函数图像及其变换解读

函数图像及其变换解读

数x

y 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线下方，要使得方程0

44=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i i =均在直线x y =的同侧，只须将函数

3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x

y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数x

y 4

=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。将点A 与点B 坐标分别代入方程a x y +=3解得6=a 或6-=a 。从而可得实数a 的取值范围是a ＞6或a ＜－6。

（二）伸缩变换及其应用：

函数)(bx af y =的图像可以看作是由函数)

(x f y =的图像先将横坐标伸长|(|b ＜1）或缩短|(|b ＞1）到原来的|

|1b 倍，再把纵坐标伸长|(|a ＞1）或缩短|(|a ＜1）到原来的||a 倍即可得到。如：

例2、（2008上海文11）在平面直角坐标系

中，点C B A ,,的坐标分别为)6,2(),2,4(),1,0(。如果),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy =ω取得最大值时，点

P 的坐标是 。

分析：由xy =ω变形可得x

y ω=，则问题可转化为当函数x

y ω=的图象与△ABC 围成的区域（含边界）有公共点时求ω的最大值的问题。由函数图

像伸缩变换的规律可知，ω的值越大，则函数x

y ω

=图象上点的横纵坐标越大，即图像整体越向上移动，由此可以判定，当ω取得最大值时，函数x

y ω

=的图象与△ABC 的边BC 相切或过经点C 。下面求点P 的坐标。

法一：由线段BC 与函数的解析式联立方程组可得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-==).42(102,x x y x y ω消去y 得方程01022=+-ωx x ，由

判别式△=0解得225=ω，此时25=x ，从而得点)5,2

5(P 。即所求点P 的坐标是)5,2

5(P 。 法二：线段BC 的方程为：)40(102≤≤=+x y x ， 则225

)22(21221

2=+≤⋅⋅===y x y x xy ω，当且仅当52==y x ，即.5,25

==y x 所以所求点P 的坐标是)5,2

5(P 。 （三）对称变换：

函数当中，图像关于某点或某条直线对称的情

况较多，除函数的奇偶性、互为反函数的两函数与对称性有关之外，还经常会出现其他一些情况，这就需要我们能够掌握“以点代线”的数学方法对具体情况进行分析。常见情况有以下几种。

1、关于特殊直线的轴对称变换：

）（轴x f y x f y y -=−→−=)(；

）（轴x f y x f y x -=−→−=)( ； ）（y f x x f y x y =−−→−==)(（两者互为

反函数）；

2、关于特殊点的对称变换：

）（），原点（x f y x f y --=−−−→−=00)(；

3、局部对称变换：偶函数），）（(||)(x f y x f y =−→−=

；）（||)(x f y x f y =−→−=

注：以上为两个函数图像之间的关系。

4、自身对称变换：若函数y=f （x ）满足

），（）（或x a f x a f x a f x f +=--=)2()(则函数y=f （x ）的图像关于直线x=a 对称。特别地，当0=a 时，函数)(x f 为偶函数。

若函数y=f （x ）满足)()(x f x f -=-，则函数y=f

（x ）的图像关于原点成中心对称。即函数)(x f 为奇函数。

例3、（2005上海理16）设定义域为R 的函

数,1,01||,1|lg |)(⎩⎨⎧=≠-=x x x x f 则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有

7个不同实数解的充要条件是（ ）

A 、b ＜0且c ＞0

B 、b ＞0且c ＜0

C 、b ＜0且0=c

D 、0≥b 且0=c 。

（

图三）

（图四） 分析：函数)1(||1|lg |≠-=x x y 的图像是由函数

||lg x y =的图像先向右平移一个单位，得到函数

)

1(|1|lg ≠-=x x y 的图像，再将函数)1(|1|lg ≠-=x x y 的图像位于x 轴上方部分保持不变，下方的部分关于x 轴通过局部对称得到。又因为0)1(=f ，所以由（图三）可知，函数)(x f 图像与x 轴有三个公共点。

x y 2-22c -c 0x y 1=x )

1(||1|lg | x x y -=)1(||1|lg | x x y -=2-20b y -=

方程0

bf

x

f中，若b＜0且0=c，则由

+c

x

+

)

)

(

(2=

bf

x

f可得0

+x

(2=

(

)

)

=

)

(。结合函数)(x f图像

f-

x

(=

)

f或b

x

易知，方程0

f-

=

)

(有

x

)

(=

x

f有三个不同的解，方程b

四个不同的解，即方程0

+c

x

bf

x

f有7个不同

+

)

(

)

(2=

实数解。所以选C。

值得一提的是，在高考当中，对函数图像的考查，并不一定考查某一单一的变换，有时可能是几种变换同时考查。如：

（2003上海理16）)(x f是定义在区间],[c c-例4、

上的奇函数，其图像如图（四），令b

(

)

(，

x

=)

g+

af

x

则下列关于函数)(x g的叙述正确的是（）（A）若a＜0，则函数)(x g的图像关于原点对称；

（B）若1=a，0＜b＜2，则方程0

g有大于2的

x

(=

)

实根；

（C）若2-=a，b=0，则函数)(x g的图像关于y轴对称；

（D）若0≠a，b=2，则方程0

g有3个实根。

x

)

(=

分析：由图（2）知)0

=b

g，

)0(≠

0(=

f，若b≠0，则0此时)(x g的图像不关于原点对称，所以A选择支不符合题意。当1-=a时，)(x g的图像可由)(x f的图像关于x轴对称，再向下平移||b个单位得到。此