希望杯全国数学邀请赛试题集锦

“希望杯”全国数学邀请赛试卷集锦

第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试

一、选择题

、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么（ ）

（）0,0,0><>c b a

（）0,0,0>>>>c b a

、某种菌类生长很快，长度每天增长倍，在天中长成M ，那么长成4

1M 要（ ） （）411天 （）天 （）天 （）天 、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(

221x f x f -的值

等于（ ）

（） （）21 （） （）2log a

、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是（ ）

（）︒<θ<︒ （）︒<θ<︒ （）︒<θ≤︒ （）︒≤θ≤︒

、、、、分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为（ ）

（）⊃⊃⊃（）⊃⊃⊃（）⊂⊂（）⊂⊂⊆⊆

、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )

2

1(c ，则（ ） （）c b a << （）a c b << （）b c a << （）a b c <<

、)(x f 是定义域为的奇函数，方程0)(=x f 的解集为，且中有有限个元素，则（ ） （）可能是∅

（）中元素的个数是偶数

（）中元素的个数是奇数

（）中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。

、 （）（）与（） （）（）与（） （）（）与（） （）（）与（）

、已知θ是第二象限的角，且2

cos 2sin θθ<，则||2cos |log |22θ等于（ ） （）)2cos(πθ

-- （）2cos θ

（）)2sec(θ

- （）)2sec(θ

π-

、若函数||22x x y -=的图象与直线)2(-=x k y 相交于点（-，-），则与该直线交点的个数是（ ）

（） （） （） （）

二、填空题（组）

、若23log =x ，则x 的值是 。

、若不共面的四条直线两两相交，则它们共有 个交点。

、直线l 与平面α所成角为︒，交点为，是α内不过点的任意一条直线，那么l 与所成角的取值范围是 。

、函数)

1lg(2x y -=的单调递增区间为 。 、方程2

1254log 24=+-x x x 的解为 。 、函数)(x f 与x x g -=3)(的图象关于直线x y =对称，则函数)2(2x x f -的定义域为 。

、一个长方体的长、宽、高的比为∶∶，它的对角线与一个正方体的体对角线等长，则这个长方体与正方体表面积之比为 。

、平面α⊥平面β，直线∥α，与β成︒角，直线∥β，与α成︒角，则直线与所成的角的大小为 。

、若x y x 22322=+，则22y

x +的最大值为 。 、二面角βα--l 的大小为︒，l C B A ∈∈∈,,βα，且β⊥=AB AC ,4，B 点到α的距离为，则直线AC 与平面β所成的角的大小等于 。

三、填空题（组） 、若},4,2,1{},2,1{}1,{2a a a ⊂⊂，则a 的值是 。

、关于x 的方程)1,0(log log ≠>=a a a x x a 的解为 。 、如果5

1cos sin -

=+αα，那么α所在的象限是 。 、函数)2sin(2)(β+=x a x f 的值域为[-，]，在区间]12

,125[ππ-上是单调递减函数，则常数a 与β的值分别为 。 、函数123)(2+-+=a ax x x f 在区间[，]上的最小值为，则a 的值为 。

年“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试

一、选择题

、正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线。在正方体1C 中，与垂直的面对角线的条数是（ ）

（） （） （） （） 、若函数a x x f +=

2

)(的反函数为5)(1-=-bx x f ，则（ ） （）7=+b a （）72=+b a （）3=-b a （）12=-b a

、若02log 2log <>x y （）1>>y x

、如图所示是一个⨯⨯的长方体，上面有⨯⨯，⨯⨯，

⨯⨯的穿透的洞，剩下部分的体积为（ ）

（） （） （） （）

、设函数)(x f y =是周期为的偶函数，

且在区间[，]内单调递减，则

)5.2(),0(),1(f f f -的大小关系是（ ）

（）)0()5.2()1(f f f <<- （）)5.2()0()1(f f f <<-

（）)1()5.2()0(-<

、是∆所在平面外一点，且⊥平面，则在以下结论中正确的是（ ）

（）∠<∠ （）∠>∠

（）∠∠ （）∠与∠的大小关系不确定

、在锐角三角形中，一定有（ ）

（）< （）>

（）> （）与的大小关系不确定

、在正五棱柱1C 的侧棱上有一点，若截面与侧面1A 互相垂直，则这样的点（ ）

（）一般有两个，特殊情况下仅有一个。 （）有且仅有一个

（）有两个 （）有时不存在

、在区间[，]上，方程x x 2332log log log log =的实根个数是（ ）

（） （） （） （）无数个

、四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体。用一个平面去切正四面体，使它成为形状大小都相同的两个几何体，这样的平面的个数为（ ）

（） （） （） （）无数个

二、填空题

、关于x 的方程)1

21(log )121(log 2+-=-+x x a ，)1,0(≠>a a 的解集为 。 、空间四边形中，，，则与所成的角的正弦值为 。

、函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=)2(

2)20( )(2x x x x f x 的反函数为 。 、函数1

sin sin +=x x y 的值域为 。 、若2log 3)(3++=x x f x ，则=-)30(1f 。

、若)1(log )(-=ax x f a 在区间[，）上是减函数，则实数a 的取值范围是 。

、函数)(x f y =对于任意实数y x ,都满足22)]([2)()(y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则=)1998(f 。