2018年高中数学第二章数列2.3第一课时等比数列的概念及通项公式课件苏教版选修5

合集下载

高一数学等比数列(课件) ppt课件

n1
(a1 0, q 0)
3、探究等比数列的图像
等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点构成的，观察等比数列的通项公式，你能得出什么结果？它的图像如何？
a n a1 q
n 1
（n≥2）
y a1 q q x (x N )
指数函数
由此可知等比数列 an 的图象是函数
07年广西高考(文科): 1.(第16题）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1， 2S2，S3成等差数列，则{an}的公比为 __ 。 2. （第21题）设{an}是等差数列， {bn}是等比数列，且a1=b1=1 , a3+b5=21 , a5+b3=13. （Ⅰ）求{an}、 {bn}的通项公式；（Ⅱ）略
a1q 2 12 ① 3 a1q 18 ②
a4 18 2 q ① a1q 12 ② 方法2： a3 12 变式1.等比数列， a1 1, q 3, 求a8与an a中 n
变式2.等比数列
（3）思考消元方法。
， a中 n
a1 2, a9 32, 求q
5.看看高考(课后练习)
.
10
2.5 10 10 所以到第5代大约可以得到种子2.5 10 粒。
a1 120, q 120, a5 120120
51
例2(见教材例2)：一个等比数列第三项与第四项分别是12与18，求它的第1项和第2项。
分析：方法1：
（1）如何将已知条件与要求的a1与q联系起来？（2）列出方程：
等比数列
第一课时
一、温故而知新
1、等差数列的定义： 2、等差数列性质：
温馨提示：您是否还记得？

《等比数列的前n项和第一课时：定义和公式》名师课件2

假设千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界小麦年产量为6亿t。根据以上数据判断国王能不能实现他的诺言？
思考：
❖ (1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
1,2,22 ,23,,263
❖ (2)国王需要给发明者多少粒小麦？
1 2 22 23 263 ?
问题探究
若{an} 为等比数列，那么等比数列前n项和： Sn a1 a2 a3 an1 an ?
公式辨析
1．口答：
在公比为 q 的等比数列{an}中
(1)若 a1
2,q 3
1 3
，则
S
n
_1__(_1_)_n__
3
（2）若 a1 1,q 1 ，则 Sn __n______
2．判断是非：
①1
2
4
8
(2)n1
1 (1 2n 1 2
)
②1 2 22 23 2n 1
注意：1.对公比q的分类讨论；
3.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
国际象棋的传说
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：“请给我棋盘的64 个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。
S8
1 [1 (1)8 ] 22
1 1
255 ; 256
2
能否运用q≠1时的另一个公式进行
1 27 • q8 , q 0.解得：q 1
243
3
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1 ( 1)
1640 . 81
3

高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和

99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
返回
点击此图片进入 NO.1 课堂强化
返回
点击此图片进入 NO.2 课下检测
返回
1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512，所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
返回
[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d，由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11，得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5，解方程组得 a1＝3， n＝7，或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第二章数列
等差数列的前
第一课时等差数列的前 n项和
名师课堂 · 一点通
创新演练 · 大冲关
考点一考点二考点三
n
项和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
返回

高中数学课件：第二章 2.1 数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式

返回
返回
[研一题] [例 1] 项公式： 4 1 4 2 (1)5，2，11，7，…； 1 9 25 (2)2，2，2，8， 2 ，…； (3)7,77,777，…；根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通
返回
(4)0,3,8,15,24，…； 1 3 7 15 31 (5)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (6)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，….
＋
返回
[悟一法] 1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与序号的关系和相邻项间的关系．具体地可参考以下几个思路
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．
返回
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如例1.(1) 中可把分子、分母分别处理． (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以 (－1)n(n∈N*)处理符号，如例1.(6)．
返回
[巧思] 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键．由
a1·2·3·…·an＝n2可得a1·2·3·…·an－1＝(n－1)2，故可求an. a a a a
返回
[妙解]
∵a1·2·3· an＝n2(n∈N*)，① a a …·
∴当 n≥2 时，a1·2·3· an－1＝(n－1)2.② a a …· ① n2 由，得 an＝ 2(n≥2) ② n－1 n2 9 25 61 (1)∵an＝ (n≥2)，∴a3＋a5＝4＋16＝16. n－12
返回
(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n； (5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n 1； (6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2； 1 1 1 1 1 (7)数列1，2，3，4，…的通项公式是 an＝n.

高中数学第一部分第二章 2.3 第三课时等比数列的前n项和课件苏教版必修5

(1)列方程组求出a1和q即可．
(2)bn可以转化为两个等比数列的通项公式和一个
常数数列通项公式相加，求和时重新组合即可．
[精解详析]
(1)设等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1，
1 1 a1＋a1q＝2a1＋a1q，由已知 a1q2＋a1q3＋a1q4＝64 1 2＋ 1 3＋ 1 4， a1q a1q a1q
①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
x1－xn ＋＝－nxn 1， 1－ x x ∴ Sn＝ [nxn＋1－(n＋1)xn＋1]， 2· 1－x nn＋1 2 ∴Sn＝0 x＝0 x n＋1 [ nx －n＋1xn＋1] 2 1－x x＝1
1 1 2 2 2 2 2n－1 ①－②得：2Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－ n＋1 2
2n－1 1 1 1 1 ＝2＋2＋22＋…＋ n－1－ n＋1 2 2 1 1 1 － n－1· 2 2 2 2n－1 3 2n－1 1 1 ＝2＋ 1 － 2n＋1 ＝2－2n－1－ 2n＋1 1－ 2 3 2n＋3 ＝2－ n＋1 ， 2 2n＋3 ∴Sn＝3－ 2n .
2 a1q＝2，化简得 2 6 a1q ＝64.
又 a1>0，故 q＝2，a1＝1. 所以 an＝2n－1.
1 2 1 1 2 n－1 (2)由(1)知 bn＝(an＋a ) ＝an＋a2 ＋2＝4 ＋ n－1＋2. 4 n n 因此 Tn＝(1＋4＋…＋4
n－1
1 1 )＋(1＋4＋…＋ n－1)＋2n 4
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得
2 2 a ＋ a q ＝ 10 a 1 ＋ q ＝10 1 1 1 3 5 ，即 3 5 5 2 a q ＋a1q ＝4 a q 1＋q ＝4 1 1

等比数列的概念及通项公式第一课时

A．± 4 1 C．± 4
解析：项为± 4.
答案： A
第一章数列
9 1 2 3．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这 8 3 3 个数列的项数为________．
解析： ∴n＝4. 9 2n－1 1 an＝8×3 ＝3
答案： 4
第一章数列
4．下面各数列是等比数列的是________． ①0,0,0,0，②1，－1,1，－1,1，－1，③－ 2 2，4， ④a 1，a 2，a 3，a 4.
2 2 n－1 当 q＝3 时，a1＝9，∴an＝9· ＝2×3n－3 3
第一章数列
方法二：设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0， a3 2 a2＝ q ＝q，a4＝a3q＝2q， 2 20 1 ∴q＋2q＝ 3 .解得 q1＝3，q2＝3. 1 当 q＝时，a1＝18. 3
1 － 18 n 1＝ n－1＝2×33－n. ∴an＝18× 3 3
第一章数列
2．对等比数列通项公式的理解若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1.要注意： (1)公式成立的条件是n∈N＋，q≠0； an＋1 (2)此公式是按定义：＝q(q是非零常数)推导出来 an 的，即an＋1＝anq，这是等比数列通项公式的一种递推关系的表现形式；
第一章数列
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7
的等比中项． [策略点睛]
第一章数列
[规范作答]
设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，因
a1＋a1q＋a1q2＝168 q≠1，由已知，得 a1q－a1q4＝42
为 a2－a5＝42，所以
，

等比数列的前n项和公式第一课时PPT课件

公式的应用
例一：求等比数列1/2,1/4,1/8,….的前8项的和.
学生解法：解因为 q= 1/2 ≠1
sn
12[1(12)8] 112
255 256
再次提示学生公式的前提:q ≠1
公式的应用
例二：求数列 a,a2,a3,a4,...,.a.n,..前..n项的和。
错解1：错解2：
a[1an] sn 1a
21
推导公式
sn=a1+a2+a3+……an 根据等比数列的通项公式,上式可写成
sn=a1+a1q+a1q2+……a1qn-1
(1)
(1)的两边乘以q得,
qsn= a1q1+a1q2+……a1qn-1+ a1qn (2) (1)的两边分别减去(2)的两边,得
(1-q)sn= a1- a1qn
推导公式由此得到q≠1时，等比数列的前n项和的公式
目的：再现过程，突破障碍。提高效率，激发兴趣。
学法指导：当今课程改革的一个重要内容是改善学生
的学习方式。因此在教学中，通过引导学生进行反思，使学生发现推导方法的本质，从而培养学生合情推理能力，逻辑思维能力，科学思维方式和自学能力以及勇于探索的精神。
2021/3/7
12
教学策略
--支架式教学法小结回顾
项的和；
33 3
（2）求等比数列项的和；
2
，4
，8
…从第3项到第7
2021/3/7
30
小结与回顾
小结： ① 通过这堂课，你学到了什么？
② 给你留下印象最深的是什么？
作业：
③ 你还有一些什么想法？…… ① 必做题：习题P135 ：1(1,3)、2、4

等比数列的概念及通项公式

等比数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的教学重点1.等比数列的概念； 2.等比数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系； 2.等比数列与指数函数的关系教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标、知识与技能1. 了解现实生活中存在着一类特殊的数列2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题4.体会等比数列与指数函数的关系、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动3.密切联系实际，激发学生学习的积极性、情感态度与价值观1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗?粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120X 120粒种子，用第三代的120X 120粒种子可以繁殖出第四代120X 120X 120 粒种子，… 师非常好的一个例子!现实生活中，我们会遇到许多这类的事例教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗?生通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列: 1, 2, 4, 8,…① 教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.师这是《庄子•天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗?生思考、讨论，用现代语言叙述师（用现代语言叙述后）如果把“一尺之棰”看成单位“ 1”，那么得到的数列是什么样的呢？生发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1,丄，丄2 4116教师出示投影胶片2:计算机病毒传播问题.种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢师（读题后）这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢?引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系生发现等比关系，写出一个无穷等比数列: 1, 20, 202, 203, 204，…教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式: 本利和=本金X （1 +本金）n,这里n为存期.生列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程师生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和（单位：元）组成了下面数列:10 000 X 1.019 8 , 10 000 X 1.019 8 2, 10 000 X 1.019 8 310 000 X 1.019 8 4, 10 000 X 1.019 8 5.④ 师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点?师引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢?生回忆等差数列的定义，并进行类比，说出:般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等比数列（geometric seque n ee）的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progressio n).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比（commo n ra tio），公比通常用字母q 表示（q工0）.请同学们想一想，为什么q工0呢?生独立思考、合作交流、自主探究师假设q=0,数列的第二项就应该是0,那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢?分母为0 了.对了，问题就出在这里了，所以，必须q工0.那么，等比数列的首项能不能为0呢?等比数列的首项不能为0.是的，等比数列的首项和公比都不能为0,等比数列中的任一项都不会是0.［合作探究］师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概生如果在a与b中间插入一个数G使a、G b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.师想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b 表示G T?生一起探究，a、b是同号的G—, G=± V Ob , G=ab.师观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k+a n+k=2a n.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢?生独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-k • a n+k=a n2.［合作探究］探究: ⑴一个数列a i, a2, a3,…，a n,…（^工0）是等差数列，同时还能不能是等比数列呢?⑵ 写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同?任一项a n及公比q相同，则这两个数列相同吗?任意两项a m、a n相同，这两个数列相同吗?若两个等比数列相同，需要什么条件?引导学生探究，并给出（1）的答案，（2）（3）⑷ 可留给学生回答.生探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流（1）的解［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出:(1)中,既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每个非零常数列都是公差为0,公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.概括学生对⑵(3)⑷的解答.,首项为1,而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2,而首项不同的等比数列也是不会相同的中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同;中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同;中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)［合作探究］师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗?生推导等比数列的通项公式［方法引导］师让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式具体的，设等比数列｛a n｝首项为a i,公比为q,根据等比数列的定义，我们有：2 n-1a2=a i q, a3=a2q=a i q ,…，a n=a n -i q=a i q即 a n =a i q n-1. a 2 a 3 a 4a n a i a 2 a 3 a n 1亦得n-1a n =a i q. 你能发现有什么共同的特征吗?生把a n 看成a n q 0，那么，每一道式子里，项的下标与q 的指数的和都是n .师非常正确，这里不仅给出了一个由 a n 倒推到a n 与a i ，q 的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式. 师请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子a 2 a 3 a 4a n a 1 a 2 a 3 a n 1那么我们就有了 n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到于是，得a n =a 1q n-1. 起（叠乘），得到的结果是玉q n1,师这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗? 师根据等比数列的定义，我们还可以写出进而有 a n =a n-i q=a2 n-2q =a n3 n-1 -3q =・・・=a i q 师观察一下上式，每一道式子里，项的下标与 q 的指数， q ,再思考. 如果我们把上面的式子改写成竺q,aa 1 a 2 q,皂 q,…二 q . a 3 a n 1 a i最新高一数学优质说课稿(附经典解析)师在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明师让学生说出公式中首项a i和公比q的限制条件.生a i，q都不能为0.［知识拓展］师前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢?教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播” “复利计算”的练习或习题某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是X,本利和为y元.(1)写出本利和y随存期X变化的函数关系式;(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的生比较两种方法，思考它们的异同［教师精讲］通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来⑴ 在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为 a n =2n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？ a n G ）n1的数 ⑵ 在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为列的图象和函数y=（丄）x-1的图象，你又发现了什么？生借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系 3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格:等差数列等比数列定义从第二项起，每项与它前项的差都是同个常数从第二项起，每项与它前项的比都是同个常数首项、公差（公比）取值有无限没有任何限制首项、公比都不能为0a n流、讨论、归纳出二者之间的关系制通项公式a n=a1+( n-1) d n -1a n=a1q相应图象的特直线y=a1+(x-1) d上孤函数y=a1q x-1图象上点立的点孤立的点［例题剖析］【例11某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%,这种物质的半衰期为多长（精确到1年）?师从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关【例21根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗?师将打印出来的数依次记为a i（即A）, a2, a3,・可知a i=1;a2=a i X 丄；a3=a2X -.2 2于是，可得递推公式a i 1,1an —a n1( n 〉1)2/输出）/1 ?V=5+,I, X-1*( 1/2( 1透生算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式练习: 1. 一个等比数列的第 3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项. 师启发、引导学生列方程求未知量2.课本第59页练习第1、2题.课堂小结本节学习了如下内容: 1.等比数列的定义. 2.等比数列的通项公式.3.等比数列与指数函数的联系布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计等比数列的概念及通项公式1.等比数列的定义2.等比数列的通项公式等差数列表练习：1.（学生板由于-^n. a n 1i ，因此'这个数列是等比数列实例剖析从三个角度类比。

等比数列的概念及通项公式ppt课件

a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
Ga ＝Gb
公式
A＝a＋ 2
G＝± ab
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为_相_ _反__数_
备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a 1 和 q表示 a n ？
又a1－1＝－2，
an＋1－n＋1＝3an－2n＋1＋3－n＋1＝3an－3n＝3(n＝1,2,3，…).
n
1
8
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a 1 和 q表示 a n ？
❖ 方法：累加法
等 a2-a1d
差数列
a3 -a2 d
a4 -a3 d
类比
……
+）an -an-1 d
累乘
等法
比
数列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n-1
等差数列anan- 1d,n2
a2 a1d
归
a3 a2 d
(a1 d ) d
纳法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d ) d
a…1 …3d
ana1(n-1)d
等比数列 anan-1q,n2
a2 a1q
a3
aa21qq2(a1q)q
a4 a3q (a1q2)q
a1q3
……
a a q n-1
反思感悟判定等比数列，要抓住3个要点： ①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.

等比数列的概念及其通项公式

*
试一试 2:(1)若{an}为等比数列,且 3a4=a6-2a5, 则公比是( B ) (A)0 (B)-1 或 3 (C)1 或-3 (D)-1 或-3 (2)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前三项之和等于 21,则该数列的通项公式是 .
解析:(1)设公比为 q,则 3a1q3=a1q5-2a1q4. 3 ∵a1q ≠0, ∴q2-2q-3=0, 解得 q=-1 或 q=3.故选 B. (2)依题意 a1+4a1+42a1=21, ∴a1=1, ∴an=a1q =4 . n-1 答案:(1)B (2)an=4
n
n-1
-1),
an 得 an 1 a2 又∵ a1
1 =2 1 =2
,
,
1 ∴{a }是以2
n
1 为首项,以2
n
为公比的等比
n
1 数列,其通项公式为 a = 2
.
点击进入课后作业
n-1 n-1
等比数列的判定与证明
【例 1】观察下面几个数列,其中一定是等比数列的有哪些?
1 (1)数列{a }的通项公式为 a = 2
n n
·3 ;
n
(2)数列 a,a,a,„,a; (3)数列 1,2,6,18,54,„;
(4)数列{an}中,
a2 a1
=2,
a3 a2
=2;
(5)数列{an}中,
.
9 (D) 5
2
(2)若数列 x,x(x-1),x(x-1) ,„是等比数列,则 x 的取值范围是
3 5 9 解析:(1)依定义,有 = ,∴a= .故选 D. a 3 5
(2)由于等比数列的任何一项都不为 0,因此 x≠0 且 x(x-1)≠0,所以 x≠0 且 x≠1. 答案:(1)D (2)(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)

18-19 第2章 2.3 2.3.1 2.3.2 第1课时等比数列的概念及通项公式

[解] (1)由 S1＝13(a1－1)，
达标 •
探
固
新知
得 a1＝31(a1－1)，所以 a1＝－12，
双基
合作
又 S2＝31(a2－1)，
探
究 • 攻
即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
重
课时分层作业
难
返首页
自
当
主
堂
预
达
习 • 探新
(2)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝31(an－1)－31(an－1－1)，
自主
[解析] (1)∵a5＝a1q4，a1＝5，∴q＝－3，∴a5＝405.
当堂
预
达
习 •
(2)由题意，an＝an＋1＋an＋2，即
标 •
探新
an＝anq＋anq2，∴q2＋q－1＝0，
固双
知
基
合
∴q＝－12± 5.∵q>0，∴q＝
5－1 2.
作
探
究 • 攻
[答案]
(1)405
5－1 (2) 2
自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
[规律方法] 等比数列基本量的求法
• 固
新
双
知
a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出基
合作探究 • 攻重
来，法一是常规解法，先求 a1，q，再求 an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求 a1 和 q，这也是常见的方法.
课时分层作业
难
返首页
自
当
主
堂

高中数学苏教版必修5《第2章2.1数列》课件

与联系．(易混点)
2
1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
3
2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为 __{a_n__} __，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项 )，a2称为第2 项，…，an称为第n项．
思路探究：利用二次函数的单调性，求得k的取值范围．
31
[解] ∵an＝n2＋kn，其图象的对称轴为n＝－2k， ∴当－2k≤1，即k≥－2时， {an}是单调递增数列．另外，当1<－2k<2且－2k－1<2－－2k，即－3<k<－2时，{an}也是单调递增数列(如图所示)． ∴k的取值范围是(－3，＋∞)．
35
1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的
函数不一定单调．
2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，
一般地，若
an－1≤an， an＋1≤an，
则an为最大项；若
an－1≥an， an＋1≥an，
则an为最小
令an＝1，得n2－221n＝1，而该方程无正整数解， ∴1不是数列{an}中的项．
27
(2)假设存在连续且相等的两项为an，an＋1，则有an＝an＋1，即n2－221n＝n＋12－221n＋1，解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
28
数列的性质
[探究问题] 1．数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？ [提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{an}中，n∈N*.

苏教版高中数学必修五第2章数列2.3等比数列的概念、性质(学生版)

等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系教学难点：理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。

2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列（4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。

等比数列的概念与通项公式

上述错误的原因在于忽视了由于 a2＝2，a1>0 必有 q>0 这一隐含条件的限制．
第23页/共77页
(2011·浙江杭州一模)已知等比数列前 3 项为12，－14，18，则其第 8 项是________．
[答案] －2156
第24页/共77页
[解析] ∵a1＝12，a2＝a1q＝12q＝－14， ∴q＝－12，∴a8＝a1q7＝12×(－12)7＝－2156.
第39页/共77页
又 S1＋S2＝ka2，∴2a1＋a2＝ka2.∴aa21＝k－2 1. 若{an}为等比数列，则kk－＋11＝k－2 1， ∴k＝1.这与|k|>1 矛盾，∴{an}不是等比数列．
第40页/共77页
建模应用引路
第41页/共77页
[例 4] 培育水稻新品种，如果第一代得到 120 粒种子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120 粒种子，到第 5 代大约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)?
第5页/共77页
课前自主预习
第6页/共77页
1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 (q≠0)．即：aan－n 1＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．若公比 q＝1，则这个数列为常数列，
[解析] 利用等比数列的概念判断．由 Sn＝pn(n∈N*)，有 a1＝S1＝p，并且当 n≥2 时，an＝Sn －Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)pn－1.故 a2＝(p－1)p，因此数列{an}成等比数列
第32页/共77页

2018秋数学人教A版必修5课件：第二章2-4第1课时等比数列的概念与通n项公式精品

类型 2 等比中项 [典例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5 ＝42，求 a5，a7 的等比中项．解：设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，
a1＋a1q＋a1q2＝168，因为
a1q－a1q4＝42.
a1（1＋q＋q2）＝168.
①
所以
a1q（1－q3）＝42.
②
因为 1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
等比中项为：± 22.
答案：±
2 2
类型 3 等比数列的判定(互动探究)
[典例 3] (1)已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( ) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列．
(2)证明：法一：因为 an＞0，所以 an＋3＞0.
又因为 an＋1＝2an＋3，
an＋1＋3 2an＋3＋3 2（an＋3）
所以
＝
＝
＝2.
an＋3
an＋3
an＋3
所以数列{an＋3}是首项为 a1＋3，公比为 2 的等比数
列．
法二：因为 an＞0，所以 an＋3＞0. 又因为 an＋1＝2an＋3，所以 an＋2＝4an＋9. 所以(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2 ＝(an＋1＋3)2. 即 an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3 成等比数列，所以数列{an＋3}是等比数列．
(2) 在数列 {an} 中，若 an ＞ 0 ，且 an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．

等比数列的概念及通项公式课件

等比数列的通项公式
[典例]
(1)在等比数列{an}中，a1＝
1 2
，q＝
1 2
，an＝
1 32
，则
项数n为
()
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a
2 5
＝a10,2(an＋an＋2)＝
5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析]
(1)因为an＝a1qn－1，所以
式为an＝2n.
[答案] (1)C (2)2n
等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
等比中项
[典例]
(1)在等比数列{an}中，a1＝
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那
么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝± ab. [点睛] (1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符
号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝± ab，即等比中项有两个，且互为相反数． (2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝ 5×0，但0,0,5不是等比数列． 3．等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝ a1qn－1.
[典例] 在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
证明：[法一定义法] ∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴aan＋n＋1＋33＝2ana＋n＋3＋ 3 3＝2aann＋＋33＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．

高中数学第2章数列 2.3.2 等比数列的通项公式课件

一
二
三
二、等比数列的性质
活动与探究
例2(1)在等比数列{an}中,若a2=2,a6=162,试求a10. (2)等比数列{an}中,an是正实数,a4·a5=8.求 log2a1+log2a2+…+log2a8的值. 思路分析:利用等比数列的性质来求简单,一般不通过求a1与q来求.
解:(1)方法一:∵a6=a2q4,其中a2=2,a6=162, ∴q4=81.∴a10=a6q4=162×81=13 122. 方(∴2)法��∵��62a二=1aa:22∵aa231…0,6.∴,a180a=三1(0a=数1��·��622a成8=)等·(1a差6222·a2数=7)列1·…3,∴1·(2aa224,.·aa65,)a=10(成a4a等5)比4=数84=列2.12, ∴log2a1+log2a2+…+log2a8=log2(a1a2a3…a8)=log2212=12.
a4a5a6=
.
答案:5 2
解析:数列{an}为等比数列,由 a1a2a3=5 得��23=5, 由 a7a8a9=10 得��83=10, 所以��23��83=50,即(a2a8)3=50,即��56=50,
通项公式求解.
解:(1)方法一:由a4=a1·q3,
得27=a1·(-3)3,得a1=-1,
∴a7=a1·q6=(-1)×(-3)6=-729.
方法二:a7=a4·q3=27×(-3)3=-729.
(2)由已知得
��1�� = 18, ��1��3 = 8,
解得:
��1 = 27,

等比数列的概念和通项公式17页PPT

(3)a3 20, a6 160, an
(4 )a2 1 0, a3 2 0, a40
(5)a2 10, a4 40, a3
数学必修五第二章
数列
2.已知等比 an的数通列项公式
为an 32n,求首a1和项公q比
补补充充为思 12..an考在在等等a：比比qn数数,如其列列{{果中 aaann,q}}都一中中aaannn是个的 ==222n3不数通 -1n0，，的则则为列项a常 a11==公数式，，，qq==
. .
那么这个数列比一数定列是吗等？
当a, q其中有一个为0时，
这个数列就不是等比数列
数学必修五第二章
数列
课时小结
1.等比数列定义：
an1 an
q,(q0,nN*)
an q,(q0.n2,nN*) an1
2.等比数列通项公式：
a n a 1q n 1(a 1 0 ,q 0 )
3.等比数列公式的推导方法：累乘法
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
是一个关于n的"一次函数"
数学必修五第二章
数列
国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要求是：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子．” 国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？
一个新数列，这个数还列是等比数列吗？如果是，它的首项和比公是多少？
（2）数列can(其中常数c 0)是等比数列吗