≤C ．49y ≤≤D ．19y ≤≤ 9．如图，已知梯形ABCD 中，//AB DC A C αβ∠=∠=，，，则:AD BC 等于（）A ．sin :cos αβB ．sin :sin αβC ．sin :sin βαD ．cos :sin αβ10．若关于x 的二次函数221y x mx =-+的图像与端点在()1,1-和()3,4的线段只有一个交点，则m 的取值可能是（）A ．52B ．13-C ．12D ．13二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．若两位数除以他的数字和等于7，则这样的两位数有个. 12．已知21x y -=,则22425x y x y ---+= ；13．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，已知2OB OA OA OC =<，，则,,a b c 满足的关系式是；14．如图，已知A B C 、、三点在同一个圆上，并且AB 是圆O 的直径，若点C 到AB 的距离5CD =，则圆O 的面积最小是；15．如图，在边长为1的正方形中，分别以四个顶点为圆心，作半径为1的圆弧，则图中阴影部分的面积是；16．如图，在梯形ABCD 中，2//76BA CD AD AB AB CD m BC m ⊥===，，，，，若以BC 为直径的圆与AD 没有公共点，则m 的取值范围是；17．设()f x 是关于x 的多项式，()f x 除以()21x +，余式是3；()2f x 除以()32x -，余式是4-，那么，()3f x 除以()242x x --，余式是；18．已知实数,a b 满足3a ab b ++=，若m a ab b =-+，则m 的取值范围是；19．Tom’s computer has password,which contains only numbers from 0 to 9.If the probability to guess the right password only one time is less than12012，then at least the password has digits. 20．Suppose point ()1,A m - is on the graph of the function 2y x=-，,,,B C D respectively,are point As symmetric points of x -axis,origin,y-axis.Then the area of the quadrilateral ABCD is ；三、B 组填空题（每小题8分，共40分） 21．反比例函数1k y x =和一次函数2y k x b =+的图象交于点2(3,)3M -和点()1,2N -，则1k = ，2k = ，一次函数的图象交x 轴于点；22．已知,a b 是实数，且2210a a -=，则a = ，b = ；23．已知,a b 是有理数，1x =是方程20x ax b -+=的一个解，则a 的值是，b 的值是； 24．如图，已知ABC 中，CD AB ⊥于点D ，26BD AD CD ==，，8cos 9ACD ∠=，BE 是AC 边上的高，则AD = ，BE = ；25．已知点A B Pa=︒，∠=，点M是上的动点，且使ABM为等腰三角形.若45、、是O上不同的三点，APB a则所有符合条件的点M有个，若满足题意的点M有2个，则a=；第二十三届 “希望杯”全国数学邀请赛（第2试）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．若反比例函数k y x =的图像经过点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则k 的值为（） A ．1- B ．1 C ．4- D ．42．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列代数式的值恒为正值的是（）A ．abcB ．acC ．bcD ．ab3．若存在12x ≤≤，使得2120ax -->，则a 的取值范围是（）A ．14a <-B ．34a >C ．1344a -<<D ．14a <-或34a >4．直线k y x k=总是下列哪个函数图像的对称轴？（）A ．y k x =B ．ky x=C ．2y kx =D ．y kx = 5．若实数,,a b c 满足2222221,2,3,a b b c c a +=+=+=则ab bc ca ++的最小值为（）A ．B ．C ．D 6．如图，双曲线(0)ky k x=>经过Rt AOB ∆的斜边AB 的中点C ,,AF AO ⊥,BF BO ⊥,AF BF 与双曲线分别交于点,D E ,若8,6,OA OB ==则四边形ODFE 的面积是（）A ．12B ．24C ．36D ．407．对于实数a ，规定[]a 表示不大于a 的最大整数，如[][]2.12, 1.52,=-=-则方程[][]224x y +=的解在xOy 坐标系中的图像是（）A B C D 8．某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计，得到下表：若获利是销售量的二次函数，则该商店获利的最大值是（）A ．9万元B ．9.25万元C ．9.5万元D ．10万元9．如图，已知长方形ABCD 的边长32AB AD ==，,点E 在BC 边上，且AE EF ⊥,EF 交CD 于F ,设,BE x FC y ==，则当点E 从点B 运动到点C 时，y 关于x 的函数图像是（）A B C D10．若凸n 边形12n A A A 适合以下：（1）1100A ∠=,（2）18,1,2,,1,k k A A k n +∠=∠+=-则n 的值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8 二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．若ABC ∆是半径为1的圆的内接三角形，BC =则A ∠= ； 12．方程11112012201420162018x x x x -=-----的解是x = ； 13．如图，P 是等边ABC ∆内一点，3,4,5,AP BP PC ===则APB ∠= ；14．边长为整数，且周长为2012的等腰三角形有个.15．已知关于x 的一元二次方程222(1)(1)0x m x m --+-=有两个不相等的实根,αβ，若224,αβ+=则m = ； 16．已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,5),(6,2),(1,2),A B C ----则ABC ∆外接圆半径的长度为；17．已知坐标平面xOy ，Rt ABC ∆中的直角顶点是A ，点B 与点O 重合，点C 在坐标轴上，则点C 的坐标是；18．已知350,x y z -+=并且230x y z ++=，则2222223323x y z xy yz zx x y z-+++-+-的值等于； 19．α和β是方程2210x x --=的两根，2α和2β是20x mx n ++=的两根，点(,)m n 在一次函数(3)y kx n =+-的图像上，则此函数的解析式是 .它的图像与xOy 坐标平面内的坐标轴围成的图形的面积是； 20．如图5，在直角梯形ABCD 中，,90,AB CD BAD ADC ∠=∠=∥两条对角线的交点为O ，O 与AD 相切，并与以AD 为直径的O '内切，已知AD 长为h ，则梯形ABCD 的面积是；三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．解方程44(2)820x x +--=22．如图所示，已知二次函数28y x bx =-++的图像与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ,且(4,0)B . （1）求二次函数的解析式及其图像的顶点D 的坐标；（2）若点(,0)M p 是x 轴上的一个动点，则当MC MD -取得最大值时，求p 的值；（3）如果点(,)E m n 是二次函数28y x bx =-++的图像上的一个动点，且ABE ∆是钝角三角形，求m 的取值范围.23．给你若干个边长都是1的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，从其中任选两种（个数不限），将它们拼接，要求是：（1）使某边重合；（2）两种图形中的任何一种不得有公共部分.问：（1）用选出的两种图形围成正n 边形，如：用3个正方形和3个正六边形围成一个正三角形ABC （如下图）. 请你再举两例，并作图说明.（2）对于（1）中的正n 边形，求它的外接圆的半径.第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．若m n 、是方程210x -+=的两个根，则n mm n-的值是（）A ．±B ．±C ．±D ．±2．设O 的半径是5，点P 不在O 外，若点O 与P 的距离222OP m m =-+,则m 的取值范围是（） A ．1m <-或3m > B ．13m -≤≤ C ．1m ≤- D ．3m ≥3．如图，O 内的点P 在弦AB 上，点C 在圆O 上，PC OP ⊥，若2BP =，6AP =,则CP 的长等于（）A ．B ．4C ．D ．4．如图是类似“羊头的”图案，它左右对称，由正方形，等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是，那么标有数字“2”的等腰直角三角形的斜边的长是（）A ．4B ．C ．2D ．325．若m n 、()()m n n m +-的差的绝对值最小的整数是（） A ．55- B ．56- C ．16- D ．15-6．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，30QON ∠=︒，点A 在OQ 上，240AO = (米)，当火车行驶时，周围200米以内未受到噪音的影响，现有一列火车沿MN 方向意72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计)，那么，A 处受噪音影像的时间为（）A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒 7．InABC as shown in fig, ,,AB AC BD EC BE CF ===,if 50A ∠=︒,then the degree of DEF ∠ is （）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒8．如图5，2O 的半径是1，正方形ABCD 的边长是6，点2O 是正方形ABCD 的中心，12O O 垂直AD 于P 点，128O O =，若将1O 绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（）A ．3次B ．5次C ．6次D ．7次9．如图，在同一个平面直角坐标系内，二次函数()120y ax bx c a =++≠和一次函数()20y dx e d =+≠的图象相交于点(),A m n 和点(),B p q ，当12y y <时，用,m p 表示x 的取值范围，则是（）A ．m x p <<B ．x m <C ．x p >D ．x m >10．如图，在正方形ABCD 中，点M N 、分别在边AB BC 、上运动(不与正方形的顶点重合)，2BN AM =，若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似，则这样的点M 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．已知实数,a b 不相等，并且2215,15,a a b b +=+=则2211a b+= ； 12．If 111a m=-, 2111a a =-, 3211a a =-,...,then 2013a in terms of m is；13．如图，在3×2的方格纸上，以某三个格点为顶点的三角形中，等腰三角形共有个.14．若实数,,x y z 使20x y z ++=和3250x y z ++=成立，并且0z ≠，则2222222457x y z xy x z xz -+--+的值是；15, ，则此三角形的面积是；16．已知抛物线2(0)y ax bx c c =++≠与x 轴的交点坐标为()1,0-,()3,0,当25x -≤≤时，y 的最大值为12，则该抛物线的解析式为；17．如图，直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，10AB =，25BC =，15AD =，以BD 为折痕，将ABD 折起，旋转180°后，点A 到点1A ，则凹五边形1BDCEA 的面积为；18．如图，将边长为a 的正方形ABCD 绕其顶点C 顺时针旋转45︒，得四边形A B C D ''''，则图中阴影部分的面积是；19．If7，then the value range of real number a is ；20．如图，从边长为5的正方形纸片ABCD 中剪去直角EBF (点E 在边AB 上，点F 在边BC 上)，EB BF +=则五边形AEFCD 的面积的最小值是；三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．下图是由若干个棱长为1厘米的正方形堆成的几何体，它的三视图中，面积最大的是平方厘米，这个几何体的体积是立方厘米22．如图，在ABC 中，502A AB AC ∠=︒==，，BD 是边AC 上的高，利用此图可求得tan15︒= ；BC = ；23．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点，若凸n 边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其它整点，则n = ；24．如图，直角梯形中， 1.5213////90AB CD AF AD AB EF CD A ====∠=︒，，，，，，分别以AD FE ，所在的直线为x 轴、y 轴建立坐标系(,AD FE 为正方向)若抛物线过点B C 、，并且它的顶点M 在线段EF 上，则a = b = c = ；25．如图，ABC 中，90602B A AB AD ∠=︒∠=︒==，，，点M 在DC 上，以M 为圆心，以DM 为半径的半圆切边BC 于点N ，交MC 于点P ，则DM = 曲边的面积= ；附加题（每小题10分，共20分）1．若()326116f x x x ax =-+-可以被()23g x x =-整除，则a = 当()0f x >时，x 的取值范围是；2．有一堆黑，白围棋子，如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子，当黑子被取完或剩下1枚或2枚时，则还剩35枚白子，如果每次取出5枚黑子和7枚白子，当白子被取完或剩下不足7枚时，则还剩下35枚黑子，那么这堆棋子中，原有黑子枚，白子枚；第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．如图，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点M 在边DC 上，若AM 平分DMB ∠，则AMD ∠的大小是（）A ．75B ．60C ．45D ．302 ）A ．B ．-C ．D ．-3．一个矩形被直线分成面积为,x y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是（）A B C D 4．函数31x y x x-=-中，x 的取值范围是（） A ．0以外的一切实数 B ．0,1-以外的一切实数 C ．1±以外的一切实数 D ．0,1±以外的一切实数5 ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．代数式25x x -++（）A ．有最小值，没有最大值B ．有最大值，没有最小值C ．既有最小值，也有最大值D ．既没有最小值，也没有最大值7．如图，△ABC 中，AB=2，BC=4,CA=3,平行于BC 的直线l 过△ABC 的内心I ,分别交边AB AC 、于点D E 、,则ADE 的周长是（）A ．5B ．6C ．7D ．88．若动点)M x y （，到定点A 324⎛⎫⎪⎝⎭，的距离等于M 到直线54y =的距离，则动点)M x y （，的轨迹（）A ．双曲线B ．抛物线C ．双曲线的一支D ．一条直线9．不等式0a 的解是（） A ．0a ≠ B ．1a >或1a <- C ．1a >或10a -<< D ．0a >或1a <-10．如图，ABC 中,1,2,90AB AC ABC ==∠=,若BD EF GH 、、都垂直于AC DE FG HI 、、、都垂直于BC ,则阴影HIC 的面积与ABC 的面积的比是（）A ．634⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．6324⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C 634⎛⎫⎪⎝⎭D ．62334⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题4分，共40分）112=的根是； 12．若正n 边形的一个外角为5︒,则n = ；13．已知关于x 的方程224220x x p p --++=的一个根为p ，则p = ；14．平面直角坐标系内，一只跳蚤停在点()5,0处，它要跳到点()6,0处，它每一跳都是飞越5个长度单位，并且总是跳到整点（坐标都是整数的点），也不从原路返回，那么，当它跳到点()6,0时，至少跳了次 15．将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值是；16．将相同的平行四边形和相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是；17．ABC 中，3,5,120AC BC ACB ==∠=,点M 平分AB ,则tan MCA ∠= ，MC = ；18．方程组3322181x y z x y z +=-⎧⎨+=-⎩的正整数解(),,x y z 是； 19．ABC 的三条高依次是643AD BE CF ===，，，则cos C = ，ABC 的面积是； 20．已知()f x 是一个多项式，若()f x 除以()1x -，余5；若()f x 除以()2x +，余2，则()f x 除以()()12x x -+，得到的余式是；三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）已知二次函数24y mx x m =+++的图象在直线2y =-的上方．（1）求m 的取值范围；（2）当2m =时，求此二次函数的图象在x 轴上截得的线段长．22．（本题满分15分）一家商店销售某种计算器，开始按定价（小于200元的整数元）售出，后来按定价的六折售出，当售出200台时，共得款30498元．问：打折前，按定价售出了多少台？23．（本题满分15分）设()0)f x x =>（1）将()f x(a b ，是不同的整数)的形式；（2）求()f x 的最大值及相应的x 的值.第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．以下三角形中，与图1中的三角形相似的是（）图1 A B C D2．某商品原价200元，先降价%a ，又提价%a ，售价是182元，则下列关系式中正确的是（）A ．()()2001%1%182a a -÷+=B ．()()1821%1%200a a -÷+=C ．()()2001%1%182a a +÷-=D ．()()1821%1%200a a ÷-÷+= 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是下列四个选项中的（）主视图左视图俯视图A B C D4．若关于x 的一元二次方程()2223560m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值是（）A ．2B ．3C ．2或3D ．0 5．方程20142014x x -=-的正整数解有（）A ．2013个B ．2014个C ．2015个D ．无穷多个6．在ABC 中，若AC =BC AB =ABC 的面积为（）A B ． C ．112D ．67．Given equationx ,then the number of solutions for this equation is （）A ．0B ．1C ．2D ．countless8．若()()6xx+=，则x =（）A ．2B ．2-C ．2±D ．12±9．如图，AB AC AD DE EC BC ====，，则ABC ∠的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．60︒ 10．如图，设AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，且CD 与AB 相交，若CABOABm SS=-，OABn S=，则（）A ．2m n >B ．2m n =C ．2m n <D ．m 与2n 的大小关系无法确定. 二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．若2420y y ++=,则22224y y y =-+ ；12．如图，矩形ABCD 中，60AB =，23BD BC CD =+，则BC = ；13．InABC as shown in Fig.， 40BAC ∠=︒.Both BD and CD are the interior angle bisectors of ABC which intersect atpoint D , BE and CE are exterior angle bisectors of ABC which intersect at point E ,then BDC BEC ∠-∠= °14．有1,2,5,10g g g g 的砝码各2个，从中任取2个放在已经平衡的天平的两端，则天平依然保持平衡的概率P = ；15．如图，将等边ABC 的外接圆对折，使点A 与弧BC 的中点F 重合，折痕与边AB AC 、分别交于点D E 、.若3BC =，则ADE 的面积是；16．如图，Rt ABC 中，9021C AC BC ∠=︒==，，，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则AD DB= ；17．在平面直角坐标系中，抛物线C 经过点()()3,87,8A B ，，且与x 轴恰有一个交点，则抛物线C 上纵坐标为32的两个点的距离为；18．如图，等边AFG 被线段BC DE ，分割成周长相等的三部分：等边三角形ACB 、梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为123S S S ，，，若263S =，则12S S -= ；19．如图，四边形ABCD 中，90571ABC CDA AD DC AB BC ∠=∠=︒====，，，，则BD = ； 20．正方体骰子的每个面内都写了一个正整数.随意地投掷这样的两个骰子，若朝上的两个面内的数的和为偶数的概率最小为P ，则P = ；三、B 组填空题（每小题8分，共40分.）21．若关于x 的方程()()()()2424x x p p --=--的两个实数根12x x ，是某直角三角形的两条直角边的长，则此直角三角形的面积最大是，此时P = ；22．If ,x y and z satisfy the equation x y z ++,then x y z ++= ，and xyz = ；23．若ABC 的三条边长,,a b c 满足2101261b c bc a a +==-+，,则ABC 的周长等于，面积等于；24．如图，在平面直角坐标系x O y --中，反比例函数()0ky x x=>的图象交矩形OBCD 的边BC 于点E ，交CD 于F 点，且14DF CD =，若四边形OECF 的面积为24，则k = ，OEFS= ；25．在直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是正整数）与x 轴有两个不同的交点()()12,0,,0A x B x .若1x 和2x 都大于1，则abc 的最小值是，此时a b c ++= ；第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．If both a and c are real numbers , 2and 3are the two solutions of the equation 2100ax x c -+= for x ,then the value of a c + is （）A ．10B ．12C ．14D ．162．如图，在ABC 中，BC CA AB >>，D E F 、、分别是AB BC CA 、、边上的点，//,//DE AC FD CB ，若 :1:2AD DB =，则图中的相似三角形有（）对。

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题

第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试。

2023年第二十二届希望杯数学竞赛一试试题

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试2023年3月13日上午8：30至10：00 得分一、选择题（每小题4分，共40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是对的的，请将对的答案前的英文字母写在下面的表格内。

1、将a 公斤含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x 公斤，则由此可列出方程（）（A ）()()().0015100101-+=-x a a （B ）().00150010•+=•x a a（C ）.00150010•=+•a x a （D ）()().0015100101-=-x a 2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，假如汽车行驶的速度增长a ﹪，则所用的时间减少b ﹪，则a 、b 的关系是（）（A ）001100a a b +=（B ）001100a b += （C ）a a b +=1 （D ）a a b +=100100 3、当1≥x 时，不等式211--≥-++x m x x 恒成立，那么实数m 的最大值是（）（A ）1．（B ）2。

（C ）3。

（D ）4。

4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数12-=x y 与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有（）个（A ）2．（B ）3。

（C ）4。

（D ）5。

5、（英语意译）已知整数x 满足不等式6122≤-≤x ，则x 的值是（）（A ）8．（B ）5。

（C ）2。

（D ）0。

6、若三角形的三条边的长分别为a 、b 、c ，且.03222=-+-b c b c a b a 则这个三角形一定是（）（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形7、如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 点E 和F ，假如AE=5，EF=3，则FG=（）（A ）316。

（B ）38。

（C ）4。

（D ）5。

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛试题

第二十六届希望杯全国数学邀请赛高一第1试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.计算1l o g 2100+1l o g 5100的值是()(A )1.(B )12.(C )-12.(D )-2.2.下列函数中,既是偶函数,又是(0,+ɕ)上的增函数的是()(A )y =|x -1|.(B )y =-x 2+1.(C )y =2-|x |.(D )y =l o g 2|x |.3.如图1所示的几何体的俯视图是()4.把数列{2,4,6, ,2n }依次按一项㊁二项㊁三项㊁四项地循环排列:(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40); ,则第104个括号内的所有数之和为()(A )2036.(B )2052.(C )2068.(D )2084.5.方程x 2-y 2+x +y =12的整数解有()(A )4对.(B )6对.(C )8对.(D )12对.6.I nr e c t a n g u l a rc o o r d i n a t es y s t e m x O y ,l i n e y =-43x +4i n t e r s e c t sw i t h x -a x i sa n d y-a x i sa t p o i n t A a n d B ,r e s p e c t i v e l y .R o t a t e әA O B o n p o i n t B 90d e g r e e sc l o c k w i s et o әA ᶄO ᶄB .T h e n t h e c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t A ᶄi s()(A )(-3,1).(B )(-2,5).(C )(-4,1).(D )(-4,3).(英汉小词典:r o t a t e 旋转;c l o c k w i s e 顺时针方向地)7.函数f (x )=(x 2-2014x -2015)l n (x -2013)的零点的个数为()(A )0.(B )1.(C )2.(D )3.8.当x ɪ(2,3)时,若不等式l o g a (x -1)-(x -2)2>0恒成立,则实数a 的取值范围是()(A )(0,12].(B )[12,1).(C )(1,2].(D )[2,+ɕ).9.已知函数f (x )={x 2+2x -3,x 2-2x -3,x ȡ0,x <0,若|x 1|<|x 2|,则下列不等式中恒成立的是()(A )f (x 1)+f (x 2)>0.(B )f (x 1)+f (x 2)<0.(C )f (x 1)-f (x 2)>0.(D )f (x 1)-f (x 2)<0.10.已知正整数x ,y ,z 满足{x y +y z =19,x 2+10y 2+z 2-6x y +2y z =169,则x y z 的值是()(A )48.(B )60.(C )88.(D )60或88.二㊁A 组填空题(每小题4分,共40分.)11.计算:0.000320.8=.12.若函数f (x )=l o g 2|a x -1|的图象关于直线x =2对称,则a =.13.1ˑ1!+2ˑ2!+3ˑ3!+ +k ˑk !(k ȡ4)的末位数字是.14.在әA B C 中,A B =8,A C =10,B C =12,若B D 是A C 边上的中线,则B D =.15.已知集合A ={x |x 2-2014x +2013<0},B ={x |l o g 2x <m }(m ɪN ∗),若A ⊆B ,则m 的最小值是.F i g.216.已知二次函数f (x )=a x 2+2x +c 的值域是[0,+ɕ),则a 2+c 2+a +c 的最小值是.17.A s s h o w n i nt h eF i g .2.G i v e n әA B C w i t h B C =4a n dc i r c l e A w i t h r a d i u s 2.B C i s t a n g e n t t oc i r c l e A a t D .T h e c i r c l e A i n t e r s e c t sw i t h A B a n d A C a t p o i n t E a n d F ,r e s p e c t i v e l y.øE D F =140ʎ.T h e n t h e a r e a o f t h e s h a d e d po r t i o n i s .(英汉小词典:t a n ge n t 相切的)18.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,且a x 2+2b x +c =0的两根为x 1,x 2,则x 21+x 22=.19.在平面直角坐标系中,过点P (a ,b )(a ʂ0,b ʂ0)的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是定值M ,则这样的直线可能有条.20.若集合{1,2,3, ,2014}的某些子集满足条件:没有一个数是另一个数的2倍,则这样的子集中所含元素的个数最多是.三㊁B 组填空题(每小题8分,共40分.)21.当x >3时,函数y =l o g 12(x +1x -3-1)的最大值是,此时x =.22.在等比数列{a n }中,公比q =2,前99项的和是56,则a 1=,a 3+a 6+a 9++a 99=.图323.如图3,在四边形A B C D 中,A B =1,B C =3+1,A D =6,øA B C =120ʎ,øD A B =75ʎ,则øB A C =,C D =.24.设函数f 1(x )=2-x ,f 2(x )=-x 2+6x -4,f (x )={f 1(x ),f 2(x ),f 1(x )ȡf 2(x ),f 2(x )>f1(x ).则f (2015)=;若函数f (x )在[0,a ]上的最大值为f (a ),则a 的取值范围是.25.设函数f (x )=|2x -m |+4x .(1)当m =2时,满足f (x )ɤ1的x 的取值范围是;(2)若f (x )ɤ2的解集为{x |x ɤ-2},则m =.高一第1试答案。

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题

历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案) 全国通用

高中竞赛必备资料第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试一、选择题1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（）（A ）B = 0时，倾斜角是2π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )（B ）A = 0时，倾斜角是2π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –BA )（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –AB)2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（）（A ）P ⊂ Q （B ）P = Q （C ）P ⊃ Q （D ）以上都不对4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（）（A ）最多有一个（B ）最多有两个（C ）最多有三个（D ）可以有无穷多个5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1 P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。

对于集合P ，可以断定（）（A ）0∈P ，2 P （B ）0 P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 P ，2 P 二、填空题6、方程arcsin ( sin x 的实根个数是。

7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t 形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是。